隐圆专题(培优班课件)
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隐圆问题-利用圆的知识解决最值课件19张PPT
例1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大
小是_______
练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC， ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
县民政局依法行政工作计划总结 2 0 * * 年,在县委、县政府的正确领导下, 在县法制办的直接指导下, 我局认真贯彻 落 实党的十八大精神和国务院《全面推 进依法 行政实 施纲要 》, 坚持“ 以人为本, 为民 解困、为民服务” 的工作理念, 认真履行“ 解决民生、落实民 权、维 护民利” 的工作 职 责, 以服务科学发展、创新体制机制、强化执 法队伍 建设, 全面推 进依法 行政工 作, 推动民政工作制度化、规范化, 充分发挥在社 会建设 和管理 中的职 能作用, 积极 实
施社会惠民保障工程。现将全年依法 行政工 作情况 汇报如 下: 一、齐抓共管, 加强对依法行政工作的组织领 导
为使依法行政理念真正落到实处, 我局成立了“ 一把 手” 局长、党组 书记为 组长, 分管 副局长为副组长和各职能业务科室负 责人为 成员的 依法行 政工作 领导小 组, 并明确 日常工作由办公室( 法制股) 组织实施。年初对全局 的依法 行政工 作排出 计划, 狠抓 落实, 切实把本单位的依法行政工作列入重要 议事日 程。建 立领导 责任制, 做到 有 部署、有检查、有总结, 逐步形成法制工作“ 一把手” 局长亲 自抓、 分管领 导分工 抓 、职能部门牵头抓、业务科室协同抓, 全局干 部职工 积极参 与的工 作格局, 并严 格
例1：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作 CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值.
练习：1、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分 别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、 CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的 移动，使得点P也随之运动.若 ，线段CP的最小值 是_____________
小是_______
练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC， ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
县民政局依法行政工作计划总结 2 0 * * 年,在县委、县政府的正确领导下, 在县法制办的直接指导下, 我局认真贯彻 落 实党的十八大精神和国务院《全面推 进依法 行政实 施纲要 》, 坚持“ 以人为本, 为民 解困、为民服务” 的工作理念, 认真履行“ 解决民生、落实民 权、维 护民利” 的工作 职 责, 以服务科学发展、创新体制机制、强化执 法队伍 建设, 全面推 进依法 行政工 作, 推动民政工作制度化、规范化, 充分发挥在社 会建设 和管理 中的职 能作用, 积极 实
施社会惠民保障工程。现将全年依法 行政工 作情况 汇报如 下: 一、齐抓共管, 加强对依法行政工作的组织领 导
为使依法行政理念真正落到实处, 我局成立了“ 一把 手” 局长、党组 书记为 组长, 分管 副局长为副组长和各职能业务科室负 责人为 成员的 依法行 政工作 领导小 组, 并明确 日常工作由办公室( 法制股) 组织实施。年初对全局 的依法 行政工 作排出 计划, 狠抓 落实, 切实把本单位的依法行政工作列入重要 议事日 程。建 立领导 责任制, 做到 有 部署、有检查、有总结, 逐步形成法制工作“ 一把手” 局长亲 自抓、 分管领 导分工 抓 、职能部门牵头抓、业务科室协同抓, 全局干 部职工 积极参 与的工 作格局, 并严 格
例1：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作 CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值.
练习：1、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分 别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、 CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的 移动，使得点P也随之运动.若 ，线段CP的最小值 是_____________
2023年中考数学一轮复习专题利用隐形圆求圆的最值课件
8
方法总结：利用隐圆解决线圆最值问题时， 第一：变化中寻找不变，找到隐圆； 第二：“一线穿心”--过圆心向定线段作垂直 找到圆上目标最值点，求得最值。
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
9
变式训练2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D， P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP 面积的最大，延长AO至C点，过点D作 DF⊥AC于点F，延长FD交⊙D于点P′， 连接AP′，OP′，要使△AOP面积最大， 则只需AO边上的高最大，此时P′满足条 件，即P′F为最大的高，
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
11
拓展：定弦定角型
如图1⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上 任一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒ 如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且 ∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（ 不与A、B重合）
是_______．
D
C
M A
AN
B
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
方法总结：利用隐圆解决点圆最值问题时， 第一：变化中寻找不变，找到隐圆； 第二：“一线穿心”--连接圆心和定点找到 圆上目标最值点，求得最值。
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
6
变式训练1： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∠C＝30°，AB＝1，点D在AC边上运动，点E为AC的 中点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点F，则 在点D从C到A的运动过程中，线段EF的最小值为___.
