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初中数学：等边三角形测试题

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初中数学：等边三角形练习(含解析)

初中数学：等边三角形练习(含解析)

初中数学：等边三角形练习（含解析）一、选择题1、下面的图形是轴对称图形，而且对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行判断.解：等腰三角形有1条对称轴，等腰直角三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，一般的直角三角形不是轴对称图形，所以对称轴最多的是等边三角形.故应选C.考点：等边三角形2、如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A. 60°B. 45°C. 40°D. 30°【答案】A【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可得：AC=AB，∠CAE=∠B，根据SAS可证△AEC≌△BDA，根据全等三角形的性质可证∠BAD=∠ACE，所以∠DAC+∠ACE=60°，所以∠DFC=60°.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAE=∠B=60°，在△AEC和△BDA中，AE BD EAC DBA AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDA ，∴∠BAD=∠ACE ，∵∠DAC+∠BAD=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=60°.故应选A.考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质3、下面给出的几种三角形：①三个内角都相等；②有两个外角为120°；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线；④三条边上的高相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】试题分析：根据等边三角形的定义和判定定理进行判断.解：①三角形个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个外角是120°的三角形的两个内角一定是60°，根据三角形内角和定理可得：第三个内角也是60°，所以这个三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线一定是等腰三角形，不一定是等边三角形；④根据三角形的面积公式可得：当三角形三条边上的高相等时，三角形的三条边也相等，所以这个三角形是等边三角形.所以正确的有3个.故应选B.考点：等边三角形的判定二、填空题4、在△ABC 中，如果AB=AC=BC ，则∠A ＝_________，∠B ＝___________，∠C ＝_________。

专题27等边三角形-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【苏科版】

专题27等边三角形-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【苏科版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.7等边三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·江苏九年级专题练习）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60︒的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60︒且是轴对称图形的三角形【答案】B【分析】根据等边三角形的判定解题．【详解】解：A、两个内角为60︒，根据三角形的内角和为180︒，可知另一个内角也为60︒，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意；B、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意；C、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意；D、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60︒，有两边相等且一角为60︒的三角形是等边三角形．故不符合题意；故选：B．2．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学九年级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60︒，那么这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】A【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【详解】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．故选：A．3．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学九年级月考）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【详解】解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确；②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误；③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误；④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，正确的命题有2个，故选：C．4．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于（）A．4B．6C．8D．10【分析】由在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，可判定△ABC是等边三角形，继而可求得答案．【解析】∵在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝6．故选：B．5．（2019秋•江苏省封开县期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解析】∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，∴斜边的长为2×2＝4cm．故选：B．6．（2020•宝应县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝70°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC 的中点，连接ED，则∠CED的度数是（）A．20°B．40°C．55°D．70°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质得到ED＝EB，得到∠EDB＝∠B，根据三角形的外角的性质得到答案．【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝70°，∴∠B＝20°，∵CD⊥AB，E是BC的中点，∴ED=12BC＝EB，∴∠EDB＝∠B＝20°，∴∠CED＝∠EDB+∠B＝40°，故选：B．7．（2019秋•江苏省苏州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（）A．10B．12C．14D．16【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，根据直角三角形的性质得到DE=12AC＝AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴BD＝DC，∵△ABC的周长为20，∴AC+CD＝10，在Rt△ADC中，点E为AC的中点，∴DE=12AC＝AE，∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝AE+EC+CD＝AC+CD＝10，故选：A．8．（2020春•赣榆区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF ＝∠CBE ＝22.5°，∴∠EFC ＝∠BEF +∠CBE ＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C ．9．（2020·宿迁市钟吾初级中学）如图，等边△ABC 中，AB=2，D 为△ABC 内一点，且DA=DB ，E 为△ABC 外一点，BE=AB ，且∠EBD=∠CBD ，连接DE ，CE ，则下列结论：①∠DAC=∠DBC ；②BE ⊥AC ；③∠DEB=30°；④若EC ∥AD ，则S △EBC =1，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】连接DC ，DE ，证ACD BCD ∆≅∆得出①DAC DBC ∠=∠；再证BED BCD ∆≅∆，得出30BED BCD ∠=∠=︒；其它两个条件运用假设成立推出答案即可．【详解】连接DC ，DE ，ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴==，60ACB ∠=，DB DA =，DC DC =，在ACD ∆与BCD ∆中，AB BC DB DA DC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ACD BCD ∴∆≅∆()SSS ，1302BCD ACD ACB ∴∠=∠=∠=︒，∠DAC=∠DBC ， BE AB =，BE BC ∴=，DBE DBC ∠=∠，BD BD =，在BED ∆与BCD ∆中，BE BC DBE DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BED BCD ∴∆≅∆(SAS)，30BED BCD ∴∠=∠=︒．故①③正确．//EC AD ，DAC ECA ∴∠=∠，DBE DBC ∠=∠，DAC DBC ∠=∠，∴ECA DBC DBE ∠=∠=∠，∴∠EBC=2∠ACE ，BE BA =，BE BC ∴=，60BCE BEC ACE ∴∠=∠=︒+∠，在BCE ∆中三角和为180︒，即∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，22(60)180ACE ACE ∴∠+︒+∠=︒15ACE ∴∠=︒，30CBE ∴∠=，这时BE 是AC 边上的中垂线，故结论②错误．BE 边上的高112BC ==，1EBC S ∆∴=，故结论④是正确的．故选C ．10．（2020·苏州市吴江区铜罗中学八年级月考）如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，④正确；∠AMC＝∠DNC，②正确；CM＝CN，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠MCN＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•邗江区二模）如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝100°．【分析】根据等边三角形的性质可得角A等于60度，再根据两直线平行内错角相等即可求出角2的度数．【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠3＝∠1＝40°，∴∠4＝60°+40°＝100°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠4＝100°．故答案为：100．12．（2019秋•江苏省鼓楼区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE ⊥BC交AB于点E，则AE＝2．【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，∵BD＝2，∴EB＝2BD＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，故答案为：2．13．（2019秋•江苏省泉山区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝1．【分析】连接AN，AM，根据线段垂直平分线性质求出BM＝AM，CN＝AN，根据等腰三角形的性质求出∠C，∠B，∠MAB，∠NAC，求出△AMN是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AN＝2＝CN，再求出NF即可．【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B=12（180°﹣∠A）＝30°，连接AN，AM，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵MN＝2，∴AN＝2＝CN，在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，∴NF=12CN＝1，故答案为：1．14．（2019秋•江苏省仪征市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于16．【分析】由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质求出DF、EF、DE的长，即可得出答案．【解析】∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，∴DF =12AC ＝6，EF =12BC ＝4，DE =12AB ＝6，∴△DEF 的周长＝DF +EF +DE ＝6+4+6＝16；故答案为：16．15．（2020·江苏徐州市·八年级期中）在△ABC 中，AB =AC ，∠B ＝60°，BC =2cm ，则AC=________cm ．【答案】2【分析】由在△ABC 中，AB=BC=6，∠B=60°，可判定△ABC 是等边三角形，继而可求得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2cm ．故答案为：2．16．（2020·江苏常州市·）如图，已知在等边三角形ABC 中，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，AF 、BE 相交于点O ，则BOF ∠=________°．【答案】60【分析】根据等边三角形ABC 中，AE CF =，通过证明ABE CAF ≌，得AEB AFC ，从而得到180AFC CEB ∠+∠=；根据四边形内角和360，计算得EOF ∠，再根据补角性质计算，即可得到答案． 【详解】∵等边三角形ABC 中，AE CF =∴60AE CF AB AC BAE C =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴ABE CAF ≌∴AEB AFC∵180AEB CEB ∠+∠=∴180AFC CEB ∠+∠=∴36036018060120EOF AFC CEB C ∠=-∠-∠-∠=--=∴18060BOF EOF ∠=-∠=故答案为：60．17（2020·江苏盐城市·八年级期中）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、F 在同一直线上，CD=CE ，DF=DG ，则∠F=_________°．【答案】15【分析】由题意易得∠ACB=60°，∠EDC=∠ECD ，∠F=∠DGF ，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE ，DF=DG ，∴∠EDC=∠ECD ，∠F=∠DGF ，∴∠ACB=2∠EDC ，∠EDC=2∠F ，∴∠ACB=4∠F ，∴∠F=15°；故答案为15．18．（2020·江苏无锡市·东绛实验学校八年级期中）如图，在ABC 中，∠A=60°，D 是边AC 上一点，且BD=BC ．若CD=2，AD=3，则AB=________．【答案】8．【分析】过B 作BE ⊥AC 于E ，延长AC 到F 使EF=AE ，连结BF ， 易证△BFE ≌△BAE(SAS)，得∠F=∠A=60º，△ABF 为等边三角形，由BD=BC ．利用三线合一得到CE=DE=12CD ，AE=AD+ED ，AB=AF=2AE 即可求出．【详解】过B 作BE ⊥AC 于E ，延长AC 到F 使EF=AE ，连结BF ，在△BFE 和△BEA 中，∵BE=BE ，∠BEF=∠BEA=90º，EF=EA ，∴△BFE ≌△BAE(SAS)，∴∠F=∠A=60º，∴△ABF 为等边三角形，∵BD=BC ，BE ⊥AC ，∴CE=DE=12CD=1， ∴AE=AD+ED=3+1=4，∴AB=AF=2AE=2×4=8．故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图，E 是等边ABC 外一点，D 在BC 的延长线上，连接BE ，AD ，且有EBD DAC ∠=∠，BE AD =．求证：CDE △为等边三角形．【答案】见解析【分析】根据等边三角形的性质可得CA=CB ，∠ACB=60°，进而可根据SAS 证明△BCE ≌△ACD ，根据全等三角形的性质可得 CE=CD ，∠BCE=∠ACD ，于是可得∠ECD=∠ACB=60°，进一步即可推出结论．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴CA=CB ，∠ACB=60°，在△BCE 和△ACD 中，∵CB=CA ，EBD DAC ∠=∠，BE AD =，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴CE=CD ，∠BCE=∠ACD ，∴∠ECD=∠ACB=60°，∴△CDE 是等边三角形．20．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90．【分析】（1）作AF BC ⊥于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ．AB AC =，AD AE =，∴BF CF=，DF EF=，∴BF DF CF EF-=-，∴BD CE=．（2）AD DE AE==，∴ADE是等边三角形，∴60DAE ADE∠=∠=，AD BD=，∴DAB DBA∠=∠，∴1302DAB ADE∠=∠=，∴603090BAE DAB DAE∠=∠+∠=+=．答：BAE∠的度数为：90．21．（2019·江苏泰州市·八年级期中）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P.（1）求证：BF＝CE；（2）求∠BPC的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）先根据等边三角形和已知条件证明△ABF≌△BCE，然后根据全等三角形的性质证明即可；（2）先证明∠ABF=∠BCE，再运用等量代换说明∠BCE+∠FBC=60°，最后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形,A EBC AB BC∴∠=∠=在△ABF和△BCE中AF BE A EBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△BCE∴BF=CE ；（2）∵△ABF ≌△BCE∴∠ABF=∠BCE∵∠ABF+∠FBC=60°∴∠BCE+∠FBC=60°∴∠BPC=180°-（∠BCE+∠FBC ）=180°-60°=120°．22．（2020·江苏镇江市·）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是射线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）如图1，点D 与点B 重合，求证：AE =FC ；（类比探究）（1）如图2，点D 在边BC 上，求证：CE +CF =CD ；（2）如图3，点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论．【答案】（1）详见解析；（2）CD= CF+CE ；（3）CF=CD+EC【分析】问题解决：由△ABC 和△DEF 是等边三角形可证得∠ABE =∠CBF ，再根据SAS 证明△ABE ≌△CBF 即可得到结论；类比探究：（1）在CD 上截取CH=CE ，易证△CEH 是等边三角形，得出EH=EC=CH ，证明△DEH ≌△FEC （SAS ），得出DH=CF ，即可得出结论；（2）过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证∠GDC=∠DGC=60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG=CD=CG ，证明△EGD ≌△FCD （SAS ），得出EG=FC ，即可得出FC=CD+CE ．【详解】证明：（1）∵△ABC 和△DEF 是等边三角形∴AB =BC ，∠ABC =∠EDC =60°， DE =DF ，∴ ∠ABC -∠EBC =∠EDC -∠EBC即∠ABE =∠CBF在△ABE 和△CBF 中∵AB BC ABE CBF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBF∴AE =CF（2）证明：在CD 上截取CH=CE ，如图1所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH=60°，∴△CEH 是等边三角形，∴EH=EC=CH ，∠CEH=60°，∵△DEF 是等边三角形，∴DE=FE ，∠DEF=60°，∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，∴∠DEH=∠FEC ，在△DEH 和△FEC 中，DE FE DEH FEC EH EC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DEH ≌△FEC （SAS ），∴DH=CF ，∴CD=CH+DH=CE+CF ，∴CE+CF=CD ；（3）线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC=CD+CE ；理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∵GD ∥AB ，∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，∴∠GDC=∠DGC=60°，∴△GCD 为等边三角形，∴DG=CD=CG ，∠GDC=60°，∵△EDF 为等边三角形，∴ED=DF ，∠EDF=∠GDC=60°，∴∠EDG=∠FDC ，在△EGD 和△FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EGD ≌△FCD （SAS ），∴EG=FC ，∴FC=EG=CG+CE=CD+CE ．23．（2019·浙江八年级期中）如图①，点P Q 、分别是等边ABC 边AB BC 、上的动点（端点除外），点P 从点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连续AQ CP 、交于点M ．（1）求证：ABQ CAP ≌；（2）点P Q 、分别在AB BC 、边上运动时，QMC ∠变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图②，若点P Q 、在运动到终点后继续在射线AB BC 、上运动，直线AQ CP 、交点为M ，求QMC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120°【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS 证明ABQ CAP ∆≅∆即可；（2）先判定ABQ CAP ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得BAQ ACP ∠=∠，从而得到60QMC ∠=︒； （3）先判定ABQ CAP ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得BAQ ACP ∠=∠，从而得到120QMC ∠=︒．【详解】解：（1）证明：如图1，ABC ∆是等边三角形，60ABQ CAP ∴∠=∠=︒，AB CA =， 又点P 、Q 运动速度相同，AP =BQ ∴，在ABQ ∆与CAP ∆中，AB CA ABQ CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABQ CAP SAS ∴∆≅∆；∠不变．（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，QMC∆≅∆，理由：ABQ CAP∴∠=∠，BAQ ACPQMC∠是ACM∆的外角，∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，QMC ACP MAC BAQ MAC BAC∠=︒，BAC60∴∠=︒；QMC60∠不变．（3）如图，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，QMC∆≅∆，理由：同理可得，ABQ CAP∴∠=∠，BAQ ACP∠是APMQMC∆的外角，∴∠=∠+∠，QMC BAQ APM∴∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，QMC ACP APM PAC180********∠的度数为120︒．即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，QMC24．（2019秋•江苏省邗江区月考）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：P A＝PM．【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形∴∠B＝60°∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°∵AP＝AQ∴∠AQB＝∠APC＝80°，（2）①补全图形如图所示，②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，可得∠P AB＝∠QAC，∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM∴∠MAC+∠P AC＝∠P AB+∠P AC＝60°，∴△APM为等边三角形∴P A＝PM．。

