光学_郭永康_第六章1.傅里叶变换
傅里叶变换—_光学元件的变换
二、透镜的变换特性
讨论 这个结果表明,光振动通过薄透镜后,各点都发 生位相延迟 会聚透镜, 中心点位相延迟最多
kn∆ 0
k 偏离中心,位相延迟逐渐减少 (x2 + y2 ) 2f
25/88
二、透镜的变换特性
发散透镜 透镜中心,位相延迟最小 偏离中心,位相延迟增大
kn∆ 0
k 2 2 − (x + y ) 2f
x2 + y2 ∆ 2 ( x, y ) = (−r2 ) − (−r2 ) 2 − ( x 2 + y 2 ) ≈ 2r2
ϕ ( x, y ) = −k (n − 1)(∆1 + ∆ 2 )
x2 + y2 ϕ ( x, y ) = − k 2f
21/88
1 f = 1 1 (n − 1)( − ) r1 r2
傅里叶光学
第六章 光学元件的变换特性
第六章 光学元件的变换特性 序 一 二 三 四 五 六 棱镜与柱面镜的变换特性 透镜的变换特性 相因子与变换 透镜的傅里叶变换特性 高斯光束经透镜的变换 光学计算机
2/88
序 光学元件
透明与不透明 成像与不成像 几何光学与衍射光学元件
问题: 问题: 关系? 透镜和计算机之间有什么关系?
∆0
∆0
∆ ( x, y )
D a exp[ j (ϕ 2 − ϕ 1 )]. r < 2 = D 0 . r> 2
傅里叶光学知识点总结
傅里叶光学知识点总结
傅里叶光学的发展历史可以追溯到19世纪,法国科学家傅里叶首先提出了傅里叶变换的理论,他认为任意函数可以用一组正弦和余弦函数的叠加来表示,这一理论为后来的光学研究提供了重要的理论基础。在傅里叶的理论指导下,光学研究者开始研究光波的频谱分析,揭示了光波在传播中的各种特性。
傅里叶光学的主要研究内容包括傅里叶变换、频谱分析、光的衍射、光的干涉、光的传播等。傅里叶变换是傅里叶光学中的重要方法,它将一个函数分解为一组正弦和余弦函数的叠加,可以有效地描述光波的传播和衍射现象。频谱分析则是通过傅里叶变换将光波分解成不同频率的成分,揭示了光波的复杂振动特性。光的衍射和干涉是傅里叶光学中的重要现象,它们描述了光波在传播过程中受到的各种干扰和相互作用,为光学器件的设计和优化提供了重要信息。
傅里叶光学在实际光学技术中有着广泛的应用,其中包括光学成像、光学通信、光学信息处理等领域。在光学成像中,傅里叶光学可以用于解析成像系统的分辨率和光学畸变,提高成像质量。在光学通信中,傅里叶光学可以用于信号的调制和解调,提高光信号传输的速度和精度。在光学信息处理中,傅里叶光学可以用于光学信号的滤波和去噪,提高信息处理的效率和质量。
总之,傅里叶光学是光学中的重要分支,它以傅里叶变换和频谱分析为基础,研究光波在传播过程中的各种特性和现象,并在实际的光学技术中发挥着重要的作用。随着光学技术的不断发展,傅里叶光学将继续为光学研究和应用提供重要的理论和方法。
光学第六章 - 傅里叶变换光学简介
At U 0 1 0 1 A t ei (2 fx 0 ) U 1 11 2 2 i ( f ) x i0 1 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2 1 1 i (2 fx 0 ) U 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2
变换相因子
(1)透镜(在傍轴条件下,忽略吸收)
L ( x, y ) e t
x2 y 2 ik 2f
二次来自百度文库因子
(2)棱镜(小角)
(1x +2 y ) P ( x, y) eik (n1) t
