无限时滞中立型积分微分方程的周期解的存在性
【国家自然科学基金】_周期解的存在性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
科研热词 推荐指数 周期解 39 正周期解 11 概周期解 10 存在性 9 重合度 7 时滞 7 无穷时滞 6 泛函微分方程 5 差分方程 5 脉冲 4 渐近概周期解 4 全局吸引性 4 逐段常变量 3 稳定性 3 渐近概周期序列 3 扩散 3 偏差变元 3 临界点 3 中立型微分方程 3 不动点定理 3 liapunov函数 3 高阶liénard型方程 2 非线性 2 锥不动点定理 2 重合度理论 2 脉冲效应 2 脉冲微分方程 2 神经网络 2 环绕定理 2 持续生存 2 抛物型方程 2 微分方程 2 延拓定理 2 叠合度 2 变时滞 2 反问题 2 反周期解 2 全局渐近稳定 2 中立型 2 不动点 2 rayleigh方程 2 lyapunov函数 2 lotka-volterra系统 2 leray-schauder不动点定理 2 高阶差分方程 1 高阶中立型泛函微分方程 1 食物-种群系统 1 非自治捕食-被捕食系统 1 重合度拓展理论 1 重合度. 1 遥远概周期函数 1 退化时滞微分方程 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
科研热词 周期解 重合度 时滞 正周期解 稳定性 存在性 微分方程 脉冲 概周期解 时滞微分方程 拓扑度 周期边值问题 反馈控制 不动点定理 hopf分支 重合度理论 时间周期解 差分方程 多解性 临界点 lyapunov函数 duffing方程 零航速 阶段结构捕食系统 逐段常变量 神经网络 特征方程 特征值 渐近概周期解 正解 无扭周期解 收获率 捕食者-食饵系统 捕食与被捕食 扩散 平衡点 局部渐近稳定 吕卡提方程 反周期解 分歧 分布时滞 全局指数稳定性 先验估计 中立型微分方程 中立型 不动点理论 不动点 lotka-volterra系统 logistic模型 kdv方程 hopf分岔 aubry-mather集
微分方程的解的存在性
微分方程的解的存在性微分方程在数学中扮演着至关重要的角色，它描述了自然界中许多现象的演变规律。
解微分方程是求解这些规律的关键步骤之一，而微分方程的解的存在性问题一直是研究者们探讨的重要课题之一。
本文将重点讨论微分方程的解的存在性问题，并探讨相关的理论和方法。
微分方程简介微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中包含未知函数及其导数。
一般形式可以写作F(x,f(x),f′(x),...,f(n)(x))=0，其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
微分方程按照阶数、形式和性质的不同可以分为多种不同类型，包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只包含一个自变量，而偏微分方程包含多个自变量。
微分方程的解是满足方程的所有函数的集合，解的存在性就是要确定这个解集是否为空或者非空的问题。
微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性定理是研究微分方程解是否存在的重要理论依据，其中最重要的就是皮卡-林德洛夫定理和柯西-李普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理皮卡-林德洛夫定理是关于常微分方程解的存在性和唯一性的定理，描述了在一定条件下初始值问题必然存在唯一解的情况。
具体来说，如果f(x,y)在一个矩形$R=\\{(x,y):a<x<b,c<y<d\\}$ 上连续且满足 $|f(x,y)| \\leq M$，并且以y0为中心、ℎ为半径、在R内闭区域D上连续，则存在区间 $|x-x_0| \\leq h$ 上的唯一解。
皮卡-林德洛夫定理的证明过程相对复杂，需要借助一些数学分析方法，但是它为解微分方程问题提供了一个强有力的理论基础。
柯西-李普希茨定理柯西-李普希茨定理是关于偏微分方程解的存在性和唯一性的定理，主要适用于一阶线性偏微分方程。
该定理告诉我们，如果偏微分方程的系数满足一定条件，那么初始值问题是存在唯一解的。
柯西-李普希茨定理在数学物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决实际问题提供了可靠的解决方案。
时滞微分方程解的存在性
时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。
可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。
一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。
为后文的工作做理论准备。
现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。
由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。
从而证明了该方程解的存在性。
具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。
考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。
f:[0,+∞)×E 0→E 。
同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。
中立型随机微分方程概周期解分析
中立型随机微分方程概周期解分析1 引言H.Bohr[9] 率先介绍了概周期数值函数的概念，S.Bochner[8]将其扩展到波兰空间。
关于概周期函数的其他文献，我们可以参考[10,11,12]等。
Slutsky[14]首次将概周期概念引入到多维随机过程。
最近，Bezandry和Diagana在[2]-[7]中系统地讨论了各类随机微分方程概周期温和解的存在唯一性。
设是通常的完备概率空间；和是两个实Hilbert空间；表示所有从J到H的Hilbert-Schmidt算子组成的空间，并赋以Hilbert-Schmidt范数；是具有有限迹的非负对称算子；是定义在上取值为J的可测的Q-Wiener过程，其中表示所有可测且平方可积H-值随机变量组成的集合，显然当其赋以范数时是一个Banach空间；和，规定范数，此处表示的转置。