等边三角形的判定-初中数学习题集含答案

等边三角形的判定-初中数学习题集含答案

等边三角形的判定（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2016秋•西城区校级期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是 A ．有两个内角是的三角形B ．有两边相等且是轴对称图形的三角形C ．三边都相等的三角形D ．有一个角是且是轴对称图形的三角形2．（2016秋•西城区校级期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是 A ．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形B ．三边都相等的三角形是等边三角形C ．有一个角是的等腰三角形是等边三角形D ．有两个内角是的三角形是等边三角形3．（2011秋•东城区期末）若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是 A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．上述三种情形都有可能 4．（2010秋•海淀区期末）的三边、、满足：，则为A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．（2006秋•西城区期末）下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有 个①有两个内角为的三角形②外角都相等的三角形③一边上的高也是这边上中线的三角形④有一个角是的三角形．A ．4B ．3C ．2D ．1二．解答题（共3小题）6．（2015秋•东城区期末）在中，，，所对的边，满足．（1）证明：是边长为2的等边三角形．（2）若，两边上的中线，交于点，求的值．()60︒60︒()60︒60︒60︒()ABC ∆a b c 2222223a b c a b c ++--=-ABC ∆()()60︒60︒ABC ∆60A ∠=︒ABC ∠ACB ∠b c 224()80b c b c +-++=ABC ∆b c BD CE O :OD OB7．（2016•门头沟区二模）如图，在中，，，为边上的中线．求证：是等边三角形．8．（2009秋•海淀区校级期末）如图，，，，试判断三角形的形状，并说明理由．ABC ∆90BAC ∠=︒30C ∠=︒AE BC ABE ∆15BAD BDA ∠=∠=︒45CAD ∠=︒30CDA ∠=︒ABC等边三角形的判定（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2016秋•西城区校级期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是 A ．有两个内角是的三角形B ．有两边相等且是轴对称图形的三角形C ．三边都相等的三角形D ．有一个角是且是轴对称图形的三角形【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为且两边相等或有两个内角为中任意一个条件的三角形都是等边三角形．【解答】解：、两个内角为，根据三角形的内角和为，可知另一个内角也为，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意；、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意；、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意；、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是，有两边相等且一角为的三角形是等边三角形．故不符合题意；故选：．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，轴对称图形的定义，掌握等边三角形的判定是解本题的关键．2．（2016秋•西城区校级期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是 A ．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形B ．三边都相等的三角形是等边三角形C ．有一个角是的等腰三角形是等边三角形D ．有两个内角是的三角形是等边三角形【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为且两边相等或有两个内角为中任意一个条件的三角形都是等边三角形．【解答】、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意； 、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；、有一个角是的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；()60︒60︒60︒60︒A 60︒180︒60︒B C D 60︒60︒B ()60︒60︒60︒60︒A B C 60︒、两个内角为，因为三角形的内角和为，可知另一个内角也为，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了等边三角形的判定：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．3．（2011秋•东城区期末）若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是 A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．上述三种情形都有可能【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．故选：．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握．4．（2010秋•海淀区期末）的三边、、满足：，则为 A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【分析】原式可化为，即，根据完全平方公式得，由非负数的性质可得三边相等．【解答】解：原式可化为，即，，，，，，，，故，为等边三角形．故选：．【点评】本题主要考查等边三角形的判断，此题要转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．D 60︒180︒60︒A 60︒60︒()60︒60︒C ABC ∆a b c 2222223a b c a b c ++--=-ABC ∆()22222230a b c a b c ++---+=2222121210a a b b c c -++-++-+=222(1)(1)(1)0a b c -+-+-=22222230a b c a b c ++---+=2222121210a a b b c c -++-++-+=222(1)(1)(1)0a b c ∴-+-+-=10a ∴-=1a =10b -=1b =10c -=1c =a b c ==ABC ∴∆D非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若，，，为非负数，且，则必有．5．（2006秋•西城区期末）下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有 个①有两个内角为的三角形②外角都相等的三角形③一边上的高也是这边上中线的三角形④有一个角是的三角形．A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】①一个三角形有两个角为，利用内角和定理得到第三个也为，可得出此三角形三内角相等，利用等角对等边得到三条边相等，故此三角形为等边三角形；②外角都相等，利用外角与相邻的内角互补，得到三内角相等，进而确定出三角形为等边三角形；③等腰三角形底边上的高为这边的中线，但不一定为等边三角形；④有一个角为的三角形不一定为等边三角形，比如中，，，．【解答】解：①有两个内角为的三角形，由三角形的内角和定理得到第三个角为，可得此三角形三内角相等，即三角形为等边三角形，本选项符合题意；②若一个三角形三外角都相等，可得出三内角相等，故此三角形为等边三角形，本选项符合题意；③一边上的高也是这边上中线的三角形为等腰三角形，不一定为等边三角形，本选项不合题意；④有一个角是的三角形不一定为等边三角形，例如：中，，，， 则是等边三角形的个数有2个．故选：．【点评】此题考查了等边三角形的判定，其中等边三角形的判定方法有：三边相等的三角形为等边三角形；三内角相等的三角形为等边三角形；有一个角为的等腰三角形为等边三角形．二．解答题（共3小题）6．（2015秋•东城区期末）在中，，，所对的边，满足．（1）证明：是边长为2的等边三角形．（2）若，两边上的中线，交于点，求的值．1a 2a ⋯n a 120n a a a ++⋯+=120n a a a ==⋯==()60︒60︒60︒60︒60︒Rt ABC ∆90A ∠=︒60B ∠=︒30C ∠=︒60︒60︒60︒Rt ABC ∆90A ∠=︒60B ∠=︒30C ∠=︒C 60︒ABC ∆60A ∠=︒ABC ∠ACB ∠b c 224()80b c b c +-++=ABC ∆b c BD CE O :OD OB【分析】（1）由，可以判定，可以确定是边长为1的等边三角形；（2）连接，点、分别是边、边上的中点，所以，，，即可得到答案．【解答】解：（1）， ，，又，所以是边长为2的等边三角形；（2）连接，点、分别是边、边上的中点，所以，， ，，【点评】本题考查因式分解的应用以及相似三角形的综合应用，解答本题的关在在于熟记公式的转化和相似三角形的判定方法和性质的综合应用．7．（2016•门头沟区二模）如图，在中，，，为边上的中线．求证：是等边三角形．222()20b c b c +-++=b c =60A ∠=︒ABC ∆DE D E AC AB //DE BC 12DE BC =DEO BOC ∴∆∆∽224()80b c b c +-++=Q 22(2)(2)0b c ∴-+-=2b c ∴==60A ∠=︒Q ABC ∆DE Q D E AC AB //DE BC 12DE BC =//DE BC Q DEO BOC ∴∆∆∽∴12DE OD BC OB ==ABC ∆90BAC ∠=︒30C ∠=︒AE BC ABE ∆【分析】根据直角三角形的性质得出，即可得出答案．【解答】证明：，，， 为边上的中线，，，是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形．8．（2009秋•海淀区校级期末）如图，，，，试判断三角形的形状，并说明理由．【分析】，，因此首先将绕点旋转，使点与点重合，得，连接，则得到，再由角的关系及等腰三角形的性质证明△，，得出，从而得证．【解答】解：三角形为等边三角形；理由：，，因此将绕点旋转，使点与点重合，连接，则，，，，，，，， ，，又，AE BE CE AB ===90BAC ∠=︒Q 30C ∠=︒12AB BC ∴=AE Q BC AE BE CE ∴==AB AE BE ∴==ABE ∴∆15BAD BDA ∠=∠=︒45CAD ∠=︒30CDA ∠=︒ABC 15BAD BDA ∠=∠=︒Q AB DB ∴=ABC ∆B A D ABC ∆'CC 'ABC ABC ∆≅∆'ACD ∆≅C DC 'ABD CBC ∆≅∆'60ACB BAC ABC ∠=∠=∠=︒ABC 15BAD BDA ∠=∠=︒Q AB DB ∴=ABC ∆B A D CC 'ABC ABC ∆≅∆'BC BC ∴='AC DC ='BDC BAC ∠=∠ABC DBC ∠=∠'15BAD BDA ∠=∠=︒Q 45CAD ∠=︒30CDA ∠=︒30154515105CDC CDA BDA BDC CDA BDA ABC CDA BDA CAD BAD ∴∠'=∠+∠+∠'=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒+︒+︒=︒1801804530105ACD CAD CDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒CD CD =△，，，，，，，，，，，为等边三角形．【点评】此题考查的知识点是等边三角形的判定，关键是通过旋转三角形及证明△和得出结论．ACD ∴∆≅C DC 'AD CC ∴='CBC DBC CBD ∠'=∠'+∠ABD ABC CBD ∠=∠+∠ABC DBC ∠=∠'Q 1801515150CBC ABD ∴∠'=∠=︒-︒-︒=︒15BCC BC C ∴∠'=∠'=︒ABD CBC ∴∆≅∆'AB BC ∴=154560ACB BAC BAD CAD ∴∠=∠=∠+∠=︒+︒=︒60ABC ∴∠=︒ABC ∴∆ACD ∴∆≅C DC 'ABD CBC ∆≅∆'。