线性相因子
试运用相因子分析法 分析 余弦型环状波带片的衍射场
4、 余弦光栅的衍射场 余弦光栅的制备:
第六章第六章傅里叶变换光学简介傅里叶变换光学简介1衍射系统波前变换2相位衍射元件3波前相因子分析法4余弦光栅的衍射场5傅里叶变换6超精细结构的衍射隐失波7阿贝成像原理与空间滤波8光学信息处理列举9泽尼克的相衬法惠更斯菲涅耳原理光波衍射菲涅耳衍射夫琅禾费衍射衍射应用光栅光谱仪晶体衍射图分析光谱仪空间滤波和信息处理全息术原理傅里叶变换光学傅里叶变换光学一波前变换和相因子分析一波前变换和相因子分析入射场波的传播行为衍射屏的作用coscos衍射系统波前变换衍射屏函数screenfunction的三种类型振幅模函数辐角函数常数只有函数txy则该衍射屏称为振幅型
《光学》课程教学大纲
《光学》课程教学大纲
一、课程说明
本课程总授课时数为学,周学时,学分分,开课学期第三学期。
.课程性质:专业必修课
光学是物理学专业本科生必修的基础课程。光学是物理学中最古老的一门基础学科,又是当前科学领域中最活跃的前沿阵地之一,具有强大的生命力和不可估量的发展前途。学好光学,既能为物理学专业学生进一步学习原子物理学、量子力学、相对论、电动力学、现代光学、光电子技术、激光原理及应用、光电子学、光子学等课程准备必要的前提条件,又有助于进一步探讨微观和宏观世界的联系与规律。通过本课程的教学,使学生系统地掌握基本原理和基本知识,培养分析问题、解决问题的能力,通过讲授(包括物理学的历史和前沿的讲授)帮助学生建立辩证唯物主义的观点,提高学生的科学素质。从兰州大学物理学院课程的整体设置出发,考虑到物理基地班与普通班的各自办学特点和人才培养的要求,对光学课程的教学内容进行适当的调整,适当压缩几何光学部分,删除原课程中与其他学科相重复的部分以及相对陈旧的内容,吸收利用最新科学研究成果,着重加强现代光学部分的讲授内容,并注意介绍光学研究前沿新动态,按照物理学近代发展的要求和便于学习的原则组织课程体系。通过本课程的教学,使学生系统地掌握基本原理和基本知识,培养分析问题、解决问题的能力,通过讲授(包括物理学的历史和前沿的讲授)帮助学生建立辩证唯物主义的观点,提高学生的科学素质。
.课程教学目的与要求
()了解光学发展的基本阶段,培养科学研究的素质,加深辩证唯物主义的理解。
()了解光学所研究的内容和光学前沿研究领域的概况,培养有现代意识、有远见的新一代大学生。
信息光学基础1-6傅里叶变换性质
1 [d (
2
fx
f0) d (
fx
f0 )]
FT comb(x) comb( f )
FT
1
comb(x )
comb(
f
)
03 常用的傅里叶变换对
结合“横岭侧峰”这句话所阐释的意 义,分析振幅和相位谱哪个更重要?
以单缝衍射为例,定量讨论缩放定理应用。
物空间位置的改变 在频域空间是难以察觉的!
物空间的位移带来频域空间的相移, 物空间的相移带来频域空间的位移.
F{g(x, y)e j2 (uaxvb y)} G(u ua , v vb )
干涉法——观察相移
物空间的位置平移带来频域空间的相移。
单缝衍射
双缝衍射
—工程中的应用:
“… It shows tha疏t t影he横in斜fo水rm清ati浅on,ab暗ou香t t浮he动di月spl黄ac昏em。ent magnitude and direction of the sourc—e—ca北n b宋e r·e林pr逋ese《nt山ed园in小th梅e f》orm of fringes at the output plane ….”
