伍德里奇 第六章

R2 = 1−
SSR /(n − k − 1) SSR n − 1 n −1 = 1− ⋅ = 1 − (1 − R 2 ) ⋅ SST /(n − 1) SST n − k − 1 n − k −1
n −1 n − k −1
2
自由度惩罚因子：
在方程中增加一个（组）x，R2 一定增加，但只有该 x 的 t＞1（F＞1） R 才增加。 ，
2 3
三、含交叉项的模型 粮食产量＝β 0 + β1 （施肥量）+β（降水量）+β 3 （施肥量 × 降水量）+随机误差项 2
yi = β 0 + β1 xi + β 2 zi + β3 xi zi + ui
或
E ( y | xi , zi )＝β 0 + β1 xi +β 2 zi +β3 xi zi
（B）
将（B）式中的 X 用
yt − yt −1 替换，则（A）式可近似地表示为 yt −1
Δ ln yt ≈
yt − yt −1 yt −1
即表明对数变化相当于变量的变化率（相对变化） 。 该近似计算在系数数值小时比较准确， 但数值大的时候， 不太准确。 准确的变化率： 由于 ln y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + .... + u ，如果 x1 变化一个绝对单位，其他 x 保持不 变，则有
ji j i
2
2
ˆ βj
ˆ 普通最小二乘回归系数 β j ( j = 1, 2, L , k ) 表示在其它变量不变的情况下，自变量 ˆ x j 每变化一个绝对单位引起的因变量的平均变化量；标准化回归系数 b j 表示在其它变
量不变的情况下，自变量 x j 每变化一个单位（相对于其标准差）所引起的因变量的平 均变化的单位数（相对于其标准差） 。
2
ˆ ˆ 。 P191 问题 6.4：为什么 R 最大准则与 σ 最小准则相同？（但 σ 无界）
2
回答：什么时候， R 最大准则与 R2 最大准则相同？
2
三、回归分析中控制了过多的因素（自变量过多）
避免变量遗漏，但有时无法解释。如
y = β 0 + β1 x + β 2 x 2 + u
β1 是保持 x 2 不变时，x 的偏效应。这个解释有什么问题？
R 2 如果为负，看作 0。
二、利用 R 2 在两个非嵌套模型中选择
F 检验中，约束模型嵌套于无约束模型之中。
因变量相同，但自变量互不统属的模型称为非嵌套模型（前提是因变量相同 ） 。 非嵌套模型择优的方法： 1.化为嵌套模型，进行约束条件的 F 检验； （两个模型都可能被接受、拒绝） （如果因变量不同，无法比较） 2.比较两个模型 R 的大小，大者为优。
三、通过 lny 预测 y
若 ln y = X β + u，则 y = e
X β +u
= e X β ⋅ eu
E ( y | X ) = E (e X β + u ) = E ( e X β ) ⋅ E ( eu )
与线性模型不同，不能保证 E (e ) ＝1
u
ˆ 所以以如果简单地用 y = e
ˆ Xβ
Y（税收）
Laffer-Curve
dy ˆ ˆ = β1 + 2 β 2 x = 0 dx
ˆ ˆ ˆ ˆ y=β 0 +β1 x + β 2 x 2
X（税率）
ˆ ˆ ˆ ˆ X＝ |β1 / 2β 2 | ； β1 > 0, β 2 < 0,
三次项刻画 S 曲线。 总成本（TC） y = β 0 + β1 x + β 2 x + β 3 x + u ：
ˆ ˆ z y = b1 z1 + b2 z2 +
ˆ + bk zk
其中，ˆ j 为标准化因变量对标准化自变量的回归系数称为标准化回归系数， β 系 或 b 数。 可以证明，标准化回归系数与普通最小二乘回归系数之间的关系为：
ˆ bj =
Sx j Sy
ˆ βj =
∑ (x − x ) ∑( y − y)
ˆ 四、增加自变量减少 σ 2
X 增加，意味着原来模型中 u 中的一部分成为系统分量，所以 u 的方差小了。模型 解释能力提高。 但可能导致新增的 x 与原来的 x 多重共线性。
§4.预测与残差分析
一、预测的置信区间
（本科教材有，不讲）
二、残差分析
⎧e > 0, yi高估了x的影响 ˆ ˆ ei (或ui ) = yi − yi ⎨ i ⎩ei < 0, yi 低估了x的影响
ln y + Δy） β 0 + β1 x1 + 1 + β 2 x2 + .... + u （ = （ ）
二者相减，
ln y + Δy）- ln y = β1 ⇒ ln （