(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试(包含答案解析)(5)

(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试(包含答案解析)(5)

一、选择题1．如图，ABD △与AEC 都是等边三角形，AB AC ≠．下列结论中，①BE CD =；②60BOD ∠=︒；③BDO CEO ∠=∠．其中正确的有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．5，6，11B ．3，4，8C ．5，6，10D ．6，6，13 3．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）A ．4，4B ．17，29C ．3，12D ．2，9 4．已知三角形的两边长分别为3和8，且周长恰好是5的倍数，那么第三边的长为（ ） A ．4B ．9C ．14D ．4或95．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°6．如图，ABC A BC '≌，110A '∠=︒，30ABC ∠=︒，则ACB =∠( )A ．40︒B ．20︒C ．30D ．45︒7．如图，已知AOB ∠，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定111COD C O D ≌，其判定的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS8．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④9．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①②去10．下列各组条件中，不能判定A ABC B C '''≌△△的是（ ）A ．AC A C BCBC C C '''''==∠=∠ B ．A A BC B C AC A C '''''∠=∠== C ．AC A C AB A B A A '''''==∠=∠D ．AC A C A A C C ''''=∠=∠∠=∠11．在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．9cmD ．13cm12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S二、填空题13．如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BDCD=_______．14．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．15．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．17．如图，已知四边形ABCD 中，10AB =厘米，8BC =厘米，12CD =厘米，B C ∠=∠，点E 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为______厘米/秒时，能够使BEP △与CPQ 全等．18．在平面直角坐标系中，点A （2，0）B （0，4）,作△BOC ，使△BOC 和△ABO 全等，则点C 坐标为________19．如图，OA ⊥OB ，∠BOC ＝30°，OD 平分∠AOC ，则∠BOD ＝_____度．20．三角形的两条边长分别是2cm ，8cm ，第三边为奇数，则其周长为________．三、解答题21．已知ABC 的周长为37cm ，AD 是BC 边上的中线，23AC BC =．（1）如图，当15AB cm =时，求BD 的长． （2）若14AC cm =，能否求出DC 的长？为什么？22．如图，CE AB ⊥于点,E BF AC ⊥于点,F CE 交BF 于点,D 且BD CD =．()1如果已知65BAC ∠=︒，求BDC ∠的度数；()2在图中补全射线,AD 并证明射线AD 是BAC ∠的平分线．23．如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ；（2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．24．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形； ②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形． 25．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△； （2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．26．△ABC 中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD ⊥OB ，交边BC 于点D ． （1）如图1，猜想∠AOC 与∠ODC 的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC 外角∠ABE 的平分线交CO 的延长线于点F ． ①求证：BF ∥OD ；②若∠F ＝35°，求∠BAC 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用SAS证明△DAC≌△BAE，利用三角形内角和定理计算∠BOD的大小即可.【详解】△与AEC都是等边三角形，∵ABD∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠CAB =∠EAC+∠CAB，∴∠DAC =∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD，∴结论①正确；∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC =∠ABE，∴∠BOD=180°-(∠BDO+∠DBO)，∵∠BDO+∠DBO=60°-∠ADC +60°+∠ABE=120°，∴∠BOD=180°-120°=60°，∴结论②正确；∠=∠，无法证明BDO CEO∴结论③错误；故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的证明和性质，三角形内角和定理，熟练运用等边三角形的性质证明三角形的全等是解题的关键.2．C解析：C【分析】根据三角形的两边和大于第三边解答.【详解】A、5+6=11，故不能构成三角形；B、3+4<8，故不能构成三角形；C、5+6>10，故能构成三角形；D、6+6<13，故不能构成三角形；故选：C.【点睛】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.3．D解析：D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可．【详解】A、∵4＋4＝8，∴构不成三角形；B、29−17＝12＞8，∴构不成三角形；C、∵12−3＝9＞8，∴构不成三角形；D、9−2＝7＜8，9＋2＝11＞8，∴能够构成三角形，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边的范围，再找出是5倍数的数即可．【详解】∵三角形的两边长分别为3和8∴5<第三边长<11∴11<周长<22∵周长恰好是5的倍数∴周长是15或20∴第三边长是4或9∵3,4,8不能组成三角形∴第三边是9故选B．【点睛】本题考查知识点是三角形三边关系，记住三边关系式解题关键．5．C解析：C 【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案． 【详解】 解：如图，∵两三角形全等， ∴∠2=60°，∠1=52°， ∴∠α=180°-50°-60°=70°， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．6．A解析：A 【分析】根据全等三角形对应角相等即可求解； 【详解】∵ABC A BC '∆≅∆ ， ∴ ∠A=∠A '=110°， ∵∠ABC=30°，∴∠ACB=180°-110°-30°=40°， 故选：A ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应角相等是解题的关键；7．A解析：A 【分析】由作法易得OD ＝O 1D 1，OC ＝O 1C 1，CD ＝C 1D 1，根据SSS 得到三角形全等． 【详解】解：在△COD 和△C 1O 1D 1中，111111CO C O DO D O CD C D=⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴111COD C O D ≌（SSS ）．故选：A ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法SSS 的运用，熟练掌握三角形全等的判定是正确解答本题的关键．8．C解析：C 【分析】三角形有三条中线对①进行判断；钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据三角形的分类对④进行判断． 【详解】①三角形有三条中线，故①错误；②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误； ③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，故④正确； 综上，选项①②③错误， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的有关概念，属于基础题型．要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．9．C解析：C 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．10．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定逐一分析即可．【详解】解：A、根据SAS即可判定全等，该项不符合题意；B、根据SSA不能判定全等，该项符合题意；C、根据SAS即可判定全等，该项不符合题意；D、根据ASA即可判定全等，该项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．11．C解析：C【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：设三角形的第三边为x，则9-4＜x＜4+9即5＜x＜13，∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．12．A解析：A【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．【详解】解：易得OC=O C'，OD=O′D'，CD=C′D'，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．二、填空题13．或2【分析】分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M 可证可得由等腰三角形的性质可得AC=BC 根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时如图过点E 作 解析：25或2 【分析】 分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，可证ADC △AEM ≌△，EMP △BCP ≌△，可得,AM CD PC PM ==，由等腰三角形的性质可得AC=BC ，根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时，如图过点E 作AP 的垂线于点N ，可证ADC △AEN ≌△，ENP △BCP ≌△，可得,AN CD PC PN ==，由等腰三角形的性质可得AC=BC ，根据线段的和差关系可证的结论；【详解】（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90BCP ACD AME ∴∠=∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAM ∴∠+∠=︒ADC EAM ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEM △中ADC EAM ACD AME AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAM∴CD MA =，AC EM =EM BC ∴=BPC EPM ∠=∠∴在BCP 和EMP 中BCP EMP BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EMP △BCP ≌△PC PM ∴=CD AM =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PM x ==3AC BC x ∴==5CD AM x ∴==CD BD BC =+2BD x ∴= 2255BD x CD x ∴== （2）当点D 位于CB 之间时，如图：过点E 作AP 的垂线于点N ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90ACD ANE ∴∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAN ∴∠+∠=︒ADC EAN ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEN △中ADC EAN ACD ANE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAN∴CD NA =，AC EN =EN BC ∴=BPC EPN ∠=∠∴在BCP 和ENP 中BCP ENP BPC EPN BC EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ENP △BCP ≌△PC PN ∴=CD AN =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PN x ==3AC BC x ∴==CD AN x ∴==CD BC BD =-2BD x ∴=22BD x CD x∴== 故答案为：25或2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的关系，同时运用分类讨论的思想．14．或或【分析】要判定△ABC ≌△ADC 已知AC 是公共边具备了一组边和一组角对应相等故添加CB=CD ∠BAC=∠DAC ∠B=∠D 后可分别根据SASASAAAS 能判定△ABC ≌△ADC 【详解】解：添加CB解析： BC DC =或CAB CAD ∠=∠或B D ∠=∠【分析】要判定△ABC ≌△ADC ，已知ACB ACD ∠=∠，AC 是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，故添加CB=CD 、∠BAC=∠DAC 、∠B=∠D 后可分别根据SAS 、ASA 、AAS 能判定△ABC ≌△ADC ．【详解】解：添加CB=CD ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据SAS ，能判定△ABC ≌△ADC ； 添加∠BAC=∠DAC ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据ASA ，能判定△ABC ≌△ADC ； 添加∠B=∠D ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据AAS ，能判定△ABC ≌△ADC ； 故添加的条件是 BC DC =或CAB CAD ∠=∠或B D ∠=∠．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15．OA=OB （答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS 只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB 理由是：在△AOC 和△BOD 中∴△AOC ≌△BOD （SAS ）故答案为：O解析：OA=OB ．（答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】解：OA=OB ，理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．16．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．17．3或【分析】分两种情况讨论依据全等三角形的对应边相等即可得到点Q 的运动速度【详解】解：设点P运动的时间为t秒则BP=3tCP=8-3t∵点为的中点厘米∴AE=BE=5厘米∵∠B=∠C∴①当BE=CP解析：3或15 4【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8-3t，∵点E为AB的中点，10AB 厘米，∴AE=BE=5厘米，∵∠B=∠C，∴①当BE=CP=5，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5=8-3t，解得t=1，∴BP=CQ=3，此时，点Q的运动速度为3÷1=3厘米/秒；②当BE=CQ=5，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t=8-3t，解得t=43，∴点Q的运动速度为5÷43=154厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或154厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．18．(-20)或(24)或(-24)【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形即可得出答案【详解】如图所示：有三个点符合∵点A（20）B（04）∴OB=4OA=2∵△BOC与△AOB全等∴OB=解析：(-2,0)或(2,4)或(-2,4)【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．如图所示：有三个点符合，∵点A（2，0），B（0，4），∴OB=4，OA=2，∵△BOC与△AOB全等，∴OB=OB=4，OA=OC=2，∴C1（-2，0），C2（-2，4），C3（2，4）．故答案为（2，4）或（-2，0）或（-2，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．19．30【分析】本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD与∠BOC 的关系继而将已知代入求解∠BOD【详解】∵OA⊥OB∴∠AOB＝90°即∠AOD+BOD＝90°；∵OD平分∠AOC∴∠AOD＝解析：30【分析】本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD与∠BOC的关系，继而将已知代入求解∠BOD．【详解】∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，即∠AOD+BOD＝90°；∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC，即∠BOD+∠BOC+BOD＝90°，即2∠BOD+∠BOC＝90°∵∠BOC＝30°，∴∠BOD＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查垂直以及角分线的性质，解题关键在于角的互换，其次注意计算仔细即可． 20．17cm 或19cm 【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和【详解】解：8-2＜第三边＜8+2⇒6＜第三边＜10这个范围的奇数是7和9所以三角形的周长是2+8+7=17（cm解析：17cm 或19cm【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．【详解】解：8-2＜第三边＜8+2⇒6＜第三边＜10，这个范围的奇数是7和9，所以三角形的周长是2+8+7=17（cm ）或2+8+9=19（cm ）故答案为：17cm 或19cm ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，首先根据题意求出第三边，然后再求出周长，难度较小．三、解答题21．（1）6cm ；（2）不能求出DC 的长，理由见解析【分析】（1）根据23AC AB =，15AB cm =及ABC 的周长为37cm ，可求得BC ，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC 的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC 不存在，进而可知没法求DC 的长．【详解】解：（1）∵23AC AB =，15AB cm =， ∴215103AC cm =⨯=， 又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=， ∴()3737151012BC AB AC cm =--=--=，又∵AD 是BC 边上的中线， ∴()1112622BD BC cm ==⨯=； （2）不能，理由如下： ∵23AC AB =，14AC cm =， ∴()314212AB cm =⨯=， 又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=，∴()373721142BC AB AC cm =--=--=，∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC 的长．【点睛】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．22．()1115；()2见解析【分析】（1）先求出25B ∠=︒，再根据垂直计算即可；（2）先证明()∆≅∆BDE CDF AAS ，得到DE DF =，再根据垂直和角平分线的性质计算即可；【详解】解：()1⊥BF AC ，65BAC ∠=︒，25B ∴∠=︒，又CE AB ⊥，115BDC B BED ∴∠=∠+∠=；()2如图，射线AD 即为所求；证明：CE AB ⊥，BF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，BDE CDF ∠=∠，DB DC =， ()∴∆≅∆BDE CDF AAS ，DE DF ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴是BAC ∠的平分线．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．23．（1）见解析；（2）AB BC CD AB BD AD ++>+>【分析】（1）①按要求作图；②按要求作图；③按要求作出射线AC，然后以点C为圆心，BC为半径画弧，交射线AC于点D，连接BD；（2）结合图形，根据三角形两边之和大于第三边进行分析比较．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求；②如图，直线BC即为所求；③如图，射线AC，点D，线段BD即为所求（2）如图，在△BCD中，BC+CD＞BD∴AB BC CD AB BD++>+在△ABD中，AB+BD＞AD∴AB BC CD AB BD AD++>+>【点睛】本题考查基本作图及三角形三边关系，正确理解几何语言并掌握三角形三边关系是解题关键．24．（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴= 在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥，90PAF DAF ∴∠+∠=︒ APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中 APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．26．（1）∠AOC ＝∠ODC ，理由见解析；（2）①见解析；②70°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC ＋∠OCA ＝12（180°−∠ABC ），∠OBC ＝12∠ABC ，由三角形的内角和得到∠AOC ＝90°＋∠OBC ，∠ODC ＝90°＋∠OBD ，于是得到结论； （2）①由角平分线的性质得到∠EBF ＝90°−∠DBO ，由三角形的内角和得到∠ODB ＝90°−∠OBD ，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE ＝12（∠BAC ＋∠ACB ），∠FCB ＝12ACB ，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）∠AOC ＝∠ODC ，理由：∵三个内角的平分线交于点O ，∴∠OAC+∠OCA ＝12（∠BAC+∠BCA ）＝12（180°﹣∠ABC ）， ∵∠OBC ＝12∠ABC ， ∴∠AOC ＝180°﹣（∠OAC+∠OCA ）＝90°+12∠ABC ＝90°+∠OBC ， ∵OD ⊥OB ，∴∠BOD ＝90°，∴∠ODC ＝90°+∠OBD ，∴∠AOC ＝∠ODC ；（2）①∵BF 平分∠ABE ，∴∠EBF ＝12∠ABE ＝12（180°﹣∠ABC ）＝90°﹣∠DBO ， ∵∠ODB ＝90°﹣∠OBD ，∴∠FBE ＝∠ODB ，∴BF∥OD；②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE＝12∠ABE＝12（∠BAC+∠ACB），∵三个内角的平分线交于点O，∴∠FCB＝12∠ACB，∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝12（∠BAC+∠ACB）﹣12∠ACB＝12∠BAC，∵∠F＝35°，∴∠BAC＝2∠F＝70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．。

