高中数学第一章导数及其应用 1.6 微积分基本定理牛顿与微积分素材新人教A版选修2-2

高中数学第一章导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理要点讲解素材新人教A版选修2-2

定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L 将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =L），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰．对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积．二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'bbaaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解．掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如例３计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式．解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+．点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和：即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ，则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。

人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理

的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式，再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教版选修2_2

bf(x)dx
a
＝
F(b)－F(a)
.
思考 (1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？
答案不唯一.
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？
答案 ①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等
初等函数与常数的和或差；
②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；
＝1－13＋83－2－13－1＝2.
解析答案
(2) 0π2 1－sin 2xdx.
解析答案
题型三定积分的简单应用
例 3 已知 f(a)＝1 (2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值. 0
解 ∵23ax3－12a2x2′＝2ax2－a2x，
x－sin
x)dx＝(sin
x＋cos
π
x)4
0
＝
2－1.
解析答案
12345
2.下列定积分的值等于1的是( C )
A.1xdx 0
B.1(x＋1)dx 0
C.11dx＝－4.
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.0π4coscxo＋s 2sxin xdx 等于( C ) A.2( 2－1)
B. 2＋1
C. 2－1
D.2－ 2
解析结合微积分基本定理，得
π40ccooss2xx－＋ssiinn2xxdx＝π40
(cos
答案
所以有bv(t)dt＝s(b)－s(a). a
由于s′(t)＝v(t)，即s(t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分 bv(t)dt 等于 a
被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a，b]上的增量 s(b)－s(a) .

高中数学第一章导数及其应用 1.6 微积分基本定理1 新人教A版选修2-2

【答案】 1
教材整理 2 定积分与曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积
为 S 下，则
(1) 当曲边梯形在
x
轴
上
方
时
，
如
图
，
则
b
f(x)dx
＝
a
___S__上_____.
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图，则bf(x)dx＝_－__S__下___. a
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则bf(x)dx＝___S_上_－__S__下_____.特别地，若 S 上＝S 下，
a
则bf(x)dx＝___0___. a
预习自测 2-1．如图，阴影部分的面积为________．
【解析】根据定积分的几何意义知
3
S 阴影＝－32π cos xdx＝－sin x2ππ
π
2
2
＝－sin
32π－sin
π2＝2.
【答案】 2
2-2．如图，定积分bf(x)dx 的值用阴影面积 S1，S2，S3 表 a
示为bf(x)dx＝_S_1_－__S_2＋__S_3__. a
【解析】根据定积分的几何意义知bf(x)dx＝S1－S2＋S3. a
类型1 利用微积分基本定理求定积分
1
1
1
1
＝x3321 ＋x221 ＋3x21 ＝235.
②sin22x＝1－2cos x，而12x－12sin x′＝12－12cos x＝sin22x，
∴0π2sin22xdx＝12x－12sin
π x2 0
＝π4－21＝π－4 2.

高中数学第一章导数及其应用1.6第1课时微积分基本定理学案新人教A版选修

高中数学第一章导数及其应用1.6第1课时微积分基本定理学案新人教A版选修1、6第一课时微积分基本定理一、课前准备1、课时目标1、了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义；2、能够运用微积分基本定理计算简单的定积分；3、能解决简单的含参数积分问题。

2、基础预探1、如果f(x)是区间[a，b]上的________，并且F′(x)＝________，那么f(x)dx＝________、这个结论叫做微积分基本定理，又叫做________、2、微积分基本定理的符号表示f(x)dx＝F(x)|＝ ________、3、常见求定积分的公式（1）；（2）（c为常数）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。

二、学习引领1、微积分基本定理需注意的问题(1)在微积分基本定理中，F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上连续可积，则F(x)称为f(x)的一个原函数、(2)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数之间的逆运算关系，为定积分的计算提供了一个简单有效的方法转化为计算其原函数在积分区间上的增量、(3)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)、(4)根据导数知识，连续函数f(x)的原函数F(x)不唯一，这是由于[F(x)＋C]′＝f(x)，所以F(x)＋C也是函数f(x)的原函数，其中C为常数、求定积分可以选取任意一个原函数，由于f(x)dx＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)，显然常数C对定积分的求解没有影响、2、计算简单定积分的步骤①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F (x)=f(x);④利用牛顿莱布尼兹公式2、F(b)－F(a)3、三、典例导析例1 变式训练解: (1)∵(x5)′＝5x4，∴5x4dx＝x5|＝105－25＝99968、(2)(1＋x＋x2)dx＝dx＋xdx＋x2dx＝x|＋x2|＋x3|＝(3－1)＋(32－12)＋(33－13)＝、(3)、(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx＝＝32－16－＋8＝、(4)|sinx|dx＝（-sinx）dx=cosx、=1、例2 变式训练解析：由于，例3 变式训练解析：(1)0≤a≤1时，f(a)＝|x2－a2|dx＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx＝(a2x－x3)＋(－a2x)＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3＝a3－a2＋。

