新人教A版高中数学必修四解决三角函数各类问题的十种方法(含答案)

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人教版A版高中数学必修4课后习题解答

第一章三角函数 1．1任意角和弧度制练习（P5）1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.2、三，三，五说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上. 题目联系实际，把教科书中的除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”（这里余数是3）来确定7k 天后、7k 天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答. 3、（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角. 4、（1）305°42′第四象限角；（2）35°8′第一象限角；（3）249°30′第三象限角. 5、（1）{130318+360,}k k Z ββ'=︒⋅︒∈，49642'-︒，13642'-︒，22318'︒；（2）{225+360,}k k Z ββ=-︒⋅︒∈，585-︒，225-︒，135︒. 练习（P9）1、（1）8π；（2）76π-；（3）203π.2、（1）15°；（2）240-︒；（3）54°.3、（1）{,}k k Z ααπ=∈；（2）{,}k Z απ∈.4、（1）cos0.75cos0.75︒>；（2）. 说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制. 注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置. 如求cos0.75︒之前，要将角模式设置为DEG （角度制）；求cos0.75之前，要将角模式设置为RAD （弧度制）.5、3πm. 6、弧度数为1.2.习题1.1 A 组（P9） 1、（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）23650'︒，第三象限；（4）300°，第四象限. 2、{180,}S k k Z αα==⋅︒∈.3、（1）{60360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，300-︒，60︒；（2）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒；（3）{82430360,}k k Z ββ'=-︒+⋅︒∈，10430'-︒，25530'︒；（4）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒；（5）{90360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，270-︒，90︒；（7）{180360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，180-︒，180︒；（8）{360,}k k Z ββ=⋅︒∈，360-︒，0︒.说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角. 4、︒，所以0︒（2）D . 说明：因为36090360,k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈，所以18045180,2k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角. 6、不等于1弧度. 这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长.7、（1）5π；（2）56π-；（3）7312π；（4）8π.8、（1）210-︒；（2）600-︒；（3）80.21︒；（4）38.2︒. 9、64°. 10、14 cm.. 习题1.1 B 组（P10）1、（1）略；（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-. 可得0.618(2)θπθ=-，则0.764140θπ=≈︒.说明：本题是一个数学实践活动，题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足120.618S S =2、（1）时针转了120-︒，等于23π-弧度；分针转了1440-︒，等于8π-弧度. （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数.因为分针旋转的角速度为26030ππ=（rad ∕min ）时针旋转的角速度为21260360ππ=⨯（rad ∕min ）所以()230360t n πππ-=，即72011t n =因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ）所以720144011n ≤，于是22n ≤.故时针与分针一天内只会重合22次. 2、864°，245π，151.2π cm.说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864205π⨯︒=︒=rad.由于大齿轮的转速为3 r ∕s所以小齿轮周上一点每1 s 转过的弧长是483210.5151.220ππ⨯⨯⨯= （cm ）1．2任意角的三角函数练习（P15）1、71sin62π=-，7cos 62π=-，tan 2、5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5tan 12θ=-. 345、（1）正；（2）负；（3）零；（4）负；（5）正；（6）正. 6、（1）①③或①⑤或③⑤；（2）①④或①⑥或④⑥；（3）②④或②⑤或④⑤；（4）②③或②⑥或③⑥.7、（1）0.8746；（2；（3）0.5；（4）1.练习（P17）1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同正切线长分别为2.5cm ，4.3cm ，2.9cm ，其中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）.3.5sin 2250.75︒=-=-， 3.5cos 2250.75︒=-=-， tan 2251︒=；sin3300.5︒=-， 4.3cos3300.865︒==， 2.9tan 3300.585︒=-=-.4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念. 与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值4、（1）原式=sin cos sin cos θθθθ⋅=；（2）原式=22222222222cos (cos sin )cos sin 1(cos sin )2sin cos sin αααααααααα-+-==+--. 5、（1）左边=222222(sin cos )(sin cos )sin cos αααααα+-=-；（2）左边=222222sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα++=+=.习题1.2 A 组（P20）1、（1）17sin()32π-=，171cos()32π-=，17tan()3π-=（2）21sin42π=-21cos 42π=-，21tan 14π=；（3）231sin()62π-=，23cos()6π-=，23tan()6π-=；（4）sin1500︒=1cos15002︒=，tan1500︒=2、当0a >时，4sin 5α=，3cos 5α=，4tan α=；当0a <时，4sin 5α=-，cos α=43=.3、（1）10-；（2）15；（4）94-.4、（1）0；（2）2()p q -；（3）2()a b -；（4）0.5、（1）2-；（2）26、（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负.7、（1）正；（2）负；（3）负；（4）正.8、（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045.9、（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<.当角θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，则sin tan 0θθ⋅<；当角θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，则sin tan 0θθ⋅<，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<. 再证如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角.因为sin tan 0θθ⋅<，所以sin 0θ>且tan 0θ<，或sin 0θ<且tan 0θ>，当sin 0θ>且tan 0θ<时，角θ为第二象限角；当sin 0θ<且tan 0θ>时，角θ为第三象限角；所以如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角. 综上所述，原命题成立.（其他小题同上，略）（1）解：由22sin cos 1αα+=得2221cos 1sin 1(4αα=-=-= ∵α为第四象限角 ∴1cos 2α=sin tan 2cos 2ααα==-=（2）解：由22sin cos 1αα+= 得2225144sin 1cos 1()13169αα=-=--= ∵α为第二象限角 ∴12sin 13α=sin 121312tan ()cos 1355ααα==⨯-=-（3）解：∵tan 0α< ∴α是第二或第四象限角 ∵sin 3tan cos 4ααα==- ∴3sin cos 4αα=- ∵22sin cos 1αα+= ∴229cos cos 116αα+=∴216cos 25α=（1）当α是第二象限角时4cos 5α=-3343sin cos ()4455αα=-=-⨯-= （2）当α是第四象限角时4cos 5α=3343sin cos 4455αα=-=-⨯=-（4）解：∵cos 0α>且cos 1α≠ ∴α是第一或第四象限角∵22sin cos 1αα+=∴222sin 1cos 10.680.5376αα=-=-=（1）当α是第一象限角时sin 0.73α=≈sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα=≈≈（2）当α是第四象限角时sin 0.73α=≈-sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα-=≈≈-10、cos 34x13、（1）左边=2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin 1tan x x x x xx x x x x---=+-+；（2）左边=222222221sin sin (1)sin sin sin tan cos cos x x x x x x x-==⋅=⋅；（3）左边=2212cos cos sin 22cos ββββ-++=-；（4）左边=2222222(sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x +-⋅=-⋅.习题1.2 B 组（P22）1、原式=22222sin (1)cos cos sin 1cos ααααα+⋅=+=. 2、原式1sin 1sin cos cos αααα+--. ∵α为第二象限角.∴原式=1sin 1sin 11tan tan 2tan cos cos cos cos ααααααααα+--=--+-=---.3、∵tan 2α=，∴sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.4、又如4422sin cos 12sin cos x x x x +=-⋅也是22sin cos 1x x +=的一个变形；211tan x =+是22sin cos 1x x +=和sin tan x x =的变形；等等.1、（1）4cos 9π-；（2）sin1-；（3）sin 5π-；（4）cos706'︒.2、（1）12；（2）12；（3）0.6428；（4）-3、（1）2sin cos αα-；（2）4sin α. 4、5、（1）2tan 5π-；（2）tan7939'-︒；（3）5tan 36π-；（4）tan3528'-︒.6、（1）-（2）2；（3）0.7587；（5（6）0.6475-.7、（1）2sin α；（2）2cos α+习题1.3 A 组（P29）1、（1）cos30-︒；（2）sin8342'-︒；（3）cos6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）cos7534'-︒；（7）tan8736'-︒；（8）tan 6π-.2、（1）2；（2）0.7193-；（3）0.0151-；（4）0.6639；（5）0.9964-；（6）3、（1）0；（2）2cos α-4、（1）sin(360)sin()sin ααα︒-=-=-360；（2）（3）略习题1.3 B 组（P29）1、（1）1；（2）0；（3）0.2、（1）12；（2）2αα⎨⎪-⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角；（3）12-；（4）αα⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角.1、可以用单位圆中的三角函数作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象. 两条曲线形状相同，位置不同，例如函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象，可以通过将函数cos y x =，3[,]22x ππ∈-的图象向右平行移动2π个单位长度而得到.2、两个函数的图象相同. 练习（P36）1、成立. 但不能说120°是正弦函数sin y x =的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立，例如sin(20120)sin 20︒+︒≠︒.2、（1）83π；（2）2π；（3）2π；（4）6π. 3、可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域. 练习（P40） 1、（1）(2,2),k k k Z πππ+∈；（2）(2,2),k k k Z πππ-+∈；（3）(2,2),22k k k Z ππππ-++∈；（4）3(2,2),2k k k Z ππππ++∈.2、（1）不成立. 3cos 12x =>.（2）成立. 因为2sin 0.5x =，即sin 2x [1,1]-，[1,1]2±∈-. 3、当{2,}2x x x k k Z ππ∈=+∈时，函数取得最大值2；当{2,}2x x x k k Z ππ∈=-+∈时，函数取得最大值2-.4、B .5、（1）sin 250sin 260︒>︒；（2）1514coscos89ππ>；（3）cos515cos530︒>︒；（4）5463sin()sin()78ππ->-.6、5[,],88k k k Z ππππ++∈ 练习（P45）1、在x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆. 作垂直于x 轴的直径，将1O e 分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作1O e 的切线，然后从圆心1O 引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于3π-，π-，π-，0，π，π，3π等角的正切线.相应地，再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数tan y x =，(,)22x ππ∈-的图象.2、（1）{,}2x k x k k Z πππ<<+∈；（2）{,}x x k k Z π=∈；（3）{,}2x k x k k Z πππ-+<<∈.3、{,}63k x x k Z ππ≠+∈ 4、（1）2π；（2）2π. 5、（1）不是. 例如0π<，但tan0tan 0π==.（2）不会. 因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有()2k k Z ππ+∈这样的数，那么函数tan ,y x x A =∈是增函数；如果A 至少含有一个()2k k Z ππ+∈这样的数，那么在直线2x k ππ=+两侧的图象都是上升的（随自变量由小到大）.6、（1）tan138tan143︒<︒；（2）1317tan()tan()45ππ-<-. 习题1.41、（1）2、（1）使y 取得最大值的集合是{63,}x x k k Z =+∈，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{6,}x x k k Z =∈，最小值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{,}8x x k k Z ππ=+∈，最大值是3； 3π（3）使y 取得最大值的集合是{2(21),}3x x k k Z π=++∈，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{4,}3x x k k Z ππ=-+∈，最小值是12-. 3、（1）3π；（2）2π.4、（1）sin10315sin16430''︒>︒；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508sin144︒<︒；（4）cos760cos(770)︒>-︒. 5、（1）当[2,2],22x k k k Z ππππ∈-++∈时，1sin y x =+是增函数；当3[2,2],22x k k k Z ππππ∈++∈时，1sin y x =+是减函数. （2）当[2,2],x k k k Z πππ∈-+∈时，cos y x =-是减函数；当[2,2],x k k k Z πππ∈+∈时，cos y x =-是增函数. 6、{,}3x k k Z ππ≠+∈. 7、2π8、（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519tan1493︒>︒；（3）93tan 6)tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86πππ<.9、（1）{,}42x k x k k Z ππππ-+≤<+∈；（2）{,}32xk x k k Z ππππ+≤<+∈.10、由于()f x 以2为最小正周期，所以对任意x R ∈，有(2)()f x f x +=.