初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析

初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析

特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。

人教版八年级数学上册暑期课程跟踪——13.3.2等边三角形基础练习

人教版八年级数学上册暑期课程跟踪——13.3.2等边三角形基础练习

13.3.2等边三角形基础练习一、选择题1．如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC.则∠BAC的度数是()A．90°B．108°C．120°D．135°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（）A．一个角的平分线是对边的中线或高线B．两边相等，有一个内角是60°C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍D．三个内角都相等4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC ＝35°，则∠ADB 的度数为( )A ．25°B ．60°C ．85°D ．95°5．在ABC ∆中,,60,6AB AC A BC =∠=︒=,则AB 的值是( )A.12B.8C.6D.3 6．如图，将边长为5个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移4个单位得到△A’B’C’，则四边形AA’C’B 的周长为（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25 7．如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边的中点，点E 在AC 的延长线上，且∠CDE=30°．若DE 的长（ ）．A B．C D．8．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P 关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF 等于（）A. B.C.2D.二、填空题10．如图，ABC ∆是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有______个等边三角形.11. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，则∠BAD ＝_____．12．已知在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，AC=8,则BD=______________．13．如图，直线a b ∥，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠＝__°14．如图，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是________三角形．15．如图，已知等边△ABC中，BD=CE,AD与BE交于点P，则∠APE=________.16．如图，将边长为6 cm的等边三角形沿BC方向向右平移4 cm，得到△DEF，DE交AC于点G，则△EGC是_______三角形，DG＝____cm.三、解答题17．如图，△ ABC 是等边三角形,D是AC边上一点，E是BC延长线上一点，连接BD和DE，若∠ABD=40°，BD=DE，求∠CDE的度数.18．如图，在等边△ABC中，DE分别是AB，AC上的点，且AD=CE．（1）求证：BE=CD；（2）求∠1+∠2的度数．19．如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ．D. E 在同一直线上，连接BE.填空：（1），①∠AEB 的度数为 ；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°，点A 、D 、E 在同一直线上，且交BC 于点F ，连接BE.若∠CAF=∠BAF ，BE=2，试求AF 的长.20． 如图，等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DF ⊥BE ，垂足为F.求证：BF ＝EF.21．如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，,EC OB ED OA ⊥⊥，C 、D 是垂足，连接CD 交OE 于点F ，若60AOB ︒∠=(1)求证: OCD ∆是等边三角形:(2)若EF=5，求线段OE 的长，22． 如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E ，A 在直线DC 的同侧，连接AE.求证：AE ∥BC.答案1． C2． D3． A4． D5． C6．B7．A8．D9．B10．511. 30°12．413．4014．等边15．60°16．等边，417．解∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵∠ABD=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-40°=20°，∵BD=DE，∴∠E=∠DBC=20°，∴∠CDE=∠ACB-∠E=40°．18．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，在△ACD和△CBE中，AC=BC，∠A=∠BCE，AD=CE，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）， ∴BE=CD ；（2）解：∵△ACD ≌△CBE ， ∴∠1=∠ACD ，∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°． 19．解 (1)①如图1， ∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°. ∴∠ACD=∠BCE.在△ACD 和△BCE 中， AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE(SAS).∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE 为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°.∵点A,D,E 在同一直线上, ∴∠ADC=120°.∴∠BEC=120°.∴∠AEB=∠BEC−∠CED=60°. 故答案为：60°.②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE.故答案为：AD=BE ；(2)∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE.在△ACD 和△BCE 中， CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE(SAS).∴AD=BE ，∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°.∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC=135°.∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°； 延长BE 交AC 的延长线于点G ， 在△ACF 和△BCG 中,90CAD CBE AC BCACF BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACF ≌△BCG ，∴AF=BG ，∵∠CAF=∠BAF,∠AEB=90°， ∴E 是BG 的中点，∵BE=2，∴AF=4.20． 解：∵BD 是等边三角形ABC 的中线，∴BD 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝12∠ABC ＝12∠ACB ， 又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝12∠ACB ， ∴∠DBE ＝∠E ，∴DB ＝DE ，∵DF ⊥BE ，∴DF 为底边上的中线，∴BF ＝EF21． 解 (1)∵点E 是AOB ∠的平分线上一点，,EC OB ED OA ⊥⊥，垂足分别是C 、D ， DE CE ∴=，在 Rt ODE ∆与Rt OCE ∆中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩， Rt ODE Rt OCE(HL)∴∆≅∆，OD OC ∴=，60AOB ︒∠=，OCD ∴∆是等边三角形；(2)OCD ∆是等边三角形，OF 是COD ∠的平分线，OE DC ∴⊥，60AOB ︒∠=，30AOE BOE ︒∴∠=∠=，60,ODF ED OA ︒∠=⊥，30EDF ︒∴∠=，210DE EF ∴==，220OE DE ∴==22． 解：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形，∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°， ∴∠BCD ＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC(SAS)，∴∠DBC ＝∠EAC ，又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ACB ＝∠EAC ，∴AE ∥BC。

专题05-等腰、等边三角形压轴真题(原卷版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05-等腰、等边三角形压轴真题(原卷版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（原卷版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1．（湘一芙蓉）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A 向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．2．（中雅）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3．（青竹湖）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．4．（广益）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．5．（长郡、雅礼）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q 分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．6．（师梅）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C 的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．7．（郡维）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD 交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．8.（长郡）如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．9．（广益）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（雅境）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．11．（郡维）如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．12．（北雅）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．13．（中雅）已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．14．（雅实）如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C 重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．15．（师梅）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，16．∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．16．（博才）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．17．（青竹湖）如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B （b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y 轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．。

等边三角形的判定与性质-初中数学习题集含答案

等边三角形的判定与性质-初中数学习题集含答案
3．（2013 秋•西城区期末）如图，在 ABC 中， AB AC ， A 60 ， BE AC 于 E ，延长 BC 到 D ，使 CD CE ， 连接 DE ，若 ABC 的周长是 24， BE a ，则 BDE 的周长是 8 3 12 ．
【 分 析 】 根 据 在 ABC 中 ， AB AC ， A 60 ， 可 得 ABC 的 形 状 ， 再 根 据 ABC 的 周 长 是 24 ， 可 得 AB BC AC 8 ，根据 BE AC 于 E ，可得 CE 的长， EBC 30 ，根据 CD CE ，可得 D CED ，根据 ACB 60 ，可得 D ，根据 D 与 EBC ，可得 BE 与 DE 的关系，可得答案． 【解答】解：Q 在 ABC 中， AB AC ， A 60 ， ABC 是等边三角形， Q ABC 的周长是 24， AB AC BC 8 ，
等边三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）
一．填空题（共 5 小题） 1．（2018•东城区一模）含 30 角的直角三角板与直线 l1 ， l2 的位置关系如图所示，已知 l1 / /l2 ， 1 60 ，以下三个
结论中正确的是 （只填序号） ① AC 2BC ；② BCD 为正三角形；③ AD BD
2．（2016 秋•海淀区期中）如图，在等边 ABC 的底边 BC 边上任取一点 D ，过点 D 作 DE / / AC 交 AB 于点 E ，作 DF / / AC 交 AC 于点 F ， DE 5cm ， DF 3cm ，则 ABC 的周长为 cm ．
3．（2013 秋•西城区期末）如图，在 ABC 中， AB AC ， A 60 ， BE AC 于 E ，延长 BC 到 D ，使 CD CE ， 连接 DE ，若 ABC 的周长是 24， BE a ，则 BDE 的周长是 ．

