2.第二节分式方程及其应用

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分式方程及其应用

学科教师辅导讲义
学员日校：年级课时数：2
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：王老师
课题
分式方程及其应用
授课时间：
备课时间：
教学目标
1、学会解分式方程的几种方法
2、学会解与分式方程有关的应用题
重点、难点
学会解与分式方程有关的应用题
考点及考试要求
教学内容
知识要点：1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
例4．若关于的方程有增根，求的值。
例5.解方程：
例46解方程：
课堂练习
1.若方程无解，则的值为____________
2．若无解，则m的值为____________
3．关于x的方程会产生增根，则m为____________
4．若关于x的方程产生增根，则m＝________________；
6．取何值时，方程会产生增根
中考题解：
例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）
A.B.
C.D.
例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款
8．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．
A.B.C.D.
2.如果关于x的方程

分式方程的解法和应用

分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。

解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。

本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。

一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。

例如，2/x + 3 = 1/2。

解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。

在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。

2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。

3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。

4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。

二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。

例如，1/x^2 + 1/x = 2。

解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。

在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。

2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。

3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。

4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。

5. 检查解的合法性。

三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。

例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。

2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。

例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。

分式方程的应用

分式方程的应用
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的概述 • 分式方程在数学中的应用 • 分式方程在实际生活中的应用 • 分式方程的局限性和发展 • 总结
01
分式方程的概述
分式方程的定义
分式方程是一种数学方程，其中包含分式，即分子和分母都是多项式的形式。
分式方程在实数范围内有解，并且可以应用某些算法来求解。
长度计算
在一些长度计算中，分式方程可以用于表示两个点之间的距离，进而解决问题。
03
分式方程在实际生活中的应用
分式方程在物理中的应用
速度公式
在物理学中，我们常常需要求解物体的速度或加速度等物理量。这些量通常可以通过分式方程来表示，例如速度公式v=s/t，其中v是速度，s是位移，t 是时间。
引力公式
05
总结
分式方程的重要性和应用价值
分式方程是数学中一种重要的工具，对于解决实际问题具有广泛的应用价值。
分式方程能够描述和解决许多实际问题，例如速度、时间、距离等之间的关系。
分式方程可以用于解决比例问题、分式计算、工程问题、经济问题等众多领域的问题。
分式方程在科学、工程和技术等领域中有着广泛的应用，是解决实际问题的重要手段之一。
THANKS
谢谢您的观看
VS
酸碱滴定
酸碱滴定中，我们需要计算滴定终点时加入的滴定剂体积。这可以通过一个分式方程来表示，例如对于滴定反应终点公式：终点时酸碱体积比=Kb*C/Ka，其中Kb和 Ka分别是弱酸与弱碱的电离常数。
分式方程在生物学中的应用
种群增长模型
在生物学中，我们常常需要研究种群的增长情况。种群增长可以用一个分式方程来表示，例如指数增长模型N(t)=N0ert，其中N(t)是时间t时的种群数量，N0是初始种群数量，r是种群的自然增长率。

分式方程及其应用课件

分式方程在科研中的应用
01
生物学
分式方程可以描述基因表达、细胞增殖等生物学过程，帮助生物学家
研究生命的本质。
02
物理学
分式方程在物理学研究中广泛应用于量子力学、相对论和复杂系统等
领域，帮助科学家探索物理世界的奥秘。
03
化学
分式方程可以描述化学反应的动态过程，帮助化学家研究新的化学反
应路径和优化化学反应条件。
助工程师设计高效的机械设备。
分式方程在日常生活中的应用
物理学
分式方程可以描述物体的运动规律，例如加速度、速度和位移之间的关系，帮助我们解决日常生活中的力学问题。
医学
分式方程可以描述生理参数之间的关系，例如药物在人体内的吸收、分布和代谢情况，帮助医生制定更有效的治疗方案。
经济学
分式方程可以描述经济变量之间的关系，例如消费、投资和经济增长之间的关系，帮助政策制定者制定有效的经济政策。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母中含未知数的形式的问题，但有些问题不适合使用分式方程
。
解法有限
分式方程的解法有限，没有通用的解法，需要根据具体问题
选择合适的解法。
精度有限
分式方程的精度有限，无法得到高精度的解。
分式方程的应用前景
分式方程及其应用课件
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学模型