由位移定理:
F{g(x, y)e j2 (uaxvb y)} G(u ua , v vb )
光学_郭永康_第六章1傅里叶变换
振幅频谱
ω0 3ω0 5ω0 ω
功率 1/4
功率频谱
(1/π)2 (1/3π)2 (1/5π)2
(1/π)2 (1/3π)2 (1/5π)2
-5ω0 -3ω0 -ω0
ω0 3ω0 5ω0 ω
以一束单色平行光照射光栅,在其后的透镜焦平面上 得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功 率谱相同。
在焦面上的亮点代表直流成分,每一对亮点代表光栅 的一个空间频率。
T (x)
1 2
2
sin( 0x)
2
3
sin(
3 0 x)
2
5
sin(
5 0 x)
0 2 / d v0 0 / 2 1/ d
空间频率:单位长度内变化的次数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意:时间频率只有一维,为正;空间频率有三维, 可正可负。
T (x)
1 2
2
sin( 0x)
2
3
sin(
3 0 x)
2
5
sin(
5 0 x)
T~n
Tnein
1 2
(an
ibn )
傅里叶系数由 积分直接给出
T~n
1 d
d
2 d
T
(
x)
exp(
i2f
n
x)dx
2
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论|傅里叶光学基础
2018-02-24 17:00
今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础,傅里叶光学是现代光学的一个分支,将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。光学人们可以看看!
在电信理论中,要研究线性网络怎样收集和传输电信号,一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。在光学领域里,光学系统是一个线性系统,也可采用线性理论和傅里叶变换理论,研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于,电信理论处理的是电信号,是时间的一维函数,频率是时间频率,只涉及时间的一维函数的傅里叶变换;在光学领域,处理的是光信号,它是空间的三维函数,不同方向传播的光用空间频率来表征,需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容
60年代发明了激光器,使人们获得了新的相干光源后,傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示
一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处,它们都是收集信息和传递信息,它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。从信息论角
度,关心的是信息在系统中传递过程;同样,对一个光学系统来讲,物和像的关系,也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定,因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样,通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。当物体用非相干光照射时,在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性(正比)关系。而用来描述电学系统的脉冲响应h(t,τ)概念,即系统对一窄脉冲δ(t)(狄喇克δ函数)的响应,也可以用来描述光学系统,即用光学系统对点光源δ(x,y)的响应(点光源的像)h(x,y;ξ,η)来描述系统的性质,两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数,光学系统的脉冲函数是空间二维函数,另外两者都具有位移不变性,前者分布不随时间位移而变,后者分布不随空间位移而变(即等晕条件)。光学系统的脉冲响应又称点扩展函数(见光学传递函数)。一旦系统的点扩展函数已知,系统对任意物体f(x,y)所成的像g(ξ,η)可以从物体上每个点源产生的点扩展函数的线性叠加求得
光学第六篇傅里叶变换光学简介
ik
ik
A1e
2s e
2s
发散球面波
发散中心,即像点的位置为:((n-1)s, 0, -s)
(3)窗函数
光学元件孔径有限
窗函数(window function)
tw
1, 0,
(窗口内) (窗口外)
实际光学元件的屏函数 = 变换函数 窗函数
'
tL tw tL
'
tP tw tP
当窗口很大时,窗函数可以忽略; 当窗口较小时,窗函数 -> 衍射效应。