1
上的一点，且AM＝ AD，N是AB边上3 的一动点，将△AMN沿MN
所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值
2019中考-“隐形圆”问题(共22张PPT)全面.ppt
..
24
会出现。
..
3
..
4
..
5
..
6
对应练
1、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若 ∠CAD=76∘，则∠CBD=______度。
..
7
真题演练
1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若 ∠ CAD=76°，则∠ CBD= 度。
简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点
..
23
班主任的专业发展一如治学之道，它 不是遥不可及的事情，而是我们正在
谢 谢！ 实践的工作；但也不是一蹴而就的，
而是一个不断发展，持续提高的过程 。只要我们留守心中那盏信念的灯， 拥有一颗热爱教育，热爱学生的心， 再加上善于观察和反思教育生活的习 惯，必然会收获内心的幸福，获得丰
满的教育人生。
..
17
真题演练
1.如图 ，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑
直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为 （）
简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P
到定点O的距离始终等于1， 满足圆的定义（到定点的距离
等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆
简答：如图 2，因为 AP⊥BP，
∠P=90°（定角），AB=6（定弦），
故 P 在以 AB 为直径的⊙H 上 ， 当
H 、 P 、 C 三 点 共 线 时 CP 最
短 ，HB=3，BC=4 则 HC=5， 故
CP=5-3=2 。
..
22
小结
以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到
动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的方案1或方
2024年高三培优讲义33---向量中的隐圆问题
专题5-4 向量中的隐圆问题目录知识点梳理：构隐圆的几大角度 (1)题型一 定值圆（由模长是定值构造圆） (3)题型二 直径圆（两向量垂直构造圆） (4)题型三 外接圆（定边对定角构造圆） (6)题型四 对角互补构造圆 (6)题型五 向量与阿氏圆 (6)题型六 向量圆（极化圆） (7)题型七 其它隐圆 (7)题型八 设点坐标，构造函数求最值 (8)构隐圆的几大角度角度一、定值圆（由模长是构造圆）记A ，B ，C 为定点，若出现AP λ=，AP AC λ±=，AP AB AC λ−−=，都可以得出隐圆有时也会出现c a b −−=λ这种形式，我们可以设a OA =，b OB =，c OC =，也能转化成上面第三种形式角度二、直径圆圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a ，b 的垂直条件体现为，,90︒=a b 0⊥a b ＝，0⋅a b ＝等．角度三、外接圆（定边定角）,,a b a b ±<>均为定值时，可以构造圆在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a ，b ，a -b )，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补）圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 角度五、比例圆(阿波罗尼斯圆) 在平面上给定两点A ，B ，设点P 满足||||PA PB =λ，则当λ>0且λ≠1时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．在向量问题中，若|a |=λ|b |(λ>0且λ≠1)，即两个向量的模长呈现一定的比例时，可以考虑构造阿波罗尼斯圆进行解题 角度六、向量圆（极化恒等式）若PA PB λ⋅=(λ≠0且λ∈R )，其中点P 为动点，A ，B 为两个定点，则点P 的轨迹为圆． 简证：取AB 中点M ，2222PA PB PM AM PM PM λλλ⋅=⇒−=⇒=+，故PM 为定值以此为突破口，可以将向量的最值与范围问题转化为圆的最值与范围问题进行求解．值得注意的是，在向量问题中PA PB λ⋅=也表示为(c －a )·(c －b )＝λ，其中a ，b 为定向量． 角度七、其它隐圆极化恒等式和型：λ=+22PB PA定理：若B A ，为定点，P 满足λ=+22PB PA ,则P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，2212AB −λ为半径的圆。
苏科版九上数学专题 隐圆问题(共23张PPT)
ABD BCE(SAS)
APE BAD ABP CBE ABP 60
∠AOB=120°，AO=1, OC=2
O 120°
1
120° 60P°
3
四、利用定弦定角构造辅助圆
在△ABC中，C是动点，∠C所对的 线段是AB，若线段AB和∠C分别是 一条定长的线段和一个定值的角。 由“圆中相等的圆周角所对的弦相 等”想到点C在△ABC的外接圆上运 动。
连接OP，交⊙P于点A和A'，过O作OP的垂线，
