高二【数学(人教A版)】抛物线的简单几何性质-练习题
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。
高中数学24_2抛物线的简单几何性质习题新人教A版选修21
一、选择题1．【题文】若抛物线的2y ax =的焦点坐标为(0,1)，则a 的值为（）A.14B.12C.1D.22．【题文】顶点在原点，且过点()1,1-的抛物线的标准方程是（） A ．2y x =- B ．2x y =C ．2y x =-或2x y = D ．2y x =或2x y =-3．【题文】过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．84．【题文】O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则△POF 的面积为（）A B ．2 D ．35．【题文】已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为( )A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=6．【题文】以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线20x +=相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是 ( )A ．()0,2B ．()2,0C ．()4,0D ．()0,47．【题文】已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线于,A B 两点，直线,AF BF 分别与抛物线交于点,C D ，设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，则12k k 等于（） A.12-B.12C.1D.28．【题文】已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则点P 到直线1:34120l x y -+=和2:20l x +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题9．【题文】若M 是抛物线24y x =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，直线FM 的倾斜角为60︒，则FM =_____________.10．【题文】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r，则QF =__________．11．【题文】如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程是________．三、解答题12．【题文】已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+求抛物线的方程.13．【题文】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M ．（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．14．【题文】已知抛物线()220y px p =>上有两点()()1122,,,A x y B x y .（1）当抛物线的准线方程为14x =-时，作正方形ABCD 使得边CD 所在的直线方程为4y x =+，求正方形的边长；（2）抛物线上有一定点()()000,0P x y y >，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时， 求证：直线AB 的斜率是非零常数．参考答案及解析1. 【答案】A【解析】因为抛物线方程可转化为21x y a =，所以焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭，则114a =，得14a =，故选A.考点：抛物线的焦点. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】C【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2y ax =，代入()1,1-得，1a =-，2y x ∴=-；当焦点在y 轴上时，设方程为2x ay =，代入点()1,1-得，1a =，2x y ∴=.考点：抛物线的标准方程. 【题型】选择题 【难度】较易【解析】由题设知线段AB 的中点到准线的距离为4，设,A B 两点到准线的距离分别为12,d d ，由抛物线的定义知12248,AB AF BF d d =+=+=⨯=故选D ． 考点：抛物线的应用，抛物线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】B【解析】设点(),P x y 到准线1x =-的距离为d ，由抛物线线定义得4d PF ==， 故14x +=，3x =，则y =±，故△POF的面积112S y =⨯⨯= 考点：抛物线定义和标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】B【解析】由题意可得直线的斜率一定存在，设斜率为k ，直线与抛物线的交点分别为()()1122,,,A x y B x y ，所以2114y x =，2224y x =，所以1212124y y k x x y y -==-+422==，所以直线的方程为210x y --=． 考点：抛物线的中点弦问题． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】B【解析】20x +=为抛物线的准线，根据抛物线的定义知，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点()2,0． 考点：抛物线的简单性质. 【题型】选择题 【难度】一般【解析】直线AB 的方程为()12y k x =-，联立()122,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得211480k y y k --=，设 ()()1122,,,A x y B x y ，则121214,8y y y y k +==-.直线AC 的方程为y =()1111y x x --，联立()1121,14,y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得()211110411y y y y x x --=--，则1C y y 4=-，∴14Cy y -=，同理，24D y y -=，∴()21212444D C D C D C y y k y y x x y y y y -===-+-+ 12k =，∴1212k k =.故选B. 考点：抛物线的几何性质和标准方程. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】D【解析】设抛物线的焦点为F ，∵抛物线24y x =的准线是1x =-，∴P 到20x +=的距离等于1PF +，过点F 作直线1:34120l x y -+=是垂线，当点P 为垂线与抛物线的交点时，点P 到直线1:34120l x y -+=与1x =-的距离之和最小，点P 到直线1:34120l x y -+=的距离和到直线1x =-的距离之和的最小值就是()10F ，到直线34120x y -+=的距离，∴P 到直线1:34120l x y -+=和2:20l x +=1511 4.5+=+= 考点：抛物线的简单性质. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】4【解析】直线FM的方程为)1y x =-，代入抛物线方程并整理得，231030x x -+=，解得121,33x x ==，又因为M 在x 轴上方，所以点M 的横坐标为3，所以 314FM =+=．考点：抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系． 【题型】填空题 【难度】一般 10. 【答案】83【解析】设Q 到l 的距离为d ，则QF d =，∵3PF QF =u u u r u u u r，∴2PQ d =，∴直线PF 的斜率为3±，∵()2,0F ，∴直线PF 的方程为()32y x =±-， 与28y x =联立可得23x =或6x =（舍去），∴83QF d ==. 考点：抛物线的简单性质． 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】23y x =【解析】设,A B 在准线上的射影分别为11,A B ，准线与x 轴的交点为H ，则BC =122BF BB =，所以1π6BCB ∠=，所以1226AC AA AF ===，所以3CF =，所以F 是AC 的中点，所以32FH p ==，故所求抛物线方程为23y x =．考点：抛物线的定义，抛物线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】24,y x =-或212y x =【解析】设抛物线的方程为22y px =，直线21y x =+与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，由22,21,y px y x ⎧=⎨=+⎩消去y 得()242410x p x --+=，因此 121221,24p x x x x -+==，所以12AB x =-===24120,2p p p =--==-或6. 24y x ∴=-，或212y x =.考点：抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】（1）0x =，或1y =，或1y x =+（2）【解析】（1）因为抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，所以l 的方程为0x =，或1y =，或1y x =+. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由（1）可知抛物线C 的方程为24y x =，直线MF 的方程为1y x =-+，联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-+⎩可得212440,y y y y +-=∴-=1212OAB S OF y y ∆∴=-= 考点：抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）2）详见解析【解析】（1）由题意可设直线AB 的方程为y x b =+，∵抛物线的准线方程为14x =-，∴11,242p p ==，∴抛物线方程为2y x =，由2,,y x b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得20y y b -+=，则 121y y +=，12y y b =，∴AB ==，AB 与CD的距离d =ABCD=，解得2b =-或6b =-，∴正方形的边长为（2）证明：设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由2112y px =，20y =02px ，相减得()()()1010102y y y y p x x -+=-，故1010102PA k y y px x y y -==-+()10x x ≠．同理可得()20202PB k x x p y y =+≠．由PA 、PB 的倾斜角互补知PA PBk k =-，即102022p py y y y =-++，∴1202y y y +=-．设直线AB 的斜率为AB k ，由2222y px =，2112y px =， 相减得()()()2121212y y y y p x x -+=－，∴()212121212AB y y px x y y k x x -==-+≠．将()120020y y y y +=>-代入得1202AB k p py y y ==-+，所以AB k 是非零常数．考点：直线与抛物线相交的相关问题，直线的斜率. 【题型】解答题 【难度】一般。