Replication of the structured focus by two-photon polymerization with femtosecond laser pulses
波的类型和特性 波前函数
波前相因子 “相因子分析法”: 根据波前函数的相因子来分析波场 的性质,分析波场的主要特征。
平面波和典型球面波的波前相因子
复杂波场: 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性 波前相因子
波前相因子
方向角的余角
线性相因子
系数(cosx,cosy)或 (sin1,sin2)与平面 波的传播方向一一对应。
振幅模函数
辐角函数
(1)若 (x,y) 常数,只有函数t(x,y),则该衍射屏
称为振幅型。
(2)若t(x,y) 常数,只有函数 (x,y) ,则该衍射屏
《傅里叶光学》课件
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件,如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程,通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
光学信号的数学表示
使用数学公式和函数来描述光学信号,包括时间域和频率域表示。
光学信号的测量方法
介绍测量 光学信号的常用仪器和技术,如光电探测器、光谱仪等。
光学信号的频谱分析
频谱分析的基本概念
介绍频率、频谱、带宽等基本概念,以及频谱分析在光学信号处理中的重要性 。
频谱分析的方法
介绍计算光学信号频谱的常用方法,如傅里叶变换、离散傅里叶变换等。
包括线性性、时移性、频移性、共轭 性、对称性等,这些性质在信号处理 中具有重要应用。
傅里叶变换的物理意义
频谱分析
通过傅里叶变换可以得到信号的频谱,从而分析信号的频率成分 和幅值。
时频分析
傅里叶变换将时间域和频率域联系起来,可以同时分析信号在时间 和频率两个方面的特性。
能量分布
傅里叶变换可以表示信号在不同频率下的能量分布,对于理解信号 的能量分布和传播特性具有重要意义。
《傅里叶光学》PPT课件
光学_郭永康_第六章1.傅里叶变换
~ Tn ,m
1 d xd y
d 2 d 2
dx dyT ( x, y ) exp[ 2i( nf x x mf y y )]
d 2 d 2
1 1 fx , fy dx dy
例:振幅型透射光栅的傅里叶级数展开 光栅常数: d 2b 透射率 T ( x) : --空间周期为d 的函数 --空间位置 x 有确定的函数关系
1 2
1 2
g ( x) exp (ax )
(x)
1
1
2f 2 exp( ) a a
函数
常数
( f )
函数 定义:
( x) 0
x0 x0
( x) dx 1
单缝函数在缝宽趋于零时的极限
函数---点光源
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏 周期性 T ( x d ) T ( x)
正弦光栅 黑白光栅 其他屏函数
D D 尺寸D 有限 x , or N 1 2 d
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数 (1) 正弦余弦式 T ( x) T0 an cos 2f n x bn sin 2f n x 的 一 傅维 n 0 n 0 里周 f1 1 / d 基频 叶期 级函 f n nf1 n / d n次波频率 数数
物理光学:第六章.ppt
x2 y2 2f
6-2.3 复杂复振幅分布的分解:
单色光波通过衍射屏引起的复杂的复振幅分布,可以利用傅里叶
积分进行分解,不过是二维的傅里叶积分及其变换。假设在x,y平
面上的复杂的复振幅分布为E(x,y),根据傅里叶积分定理,E(x,y)可
以分解为 exp i2 ux vy 的基元函数的线性组合:
第六章 傅立叶光学
用傅立叶分析的方法重新研究光的 传播、叠加和成像规律
6-1 平面波的复振幅和空间频率
空间周期:dx=/cos, dy=/cos 空间频率:u=1/dx=cos/, v=1/dy=cos/
x
x
k
z
dx y
x=/2-, y=/2- u=sin x /, v=siny/
§ 6.7.2 阿贝-波特实验:
通过实验来看一下改变物频谱对于光信息的影响。 阿贝-波特实验装置如下:用相干光源照明一张细丝网 格,在成像透镜的后焦面出现周期性网格的傅里叶频 谱,最后将这些频谱综合而在像面上复现网格的像。 如果在频谱面上放上各种拦截物,如狭缝、圆孔或圆 环等,就能以各种方式直接改变频谱,从而使像发生 相应的变化。 空间滤波器:能改变频谱, 使像发生变化的光学器件。
2f 薄透镜的透射系数:
t
(x,
y)
E x, y
E 0
第6章傅里叶光学基础(1)
3
孔径的一半 嵌有π 相位 板的复振幅
透过率
狭缝或矩孔 的透过率
光瞳为矩形 的非相干成 像系统的光 学传递函数
狭缝或矩孔 的夫琅禾费 衍射图样