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理说课稿

1.6微积分基本定理一、教材分析1、地位与作用“微积分基本定理”是高中人教版选修2-2第一章第6节的内容。

这节课的主要内容是：微积分基本定理的形成，以及用它求定积分。

在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念，并研究了其性质。

该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。

本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。

2、教学目标根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；（2）通过对本课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力。

过程与方法：（1）通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究，巩固数形结合的方法，；（2）通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零，以直代曲的思想。

情感态度与价值观：（1）感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲；（2）通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性；（3）帮助建立微观与宏观的联系桥梁。

3、教学重点根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出出微积分基本定理，以及对微积分基本定理的应用。

二、学情分析1、已有的知识与能力学生是在高二时学习该定理，因此学生具备了以下知识和能力储备（1）学生在学习本节内容之前，变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉；（2）已经熟练掌握高中导数的知识，并能应用这些知识解决问题；（3）理解了定积分的定义及其几何意义，并能按定积分的定义求解定积分；（4）相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。

2、学生可能遇到的困难（1）学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想，所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困难的，因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理；（2）在用微积分基本定理计算定积分时，部分学生对该定理的条件的理解和找满足()()x f x F ='的()x F 还是存在困难，但在高中对此要求不高，故提醒学生不必深究。

2019秋高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修2_2

[变式训练]
x3，x∈[0，1]，求函数 f(x)＝ x，x∈[1，2]，在区间
2x，x∈[2，3]
[0，3]上的积分．
解：由积分性质，得：
∫30f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx＋∫32f(x)dx
＝∫10x3dx＋∫21 xdx＋∫322xdx
1
＝∫10x3dx＋∫21x2dx＋∫322xdx
＝13×(23－13)＋2×(2－1)－12－1
＝269.
(2)∫94 x(1＋ x)dx ＝∫94( x＋x)dx
＝
2 3x
x＋12x294
＝23×9×3＋12×92－23×4×2＋12×42 ＝2761.
类型 2 求分段函数的定积分
[典例❷]
＝x44|10＋23x32|21＋ln2x2|32 ＝14＋43 2－23＋ln82－ln42 ＝－152＋43 2＋ln42.
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
[典例 3] 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域是________．
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x，即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]，所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0，所以函数 f(x)的值域是[－2，0]．答案：[－2，0]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数的导数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定积分的值．( ) （4）若=F′（x）= f（x）,则 F（x）唯一( )

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新

2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．

a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .

a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a

0
0
1
2
＝1x3dx＋2 xdx＋32xdx

0
1
2
＝14x410＋23x
3 2
21＋ln2x2 32
＝14＋43 2－23＋ln82－ln42 ＝－152＋43 2＋ln42.
探究二计算分段函数的定积分
[典例 2]
x3， x∈[0，1， (1)求函数 f(x)＝ x， x∈[1，2，
2x， x∈[2，3]
在区间[0,3]上的定积分；
(2)求3 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx. -3
[解析] (1)3f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＋3f(x)dx

a
2．当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则bf(x)dx＝－S 下．

a
3．当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则bf(x)dx＝_S__上_－__S__下__， a
若 S 上＝S 下，则bf(x)dx＝0.

a
[双基自测]
(3)∵(ln x)′＝1x，
∴ e 1
1xdx＝ln
x e1
＝ln
e－ln
1＝1.
(4)∵2xx3－2 1＝2x－x12且x2＋1x′＝2x－x12，

高中数学第一章导数及其应用 1.6 微积分基本定理教

1.6微积分基本定理教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式教学重点：牛顿-莱布尼兹公教学过程一、复习：定积分的概念及计算二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t ),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -，且()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aaf t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xaf t dt ⎰令x b =，有()()()baf x dx F b F a =-⎰为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