2 问题描述以[2]-[7]为基础，我们考虑下列非自治中立型随机微分方程的均方概周期温和解的存在唯一性：（1）其中，是值随机过程，表示定义在上的H值函数组成的空间，若规定范数为：，那么它是一个Banach空间。
是满足一些假设的连续函数。
A(t)是满足(AT)条件的紧闭线性算子。
3 定义和假设我们定义如下实插值空间(参考[15]1.7节)：，当赋以范数时，它是一个Banach空间。
于是对任意的和，我们有；特别地，。
本文假设：是满足以下条件的紧闭线性算子(参考[3])：(1) (AT)条件(参考[1])且对于(AT)条件中的有，，其中表示有界线性算子；(2) ，且存在，使得对任意的，成为的实插值空间；(3) 与可交换，且U(t,s)指数稳定，即：存在常数使得；(H2) 连续函数在子紧空间是一致均方概周期的，而且满足Lipschitz条件，即：存在常数使得对任意的随机过程和下列不等式成立；(H3) 对连续函数g和h类似(H2)，将分别改为和即可。
4 主要结论定理：对任意的0，在(H1)—(H3)的假设下，只要，那么方程(1)有唯一的均方概周期温和解，且有如下表达式：(2)注：对算子关于t是周期的情形已由Da Prato-Tudor[13]给出了相应的结论。
微分方程周期解特性分析
微分方程周期解特性分析
微分方程是描述变化率的数学工具，而周期解是指在一定时间内重复出现的解。
本文将对微分方程的周期解进行特性分析，探讨周期解在不同情况下的性质和行为。
1. 微分方程和周期解的基本概念
微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，通常用来描述自然现象或规律。
周期解是指满足特定条件，可以在一定时间或空间内重复出现的解。
周期解在各种领域中有着重要的应用，如振动系统、电路分析等。
2. 周期解的存在性和唯一性
对于给定的微分方程，周期解并不总是存在，其存在与否取决于方程的具体形
式以及边界条件。
对于某些特定类型的微分方程，周期解可能存在多个，但在一些情况下，周期解可能是唯一的。
3. 周期解的稳定性和不稳定性
周期解的稳定性是指当微小扰动作用于解时，解是否会向周期解逼近。
稳定的
周期解意味着系统具有稳定的振动特性，而不稳定的周期解则可能导致系统出现混沌现象。
4. 周期解的周期性分析
周期解的周期性分析是研究周期解的周期长度、频率和相位等特性。
通过周期
性分析，可以更好地理解周期解的行为规律，为系统的动态行为提供更准确的描述。
5. 周期解的数值模拟和实际应用
在实际工程和科学问题中，通常需要通过数值方法对微分方程的周期解进行模
拟和计算。
数值模拟可以帮助我们更好地理解系统的周期特性，为系统设计和优化提供参考依据。
结论
本文对微分方程的周期解进行了分析，探讨了周期解的存在性、稳定性、周期
性分析以及数值模拟和实际应用。
周期解在动态系统分析和控制中具有重要意义，了解其特性将有助于深入理解系统的动态行为和稳定性。
一类中立型无穷时滞积分-微分方程适度解的存在性分析
其 中 是解析半群 （ ：ｆ ０的无穷小生成 ｆ ≥｝ ）
元 ， ： Ｏ，】 （ ００ 一 定义为 ：
且存在正常数Ｃ， ２ ｝ ）（ｖ－，Ｉ 。 ， Ｃ使得ｌ ｔ ）ｃｖ ＋ （ ｇ， ｌ Ｉ ＿ ＜
（ ｇ （ ） 一 ）ｇｆ 是 ｃ ｆ 的 ，即存 Ｈ ） ２ ：（ （・ ， ） ｆ ｚ 在正常数 ＞０ 使得Ｉ一 ） （ｖ） 一） （ｖ）＜ ， １Ａ Ｐ ｔ 。 （ Ｐ ｔ ｌ （ ｇ ， 一 Ａ ｇ ， ｌ
Ｂ 柏奎 。 ＿ 续
里 ＝ 一）ｌ ６。 厶 ￡ ｌ Ｋ ＋ ）
在无穷时滞积分 一微分方程理论 中，相空间 的选择起着重要作用 。采用Ｈａ 和Ｋ ｔ￣ 公理 ｌ ｅ ａｏ １ 。 用
化方 法 引人 的相 空 间 的定 义 。
（ ） ２） Ｈｆ （ ：存 在 可 积 函 数 ０ 】 【， ０ ，ｂ ０＋Ｏ ）
ＩＣｌｌ＋ ２ Ｉ Ｉ Ｉ ｐ Ｃ） ｌ （ ｌｌ （ ＋（ Ｉ ） Ｇ＋二
Ｃ］ ２
／： Ｊ ）Ｊ＋ｌ ６。 ２ （ Ｃ （ 一 ）
（ Ｈｈ）（ ： ２ １ ６ ２） ： ＋４ ７ ａ ＜１ ７ ）ｓ ，这 （
型条件 ，即对任何 Ｂ （ ｖ ： ∈ ，厂 ・ ） ， 【 】 强 可测 ，对几 乎 处处 ｔ ［，】ｆ（・ ０ ，６ ｏ６， ｔ） ｅ ，：
以及连续单调非减函数Ｑ［ ＋０ （ ＋ ） ：， Ｏ ０ ∞ ，使得 ０ ） ，
ＩｔＶｌ￣）（ｌ， ｔ［ ６ ｖ Ｂ ｆ ， ） （ １ Ｖ∈ ， 】 ∈。 （ ｌ ｔ ｌ） ｎｖ ｌ ０ ，
作者简介 ：徐明（９ ６ ） 江苏泰 州人 ， １７ 一， 男， 硕士， 研究方 向为泛 函分析
（ Ｒ） ２ ： ， ） Ｒｔ ）则映射ｔ Ｊ： Ｈ （ ） 记Ｒ（ ＝ （ ， Ｓ ， Ｒ ，
一类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
即 （）是 反周期 的 ， ｔ 且是有 界 的．
（） ２ 类似可证．
ｌ （） ｓ Ｉ≤ ２ Ｉ ｔ 一（）ｌ Ｃ
ｅ（ｃ ｄ， ｓ ３ ｘｒ ＡＡｆ ． ｐ ））≥ ０ （
．
主 要 结 论及 证 明
定理 １ 假 设方 程 （ ）满 足条件 （ ） １ Ｈ１ 且满 足
和
解的存在性给予了大量研究 ， 并得到一 些结果 ， 参 见文献 ［ ５—９ ． ］ 然而对 中立型泛 函微分方程反周 期解 问题 的讨 论甚 少 ， 文讨论 下 面一类 具 有无穷 本 时滞 中立型泛 函微 分方 程
（） ２ （） ３
盖 ） Ｑ ，ｔＪ Ｊ （ 一 （ （， ） （
唯一 的 ７周期解 ： ’
ｓｐ （ Ｉ ｕ 训
（）＝ｆ Ｘ ｔｘ ｓ （）ｓ ｔ （） （） ｓｄ 厂
（） Ａｔ ２ 若 （）满 足 条 件 （ ２ ， ｋ Ｈ ） 且 ：＝ ｅｐ 一 ｘ （
Hale Waihona Puke ＩＱ ｔＭ ，１ （ ，１ ）一Ｑ（ ，２Ｉ ）ｌ ｔ ，２ ≤ Ｉ／ ２ Ｊ ２ ， １一 Ｉ
Ｊ ｎ ａ．
２ １ ０２
文章 编号 ：０ ８—１０ （ ０２）１—０５ Ｏ １０ ４２ ２１ Ｏ １ １一 ４
一
类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
张洪彦 ， 王 奇 ， 丁敏敏 ， 王志杰
（ 徽 大 学数 学 科 学 学 院 。 安 安徽 合 肥 ２０ ３ ３０ ９ ｊ
＝
ｆ （ ＋ ）一 ｓ ） ｓ Ｔｄ ｔ ＴＸ ＋ 厂 ＋ ）ｓ （ （ ｆ （） （） ｓ Ｔｄ ｓ （ ＋ ）ｓ ，
阵， 如果存在一个映射 Ｐ和正常数 ， 使得 ： Ｉ （） Ｘ １ ｓ ｌ≤ｆ ｘ （ 仅 ｔ ） ， ≥ｓ ｌ ｔＰ ＿（ ）Ｉ ｌ ｐ 一 （ —ｓ ） ｔ ； ｅ
