【聚焦典型一轮复习题】高三数学理科(人教B版)一轮复习专练：曲线与方程1

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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《函数与方程》理新人教B版

[第11讲函数与方程](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)2．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．[2013·东北名校二模] 若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），3x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，＋∞)能力提升5．[2013·海口一模] 函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2) 6．[2013·厦门模拟] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(－1，0)上恰有一个零点B ．f (x )在(0，1)上恰有一个零点C ．f (x )在(－1，0)上恰有两个零点D ．f (x )在(0，1)上恰有两个零点7．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．58．[2013·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 9．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．若方程f (x )＝0有2 013个实数解，则这2 013个实数解之和为________．10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．11．[2013·温州质检] 对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．难点突破13．(1)(6分)已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)(2)(6分)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 因为f (－1)f (0)<0，所以区间(－1，0)是函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间，故选B.2．B [解析] 根据函数的零点存在定理得到f (1)f (2)＝(－1)×12<0，故函数的一个零点在区间(1，2)内．3．C [解析] f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0，2)恒为负，即f (x )在(0，2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，∴f (x )在(0，2)内只有一个零点．故选C.4．D [解析] 在同一坐标系内分别作出y 1＝f (x )，y 2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a >1时，直线y 2＝－x ＋a 与y 1＝log 2x 只有一个交点，即a ∈(1，＋∞)．【能力提升】5．C [解析] ∵f (－1)＝e －1－1－2<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝e ＋1－2>0，∴函数的零点所在区间为(0，1)．6．A [解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 010>0，x ∈(－1，0)，所以函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011在(－1，0)单调增，f (0)＝1>0，f (－1)<0，选A.7．D [解析] 定义在R 上的函数f (x )是奇函数，f (0)＝0，又是周期函数，T 是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0，则n 可能为5.8．B [解析] f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图．∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.9．0 [解析] 由奇函数的性质得f (0)＝0，其余2 012个实数解互为相反数，则这2 013个实数解之和为0.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 [解析] 计算函数f (x )＝x 3－2x －1在x ＝1，32，2处的函数值，根据函数零点的存在定理进行判断．f (1)<0，f (2)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32f (2)<0，故下一步断定该根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2内． 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [解析] 因为f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln a ＋a ＝ka ，ln b ＋b ＝kb ，则g (x )＝ln x ＋(1－k )x 在(0，＋∞)上有两个零点，即y ＝ln x 与y＝(k －1)x 相交于两点，所以k －1>0.当k ＝1＋1e 时相切，所以1<k <1＋1e.12．解：(1)若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.(2)若a ≠0，①令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1，1]上；②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时， y ＝f (x )在[－1，1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1，1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1≤－12a ≤1，af （1）≥0，af （－1）≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上，所求实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >1或a ≤－3－72. 【难点突破】13．(1)C (2)A [解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．(2)f (0)＝4sin1>0，f (2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，所以sin5<0，故f (2)<0，故函数在[0，2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1，－π2<－1<－π6，所以sin(－1)<－12，故f (－1)<0，故函数在[－1，0]上存在零点，也在[－2，0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2，4]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－24＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2，4]上存在零点．排除法知函数在[－4，－2]上不存在零点．。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《曲线与方程》含答案