高中数学第一章导数及其应用 1.6 微积分基本定理课

2π
∴ π
(cos
x＋sin
x)dx＝(sin
x－Байду номын сангаасos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
＝(2x3＋6x＋6x2)|
3 1
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)
＝112.
求复杂函数的定积分
x2，－1≤x≤1 (1)先作出函数 f(x)＝x，1≤x≤3
3，3≤x≤5
的图象，
5
再求－1f(x)dx；
3
(2)0|x2－4|dx. [思路点拨] 所求两个定积分的原函数都无法一眼看出，
1
01dx＝x|
10＝1；1012dx＝12x|
10＝12.
答案： C
2． (1＋cos x)dx 等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2. 答案： D
3．若a12x＋1xdx＝3＋ln 2，则a的值是________．
可以先把被积函数化简后，应用定积分的性质转化为易求原函
数的定积分再求解．
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理堂堂清(无答案)理新人教A版选修2-2(2021年整

湖南省茶陵县高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理堂堂清（无答案）理新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省茶陵县高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理堂堂清（无答案）理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.6 微积分基本定理(堂堂清）1．下列积分正确的是( ） A.122713=⎰x dx B 。

e e dx x e x -=⎰2121 C.()316122ln 0=+⎰dx e e x x D 。

222=⎰-ππxdx D 。

2.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-dx x x 22421( ) A.错误! B 。

错误! C.错误! D 。

错误!3。

θθπd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-3022sin 21 的值为（） A ．－错误! B ．－错误! C 。

错误!D 。

错误!4。

函数f (x ）满足f （0)＝0，其导函数f ′(x )的图像如图所示,则f（x ）的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.错误! B 。

错误! C.2 D.错误!4。

.________2cos 2sin 220=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx x x π5。

设a >0，若曲线y ＝错误!与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．6.计算下列定积分:（1）⎰462cos ππxdx （2）dx x x 2321⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+(3） ()⎰+20sin 3πdx x x （4）⎰ba x dx e7。

高中数学第1章导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 a选修22a高二选修22数学课件

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内容(nèiróng)总结
第一章导数及其应用。解剖难点探究(tànjiū)提高。课堂基础达标
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a
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2．微积分基本定理揭示了_导__数__(_dǎ_o_sh_ù)与_定__积__分_(_jī_fēn之) 间的内在联系，同时它也提供了计算__定__积__分__(j_īfē_n_) __的一种有效方法．
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F(a)．由此可以看出，积分运算与求导运算互为逆运算．注意：只有 f(x)在[a，b]上连续，定积分bf(x)dx 才存在.
a
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课堂(kètáng)互动探究
归纳(guīnà)透析触类旁通
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题型一利用微积分定理求定积分计算下列函数的定积分．
答案：76
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(1)计算：
x＋1，x≤1，
(2)已知 f(x)＝12x2，x＞1，
计算2f(x)dx 的值． 0
【思路探索】对于(1)，由于 sin22x的原函数不易直接找出，
可先变形再计算；对于(2)，由于 f(x)为分段函数，可按分段标准
将积分化为两段积分的和．
则e
f(x)dx
的值为(
)
0
A．43
B．2
C．1
D．23
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2021学年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件1新人教A版选修2_2

dx＋3 3 2
4x dx
＝－2x2－32 -3
＋6x32－32
＋2x233 2
＝－2×49－9＋6×32＋32＋2×9－94＝45.
探究点利用定积分求参数
探究如何求使1(x2＋cx＋c)2dx 最小的 c 值？ 0
【答案】令 y＝1(x2＋cx＋c)2dx， 0
则 y＝1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx 0
＝15x5＋2cx4＋c2＋3 2cx3＋c2x2＋c2x10
＝15＋76c＋37c2＝73c＋142－73×116＋15. ∵73>0，∴当 c＝－41时，01(x2＋cx＋c)2dx 最小．
例 3 已知 f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且1f(x)dx＝1， 0
求 f(x)的解析式．解：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以 k＋b＝4.① 又01f(x)dx＝01(kx＋b)dx＝2kx2＋bx10 ＝2k＋b，所以2k＋b＝1.②
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则bf(x)dx＝___S_上_－__S__下_____.特别地，若 S 上＝S 下，
a
则bf(x)dx＝___0___. a
预习自测 2-1．如图，阴影部分的面积为________．
【解析】根据定积分的几何意义知
3
S 阴影＝－32π cos xdx＝－sin x2ππ
由①②得 k＝6，b＝－2，所以 f(x)＝6x－2.
名师指津 1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提． 2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念．