y + Δy Δy Δy = β1 ⇒ ln(1 + ) = β1 ⇒ 1 + = e β1 y y y
即
Δy = e β1 − 1 = (e β1 − 1) ⋅100% , 这是一个 x1 变动引致 y 增长率的准确数值。 y
ˆ β1 （= Δ ln y ≈
0.01 0.1 0.5 1 2
Δy Δy ） e β1 − 1 （＝ ） y y
0.01005 0.105171 0.648721 1.718282 6.389056
2.使用对数优点： ①如果 y 存在条件异方差，lny 的异方差程度小 ②降低异常值的影响 ③斜率系数不受 y 计量单位变化影响（ β1＝
dy = β1 + β 3 z 。其中， β1 是施肥量对粮 dx
施肥量 x 对粮食产量 y 的总边际影响是：
食产量的直接效应（假定灌溉用水量不变） β 3 z 是施肥量对粮食产量的间接效应，随 ， 灌溉用水量的不同而变化，说明肥效的发挥取决于灌溉用水的多少。同样，灌溉用水 z 对粮食产量 y 的总边际影响也可以这样分解。显然，该模型比单纯的二元回归模型
ˆ 估计 y 是有偏的。一致估计量应该是 y = e
ˆ Xβ
⋅ E euˆ） （
ˆ u （ uˆ ： 可以用样本中 n 个 e 均值代替 E e ） m(e ) =
ˆ u
∑e
n
ˆ ui
。
ˆ 所以，y = e
ˆ Xβ
∑e ⋅
n
ˆ u
或者采用如下预测步骤： 1.
ˆ ˆ ˆ 估计 ln y = X β ，得到给定 X 下， ln y 的数值（预测值） ；
系数，即 β 系数。 样本原始数据的标准化处理公式为：
zj =
x ji − x j
∑ (x
ji
− xj ) / n
2
=
x ji − x j Sxj
zy =
∑ ( y − y)
i
yi − y
2
= /n
yi − y Sy
S x j 、 S y 分别为 x j , y 的样本标准差。
对标准化的样本数据，用最小平方法可以得到下列经验回归方程：
2 R 2 = ry2, y＝rm, y ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ 其中， yi = mi ⋅ α = e
的大小)
ˆ Xiβ
ˆ ⋅α
ˆ (由于 α 是一个常数，乘以常数不影响简单相关系数
2.
ˆ 对每个点，求 m = e
ˆ ln y
3.
ˆ ˆ ˆ 估计无截距模型：yi = miα , ˆ 拟合（预测）值为： yi = e
ˆ Xi β
ˆ α 是E(e ˆ ⋅α
ˆ ui
∑e , )的估计（即 m(e ) =
ˆ u
ˆ ui
n
）
4.
以 lny 为因变量的模型与以 y 为因变量的模型的拟合优度不能直接比较。为了能够 比较，前者的拟合优度计算公式为：
yi = β 0 + β1 xi + β 2 zi + ui 更符合实际情况。
§3.拟合优度和回归元（自变量）选择的进一步探讨
一、调整的决定系数 R 2
y 相同，但 x 个数不同的模型，R2 不能比较。
R2 =
SSE SSR = 1− 。 SST SST
〔
SSR → x的个数越多，数值越小 〕 SST → 与x个数无关的固定值
2
x、y 单位变动不影响 R2、t 和 F 统计量。 （均为相对比例）
二、 β 系数
在多元线性回归中，如果自变量的量纲不同（何谓量纲？） ，不同回归系数的大小 比较没有意义。为了比较不同自变量对因变量的影响强弱，就需要对样本原始数据进行 标准化处理，然后用最小二乘法去估计未知参数，这样得到的回归系数叫做标准化回归
Δ ln yt = ln yt − ln yt −1 = ln(
依据泰勒展式
yt y + y − yt −1 y − yt −1 ) = ln( t −1 t ) = ln(1 + t ) yt −1 yt −1 yt −1
（A）
n X2 X3 X4 n −1 X ln(1 + X ) = X − + − + L + (−1) +L 2 3 4 n
ˆ 尽管标准化回归系数消除了量纲的影响，较之 β j 在比较不同自变量对因变量 y 的
影响大小时更具可比性；但与原模型的回归系数相比，其经济含义已经改变，在使用过 程中，需要特别注意。
§2. 对函数形式的进一步讨论
一、对数形式的讨论
1. 半弹性系数
ln y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + .... + u 中，各斜率系数为（偏）半弹性系数。