于是：2(3)(12)(1)(11)0f f f =+==-=273331()(2)()(1)22224f f f =+==-= 11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为(,0)k π，k Z ∈. 正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k Z ππ=+∈.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z ππ+∈，xy-2-1214321O xy 3π4π2ππ-1-2-3-44321Ox yπ22π3π3π6-0.50.5-0.10.1O对称轴的方程是,x k k Z π=∈；正切曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z π∈. 正切曲线不是轴对称图形.习题1.4 B 组（P47） 1、（1）2{22,}33xk x k k Z ππππ+≤≤+∈；（2）33{22,}44x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.2、单调递减区间5(,),8282k k k Z ππππ++∈. 3、（1）2；（2）(1)y f x =+的图象如下：（3）2,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.1．5函数sin()y A x ωϕ=+的图象练习（P55） 1 2、（1）C ；（2）B ；（3）C .3、23A =，4T π=，14f π=24231sin sin()sin()42421sin(324y x y x y x y x ππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变4、12π. 把正弦曲线在区间[,)12π+∞的部分向左平移12π个单位长度，就可得到函数sin(),[0,]12y x x π=+∈+∞的图象.习题1.5 A 组（P57） 1、（1）C ；（2）A ；（3）D . 2、（1）（2）第3（2）题（3）（4）3、（1）8A =，8T π=，8πϕ=-48sin sin()sin()8488sin()8sin()[0,)4848y x y x y x y x x y y x πππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−→=-∈+∞向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标伸长到原来把轴左侧的8倍，横坐标不变的部分抹去，（2）13A =，23T π=，7πϕ=713sin sin(+)sin(3+)7711sin(3+)sin(3+)[0,)3737y y x y x y x y x y x x πππππ=−−−−→=→=−−−−−−→=−−−−→=∈+∞向左平移个单位纵坐标缩短到原来把轴左侧的部分抹去的倍，横坐标不变，4、（1）150T =，50f =，5A =，3πϕ= （2）0t =时，i =；1600t =时，5i =；1150t =时，0i =； 7600t =时，5i =-；160t =时，0i =； 5、（1）2T =；（2）约24.8cm 习题1.5 B 组（P58）1、根据已知数据作出散点图.由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin(),[0,)62x y x t ππ=-∈+∞ 2、函数2sin()4h t π=+在[0,2]π上的图象为点P 的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ. 1．6三角函数模型的简单应用练习（P65）1、乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处.2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象. 根据曲线不难回答题中的问题. 习题1.6 A 组（P65） 1、（1）30︒或150︒；（2）135︒；（3）45︒；（4）150︒.2、（1）43π或53π；（2）32π；（3）2π或32π；（4）4π或54π.3、5.5天；约3.7等星；约4.4等星.4、先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案.习题1.6 B 组（P66） 1、略； 2、略.第一章复习参考题A 组（P69）1、（1）79{2,},,,4444k k Z ππππββπ=+∈-；（2）22410{2,},,,3333k k Z ββπππππ=-+∈-；（3）128212{2,},,,5555k k Z ββπππππ=+∈-；（4）{2,},2,0,2k k Z ββπππ=∈-. 2、周长约44 cm ，面积约为21.110⨯2cm .3、（1）负；（2）正；（3）负；4、解：∵cos 0ϕ>且cos 1ϕ≠∴ϕ为第一或第四象限角 ∵22sin cos 1ϕϕ+= ∴2215sin 1cos 16ϕϕ=-= （1）当ϕ为第一象限角时6、222222224=sin (sin 1)cos sin (cos )cos cos (sin 1)cos ααααααααα-+=-+=-+=原式22222722sin 2cos 2sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos (1sin )2cos (1sin )cos (1sin cos )αααααααααααααααα=-+-=++-+-=-+-+=-+=、(1)原式右边222222222sin (1sin )sin cos cos cos (sin cos )sin 1αββαββααβ=-++=++==(2)原式右边8、（1）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯；（2）2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110αααααααα====+++；（3）22222222(sin cos )(tan 1)(31)8(sin cos )sin cos tan 1315αααααααα++++====+++. 9、（1）0；（2）1.0771.10、（1）当α为第一象限角时，cos(2)πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)πα-=；（2）当α为第一象限角时，tan(7)απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-=.11、（1）tan11110.601︒=，sin378210.315'︒=，cos642.50.216︒=；（2）sin(879)0.358-︒=-，33tan()0.4148π-=-，13cos()0.58810π-=-；（3）sin30.141=，cos(sin 2)0.614=.12、13、（1）因为cos x =或cos x =1>,1-，所以原式不能成立. （2）因为sin x =1<，所以原式有可能成立.14、（11π，此时x 的集合为{2,}2x x k k Z ππ=+∈.1π，此时x2,}2k k Z ππ=-+∈.（2）最大值为5，此时x 的集合为2,}k k Z π∈. 最小值为1，此时x 的集合为{2,}x x k k Z π=∈. 15、（1）3{2}2x x ππ≤≤；（2）{}2x x ππ≤≤；（3）{0}2x x π≤≤；（4）3{}2x x ππ≤≤.16、（1）（2）（3）（4）17、（1）（图略）（2）由sin()sin x x π-=，可知函数sin ,[0,]y x x π=∈的图象关于直线2x=对称，据此可得函数sin ,[,]2y x x ππ=∈的图象；又由sin(2)sin x x π-=-，可知sin ,[0,2]y x x π=∈的图象关于点(,0)π对称，据此可得出函数sin ,[,2]y x x ππ=∈的图象.（3）先把y 轴向右（当0ϕ>时）或向左（当0ϕ<时）平行移动ϕ个单位长度，再把x 轴向下（当0k >时）或向上（当0k <时）平行移动k 个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0,2]π之外的部分，便得出函数sin(),[0,2]y x k x ϕπ=++∈的图象.18、（1）21,,56A T ππϕ===. 165sin ,sin(+),sin(5+),67y x x R y x x R y x x R πππ=∈−−−−→=∈−−−−−−→=∈向左平移横坐标缩短到原来个单位的倍，纵坐标不变（2）2,12,0A T πϕ===.621sin ,2sin ,6y x x R R y x x R =∈−−−−−−→∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来纵坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变的倍，横坐标不变第一章复习参考题B 组（P71）1、（1）342k k παπππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限；（2）9012030901203k k α︒+⋅︒<<︒+︒+⋅︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限；（3）34244k k ππαππ+<<+,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y 轴的负半轴上. 2、约143︒3、解：原式1sin 1cos cos sin cos sin cos sin αααααααα--==⋅+⋅∵α为第二象限角∴原式1sin 1cos cos ()sin 1sin 1cos sin cos cos sin αααααααααα--=⋅-+⋅=-++-=-. 4、（1）12sin 2cos tan 25315cos sin 5tan 165()3αααααα-+++===----；（2）2222221()11sin cos tan 110312sin cos cos 2sin cos cos 2tan 132()13αααααααααα-+++====+++⨯-+. 5、左边22sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos αααααααα++++=++2(sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )(sin cos 1)1sin cos sin cos αααααααααααααα+++=+++++=++=+=右边. 6、将已知条件代入左边，得：左边=22222222222tan 1sin 1sin 1cos cos cos cos a b a b θθθθθθθ--=-== 7、将已知条件代入左边，得：左边=22222[(tan sin )(tan sin )]16tan sin θθθθθθ+--= 再将已知条件代入右边，得：右边=16(tan sin )(tan sin )θθθθ+-2216(tan sin )θθ=-2222222sin sin cos sin sin 1616cos cos θθθθθθθ-⋅=⨯=⨯ 2216tan sin θθ=⋅. 所以，左边=右边8、（1）2[,],63k k k Z ππππ++∈；（2）272[,],43123k k k Z ππππ++∈.9、（1）表示以原点为圆心，r 为半径的圆. （2）表示以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆.第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、2AD =u u u r .6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6对，与AM u u u u r反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r；（2）CB u u u r . 4、（1）c r ；（2）f u r ；（3）f u r ；（4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略.水流方向CDA B 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC uuu r 与AB u u u r反向. 3、（1）2b a =r r ；（2）74b a =-r r ；（3）12b a =-r r ；（4）89b a =r r .4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -r r ；（2）111123a b -+r r；（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走102km ；（4）向西南走52km ；（5）向西北走102km ；（6）向东南走102km.2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以222282217AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ；（2）AB u u u r ；（3）BA u u u r；（4）0r ；（5）0r ；（6）CB u u u r ；（7）0r . 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ；（2）102210a b c -+r r r ；（3）132a b +r r；（4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，（第11题）34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r ，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即AB ∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ；（2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ；（4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ；（2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ；（4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-；故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，157(1,2)(,)222OP OA AB =+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)5,4)OP OA AB =-=-u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以(7,8)P . 2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线. 3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r 2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r ()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(,55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是)55e =-r或(55e =-r . 习题2.4 B 组（P108） 1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--r r，所以()0a b c ⋅-=r r r 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r .3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r.cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r4、AB AC ⋅u u u r u u u r的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r（2）因为1()2AE a b =+u u u r r r所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r；（2）v r 在A v u u r方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u ru u r .4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθu u r ，最大投掷距离为20sin 2v gθu u r .2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v vθθα==u rrr ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r.ODFEAB C（第2题）（第4题）将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()22()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r，1()2AD a b =+u u u r r r4、略解：213DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r2233AD a b =+u u u r r r，1133BC a b =+u u u r r r1133EF a b =--u u u r r r，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u ur r rCE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ；（3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r.6、AB u u u r 与CD u u ur 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u ur 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）。