一类具有无限时滞中立型积分微分方程的周期解
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ６ １２ ， ．
滨 州学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＢ ｎ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｉｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｏ
２１ 年 １ ０１ ２月
Ｄ ｅ ．， ０１ ｃ ２ １
【 分 方 程 与 动 力 系 统研 究】 微
一
类 具 有 无 限 时 滞 中 立 型 积 分 微 分 方 程 的周 期 解
其 中 ｔＥ Ｒ， Ａ（， ， ｔ ） Ｃ（，）为连 续 函数矩 阵 ， Ｒ， ， ｚＥ Ｒ ， ｔ ） Ｂ（， ， ｔｓ 厂Ｅ Ｃ（ Ｒ ） ｆ将 有界 集映 为有 界集．
ｆ ｔ Ｔ， （ ＋ ）一 ｆ ｔ ， （）＝ ｘ ｔ ｓ ， Ｅ （ 。 ，］ （， ｓ ＝ （ ＋ ） ５ ） ＝ 一 。 ０．
（） １
Ａ（， （）ｚ（） ｌ Ｃ ｔ５ ｓｄ ＋ｇ（，￡ ） ＋ 厂 ， ￡ｚ ） ＋ （，） ） ｓ （ ｔ（ 一ｒ ） （）
Ａ （ ＋ 丁）一 Ａ （） Ｂ（ ＋ Ｔ， ＋ Ｔ） 一 Ｂ（ ， ） Ｃ（ ＋ Ｔ ， ＋ Ｔ）一 Ｃ（ ，） ｔ ， ｔ ｓ ｔ５ ， ｔ ５ ｔ５ ，
利 用线 性理 论及 Ｓ ｈ ｕ ｅ 不 动点 定理 获得 了方 程 （ ） ｅａｄｒ １ 的周 期解 的存 在性 、 唯一 性及稳 定性 ， 到 了一些判 得
别 准则 ．
１ 预 备 知识
定义 １ 如 果实 方 阵 Ｐ满 足 Ｐ。＝ Ｐ， ＝ 则称 Ｐ 为投 影． ＝ 定义 ２ 设 Ａ（）是定 义在 Ｒ上 的连续 的 × 是 实矩 阵 函数 ， 虑线性 系统 考
ｎ（ ＋ ∑ Ｊ ￡ Ｊ （ ≤０ｉ ，， ｆ ） （ ≤ａ￡ ，：１２…，， ｎ ） ）
］ｌ （ ～Ｐ ｘ ｓ ｌ≤ Ｋｅｐ ａｔ ） ，≤ ｓ ｌ ）ｊ ｘ（ ） （）ｌ ｘ （（ —ｓ）ｔ ．
一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性
１９ ９７年 ， ｉ 利用 Ｍａ ｉ 续定 理 ， 论 了～ 类 具 常 时滞 的周 期 系 数 的 中立 型 泛 函微 分 方 程 ．０ １年 ， Ｌ Ｊ ｗｈｎ连 讨 ２０ Ｆｎ ［ 讨 论 了方程 （ ）并且 对 文献 ［］中公 开 问题 给出 了解答 ．０ ３年 ，ｕ６研 究 了如 下方 程 正周 期解 的 ａｇ５ ］ ２， ３ ２０ Ｌ［ ］
ｚ（ （ｋ ￡ ）一 ｔ）： ｌ（ ｎ １十Ｊ ） ｃ ， ２
即
、
￡：
∈ Ｎ．
‘） ４
收稿日期 ：０ ９—０ ２０ ３—１ ０
基 金项 目： 湖南省教育厅 ２０ 年科技项 目（６ ０ ２ ； ０６ ０ Ｃ ４ ） 湖南工学院 ２ ０ 年科研项 目（ Ｙ ８ ２ ） ０８ Ｈ ０ ０ ６ 作者简 介： 盛洁波 （９ ９ ， ， １ ６ 一） 女 湖南人 ， 讲师 ， 主要研究方 向： 微分方程 ．
பைடு நூலகம்
一
类具有脉冲 的中立型 时滞微分方程正周期解 的存在性
盛 洁波 陈福 来２ ，
（． １湖南工 学院 基础课教学部 ， 湖南 衡阳 ４ １０ ；． ２０ ２ ２ 湘南学 院 数学系 ， 湖南 郴州 ４３０ ） ２ ０ ０
摘 要 ： 一个实际生态系统， 常受到周围环境 变化 以及人类活动的影响 ， 因而在 生态系统建模 中应 该考虑脉冲的存在 ． 现有的研究过 多局限在具有常时滞的周期 系统的中立型泛函微分方程， 对具有 脉 冲的 中立型 时滞微 分方程 模 型研 究较 少． 本文利 用 重合度理 论 ， 究 了一类 具有脉 冲 的 中立型 时 研
—
１］本文利用重合度理论 ， ３． 讨论方程（ ） １ 的正周期解的存在性。
１ 预 备 知 识
无穷时滞中立型积分微分系统解的存在性与近似可控性
无穷时滞中立型积分微分系统解的存在性与近似可控性
主要利用预解算子、分数幕算子理论与方法,以及不动点定理研究了具有依赖状态的无穷时滞的中立型积分微分系统解的存在性、正则性与逼近能控性,并给出了相应例子,论文取得的结果推广了相关文献的已有结论。
全文分为三章,第一章简要介绍相关研究背景及本文的主要工作;第二章利用不动点定理、分数幂算子及预解算子理论讨论具有依赖状态的无穷时滞的中立型积分微分系统的温和解的存在性,并分别在lipschitz条件和Holder连续性条件下分析了强解和严格解的存在性,还讨论了解的爆破性结果,最后给出一个应用例子,第三章运用不动点定理、预解算子研究了具有依赖状态的无穷时滞发展系统的逼近能控性,在相应线性系统逼近能控的条件下利用解析预解算子结论及不动点定理获得半线性系统逼近能控的一些充分条件,最后也给出一个应用例子.。
一类中立型泛函微分方程的概周期解的存在唯一性与稳定性
Ｄ ， （ 一 ＿Ｊ ＿ ｘ一 ￡ ） 去１∞ ｅ ‘ ．一 厶
（）ｓ ｓｄ ，
一 ． ￡ 当 一 时 ， ｔ ０ Ｄｘ ，
都无 法 满足 此 条 件 的要 求 ．事实 上 ， 取 （） ｉ￡ 于是 Ｄｘ一 ￡一ｓｎ ， ，
一
而 （） ｓ 一 ￡一 ｉ ｎ
Ｉ ￡ｌ （） ≤ ｌ Ｉ Ｄｘ
ｒｒ
（ ∈ Ｒ） Ｖｔ ，
其中 Ｄ （） ｌ Ｂ ￡ｓｘ ｓｄ． ｘ一 ￡一 （， （ ｓ 此条件既荷刻且又十分难 以验证． ） ） 因为在一般情况下 ， 此
条件 是 无法 满 足 的 ， 非在 Ｂ（，） Ｏ的特 殊情 况下 ．例 如 ， 常 简单 的算子 除 ￡ｓ三 非
（） １
其中 ｔ ∈Ｒ， ∈Ｒ ， Ａ（） Ｂ（，） Ｃ（，） ， ２ 续 函数 矩 阵 ， ￡ 是 Ｒ 到 上 的连 续 函 ｚ 而 ￡ ， ￡ｓ ， ｔｓ 为 ２ 连 ×， ，（） 数 ． Ｃ ］ Ｂ（，） Ｏ且 一１的情 况 下 ， 文 １在 ￡Ｓ三 研究 式 （ ） １ 的周 期解 的存 在性 问题 ．文 ［ ，］ Ｂ（， ２３在 ￡ Ｓ 三 ０的情 况 下 ， 究 式 （ ） 概 周 期解 的存 在 性 问题 ．文 （ １ 究 式 （ ） 概 周 期 解 的 存 在 ） 研 １的 ４研 １的 性、 唯一 性 、 定性 等 问 题 ， 它需 要 的条 件 为 （ ） 在 常数 ｍ＞０ 使 得 稳 但 Ｈ。存 ，
第 ３期
王 全 义 ： 类 中 立 型 泛 函 微 分 方 程 的 概 周 期 解 的存 在 唯 一 性 与 稳 定 性 一