初中数学三角形专题训练50题含参考答案

初中数学三角形专题训练50题含参考答案

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图,已知△ABC的六个元素,则图中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是A．1B．2C．3D．02．如图，以点P为圆心，以x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为()A．B．（4，2）C．（4，4）D．（2，3．如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．1个B．2个C ．3个D ．4个4．在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：下列选项正确的是（ ）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B ∠ 5．如图，在一块长方形草地上修速两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中60KHB ∠=︒，已知20AB =米，30BC =米，四块草地总图积为2503m ，设GH 为x 米，则可列方程为（ ）A ．2030503⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．(20)(30)503x x --=C ．2203097x x x +-=D ．232030974x x x +-= 6．下列四个命题中，是假命题的是（ ）A ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b =，a c =，那么b c =7．如图，BD 是①O 的直径，点A 、C 在圆上，且CD ＝OB ，则①BAC ＝（ ）A．120°B．90°C．60°D．30°8．已知：在平行四边形ABCD中，点M是BC的中点，MAD MDA∠=∠，则B∠=（）A．60°B．90°C．100°D．120°9．两个直角三角形中：①有两条边相等；①一锐角和斜边对应相等；①斜边和一直角边对应相等；①两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（）A．①①①B．①①C．①①D．①①①①10．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则正六边形的边长为（）A．6B．C．D．1211．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=2，连接BD，则BD的长为（）A．3B．C．D12．如图，在△ABC中，①ACB＝90°，①B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，则①CDE 等于（ ）A ．8°B ．10°C ．15°D ．20° 13．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为5，BE AF =，120BAD ∠=︒，则下列命题中正确的是（ ）①BEC AFC ≌；①ECF △为等边三角形；①ECF △的边长最小值为①若2AF =，则23FGC EGC S S =△△．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 14．如图，在直角①O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A ′B ′处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是（ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分15．如图，平面内三点A 、B 、C ，AB ＝，AC ＝BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（）A．5B．C．7D．16．在ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若AOB的面积是8，则ABCD□的面积是（）A．16B．24C．32D．4017．如图，已知半圆O的直径8AB=，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是（）A．7B．6C．5D．418．梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为（）A．5B．10C．503D．25319．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A（x1，0）和B（x2，0），与y轴负半轴交点为C，点D为线段OC上一点．且满足c=x1+b，①ACO=①DBO，则下列说法：①b-c=1；①①AOC①①DOB；①若①DBC=30°，则抛物线的对称轴为直线x①当点B绕点D顺时针旋转90°后得到的点B'也在抛物线上，则抛物线的解析式为y=x2-2x-3．正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题20．如图，P 是MON ∠的平分线上一点，PA ON ⊥于点A ，Q 是射线OM 上一个动点，若8PA =，则PQ 的最小值为______．21．△ABC 中，①A=40o ，①B=60o ，则与①C 相邻外角的度数是______．22．在ABC 中，15,13AB AC ==，高12AD =，则ABC 的周长是 _____． 23．如图，已知ABC BAD ≌，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，且60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，则BAD ∠ 的度数是_______24．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是________．25．等腰三角形的周长18cm ，其中一边长为8cm ，则底边长为 ___________cm ． 26．如图，在①ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．27．如图，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的理由是利用了三角形的________.28．如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，①B =90°，AC =BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D ，E ，F 在三角形的边上），则此正方形的面积是_______．29．如图， 正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O EF ⊙，与BC CD ，分别相交于点G ， H . 若6AE =， 则EG 的长为________.30．如图，在等边①ABC 中，BC =9，点O 是AC 上的一点，点D 是BC 上的一点，若①APO ①①COD ，AO =2.7，则BP =__________．31．平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F 点，若:1:3AE AB =，则:CDF ABCF S S =四边形________．32．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，将①BCD 沿直线CD 翻折得到①ECD ，连接AE ．若AC ＝6，BC ＝8，则①ADE 的面积为____．33．已知：如图，以Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为__．34．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 上的点，AE ①BC ，若sin B ＝35，EC ＝3，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 最小时，BP 长为_____．35．如图，AB 为①O 的直径，弦CD①AB 于E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则①O 半径为________．36．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，①B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将①BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么①CAE 的度数是_____度．37．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，E 在CD 上，将ADE ∆沿AE 翻折至AD E '∆，且AD '刚好过BC 的中点P ，则D EC '∠=_________．38．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．三、解答题39．如图，在ABC 中，44ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，60C ∠=︒，22BDE ∠=︒．(1)求证：DE//AB；∠的度数．(2)求ADB40．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，过点A作对角线AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．(1)求证：四边形AODF是矩形；(2)若AD＝10，①ABC＝60°，求OF和OA的长．=，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分①ABC交41．如图，在①ABC中，AB ACAC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F．(1)若36∠=︒，求①BAD的度数；C(2)求证：点F在BE的垂直平分线上．42．如图，已知EF①BC，AD①BC，①1=①2，①判断DM与AB的位置关系，并说明理由；①若①BAC=70°，DM平分①ADC，求①ACB的度数．43．如图1，线段AD，BC相交于点O，32B︒∠=，38∠=．D︒（1）若60A ︒∠=，求AOB ∠和C ∠的度数；（2）在（1）的条件下，如图2，若BAO ∠、DCO ∠的平分线AM ，CM 相交于点M ，求M ∠度数；（3）若改变条件，设B α∠=，D β∠=，试用含αβ，的代数式表示M ∠的大小． 44．已知抛物线y ＝x 2+(12m ﹣2)x ﹣3，抛物线与坐标轴交于点A (3，0)、B 两点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P (2，a )在抛物线上时．①如图1，过点P 不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点，求直线l 1的方程；①如图2，若直线l 2：y ＝2x +b 交抛物线于M ，点M 在点P 的右侧，过点P (2，a )作PQ ①y 轴交直线l 2于点Q ，延长MQ 到点N 使得MQ ＝NQ ，试判断点N 是否在抛物线上？请说明理由．45．已知：如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一直线上，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E ，F 是垂足，CE =BF ，求证：AB //CD ．46．已知：如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD⊥，垂足为点E，BF AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF.47．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．(1)根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．=，______;已知：在锐角ABC中，AB AC求证：______．(2)证明：48．如图，已知①ABC中，AB=AC，①A=108°，BD平分①ABC．求证：BC=AB+CD．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可【详解】解：由已知，甲全等条件不具备，乙和△ABC满足两角夹边，故全等，丙和△ABC满足两角和其中一角的对边，故全等，因此，有两个三角形可以判定三角形全等. 2．C【分析】作PC①AB于C，如图，由点A和点B坐标得到AB=4，再根据垂径定理得到AC=BC=2，然后根据勾股定理计算出PC=4，于是可确定P点坐标．【详解】解：作PC①AB于C，如图，①点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），①OA=2，OB=6，①AB=OB-OA=4，①PC①AB，①AC=BC=2，在Rt△P AC中，①P A AC=2，①PC，①OC=OA+AC=4，①P点坐标为（4，4）．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、坐标与图形性质．3．C【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与①A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．【详解】解：①BA=BC，①①A=①C，①作PE①BC，可得①APE①①ABC．①作PF①AC，可得①BPF①①BAC．①作①APG=①A，可得①AGP①①ABC，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．B【分析】延长BC到点D，过点C作CE①AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到①A＋①B＋①ACB＝180°．【详解】延长BC到点D，过点C作CE①AB，①CE①AB．①①A＝①ACE（两直线平行，内错角相等）．①B＝①ECD（两直线平行，同位角相等）．①①ACB＋①ACE＋①ECD＝180°（平角定义）．①①A＋①B＋①ACB＝180°（等量代换）．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．5．D【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：过H 作HM ①LG 于M ，①①KHB =60°，//LG KH ，①①HGM =①KHB =60°，①①HMG =90°，①HM ， ①长方形的面积=20×30=600（cm ）2，①四块草地总面积为503m 2，①通道的面积为：20x +30x -34x 2=97， 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B【分析】根据平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等逐项判断．【详解】A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故A 不符合题意；B.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B 符合题意；C.三角形任意两边之和大于第三边，故C 不符合题意；D.如果a ＝b ，a ＝c ，那么b ＝c ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等教材上的相关结论．7．C【分析】根据题意得OCD ∆为等边三角形，则60COD ∠=︒，根据圆周角定理得出BAC ∠的度数．【详解】解：连接OC ，CD OB =，OCD ∴∆为等边三角形，60COD ∴∠=︒，180120BOC COD ∴∠=︒-∠=︒，111206022BAC BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理的内容．8．B【分析】由MAD MDA ∠=∠，得AM =DM ，再由平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，则①B +①C =180°，然后证△ABM ①△DCM (SSS )，得①B =①C ，即可求得①B 度数．【详解】解：如图，过点M 作MN ①AD 于N ，①MAD MDA ∠=∠，①AM =DM ，①平行四边形ABCD ，①AB =CD ，AB ∥CD ，①①B +①C =180°，①点M 是BC 的中点，在△ABM 与△DCM 中，AB DC BM CM AM DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，①△ABM ①△DCM (SSS )，①①B =①C ，①2①B =180°，①①B =90°，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．9．B【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一分析即可得到答案．【详解】解：①两个直角三角形中有两条边相等，不能证明两个直角三角形全等，如一条直角边相等，另一个直角边与斜边相等；①两个直角三角形中一锐角和斜边对应相等，可用AAS 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中斜边和一直角边对应相等，可用HL 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中两个锐角对应相等，不能证明两个直角三角形全等；故选B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理，熟知直角三角形的判定定理有AAS SAS ASA SSS HL ，，，，是解题的关键．10．A【分析】先求出中心角120AOE ∠︒＝，证得OAF △是等边三角形，得到AF R =，根据扇形的面积求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．【详解】解：连接OF ，设①O 的半径为R ，①O 是正六边形ABCDEF 的中心， ①360606AOF EOF ︒∠=∠==︒， ①120AOE ∠︒＝，①OAF △是等边三角形，①AF OA R ==，①扇形AOE 的面积是12π， ①212012360R ππ=， ①236R ＝ ，①6AF R ==，①正六边形的边长是6，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积计算，解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径．11．D【分析】作DF①CE 于F ，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．【详解】过D 作DF①CE 于F ，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1，在直角三角形CDF 中，根据勾股定理，得：DF 2=CD 2-CF 2=22-12=3，在直角三角形BDF 中，BF=BC+CF=1+1=2，根据勾股定理得：故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.12．B【分析】由题意得MN 垂直平分AB ，得到AD =BD ，①ADE =90°，证得CD =AD =BD ，求出①ADC =2①B ＝80°，即可得到①CDE 的度数．【详解】解：由题意得MN 垂直平分AB ，①AD =BD ，①ADE =90°，①①ACB ＝90°，①CD =AD =BD ，①①BCD =①B ＝40°，①①ADC =2①B ＝80°，①①CDE =①ADE -①ADC =10°，故选：B ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．13．C【分析】根据菱形的性质可得AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，从而可得①B ＝60°，进而证明△ABC 是等边三角形，然后得出BC ＝AC ，即可判断①；利用①的结论可得CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，从而可得①BCA ＝①ECF ＝60°，即可判断①；当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值，根据含30度角的直角三角形的性质求出BE ，再利用勾股定理求出CE 即可判断①；过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，求出EM ＝3，然后利用平行线分线段成比例求出23FG AF EG EM ==即可判断①． 【详解】解：①四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，①AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，①①B ＝180°−①BAD ＝60°，①①ABC 是等边三角形，①BC ＝AC ，①ACB ＝60°，在△BEC 和△AFC 中，BE AF B FAC BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEC ①①AFC （SAS ），①正确； ①CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，①①BCE ＋①ACE ＝①ACF ＋①ACE ， ①①BCA ＝①ECF ＝60°，①①ECF 是等边三角形，①正确； ①△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ＝5， ①当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值， ①①B ＝60°，①此时①BCE ＝30°，①BE ＝1522BC =， ①CE①ECF △，①错误； 过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，①①BEC ①①AFC ，①AF ＝BE ＝2，①AB ＝5，①AE ＝AB −BE ＝5−2＝3，①EM ①BC ，①①AEM ＝①B ＝60°，①AME ＝①ACB ＝60°， ①①AEM 是等边三角形，①AE ＝EM ＝3，①AD①BC，①AF①EM①23 FG AFEG EM==，①23FGC EGCS S=△△，①正确；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线分线段成比例，灵活运用各性质进行推理是解题的关键．14．B【详解】连接OC、OC′，如图，①①AOB=90°，C为AB中点，①OC=12AB=12A′B′=OC′，①当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，①滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．【点睛】考点：①圆的定义与性质；①直角三角形的性质．15．C【分析】如图，将①BDA绕点D顺时针旋转90°得到①CDM，由旋转的性质可得①ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理推出AD，可知当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．【详解】解：如图，将BDA△绕点D顺时针旋转90°得到CDM由旋转的性质可知：4AB CM ==，DA DM =，90ADM ∠=︒①ADM △是等腰直角三角形，①根据勾股定理222AD MD AM +=，①AD AM =， ①当AM 的值最大时，AD 的值最大，①AM AC CM ≤+，AC CM AB ===①AM ≤①AM 的最大值为①AD 的最大值为7，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及两点之间线段最短．解题的关键在于根据旋转的性质构造等腰直角三角形． 16．C【分析】根据平行四边形的性质可得BO =DO ，AO =CO ，由此可得8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，从而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，①BO =DO ，AO =CO ，①8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，①平行四边形ABCD 的面积=4×8=32，故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分．17．A【分析】分如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，两种情况求出AC 的长，从而确定AC 的取值范围即可得到答案．【详解】如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①3DE BE ==，①2DO =，①1OE =，①5AE =，22215CE CO OE =-=，①AC =如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①1DE BE ==，①3OE =，①7AE =，2227CE CO OE =-=，①AC =①若DA 、DB 的长均不小于2AC ≤①AC 的长可能是7，故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．18．C【分析】过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示，根据题意，分两种情况讨论：①当5BD =时；①当5AC =时，根据双垂直模型得到BDF EBF ∽△△，利用相似比得到未知线段，然后根据BDE ABCD S S =△梯形代值求解即可得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示：4BF ∴=，①当5BD =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BDF △中，90,5,4DFB BD BF ∠=︒==，则3DF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD DF BE BF ∴=，即534BE =，203BE ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；①当5AC =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BEF △中，90,5,4EFB BE BF ∠=︒==，则3EF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD BF BE EF∴=，即453BD =， 203BD ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；综上所述，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为503，【点睛】本题属于几何综合问题，考查梯形性质、梯形面积公式、勾股定理、两个三角形相似的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积及双垂直模型等知识，熟练掌握相关几何图形的性质是解决问题的关键．19．B【分析】利用已知条件分别求得点A，B，C的坐标，表示出线段OA，OB，OC的长度，利用二次函数的性质，待定系数法与全等三角形的判定定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：将A（x1，0）代入物线y=x2+bx+c得：x12+bx1+c=0．①c=x1+b，①x12+bx1+x1+b=0，①x1（x1+1）+b（x1+1）=0，①（x1+b）（x1+1）=0，①c=x1+b≠0，①x1+1=0，①x1=-1，①A（-1，0），①OA=1，①c=-1+b，①b-c=1．①①的结论正确；①c=-1+b，①y=x2+bx+b-1，令y=0，则x2+bx+b-1=0，解得：x=-1或x=1-b，①B（1-b，0），①抛物线的对称轴在y轴的右侧，①b＜0，①OB=1-b，①C（0，b-1），①OB =OC ，在△AOC 和△DOB 中，90ACO DBO OC OB AOC DOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①AOC ①①DOB （ASA ）．①①的结论正确；若①DBC =30°，过点D 作DH ①BC 于点H ，如图，①①AOC ①①DOB ，①OA =OD =1，AC =BD ，①CD =OC -OD =-b ，①OB =OC ，①①OCB =①OBC =45°，①DH ①BC ，①DH， ①DH ①BC ，①DBC =30°，①BD =2DH，①ACb ，①OA 2+OC 2=AC 2，①12+(1−b ) 2＝b ) 2．解得：b①b①抛物线的对称轴为直线x== ①①的结论不正确；当点B 绕点D 顺时针旋转90°后得到的点B '也在抛物线上时，过点B ′作B ′M ①y 轴于点M ，如图，由题意：DB =DB ′，①BDB ′=90°，①①MDB ′+①ODB =90°，①①ODB +①OBD =90°，①①MDB ′=①OBD ，在△MDB ′和△OBD 中，90DMB BOD MDB OBD DB BD ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩'，①①MDB ′①①OBD （AAS ），①MD =OB =1-b ，MB ′=OD =1，①OM =OD +DM =2-b ，①B ′（1，b -2），①1+b +b -1=b -2，解得：b =-2，①c =b -1=-3，①此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，①①的结论正确；综上，正确的结论是：①①①．故选：B．【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．8【分析】根据角平分线的性质定理解答．【详解】解：当PQ①OM时，PQ最小，①P是①MON角平分线上的一点，PA①ON，PQ①OM，①PQ=PA=8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．21．100°##100度【分析】先根据三角形的内角和求出①C的度数，即可求出与①C相邻外角的度数【详解】①C=180°-①A-①B=80°，①①C相邻外角的度数为180°-80°=100°.故答案为：100°【点睛】此题主要考查邻补角的求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 22．42或32##32或42【分析】分两种情况讨论：当高AD在ABC的内部时，当高AD在ABC的外部时，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：当高AD在ABC的内部时，如图，在Rt ABD中，9BD，在Rt ACD中，5CD==，①14BC BD CD =+=，此时ABC 的周长是15141342AB BC AC ++=++=；当高AD 在ABC 的外部时，如图，在Rt ABD中，9BD ，在Rt ACD中，5CD ==，①4BC BD CD =-=，此时ABC 的周长是1541332AB BC AC ++=++=；综上所述，ABC 的周长是42或32．故答案为：42或32【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．23．85︒【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理计算即可；【详解】①ABC BAD ≌，60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，①60C D ∠=∠=︒，35DBA CAB ∠=∠=︒，①180180603585DAB D DBA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案是：85︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．24．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS 推出①COM ①①DOM ，根据全等三角形的性质得出①COM =①DOM ，根据角平分线的定义得出答案即可．【详解】解：在①COM 和①DOM 中，,OC OD OM OM MC MD =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ①①COM ①①DOM （SSS ），①①COM=①DOM，即OM是①AOB的平分线，故答案为：SSS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．25．2或8．【详解】试题分析：由题意知，应分两种情况：当腰长为8cm时，则另一腰也为8cm，底边为18-2×8=2cm，①0＜2＜8+8，①边长分别为8cm，8cm，2cm，能构成三角形；当底边长为8cm时，腰的长=（18-8）÷2=5cm，①0＜8＜5+5=13，①边长为5cm，5cm，8cm，能构成三角形．故答案为2或8．考点：等腰三角形的性质．26．5【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．【详解】解：①S△ABD=15，AE是BC边上的高，BD•AE=15，①12×6BD=15，则12解得：BD=5，①AD是BC边上的中线，①CD=BD=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．27．稳定性【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．故答案为：三角形具有稳定性.【点睛】本题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．28．36【分析】由△ABC 是等腰直角三角形，可得①A =①C =45°，从而证明△AEF 也是等腰直角三角形，设AF =x ，则BF =12﹣x ，列出方程并求出x 的值，再根据正方形的面积公式即可求得．【详解】解：①①ABC 是等腰直角三角形，①①A =①C =45°，①四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形，①EF ①BC ，①①AEF =①C =45°，①①AEF 也是等腰直角三角形，①AF =EF ，设AF =x ，则BF =12﹣x ，①12﹣x =x ，①x =6，①此正方形的面积为6×6=36．故答案为：36．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及判定．解题的关键是熟练掌握正方形的性质．29．3【分析】连接AC ，CE ，CF ，正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ，得证AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，从而得证90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，得到CE CF =，直线AC 是线段EF 的垂直平分线，从而得到90GMC ∠=，45CGM ∠=，得证CM GM =，30EAM ∠=，从而得证132EM AE ==，AM =2AC EC =，结合222AC EC AE =+，确定AC =CM GM AC AM ==-==，根据EG EM GM =-计算即可．【详解】如图，连接AC ，CE ，CF ，因为正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ， 所以AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，所以90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，所以CE CF =，所以直线AC 是线段EF 的垂直平分线，所以90GMC ∠=，45CGM ∠=，所以CM GM =，30EAM ∠=，所以132EM AE ==，AM ==2AC EC =， 因为222AC EC AE =+， 所以2221()62AC AC =+，解得AC =所以CM GM AC AM ==-=所以EG EM GM =-=3故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．30．2.7【分析】根据全等可得OC =AP ，再根据等边三角形的性质可得AC =AB ，从而可得AO =BP ，即可得出结论【详解】解：①①ABC 为等边三角形，①AC =AB =BC =9，①①APO ①①COD ，AO =2.7，①AP =OC ，①BP =AO =2.7．故答案为：2.7．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的性质．正确理解性质得出线段之间的关系是解题关键．31．5:3．【分析】过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，利用平行线性质可得①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，可证△DCF ①①AEF ，根据相似三角形性质可得31DF DC AF AE ==，设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD = 4m ，求三角形与四边形面积S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=，S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=，再求两面积比即可． 【详解】解：过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，①四边形ABCD 为平行四边形，①CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，①①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，①△DCF ①①AEF ， ①31DF DC AF AE ==， 设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD =AF +DF =4m ，①S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=， S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=， ①53::5:322CDF ABCF S S mCG mCG ==四边形． 故答案为5:3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．32．6.72【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段BE，△ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在Rt△ABE 中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．①①ACB=90°，AC=6，BC=8．①AB，①D是AB的中点，①AD=BD=CD=5，①S△ABC=12AC•BC=12AB•CF，①12×6×8=12×10×CF，解得CF=4.8．①将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，①BC=CE，BD=DE，①CH①BE，BH=HE．①AD=DB=DE，①①ABE为直角三角形，①AEB=90°，①S△ECD=S△ACD，①12DC•HE=12AD•CF，①DC=AD，①HE=CF=4.8．①BE=2EH=9.6．①①AEB=90°，①AE．①S△ADE=12EH•AE=12×2.8×4.8=6.72．故答案为：6.72．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．33．【详解】试题分析：根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．解：在Rt①ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．点评：本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．34．48 5【分析】根据垂线段最短可知当EP①AB时，线段EP最短．根据12•AB•PE=12×BE×AE，只要求出AB、AE、BE、PE，即可解决问题．【详解】解：根据垂线段最短可知当PE①AB时，线段PE最短．①AE①BC于E，sinB＝35＝AEAB，设AE＝3k，AB＝BC＝5k，则BE＝4k，EC＝k，①EC＝3，①k＝3，①BE＝12，AB＝15，AE＝9，当PE①AB时，12•AB•PE＝12×BE×AE，①PE＝AE BEAB⨯＝365，①线段PE的最小值为365，①BP 485．故答案为：485．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．35．10．【分析】连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=1 2CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可．【详解】解：连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2，①CD①AB，CD＝12①CE=DE=12CD=6，。