新人教A版高中数学必修四三角函数复习资料(含答案)

高一三角函数复习资料一、范例分析例1、已知函数y=21cos 2x+23sinx·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？说明：这类题一般的解法是：先化成关于sinωx,cosωx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+ϕ)+k 的形式。

解：（1）y=21cos 2x+23sinx·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx·cosx ）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x·sin 6π+sin2x·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2kπ,（k ∈Z ），即 x=6π+kπ,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+kπ,k ∈Z}（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6π)的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π)的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6π)的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像。

综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像。

例2()已知向量，，，，，，其中a x xb x xc =⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-cos sin cos sin 32322231x R ∈.（I ）当a ⊥b 时，求x 值的集合；（）求的最大值。

II a c -解：（）由⊥·I a b a b →→→→⇔=0即··coscos sin sin 3223220x x x x -=则cos20x =()得22x k k Z =+∈ππ()∴x k k Z =+∈ππ24∴当⊥时值的集合为，a b x x x k k Z →→=+∈⎧⎨⎩⎫⎬⎭|ππ24解法一：（）II a c a c a a c c a a c c ||()||||→→→→→→→→→→→→-=-=-+=-+22222222又||c o s s i n a x x →=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=22232321()||c →=+-=222314a b x x x x x →→=-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪·332322323212322326cos sin cos sin cos π∴||c o s c o s a c xx→→-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪214326454326ππ∴||m a xa c →→-=29∴||m i n a c →→-=3即的最大值为||a c →→-3解法二：||cos sin a c x x →→-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪22323321， =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪cos sin 32332122x x =-++++cos cos sin sin 223223323322321x x x x=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+2323325sin cos x x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+43235sin x π∴||maxa c →→-=29∴||max a c →→-=3说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，所以此类题目往往是命题人所青睐。

高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.3知识点总结含同步练习及答案

求下列各三角函数值：（1）sin(− 求下列各三角函数值：（1）sin 585 ∘ ；（2）cos(−1665∘ )；（3）tan
4π ． 3
解：（1）sin 585 ∘ = sin(360 ∘ + 225 ∘ ) = sin(180 ∘ + 45∘ ) = − sin(45∘ ) = − （2）
√2 ； 2
已知 sin(α − A．
解：B．因为选B．
1 3
π 1 π ） ) = ，则 cos( + α) 的值为（ 3 3 6 1 2√3 2√3 B．− C． D．− 3 3 3
π π π π π π π 1 + α = + (α − ) ，所以 cos( + α) = cos[ + (α − )] = − sin(α − ) = − ，故 6 2 3 6 2 3 3 3
高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式
一、学习任务
π 理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2kπ + α(k ∈ Z) ，−α，π ± α ， ± α），能运用这些诱导公式 2 π 将任意角的三角函数化为 [0, ] 内的角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求 2 值及恒等式证明．
13π π π = tan(4π + ) = tan = √3； 3 3 3
√2 ； 2 13π
π 13π )；（2）cos(−420 ∘ )；（3）tan(− )． 4 6 π π √2 解：（1）sin(− ) = − sin( ) = − ； 4 4 2 1 （2）cos(−420 ∘ ) = cos(420 ∘ ) = cos(60∘ + 360 ∘ ) = cos 60∘ = ； 2 13π 13π π π √3 （3）tan(− ． ) = − tan = − tan( + 2π) = − tan = − 6 6 6 6 3

高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法

高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，也是学生们比较容易出现错误的地方。

在解题过程中，学生们常常会犯一些常见的错误，这些错误的成因有很多种，主要包括知识掌握不牢固、思维逻辑混乱、解题方法不够灵活等。

下面我们就来分析一下高中数学中三角函数解题错误的成因以及解决方法。

一、成因分析1. 知识掌握不牢固许多学生在学习三角函数时，对于基本的三角函数公式和性质掌握不够牢固。

这样在解题时就容易出现计算错误或者漏掉一些重要的步骤，导致整个解题过程出现问题。

在利用三角函数的和差化积公式时，学生没有完全掌握该公式的应用条件，容易导致使用错误。

2. 思维逻辑混乱有些学生在解题时，缺乏清晰的思维逻辑，导致解题过程混乱，从而出现错误。

对于解三角函数方程时，没有根据题目的要求将三角函数变形，或者在整个解题过程中没有对各个步骤进行逻辑性的连接，导致最终得到的解不符合题目要求。

3. 解题方法不够灵活在解三角函数问题时，有些题目可能需要选择不同的解题方法来进行求解，但是有些学生对于解题方法的选择不够灵活，只会使用一种方法解题，从而导致对一些题目无法正确求解。

二、解决方法针对知识掌握不牢固这一问题，学生们可以通过多做练习，多总结题目的解题方法，掌握常见的三角函数公式和性质。

可以通过与老师进行沟通交流，及时解决自己在学习过程中遇到的疑惑，加深对知识点的理解。

学生们在解题的过程中应该注重培养自己的思维逻辑能力，要善于归纳总结问题的解题思路，将解题过程分解成若干步骤，逐步推导，排除干扰项，确保解题过程的清晰和逻辑性，从而减少错误发生的几率。

解决解题方法不够灵活的问题，学生们可以在课外多做一些拓展性的题目，不断尝试不同的解题方法，锻炼自己的解题能力。

在学习的过程中，也要善于归纳总结不同类型题目的解题方法，形成解题思维的体系化。

除了以上的措施外，学生们在学习三角函数的过程中也应该注重培养自己的数学思维和动手能力，多进行实际操作，多做练习，以便更好地掌握三角函数的知识。

解决三角函数各类问题的十种方法

解决三角函数各类问题的十种方法１凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．例１求tan 204sin 20︒+︒的值．解析原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒sin 202(sin 60cos 20cos 60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40︒-︒+︒，或者化为sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==等借助降幂策略解答．例２若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．解析由2cos cos 1αα+=，得cos α=cos α=．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2c o s c o s 1αα+=，得2c o s 1c o s αα=-，故322c o s c o s c o s (1c o s )c o s (2c o s )2c o s c o s 3c o ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得26sin sin αα+= 评注若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３配对法根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例３已知(0,)2x π∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．解析设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222s i n s i n 2s i n 3n x x x =++，则3m n +=，几何精练cos 2cos 4cos 6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，cos2cos4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又c o s c o s 3c o s (2)c o s (2)2c o s x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-== ．则c o s 0x =，或c o s 20x =，或c o s 30x =，又(0,)2x π∈，则6x π=或4x π=．评注三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答．４换元法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４求sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）（）的值．解析令15αβ+︒=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒(sin cos60cos sin60)(cos cos30sin sin30)0βββββ=︒+︒+︒-︒=．评注教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５方程法有时可以根据已知构造所求量的方程解答．例５若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．解析令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =-，[t ∈．由已知，有 2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．评注将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．６讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６已知ABC !中，54sin ,cos 135A B ==，求cos C ．解析由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-<-=，故此情形不合题意．可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-．评注分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．解析有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2αβ-=-．评注学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．８猜想法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８已知1sin cos 2αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ．解析由sin 0,cos 0αα><及22221sin cos 1,()(12αα+=+=，可得1sin 2α=．评注实际上，将sin cos αα+=与22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９图象法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．解析如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=⨯=，3232c d ππ+=⨯=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c b d c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可得2A =．评注数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０比例法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++．解析若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a c b d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++，代入等式左边可知所证成立．评注本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα-+=++．。