分式方程及其应用

分式方程是一种常见的数学方程，用于描述两个有关的量之间的关系。

常见的分式方程的形式如下：
ax+b = cy+d
其中，a、b、c、d是常数，x、y是未知数。

分式方程的应用
解决实际问题：例如，你想知道跑步消耗卡路里的规律，可以通过分式方程来描述跑步距离与卡路里之间的关系。

计算不同条件下的结果：例如，你想知道不同温度下水的沸点，可以通过分式方程来描述温度与沸点之间的关系，并计算不同温度下的沸点。

绘制函数图像：分式方程可以用来描述函数的规律，通过绘制函数图像，可以更直观地理解函数的特征。

分式方程是一种重要的数学工具，能够帮助我们解决实际问题、计算结果、绘制图像等。

分式方程的求解
在解决分式方程时，需要注意以下几点：
先将分式方程化简，去掉分母，使得方程的形式更简单。

解决未知数的值，即求解未知数的数值解。

检查解的正确性，即将求得的解代回原方程，看是否满足原方程。

下面是一个具体的例子：
例如，求解方程：2x+3 = x+1。

解：
首先，将方程化简，得：x=1。

然后，代回原方程，得：2*1+3=1+1。

因此，x=1是方程的一个数值解。

注意，有些分式方程可能有多个解，因此需要计算多个解，并检查解的正确性。

希望以上内容能够帮助你更好地理解分式方程的求解方法。

分式方程及其应用

方程的解为非负数，
又 x 1 0 x 1 即m 2 1 m 3
综上可得：m 2且m 3.
小结：
1、加深解分式方程的思路和分式方程的一些特殊解法； 2、分清“有增根”和“无解”的区别； 3、运用分式方程的解的正负求参数的取值范围.
2 2 2 2 8 x 9 8 x 6 8 x 10 8 x 7
即：
于是
1 1 ， (8 x 9)(8 x 6) (8 x 10)(8 x 7)
所以(8 x 9)(8 x 6) (8 x 10)(8 x 7) 解得：x 1 经检验：x 1是原方程的根。
3.分式方程无解
例6：m为何值时，关于x的方程
2
2 mx 3 无解？ x2 x 4 x2
解：方程两边都乘以（ x 4 ）得整理，得 (m 1) x 10
2x 4 mx 3x 6
当m 1时，方程(m 1) x 10无解，此时原分式方程无解;
经检验：原方程的根是 x 2 。
9
一.分式方程的解法：
12 x 10 32 x 34 24 x 23 16 x 19 例4. 解方程： 4 x 3 8 x 9 8 x 7 4 x 5
解：由原方程得： 3
1 2 2 1 4 3 4 4x 3 8x 9 8x 7 4x 5
约分，得
6 y2 y2 0 y 2 y 2 ( y 2)( y 2)
方程两边都乘以 ( y 2)( y 2) ，得
6( y 2) ( y 2) 2 y 2 0
整理，得2 y 16 y 8 经检验：y 8是原方程的根。

分式方程及其应用讲义

分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。

2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容：营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。

分式方程的实际应用

分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有很多应用。

下面我将举例说明几种常见的实际应用。

1.比例问题比例问题是分式方程的一个典型应用。

例如，在购物时，我们常常会遇到“打折”或“降价”的情况。

假设一家商店原价出售一件商品，现在将商品以折扣价出售，打折比例为x。

那么，我们可以得到以下分式方程：折扣价=原价*(1-x)通过解这个分式方程，我们可以计算出打折后的价格。

这个方程可以帮助我们在购物时做出更明智的决策。

2.涉及速度的问题分式方程也可用于涉及速度的问题。

例如，在旅行中，当我们知道辆车每小时行驶v英里时，我们可以计算出x小时后车辆所行驶的总英里数，这可以表示为以下分式方程：总英里数=v*x这个方程可以帮助我们计算出车辆在任意时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅行路线或者估算到达目的地所需时间。