高二数学课时作业3.2《抛物线的简单几何性质》
高二数学课时作业§ 3.2《抛物线的简单几何性质》一．单选题1.点P 在抛物线28y x =上，若点P 到点()2,0的距离为6，则点P 到y 轴的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知圆C 的圆心为抛物线223y x x =++的顶点，且圆C 经过点()1,6，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)20x y -++=B ．22(1)(2)20x y ++-=C ．22(1)(2)16x y -++=D ．22(1)(2)16x y ++-=3.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线22y x =上，则这个等边三角形的边长为（）A ．2B ．C ．4D ．4.已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两个点，O 为坐标原点，若OA OB =且AOB V 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A ．x p=B ．3x p=C ．52x p =D ．32x p =5.已知()3,2A ，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，当PA PF +取最小值时，点P 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．（2，0）D ．（－2，－2）6.已知直线1:4360l x y ++=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．2B ．3C ．115D ．3716二.多选题7.已知抛物线C 过点()1,4A -，则（）A ．拋物线C 的标准方程可能为216y x=B ．挞物线C 的标准方程可能为214x y=-C ．过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有一条D ．过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有两条8.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线:1l y x =-与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则（）A ．2p =B ．OA OB⊥C ．||8AB =D ．8FA FB ⋅=-三．填空题9.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点()03,P y 在抛物线C 上，则PF =．10.已知等腰梯形ABCD 的四个顶点在抛物线2:4E y x =上，且:1:2AB CD =，则原点到AB 的距离与原点到CD 的距离之比为．四．解答题11.已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上的任意点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴的距离的差都是1．(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上总存在不同两点关于直线y x m =+对称，求实数m 的取值范围．12.已知抛物线2:2C y x =，(2,0)A .(1)Q 是抛物线上一个动点，求QA 的最小值；(2)过点A 作直线与该抛物线交于M 、N 两点，求OM ON ⋅的值.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.3.3抛物线的简单几何性质同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.3 抛物线的简单几何性质同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的几何性质方程()0p px 2y 2>=，（1）范围：0x ≥，抛物线向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：对称轴为x 轴；（3）顶点：（0，0）；（4）离心率：1e =。
请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，A 、B 在准线上的射影为1A 、1B ，则∠11FB A 为A. 等于90°B. 大于90°C. 小于90°D. 不能确定2. 若A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）是过抛物线()0p px 2y 2>=的焦点弦，则21x x 和21y y 均为定值，其值分别为A. 221p x x =，221p y y -=B. 2p x x 221=，2p y y 221-=C. 221p 2x x =，221p y y -=D. 4p x x 221=，221p y y -=3. 过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线，交抛物线于M 、N 两点，则M 、N 、F 三点 A. 共圆 B. 共线 C. 在另一抛物线上 D. 分布无规律4. AB 为抛物线2x y =上的动弦，且a |AB |=（a 为常数且1a ≥），求弦AB 的中点M 离x 轴的最近距离。
题型二：焦点弦过焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，则线段AB 称为焦点弦，若A （1x ，1y ），B（2x ，2y ），抛物线方程为px 2y 2=（>p 0），则焦半径2px |AF |1+=，焦点弦p x x |AB |21++=，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 过抛物线x 4y 2=的焦点作直线交抛物线于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，如果6x x 21=+，那么|AB |等于A. 10B. 8C. 6D. 126. 抛物线y 4x 2-=的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则A. 通径长为8， △AOB 的面积为4B. 通径长为-4，△AOB 的面积为2C. 通径长为4，△AOB 的面积为4D. 通长长为4，△AOB 的面积为27. 过抛物线()0p px 2y 2>=的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，（1）求|AB |；（2）求|AB |的最小值。
高二数学人教A版习题练习2-3-2第1课时抛物线的简单几何性质Word版含答案
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十六 抛物线的简单几何性质基础全面练 (20分钟 35分)1．(2021·天水高二检测)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A(x 0，y 0)是C 上一点，|AF|＝54 x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】选A.由抛物线C ：y 2＝x 可得p ＝12 ，p 2 ＝14 ，准线方程为x ＝－14 ，因为A(x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54 x 0，x 0>0.所以54 x 0＝x 0＋p 2 ＝x 0＋14 ，解得x 0＝1.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2 ＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2 ，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】选C.方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．4．已知F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到x 轴的距离为________．【解析】因为|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义可得|AD|＋|BE|＝6，又线段AB 的中点到抛物线准线y ＝－12 的距离为12 (|AD|＋|BE|)＝3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为52 .答案：525．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则|FN|＝________．【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F(2，0)，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±2 2 ，|FN|＝2|FM|＝ 2⎝⎛⎭⎫1－22＋()222 ＝6. 答案：66．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【解析】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 . 因为直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 且倾斜角为135°， 所以直线方程为y ＝－x ＋12 p.设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ， 消去y ，得x 2－3px ＋p 24 ＝0.所以x 1＋x 2＝3p.②由①②得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x.当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x.综上，所求抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x.综合突破练 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，||AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．32C ．12D ．52【解析】选B.