第八节曲线与方程知识点一曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．1．判断正误(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)2．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是(C)解析：由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．知识点二直接法求动点的轨迹方程的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标．2．写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}．3．用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0.4．化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．(必修2P135习题4.1B 组第1题改编)等腰三角形ABC ，若一腰的两个端点坐标分别是A (4,2)，B (－2,0)，A 是顶点，则另一个点C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＋y 2－8x －4y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠4，x ≠－2)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠4，x≠－2)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠4，x≠－2)解析：设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠4，x≠－2.整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠4，x≠－2)．故选B.4．(2019·大连模拟)在△ABC中，BC＝4，A点为动点，满足sin C＋sin B ＝2sin A，若以BC为x轴，BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，则A点的轨迹方程为x216＋y212＝1(y≠0)．解析：由正弦定理得：|AB|＋|AC|＝2|BC|，即|AB|＋|AC|＝8>4.故A点的轨迹为椭圆，则椭圆方程为x216＋y212＝1，又因为A，B，C三点不能共线，所以A点的轨迹方程为x216＋y212＝1(y≠0)．1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．考向一直接法求轨迹方程【例1】 (1)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．(2)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________．【解析】 (1)设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．(2)若动圆在y 轴右侧，设与y 轴相切，且与圆x 2＋y 2－6x ＝0外切的圆的圆心为P (x ，y )(x >0)，则半径长为|x |，因为圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心为(3,0)，所以(x －3)2＋y 2＝|x |＋3，则y 2＝12x (x >0)，若动圆在y 轴左侧，则y ＝0，即圆心的轨迹方程为y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0)．【答案】 (1)(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0)(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点—列式—化简—检验，求动点的轨迹方程时要注意检验，即扣除多余的点，补上遗漏的点.(2)如果是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；如果是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形.已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0.(1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．解：(1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x ，0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x ，∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4k y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)，CB →＝(x 2－m ，y 2)，∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224＋m 2－4＝－m 4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m 4k 2＋2－3.∵Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22＋12>0， ∴关于m 的方程m 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3＝0有解，∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立．考向二定义法求轨迹方程【例2】 (1)(2019·北京模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是_________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为____________．【分析】 (1)根据题设条件，寻找动点C 与两定点A ，B 距离的差满足的等量关系|CA |－|CB |＝6，由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程．(2)可依据两圆的位置关系，得出圆心距与两圆半径的和、差的绝对值之间的关系，进而得出轨迹方程．【解析】 (1)如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．(2)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．【答案】 (1)x 29－y 216＝1(x >3) (2)x 24＋y 23＝1(x ≠－2)1．若本例(2)中的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，则圆心P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2)．解析：因为圆M 与圆N 相内切，设其切点为A ，又因为动圆P 与圆M 、圆N 都外切，所以动圆P 的圆心在MN 的连线上，且经过点A ，因此动点P 的轨迹是射线AM 的反向延长线(不含切点A )，其方程为：y ＝0(x <－2)．2．若本例(2)中的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都内切”，则圆心P 的轨迹方程为y ＝0(x ∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．解析：由两圆方程知圆M 与圆N 相内切，设切点为A ，若圆P 与圆M 、圆N 都内切，则切点必为A 点，且动圆P 的圆心在x 轴上．①若圆P 在圆M 和圆N 的内部与两圆内切，则点P 在线段AM (不含端点)上；②若圆P 在圆M 外部及圆N 内部与两圆内切，则点P 在线段MN (不含端点)上；③若圆P 在圆M 和圆N 的外部与两圆内切，则点P 在射线Nx (不含点N )上，所以动点P 的轨迹方程为y ＝0(x ∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义．(2)关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A.4x 221－4y 225＝1B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1解析：因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.考向三相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】 (2019·合肥第二次质检)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C (y 212，y 1)，D (y 222，y 2)，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k (x －y 212)，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0解得k＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，即x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－8x ，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]， ∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．(1)动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x ，y 相关的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得点P 的轨迹方程，此法称为代入法，也称相关点法.(2)用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x ′＝f (x ，y )，y ′＝g (x ，y )，然后代入已知曲线.求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)，NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )．∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1，故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程．(2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．。