P'
截取OC= 3OA ，OC'= 3OA'。CC'=OC'-OC
CC' 3OA' 3OA 3AA' 6 3，CP' 3 3
C1
A1
在⊙P上任取一点A1，作OC1⊥OA1,且OC1 = 3OA1 易证△A1OP∽△C1OP',故C1P'= 3A1P 3 3
见“定线（弦）对定角”现“其外接圆”
练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是 AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所 在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值 是（ A ）
6
2
B'
2
练习2．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4， D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H， 连接AH，则AH的最小值为（ B ）
四、利用定弦定角构造辅助圆
α
2α
在圆O中，弦AB所对的圆周 角相等，即 ∠C=∠D=∠E
线段AB为定长，∠C 为定角α，
则A、B、C三点在同一个圆上，
点C在圆上运动，此时可以构
APE BAD ABP CBE ABP 60
∠AOB=120°，AO=1, OC=2
O 120°
1
120° 60P°
3
四、利用定弦定角构造辅助圆
在△ABC中，C是动点，∠C所对的 线段是AB，若线段AB和∠C分别是 一条定长的线段和一个定值的角。 由“圆中相等的圆周角所对的弦相 等”想到点C在△ABC的外接圆上运 动。
连接OP，交⊙P于点A和A'，过O作OP的垂线，
P'
截取OC= 3OA ，OC'= 3OA'。CC'=OC'-OC
CC' 3OA' 3OA 3AA' 6 3，CP' 3 3
C1
A1
在⊙P上任取一点A1，作OC1⊥OA1,且OC1 = 3OA1 易证△A1OP∽△C1OP',故C1P'= 3A1P 3 3
见“定线（弦）对定角”现“其外接圆”
练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是 AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所 在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值 是（ A ）
6
2
B'
2
练习2．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4， D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H， 连接AH，则AH的最小值为（ B ）
四、利用定弦定角构造辅助圆
α
2α
在圆O中，弦AB所对的圆周 角相等，即 ∠C=∠D=∠E
线段AB为定长，∠C 为定角α，
则A、B、C三点在同一个圆上，
点C在圆上运动，此时可以构
2024届新教材二轮复习 解析几何培优拓展八隐形圆问题 课件(12张)
的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB
的方程为( D )
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.2x+y+1=0
解析 由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.
因为 S
1
|AB|=2S△PAM=|PA|·
|AM|=2|PA|=2
四边形 PAMB= |PM|·
2
||2 -4,
所以|PM|·
|AB|最小,即|PM|最小,此时 PM 与直线 l 垂直,PM 所在直线的方程
为
1 1
y= x+ ,直线
2 2
PM 与直线 l 的交点为 P(-1,0).|
PM|= (1 + 1)2 + (1-0)2 = 5,在 Rt△APM 中,|AP|= ||2 -||2 =1.
= =
||
,
||
∴当 A,B,P 三点不共线时,PO 是∠APB 的平分线,
∴∠APO=∠BPO,故 B 正确;
对于
设
||
C,若|MO|=2|MA|,则|| =2,由题意,点
||
M(x,y),由|| =2,得
M 的轨迹是圆,
2 +2
(+2)2 +2
=2,
8 2
2 16
培优拓展(八) 隐形圆问题
有些数学问题,题设没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目条件中,
需要我们通过分析、转化,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用圆的知识
来求解,我们称这类问题为隐形圆问题,是近年高考题和各地模拟题命题的
的方程为( D )
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.2x+y+1=0
解析 由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.
因为 S
1
|AB|=2S△PAM=|PA|·
|AM|=2|PA|=2
四边形 PAMB= |PM|·
2
||2 -4,
所以|PM|·
|AB|最小,即|PM|最小,此时 PM 与直线 l 垂直,PM 所在直线的方程
为
1 1
y= x+ ,直线
2 2
PM 与直线 l 的交点为 P(-1,0).|
PM|= (1 + 1)2 + (1-0)2 = 5,在 Rt△APM 中,|AP|= ||2 -||2 =1.