设A ⎝⎛⎭⎫x 1，y 1 ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2 ，C 的横坐标为x 0， 则x 0＝x 1＋x 22 ，因为AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，所以||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝4，所以x 1＋x 2＝3，故x 0＝x 1＋x 22 ＝32 .2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB|＝2 2 ，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 ，则焦点到直线AB 的距离为1－12 ＝12 . 3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2【解析】选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2 ，|FP 2|＝x 2＋p 2 ，|FP 3|＝x 3＋p 2 ，所以|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】选C.设A ，B ，C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以S 1＝12 |y 1|，S 2＝12 |y 2|，S 3＝12 |y 3|，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝14 (y 21 ＋y 22 ＋y 23 )＝x 1＋x 2＋x 3，因为点F 是△ABC 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝3.5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A ．43B ．75C ．85D ．3【解析】选A.设抛物线y ＝－x 2上一点M 为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23 时，取得最小值为43 . 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________．【解析】x 2＋y 2－6x －7＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －3 2＋y 2＝16，圆心为⎝⎛⎭⎫3，0 ，半径为4，抛物线准线为x ＝－p 2 ，由圆与直线相切可知p 2 ＝1，所以p ＝2.答案：27．如图：已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则|PA|＋|PB|的最小值为________.【解析】抛物线的准线方程是x ＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F 到直线x －y ＋4＝0的距离，所以点F 到直线的距离d ＝|1－0＋4|2＝522 ， 即|PA|＋|PB|的最小值是52 2 －1.答案：52 2 －18．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，则抛物线的方程为________．【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3 ，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1， 3 )或(－1， 3 )，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px(p>0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x.答案：y 2＝3x 或y 2＝－3x三、解答题(每小题10分，共20分)9．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为3 5 ，求b 的值．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ， 消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12 ，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24 ，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1－2b . 所以|AB|＝1＋22 |x 1－x 2|＝ 5 ·1－2b ＝3 5 ，所以1－2b ＝9，即b ＝－4.10．点M(m ，4)(m>0)为抛物线x 2＝2py(p>0)上一点，F 为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m 与p 的值．(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积．【解析】(1)由抛物线定义知，|FM|＝p 2 ＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方程为x 2＝4y ，又由M(m ，4)在抛物线上，所以m ＝4.故p ＝2，m ＝4.(2)设过M 点的切线方程为y －4＝k(x －4)，代入抛物线方程消去y 得，x 2－4kx ＋16k －16＝0，其判别式Δ＝16k 2－64(k －1)＝0，所以k ＝2，切线方程为y ＝2x －4，切线与y 轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S △FMN ＝12 |FN|·m ＝12 ×5×4＝10.创新迁移练1．(2021·兰州高二检测)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185 m【解析】选D.以桥顶为坐标原点O ，桥形的对称轴为y 轴，过O 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py ()p>0 经过点⎝⎛⎭⎫6，－5 ，则36＝10p ，解得p ＝185 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185 .2．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．【解析】(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝ 5 . 所以|MN|＝2|CO|2－d 2 ＝25－4 ＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20 4，y 0 ，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 20 4 2 ＋(y －y 0)2＝y 40 16＋y 20 ，即x 2－y 20 2 x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 20 2 ＝0，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20 2＝2y 20 －4.y 1y 2＝y 20 2＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 20 2 ＋1＝4，解得y 0＝±6 ，此时Δ>0.11 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6 或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6 ， 从而|CO|2＝334 ，|CO|＝332 ，即圆C 的半径为332 . 关闭Word 文档返回原板块。
高二数学寒假作业 专题08 抛物线的简单几何性质(练)(含解析)(1)
专题8 抛物线的简单几何性质【练一练】一、选择题1.直线y=x-3与抛物线y2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( )(A)48 (B)56 (C)64 (D)722．直线l 过抛物线y2＝2px(p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y2＝12xB ．y2＝8xC ．y2＝6xD ．y2＝4x3．设直线l1：y ＝2x ，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C ：y2＝4x ，已知l1、l2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．过抛物线y2＝a x (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p＋1q等于( ) A ．2a B.12a C ．4a D.4a【答案】D【解析】试题分析：可采用特殊值法，设PQ 过焦点F 04a （，）且垂直于x 轴，则P |PF|=p=x 4442a a a a +=+=，|QF|=q=2a ，∴11224p q a a a +=+= 5．设抛物线y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16二、填空题6．已知F 是抛物线C ：y2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．7．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________. 【答案】13【解析】三、解答题8．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．（1）如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；（2）如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．∴直线l 过定点(2,0)，∴若4OA OB ⋅=-，则直线l 必过一定点。
人教A版高中数学选修1-1 抛物线的简单几何性质习题