激光器发出 的高斯光束
圆孔的透过 率
6.1.2 傅里叶级数的定义
一个周期性函数 g(x) ,周期为T ,它满足狄里赫利条件(函数在一个周期
内只有有限个极值点和第一类不连续点),则 g(x) 可以展开为三角傅里叶级数
目录
第 6 章 傅里叶光学基础 §6.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念………………………………………………….2 §6.2 光波的傅里叶分析……………………………………………………………………………………….8 §6.3 平面波角谱理论……………………………………………………………….……………………….14 §6.4 透镜的傅里叶变换……………………………………………………………………………………19 §6.5 阿贝成像原理及阿贝—波尔特实验…………………………………………………………28 §6.6 光全息术…………………………………………………………………………………….………………34
6.1.3 频谱的概念
上节的分析表明,一个周期变化的物理量既可以在空间(或时间)域 x 中用 g(x) 来描述,也可以在空间(或时间)频率域 µ 中用 cn 来描述,两者是等效的。
傅里叶光学全
1 傅里叶变换
()
()()[]
)}y ,x (f {F dxdy e
y ,x f f ,f F y f x f i 2y x y x ==⎰
⎰∞
∞
-+-π式中
fx 和fy 称为空间频率,
()
y x f f F ,称为F(x,y)的傅里叶谱或空间频谱。
()
y x f f F ,和F(x,y)分别称为函数f (x,y )的振幅谱和相位谱,而
)
fy fx (,F 称为f (x ,y )的功率谱。
2 逆傅里叶变换
)}
,({),(),(1)
(2[fy fx F F fxfy e
fy fx F y x f y f x f i y x -∞
∞
-+==
⎰π
3 函数f(x,y)存在傅里叶变换的充分条件是:
①f(x,y )必须在xy 平面上的每一个有限区域内局部连续,即仅存在有限个不连续结点
②f(x,y)在xy 平面域内绝对可积 ③f(x,y)必须没有无穷大间短点
4 物函数f (x ,y )可看做是无数振幅不同,方向不同的平面线性叠加的结果
5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样
6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔,狭缝的透射率
7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数
8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束,又是用于光学信息处理的“切趾术”
9 δ函数表示某种极限状态。可用来描述高度集中的物理量。如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等,所以δ函数又称为脉冲函数。δ函数只有通过积分才有定值
10 在光学上,单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵之亮度可 用一个一维梳状函数表示:∑∞
《傅立叶变换光学》课件
傅立叶光学通信技术:利用傅立叶变换进行光学通信,提高通信速度和 安全性
傅立叶光学计算技术:利用傅立叶变换进行光学计算,提高计算速度和 准确性
傅立叶光学成像技术在生物医学领域的应用:用于细胞、组织、器官等 生物医学成像,提高成像质量和诊断准确性
添加标题
傅立叶变换在成像系 统中的应用:将成像 系统的光学特性转化 为傅立叶变换的频率 特性,实现对成像系 统的精确分析和设计。
添加标题
傅立叶变换在光学成 像中的优势:傅立叶 变换可以将复杂的光 学系统转化为简单的 频率特性,便于分析
和设计。
添加标题
傅立叶变换在光学成 像中的挑战:傅立叶 变换在光学成像中存 在一些挑战,如傅立 叶变换的频率特性与 实际光学系统的特性 存在差异,需要进一
傅立叶变换光学PPT 课件大纲
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人:PPT
目录 /目录
01
点击此处添加 目录标题
04
傅立叶变换在 光学中的应用
02
傅立叶变换光 学概述
05
傅立叶变换在 信号处理中的 应用
03
傅立叶变换的 基本原理
06
傅立叶变换在 通信系统中的 应用
03 傅立叶变换的基本原理
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换是一种将光学信号从时域转换到频域的数学工具。它通过将光学信号分解为不同的频率成分,可以帮助我们更好地理解和分析光学现象。
傅里叶光学变换基于傅里叶变换的原理,在光学领域广泛应用于光波的传播、衍射和成像等问题。通过傅里叶光学变换,我们可以把一个光学信号表示为一系列不同频率的正弦波的叠加,这些正弦波的振幅和相位信息可以提供有关原始信号的详细特征。