= =
||
,
||
∴当 A,B,P 三点不共线时,PO 是∠APB 的平分线,
∴∠APO=∠BPO,故 B 正确;
对于
设
||
C,若|MO|=2|MA|,则|| =2,由题意,点
||
M(x,y),由|| =2,得
M 的轨迹是圆,
2 +2
(+2)2 +2
=2,
8 2
2 16
培优拓展(八) 隐形圆问题
有些数学问题,题设没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目条件中,
需要我们通过分析、转化,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用圆的知识
来求解,我们称这类问题为隐形圆问题,是近年高考题和各地模拟题命题的
《隐圆在几何问题中的应用》公开课教学PPT课件
B重合）可称为“定边对定角”模型.
2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.
3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解 找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧. 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的 题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露， 则答案手到擒来！
A
O P’ E
P
B
D
C
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
A
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
E
∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF， ∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）
F P
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，
B
C
∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）
问题一：你能找到几个这样的点C，
所有符合条件的点C组成了什么样的图形？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9 C
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°
，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.
B
N
C
C
B ∴点P到BC的最大距离PN= 2 N 3 - 3 = 3.
2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.
3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解 找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧. 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的 题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露， 则答案手到擒来！
A
O P’ E
P
B
D
C
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
A
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
E
∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF， ∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）
F P
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，
B
C
∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）
问题一：你能找到几个这样的点C，
所有符合条件的点C组成了什么样的图形？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9 C
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°
，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.
B
N
C
C
B ∴点P到BC的最大距离PN= 2 N 3 - 3 = 3.
模型 隐形圆问题梳理(附PPT)
例 2：已知圆C ： x 32 y 42 1，点 A(m,0)，
点 B(m,0) ， m 0 ， 若 圆 C 上 存 在 点 P ， 使 得
APB 90o，则m的范围是___________． 解：由APB 90o可得点P在以 AB为直径的圆上，
其方程为 x2 y2 m2，且与圆 x 32 y 42 1有
2
2
所以2 2 m 2 2 ．
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，
B1,1， P 为圆 x2 y2 2上一动点，则 PB 的最大
PA 值是________．
解：设P x, y，则x2 y2 2，
PB
2
PA
x 12 y 12 x2 y 22
x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 4y 4
直线l1与直线l2垂直，所以点P在以 AB为直径的圆上，
圆心C 1,1，半径r 2 ，其方程为 x 12 y 12 2
因为圆心C 到直线x y 4 0的距离为 d 4 2 2 ，所以点P到直线x y 4 0的距离的
2 最大值为2 2 2 3 2 ．
变式 2：在直角坐标系中，已知点P(1,0)，点Q(2,1)， 直线l ：ax by c 0，其中a ，b，c成等差数列， 点 P 在直线l 上的射影为 H ，则线段QH 的取值范围 是____________．
CD2 11 2sin2
P
C
D
Q O
CD2
1
1
2
1 CD2
CD2
2 CD2
3．
因为OD 2 3 ，所以CD 3,3 3 ，
所以CD2 3,27．
因为CD2
2 CD2
3在3,27上单调递增，
第2部分 专题5 强基专题5 隐圆问题 课件(共21张PPT)
d＝
k|82＋k| 1≤6，解得－3
7
7≤k≤3
7
7 .]
类型3 两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐 圆(距离平方圆)
【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－ 4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．
(1)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由.
[跟进训练] 1．如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距 离为1，则实数a的取值范围是________．
－65，0 [由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相 交，所以2－1< 2a2＋a＋32<1＋2,1<5a2＋6a＋9<9，
5a2＋6a＋8＞0， 5a2＋6a＜0，
第二部分 核心专题 师生共研
专题五 解析几何 强基专题5 隐圆问题
考查直线与圆、圆与圆的综合问题时题设条件中没有直接给 出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现 圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的相关知识来解决问题，这类 问题称为“隐圆”问题．
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
(2)若圆C上存在唯一的点Q，使得Q→A·Q→B＋2＝λ，求λ的值．
[解] (1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2. 假设圆C上存在点P，
设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2 ＋(y－2)2＝12，
≤y≤
27，所以点
M的纵坐标的取值范围是－
27，
27.]