初中数学：等边三角形测试题(含解析)

初中数学：等边三角形测试题(含解析)

初中数学：等边三角形测试题（含解析）时间40分钟总分100分一、选择题(每题5分)1、不能判定两个等边三角形全等的是（）A．一条边对应相等B．一个内角对应相等C．一边上的高对应相等D．有一内角的角平分线对应相等【答案】B【解析】试题分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法进行判断.解：A选项、一条边对应相等的两个等边三角形的三边都对应相等,根据SSS可证这两个等边三角形全等；B选项、一个内角对应相等的两个等边三角形的三个角都对应相等,但是边长不一定相等,所以不能判断两个等边三角形全等；C选项、一边上的高对应相等的两个等边三角形的三条边都相等,根据SSS可证这两个等边三角形全等；D选项、有一内角的角平分线对应相等的两个等边三角形的三条边都相等,根据SSS可证这两个等边三角形全等.故应选B.考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定2、如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是（）A. 180°B. 220°C. 240°D. 300°【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可得：∠A=∠B=∠C=60°,根据三角形内角和定理可得∠ADE+∠AED=120°,因为∠ADE+∠BDE+∠AED+∠CED=360°,所以可得∠α+∠β=240°.解：∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∴∠ADE+∠AED=120°,∵∠ADE+∠BDE+∠AED+∠CED=360°,∴∠BDE+∠CED=240°,∴∠α+∠β=240°.故应选C.考点：等边三角形的性质3、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距（）A．30海里 B.40海里 C.50海里.60海里【答案】B【解析】试题分析：根据两次航行的方向角可得：∠ABC=60°,根据AB=AC,可得△ABC 是等边三角形,根据等边三角形的性质可以得到A、C两地的距离.解：∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=40.故答案是B.考点：等边三角形的判定和性质二、填空题(每题5分)4、在△ABC中,AB=AC,①如果∠A＝70°,则∠C＝_________,∠B＝___________；②如果∠A＝90°,则∠B＝_________,∠C＝___________；③如果∠A＝60°,则∠B＝_________,∠C＝___________。