2022届高考数学一轮复习课时作业曲线与方程

曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 26．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝17．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①③④2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A ，B ，C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30 km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 0秒(注：信号每秒传播V 0千米)．(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②A [由题意，2x 2－9xy ＋8y 2＝0化为：9xy ＝2x 2＋8y 2≥0，说明x ，y 同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y 换y ，方程发生改变，所以图形不关于x 轴对称，所以②不正确；以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以③正确；方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0，x ，y 互换，方程化为8x 2－9xy ＋2y 2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0,2)为椭圆两焦点，∴|CA |＋|CB |＝2a ＝25，∵|PC |＝|BC |， ∴|P A |＝|PC |＋|CA |＝|BC |＋|CA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程 ①△ABC 周长为10 C 1：y 2＝25 ②△ABC 面积为10 C 2：x 2＋y 2＝4(y ≠0) ③△ABC 中，∠A ＝90°C 3：x 29＋y 25＝1(y ≠0)A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 2A [①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②△ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝ (－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A.]6．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝1A [设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.]7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3，化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16(x ＞0，y ＞0) [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝36.因为AP→＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．[解] 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22＜4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解] (1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM→＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B.]2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC 中，|BC |＝λ|AC |，当λ＝1时，|BC |＝|AC |，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，所以点C 的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC |＝2|AC |，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，AD (图略)．设|BD |＝h ，则|BC |＝|CD |2＋h 2.设|AD |＝2a ，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，AD→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C (x ，y )，则A (－a,0)，D (a,0)，|CA |＝(x ＋a )2＋y 2，|CD |＝(x －a )2＋y 2，|CB |＝|CD |2＋h 2＝(x －a )2＋y 2＋h 2，所以(x －a )2 ＋y 2＋h 2＝2(x ＋a )2＋y 2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53a 2＋y 2＝16a 29＋h23，所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．[解] OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22(1－λ2)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22(λ2－1)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④A [对于①，因为xy ＜0，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x 2＋y 2≥2xy (x ＞0，y ＞0)，所以xy ≤x 2＋y 22，所以(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16×(x 2＋y 2)24＝4(x 2＋y 2)2，所以x 2＋y 2≤4，即②正确．对于③，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即③错误．把x ＝2，y ＝2代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(2，2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A.]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒(注：信号每秒传播V0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解](1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝105，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为x2400－y2500＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，x 2400－y 2500＝1，可得x ＝－205，y ＝205，观察员遇险地点坐标(－205，205)，观察员遇险地点与监测中心O 的距离为 2 000＋2 000＝2010.(3)由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2＋(y －30)2＝r 2，与x 2400－y 2500＝1，x ≤0联立，消去x 可得9y 2－300y ＋6 500－5r 2＝0， Δ＝90 000－36(6 500－5r 2)≥0，解得r ≥20 2.为保证有救援希望，扫描半径r 至少是202公里．。

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《曲线与方程》理新人教B版