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课时提升作业(十六)抛物线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·长春高二检测)过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为( )A.64B.32C.16D.4【解析】选C.由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为.从而OM的方程为y=kx，联立方程解得M的横坐标x1=.同理可得N的横坐标x2=4k2，可得x1x2=16.2.设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A.(0，2)B.C.(2，+∞)D.=0.由已知解得a≥1.答案：[1，+∞)三、解答题(每小题10分，共20分)5.给定抛物线y2=2x，设A(a，0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值. 【解题指南】利用两点间的距离公式，把d表示为a的函数，再结合抛物线的范围讨论其最小值.【解析】设P(x0，y0)(x0≥0)，则=2x0，所以d=|PA|===.因为a>0，x0≥0，所以(1)当0<a<1时，1-a>0，此时有x0=0时，d min==a；(2)当a≥1时，1-a≤0，此时有x0=a-1时，d min=.6.(2015·太原高二检测)如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)和☉M：(x-4)2+y2=1，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线C的方程.(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率.(3)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值.【解析】(1)因为点M到抛物线准线的距离为4+=，所以p=，所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，点H(4，2)，所以k HE=-k HF，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以=-，所以=-，所以y1+y2=-2y H=-4.k EF====-.(3)设A(x1′，y1′)，B(x2′，y2′)，因为k MA=，所以k HA=，所以直线HA的方程为(4-x1′)x-y1′y+4x1′-15=0，同理直线HB的方程为(4-x2′)x-y2′y+4x2′-15=0，所以(4-x1′)-y1′y0+4x1′-15=0，(4-x2′)-y2′y0+4x2′-15=0，所以直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0，令x=0，可得t=4y0-(y0≥1)，因为t关于y0的函数在[1，+∞)上单调递增，所以t min=-11.即t的最小值为-11.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
人教A版高中数学高二选修1-1课后训练2.3.2.1抛物线的简单几何性质
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课后提升训练十六抛物线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选C.y2=2px的准线为x=-,所以+4=5,p=2.2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是( )A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,所以3×-2×0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.3.(2017·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.4【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以=2,所以p=4.4.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= ( )A.4B.2C.1D.8【解析】选C.如图,F,过A作AA′⊥准线l,所以|AF|=|AA′|,所以x0=x0+=x0+,所以x0=1.5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( ) A. B. C.- D.-【解析】选D.由得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB===-.6.(2017·全国甲卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )A. B.2C.2D.3【解析】选C.由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),即x+y-=0,所以M到直线NF的距离为=2.【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4<y0+2,所以y0>2.7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0. ①点D在圆x2+y2=r2上,所以5+=r2. ②点A(x 0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2. ③联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.8.(2017·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是( )A.a>0B.0<a≤1C.a≤1D.a≤0【解析】选 C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1 ).因为y∈[0,+∞),根据题意知,(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时d min=|a|.(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·青岛高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________. 【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,由解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A,B,所以AB=2.由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.答案:610.(2017·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________. 【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,|PM|=|PN|-=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=3-1.答案:3-1三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·吉林高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B 的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,即渐近线方程为y=±x.而抛物线准线方程为x=-,于是A,B,从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.12.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,求△AKF的面积.【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,故y 0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),将此代入抛物线方程可得3-10x 0+3=0,解得x0=3或x0=(舍),故S △AKF=×(3+1)×2=4.【能力挑战题】已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.(1)求抛物线C的方程.(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),则即而点P(x 0,y0)在抛物线C上,=8x0,所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),此即为所求点M的轨迹方程.关闭Word文档返回原板块。
人教A版数学高二选修1-1检测 2-3-2 抛物线的简单几何性质
04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝8，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝±8xD ．x 2＝±8y答案 C解析 设抛物线的标准方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，m 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m4，－m 2，故|AB |＝|m |＝8，m ＝±8. 2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线l 与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB 的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2 答案 B解析 k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2，根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，故k OA ·k OB ＝－p 2p 24＝－4.4．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2.又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0，经检验b ＝0时，不满足OA ⊥OB ，故b ＝2.5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 准线x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，即交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．6．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12 答案 C解析 因为抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13.故选C.二、填空题(每小题5分，共15分)7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝________.答案 90°解析 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1，又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AFA 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO ，于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°. 8．已知过点P (4,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32；当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32. 综上知，(y 21＋y 22)min ＝32.9．过点P (2,2)作抛物线y 2＝3x 的弦AB ，恰被P 所平分，则AB 所在的直线方程为________．答案 3x －4y ＋2＝0解析 解法一：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝3x 1，① y 22＝3x 2，②y 1＋y 2＝4.