图GP_n_t_k_的点传递性

边
vt v2t映到 边
u
-
k
+
φ
1
(
v2 t
)
,由Βιβλιοθήκη N( u- k+1 )
= { u- k,
u - k + 2 , v- k + 1 , v1 } 得 φ ( v2t ) = u - k + 2. 依 次 类 推 , 得
φ( vit ) = u - k + i , i = 0, 1, …, n - 1. 若 φ ( vt ) = u - k - 1 ,
[ Abstract] The graphs GP ( n, t, k) are tetravalent graphs w ith vertex2set, { ui , vi i∈Zit } and edge2set { ui ui + 1 , ui vi , vi vi + t , ui vi + k i∈Zn }. The automorphism s of these graphs are characterized, and the sufficient conditions for the graphs GP ( n, t, k) to be vertex2transitive are obtained. Moreover, the sufficient condi2 tions for the graphs GP ( n, t, k) to be Cayley graphs and Quasi2cayley graphs are respectively given.
设 Φ = ( Y, .)称为拟群 ,如果对任意的 a, b∈Y, ax = y 和 ya = b在 Y 里有唯一的解 x 和 y. 设 Φ = ( Y, .)是拟群且存在右单位元 e (即存在 e∈Y 使得 对任意的 x∈Y, 有 xe = x ) , S 是 Y 满足右结合律的 生成子集 ,不含 e且对任意的 s∈S, sx = e在 S 里有 解. 定义拟 Cayley图 QC (Φ, S )有顶点集 V (QC (Φ, S ) ) =Φ,边集 E (QC (Φ, S ) ) = { xy 对任意的 x, y ∈Φ,存在 s∈S 有 y = xs}. Cayley图一定是拟 Cayley 图 ,但拟 Cayley图不一定是 Cayley图 [9 ].
图 G的自同构是双射 θ: V ( G) →V ( G) , 它满足 保顶点相邻性条件 : xy∈E (G) Ζθ( x)θ( y) ∈E ( G) . 图 G的所有自同构在映射的合成运算下构成群 , 记 为 Aut ( G) ,这个群称为 G的自同构群. 对 G的每对 顶点 x和 y,如果存在 θ∈Aut ( G)使得 y =θ( x ) , 那 么称图 G为点传递的. 令 F为 Aut ( G)的子集 , 如果 对 V ( G)中的任意两个顶点 x和 y, 存在唯一的自同
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暨南大学学报 (自然科学版 )
第 31卷
构映射 f∈F使得 f ( x ) = y, 则称 F 是 V ( G)上的正 则子集. 若 F 构成群 , 则称 F 是 V ( G) 上的正则子 群.
设 Γ = (X, .)是非平凡有限群 , S 是 X 的非空 子集 ,不含 Γ的单位元 e且 S - 1 = S. 定义 Cayley图 Cay (Γ, S )有顶点集 V ( Cay (Γ, S ) ) =Γ,边集 E ( Cay (Γ, S ) ) = { xy x, y∈Γ, x - 1 y∈S }. Cayley图一定是 点传递图 ,但点传递图不一定是 Cayley图 [8 ].
i = 0, 1, …, n - 1.
情形 2 φ ( v0 ) = u - k. 则 φ将 边 v0 vt 映 到 边
u-
φ
k
(
vt
)
, 因为
N
(u-
k
)
= { u - k - 1 , u - k + 1 , v- k , v0 } , 所
以 φ( vt ) = u - k + 1或 u - k - 1. 若 φ ( vt ) = u - k + 1 , 则 φ将
则 φ将边
vt v2t映到边
u-
k
-
φ
1
(
v2 t
)
,
由
N
( u- k- 1 )
我们将图 GP ( n, t, k)的顶点 ui 称为外点 , vi 称 为内点 ,记外点集 U = { ui i∈Zn } , 内点集 V = { vi i∈ Zn }. 将 图 GP ( n, t, k ) 的 边 ui ui + 1 , ui vi , vi vi + t ,
ui vi + k分别称为外边 、辐 、内边和匹配边.