２３ ２
１ 主 要 结 果
对 于方 程 （ ） 假 设 下 述条 件 ： １， （ ）Ａ（） ｔ Ａ。 ｆ是 的概 周 期 函数 矩 阵． （ ，＋Ｓ ， ｆｆ 关 于 ｔ ｆｆ ）Ｃ（，＋ ） 对 ∈Ｄ。Ｄ。 Ｒ 中 的任 一 （ 为 紧子 集 ） 是 一 致 概周 期 函数矩 阵 ． （） ｔ ， ｆ ｔ是 的概 周 期 函数 向量 ． （ Ａ ）概 周期 函数 ｂ ｆ 的平 均值 （）
一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性
２ 存 在 常数 ｒ ） Ｉ＞０ ｒ ，２＞０ ｍ ＞０和 ｄ≥ ０， 得 ， 使
（） 。“ ≤ ｇ ／ ≤ ｒ ｌ Ｉ， ／ ＞ｄ ｉ ｒＩｌ （， ） ｕ Ｖ Ｉ ｌ ； ，
（ｉ ｇ Ｈ ＞０ （ ｕ （， ｉ ）ｕ （ ） 或 ｇＩ １ ）＜０ ， １Ｊ ； ） Ｖ Ｉ ＞ｄ １ ，
３ 存 在 常数 ｓ ＞０ 使 得 ） ，
【 （）Ｉ＋ｄ２ 一 ＋ ６］ ） 一 ｔ Ｊ
Ｄ ＝
【’）卢 ｚ ＞ ［二ｔＩ＋ｄ ＜… （ ＋Ｉ ） ’ ｒ卢 。 】 ｍ 。（ Ｊ ． Ｊ
４） 卜歹 条 件 之 一 成 立 ： Ｕ
ｃ ＝・ ｐ， ｉ 一旦 』 ， ｎ
其 ， ｆ． 中 ＝ １
、Ｘ２Ｉ
再将 方程 （ ）改为下 列形式 ２
ｒＡ 。 （）＝ （ｚｔ ）＝ ｌ （） （ｘ ） ｔ （） ｔ
（） ｔ
㈤ ：－ ） （） ｃ（ 一 ） 厂 （ （ ｃ） ）『 ） ｇ０
．
）ｅ ）（ ＋
其 中 ， ＋一 ：１ 得 出 ￡ １ （）： （ （） （ ） 是方程 （ ）的一个 周期 解 ， ．￡ ， ￡ ） ３ 则 。ｔ 是方 程 （ ）的一个 （） ２
ｃ ｎ中立 型泛 函微 分 方程 ｌ ａ
（，（ 一 ￡ ｏ） 十 （ ） ￡＋ （ ｆ ｓ ｍｓ ＝ （ （ ￡ ｃ 一９ （ ｇｆ ＋） （ ） ｅ ） ， ） （ ） ） （ ｄ ）
（ １ ）
的周期 解 的存 在性 问题 ， Ｐ＞ 在 ２的条 件下 ， 用 重 合 度理 论 获 得 了方程 （ ） 少存 在 一 个 周 期解 的充 分 利 １至
从 而推 广 和改进 了文献 ［ ］的相 关结 果． ５
１ 准 备 知 识
具有无穷时滞中立型积分微分方程的周期解
（ 一 ） ｅ（ （７ ｄ， ｌ ｘ － 丁 ） （ｌ ｐ ｓ （）） ）
ｓ ．
（ ８ ）
证 设 ｘｔ 是方程 （） （ ） ６ 的任一非零解 ， Ｌａｕ ｏ 泛函 （（ ） ｘｔ ， 由右上导数 取 ｉ ｎｖ ｐ ＝１（ ｌ ） ）则 及矩 阵测 度 的定义得
一
（） 一
） ＝ ＋ ｄ ）） ｓ ）
ｊ ｄ ｓ ｓ ） ＋ ）
（ ５ ）
其中 ｔ ， ∈Ｒ ， （ ， ｔ ） ｃ ｔ ） 礼×礼连续函数矩阵， ｆ∈Ｃ Ｒ×Ｂ ｈＲ ）， ∈Ｒ ｔ Ｂ（ ｓ， （ ｓ 为 ） ， ， （ Ｃ ， ， 将 有界 集 映为有界 集 ． Ａ（＋Ｔ ＝ （ ， ｔ ， ＋Ｔ ＝Ｂ（ ｓ， ｔ ， ＋Ｔ ＝ ｃ（ ｓ， ｔ ） Ｂ（＋Ｔ ｓ ） ） ｔ ）ｃ（＋Ｔ ｓ ） ， ｔ） ， ｆｔ ， ） （ ）ｘ（ ＝ｘｔ ）ｓ ～ 。０ 利用矩阵测度及不动点定理研究方程周 （＋Ｔ ＝ｆｔ ， ｔ ） （＋ｓ， ∈（ 。，］ ， ｓ ． 期解 的存在 性 、唯 一性及 稳 定性 ，推 广和改 进 了有关 的结果 ．
（） 一
． ） ＝ ） ｓ ｄ 邱） ＋ ） ｓ ）
ｄ ： Ｊ ，。 ｔ Ｄ ） ‘，
ｊ ｄ ） ｓ ｓ ） ＋ ）
的周 期解 的存 在性 ．范猛和 王克 ｆ 证 明 了无 穷 时滞线性 中立 型泛 函微分 方 程 ７ 】
解 的有界 性 蕴涵 周期 解 的存在 性 ，推广 了 Ｍａｓｒ ．， ｈｗ ． 和 Ｍａａ 的结果 （ ｓｅａＪＬ Ｃ ｏ ｓＳＮ ｋｙＭ 参 见文献 【 １１ 陈和孙 ［】 ８ ０． － ） １ 对纯量方程 １
２ 一些 引理
定义 １ 设 矩 阵 Ａ ＝ （ｉ） ， 阵测度 （ 定义 为 ａ 矩 ｊ ）
一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性
第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期] 2009208226[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介] 陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘 要] 运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词] 中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号] O 19 [学科代码] 110・51 [文献标志码] A0 引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1 预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9] 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明 令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理) 设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4 设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2 主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1, 1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1 对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明 (ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2 对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明 设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1 对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参 考 文 献][1] L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2] 彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3] SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4] CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h Comput,2005,162:127921302.