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝3(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝34(x 1－x 2)， 即34＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为y －2＝34(x －2)， 即3x －4y ＋2＝0.解法二：设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －2)＋2.由⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝k (x －2)＋2.消去x ，得ky 2－3y －6k ＋6＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝3k ，又∵y 1＋y 2＝4，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为3x －4y ＋2＝0. 三、解答题(每小题10分，共30分)10．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．解 (1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y . (2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2. ∵|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.11．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且O A →·O B →＝2，其中O 为原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2为定值．解 (1)将y ＝kx ＋2代入x 2＝2py ， 得x 2－2pkx －4p ＝0， 其中Δ＝4p 2k 2＋16p >0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－4p .O A →·O B →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 212p ·x 222p ＝－4p ＋4.由已知，－4p ＋4＝2，得p ＝12， 所以抛物线E 的方程为x 2＝y .(2)证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2.k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1，所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2 ＝－8x 1x 2＝16.故k 21＋k 22－2k 2为定值16.12．如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上的点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)， 可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于x 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t .从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1.所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
人教A版选修一高二数学：抛物线的几何性质练习卷(2-3)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2014.12高二抛物线的几何性质练习卷（2-3）1、设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于C ，|BF|=2，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACF BCF S S （ A ）A 、54B 、32C 、74D 、21 1．抛物线C 1：)0(22>=p px y 与双曲线C 2：)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则=||||CD AB （ A ） A ．25 B ．26 C ．5 D ．6 2、设经过定点)0,(a P 的直线与抛物线x y 62=相交于A 、B 两点，若22||1||1PB PA +为定值，则=a A 、6 B 、3 C 、23 D 、1 （ B ） 3、焦点为F 的抛物线x y 42=上有三点A 、B 、C 满足：①ABC ∆的重心是F ；②||FA 、||FB 、||FC 依次成等差数列．则直线AC 的方程是 012=-±y x4、F 为抛物线px y 22=)0(>p 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ，B 两点处的切线，1l ，2l 相交于点C ，设a AF =||，b BF =||，)(b a ≠，则=||CF ab 。
5、如图，过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交其准线于点C ，若||2||BF BC =，且6||=AF ，则此抛物线的方程 x y 62= ； B FAxy6．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若32||=FQ ,则直线l 的斜率等于____22±____. 15．已知抛物线26y x =，准线l 与x 轴交于点M ，过M 作直线交抛物线于,A B 两点（A 在,M B 之间），点A 到l 的距离为2，则||||AB MA = ．2 7．如图，直线l 与圆1)1(:22=-+y x A 相切，与抛物线y x C 4:2=交于N M ,两点（N M ,在y 轴两侧），点N M ,在x 轴上的射影分别为11,N M ，若9||||11=⋅ON OM ，则||11N M = 538．已知点A （﹣3，0）和圆O ：x 2+y 2=9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于A ，B ）是圆O 上的动点，PD ⊥AB 于D ，，直线PA 与BE 交于C ， 则当λ= 9 时，|CM|+|CN|为定值。
人教A版选修一高二数学：抛物线的几何性质练习卷(2-3).docx
2014.12高二抛物线的几何性质练习卷（2-3）1、设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于C ，|BF|=2，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACF BCF S S （ A ）A 、54B 、32C 、74D 、21 1．抛物线C 1：)0(22>=p px y 与双曲线C 2：)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则=||||CD AB （ A ） A ．25 B ．26 C ．5 D ．6 2、设经过定点)0,(a P 的直线与抛物线x y 62=相交于A 、B 两点，若22||1||1PB PA +为定值，则=a A 、6 B 、3 C 、23 D 、1 （ B ） 3、焦点为F 的抛物线x y 42=上有三点A 、B 、C 满足：①ABC ∆的重心是F ；②||FA 、||FB 、||FC依次成等差数列．则直线AC 的方程是 012=-±y x4、F 为抛物线px y 22=)0(>p 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ，B 两点处的切线，1l ，2l 相交于点C ，设a AF =||，b BF =||，)(b a ≠，则=||CF ab 。
5、如图，过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交其准线于点C ，若y||2||BF BC =，且6||=AF ，则此抛物线的方程 x y 62= ；6．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若32||=FQ ,则直线l 的斜率等于____22±____. 15．已知抛物线26y x =，准线l 与x 轴交于点M ，过M 作直线交抛物线于,A B 两点（A 在,M B 之间），点A 到l 的距离为2，则||||AB MA = ．2 7．如图，直线l 与圆1)1(:22=-+y x A 相切，与抛物线y x C 4:2=交于N M ,两点（N M ,在y 轴两侧），点N M ,在x 轴上的射影分别为11,N M ，若9||||11=⋅ON OM ，则||11N M = 538．已知点A （﹣3，0）和圆O ：x 2+y 2=9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于A ，B ）是圆O 上的动点，PD ⊥AB 于D ，，直线PA 与BE 交于C ， 则当λ= 9 时，|CM|+|CN|为定值。
人教A版选修一高二数学：抛物线的几何性质练习卷(2-1).docx
2014.12高二数学抛物线的几何性质练习卷（2-1）1、抛物线24x y =的准线方程是（ ） A 、1=y B 、1-=y C 、161=y D 、161-=y 2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23、抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线141222=-y x 的渐近线的距离为 ( ) A ．1 B. 3 C.33 D. 63 4、过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( ) A.6π或65π B.4π或43π C. 3π或32π D. 2π 6、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )A ．2y ＝±4xB ．2y ＝±8xC ．2y ＝4xD ．2y ＝8x7、已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点 ( )A ．(2,5)B ．(－2,5)C ．(5，－2)D ．(5,2)8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是______________． 9、若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线13622=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 ． 10、已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．11、已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、 两点，则=+2121x x y y , y 2221y +的最小值是 。
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质试题 新人教A版