【例1】 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，
高考数学二轮复习“隐圆”问题课件(30张)(全国通用)
【解析】方法一：设 P(x，y)，则 x2＋y2＝2，
PPAB2＝x－x21＋2＋y＋y2＋212＝x2＋x2＋y2－y2＋2x＋4y＋2y＋4 2 ＝2－2＋2x＋4y＋2y＋4 2＝－2x＋y＋y＋3 2＝12－12×xy－ ＋1232，
令 t＝xy－＋1232，即 2x－2ty－3t－1＝0，则动直线 2x－2ty－3t－1＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以|－43＋t－4t12|≤ 2，解得－7≤t≤1，所以PPAB2＝12－2t ∈[0,4]，即PPAB∈ [0，2]，故PPAB的最大值是 2.
所以点
M
的
轨
迹
方
程
为
x＋12
2
＋
y－12
2
＝
1 2
(
除
去
原
点
)
，
所
以
AM
的最大值为
－4＋122＋0－122＋ 22＝3 2.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－2)，B(1，－1)，P 为圆 x2＋y2＝2 上一动点，则PPAB的最大值是___2_____．
方法二：设 P(x，y)，则 x2＋y2＝2，
则 x2＋y2－2x＋2y＋2＝λ(x2＋y2＋4y＋4)，即(λ－1)·(x2＋y2)＋2x＋(4λ－2)y＋4λ－ 2＝0，因为 x2＋y2＝2，所以 x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0，则动直线 x＋(2λ－1)y＋3λ－2 ＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以 1＋|3λ－2λ－2| 12≤ 2，解得 0≤λ≤4，即PPAB∈[0,2]， 故PPAB的最大值是 2.
微难点10 “隐圆”问题
栏 目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
PPAB2＝x－x21＋2＋y＋y2＋212＝x2＋x2＋y2－y2＋2x＋4y＋2y＋4 2 ＝2－2＋2x＋4y＋2y＋4 2＝－2x＋y＋y＋3 2＝12－12×xy－ ＋1232，
令 t＝xy－＋1232，即 2x－2ty－3t－1＝0，则动直线 2x－2ty－3t－1＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以|－43＋t－4t12|≤ 2，解得－7≤t≤1，所以PPAB2＝12－2t ∈[0,4]，即PPAB∈ [0，2]，故PPAB的最大值是 2.
所以点
M
的
轨
迹
方
程
为
x＋12
2
＋
y－12
2
＝
1 2
(
除
去
原
点
)
，
所
以
AM
的最大值为
－4＋122＋0－122＋ 22＝3 2.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－2)，B(1，－1)，P 为圆 x2＋y2＝2 上一动点，则PPAB的最大值是___2_____．
方法二：设 P(x，y)，则 x2＋y2＝2，
则 x2＋y2－2x＋2y＋2＝λ(x2＋y2＋4y＋4)，即(λ－1)·(x2＋y2)＋2x＋(4λ－2)y＋4λ－ 2＝0，因为 x2＋y2＝2，所以 x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0，则动直线 x＋(2λ－1)y＋3λ－2 ＝0 与圆 x2＋y2＝2 必须有公共点，所以 1＋|3λ－2λ－2| 12≤ 2，解得 0≤λ≤4，即PPAB∈[0,2]， 故PPAB的最大值是 2.
微难点10 “隐圆”问题
栏 目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
初中数学微课探究“隐圆”在几何解题中的作用公开课PPT课件
正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且A C =2.设
tanB O C =m ，则m 的取值范围是
B C
O
A
类型三：
定点折叠存隐圆
3.如图，在矩形A B C D 中，A B =4，A D =6，E 是A B 边的中点，F 是线段
B C 边上的动点，将△E B F 沿E F 所在直线折叠得到△E B 'F ，连结B 'D ，则
初中数学微课
用数学的眼光观察问题
观察可能导致发现。 观察将揭示某种规律模式或定律。
——波利亚
透过现象看本质，挖掘内涵巧解题
——探究“隐圆”在几何解题中的作用
提出概念
什么叫“隐圆”？
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另
一端点P所经过的封闭曲线叫做圆。
P
•
O
根据圆的定义，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，常常就会隐
B 'D 的最小值是
A
D
E
B'
ห้องสมุดไป่ตู้
BF
C
类型四1： 定长定角存隐圆
4.如图，X O Y =45°，一把直角三角尺A B C 的两个顶点A 、B 分别
在O X 、O Y 上移动，其中X Y =10，那么点O 到X Y 的距离的最大值
为
X
O
Y
类型四2： 定长定角存隐圆
4.2 如图，R t△A B C 中，A B B C ，A B =6,B C =4,P 是△A B C 内部
的一个动点，且，满足P A B =P B C ，则线段C P 长的最小值
为
A
B
P
C
类型五：
隐圆专题(培优班课件)
四、四点共圆
依据：对角互补（或一边所对的两个角相等）的四边形四个顶点共圆。
01
如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。
2.应用：
02
因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∽ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。
ABCCAB
（1）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是_________. 简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为 。2.应用：
有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识。“圆”出“缘”生关系现，“圆”成“缘”通真相明。
一、定点+定长
依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用：（2）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。
简析：
2
2
1
由AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD= 。
练习：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F作边AC上，且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值为_____.