[第52讲曲线与方程](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．[2013·北京朝阳区一模] 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e ＝62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 3．已知点O (0，0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．[2013·皖北协作区联考] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，AM ＝13，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到M 的距离的平方差为89，则P 点的轨迹是________．能力提升5．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 6．[2013·德州模拟] 已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x7．已知两定点A (1，1)，B (－1，－1)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．[2013·南平适应性测试] 已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x <－1)B ．x 2－y 28＝1(x >1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)9．已知A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝110．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2OQ →＝QP →，则点Q 的轨迹方程是________．11．F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．[2013·北京卷] 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)[2013·安徽卷] 如图K52－1，设λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．图K52－115．(13分)[2013·茂名二模] 如图K52－2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别是F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为12，椭圆上的动点P 到直线l ：x ＝a 2c的最小距离为2，延长F 2P 至Q 使得|F 2Q →|＝2a ，线段F 1Q 上存在异于F 1的点T 满足PT →·TF 1→＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求点T 的轨迹C 的方程；(3)求证：过直线l ：x ＝a 2c上任意一点必可以作两条直线与T 的轨迹C 相切，并且过两切点的直线经过定点．图K52－2难点突破16．(12分)已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2；(3)在(2)的结论下，当m ＝32时，得到曲线C ，与l 1垂直的直线l 与曲线C 交于B ，D两点，求△OBD 面积的最大值．课时作业(五十二)【基础热身】1．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．A [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.根据已知c a ＝62，|bc |a 2＋b2＝1，解得b ＝1，a ＝2，c ＝3，故所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.3．A [解析] 设P 点的坐标为(x ，y )，则（x －1）2＋（y ＋2）2＝3x 2＋y 2，整理，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.4．抛物线 [解析] 如图．以点设P (x ，y )，则P 到A 1D 1的距离为1＋x 2，P 到点M 的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2，根据已知得1＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－y 2＝89，化简即得y 2＝23x ，故点P 的轨迹为抛物线．【能力提升】5．C [解析] 由|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项知|PF 1|＋|PF 2|＝4，故动点P 的轨迹是以定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x 24＋y 23＝1.6．B [解析] 根据|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，即(x ＋2)2＋y 2＝(x －2)2，即y 2＝－8x .7．B [解析] 点P (x ，y )，则PA →＝(1－x ，1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2. 由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆，故选B.8．B [解析] 如图，由切线长定理知|AM |＝|MB |，|PD |＝|PA |，|DN |＝|NB |，所以|PM |－|PN |＝|PA |＋|AM |－|PD |－|DN |＝|MB |－|NB |＝2，由双曲线的定义知点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点B )．9．A [解析] 由题意|AC |＝|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，所以|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．10．2x ＋4y ＋1＝0 [解析] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．根据2OQ →＝QP →得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 [解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) [解析] F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2，又A ，B ，M ，F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1，0)，也适合这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ [解析] ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S△F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a22.所以②③正确．14．解：由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，则y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1.y 0－y 1)＝λ(1－x ，1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）y 0－λ.② 将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）2x 2－λ（1＋λ）y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝((1＋λ)x －λ)2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.15．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c－a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：设点T 的坐标为(x ，y )．当P ，T 重合时，点T 坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P ，T 不重合时，由PT →·TF 1→＝0，得PT →⊥TF 1→.由|F 2Q →|＝2a ＝4及椭圆的定义，|PQ →|＝|QF 2→|－|PF 2→|＝2a －|PF 2→|＝|PF 1→|，所以PT 为线段F 1Q 的垂直平分线，T 为线段F 1Q 的中点．在△QF 1F 2中，|OT →|＝12|F 2Q →|＝a ＝2，所以有x 2＋y 2＝4.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2＝4. 方法二：设点T 的坐标为(x ，y )．