[5] 宋来敏,周宗福.一类中立型泛函微分方程周期解的存在性[J].大学数学,2006,22(2):16221.[6] 杨喜陶.中立型泛函微分方程的周期解[J].系统科学与数学,2006,26(6):6842692.[7] WAN G QI,DAI BINXIAN G.Three periodic solutions of nonlinear neutral functional differential equations[J].Nonlinear Anal,2008(9):9772[8] 李辉,王艺霏.具有功能性反应的时滞扩散模型的周期解与稳定性[J].东北师大学报:自然科学版,2008,40(2):22229.[9] 郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科技出版社,2006:1282130.Existence and uniqueness of periodic solutions for a classof f unctional neutral differential equationsCH EN Zhi2bin1,2,HUAN G Li2hong2(1.School of Science,Hunan University of Technology,Zhuzhou412000,China;2.College of Mat hematics and Econometrics,Hunan University,Changsha410082,China)Abstract:U sing t he analytical met hod,and utilizing Krasno selskii fixed point t heory,t his paper qualita2 tive and quantitative st udy t he existence of periodic solutions for a class of f unctional neut ral differenti2 al equations,and obtains some sufficient conditions of existence and uniqueness of periodic solution for t his class equations,and p romotes t he literat ure of t he main conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶 理)。
常微分方程的周期解的存在性
常微分方程的周期解的存在性第12春第1期河海大学机械学碇1998年3月JOURNALOFCOLLEGEOFMECHENGHOHAIUNIVERSITYV o1.12No.1Mar1998常微分方程的周期解的存在性常厂√摘要主要利用常微分方程的Lipschitz变分稳定性讨论如下方程j=,0,)的周期解的存在性,推出了几个存在定理.关甓词兰坌查堡,Lipschltz~嫂分Liph|tz稳定性-县塑蔓盏tO引言微分方程的周期解的存在性问题,无论在理论上,还是实际问题中,都是一个十分重要的问题,也是难以论证的.本文利用一种新的稳定性定义,给出了微分方程周期解存在性的直接判据.讨论微分方程i—f(t,x)(1)其中xER,f(??)EC口×R,R],J一(to,+.o),t≥0,I(t,0)一0,即x=O是方程(1)的解,且方程(1)的解满足解的存在唯一性和对韧值的连续依较性条件.记fI(),设x(t,x.)是系统(1)过(t.,x.)的解?记方程(1)关于解x(t,b,x.)的变分系统为,一f(tcx(t,x(t…ty))y,y∈R'(2)特别地,记系统(1)零解对应的变分系统为:—f(t,0)z,z∈R(3)设方程(2)对应于解x(t,t.,xo)的基解矩阵为(t,to,xo),(t,b,xo)一I,I为单位阵.简记(t,t.,0)为(t,to),易知(t,to)是系统(3)的基解矩阵,(t,to)一I,I为单位阵,显知(t,t.-x.)一蠹(x(t,t..x口)),记llxll一善Ixl1基本知识定义1Ⅱ称方程(1)的零解是Lipschitz一致渐近稳定的,若存在非负连续函数M(t,to),t≥t.,满足条件limM(t,to)一0,对t.ER一致成立以及常效8,使当llx.ll<8时,有llx(t,t0,x.)0一M(t,t0)f1x0}1t∈J若8一+co,则称之为全局Lipschitz一致渐近稳定.定义2称方程(1)的零解是变分Lipschitz一致渐近稳定的,若存在J上的非负连续函数M(t,t.),满足条件limM(t,t.)一0,对t.∈R一致成立,咀及常数8,使当lix.f1<8时,第12卷第1期常微分方程的周期解的存在性ll(t.to,xo)ll≤M(t,to).t∈J若8一+..,则称之为全局变分Lipschitz一致渐近稳定.引理l"设DCR~是一凸集,xo与原点均属于D,x(t…tx.),x(t…t)分别是方程(1)过(c0,xo)和(c口,yo)的解.对任意X.,∈D,则存在0<<1,使X(t.t0,x.)一x(t…tyo)一J(tt+(x.一y0))d?(x.一)(4)特别地,有X(t¨"tXo)=:(t,,o)?X.(5)引理2…设P:x—x是完备度量空间x一(x,P)上的连续映象,在x上对某个正整数m,P是压缩的,那么P有唯一的不动点.2周期解的存在定理定理1如果方程(1)满足以下条件(a)f(t.X)一f(t+T,X),T>0(b)方程(1)的零解是变分Lipschitz一致渐近稳定的,那么方程(1)存在周期解.证明:对任意xo∈c(to)一xo一{J一),设x(t…tXo)是方程(1)过(t0.)【0)的唯一解.我们定义算子:P:c(c口)一c(to)(参看文献[5])令px0一x(to+T,to,x0)显然P是连续算子.这里x(t+T…tx)是方程(1)的解,初值为Px..