2.3.2抛物线的简单几何性质一、选择题1．【题文】若抛物线的2y ax =的焦点坐标为(0,1)，则a 的值为（）A.14B.12C.1D.22．【题文】顶点在原点，且过点()1,1-的抛物线的标准方程是（） A ．2y x =- B ．2x y =C ．2y x =-或2x y = D ．2y x =或2x y =-3．【题文】过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．84．【题文】O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则△POF 的面积为（）A B ．2 D ．35．【题文】已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为( )A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=6．【题文】以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线20x +=相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是 ( )A ．()0,2B ．()2,0C ．()4,0D ．()0,47．【题文】已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线于,A B 两点，直线,AF BF 分别与抛物线交于点,C D ，设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，则12k k 等于（） A.12-B.12C.1D.28．【题文】已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则点P 到直线1:34120l x y -+=和2:20l x +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题9．【题文】若M 是抛物线24y x =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，直线FM 的倾斜角为60︒，则FM =_____________.10．【题文】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r，则QF =__________．11．【题文】如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程是________．三、解答题12．【题文】已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+求抛物线的方程.13．【题文】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M ．（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．14．【题文】已知抛物线()220y px p =>上有两点()()1122,,,A x y B x y .（1）当抛物线的准线方程为14x =-时，作正方形ABCD 使得边CD 所在的直线方程为4y x =+，求正方形的边长；（2）抛物线上有一定点()()000,0P x y y >，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时， 求证：直线AB 的斜率是非零常数．2.3.2抛物线的简单几何性质 参考答案及解析1. 【答案】A【解析】因为抛物线方程可转化为21x y a =，所以焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则114a =，得14a =，故选A. 考点：抛物线的焦点. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】C【解析】当焦点在x 轴上时，设方程为2y ax =，代入()1,1-得，1a =-，2y x ∴=-；当焦点在y 轴上时，设方程为2x ay =，代入点()1,1-得，1a =，2x y ∴=.考点：抛物线的标准方程. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】由题设知线段AB 的中点到准线的距离为4，设,A B 两点到准线的距离分别为12,d d ，由抛物线的定义知12248,AB AF BF d d =+=+=⨯=故选D ． 考点：抛物线的应用，抛物线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】B【解析】设点(),P x y 到准线1x =-的距离为d ，由抛物线线定义得4d PF ==，故14x +=，3x =，则y =±，故△POF 的面积112S y =⨯⨯= 考点：抛物线定义和标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般5. 【答案】B【解析】由题意可得直线的斜率一定存在，设斜率为k ，直线与抛物线的交点分别为()()1122,,,A x y B x y ，所以2114y x =，2224y x =，所以1212124y y k x x y y -==-+422==，所以直线的方程为210x y --=． 考点：抛物线的中点弦问题． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】B【解析】20x +=为抛物线的准线，根据抛物线的定义知，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点()2,0． 考点：抛物线的简单性质. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】直线AB 的方程为()12y k x =-，联立()122,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得211480k y y k --=，设 ()()1122,,,A x y B x y ，则121214,8y y y y k +==-.直线AC 的方程为y =()1111y x x --，联立()1121,14,y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得()211110411y y y y x x --=--，则1C y y 4=-，∴14Cy y -=，同理，24D y y -=，∴()21212444D C D C D C y y k y y x x y y y y -===-+-+ 12k =，∴1212k k =.故选B. 考点：抛物线的几何性质和标准方程. 【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】D【解析】设抛物线的焦点为F ，∵抛物线24y x =的准线是1x =-，∴P 到20x +=的距离等于1PF +，过点F 作直线1:34120l x y -+=是垂线，当点P 为垂线与抛物线的交点时，点P 到直线1:34120l x y -+=与1x =-的距离之和最小，点P 到直线1:34120l x y -+=的距离和到直线1x =-的距离之和的最小值就是()10F ，到直线34120x y -+=的距离，∴P到直线1:34120l x y -+=和2:20l x +=1511 4.5+=+= 考点：抛物线的简单性质. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】4【解析】直线FM 的方程为)1y x =-，代入抛物线方程并整理得，231030x x -+=，解得121,33x x ==，又因为M 在x 轴上方，所以点M 的横坐标为3，所以314FM =+=． 考点：抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系． 【题型】填空题 【难度】一般 10. 【答案】83【解析】设Q 到l 的距离为d ，则QF d =，∵3PF QF =u u u r u u u r，∴2PQ d =，∴直线PF 的斜率为()2,0F ，∴直线PF 的方程为)2y x =-， 与28y x =联立可得23x =或6x =（舍去），∴83QF d ==. 考点：抛物线的简单性质． 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】23y x =【解析】设,A B 在准线上的射影分别为11,A B ，准线与x 轴的交点为H ，则BC =122BF BB =，所以1π6BCB ∠=，所以1226AC AA AF ===，所以3CF =，所以F 是AC 的中点，所以32FH p ==，故所求抛物线方程为23y x =．考点：抛物线的定义，抛物线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】24,y x =-或212y x =【解析】设抛物线的方程为22y px =，直线21y x =+与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，由22,21,y px y x ⎧=⎨=+⎩消去y 得()242410x p x --+=，因此 121221,24p x x x x -+==， 所以()22121212154AB kx x x x x =+-=+-221541524p -⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭223,4120,24p p p p p -=--==-或6. 24y x ∴=-，或212y x =.考点：抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】（1）0x =，或1y =，或1y x =+（2）22【解析】（1）因为抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，所以l 的方程为0x =，或1y =，或1y x =+.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由（1）可知抛物线C 的方程为24y x =，直线MF 的方程为1y x =-+，联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-+⎩可得212440,y y y y +-=∴-=1212OAB S OF y y ∆∴=-= 考点：抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）2）详见解析【解析】（1）由题意可设直线AB 的方程为y x b =+，∵抛物线的准线方程为14x =-， ∴11,242p p ==，∴抛物线方程为2y x =，由2,,y x b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得20y y b -+=，则121y y +=，12y y b =，∴AB ==，AB 与CD的距离d =ABCD=，解得2b =-或6b=-，∴正方形的边长为（2）证明：设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由2112y px =，20y =02px ，相减得()()()1010102y y y y p x x -+=-，故1010102PA k y y px x y y -==-+()10x x ≠．同理可得()20202PB k x x p y y =+≠．由PA 、PB 的倾斜角互补知PA PB k k =-，即102022p py y y y =-++，∴1202y y y +=-．设直线AB 的斜率为AB k ，由2222y px =，2112y px =，相减得()()()2121212y y y y p x x -+=－，∴()212121212AB y y px x y y k x x -==-+≠．将()120020y y y y +=>-代入得1202AB k p py y y ==-+，所以AB k 是非零常数．考点：直线与抛物线相交的相关问题，直线的斜率. 【题型】解答题 【难度】一般。