M
01
02
练习：如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，求∠CAD的度数。
新高考数学二轮复习隐圆蒙日圆与阿基米德三角形培优课件
即 x－n2＋y2＝2 x－m2＋y2，
化简可得 x2＋y2－8m－3 2nx＋4m23－n2＝0， 又点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0， 可得－ 4m823m－－3n22＝n＝0，8， 解得mn＝＝－－162， 或nm＝＝4－2， (舍去)，
故存在异于A，B的两定点M(－6,0)，N(－12,0)， 使得||PPMN||＝12，故 C 正确； 对于选项 D，因为||PPAB||＝12，所以 2|PA|＝|PB|， 所以2|PA|＋|PQ|＝|PB|＋|PQ|， 又点P在圆x2＋y2＋8x＝0上，如图所示， 所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|＋|PQ|取得最小值，此时(2|PA|＋ |PQ|)min＝|BQ|
培优点7 隐圆、蒙日 圆与阿基米德三角形
专题一 函数与导数
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙 日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面 积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
内容索引
考点一 考点二 考点三 专题强化练
隐圆(阿波罗尼斯圆) 蒙日圆 阿基米德三角形
对于C选项，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最
大值为r＋|NM|＝2＋ 2 ，故C错误；
对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，
则
d＝
|m－1| m2＋1.
因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
又 r＝2，所以 d＝ 2. 由mm2－＋112＝2，得 m＝－1，故 D 正确.
考点二 蒙日圆
设直线的方程为y＝k(x＋2)， 代入椭圆x32＋y2＝1，消去 y， 可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0， 由Δ＝0，可得k2－1＝0， 设l1，l2的斜率分别为k1，k2， ∴k1＝－1，k2＝1， ∴直线l1，l2的方程分别为y＝－x－2，y＝x＋2.
2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 培优课(四) 隐圆问题 课件(27张)
性质 3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为|PQ|=|PB|+|BQ|=
,面积为π(
| -|
)2.
-
注意:使用阿波罗尼斯圆解题时,若已知条件中没有坐标系,则需要建立坐标系后求解.
[拓展演练 2] 若△ABC 满足条件|AB|=4,|AC|= |BC|,则△ABC 面积的最大值为
的 轨 迹 为 圆 C ′ , 圆 C ′ 上 的 点 到 直 线 l 的 最 短 距 离 为 t=
→
→
→
→
|+|=|2|=2||≥2t=2 -2.故选 A.
|-+|
-1= -1, 所 以
在平面内到定点的距离等于常数,则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只
要抓住两个关键词:定点,定长.然后再化归为圆中的有关问题去解即可.
→
→
直线 l:x-y+3=0 上,则|+|的最小值为(
)
A.2 -2 B.2
C.2 +2 D.2 -
解析:设线段 MN 的中点为 D,圆 C:x2+y2-2x-4y=0 的圆心为 C(1,2),半径为
.C 到直线 MN
的距离为 ( ) -() =1,所以|CD|=1,故点 D 的轨迹是以 C 为圆心,半径为 1 的圆,设点 D
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0).
设 C(x,y),
由|AC|= |BC|得 ( + ) + = · (-) + ,
化简整理可得(x-6)2+y2=32,
因此点 C 的轨迹是以(6,0)为圆心,4 为半径的圆(且去掉点(6+4 ,0)和(6-4 ,0)).
,面积为π(
| -|
)2.