3.混合液体问题分式方程还可用于混合液体问题。

例如，假设我们有两种浓度不同的溶液，其中一种浓度为x，另一种浓度为y，我们想要得到一定浓度的混合液体，我们可以通过以下分式方程求解：所需浓度*所需体积=x*体积1+y*体积2通过解这个方程，我们可以计算出需要的溶液体积，以及每种溶液的体积比例，从而准确地配制出我们所需要的混合液体。

4.长方形的长和宽问题分式方程还可以用于解决长方形的长和宽问题。

例如，假设我们知道一个长方形的面积为A，我们希望找到一个长方形，使得其一边长为x，另一边长为y，那么我们可以用以下分式方程来表示这个问题：A=x*y通过解这个方程，我们可以计算出长方形的长和宽，从而绘制出所需要的长方形。

综上所述，分式方程在实际生活中有许多应用。

从求解比例问题、涉及速度的问题到混合液体问题和长方形的长和宽问题，分式方程都能够提供一种有效的工具来解决这些实际问题。

了解分式方程的实际应用可以帮助我们更好地理解和应用这个数学概念，并将其运用到日常生活中的各种情境中。

分式方程的应用知识点

分式方程的应用知识点分式方程是高中数学中的一个重要章节，在实际生活中也有广泛的应用。

本文将介绍分式方程的应用知识点，包括分式方程的定义、性质和解法，以及分式方程在实际生活中的应用。

一、分式方程的定义、性质和解法1.定义分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。

2.性质（1）分式方程与代数方程一样，可以有实数根、无理根或虚根。

（2）分式方程的解不一定是唯一的。

（3）分式方程的解可以是有限个或无限个。

3.解法分式方程的解法通常分为下面两种：（1）通分求解将方程中的所有分式通分，转化为分母相同的形式，然后将分子相等的项相加或相减得到一个代数方程，再进行解方程的基本步骤即可。

（2）分子分母分离求解将方程中的每个分式都拆分成分子和分母，然后对分别对分子和分母进行求解。

通常需要使用分式的基本性质和运算法则，如分式的乘法法则、除法法则、等式法则等。

二、分式方程在实际生活中的应用1.工作效率问题某个工人工作效率为每小时完成1/20个单位，如果他需要完成100个单位工作，需要多少小时？答案可以用分式方程求解：设他需要的小时数为x，根据题意可列出方程：100 = x/20通过解这个分式方程可以得到：x = 200，答案是200小时。

2.比例问题在某个工程中，A、B、C三台机器协作共同工作，其中A 比B快1/3，B比C快1/5，如果3台机器共同工作8小时能够完成工作量的1/2，请问A、B、C三台机器单独工作需要多少时间？答案可以用分式方程求解：设A、B、C三台机器单独工作时间分别为x、y、z小时，根据题意可列出方程：1/x + 1/y + 1/z = 2/8y = 4/3x, z = 5/4y将其代入方程中可以得到：1/x + 3/4x + 4/15x = 1/4解得：x = 7.5，y = 10，z = 12。

答案是A单独工作需要7.5小时，B单独工作需要10小时，C单独工作需要12小时。

3.投资问题甲、乙两个人一起投资某个项目，甲投入本金的1/3，乙投入本金的2/5，项目最后共赚取了利润1000元，按照本金比例分配利润，请问甲、乙各得多少？答案可以用分式方程求解：设甲、乙投入本金分别为x、y元，根据题意可列出方程：1/3x + 2/5y = x/(x+y) × 1000将其化简得：2y = 5x将其代入方程中可以得到：x = 1500，y = 3000。