人教版数学高二A版选修2-1学业测评 抛物线的简单几何性质
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎨⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C. 【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ， 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13，故选C.【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22 C. 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 课时作业14 抛物线的简单几何性质(含解析)新人教A版高二选修2-
课时作业14 抛物线的简单几何性质[基础巩固]一、选择题1．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．8B ．10C ．6D ．42．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π64．若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A ．5p B ．10pC ．11pD ．12p5．已知点P 在抛物线x 2＝4y 上，则当点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(2,1)B ．(－2,1)C ．－1，14D ．1，14二、填空题6．已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________．7．已知抛物线y 2＝12x ，则弦长为定值1的焦点弦有________条． 8．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上一点，则|AB |的最小值为________．三、解答题9．已知直线x －2y －1＝0被焦点在y 轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为15，求此抛物线的方程．10．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝x 上，O 为坐标原点，顶点A 到抛物线的焦点F 的距离等于134，求△AOB 的面积．[能力提升]11．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．13．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.14．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P到定点M 0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．课时作业14 抛物线的简单几何性质1．解析：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：A2．解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为|4m－3m2－8|5＝－3m－232－2035，故当m＝23时，取得最小值，为43.答案：A3．解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1,0)，所以|PF|＝x1＋1＝4⇒x1＝3，所以y1＝23，所以A(－1,23)，所以kAF＝23－0－1－1＝－3，所以倾斜角为2π3.答案：B4．解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.答案：B5．解析：根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小，只需点P到点Q(1,2)的距离与点P到准线的距离之和最小，过点Q(1,2)作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为1，14.答案：D6．解析：由抛物线定义得：xA＋1＝5，xA＝4，又点A位于第一象限，因此yA＝4，从而kAF＝4－04－1＝43.答案：437．解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a＞2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a＜2p，则焦点弦不存在．由y2＝12x知p＝14，则通径长2p＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：28．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝x－22＋y2＝x－22＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74.所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72.答案：729．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由x2＝ay，x－2y－1＝0消去y，得2x2－ax＋a＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.设直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝54x1－x2 2＝54[x1＋x22－4x1x2]＝145a2－8a.∵|AB|＝15，∴145a2－8a＝15，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.10．解析：∵△AOB是等边三角形，A、B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，不妨设A(y0，y0)(y0＞0)，则B(y0，－y0)．由|AF|＝y0＋14＝134，解得y0＝3，∴y0＝3，∴△AOB的边长|AB|＝2y0＝23，∴△AOB的面积为12×(23)2×32＝33.11．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为y＝23(x＋2)，即x＝32y －2，由y2＝4x，x＝32y－2得y2－6y＋8＝0.由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，∴x1＋x2＝32(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝y1y2216＝4，∵F(1,0)，∴FM→•FN→＝(x1－1)•(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故选D.答案：D12．解析：方法一设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x ＝my－1，y2＝4x，消去x整理得y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，所以Q(2m2－1,2m)．由F(1,0)及|FQ|＝2知，2m2＋2m2－1－12＝2，解得m2＝1，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．方法二注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径长的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1,2)或(1，－2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.答案：±113．解析：设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－12t－19.从而－12t－19＝52，得t＝－78.所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4133.14．解析：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝12，∴ x2＋y－122＝y＋12，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋1，x2＝2y，消去y化简得x2－2kx－2＝0，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k24k2＋8＝26，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.。
人教A版高中数学高二选修2-1试题 抛物线的简单几何性质 (2)
2．4．2抛物线的简单几何性质双基限时练(十五)1．方程y＝－2x所表示曲线的形状是()解析由y＝－2x，知y≤0，x≥0，因此选D.答案 D2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析因为点M(3,2)在抛物线y2＝8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y＝2，适合题意，因此只有一条．答案 B3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．8 B．10C．6 D．4解析由题意知，|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案 A4．抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )A ．(42，±2)B ．(±42，2)C ．(±2,42)D ．(2，±42)解析 抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)， 设P (x ，y )适合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎨⎧y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±42，∴适合题意的点为(2，±42)． 答案 D5．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3解析 特例法，∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设过焦点F 的直线为x ＝1，∴可求得A (1，－2)，B (1,2)．∴OA →·OB →＝1×1＋(－2)×2＝－3.答案 D6．