-
注意:使用阿波罗尼斯圆解题时,若已知条件中没有坐标系,则需要建立坐标系后求解.
[拓展演练 2] 若△ABC 满足条件|AB|=4,|AC|= |BC|,则△ABC 面积的最大值为
的 轨 迹 为 圆 C ′ , 圆 C ′ 上 的 点 到 直 线 l 的 最 短 距 离 为 t=
→
→
→
→
|+|=|2|=2||≥2t=2 -2.故选 A.
|-+|
-1= -1, 所 以
在平面内到定点的距离等于常数,则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只
要抓住两个关键词:定点,定长.然后再化归为圆中的有关问题去解即可.
→
→
直线 l:x-y+3=0 上,则|+|的最小值为(
)
A.2 -2 B.2
C.2 +2 D.2 -
解析:设线段 MN 的中点为 D,圆 C:x2+y2-2x-4y=0 的圆心为 C(1,2),半径为
.C 到直线 MN
的距离为 ( ) -() =1,所以|CD|=1,故点 D 的轨迹是以 C 为圆心,半径为 1 的圆,设点 D
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0).
设 C(x,y),
由|AC|= |BC|得 ( + ) + = · (-) + ,
化简整理可得(x-6)2+y2=32,
因此点 C 的轨迹是以(6,0)为圆心,4 为半径的圆(且去掉点(6+4 ,0)和(6-4 ,0)).
2024河南中考数学习微专题 利用“隐形圆”解决动点问题 课件
1
（3） 的最小值为_ ________.
模型总结
1.知识依据： 的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理的推论）.
2.模型说明：（1）如图（1），在 中， ，若 的长固定，则点 的运动轨迹为以 为直径的 不含点 ， .
图（1）
图（2）
（2）如图（2）， 和 共斜边 ，则 ， ， ， 四点共圆，均在以 为直径的 上.（确定四点共圆后，可根据圆周角定理的推论得到角相等，完成角度的等量转化）
强化训练
7.[2023四川达州] 在 中， ， ，在边 上有一点 ，且 ，连接 ，则 的最小值为__________．
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
提分技法圆上的点到，过点 作 于点 ，交优弧 于点 ，交劣弧 于点 ,则 的长为 上的点到 的最大距离， 的长为劣弧 上的点到 的最大距离._
如图， 是 外一条直线，过点 作 于点 ,交 于点 , ，则 上的点到 的最大距离为 的长，最小距离为 的长._
强化训练
4.如图，在平行四边形 中, ， ， ，点 是平行四边形 内部的一个动点,且 ,则线段 的最小值为_ ________.
（第5题）
5.如图，正方形 的边长为6，点 , 分别从点 , 同时出发，沿着射线 ,射线 匀速运动（二者速度相等）.设直线 与直线 交于点 ，连接 ，则线段 的长度的最小值为_ ________.
（1） _____ ；
120
（2）点 在以线段 为弦，且所对圆心角为_____ 的圆上运动，在图中画出该圆；
120
[答案] 图略.
（3） 的最小值为_ ____.
模型总结
1.知识依据：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（圆周角定理的推论）.如图（1）, .
（3） 的最小值为_ ________.
模型总结
1.知识依据： 的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理的推论）.
2.模型说明：（1）如图（1），在 中， ，若 的长固定，则点 的运动轨迹为以 为直径的 不含点 ， .
图（1）
图（2）
（2）如图（2）， 和 共斜边 ，则 ， ， ， 四点共圆，均在以 为直径的 上.（确定四点共圆后，可根据圆周角定理的推论得到角相等，完成角度的等量转化）
强化训练
7.[2023四川达州] 在 中， ， ，在边 上有一点 ，且 ，连接 ，则 的最小值为__________．
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
提分技法圆上的点到，过点 作 于点 ，交优弧 于点 ，交劣弧 于点 ,则 的长为 上的点到 的最大距离， 的长为劣弧 上的点到 的最大距离._
如图， 是 外一条直线，过点 作 于点 ,交 于点 , ，则 上的点到 的最大距离为 的长，最小距离为 的长._
强化训练
4.如图，在平行四边形 中, ， ， ，点 是平行四边形 内部的一个动点,且 ,则线段 的最小值为_ ________.