等边三角形的性质-初中数学习题集含答案

等边三角形的性质-初中数学习题集含答案

等边三角形的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019春•昌平区校级月考）等边ABC∆的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为() A．60︒B．90︒C．120︒D．150︒2．（2016春•东城区期中）等边三角形的边长为10，则它的面积是()A．53B．103C．203D．2533．（2016春•石景山区期末）如图，将边长为3cm的等边ABC∆，则四边形ABFD∆沿着边BC向右平移2cm，得到DEF 的周长为()A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm二．填空题（共5小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，等边AOB∠=︒，则ABCCAB∠的大小是．=，20∆，且OA OC5．（2019秋•海淀区校级期中）如图，以等边ABC=，连接BD，若∆的边AC为腰作等腰CAD∆，使AC AD∠=︒，CAD∠=︒．41DBC6．（2018秋•北京期末）在ABCB∠=︒，则ABC∆的周长是．BC=，60∆中，AB AC=，57．（2017秋•顺义区期末）边长为10cm的等边三角形的面积是．8．（2017秋•怀柔区期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为 米2．三．解答题（共6小题）9．（2018秋•通州区期中）如图， 在等边ABC ∆中， 作45ACD ABD ∠=∠=︒，边CD 、BD 交于点D ，连接AD ．（1） 请直接写出CDB ∠的度数；（2） 求ADC ∠的度数；（3） 用等式表示线段AD 、BD 、CD 三者之间的数量关系， 并证明 ．10．（2017秋•房山区期末）已知：如图，ABC ∆是等边三角形，AD BC ⊥于点D ，过点C 作//CF AB ，过点A 作AE CF ⊥于点F ．（1）请在图中补全图形； （2）求证：AE AD =．11．（2017秋•昌平区校级期中）对于边长为6的等边三角形ABC ，（1）建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．（2）等边ABC ∆的面积．12．（2016秋•顺义区期末）已知：如图，ABC ∆中，8AC =，点D 在AB 边上，且5AD BD CD ===，在ABC ∆外，作等边ACE ∆．（1）判断ABC∆的形状，并证明；（2）求四边形ABCE的周长．13．（2017•房山区一模）已知：如图，ABC∠=︒．CED⊥，E是BC延长线上的一点，且30∆是等边三角形，BD AC求证：BD DE=．14．（2016•丰台区二模）如图，ABC=．∆是等边三角形，BD AC⊥于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE DC等边三角形的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019春•昌平区校级月考）等边ABC ∆的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为( )A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．150︒【分析】根据已知条件和等边三角形的性质可知：30IBC ICB ∠=∠=︒，根据外角的性质得60BIE ∠=︒．【解答】解：如图，设等边ABC ∆的两条角平分线BD 和CE 相交于I ，ABC ∆是等边三角形，60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒， BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠， 1302IBC ABC ∴∠=∠=︒，1302ICB ACB ∠=∠=︒， 303060BIE ∴∠=︒+︒=︒，即等边ABC ∆的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为60︒；故选：A ．【点评】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．2．（2016春•东城区期中）等边三角形的边长为10，则它的面积是( )A ．53B ．103C ．203D ．253【分析】首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，由等边三角形的边长为10，可由三线合一的知识，求得BD 的长，由勾股定理即可求得AD 的长，继而求得答案．【解答】解：过点A 作AD BC ⊥于点D ．ABC ∆是等边三角形，1110522BD BC ∴==⨯=， 222210553AD AB AD ∴=--11105322ABC S BC AD ∆∴==⨯⨯． 故选：D ．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2016春•石景山区期末）如图，将边长为3cm 的等边ABC ∆沿着边BC 向右平移2cm ，得到DEF ∆，则四边形ABFD的周长为( )A ．15cmB ．14cmC ．13cmD ．12cm【分析】根据平移的性质可得DF AC =，2AD CF cm ==，然后求出四边形ABFD 的周长ABC =∆的周长AD CF ++，最后代入数据计算即可得解．【解答】解：ABC ∆沿边BC 向右平移2cm 得到DEF ∆，DF AC ∴=，2AD CF cm ==，∴四边形ABFD 的周长AB BC CF DF AD =++++，AB BC CF AC AD =++++，ABC =∆的周长AD CF ++，922=++，13cm =．故选：C ．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二．填空题（共5小题）4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，等边AOB ∆，且OA OC =，20CAB ∠=︒，则ABC ∠的大小是 130︒ ．【分析】由等腰三角形的性质可求602BOC ACO ∠∠=︒-，由外角性质可求40BOC ∠=︒，即可求解． 【解答】解：AOB ∆是等边三角形，60OAB OBA AOB ∴∠=∠=∠=︒，OA OB AB ==，OA OC =， 180********AOC BOC BOC ACO OAC ︒-∠︒-∠∠∴∠=∠===︒-， CAB OBA COB ACO ∠+∠=∠+∠，2060602BOC COB ∠∴︒+︒=∠+︒-， 40BOC ∴∠=︒，OC OA OB ==，70OBC ∴∠=︒， 130ABC ABO OBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：130︒．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，外角性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2019秋•海淀区校级期中）如图，以等边ABC ∆的边AC 为腰作等腰CAD ∆，使AC AD =，连接BD ，若41DBC ∠=︒，CAD ∠= 82 ︒．【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论【解答】解：ABC ∆是等边三角形，60ACB ∴∠=︒，AC AD =，ACD ADC ∴∠=∠，设ACD ADC α∠=∠=，则60BCD α∠=︒+，41DBC ∠=︒，604119ABD ∴∠=︒-︒=︒，AB AC AD ==，19ADB ABD ∴∠=∠=︒，18041(60)19BDC αα∴∠=︒-︒-︒+=-︒，49α∴=︒，49ACD ADC ∴∠=∠=︒，18082CAD ACD ADC ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：82．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2018秋•北京期末）在ABC ∆中，AB AC =，5BC =，60B ∠=︒，则ABC ∆的周长是 15 ．【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：AB AC =，60B ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，5BC =，ABC ∴∆的周长为15，故答案为15．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2017秋•顺义区期末）边长为10cm 的等边三角形的面积是 2 ．【分析】首先由勾股定理求得等边三角形的高，再利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，ABC ∆为等边三角形，152BD CD BC ∴===，AD ∴=21110)22ABC S BC AD cm ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=故答案为：2．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质“三线合一”是解答此题的关键．8．（2017秋•怀柔区期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为 52 米2．【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式即可得到结论．【解答】解：草皮种植面积2(36060)3151802m ππ-⨯⨯==， 故答案为：52π． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，正确的识别图形是解题的关键．三．解答题（共6小题）9．（2018秋•通州区期中）如图， 在等边ABC ∆中， 作45ACD ABD ∠=∠=︒，边CD 、BD 交于点D ，连接AD ．（1） 请直接写出CDB ∠的度数；（2） 求ADC ∠的度数；（3） 用等式表示线段AD 、BD 、CD 三者之间的数量关系， 并证明 ．【分析】（1） 如图， 设AB 交CD 于点O ． 利用“ 8 字型”证明角相等即可；（2） 由DBO ACE ∆∆∽，推出DO OB AO OC =，可得DO AO OB OC=，AOD BOC ∠=∠，推出AOD COB ∆∆∽，即可解决问题；（3） 结论：DC DB DA =+． 在DC 上截取DE DB =，连接BE ． 利用全等三角形的性质即可证明；【解答】解： （1） 如图， 设AB 交CD 于点O ．DBO ACO ∠=∠，BOD AOC ∠=∠，BDO OAC ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60OAC ∴∠=︒，60CDB ∴∠=︒．（2）DOB AOC ∠=∠，DBO ACO ∠=∠，DBO ACE ∴∆∆∽， ∴DO OBAO OC =， ∴DO AOOB OC =，AOD BOC ∠=∠，AOD COB ∴∆∆∽，60ADO ABC ∴∠=∠=︒．即60ADC ∠=︒．（3） 结论：DC DB DA =+．理由： 在DC 上截取DE DB =，连接BE ．DB DE =，60BDE ∠=︒，BDE ∴∆是等边三角形，60DBE ∴∠=︒，BD BE =，60DBE ABC ∠=∠=︒，ABD CBE ∴∠=∠，D BE =，BA BC =，()ABD CBE SAS ∴∆≅∆，AD EC ∴=，DC DE EC DB DA ∴=+=+．【点评】本题考查等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2017秋•房山区期末）已知：如图，ABCCF AB，过点A作⊥于点D，过点C作//∆是等边三角形，AD BC⊥于点F．AE CF（1）请在图中补全图形；（2）求证：AE AD=．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据平行线性质和等边三角形的性质求出ECA ACB∠=∠，根据角平分线性质得出即可．【解答】解：（1）如图所示：；（2）证明：//CF AB，∴∠=∠，ECA CAB∆是等边三角形，ABC∴∠=∠=︒，ACB CAB60∴∠=∠，ECA ACB⊥，⊥，AD BCAE CF∴=（角平分线上的点到角的两边的距离相等）AE AD【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线性质，能求出ECA ACB∠=∠是解此题的关键．11．（2017秋•昌平区校级期中）对于边长为6的等边三角形ABC，（1）建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．（2）等边ABC∆的面积．【分析】（1）以A 为原点建立直角坐标系，进而求出各点的坐标．（2）由三角形的面积公式进行解答．【解答】解：（1）如图，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则B 、C 点的坐标分别为(3,0)-、(3,0)，在Rt ABO ∆中，6AB =，3BO =，则2233AO AB BO =-=，(A ∴ 0，33)，(3,0)B -，(3,0)C ；（2）等边ABC ∆的面积116339322BC OA ==⨯⨯=．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．12．（2016秋•顺义区期末）已知：如图，ABC ∆中，8AC =，点D 在AB 边上，且5AD BD CD ===，在ABC ∆外，作等边ACE ∆．（1）判断ABC ∆的形状，并证明；（2）求四边形ABCE 的周长．【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；（2）由勾股定理求出BC ，再由等边三角形的性质即可得出结果．【解答】解：（1）结论：ABC ∆的是直角三角形；AD BD CD ==，12∴∠=∠，34∠=∠，⋯（2分）1423∴∠+∠=∠+∠，又1234180∠+∠+∠+∠=︒，2390∴∠+∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形．（2）在直角三角形ABC ∆中，8AC =，10AB =， 226BC AB AC ∴=-=，又ACE ∆是等边三角形．8AE CE ∴==，∴四边形ABCE 的周长为32AB BC AE CE +++=．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．13．（2017•房山区一模）已知：如图，ABC ∆是等边三角形，BD AC ⊥，E 是BC 延长线上的一点，且30CED ∠=︒． 求证：BD DE =．【分析】欲证BD DE =，只需证DBE E ∠=∠，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明．【解答】证明：ABC ∆为等边三角形，BD AC ⊥，60ABC ∴∠=︒，BD 平分ABC ∠．30DBC ∴∠=︒．30CED ∠=︒，30DBE DEB ∴∠=∠=︒，BD DE ∴=．【点评】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180︒等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．14．（2016•丰台区二模）如图，ABC ∆是等边三角形，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 的中点，连接DE ．求证：DE DC =．【分析】根据等边三角形的性质得到AC BC =，12CD AC =，90BDC ∠=︒，根据直角三角形的性质得到12DE BC =，于是得到结论．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，AC BC ∴=，BD AC ⊥于点D ， 12CD AC ∴=，90BDC ∠=︒， E 为BC 的中点，12DE BC ∴=， DE DC ∴=．【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．。

初中数学-等边三角形40题 附答案

初中数学-等边三角形40题 附答案

等边三角形40题本专题的制作目的是提高学生在等边三角形这一部分的解题能力。

分了两个模块：①等边三角形的性质（20题）；②等边三角形的判定（20题）；共40题。

先仔细研究方法总结、易错总结，再进行巩固练习。

重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞初中天天练习模块－等边三角形的性质u歪理( 1 ）等边三角形是一个特殊的等腰三角形．等边三角形三边部中目等，每个内角都等于60。

．( 2）每条边上的中线、高线、所对角的角平分线亘丰目重合（三线合一）．( 3 ）等边三角形也是铀对称图形，它再三条对称轴，三结合一所在的直线即为等边三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点．( 4）在直角三角形中，30。