高中数学必修四：关于三角函数的所有解题技巧，你应该学会

⾼中数学必修四：关于三⾓函数的所有解题技巧，你应该学会三⾓函数是⼈教版必修四的内容，在⾼考中占有⼀定的地位，同时在⾼考中⼀般以中档题型出现，⽐较简单，如果你想上⼀个好点的⼤学，这就是送分题，你必须拿到满分。

这⾥呈上有关三⾓函数题型的解题⽅法与思路，如果你都学会了，那么⾼考有关三⾓函数的分，你肯定不会丢（只要你⼩⼼），毕竟是中档题。

⼀、知识框架：⼆、解题⽅法与思路：1、关于sina±cosa与sina·cosa的应⽤与推⼴：2、关于“托底”⽅法的应⽤：3、关于：y=asinx±bcosx的式⼦，在求最值时的应⽤：三、解题⽅法总结：1、见“给⾓求值”问题，运⽤“新兴”诱导公式：2、见“sinα±cosα”问题，运⽤三⾓“⼋卦图”：3、见“知1求5”问题，造Rt△，⽤勾股定理，熟记常⽤勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

4、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

5、“见齐思弦”，“化弦为⼀”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α。

6、见“正弦值或⾓的平⽅差”形式，启⽤“平⽅差”公式：7、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起⽤平⽅法则：8、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启⽤变形公式：9、见三⾓函数“对称”问题，启⽤图象特征代数关系(A≠0)：10、见“求最值、值域”问题，启⽤有界性，或者辅助⾓公式：11、见“⾼次”，⽤降幂，见“复⾓”，⽤转化：四、三⾓转换关系：我是敬⼩西，如果你觉得对你有所帮助，还望⼤家不吝转发与点赞，码字不易，⼩西在此先谢过⼤家。

高中数学人教A版必修四教学案三角函数的图象与性质含答案

π
3π 2π
2
2
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点、连线，如图．
用“五点法”画函数 y＝Asin x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步
骤：
(1)列表：
x
π
0
π
3π
2π
2
2
sin x 或 cos x 0 或 1 1 或 0 0 或－1 －1 或 0 0 或 1
( ) 1
依次向左、右连续平移，得到 y＝sin x 的图象．在同一坐标系内描出，－1 ，(1，0)， 10
(10，1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图．
6
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数
9．方程 cos x＝lg x 的实根的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．无数
解析：选 C 如图所示，作出函数 y＝cos x 和 y＝lg x 的图象．两曲线有 3 个交点，故
方程有 3 个实根．
10
x 10．判断方程 sin x＝的根的个数．
10
x 3π
解：因为当
x＝3π时，y＝＝ 10
若函数 f(x)的图象与直线 y＝k 有且仅有两个不同的交点，则由图可Байду номын сангаас k 的取值范围是 (1，3)．
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用． 2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 (1)正、余弦函数图象的画法，见讲 1； (2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲 2； (3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲 3. 3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与 x 轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0，2π]与 x 轴有三个交

解决三角函数问题的几种方法

解决三角函数的几种方法三角函数的各类问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性，本文拟对其中的解题方法进行总结归纳．１凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．例１求tan 204sin 20︒+︒的值．解析原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒ sin 202(sin 60cos 20cos60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40︒-︒+︒，或者化为sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==等借助降幂策略解答．例２若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．解析由2cos cos 1αα+=，得1cos 2α-+=，cos α=．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2cos cos 1αα+=，得2cos 1cos αα=-，故322cos cos cos (1cos )cos (2cos )2cos cos 3cos 1ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得265sin sin 2αα+=．评注若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３对偶法根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例３已知(0,)2x π∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．解析设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222sin sin 2sin 3n x x x =++，则3m n +=，cos2cos4cos6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，cos 2cos 4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又cos cos3cos(2)cos(2)2cos cos2x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-==Q ．则cos 0x =，或cos20x =，或cos30x =，又(0,)2x π∈，则6x π=或4x π=．评注三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答．例4 求cos7π＋cos 37π＋cos 57π的值．解：设M ＝cos 7π＋cos 37π＋cos 57π，构造其对偶式 N ＝sin 7π＋sin 37π＋sin 57π．则 M ·N ＝21sin 27π＋21sin 67π＋21sin 107π＋sin 47π＋sin 67π＋sin 87π ＝21( sin 7π＋sin 37π＋sin 57π)＝21N ． ∴ M ＝cos 7π＋cos 37π＋cos 57π＝21．４换元法给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值（包括求周期、对称轴、对称中心等）问题．例5 求sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）（）的值．解析令15αβ+︒=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒(sin cos 60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=︒+︒+︒-︒-=．评注教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５方程法有时可以根据已知构造所求量的方程解答．例6 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．解析令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =-，[t ∈．由已知，有 2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．评注将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．６讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例7 已知ABC !中，54sin ,cos 135A B ==，求cos C ．解析由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-<-=，故此情形不合题意．可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-．评注分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例8 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．解析有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2αβ-=-．评注学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．８猜想法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例9已知1sin cos 2αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ．解析由sin 0,cos 0αα><及22221sin cos 1,()()122αα+=+-=，可得1sin 2α=．评注实际上，将sin cos αα+=22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==或1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９图象法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例10 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．解析如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=⨯=，3232c d ππ+=⨯=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c bd c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可得2A =+．评注数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０比例法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１1 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++．解析若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a cb d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++，代入等式左边可知所证成立．评注本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα-+=++．１０构造三角形法例１2 求值：sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°设△ABC 中，A=20°B= 40°C=120°利用余弦定理求解原始= sin 220°+sin 240°+sin20°sin40°= sin 220°+sin 240°-2sin20°sin40°cos120°=sin 2120°=3/4。

高一数学人教A版必修四教案：1.2.1任意角的三角函数Word版含答案

4．例题分析：例 1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
5
2
（ 1）；（ 2）；（ 3）
；
3
6
3
13
（4）
．
6
解：图略。
例 2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 sin 2 与 sin 4
2
4
2
4
2
tan 与 tan
3 cot 与 cot
3
5
3
5
3
5
解：如图可知：
2
4
sin
m ，解得 m 0 或 16 6 2m2 m
5．
4
r
3 m2
当 m 0 时， r 3, x
3，
x
y
cos
1,tan
0；
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x
3，
cos 当m
x
6 , tan y
r
4
Байду номын сангаас
x
5 时， r 2 2, x
15
；
3 3，
x cos
r
6
y
, tan
4
x
2．三角函数的符号：
练习 2：已知 sin 0 且 tan
P ( x, y) ，
过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角
延
的终边或其反向
长线交与点 T . y
y
T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ）
y T
（Ⅰ）
y
M
A
o
x

高中数学人教A版必修四教学案任意角的三角函数含答案

y 12 [尝试解答] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝ 52＋（－12）2＝13，则 sin α＝＝－，
r 13
x5
y 12
cos α＝＝，tan α＝＝－ .
r 13
x5
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，
3
1
3)，则 r＝（－1）2＋（ 3）2＝2，所以 sin α＝，cos α＝－，tan α＝－ 3；在第
3 (3)∵(－3，a)为 α 终边上的一点，cos α＝－，
5
－3
3
∴
＝－，∴a2＝16.
（－3）2＋a2 5
4 又∵α 为第二象限角，∴a＞0，即 a＝4.∴sin α＝ .
5 34 答案：(1)D (2)－ (3) 25
讲一讲
cos α
2．(1)若 sin αtan
α＜0，且 tan
α＜0，则角 α 是( )
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边上的位置
无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)若角 α 与 β 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为 sin α与 sin β，cos α与 cos
β，tan α与 tan β之间有什么关系？
2
第三象限角．所以 α 是第一或第三象限角．又因为 cos α＜0，所以 α 为第三象限角．
(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是 sin 105°·cos 230°＜0.
( ) π
2π
2π
②∵ 2 ＜3＜π，∴3 是第二象限角，∴cos 3＜0，又－ 3 是第三象限角，∴tan － 3