傅里叶光学变换的数学公式如下:
F(ν) = ∫f(t)e^(-2πiνt)dt
其中,F(ν)表示频率为ν的光学信号的傅里叶变换结果,f(t)表示原始光学信号,e为自然对数的底。
傅里叶光学变换的一个重要应用是光学成像。通过将光场的复振幅进行傅里叶变换,可以获得物体的光学频谱信息,从而实现对物体的高分辨率成像。
此外,傅里叶光学变换还可以应用于光衍射、光波前传播和信号处理等方面。通过分析不同频率成分的振幅和相位信息,我们可以了解光场在不同空间位置和时间点的变化规律,从而对光学现象进行更深入的研究。
总之,傅里叶光学变换是光学领域中一种重要的数学工具,它能够帮助我们从频域的角度来理解和分析光学信号的特性和行为,为光学研究和应用提供了有力的支持。
傅立叶变换全息图
傅里叶变换全息图
姓名:张炜丽 学号:201121140052
一、 实验目的
1. 认识傅里叶变换全息图是由物的频谱的光与参考光干涉而形成的全息图;
2. 掌握傅里叶变换全息图的制作和再现;
3. 为信息存储及特征识别打下基础;
4. 观察傅里叶变换全息图的再现,进一步巩固对透镜傅里叶变换性质的认识。
二、 实验原理
全息图,就是利用相干光源照明物体,同时加入参考光,利用光的干涉原理将物光波的位相信息转换为强度和物光波振幅信息一起记录在底片上,它是参考光波与物光波干涉图样的记录。
傅里叶变换全息图记录的是物体的傅里叶频谱分布,利用物体的频谱分布与参考光相干涉,用干涉条纹记录。实验中先用透镜对物分布做傅里叶变换,然后把全息干板放到频谱面上,记录参考光和频谱的干涉条纹。
傅立叶变换全息图的记录:
物分布00(,)g x y 放在前焦面上,通过透镜后在后焦面上得到其频谱函数(,)(,)x y x y G f f G f f
λλ=,其中,x y 是L 后焦面上的坐标。照到放在后焦面上的全息底板上的光振动是物频谱和参考光两部分,其中: 物频谱光为:()000000(,),exp 2x y x y G g x y j x y dx dy f f f f πλλλλ∞⎡⎤⎛⎫=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦
⎰⎰ 参考光为:()0,exp 2x R x y R j b f πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 于是可得干板上的光强分布为()()2
,,,x y I x y G R x y f f λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 如果对底片的处理是线性的,则底片的透过率可以表示为:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
T ( x)
{0
1
md x (2m 1)d / 2, m 0,1,2
其他
展开为傅里叶级数
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5 v0 0 / 2 1 / d 0 2 / d
空间频率:单位长度内变化的次数。
注意:时间频率只有一维,为正;空间频率有三维, 可正可负。
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5
表示一个周期为d 的黑白光栅可看成由频率 0 1/ d 及3 0 , 5 0 许多正弦光栅(强度按正弦分布)组成。
ω0
功率频谱
-5ω0 -3ω0 -ω0
3ω0 5ω0
ω
以一束单色平行光照射光栅,在其后的透镜焦平面上 得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功 率谱相同。 在焦面上的亮点代表直流成分,每一对亮点代表光栅 的一个空间频率。
x v f
非周期函数: g ( x )
任意屏函数的傅里叶展开
满足狄利克雷条件并在无穷区间 (, ) 绝对可积 一系列基元函数的线性积分 形式 G(f )是g(x)的傅立叶变换
g ( x) 是G(f )的逆傅里叶变换
g ( x) F {G( f )}
1
g ( x) 为周期函数等间隔的离散的线状谱 g ( x) 为非周期函数连续频谱
总结 傅里叶变换:将函数 g ( x )分解成一系列基元函数 G ( f ) 的线性组合的方法 线性系统 能够应用叠加原理的物理系统 (许多光学系统都可视为这种系统) 一个复杂输入激励引起的输出响应 (1) 激励分解为一系列简单的基元函数的线性组合 (2) 分别计算系统对每个基元输入的响应 (3) 把所有基元响应叠加起来 --得到总响应
n,m0
~ Tn ,m
1 d xd y
d 2 d 百度文库2
dx dyT ( x, y ) exp[ 2i( nf x x mf y y )]
d 2 d 2
1 1 fx , fy dx dy