初二数学12-分式-分式方程的实际应用

初二数学12-分式-分式方程的实际应用分式方程是数学中一种重要的形式，它在实际生活中有着广泛的应用。

在我们日常生活中，分式方程涉及到各种各样的问题，如比例关系、合作关系、消费模型、保险问题等。

在本文中，我们将介绍关于分式方程实际应用的一些例子，以及如何解决这些问题。

首先，让我们考虑一个例子：比例关系。

假设商品在A市的价格是1元，在B市的价格是2元。

那么我们可以使用分式来表示这个比例关系，即A市价格/B市价格=1/2、此时，我们可以得到一个分式方程：1/2=A市价格/B市价格。

这个方程可以通过交叉乘积法解得A市价格=1/2*B市价格。

通过这个分式方程，我们可以确定A市商品价格与B市商品价格的比例关系。

其次，我们来考虑一个关于合作关系的问题。

假设甲乙两人合作一件工作，他们分别需要花费3小时和4小时完成这件工作。

那么我们可以使用分式来表示他们完成工作的速度，即每小时完成的工作量。

甲每小时完成工作量=1/3，乙每小时完成工作量=1/4、通过将这两个分式相加，我们得到总的完成工作量=1/3+1/4=7/12、所以，他们两人共同完成这件工作所需的时间可以表示为1/总的完成工作量。

通过这个分式方程，我们可以确定他们两人合作完成这件工作所需的时间。

然后，考虑一个关于消费模型的问题。

假设一笔钱被分为两部分，第一部分是x，第二部分是y。

如果x的10%被用于购买书籍，那么购买书籍的金额可以表示为0.1x。

另外，如果y的20%被用于购买电视，那么购买电视的金额可以表示为0.2y。

这两个金额的和等于总金额，即0.1x+0.2y=总金额。

通过这个分式方程，我们可以确定购买书籍和购买电视的金额与总金额之间的关系。

最后，我们来考虑一个关于保险问题的例子。

假设人购买了一份保险，保费为P元。

如果他出险的概率为p%，那么他在出险情况下的赔偿额可以表示为p%*P。

假设保险公司在出险情况下赔偿的比例为b%，那么保险公司赔偿的金额可以表示为b%*p%*P。

第2讲分式方程及其应用

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分式方程的应用

分式方程的应用分式方程是数学中重要的概念，它在各个领域中都发挥着重要的作用。

本文将探讨分式方程的应用，并重点介绍分式方程在代数和实际问题中的具体应用。

一、分式方程的定义与性质分式方程是具有一个或多个未知数的等式，其中包含有分式表达式。

例如，$\frac{x+1}{2} = 3$ 就是一个分式方程。

分式方程的解是使得方程成立的未知数的值。

分式方程的性质包括唯一性、可交换性、可消去性等。

二、代数中的应用1. 求解方程分式方程在求解方程问题中起着重要的作用。

举个例子，假设需要求解下列方程：$\frac{x}{5} + \frac{2}{x} = 3$。

我们可以通过将分式转化为通分式，再将方程化简为二次方程来求解。

2. 求解不等式分式方程在求解不等式问题中也有广泛的应用。

例如，可以通过分式方程求解$\frac{x}{3} > \frac{x-1}{2}$这样的不等式。

我们可以通过整理不等式，转化为分式方程，再求解不等式的解集。

三、实际问题中的应用分式方程在实际问题中的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：1. 比例问题在比例问题中，常常需要利用分式方程来求解。