【人教A版高一数学单元总结】必修4《三角函数》单元总结及答案解析

必修4《三角函数》单元总结一、知识整合二、能力强化类型一：任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.例1、函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域为________.【精彩点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.[再练一题]1.求函数f(x)＝－sin x＋tan x－1的定义域.类型二：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.例2、求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋1⎝ ⎛ －π4≤x⎭⎪⎫≤π4的最小值. 【精彩点拨】本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x 的二次函数，然后再求最小值.[再练一题]2.求函数y ＝cos 2x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域.类型三：三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.例3、如图11是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象.图11(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.[再练一题]3.已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间.类型四：三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.例4、已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数).(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合. 【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解. (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值.(3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值.[再练一题]4.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.类型五：数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影.例5、函数y ＝2－sin x3＋cos x的最小值为________，最大值为________.【精彩点拨】根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题.[再练一题]5.求函数y ＝sin x ＋1cos x －2的值域.类型六：转化与化归的思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.例6、求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间. 【精彩点拨】求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，需先保证x 的系数为正值，如果ω<0，那么应先进行转化，将x 的系数化为正数，再求解.[再练一题]6.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间.三、真题检测1.将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图12所示，则( )图12A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 3.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图13所示，则f (x )的单调递减区间为( )图13A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z4.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12 B.32C.0D.－125.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动12个单位长度B.向右平行移动12个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度6.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2πD.4π7.已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝__________.必修4《三角函数》单元总结（答案解析）一、知识整合[自我校对]①180° ②|α|R ③12lR ④相等⑤1 ⑥sin αcos α ⑦周期性 ⑧奇偶性⑨单调性 ⑩定义域 ⑪值域二、能力强化类型一：任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.例1、函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为________.【精彩点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.【答案】要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，(k ∈Z )∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z ). 故所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3＋2k π≤x ＜56π＋2k π，k ∈Z. [再练一题]1.求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域. 【答案】要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1，如图所示，结合三角函数线知⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2πk ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2k ∈Z ，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z ).故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z ).类型二：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.例2、求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋1⎝ ⎛ －π4≤x⎭⎪⎫≤π4的最小值.【精彩点拨】本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x 的二次函数，然后再求最小值.【答案】 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋1＝1－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－sin 2x ＋sin x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋94，又－π4≤x ≤π4，所以－22≤sin x ≤22.故当sin x ＝－22时，f (x )取最小值3－22. [再练一题]2.求函数y ＝cos 2x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域.【答案】y ＝－sin 2x －sin x ＋1，令t ＝sin x . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.原函数可化为y ＝－t 2－t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54，∴当t ＝－12时，有y max ＝54；当t ＝22时，有y min ＝1－22. 故原函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54. 类型三：三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.例3、如图11是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象.图11(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.【答案】(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象.[再练一题]3.已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间. 【答案】(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z函数图象如图所示.(2)该函数是周期函数，且由图象可知函数的最小正周期是2π. (3)由图象可知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ).类型四：三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.例4、已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数). (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合.【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解. (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值. (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值. 【答案】(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1.(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π， ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z ， ∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值. 【答案】 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 类型五：数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影.例5、函数y ＝2－sin x 3＋cos x的最小值为________，最大值为________. 【精彩点拨】根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题.【答案】 3－34 3＋34【规范解答】如图所示，y ＝2－sin x 3＋cos x可看做定点A (3,2)与动点B (－cos x ，sin x )连线的斜率，而动点(－cos x ，sin x )是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B 连线的斜率的最值问题.根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，解得y min ＝3－34，y max ＝3＋34. [再练一题]5.求函数y ＝sin x ＋1cos x －2的值域. 【答案】将y ＝sin x ＋1cos x －2看成是单位圆上的点(cos x ，sin x )到点(2，－1)的斜率，即求斜率的范围.如图所示，由解析几何知识可求得过点(2，－1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.类型六：转化与化归的思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法. 例6、求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间. 【精彩点拨】求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，需先保证x 的系数为正值，如果ω<0，那么应先进行转化，将x 的系数化为正数，再求解.【答案】将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4. 由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z )，此时函数单调递减；由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z )，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )，此时函数单调递增.故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z ). [再练一题]6.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间. 【答案】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z . ∵z 是x 的一次函数，∴要取y ＝－2sin z 的递增区间，即取sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ). 三、真题检测1.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 【答案】 D【解析】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图12所示，则( )图12A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】 A【解析】由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. 3.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图13所示，则f (x )的单调递减区间为( )图13A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【答案】 D【解析】由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.4.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝() A.12 B.32C.0D.－12【答案】 A【解析】 ∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x ).∴f (x )是以2π为周期的周期函数.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.5.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动12个单位长度B.向右平行移动12个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【答案】 A【解析】 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象.6.函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π 【答案】 B【解析】最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B. 7.已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝__________.【答案】 π2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω. 又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23，∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.。

高中人教A版数学必修4：第16课时三角函数模型的简单应用 Word版含解析

1.2(1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式画图象；(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；(4)一、选择题1．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 答案：C解析：由于ω＝160π，故函数的周期T ＝2π160π＝180，所以f ＝1T＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S cm 和时间t s 的函数关系为S ＝8sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π3，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2πs B ．πs C ．0.5 s D ．1 s 答案：D解析：因为ω＝2π，所以T ＝2πω＝1.3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v 0，发射角为θ，重力加速度为g ，则炮弹上升的高度y 与飞行时间t 之间的关系式为( )A ．y ＝v 0tB ．y ＝v 0sin θt －12gt 2C ．y ＝v 0sin θtD ．y ＝v 0cos θt 答案：B解析：竖直方向的分速度v 0sin θ，由竖直上抛运动的位移公式y ＝v 0sin θt －12gt 2，故选B.4．单位圆上有两个动点M 、N ，同时从P (1,0)点出发，沿圆周转动，M 点按逆时针方向转，速度为π6rad/s ，N 点按顺时针方向转，速度为π3rad/s ，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )A ．π，2πB ．π，4πC ．2π，4πD ．4π，8π 答案：C解析：设M 、N 两点走过的弧长分别为l 1和l 2，自出发至第三次相遇，经过t 秒，则l 1＝π6t ，l 2＝π3t . ∴π6t ＋π3t ＝6π，∴t ＝12，∴l 1＝2π，l 2＝4π. 5．如图为2015年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx＋φ)＋bA >0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h 的温度大约为( )A ．16 ℃B ．15 ℃C ．14 ℃D ．13 ℃ 答案：D解析：由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20，将x ＝6，y ＝10代入得10sin ⎝⎛⎭⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．当x ＝8时，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8×8＋34π＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D. 6．一根长l 厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系是：s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3.已知g ＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是( )A.980πcmB.245πcmC.245π2cmD.980π2cm 答案：C解析：由周期T ＝2πω＝2π/gl＝2πl g ，所以小球的摆动周期T ＝2π l g .由l ＝g ⎝⎛⎭⎫T 2π2，代入π＝3.14，g ＝980，T ＝1，得l ＝980⎝⎛⎭⎫12π2＝245π2cm.二、填空题7．电流I (mA)随时间t (s)变化的函数关系是I ＝3sin100πt ＋π3，则电流I 变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.答案：15050 3解析：最小正周期T ＝2π100π＝150；频率f ＝1T＝50；振幅A ＝3.8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋B (A >0，ω>0，⎭⎫|φ|<π2的模型波动(x 为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)解析：由题意，可得A ＝9－52＝2，B ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7.∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋7＝9. 即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1. ∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h ，则h 与θ间的函数关系式为______________________．答案：h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2 解析：以O 为原点建立坐标系，如右图，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. 三、解答题10．交流电的电压E (单位：V)随时间t (单位：s)变化的关系式是E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，t ∈[0，＋∞)． (1)求开始时(t ＝0)的电压；(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．解：(1)当t ＝0时，E ＝2203×sin π6＝1103，即开始时的电压为110 3 V .(2)电压的最大值为220 3 V.当100πt ＋π6＝π2时，t ＝1300，即电压首次达到最大值的时间为1300s.(3)T ＝2π100π＝150，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为150s.11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)若I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一个1100s 的时间段内电流强度I 能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由图，可知A ＝300.设t 0＝－1300，t 1＝1150，t 2＝160.∵T ＝t 2－t 0＝160－⎝⎛⎭⎫－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．将⎝⎛⎭⎫－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. (2)由题意，知2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.12．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AB 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案：C解析：令AP 所对的圆心角为θ，由|OA |＝1，得l ＝θ.又∵sin θ2＝d 2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2.∴d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处，AB ＝30 km ，BC ＝15 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A 、B 等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO .设∠BAO ＝x (弧度)，排污管道的总长度为y km.(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定O 点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km)．分析：(1)直接由已知条件求出AO 、BO 、OP 的长度，即可得到所求函数关系式；(2)记p ＝2－sin xcos x，则sin x ＋p cos x ＝2，求出p 的范围，即可得出结论．解：(1)由已知得y ＝2×15cos x＋15－15tan x ，即y ＝15＋15×2－sin x cos x (其中0≤x ≤π4)(2)记p ＝2－sin x cos x ，则sin x ＋p cos x ＝2，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋p 2≤1，解得p ≥3或p ≤－ 3由于y >0，所以，当x ＝π6，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为⎝⎛⎭⎫15－1533 km 处，y取得最小值15＋153≈40.98 km.。

高中数学3.2处理三角函数易错题的六绝招论文素材新人教A版必修4

处理三角函数易错题的六绝招第一招三角函数中，隐含条件的挖掘【例1】已知方程240x ++=的两个实数根是tan ,tan αβ，且,(,)22ππαβ∈-，则αβ+等于（）A ．23π B ．23π- C ．3π或23π- D ．2-33ππ或【解】tan ,tan αβtan tan tan tan 4αβαβ+==∴又,(,22ππαβ∈-所以,(2παβ∈-从而0παβ-<+<，又tan tan tan()1tan tan 1αβαβαβ++===-，23παβ+=-∴第二招三角形中，角大正弦大【例2】在ABC ∆中，35sin ,cos ,513A B ==求cos C 的值。

【解】5cos ,sin 13B B ===∴123sin sin ,135B A B A =>=>∴∴所以，A 一定是锐角，从而4cos 5A ==所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦(cos cos sin sin )A B A B =--1665=．第三招已知三角函数值求角错因分析【例3】若sin 510αβ==，且,αβ均为锐角，求αβ+的值．【错解】α为锐角，cos α=∴=。