当P ，T 重合时，点T 坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P ，T 不重合时，由PT →·TF 1→＝0，得PT →⊥TF 1→.由|F 2Q →|＝2a ＝4及椭圆的定义，|PQ →|＝|QF 2→|－|PF 2→|＝2a －|PF 2→|＝|PF 1→|，所以PT 为线段F 1Q 的垂直平分线，T 为线段F 1Q 的中点．设点Q 的坐标为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－12，y ＝y ′2，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋1，y ′＝2y .①由|F 2Q →|＝2a ＝4，得(x ′－1)2＋y ′2＝16，②将①代入②，可得x 2＋y 2＝4.综上所述，点T 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4.③(3)直线l ：x ＝a 2c＝4与x 2＋y 2＝4相离，过直线上任意一点M (4，t )可作圆x 2＋y 2＝4的两条切线ME ，MF ，所以OE ⊥ME ，OF ⊥MF ，所以O ，E ，M ，F 四点都在以OM 为直径的圆上，其方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22.④ EF 为两圆的公共弦，③－④得EF 的方程为4x ＋ty －4＝0，显然无论t 为何值，直线EF 经过定点(1，0)．【难点突破】16．解：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1距离为d ，则d ＝|－22|12＋12＝2，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，AN ⊥x 轴于N ，N (x 0，0)，由题意，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )(x 0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1my ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y 代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1.(3)m ＝32时，曲线C 方程为x 24＋y23＝1，设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，设直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1交点为B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，3x 2＋4y 2＝12，得7x 2－8bx ＋4b 2－12＝0，因为Δ＝48(7－b 2)>0，解得b 2<7，且x 1＋x 2＝8b 7，x 1x 2＝4b 2－127.∵点O 到直线l 的距离d ＝|b |2，BD ＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4677－b 2，∴S △OBD ＝12·|b |2·4677－b 2＝237b 2（7－b 2）≤3当且仅当b 2＝7－b 2即b 2＝72<7时取到最大值，∴△OBD 面积的最大值为 3.。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《曲线与方程》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《曲线与方程》【题型一】：曲线和方程的关系【题型二】：定义法求轨迹【题型三】：直接法求轨迹【题型四】：待定系数法【题型五】：“相关点代入法”【题型六】：参数法【题型一】：曲线和方程的关系例 1. 如果坐标满足方程,0（）的点都在曲线C上，那么下列命题正确f x y=的是（）.（A）曲线C上点的坐标都满足方程,0（）f x y=（B）坐标不满足方程,0（）的点都不在曲线C上f x y=（C）不在曲线C上的点，其坐标必不满足方程,0f x y=（）（D）不在曲线C上的点，其坐标有些满足方程,0（），有些不满足方f x y=程,0（）.f x y=【思路点拨】由曲线与方程的定义，（A）、（B）不一定正确，（C）命题是原命题的逆否命题，它们是等价命题，故选【答案】C【变式训练】：【变式1】如果命题“坐标满足方程F(x, y)=0的点都在曲线C上”不正确，那么下列命题中正确的是（）.（A）曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0;（B）坐标满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上；（C）坐标满足方程F(x,y)=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；（D）一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x,y)=0.【答案】D【变式2】“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是“曲线C 的方程(,)0f x y =”的（）条件.A ．充分B ．必要C ．充要D ．既不充分又不必要【答案】B【例2】.证明圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x 2+y 2=25，并判断点M 1(3,-4),2(-25,2)M 是否在这个圆上.【证明】（1）设M(x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点 M 到原点的距离为5，2200=5x y +，即220025x y +=，所以(x 0，y 0)是方程x 2+y 2=25的解.（2）设(x 0，y 0)是方程x 2+y 2=25的解，那么220025x y +=，22005x y +=所以，也就是说，点M 到原点的距离为5，所以点M 在这个圆上．由（1）（2）知，x 2+y 2=25是圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程．把M 1(3，-4)代入x 2+y 2=25，等号成立，所以点M 1在圆上，把2(-25,2)M 代入x 2+y 2=25，等号不成立，所以点M 2不在圆上. 【题型二】：定义法求轨迹【例3】. 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对应的边为a 、b 、c （a c b >>）, 且 a 、c 、b 成等差数列，||2AB =,求顶点C 的轨迹方程【思路点拨】建立恰当的坐标系，找到顶点满足的几何条件结合圆锥曲线的定义解决问题。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数与方程

必刷小题4函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝e x＋2x－5的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析函数f(x)＝e x＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是()答案DAB走时，与O点的直线距离保持不变，解析小明沿沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．3．函数y＝lg|x－1|的图象大致是()x－1答案D 解析因为y ＝lg|－x |－x＝－lg|x |x ，x ≠0，故y ＝lg|x |x 为奇函数，图象关于原点成中心对称，将函数图象向右平移1个单位长度可得y ＝lg|x －1|x －1的图象，所以y ＝lg|x －1|x －1的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A ，B ；又当y ＝lg|x －1|x －1＝0时，x ＝0或x ＝2，故y ＝lg|x －1|x －1的图象与x 轴有2个交点，排除C.4．在使用二分法计算函数f (x )＝lg x ＋x －2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C 解析因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的12，3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝18>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝116<0.1，满足题意．5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P (s )＝P 0e －Ks 描述声压P (s )(单位：帕斯卡)随传播距离s (单位：米)的变化规律，其中P 0为声压的初始值，常数K 为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K 的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．