隐圆专题(培优班课件)

图①
图②
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问题：
如图，已知菱形ABCD，E是BC边上一点，连
接AE交BD于点F.
A
当∠ABC=90°时，过点C作
D
CG⊥AE交AE的延长线于点G，
连接DG.
F
求证：∠BDG=∠BAE.
B
C
E
图3
G
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1
“圆”来如此简单！
－隐圆大合集
定远第一初级中学 钱传福
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2
确定隐圆的条件：
定点定长走圆周， 定线定角跑双弧。 三点（不共线）必有外接圆， 对角互补也共圆。
有“圆”千里来相会， 无“圆”对面不相识。 “圆”出“缘”生关系现， “圆”成“缘”通真相明。
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3
一、定点+定长
1.依据： 到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为
圆心定长为半径的圆。
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4
2.应用： （2）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2， BC=1，AB∥CD，求BD的长。
简析：
由AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为 半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求
值为 2 10 2 。
3.练习： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，
BC=8，点F作边AC上，且CF=2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在 点P处，则点P到边AB的距离的最小值为_____.
M
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8
3.练习： 如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,
简析： AB为定线，∠APB
为定角（90°），P点 路径为以AB为弦（直径） 的弧，如下图，易得DP 为2或8。
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3.练习： 如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC
的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动， AB = 2，那么OC的最大值为______.
简析： AB为定线，∠XOY为定角，
移动半径增大直至D到B处（不
含B点），得2≤AD<3。
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如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D 为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点， CM的延长线交AB于点F.
(1)求证：CM＝EM； (2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小； (3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的 中点，求证：AN∥EM.
BD= 15 。
15 1
2
2
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5
A
C
B
A
B
C
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6
2.应用： （1）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D， 则B′D的最小值是_________.
简析： E为定点，EB′为定长，B′ 点路径为以E为圆心EB′为半 径的圆，作穿心线DE得最小
O点路径为以AB为弦所含圆周 角为45°的弧，如下图，转化 为求定点C到定圆M的最长路径， 即CM+MO=√3+1+√2。
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三、三点（不共线）定圆
1.依据： 不在同一直线上的三点确定一个圆。
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2.应用： ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，
CD=6，求AD的长。
简析：
作ΔABC的外接圆，如下 图，易得AD=7+5=12。
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小试牛刀：
2.如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB ＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、 C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是_____ 。
简析：
因DA=DE，可以D点为圆心
以DA为半径作圆，则圆D与BC
相切时，半径DE最小。E向B点
∠BAC=44°，求∠CAD的度数。
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二、定线(段）+定角
1.依据： 与一条定线（段）的两端夹角一定的动点路
径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
特别地： 当定角为直角时， 定弦即为直径。
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10
2.应用： （1）
O
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2.应用： （2）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上 的动点，当∠APB=90°时，求DP的长.
ห้องสมุดไป่ตู้
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四、四点共圆
1.依据： 对角互补（或一边所对的两个角相等）的四
边形四个顶点共圆。
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2.应用：
如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分
别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，
若AP=2，求CF的长。
2
简析：
因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°， 知D、F、C、E、P共圆，如下图， 由∠1=∠2、∠4=∠5，易得 ΔAPD∽ΔDCF，CF：AP＝CD： AD，得CF＝1.5。
5 4
1 3
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练习：
如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE，AF分 别交射线CB，DC于点E，F，交直线BD于M，N. （1）如图1，当点E，F在边BC，CD上时，求证： △AMN∽△DFN. （2）在（1）的条件下，求证：AE= A2N. （3）如图2，当E，F在边CB，DC的延长线上，AM=3 时，求AF的长.
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小试牛刀：学了这么多，该你试一试了！
1.如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射 线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为_____.
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简析：
图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO ＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.