[收稿日期 ] 2009 - 12 - 11 [基金项目 ] 国家自然科学基金项目 (10671076) ; 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 [作者简介 ] 刘慧敏 (1986 - ) ,女 ,硕士研究生 ,研究方向 :优化与控制. 通讯作者 :樊锁海 ,教授
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
定义 1. 3 令 n, t, k为正整数 , n≥3, 1≤t < n /2 且 1≤k≤n /2,图 GP ( n, t, k)有顶点集
V ( GP ( n, t, k) ) = { ui , vi i∈Zn } , 和边集
E ( GP ( n, t, k ) ) = { ui ui + 1 , ui vi , vi vi + 1 , ui vi + k i∈Zn } 这里下标的加法运算取模 n.
由上述定义知 , 图 GP ( n, t, k) 的顶点集 V ( GP ( n, t, k) ) = V ( GP ( n, t) ) , 边集 E ( GP ( n, t, k ) ) = E ( GP ( n, t) ) ∪{ ui vi + k i∈Zn } , 不难得出图 GP ( n, t, k)是 4度正则的. 若 t = 1, k = 2, 则图 GP ( n, 1, 2 ) 是广义棱. 若 k≡ - ( t + 1 ) (mod n ) , 则图 GP ( n, t, k)是半群 Cayley图 [6 ].
得φ( vit ) = ui. i = 0, 1, …, n - 1. 若φ( vt ) = u - 1 , 则 φ
将边
vt
v2
映
t
到
边
u
-
φ
1
(
v2 t
)
,
由
N
(u- 1 )
= { u - 2 , u0 ,
v- 1 , vk - 1 }得 φ( v2t ) = u - 2. 依次类推 , 得 φ( vit ) = u - i ,
u0φ( vt ) ,因为 N ( u0 ) = { u - 1 , u1 , v0 , vk } ,所以 φ( vt ) = u1
或 u - 1. 若 φ( vt ) = u1 ,则 φ将边 vt v2t映到边 u1φ( v2t ) ,由
于 N ( u1 ) = { u0 , u2 , v1 , vk +1 }得 φ ( v2t ) = u2. 依次类推 ,
第 31卷 第 3期 2010年 6月
暨南大学学报 (自然科学版 ) J ou rna l of J inan U n ive rsity (N a tu ra l S c ience)
V o l. 31 N o. 3 J un. 2010
图 GP ( n , t , k)的点传递性
刘慧敏 , 樊锁海
Vertex tran sitiv ity of graphs G P ( n , t , k)
L IU Hui2m in, FAN Suo2hai
(College of Information Science and Technology, J inan University, Guangzhou 510632, China)
定理 1. 1[8 ] Aut ( G)存在 V ( G)上的正则子群 当且仅当 G是 Cayley图.
定理 1. 2[9 ] Aut ( G)存在 V ( G)上的正则子集 当且仅当 G是拟 Cayley图.
令 n, t为正整数 , n ≥3 且 1 ≤ t < n /2, 广义 Pe2 tersen图 GP ( n, t)有顶点集 V ( GP ( n, t) ) = { ui , vi i ∈Zn } , 边集 E ( GP ( n, t) ) = { ui ui + 1 , ui vi , vi vi + t i∈ Zn } ,下标的加法运算取模 n. 我们引入图 GP ( n, t, k ) 的定义 .
者 v- it.
现考虑 V 在 φ下的象. φ将边 u0 v0 映到边 v0φ
( v0 ) ,由于 N ( v0 ) = { u0 , v- t , vt , u - k } ,又由于 φ(V ) =
U,所以 φ( v0 ) = u0 或者 u - k.
情形 1 φ ( v0 ) = u0. 则 φ将 边 v0 vt 映 到 边
…, ui , …, un - 1 , u0 ) 映 到 内 圈 ( v0 , vt , …, vit , …, v( n - 1) t , v0 ) 或 ( v0 , v( n - 1) t , …, v( n - i) i , …, vt , v0 ) . 这时 必有 ( n, t) = 1, 且对所有的 i∈Zn , 有 φ ( ui ) = vit或