又β为锐角，cos β=∴=。

且sin()sin cos cos sin 2αβαβαβ+=+=，由于090,090αβ<<<<，0180αβ<+<∴，故45αβ+=或135。

〖点拨〗因为cos y x =在[]0,π上是单调函数，所以本题先求cos()αβ+不易出错。

正解α为锐角，5cos α=∴=。

又β为锐角，cos β=∴=。

且cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=，由于090,090αβ<<<<，0180αβ<+<∴，故45αβ+=。

〖练习〗若Ａ、B 均为锐角，且1tan ,sin 7A B ==，则A+2B 的值为．【解】∵sin B =B 为锐角，∴cos B = ∴1tan ,3B =∴22tan 3tan 2,1tan 4B B B ==- ∴22tan tan(2)1,1tan BA B B+==-又∵1sin sin 302B =<=，∴030B <<， ∴02150A B <+<，∴A+2B=45．第四招你肯定会错【例4】（2007全国Ⅰ—理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值X 围【解】（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC △为锐角三角形知：22263A B πππππ>>-=-=，从而 2336A ππ5π<+<，所以1sin 232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭ 由此有3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值X围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，〖练习〗（2009某某—文14）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于2 ，AC 的取值X 围为)3,2(.〖点拨〗因为ABC ∆是锐角三角形锐角，所以2A B π+>，且2B π<，从而有64A ππ<<2cos A <<AC <<第五招数形结合也未见得好【例5】在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ X 围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为（）A ． 1B ．2C ．3D ．4【解】在同一坐标系中，作出sin y x =与tan y x =，在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的图象，很难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式“sin tan x x x <<（x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）”，故sin y x =与tan y x =，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而sin y x =与tan y x =，在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭内的图象也无交点，所以在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭X 围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为1个，即坐标原点()0,0．第六招同角正余弦的和、差、积、倍互化中的陷阱铲除已知sin cos αα+或sin cos αα-求sin α、cos α、tan α、cot α、sin 2α、cos2α的值。

必修四《第一章三角函数》典型题型与方法(含详细答案)