因为x(t.+T…tXo) 一Px.一x(tt,Px.).利用唯一性定理知X(t+T…txo)=X(t,to,Pxo)由算子的定义知:Pxo—P(Pxo)=x(t.+T…tPx.),这里x(t,c口,Px.)是方程(1)的解,初值为.X.嗣为x(t.+T,t.,Px.)=Px=x(t.,.Px口),由唯—性定理知x(t+T…tPxo)一x(t…tPx.)再利用唯一性定理知x(t+2T…txo)一X(t+T…tPxo)一x(t,to.PxD)按照上面的方法依次类推.一般有x(t+mTtX.)一X(t…tPxo)(6)由条件(b)知:存在一个非负连续函数M(t,t.),使得I1(t…tx)ll≤M(t,to),t∈J,这里limM(t,c口)一0对∈R一致成立,显然有limM(t+nT,b)一0,那么对常数0,0<8<1,存在自然数m,使得M(t+mT,to)≤8≤l利用引理1有llX(to+mT.t0.X.)一X(to+mTt)f1≤f(t.+roT,to,y.+8(x4一))lI?llXo—yo}1≤8I1X.一Y.ll这就表明lIPx.一Pll河海大学机械学院1998年3月一x(t0+mT…txo)一x(t0+mT,t.?)l】≤x一Y.ll算子是压缩算子,利用引理2知P存在唯一一个不动点,所以方程(1)存在周期解. 考虑方程(1)的相伴系统fi—f(t.x)1一f(t,y)()定理2假设存在标量函数V(t,x,y)∈CD×R×R',R]满足以下条件;(a)f(t,x)一f(t+T.x).T>0(b)存在正常数A,B,k使得Ax～YlI≤V(t,x,y)≤BIfx—yll(c)V(t,x,y)关于系统(7)的全导数满足:V(t,x(t),y(t))≤w(t,V(t.x(t),y(t)))其中W(t,u)∈cEJ×R,R],w(t,u);0(d)标量方程0一W(t,u)(8)的零解是Lipschitz一致渐近稳定的.则方程(1)存在周期解.证明:设x(t,t0,xo),x(ttY0)分别是方程(1)过(t0,)-(t.,yo)的解,设u(ttu)是方程(8)过(t..u.)的解.取u.一V.一V(t.,x,y.),由条件(c)及微分不等式知:V(t,x(t…txo),x(t,t0,Y o))≤u(t,t,V o)(9)由方程(8)的零解是Lipschitz一致渐近稳定的,则可知:存在J上的连续非负函数M (t.to).t≥t.,满足条件limM(t,to)一0,对t.∈R一致成立,使得【1u(t,t,u.)lI≤M(t,t.)}1u.ll考虑到条件(6)及(9),则有Ax(ttx.)一y(t.t0,Y o)II≤V(t.x(t…txo),x(t,to,yo))≤u(ttV.)≤M(t,t)V.ll—M(t,to)lIV(ttY0)II≤M(t.t0)BIlx一y0,即ljX(to+mTtxo)一x(t0+mTty0)}1≤[詈M(t,to)]}l_Xo—f1又由(t-t.,x.)一蠢:【x(t,t.,xo)))可知Jx(t,t.,Y o+s(xO--Y.))一(t,t.,y.+s(x.一Y.))'(Xo--Y.)因此(t,t0,)(xo一)一[x(t-t"yo+s(x0--y.).-u}I(t.t.,Y.)(x.一yo)l1第12卷第1期常微分方程的周期解的存在性25 =I…im—x(—t,t—o,—y.+—s—(x—o--y—o))—--—x(—t,一to,yo)…0一[罢M(t,to)]{IIx.一ll所以Il(t,t.,x.)ll=l.II(t,t.,yo)(x.一yo)II≤[罢M(t,t.)]}由定义2知方程(1)的零解是变分Lipschitz一致渐近稳定的,由定理1知方程(1)存在周期解.定理3假定存在标量函数V(t,x,y)满足以下条件:Ca)f(t+T,x)=f(t,x),T>0(b)存在正常数A,B,k使得AIIx—yII≤V(t,x,y)≤Bllx--y(c)V(t,x,y)关于系统(7)的全导数满足V(t,x(t),y(t))≤p(t)V(t,V(t,x(t),y(t)))其中p(r)=一..,则方程(1)存在周期解.证明:类似于定理2的证明.3实例说明考虑纯量方程童一一x+COSt,x(t.)=x0(1O)存在一个以2为周期的周期解事实上:令f(t,x)=--x+cost显然有f(t+2,x)一一x+cos(t+2)一一x+c0st—f(t,x),解线性方程一一x得方程的解为x(t,t,xo)xoe一 0则(t't0,x)蠹(t't0,xo)e…故存在一个非负连续函数M(t,to)=e'0)'t≥t.,满足条件limM(t,to)一lime0一0,对to∈R一致有II(t…tx.)If≤M(t,to)t≥t.因此方程女一一x+c0st的零解是变分Lipsehitz一致渐近稳定的,由定理I知方程存在以2为周期的周期解.4结束语从上述的讨论可知,使用定理I来判别一些方程的周期解的存在性要比用V(t.x,y) [一mm26河海大学机械学院1998年3月函数来手j别方便一些,但对一些较复杂的方程,其变分方程也很复杂,(t…tx.)就不好算出,所以此判别定理对含线性项微分方程比较适用.参考文献廖晓昕.稳定性的数学原理及应甩.武设?华中师范大学出版杜,1988粱伟.瑟函崔升方程的Lipschh.稳定性.四JI『大学(自琳科学板).1993.30(3)i408--412Derma.FM.Elad1.S.J.mnh.AApp1.1986—113l56z一577E.克里营格.瑟函分析I论及应用.重庆-重庆出版杜.1978T.ABurton.stab~ityandperlod~caol~tlonaofordinaryand~unctiolmldifferentionalequati ons.NewY ork,1985 ExistenceofPeriodicSolutionsofOrdinaryDifferentionaiEquations AbstractTheauthersdiscussetheexistenceofperiodicsolutionsofordinarydillerention—alequationandderivetwoexistingtheoremsbyusingLipschitzstabitityofordinarydiffer—entionalequationsKeywordsordinarydifferentialequations}Lipschitzstability'variationLipschitsstabili—ty;periodicsolution。
中立型标量积分微分方程的周期解