所对的直角边等于斜边的一半．( 5）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个走值，等于一边上的高．比比AEl IAF IP II\ B H D C( 1 ) AB = AC = BC( 2）ζA＝ζB＝ζC= 60。

( 3 ）三线合一、中心点( 4)CD=�AD( 5 )P E+ PF+ PH = AD�否E＠如国所示，在等边三角形ABC中，BD=C E, AD与BE相交于点P，则L'..A P E的度数是（）．AB D cA.45。

B.55。

C.60。

D.75。

＠等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A. 4./3B. 2./3 C . ./3 D. 3＠如图，b..ABC是等边三角形，ζαD=90。

，BD=BC，则Ll的度数是（）AA.15。

B.12。

C.30。

D.11。

cB D。

如图所示，四边形ABCD中，AB= BD = DA = AC，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是（）．AB DcA.90。

B.120。

C.135。

D.150。

＠如圈，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE/JAB交AC于点E，过点E作E FlDE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段高（）．AB D c FA.3条B.4条C.5条D. 6条＠如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若己知中间的小等边三角形的边长是α，则六边形的周长是一一一－＠如圈，l::..ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边l::..BDE，连接α若CD= 1, CE= 3，贝U BC＝一一一一－B。

初中数学精品试题：第2章 特殊三角形专题：等边三角形 2020-2021学年浙教版八年级上册

初中数学精品试题：第2章 特殊三角形专题：等边三角形 2020-2021学年浙教版八年级上册

2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优姓名班级学号基础巩固1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个第1题第2题第3题2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）.A.2个B.3个C.4个D.无数个3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是（）.A.124°B.122°C.120°D.118°第4题第5题4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ .5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD =3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE.（1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD.（2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点.7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时.①依题意将图1补全.②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明.（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.拓展提优1.如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC = 45°，则∠ACE 等于（ ）.A .15°B .30°C .45°D .60°第1题2.如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是（ ）.A .3B .23 C .433D .323.如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，∠BDC = 90°，连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 _________ .4.如图，∠MON = 30°，点B 1在边OM 上，且OB = 2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3…按此规律进行下去，则△A n A n +1C n 的面积为 _________ （用含正整数n 的代数式表示）.5.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AB= CD，AD与BE相交于点F，CF⊥BE.求证:（1）BE = AD.（2）BF = 2AF.6.已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，D是边BC，EF的中点.（1）如图1，连结AD，GD，则∠ADC= _________ 度；∠GDF= _________ 度；AD与GD的数量关系是 _________ ；DC与DF的数量关系是 _________ .（2）如图2，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小.冲刺重高1.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M，N，使∠MBN= 30°.若AM = m，MN = x，CN = n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x，m，n的值而定2.如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（）.A.30 cmB.40 cmC.50 cmD.60 cm3.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）.A.1个B.4个C.7个D.10个4.如图，等边三角形RST的顶点R，S，T分别在等腰三角形ABC的边AB，BC，CA 上，设∠ART= x°，∠RSB= y°，∠STC= z°，用含y，z的代数式表示x是_________ .5.如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC= 117°，∠BPC= 130°.求以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数.参考答案2 3 4 567。

等边三角形典型题目

等边三角形典型题目

等边三角形典型题目引言等边三角形是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识之一。

在学习等边三角形时，我们常常会遇到一些典型的题目，通过解这些题目可以巩固对等边三角形的理解。

本文将分析和探讨几个典型的等边三角形题目，并给出详细的解题步骤。

问题一：等边三角形的性质等边三角形具有哪些性质？解释其原因。

1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等。

这是因为等边三角形中，每个角都是60度，而角的余弦值是由边长来决定的，所以三条边的长度必须相等。

2.三个内角都是60度：等边三角形的每个内角都是60度。

这是因为等边三角形的三条边相等，所以每个角的余弦值都相等，都等于1/2，从而角度都是60度。

3.六个角的正弦值和余弦值相等：等边三角形的六个角的正弦值和余弦值都相等。

这是因为正弦值和余弦值是由边长来决定的，而等边三角形的三条边相等，所以六个角的正弦值和余弦值都相等。

问题二：等边三角形的面积如何计算等边三角形的面积？解释其原理。

等边三角形可以看作是由三个等腰三角形组成，而等腰三角形的面积可以通过底边长和高的乘积除以2来计算。

所以，计算等边三角形的面积可以使用以下公式：面积 = 底边长 * 高 / 2在等边三角形中，底边长和高相等，即三条边的长度，所以可以简化为：面积 = 边长 * 边长* √3 / 4其中，√3表示根号下3，是一个常数。

问题三：等边三角形的高等边三角形的高与边长之间有何关系？解释其原因。

等边三角形的高是指从三角形顶点到底边的垂直距离。

在一个等边三角形中，连接顶点和底边中点的线段就是高。

根据勾股定理，可以计算出等边三角形的高与边长之间的关系。

在一个等边三角形中，高等于边长乘以根号下3的一半：高 = 边长* √3 / 2这是因为三角形的底边和高可以构成一个30-60-90度的直角三角形，而在这个三角形中，边长、高和√3之间的关系正是如此。

问题四：等边三角形的外接圆和内切圆等边三角形是否有外接圆和内切圆？如果有，其圆心和半径分别是什么？等边三角形有外接圆和内切圆。

初中数学解题：存在性-等边三角形

初中数学解题：存在性-等边三角形

等边三角形的存在性题组1：两定一动1．如图，已知抛物线C1与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线C1在第一象限交于点M．（1）求抛物线C1的解析式，并求出其对称轴；（2）①当m＝1时，直接写出抛物线C2的解析式；②直接写出用含m的代数式表示点M的坐标．（3）连接DM，AM．在抛物线C1平移的过程中，是否存在△ADM是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△P AC为等边三角形，求m的值．4．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．题组2：两动一定5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B，C两点，点B在点C 的左边．（1）求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．6．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B 的最小值；（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．7．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）①请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．题组3：三动点8．如图1，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y＝﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．。

初中数学三角形的试卷

初中数学三角形的试卷

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列图形中，不是三角形的是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 长方形2. 一个三角形的两个内角分别是40°和70°，那么第三个内角的度数是（）A. 40°B. 70°C. 100°D. 130°3. 在一个三角形中，若两边长分别为3cm和4cm，那么第三边的长度（）A. 大于3cm小于7cmB. 大于4cm小于7cmC. 大于3cm小于7cmD. 大于4cm小于3cm4. 下列关于三角形面积的说法中，正确的是（）A. 所有三角形的面积都相等B. 所有三角形的面积都大于0C. 所有三角形的面积都小于正方形的面积D. 所有三角形的面积都大于直角三角形的面积5. 在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 45°C. 75°D. 90°二、填空题（每题4分，共20分）6. 三角形内角和定理是：一个三角形的内角和等于______。

7. 等边三角形的每个内角都是______度。

8. 一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么第三边长的取值范围是______。

9. 在三角形ABC中，若AB=AC，则三角形ABC是______三角形。

10. 三角形面积公式是：三角形面积=底×高÷______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知一个三角形的两个内角分别为30°和45°，求第三个内角的度数。

12. （10分）在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6cm，BC=8cm，求三角形ABC 的面积。

13. （10分）已知一个三角形的三边长分别为5cm、7cm和9cm，判断该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由。

(新)初中数学(等边三角形的性质与直角三角形的性质题型分类整理)试题

(新)初中数学(等边三角形的性质与直角三角形的性质题型分类整理)试题

八年级上册等边三角形的性质与直角三角形的性质题型分类整理模块六：等边三角形的性质运用1.如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直2.如图，若△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC交AB于点E.若AB=5，则线段DE的长为.3.如图，点A，C，B在同一直线上，△DAC，△EBC均为等边三角形，AE，BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD；（2）△CMN为等边三角形.4.以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE.连接AE、BE.（1）画出图形；（2）求∠AEB的度数.5.如图，已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，点1P 与点P 关于直线OB 对称，点2P 关于直线OA 对称，试猜想△21P OP 的形状，并证明你的结论.6.如图，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连接DF 并延长交BC 的延长线于点E.（1）如图①，若FE=FD.求证：AD=CE.（2）如图②，若FE=FD ，AB=2，过点D 作DG ⊥AC ，垂足为点G ，GF 长是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.7.如图（1），△ABC是等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的两种情况，猜测∠BQM等于多少度，并利用图（2）说明结论的正确性.模块七：直角三角形的性质1.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF=2，则AC的长是（）.A. 3B. 4C. 5D. 62.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G、H分别是AC，BD的中点，如果∠BEC=80°，那么∠GHE等于（）.A. 5°B. 10°C. 20°D. 303.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB中点，AD、CE相交于F，AD=DB，若∠B=35°，则∠DFE= .4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为.5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长为 .6.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC保持不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.当∠BAE=90°，AF=5时，CD的长为 .7.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB于点D，若PD=2cm，则PC= cm.8.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M,N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= .9.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM.1；（1）求证：EF=AC2（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系.10.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.11.如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC=10，EF=4. （1）求△MEF的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF的度数.12.如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG是垂直平分线CE，连接DE. （1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度数.。

初中数学华东师大版等边三角形的性质及判定母题

初中数学华东师大版等边三角形的性质及判定母题

初中数学华东师大版等边三角形的性质及判定母题1、在下列5个式子①ab＝0;②a＋b＝0;③;④a2＝0 答案B 解析2、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是Ａ答案B 解析考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图的特点求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．3、;4的平方根是A．2B．±2 C．16D．±16 答案B 解析4、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为答案C 解析5、（2013?静安区二模）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条答案C 解析试题分析：根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．解：∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．故选：C．点评：此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键．6、如右图，一个正方形由四个相同的小长方形组成，如果每个小长方形的周长为，那么正方形的面积为_______．答案解析7、（重题，请删除）下面是在博物馆里的一段对话.管理员：先生，这个化石有800002年了. 参观者：你怎么知道得这么答案解法一是错误的。

在正确的解法中，解法三最简捷。

原式的倒数为=?=－7+9－28+12=－14。

故原式=－。

解析8、（2011?潍坊）我国以2010年11月1日零时为标准时点进行了笫六次全国人口普查，普查得到全国总人口为1370 答案C 解析9、2011年，某地区有54310人参加中考，将54310用科学记数法（保留2个有效数字）表示为（答案C 解析10、某市为治理污水，需要辅设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的答案D 解析11、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于个正方体的重量( 答案D 解析初中数学沪科版等边三角形的性质及判定．在这四个数中，最小的数是（;）A．B．C．D．答案A 解析已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A．11B．10C．9D．8 答案D 解析12、如图，点是△的边的延长线上一点，∥．若，，则的度数等于A．答案C 解析考点：三角形的外角性质；平行线的性质．专题：计算题．分析：因为DE∥AC，所以∠A=∠BDE=50°，因为∠BDC是外角，所以∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°．解答：解：∵DE∥AC，∠BDE=60°，∠C=50°，∴∠BDE=∠A=60°，∵∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°．故选C．点评：本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形外角的性质．13，。

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初中数学：等边三角形测试题
时间40分钟总分100分
一、选择题(每题5分)
1、不能判定两个等边三角形全等的是（）
A．一条边对应相等B．一个内角对应相等
C．一边上的高对应相等D．有一内角的角平分线对应相等
2、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）
A. 180°
B. 220°
C. 240°
D. 300°
3、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B.40海里 C.50海里.60海里
二、填空题(每题5分)
4、在△ABC中，AB=AC，
①如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；
②如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________；
③如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________。

5、一个等边三角形的周长是21cm，它的边长=_______cm。

6、如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________个．
7、O是等边△ABC两条高的交点，若△AOB的面积为1，则△ABC的面积为_____．
8、如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=_________．
三、解答题(每题15分)
9、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，延长AB到点E，使BE=BD，连接DE.
求证：△ADE是等腰三角形.
10、如图所示，在等边△ABC中，在边BC，AC上取BD=CE，连接AD，BE
交于F.
求证∠AFE=60°
11、如图가ABD和가ACE都是等边三角形。

求证BE=DC
12、如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．。

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