必修四《第一章三角函数》典型问题与方法1．1 任意角和弧度制题型一：区域角的表示例1．写出终边落在直线y ＝x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．例2．写出如图所示阴影部分的角α的范围．【变式训练】1．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB 上；(2)终边落在直线OA 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．题型二：角n所在象限的确定例2．已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．【变式训练】1．已知α是第二象限角，则角2α的终边的位置落在____________________． 2．已知α是第二象限角，则180°－α是第_________________象限角．3．已知α是第三象限角，则α3是第几象限角？1.1.2 弧度制题型一：弧度制与角度值的转化角度0°15°30°45°60°90° 120° 135° 150° 180° 210° 240° 270° 360°例2．直径为20 cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧长及扇形面积．(1)4π3； (2)165°.【变式训练】1．若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形圆心角的弧度数．2．一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？1.2.1 任意角的三角函数题型一：三角函数的定义例1．(1)求5π3的正弦、余弦和正切值；(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．【方法归纳】(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．(2)对于角α的终边上一点P (x ，y )(非原点)，P 到原点的距离为r ，根据三角函数的定义可得sin α＝y r ，cos α＝x r ，sin α＝y x .【变式训练】1．角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．sin 25π6等于( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32A ．±12 B.12 C ．－12D ．±24．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝22，求sin α，tan α的值．5．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．6．已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，则sin α＝________．7．角α的终边上有一点P (a ，4)，且tan α＝43，求3sin α－2cos α的值．8．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．9．已知角α的终边经过点P (3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a 的取值范围是________．题型二：三角函数值符号的判定例2．(1)确定下列三角函数值的符号：①cos 250°；②sin ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan(－672°)． (2)若sin θtan θ＜0，试确定θ所在象限．【归纳小结】(1)对于用已知角α的终边所在象限来判断角α的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．(2)由三角函数符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．例3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x的值域是________．【变式训练】1．判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)．题型三：公式一的简单运用例4．求下列三角函数值：(1)cos 9π4； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π6； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4； (4)sin 810°＋tan1 125°＋cos 420°.【变式训练】1．求值：sin 7π3cos(－23π6)＋tan(－15π4)cos 13π3.题型四：三角函数线的作法例5．作出34π的正弦线、余弦线和正切线．【变式训练】1．如果MP 和OM 分别是角78πα=的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（） A ．0MP OM << B ．0OM MP >> C ．0OM MP << D ．0MP OM >>2．在单位圆中画出满足1sin 2α=的角α的终边．题型五：利用三角函数线比较大小例6．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.【变式训练】1．sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为__________________________． 2．求证：当(0,)2πα∈时，sin tan ααα<<．题型六：利用三角函数线解不等式例7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sin θ≥32； (2)－12≤cos θ＜32.【变式训练】1．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5.2．(1)求函数y ＝2cos x －1的定义域； (2)tan x ＝－1的角x 的集合．3．当[0,2]x π∈，不等式sin cos x x >的解集为 ___________________． 4．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．（1）sin 2x ≥ （2）1cos 2x ≤ （3）tan 1x ≥- （4）1sin 2x >-且1cos 2x >1.2.2 同角三角函数的基本关系题型一：利用同角基本关系式求值例1．(1)已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值． (2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．例2．已知tan α＝－2，求cos α，sin α的值．【变式训练】1．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．2．已知cos α＝－817，求sin α，tan α.3．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.（万能公式）4．已知tan α＝2，求2sin 2sin cos ααα-的值．题型二：三角函数式的化简例3．化简：(1)sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β； (2)1－2sin 10°cos 10°cos 10°－1－cos 210°.【变式训练】1．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2.2题型三：三角函数式的证明例4．（1）求证cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x . （2）求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.题型四：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α•cos α的密切关系例5．已知－π<x <0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x cos x 的值并指出角x 所处的象限； (2)求tan x 的值．【变式训练】1．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32 C.34 D ．－342．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________． 3．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ-=，求sin cos θθ+，tan θ的值．1.3 三角函数的诱导公式题型一：给角求值问题例1．利用公式求下列三角函数值：(1)cos 225°； (2)sin 11π3； (3)sin(－16π3)； (4)cos(－2 040°)．【变式训练】1．求下列各三角函数值：(1)sin 1 320°； (2)cos(－31π6)； (3)tan(－765°)； (4)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4.题型二：三角函数式的化简问题例2．化简：(1)cos （180°＋α）·sin （α＋360°）sin （－α－180°）·cos （－180°－α）. (2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋2sin[α－（2n ＋1）π]sin （α－2n π）cos （2n π－α）(n ∈Z )．例3．化简：sin （2π－α）cos （π＋α）cos （π2＋α）cos （11π2－α）cos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin （9π2＋α）.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于k π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．【变式训练】1．化简：cos （θ＋4π）cos 2（θ＋π）sin 2（θ＋3π）sin （θ－4π）sin （5π＋θ）cos 2（－π＋θ）.2．化简：tan （3π－α）sin （π－α）sin （3π2－α）＋sin （2π－α）cos （α－7π2）sin （3π2＋α）cos （2π＋α）.3．化简：sin （－α－32π）·cos （32π－α）·tan 2（π－α）cos （π2－α）·sin （π2＋α）.4．化简：sin （π2－α）cos （π2＋α）cos （π＋α）－5．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．题型三：给值(式)求值问题例4．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．例5．(1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos(π2＋α)的值．(2)已知cos(π6－α)＝13，求cos(5π6＋α)·sin(2π3－α)的值．【变式训练】1．(1)已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值； (2)已知cos(π6＋α)＝33，求cos(7π6＋α)的值．2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值．3．已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－sin 2(α－π6)的值．3．已知cos α＝14，求sin （2π＋α）cos （－π＋α）cos （－α）tan α的值．4．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．5．若cos(π＋α)＝－105，且α∈(－π2，0)，则tan(32π＋α)的值为________． 6．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．(1)2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （α－2π）＋sin （4π－α）； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．7．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 013)＝6，求f (2 014)的值．8．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan （435°－α）＋sin （α－165°）cos （195°＋α）·sin （105°＋α）的值．9．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－2cos(π2＋β)与3cos(－α)＝－2sin(3π2－β)同时成立．题型四：已知利用诱导公式证明等式例6．求证：tan （2π－α）cos （3π2－α）cos （6π－α）sin （α－3π2）cos （α＋3π2）＝tan α.【变式训练】1．求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－32πcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋32π＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1.1.4 正弦函数、余弦函数的图象题型一：五点法作图例1．画出下列函数的简图(1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]；(2)y ＝－cos x ，x ∈[0，2π]．【变式训练】1．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间． ①y ＞1；②y ＜1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围．题型二：正、余弦函数图象的应用例2．求下列函数的定义域：(1)y ＝2sin x ＋1. (2)y ＝sin x －cos x .【变式训练】1．求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22＋cos x 的定义域．2．根据正弦函数的图象，求满足sin x ≥12的x 的范围．题型三：与正、余弦函数图象有关的零点问题例3．判断下列方程的根的个数．（1）cos 04xx -= （2）sin x x = （3）cos lg x x =【变式训练】1．1sin ([0,2])y x x π=+∈的图象与32y =的交点个数是___________．1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质题型一：周期性例1．求下列函数的周期：(1)y ＝sin 2x ，x ∈R ； (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R ； (3)y ＝|cos x |.例2．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f （x ）(f (x )≠0)．(1)求证：函数f (x )是周期函数；(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．【变式训练】1．求下列函数的周期：(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R )．2．设函数f (x )＝sin 3x ＋|sin 3x |，则f (x )为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为23πC ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数3．已知f (x )＝cos π3x ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝________．4. 已知()cos2n f n π=，则(1)(2)f f ++…(2015)(2016)f f ++=___________________．题型二：奇偶性例3．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ； (2)f (x )＝cos x1－sin x ； (3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【变式训练】1．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos(2x ＋5π2)； (2)f (x )＝sin(cos x )．2．函数y ＝cos x （1－sin x ）1－sin x的奇偶性为________．3．判断函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性．4．已知f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x＋3，若f (5)＝－2，求f (－5)的值．题型三：单调性例4．求函数1sin()23y x π=+,[2,2]x ππ∈-的单调递增区间．例5．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间．【变式训练】1．求函数y ＝sin(12x ＋π4)的单调减区间．2．求函数y ＝1＋sin(－12x ＋π4)，x ∈[－2π，2π]的单调减区间．3．求函数y ＝cos(π3－2x )的单调递增区间．4．求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin(π6－x )； (2)y ＝log 12cos x .5．函数()2cos()23x f x π=-+在区间28(,]5a π上是单调函数，则实数a 的最大值为（） A ．173π B ．6π C ．203π D ．223π6．已知函数f (x )＝2sin(2x －π6)＋a (a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．题型四：正弦函数、余弦函数的最值（值域）问题例6．下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x3，x ∈R ；(2)y ＝－3sin 2x ，x ∈R .例7．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12的值域．例8．已知函数f (x )＝2a ·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值．【归纳小结】1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最值，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)的范围，最后得最值．2．对于含参数的问题，求解时，应对参数分情况求解．【变式训练】1．求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1的最大、最小值．2．当x ∈[π6，5π6]，求f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12的值域．3．若f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈[π6，5π6]，试求f (x )的值域．4. 已知1sin sin 3αβ+=，则2sin cos αβ-的最大值为_____________________．5．已知：f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a ∈R ，a 为常数)．(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在[－π6，π6]上最大值与最小值之和为3，求a 的值．6．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．7．已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3]，则f (x )的值域是________．8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．1.4.3 正切函数的性质与图象题型一：正切函数的定义域例1．求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x； (2)y ＝lg(3－tan x )．【变式训练】1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．题型二：正切函数的性质例2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的定义域、周期和单调区间．例3．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．【变式训练】1．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．2．求函数y ＝tan(－x －π3)的定义域，并讨论它的单调性和奇偶性．3．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．4．设函数y ＝tan 2x ＋2tan x ＋2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数的值域．5．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π4，0，其中0＜φ＜π2，试求函数f (x )的单调区间．1．5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象题型一：求五点法”作图例1．画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的简图．【方法小结】用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．【变式训练】1. 画出函数y ＝6sin (2πt ＋π6)的简图．题型二：三角函数的图象变换例2．已知函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋54，该函数的图象可由y ＝sin x ，x ∈R 的图象经过怎样的变换得到？【三角函数图象变换的技巧】由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．方法一：先平移后伸缩．y ＝sin x ―-----------------------------------------------------―→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)―------------------------------―→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―-----------------------------―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．方法二：先伸缩后平移．y ＝sin x ―---------------------------------―→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―------------------------------------------------------―→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移||φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)―-----------------------------―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．【变式训练】1．sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（）A .1sin()23y x π=+B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得图象的解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋3π4 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π12 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋3π4 3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．设函数f (x )＝3sin(x ＋π6)．(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos 2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象重合，则φ＝_____.7．已知函数y ＝sin(2x ＋π4)＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？题型三：探究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴和对称中心例3．已知函数f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54.(1)求f (x )的振幅、最小正周期及单调增区间； (2)求f (x )的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f (x )的最小值及取得最小值时的x 的取值集合．【变式训练】1．函数y ＝12sin(x －π3)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π62．已知ω＞0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为(π12，0)，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值13．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．题型四：简谐运动的函数表达式确定例4．如图是某简谐运动的图象．试根据图象回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式．【变式训练】1．函数y ＝6sin(14x －π6)的振幅是________，周期是________，频率是________，初相是________，图象最高点的坐标是________．2．函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π33．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)一个周期的图象如图所示，(1)求函数f (x )的最小正周期T 及最大值、最小值． (2)求函数f (x )的表达式、单调递增区间．5．如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象．（1）求函数解析式；（2）描述怎么由sin y x =通过变换得到sin()y A x ϖϕ=+；（3）若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围．题型五：探究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例5．已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，13π12有两解，求a 的取值范围．题型六：三角函数的图象例6．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是 ( )【变式训练】 1．函数cos sin ,(0)sin xy x x xπ=⋅<<的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．