例如，假设一辆汽车以每小时50公里的速度行驶，那么在$t$小时后，行驶的距离可以表示为$d=50t$。

如果要求在2小时内行驶的距离，则可以通过解分式方程$\frac{d}{t} = 50$来求解。

2. 液体混合问题在液体混合问题中，也需要应用分式方程。

例如，假设有两种浓度为$c_1$和$c_2$的液体A和B，分别含有$v_1$和$v_2$的体积。

将这两种液体混合后，得到一种含有$c$浓度的液体。

我们可以通过分式方程$\frac{c_1v_1 + c_2v_2}{v_1+v_2} = c$来求解$c$的值。

3. 工作效率问题在工作效率问题中，也需要运用分式方程来求解。

例如，假设工人A和工人B合作完成一项工作需要4小时，而工人A独立完成同样的工作需要6小时。

分式方程的解法与应用

分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。

解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。

本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。

一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。

然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。

2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。

然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。

3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。

接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。

二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。

比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。

求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。

通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。

2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。

已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。

求填满一半的水池所需的时间。

通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。

3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。

例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。

已知一年后获得的总收益为800元。

求该人分别投资了多少钱。

通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。

4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。

例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。

求两种溶液的混合比例。

通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。

分式方程及其应用

分式方程及其应用分式方程是带分母的方程，如x/(x+1)=2。

它是数字、字母及参加运算的符号所组成的算式之间的等式。

在分式方程中，有未知量的分子和分母一般都是多项式，其中分母不能为0。

下面我们来看一些关于分式方程的基本定义和应用。

一、分式方程的定义在一个方程中，如果方程中至少有一个未知数的系数、常数、系数常数的乘积以及未知数的幂等组成分数形式，那这个方程就是分式方程。

分式方程是一种比较特殊的方程，通常都含有分数，并且要求求解该方程中的未知数不能使分母为零。

二、分式方程的解法解分式方程的方法一般有以下几种：1. 通分消去法：将方程的分式部分转化为分母相同的形式，从而进行运算。

2. 消去法：把方程中的分式去掉，使方程变为整式方程，然后直接求解。

3. 代数法：通过代数计算，逐步化简等式，推导出未知数的值。

三、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决过程中，我们经常会遇到各种涉及分式方程的情况。

以下是几个常见的应用示例：1. 比例问题：如两支笔的长度比是3：5，其中一支比另一支长12cm，则求这两支笔的长度。

设较短的笔的长度为x，则较长的笔的长度为5x，根据题意得到等式3/5=12/x，解此分式方程得x=20，因此较长的笔的长度为100cm。

2. 水泥拌合问题：如果两名工人A、B一起拌水泥，A每小时拌水泥的能力是B的1.5倍，第一小时两个人共拌水泥30kg，求每个人每小时拌水泥的能力。

设工人B每小时拌水泥x kg，则工人A每小时拌水泥为1.5x kg，根据题意得到等式1.5x+x=30，解此分式方程得x=10，因此工人B每小时拌水泥10kg，工人A每小时拌水泥15kg。

3. 赛跑问题：A、B两人进行百米赛跑，A比B领先10米跑完全程，若A的速度是B的1.5倍，求A和B的速度。

设B每小时的速度为x km/h，则A每小时的速度为1.5x km/h，根据题意得到等式100/(1.5x)-10/x=0，解此分式方程得x=20，A的速度为30 km/h，B的速度为20 km/h。

分式方程的应用

分式方程的应用分式方程是一个包含有分式表达式的方程，其中未知数出现在分式的分子或分母中。

分式方程的应用非常广泛，涉及到各个学科领域，如数学、物理、经济等。

本文将探讨分式方程在实际问题中的应用，并分析其解决方法。

1. 财务管理中的分式方程在财务管理中，分式方程可以帮助我们解决很多实际问题，比如利润分配、股权分配等。

以利润分配为例，假设某公司的年利润为P，按照股东所占股权比例来分配利润，其中甲股东占据总股权的1/4，乙股东占据总股权的1/3，那么甲股东和乙股东分别能够分到的利润分别是多少？设甲股东分到的利润为x，乙股东分到的利润为y，则有以下分式方程：x/P = 1/4y/P = 1/3通过求解以上分式方程，我们可以得到甲股东和乙股东分别能够分到的利润。

2. 物理学中的分式方程物理学是一个运用数学方法研究物质运动和相互作用的学科。

在物理学中，分式方程的应用非常常见，比如牛顿第二定律公式F = ma（F为物体所受的力，m为物体的质量，a为物体的加速度）。

如果我们已知一个物体的质量和所受力的大小，我们可以通过分式方程来求解物体的加速度。

设物体质量为m，所受力的大小为F，加速度为a，则有以下分式方程：F/m = a通过求解以上分式方程，我们可以得到物体的加速度。

3. 经济学中的分式方程经济学是研究人类在资源稀缺情况下如何分配资源的学科。

在经济学中，分式方程的应用也非常广泛。

以价格弹性为例，价格弹性衡量的是市场上消费者对价格变化的敏感程度。

设价格弹性为E，价格变化的百分比为ΔP，需求量变化的百分比为ΔQ，则有以下分式方程：E = ΔQ/ΔP通过求解以上分式方程，我们可以得到价格弹性的数值，从而了解市场上消费者对价格变化的反应程度。