过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，作倾斜角为π3的直线，交抛物线于A ，B 两点，则|AB |的长为________．解析 由y 2＝4x 知F (1,0)，可得直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，B (3,23)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫3－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2332＝163.答案 1637．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有一点纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为__________．解析 设点(x 0，－42)，则(－42)2＝2px 0， ∴x 0＝322p ＝16p .又由抛物线的定义知x 0＋p 2＝6，∴16p ＋p2＝6， 即p 2－12p ＋32＝0， 解得p ＝4，或p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝8x ，或y 2＝16x . 答案 y 2＝8x ，或y 2＝16x8．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.解析 由x 29＋y 25＝1得焦点(－2,0)，(2,0)． 当焦点为(－2,0)时，抛物线开口向左，∴m ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝2p ，p 2＝2⇒m ＝－8；当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，∴m ＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2p ，p 2＝2⇒m ＝8.答案 8或－89．已知直线l 过点A (－3p2，p )，且与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，求直线l 的方程．解 当直线与抛物线只有一个公共点时，设直线方程为：y －p ＝k (x ＋3p2)．将直线l 的方程与y 2＝2px 联立，消去x 得ky 2－2py ＋(2＋3k )p 2＝0由Δ＝0得，k ＝13，或k ＝－1.∴直线l 的方程为 2x －6y ＋9p ＝0，或2x ＋2y ＋p ＝0.当直线l 与x 轴平行时，直线l 与抛物线只有一个交点，此时，y ＝p ，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x －6y ＋9p ＝0，或2x ＋2y ＋p ＝0，或y ＝p .10．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A ，B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线，求抛物线的方程．解 画图知，抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线AB 的方程为x ＝ay ＋m .由⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝ay ＋m消去x ，并整理得y 2－2apy －2mp ＝0.由根与系数的关系得 y 1y 2＝－2mp .由已知得|y 1||y 2|＝2m ， 则p ＝1.故抛物线的方程为y 2＝2x . 11．已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为(23，0)，在抛物线上求一点P ，使|PA |最小； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．解 (1)设P (x ，y )，则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x ＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|PA |有最小值23，离A 点最近的点P (0,0)．(2)设点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 202－y 0＋3|2＝|(y 0－1)2＋5|22，∴当y 0＝1，d 有最小值524. ∴点P 的坐标为(12，1)．12．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解(1)证明：如图所示，由⎩⎨⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x ，整理得ky 2＋y－k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－1.∵A ，B 在抛物线上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21y 22＝x 1x 2.又∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于N ，显然k ≠0，令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．∴S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON ||y 1－y 2|. 而|y 1－y 2|＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝ 1k 2＋4.又∵S △OAB ＝10，∴12×1× 1k 2＋4＝10.解得k ＝±16.。
抛物线的简单几何性质 同步练习 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.3.2 抛物线的简单几何性质基础巩固1.若抛物线经过点(2,1),且通径长等于4,则其标准方程为 ( )A.y 2=12xB.y 2=4xC.x 2=4yD.x 2=-4y2.已知过抛物线y 2=4x 焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,线段AB 的中点到y 轴的距离为2,则|AB|=( ) A.4B.6C.3D.83.设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则抛物线C 的焦点坐标为( ) A.(14,0)B.(12,0)C.(1,0)D.(2,0)4.设斜率为√3的直线l 过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点,与抛物线C 交于A ,B 两点,且|AB|=163,则p=( )A.12B.1C.2D.45.已知直线y=kx-1与抛物线x 2=8y 相切,则双曲线x 2-k 2y 2=1的离心率为( ) A.√5B.√3C.√2D.√326.已知直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A ,B 两点,若线段AB 的中点的横坐标为2,则k 的值为( ) A.2或-2B.1或-1C.2D.37.已知抛物线y 2=2x ,直线l 的方程为x-y+3=0,P 是抛物线上的一动点,则点P 到直线l 的最短距离为 ,此时点P 的坐标为 .8.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)经过点A (1,-2). (1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;(2)已知O 为坐标原点,若直线l 与OA 平行,且与抛物线有公共点,直线OA 与l 的距离为√55,求直线l 的方程.能力提升1.已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则p=( ) A.√3B.3C.6D.82.已知直线y=kx-2k 及抛物线y 2=2px (p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线没有公共点D.直线与抛物线有一个或两个公共点3.已知直线y=x-3与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P ,Q ,则梯形APQB 的面积为( ) A.48B.56C.64D.724.设抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ,直线y=kx+2与抛物线C 交于A ,B 两点,且|AF|·|BF|=25,则k 的值为 ( )A.±2B.-1C.±1D.-25.已知点A (2,0),B (4,0),点P 在抛物线y 2=-4x 上运动,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,点P 的坐标是 .6.设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 作直线l 与抛物线交于A ,B 两点,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点),过点M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ,若|PF|=2,则点P 的横坐标为 ,|AB|= .7.已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 参考答案 基础巩固1. C2. B3. B4. C5. B6. C7.5√24(12,1)8.将点A (1,-2)的坐标代入抛物线方程y 2=2px (p>0),得(-2)2=2p×1,得p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x ,其准线方程为x=-1. (2)设直线l 的方程为y=-2x+t. 联立{y 2=4x ,y =-2x +t ,消去x 得y 2+2y-2t=0.一方面,因为直线l 与抛物线C 有公共点,所以Δ=4+8t ≥0,解得t ≥-12.另一方面,由直线OA 与l 的距离为√55,可得√5=√5,解得t=±1.综上可知t=1.于是直线l 的方程为2x+y-1=0.能力提升1. C2. D3. A4. A5. (0,0)6. 1 87.抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为(0,p2),则直线AB 的方程为y=√24x+p2,由{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x 得4y 2-5py+p 2=0, 则y 1+y 2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=y 1+y 2+p=9, 即5p4+p=9,解得p=4.故抛物线的方程为x 2=8y.(2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0,即y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,则x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).于是OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,解得λ=0或λ=2.。