中立型标量积分微分方程的周期解\[ \frac{{d^n y}}{{dt^n}} + a_{n-1} \frac{{d^{n-1}y}}{{dt^{n-1}}} + \ldots + a_1 \frac{{dy}}{{dt}} + a_0 y = b_m \frac{{d^m x}}{{dt^m}} + b_{m-1} \frac{{d^{m-1} x}}{{dt^{m-1}}} + \ldots + b_1 \frac{{dx}}{{dt}} + b_0 x \]其中n和m分别是y和x的最高阶导数，a和b分别是y和x导数的系数。
为了简化，我们假设m<n。
接下来，我们将探讨中立型标量积分微分方程的周期解。
1.周期解的定义假设y(t)是上述微分方程的一个解，并且存在常数T使得y(t+T)=y(t)对于所有t成立。
那么y(t)是周期解，并且T是它的周期。
2.周期解的存在性定理对于中立型标量积分微分方程而言，周期解的存在性定理是一个非常重要的结果。
它断言：如果微分方程的右侧函数是周期函数，即存在正常数P使得b(t+P)=b(t)成立对于所有t，且P不是微分方程解的周期，那么该微分方程必定存在一个周期解。
这个定理的证明比较复杂，超出了本文的范围。
但是我们可以简要讨论其思路：利用周期函数的性质，将中立型标量积分微分方程转化为对特定函数的积分方程，并利用积分方程的性质证明周期解的存在性。
3.周期解的稳定性在一般的非线性动力系统中，周期解的稳定性是一个很重要的性质。
稳定性是指对于微小的扰动，解是否会始终保持在原周期解的附近。
对于中立型标量积分微分方程，周期解的稳定性可以通过线性化的方法来分析。
通过线性化，我们将非线性的微分方程转化为线性的微分方程，并分析线性化方程的解的性质。
如果线性化的方程的解是稳定的，那么对应的周期解也是稳定的。
具体的线性化方法是通过将非线性部分在周期解的附近进行泰勒展开，留下导数的线性组合，得到一个线性微分方程。
一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性
周期解 的存在唯一性定理 ， 我们也推广了相关文献的主要结果．
１ 主 要 结 果
定义 １ － ： 设 “Ｒ ［ｓ ７］ ：一尺 关于 ｔ 是连续 的， 若对任意的 占 ０ ｊ ＝ （ ＞ 使得任一长为 ｚ ＞ ， ｆｆ ） ０， 的区间上 至少含有一个 ｏ＝ ） ｒ （ 使得对任意 ｔ Ｒ都有 ∈
（ ） 】 Ａ（） ＋ ｃ（ ，） ｓ ＋ Ｐ （ （ 一丁（） ）＋ｂ ｔ ｆ） ＝ ｆ （ ） ｓ （ ） ｆ ￡ ￡ ） （）
，
周期解 的存 在性 和唯一 性 问题．由于周期 函数是 概 周 期 函数 的 特例 ， 因而 讨 论微 分 方 程 的概 周期 解 具有 更
（ ＝ （ ｔ＋ｆ （， ｘｓｄ＋ ｔ （— ｔ） ＋ （ ｔ Ａ （ ！ ｔ ）（）ｓ ｇ（， ｔ （ ） ｂｔ ） ） ） Ｃ ｓ ｒ） ） …
ｆ
（ ＝ （，（ ）（） ！∞ （， ｘｓｄ＋ ， ｔ ｒ ｔ） ＋ （ ｔ Ａ ｔ ｔ ｔ＋ｆ ｔ ）（）ｓ ｇ（ — ）） ｂｔ ） ） ｓ Ｃ ｔ（ （ ）
Ｉ（＋ 一 （ ｌ ｔ ） “ｆ ｕ ）
成立 ， 则称 ｕ ｔ关 于 ｔ （） 是概 周期 的． 定义 ２ 侧 ： 设 ∈Ｒ ， ｔ是 ｎ×ｎ连续 矩 阵 ， 性 系统 Ｑ（） 线
（）＝Ｑ（） （） ｔ ｔｘ ｔ （） ２
在 Ｒ 满足指数型二分性是指存在常数 ｋ ０ ＞ ＞ ， ０及投影 Ｐ使系统（ ） ２ 的基本解矩阵 Ｘ ｔ满足 （）
（． １ 河池学院
［ 摘
要］ 考虑具连续时滞和 离散 时滞的 中立型积分微 分方程
二 ￡ （ （） Ａ ｔ 』 ） ｓ Ｐ （ ｑ￡ ）６） ｄ ）蓍 （ ￡】 （ ） （ｓ （ｄ （ ｔ ＇） ＋（ （＋ 【 ｑ 一 ） ＝ ｍ（＋ ， ） ， －ｉ ） ￡ （
一类具有多个变参数的中立型泛函微分方程的反周期解的存在性
ｎ ｕ ｒ ｌ ｕ ｃｉｎ ｌ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａｉｎ ｗｉ ｌ ｐ ｅ ｖ ｒ ｂ ｅ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓａ ｄ ｄ ｌｙ ｙ ｍｅ ｎ ｆＬ ｒｙ ｅ ｔ ｎ ｔ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｔ ｍｕｔ ｌ ａ ｉ ｌ ａ ａ ｔ ｒ ｎ ｅ ａ ｓｂ ａ ｓｏ ｅ ａ ・ ａ ｆ ｏ ｄ ｆ ａ ｅ ｏ ｈ ｉ ａ Ｓ ｈ ｕ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏ ｅ ． Ｓ ｍｅ ｓ ｆ ｃｅ ｔ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｎ ｉｐ ｒｏ ｉ ｓ ｌ ｔ ｎ ａ ｅ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｏ ｕ ｉｎ ｎ ｉ ｏ ｓｆｒｔ ｘｓｅ ｃ ｆａ ｔ－ ｅ ｄ ｃ ｏｕ ｉ ｒ ｉ ｃ ｉ ｈ ｉ ｏ
徐 建 中 ， 宗福 周
（． １毫州师范高等专科学校 数学系 ， 安徽 亳州 ２６ ０ ２ 安徽大学 数学科 学学院 ， ３ ８０； ． 合肥 ２ ０ ３ ） ３０ ９
摘
要： 应用 Ｌｒｙ Ｓ ｈｕ ｅ 不 动点定理 ， ｅ － ｃａｄｒ ａ 讨论 了一类具有 多个变 时滞 和变参 数 的ｐ Ｌ ｐａ ｎ中立型 泛 函微分 － ａｃｉ ａ
泛 函微分 方程 的周期 解一 直是 广大 科研 工 作 者感 兴 趣 的话 题 ， 已经 取得 了许 多 丰硕 的成 果 （ 文 现 见 献 ［— ］ ， １ ４ ） 而泛 函微分方 程 的反周 期现象 也广 泛存 在 于各类 数学 和物理 问题 中． 近年来 ， 大家 对泛 函微分
方程的反周期解也给予了广泛 的关注（ 见文献［ — ］ ， ５ ８ ） 但是研究具有多个变时滞和变参数的 Ｐ Ｌｐａ ｎ — ａｃｉ ａ 中立 型泛 函微 分方 程 的反 周期 解存 在性 的文 章还很 少见 ， 于文献 ［— ］本 文考 虑 了一类 具 有多 个 变时 基 ６７ ，
具无穷时滞中立型泛函微分方程的解的存在性、唯一性及连续相依性
具无穷时滞中立型泛函微分方程的解的存在性、唯一性及连续
相依性
石磊
【期刊名称】《大连铁道学院学报》
【年(卷),期】1991(12)4
【摘要】本文研究了无穷时滞中立型泛函微分方程的解的局部理论.为了便于应用,得到了具无穷时滞中立型泛函微分方程的解的存在性、唯一性及关于初值的连续相依性.