2．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π33．已知函数f (x )＝2cos(π2－π4x －π4)．(1)求函数f (x )的对称轴；(2)将函数f (x )的图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )＋k 在(－2，4)上有两个零点，求实数k 的取值范围．1．6 三角函数模型的简单应用题型一：图象与函数解析式例1．画出函数y ＝|sin x |的图象并观察其周期．题型二：三角函数模型的应用例2．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天6～14时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．例3．. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果从水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数；(2)点P 第一次到达最高点大约需要多长时间？【变式训练】1. 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？2．如图，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________．3．曲线y ＝A sin ωx ＋a (A >0，ω>0)在区间[0，2πω]上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A >32B ．a ＝12，A ≤32C ．a ＝1，A ≥1D ．a ＝1，A ≤13．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 与过B 点的水平线间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0，60]．4. 如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心O 高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式．(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．必修四《第一章三角函数》典型问题与方法（解析版）1．1 任意角和弧度制题型一：区域角的表示例1．终边在y x =上的角组成的集合为_______________________________写出终边落在直线y ＝x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． (链接教材P 5例3)[解] 直线y ＝x 与x 轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y ＝x 上的角的集合S ＝{β|β＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }．∴S 中适合－360°≤β＜720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.例2．写出如图所示阴影部分的角α的范围．[解] 因与45°角终边相同的角可写成45°＋k ·360°，k ∈Z 的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k ·360°，k ∈Z 的形式．所以图中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k ·360°<α≤45°＋k ·360°，k ∈Z }．[名师点评] 表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.例1．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB 上；(2)终边落在直线OA 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB 上的角的集合为S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)终边落在直线OA 上的角的集合为S 2＝{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z }． (3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S 3＝{α|30°＋k ·180°≤α≤60°＋k ·180°，k ∈Z }．题型二：角nα所在象限的确定 4．已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] ∵α是第二象限角， ∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴k 2·360°＋45°＜α2＜k 2·360°＋90°(k ∈Z )．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°＜α2＜n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°＜α2＜n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． [拓展探究] 已知角α所在的象限，要求αn(n ∈N *)所在的象限，应把角α写成k ·360°＋β＜α＜k ·360°＋γ(k ∈Z )的形式，再求出k ·360°n ＋βn ＜αn ＜k ·360°n ＋γn (k ∈Z )，分别取k ＝0，1，2，…，n －1，即可确定αn所在的象限．本题还可做如下衍变．1．本例条件不变，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角， ∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴k ·720°＋180°＜2α＜k ·720°＋360°(k ∈Z )，∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上． 2．本例条件不变，求180°－α是第几象限角．解：∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴－180°－k ·360°＜－α＜－90°－k ·360°(k ∈Z )， ∴－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )， ∴180°－α是第一象限角．3．已知α是第三象限角，则α3是第几象限角？解：∵α是第三象限角， ∴180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°＜α3＜90°＋k ·120°(k ∈Z )．当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°＜α3＜90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°＜α3＜210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第三象限的角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°＜α3＜330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第四象限的角． ∴α3是第一、三、四象限的角．1.1.2 弧度制题型一：弧度制与角度值的转化2．直径为20 cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧长及扇形面积．(1)4π3；(2)165°.[解] (1)l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π(cm)，S ＝12|α|·r 2＝12×43π×102＝2003π(cm 2)．(2)165°＝π180×165 rad ＝1112π rad. ∴l ＝|α|·r ＝1112π×10＝556π(cm)，S ＝12l ·r ＝12×556π×10＝2756π(cm 2)．3．若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12lR ＝1，2R ＋l ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，R ＝1.∴扇形圆心角的弧度数是lR＝2.4．一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？[解] 设扇形圆心角为θ，半径为r ，则2r ＋θ·r ＝20，∴θ＝20－2rr.∴S 扇形＝12θr 2＝12·20－2r r·r 2＝(10－r )r ＝－(r －5)2＋25(0<r <20)．∴当r ＝5时，S 扇形max ＝25，此时θ＝2.综上可知，当半径为5，圆心角为2时，能使扇形的面积最大，最大面积为25.1.2.1 任意角的三角函数题型一：三角函数的定义例1．(1)求5π3的正弦、余弦和正切值；(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．[解] (1)在直角坐标系中，作∠AOB ＝5π3(如图)．易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，所以，sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，tan 5π3＝－ 3.(2)由已知可得：|OP 0|＝（－3）2＋（－4）2＝5. 如图，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )．分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0，则 |M 0P 0|＝4，|MP |＝－y ， |OM 0|＝3，|OM |＝－x ， △OMP ∽△OM 0P 0，于是，sin α＝y ＝y 1＝－|MP ||OP |＝－|M 0P 0||OP 0|＝－45；cos α＝x ＝x 1＝－|OM ||OP |＝－|OM 0||OP 0|＝－35；tan α＝y x ＝sin αcos α＝43.【方法归纳】(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．(2)对于角α的终边上一点P (x ，y )(非原点)，P 到原点的距离为r ，根据三角函数的定义可得sin α＝y r ，cos α＝x r ，sin α＝y x.【变式训练】1．角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23解析：选C.由三角函数的定义可知，r ＝22＋32＝13.∴sin α＝313＝31313，cos α＝213＝21313，tan α＝32.2．sin 25π6等于( )解析：选A.sin 25π6＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝sin π6＝12. 3．已知P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12D ．±2解析：选B.r ＝3＋y 2，sin β＝y r ＝y 3＋y 2＝1313，∴y >0，解得y ＝12，或y ＝－12(舍去)，故选B.4．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝22，求sin α，tan α的值．解：由点P (x ，－2)及x ≠0知点P 位于第三或第四象限．又cos α＝22>0，且cos α≠1，∴角α的终边在第一或第四象限．∴点P 在第四象限，故x >0.又r ＝|OP |＝x 2＋2，且cos α＝22，∴x x 2＋2＝22，解得x 2＝2，∴x ＝ 2.∴r ＝2，∴sin α＝－22，tan α＝－1.5．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22.∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，2＝1，解得x 1＝22，或x 1＝－22. ∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，6．已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，则sin α＝________．解：由题意可得：|OP |＝（－3m ）2＋m 2＝10|m |.当m ＞0时，|OP |＝10|m |＝10m ，则sin α＝m 10m ＝1010.当m ＜0时，|OP |＝10|m |＝－10m ，则sin α＝m －10m＝－1010.[答案] 1010或－10107．角α的终边上有一点P (a ，4)，且tan α＝43，求3sin α－2cos α的值．解：∵tan α＝4a ＝43，∴a ＝3，∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65.8．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝（－1）2＋（－2）2＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.9．已知角α的终边经过点P (3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2，3]题型二：三角函数值符号的判定例2．(1)确定下列三角函数值的符号．①cos 250°；②sin ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan(－672°)． (2)若sin θtan θ＜0，试确定θ所在象限．解：(1)①因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；②因为－π4是第四象限角，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π4＜0； ③因为tan(－672°)＝tan(48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角，所以tan(－672°)＞0. (2)因为sin θtan θ＜0，所以sin θ＞0，tan θ＜0或sin θ＜0，tan θ＞0.当sin θ＞0，tan θ＜0时，θ是第二象限角；当sin θ＜0，tan θ＞0时，θ是第三象限角．综上所述，θ是第二或第三象限角．【归纳小结】(1)对于用已知角α的终边所在象限来判断角α的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．(2)由三角函数符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．例3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0，∴y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜＋|cos x |cos x ＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0，∴y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.∴y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x的值域是{－2，0，2}．1．判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)．解：(1)∵α是第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α·cos α＜0. (2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°＜0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)＜0， ∴sin 285°·cos(－105°)＞0.题型三：公式一的简单运用例4．求下列三角函数值：(1)cos 9π4；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π6；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4；(4)sin 810°＋tan1 125°＋cos 420°. [解] (1)cos 9π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋2π＝cos π4＝22. (2)tan ⎝⎛⎭⎫－116π＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－2π＝tan π6＝33. (3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. (4)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝52.2．求值：sin 7π3cos(－23π6)＋tan(－15π4)cos 13π3.解：原式＝sin(2π＋π3)cos(－4π＋π6)＋tan(－4π＋π4)·cos(4π＋π3)＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.题型四：三角函数线的作法例5．作出34π的正弦线、余弦线和正切线．【变式训练】1．如果MP 和OM 分别是角78πα=的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（） A ．0MP OM << B ．0OM MP >> C ．0OM MP << D ．0MP OM >>2．在单位圆中画出满足1sin 2α=的角α的终边．题型五：利用三角函数线比较大小例6．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图画出角2π3与4π5的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M 1P 1|＞|M 2P 2|，|AT 1|＞|AT 2|，结合有向线段的方向，得M 1P 1＞M 2P 2，AT 1＜AT 2.又∵sin2π3＝M 1P 1，sin 4π5＝M 2P 2，tan 2π3＝AT 1，tan 4π5＝AT 2， ∴(1)sin 2π3＞sin 4π5， (2)tan 2π3＜tan 4π5.【变式训练】1．sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为__________________________． 2．求证：当(0,)2πα∈时，sin tan ααα<<．题型六：利用三角函数线解不等式例7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ＜32.[解] (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－23π≤θ＜2k π－π6或2k π＋π6＜θ≤2k π＋23π，k ∈Z .【变式训练】1．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图画出角2π3与4π5的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M 1P 1|＞|M 2P 2|，|AT 1|＞|AT 2|，结合有向线段的方向，得M 1P 1＞M 2P 2，AT 1＜AT 2.又∵sin 2π3＝M 1P 1，sin 4π5＝M 2P 2，tan 2π3＝AT 1，tan 4π5＝AT 2， ∴(1)sin 2π3＞sin 4π5，(2)tan 2π3＜tan 4π5.2．(1)求函数y ＝2cos x －1的定义域；(2)求满足tan x ＝－1的角x 的集合．解：(1)如图，∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12. ∴函数定义域为[2k π－π3，2k π＋π3](k ∈Z )．(2)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连结OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1、P 2，则OP 1或OP 2是角x 的终边，则x 的取值集合是{x |x ＝3π4＋2k π或x ＝7π4＋2k π，k ∈Z }，即为{x |x ＝3π4＋k π，k ∈Z }．如图．3．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．（1）2sin 2x ≥（2）1cos 2x ≤ （3）tan 1x ≥- （4）1sin 2x >-且1cos 2x >4．当[0,2]x π∈，不等式sin cos x x >的解集为 ___________________．1.2.2 同角三角函数的基本关系题型一：利用同角基本关系式求值例1．(1)已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值．(2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．(链接教材P 19例6)[解] (1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1－sin 2α＝1－(－35)2＝1625.如果α是第三象限角，那么cos α＜0.于是cos α＝－1625＝－45.所以tan α＝sin αcos α＝(－35)×(－54)＝34.如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.(2)∵tan α＝2，∴2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.例2．已知tan α＝－2，求cos α，sin α的值．解：∵tan α＝－2，∴α是第二、四象限角，由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α.(1)当α为第二象限角时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－2cos αsin 2α＋cos 2α＝1⇒5cos 2α＝1， ∴cos α＝－55，sin α＝－2×⎝⎛⎭⎫－55＝255. (2)当α为第四象限角时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－2cos αsin 2α＋cos 2α＝1⇒5cos 2α＝1， ∴cos α＝55，sin α＝－2×55＝－255.综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，cos α＝－55，sin α＝255；当α为第四象限角时，cos α＝55，sin α＝－255.【变式训练】1．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.∵α在第三象限，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.2．已知cos α＝－817，求sin α，tan α.[解] ∵cos α＝－817＜0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限的角.2分(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α ＝ 1－（－817）2＝1517.5分 tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.8分(2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158.12分3．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝12.(1)原式＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)原式＝sin 2α＋sin αcos α＋2（sin 2α＋cos 2α）sin 2α＋cos 2α＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝135.题型二：三角函数式的化简例3．化简：(1)sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β；(2)1－2sin 10°cos 10°cos 10°－1－cos 210°.[解] (1)原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β ＝(sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1.(2)原式＝（cos 10°－sin 10°）2cos 10°－sin 10°＝cos 10°－sin 10°cos 10°－sin 10°＝1.4．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2. 解：原式＝sin 2 α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2＋sin 2 α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α2＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos α2－sin α2＞0，cos α2＋sin α2＞0，∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.题型三：三角函数式的证明例4．求证cos x1－sin x＝1＋sin x cos x .[证明] 法一：由cos x ≠0，知sin x ≠－1，所以1＋sin x ≠0，于是左边＝cos x （1＋sin x ）（1－sin x ）（1＋sin x ）＝cos x （1＋sin x ）1－sin 2x＝cos x （1＋sin x ）cos 2x ＝1＋sin x cos x＝右边．所以原式成立．法二：因为(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos x1－sin x＝1＋sin x cos x .3．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.证明：左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛1＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝⎝⎛⎭⎫sin 2θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ＋cos 2θcos θ ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． ∴原式成立．题型四：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α•cos α的密切关系例5．已知－π<x <0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x cos x 的值并指出角x 所处的象限； (2)求tan x 的值．[教你审题] (1)已知sin x ＋cos x ＝15――→平方sin x cos x 的值―→角x 所在的象限(2)（sin x －cos x ）2――→展开sin x －cos x 的值―→sin x 、cos x 的值―→tan x 的值 [解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，两边平方，得cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x ＝125，∴1＋2cos x sin x ＝125，即cos x sin x ＝－1225.∵sin x cos x <0，且－π<x <0，∴x 为第四象限角．(2)∵(sin x －cos x )2＝1－2cos x sin x ＝4925，∴sin x －cos x ＝±75.∵x 为第四象限角，sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0，∴sin x －cos x ＝－75.。