综上所述，分式方程在实际问题中的应用非常广泛，涉及到财务管理、物理学、经济学等各个学科领域。

通过适当的转化和求解，我们可以利用分式方程解决各种实际问题。

分式方程在提高问题解决能力、培养逻辑思维和数学建模能力方面具有重要意义，希望读者能够善于运用分式方程解决实际问题，并深入理解其背后的数学原理。

分式方程及其应用

分式方程及其应用一、知识梳理1．分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

验根的方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．二、典例分析1、分式方程解法25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+=+=+-+= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭（4）；（5）；（6）2、分式方程增根问题若关于x 的分式方程226224m x x x x -+=+--有增根，求m 的值。

3、用分式方程解决问题就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km 缩短至154 km ，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．三、分式及根式运算中考题讲解1、（2013年苏州，9,3分）已知x －1x ＝3，则4－12x 2＋32x 的值为2、（2012年苏州，22,6分）解分式方程：231422x x x x +=++．3、（2011年苏州，22，6分）已知120a b -++=，求方程1abx x +=的解。

分式方程及其应用

分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程：【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题：（1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数收费不超过30人人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单：商品进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。

分式方程及其应用课件

分式方程及其应用课件xx年xx月xx日•分式方程的基本概念•分式方程的应用•分式方程的解题技巧目录•分式方程的应用题•分式方程的注意事项•分式方程与实际生活的联系•课后习题与答案01分式方程的基本概念分式方程是一种含有未知数和分母的方程，其未知数是分子，分母是常数。

定义例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3是分母。

示例分式方程的定义简单分式方程只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。

复杂分式方程包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。

分式方程的分类1分式方程的解法23将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到未知数的值。

转化法画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切线求解未知数。

图像法联系实际应用问题，建立分式方程并求解，用于解决实际问题。

应用法02分式方程的应用总结词通过已知速度和时间，求路程详细描述在匀速直线运动中，速度与时间的关系可以用以下方程表示：速度 = 路程 / 时间。

已知速度和时间，就可以求出路程。

例如，已知速度为60公里/小时，行驶了10小时，那么行驶的路程是600公里。

速度与时间的关系总结词通过已知密度和质量，求体积详细描述密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。

已知密度和质量，就可以求出体积。

例如，已知水的密度是1克/立方厘米，质量为100克的水，其体积是100立方厘米。

密度与质量的关系效率与成本的关系总结词通过已知效率和成本，求产量或收益详细描述在生产或服务过程中，效率与成本的关系可以用以下方程表示：效率 = 产量 / 成本。

已知效率和成本，就可以求出产量或收益。

例如，已知一家工厂的生产效率是每小时生产100个产品，总成本为500元，那么每小时的产量是100个产品。

03分式方程的解题技巧换元法是一种常用的解分式方程的方法，通过引入新的变量来简化方程的形式，从而方便求解。

在解分式方程时，如果方程中存在复杂的分式或多项式，可以引入一个新的变量来代替这些复杂的表达式，从而将方程简化成更容易求解的形式。

分式方程及其应用

12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

2.第二节 分式方程及其应用

分式方程及其应用

分式方程的解法和应用

分式方程的应用

分式方程及其应用课件

分式方程及其应用

分式方程及其应用

分式方程及其应用讲义

分式方程的实际应用

分式方程的应用知识点

初二数学12-分式-分式方程的实际应用

第2讲 分式方程及其应用

分式方程的应用

分式方程的解法与应用

分式方程及其应用

分式方程的应用

分式方程及其应用

分式方程及其应用

分式方程及其应用课件

分式方程及其应用

2.第二节分式方程及其应用

第2讲分式方程及其应用