（第5题）
5.如图，正方形 的边长为6，点 , 分别从点 , 同时出发，沿着射线 ,射线 匀速运动（二者速度相等）.设直线 与直线 交于点 ，连接 ，则线段 的长度的最小值为_ ________.
（1） _____ ；
120
（2）点 在以线段 为弦，且所对圆心角为_____ 的圆上运动，在图中画出该圆；
120
[答案] 图略.
（3） 的最小值为_ ____.
模型总结
1.知识依据：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（圆周角定理的推论）.如图（1）, .
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.
15
四、四点共圆
1.依据： 对角互补（或一边所对的两个角相等）的四
边形四个顶点共圆。
.
16
2.应用：
如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分
别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，
若AP=2，求CF的长。
2
简析：
因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°， 知D、F、C、E、P共圆，如下图， 由∠1=∠2、∠4=∠5，易得 ΔAPD∽ΔDCF，CF：AP＝CD： AD，得CF＝1.5。
值为 2 10 2 。
3.练习： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，
BC=8，点F作边AC上，且CF=2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在 点P处，则点P到边AB的距离的最小值为_____.
M
.
8
3.练习： 如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,
简析： AB为定线，∠APB
为定角（90°），P点 路径为以AB为弦（直径） 的弧，如下图，易得DP 为2或8。
.
12
3.练习： 如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC
的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动， AB = 2，那么OC的最大值为______.
简析： AB为定线，∠XOY为定角，
5 4
1 3
.
17
练习：
如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE，AF分 别交射线CB，DC于点E，F，交直线BD于M，N. （1）如图1，当点E，F在边BC，CD上时，求证： △AMN∽△DFN. （2）在（1）的条件下，求证：AE= A2N. （3）如图2，当E，F在边CB，DC的延长线上，AM=3 时，求AF的长.
图①
图②
.
22
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
O点路径为以AB为弦所含圆周 角为45°的弧，如下图，转化 为求定点C到定圆M的最长路径， 即CM+MO=√3+1+√2。
.
13
三、三点（不共线）定圆
1.依据： 不在同一直线上的三点确定一个圆。
.
14
2.应用： ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，
CD=6，求AD的长。
简析：
作ΔABC的外接圆，如下 图，易得AD=7+5=12。
移动半径增大直至D到B处（不
含B点），得2≤AD<3。
.
21
如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D 为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点， CM的延长线交AB于点F.
(1)求证：CM＝EM； (2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小； (3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的 中点，求证：AN∥EM.
BD= 15 。
15 1
2
2
.
5
A
C
B
A
B
C
.
6
2.应用： （1）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D， 则B′D的最小值是_________.
简析： E为定点，EB′为定长，B′ 点路径为以E为圆心EB′为半 径的圆，作穿心线DE得最小
∠BAC=44°，求∠CAD的度数。
.
9
二、定线(段）+定角
1.依据： 与一条定线（段）的两端夹角一定的动点路
径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
特别地： 当定角为直角时， 定弦即为直径。
.
10
2.应用： （1）
O
.
11
2.应用： （2）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上 的动点，当∠APB=90°时，求DP的长.
.
20
小试牛刀：
2.如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB ＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、 C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是_____ 。
简析：
因DA=DE，可以D点为圆心
以DA为半径作圆，则圆D与BC
相切时，半径DE最小。E向B点
.
18
小试牛刀：学了这么多，该你试一试了！
1.如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射 线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为_____.
.
19
简析：
图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO ＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.
有“圆”千里来相会， 无“圆”对面不相识。 “圆”出“缘”生关系现， “圆”成“缘”通真相明。
.
3
一、定点+定长
1.依据： 到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为
圆心定长为半径的圆。
.
4
2.应用： （2）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2， BC=1，AB∥CD，求BD的长。
简析：
由AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为 半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求
问题：
如图，已知菱形ABCD，E是BC边上一点，连
接AE交BD于点F.
A
当∠ABC=90°时，过点C作
D
CG⊥AE交AE的延长线于点G，
连接DG.
F
求证：∠BDG=∠BAE.
B
C
E
图3
G
.
1
“圆”来如此简单！
－隐圆大合集
定远第一初级中学 钱传福. Nhomakorabea2
确定隐圆的条件：
定点定长走圆周， 定线定角跑双弧。 三点（不共线）必有外接圆， 对角互补也共圆。