例:振幅型透射光栅的傅里叶级数展开 光栅常数: d 2b 透射率 T ( x) : --空间周期为d 的函数 --空间位置 x 有确定的函数关系
CH 6-1
傅里叶变换
Fourier transform
6.1 傅里叶变换
一、光学图像的傅里叶频谱分析
1. 空间频率
在光学信息处理中,光学系统所传递和处理的信息是 随空间变化的函数。
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布,这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
1 2
1 2
g ( x) exp (ax )
(x)
1
1
2f 2 exp( ) a a
函数
常数
( f )
函数 定义:
( x) 0
x0 x0
( x) dx 1
单缝函数在缝宽趋于零时的极限
函数---点光源
n0
1 ~ i n 傅里叶系数由 Tn Tn e (an ibn ) 2 积分直接给出 d 1 ~ Tn 2d T ( x) exp( i 2f n x)dx d 2
T n
原函数 T ( x) 中各种空间频率的成分所占比例
二 维 周 期 函 数
~ T ( x, y ) T0 Tnm exp[ 2i(nf x x mf y y )]
令 / 0 k
d sin 2 2 k 0 sin d
sin x v 2 f
振幅 1/2
1/π -5ω0 -3ω0 -ω0 ω0 3ω0 5ω0 1/3π 1/5π
振幅频谱
ω
-1/5π -1/3π
-1/π
功率 1/4
(1/π)2 (1/3π)2 (1/5π)2 (1/π)2 (1/3π)2 (1/5π)2
1 d T0 2d T ( x)dx, d 2 2 d an 2d T ( x) cos 2f n xdx, d 2 2 bn T ( x) sin 2f n xdx d
d 2 d 2
(2) 余弦相移式
T ( x) T0 cn cos( 2f n n )
a b x ,y 2 2
其它各处
x 2 y 2 a
x2 y2 1 ) 圆函数 circ ( a 0
其它各处
fx fy
2
2
g( x ) 0
高斯函数
1 cos(2f 0 x )
L 2 L x 2 x
2
( f ) ( f f0 ) ( f f0 )
2. 空间频谱(spatial frequency spectrum) 简谐振动是最简单的周期性运动,几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析:已知一周期性运动,求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。 注意:频谱取一系列分立的值。
n 0 2
cn
bn cn a n b n , n tan an
2 1
n
an
bn
屏函数为实函数 (3) 指数式
T , T T T n n n n
i ( 2f n x n ) n0
T ( x) T0 Tn e
~ i 2f n T0 Tn e
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏 周期性 T ( x d ) T ( x)
正弦光栅 黑白光栅 其他屏函数
D D 尺寸D 有限 x , or N 1 2 d
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数 (1) 正弦余弦式 T ( x) T0 an cos 2f n x bn sin 2f n x 的 一 傅维 n 0 n 0 里周 f1 1 / d 基频 叶期 级函 f n nf1 n / d n次波频率 数数
Contents
chapter 6
傅里叶变换 Fourier transformation 衍射理论中的傅里叶方法 the method of Fourier in diffraction theory 理想薄透镜的傅里叶变换作用 Fourier transform in the thin lens 阿贝成像原理 Abbe imaging principle 空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
原函数
缝函数
x rect ( ) a 0
1
频谱函数
a 2 a x 2 x
asinc ( af )
absinc (af x )sinc (bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数 1 x y rect( )rect( ) a b 0
g ( x)
i 2 fx G ( f ) e df
G( f ) F {g ( x)}
G( f )
g ( x)ei 2 fx dx
G ( f ) 为频率f 附近单位频率间隔的振幅。它表征该成分 对 g ( x) 贡献的大小——权重因子 G ( f ) -f 曲线为振幅随频率的分布 G ( f ) 称为 g ( x) 的频谱函数