【总页数】6页(P31-36)
【关键词】泛函方程;微分方程;相空间;D算子
【作者】石磊
【作者单位】大连铁道学院基础科学部
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.关于具无穷时滞中立型泛函微分方程解的有界性及周期性的实例 [J], 徐志敏
2.无穷时滞的一阶脉冲偏中立型泛函微分方程积分解的存在唯一性 [J], 李文胜;赵治汉;常永奎
3.具有无穷时滞的中立型随机泛函微分方程解的存在唯一性 [J], 滕玲莹;宋建成
4.具无究时滞中立型泛函微分方程的解的存在性,唯一及连续相依性 [J], 石磊
5.Hilbert空间上无穷时滞中立型随机偏泛函微分方程适度解的存在唯一性 [J], 余国胜
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
具有无穷时滞的中立型随机泛函微分方程解的存在唯一性
具有无穷时滞的中立型随机泛函微分方程解的存在唯一性滕玲莹;宋建成【摘要】利用压缩映像原理, 在局部lipschitz条件下, 给出了具有无穷时滞的中立型随机泛函微分方程解局部存在唯一的充分条件.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)006【总页数】4页(P902-905)【关键词】中立型随机泛函微分方程;无穷时滞;局部lipschitz条件;存在性;唯一性【作者】滕玲莹;宋建成【作者单位】西南民族大学计算机科学与技术学院,四川成都,610041;西南民族大学计算机科学与技术学院,四川成都,610041【正文语种】中文【中图分类】O177随机微分方程(SDE)理论的研究已有很长历史, 化学工程与航空理论等领域的需要, 推动了随机泛函微分方程理论的研究[1-5].但解的存在唯一性的条件都比较格, 需要全局Lipschitz条件结合线性增长条件或一个弱的线性增长条件.本文运用压缩映像原理, 仅在局部 Lipschitz条件下, 给出了具有无穷时滞的中立型随机泛函微分方程的局部解的存在唯一性, 推广了文[3]的结果.BC ( X ,Y)表示X→ Y 的全体有界连续映射.简记B C((− ∞,0],Rn)为BC, τ>0,∀φ∈BC,||φ ||=sup−∞<s≤ 0 |φ(s)|, |⋅|表示 R n中任意范数.w(t ) =(w1( t ),,wm(t ))T是定义在完备的概率空间(Ω,F,{F},P)上的m维布朗运动.Banach空间L p ( Ω , R n )和L p ( Ω , Rn×m), 定义范数| x |=(.沿用文tt≥t0Ω[1]中的记号, 令L p(Ω ,BC), p>0表示全体F-可测随机过程ξ:Ω→BC, 且||ξ | |=(E||ξ||p)1/p.Ω(Ω,BC((−∞,a],Rn ))表示L p (Ω ,BC((−∞,a],Rn ))中全体满足(−∞,t]上F-可测, [t,a]上F-可测的随机过 0t00t程 x (t)组成的空间.本文中, 设定p ≥ 2 并且假设初值ξ ∈Lp(Ω ,BC)是一个 F t0 -可测过程.定义1[3] 称映射f :[t0,T]×Lp (Ω,BC)→Lp (Ω,Rn )在点(t * ,ξ*)∈[t0,T ]×Lp(Ω,BC)满足局部Lipschitz条件,如果存在正数b,r和K,使得对任意的t∈[t *−b,t*+b]∩[t,T ], φ,ϕ∈Ξ(ξ*,r), 均有0|f( t, ϕ)−f(t,φ) |≤ K ||ϕ−φ||, 其中Ξ(ξ * , r) ={ζ∈Lp(Ω, BC ):||ζ− ξ *|| ≤ r}.ΩΩΩ考虑下面中立型随机泛函微分方程由oItˆ随机微分的定义, 方程(1)等价于积分方程则存在0>a, 方程(1)在],(a+−∞σ上有唯一解.证明由(a)和(b)中的局部Lipschitz条件知, 存在正数Krb,,和)1,0(∈λ使得对以上给定的ξ,r, 我们选择a≤ m in{1,b1,b2}, 且满足由(4), (6)和(10)式知利用Holder不等式, 有由定理7.2[3]和Jonson不等式有下面证明Γ :S ( a,r)→S(a,r)为压缩映射.对任意的x , y ∈ S (a,r)中, t ∈ [σ ,σ+a], 有由(8)式知Γ :S ( a,r)→S(a,r)为Lp (Ω,C ((−∞,σ+ a],Rn ))中的压缩映射.所以Γ :S ( a,r)→S(a,r)在Lp (Ω,C((−∞,σ+a ],Rn))中有唯一的不动点, 即方程(1)在(−∞,σ+a]上的存在唯一解.【相关文献】[1] XU D Y, YANG Z G, HUANG Y M.Existence-uniqueness and continuation theorems for stochastic functional differential equations[J].Journal of Differential Equations, 2008,245: 1681-1703.[2] WANG LIN, HU SHIGENG.The existence and uniqueness of the solution for neutral stochastic functional differential equations with infinite delay[J].Journal of Mathematical Research & Exposition, 2009, 29(5): 857-863.[3] MAO XUE RONG.Stochastic Differential Equations and TheirApplications[M].Chichester: Horwood Publishing Limited, 1997.[4] REN Y, XIA N M.Existence, uniqueness and stability of the solutions to neutral stochastic functional differential equations with infinite delay[J].Applied Mathematics and Computation, 2009, 210: 72-79.[5] BAO H B, CAO J D.Existence and uniqueness of solutions to neutral stochastic functional differential equations with infinite delay[J].Applied Mathematics and Computation, 2009, 215: 1732-1743.。