0.162B ．0.164C ．0.166D ．0.168答案B 解析由题意知，400＝900e －5K ，两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K ，所以K ＝ln 9－ln 45＝2(ln 3－ln 2)5≈2×0.415＝0.164.6．已知f (x )(－x )，x <0，－x ，x ≥0，则函数y ＝3f 2(x )－2f (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C 解析由题设，当x <0时，f (x )∈R 且单调递减，当x ≥0时，f (x )∈(0,1)且单调递减，令t ＝f (x )，则y ＝3t 2－2t ＝0，可得t ＝0或t ＝23，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图知，当t ＝0时有一个零点，当t ＝23时有两个零点，故共有3个零点．7．已知函数f (x )＝2x ＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c 答案D 解析由函数的单调性可得，函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，由f (a )f (b )f (c )<0,则f (a )，f (b )，f (c )为负数的个数为奇数，选项A ，B ，C 可能成立；对于选项D ，当x 0<c 时，由函数的单调性可得f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，即不满足f (a )f (b )f (c )<0，故选项D 不可能成立．8．(2022·西安模拟)已知函数f (x )x －2)，x >1，|－1，－1≤x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A.15，D.16，答案B解析令g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)＝0，可得f (x )＝log a (x ＋1)，所以曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，当a >1时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)只有一个交点，不符合题意；当0<a <1时，若使得曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，a 3>－1，a 5<－1，a <1，解得15<a <13.二、多项选择题9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数不可能为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A ．5B ．6C ．7D ．8答案ABC解析由题意得，经n 层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为＝50，n ∈N +，则50≤2.5得，20≤1，所以lg 20＋≤0，lg 10＋lg 2＋n (lg 2－lg 3)≤0，所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n ≤0,1.3≤0.18n ，得n ≥659，因为n 为正整数，所以n 的最小值为8.10．设函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，则g (x )＝f (x )－m 的零点个数可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，得f (－1)＝f (1)＝－1，则函数g (x )＝f (x )－m 的零点个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝m 的交点个数，画出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，如图所示，由图可知，当m >0时，两个函数的图象有1个交点，当m ≤0时，两个函数的图象有2个交点，所以函数g (x )＝f (x )－m 的零点可能有1个或2个．11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案AD解析由函数图象可知y 0≤t <1，－a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即－a ＝4，解得a ＝3，∴y 0≤t <1，3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 错误．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，并且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，则下列说法中正确的是()A ．实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ＋1C ．x 1x 2x 3x 4＝1D ．x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4的取值范围是[23，＋∞)答案BC 解析因为f (x )为偶函数且有4个零点，则当x >0时f (x )有2个零点，＝a 2－4>0，－－a 2>0，解得a >2，A 不正确；当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋ax ＋1，B 正确；偶函数f (x )的4个零点满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3，x 4是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，则有x 3>0，x 3x 4＝1且x 1＝－x 4，x 2＝－x 3，于是得x 1x 2x 3x 4＝(x 3x 4)2＝1，C 正确；由C 选项知，x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝x 3＋3x 4＝x 3＋3x 3，且0<x 3<1，而函数y ＝x ＋3x在(0,1)上单调递减，从而得x 3＋3x 3∈(4，＋∞)，D 不正确．三、填空题13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是________．答案12解析由题可知，加密密钥为y ＝kx 3，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ×43，解得k ＝243＝132，故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，即1256＝132x 3，解得x 3＝18，即x ＝12.14．若函数f (x )＝e －x －ln(x ＋a )在(0，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，e)解析由题意可得，函数y ＝e －x 与g (x )＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g (0)＝ln a <1，即0<a <e ；当a ≤0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a <e.15．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )，x ≤0，2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案3解析∵f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，∴f (f (x ))＝0⇒f (x )＝0或f (x )＝1，由f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，由f (x )＝1⇒x ＝2，∴0,1,2为函数y ＝f (f (x ))的零点，∴函数y ＝f (f (x ))的零点之和为3.16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t (分钟)满足的函数关系式为h ＝m ·a t .若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg 2≈0.3，结果取整数)答案43解析·a10＝0.1，·a20＝0.2，m＝120，＝110，所以h＝120×102t，令h＝120×102t＝1，可得102t＝20，所以t＝10log220＝10lg20lg2＝10(lg10＋lg2)lg2＝10(1＋lg2)lg2≈10×1.30.3≈43(分钟)．因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度．。

2021高三数学人教B版一轮学案：第八章第八节曲线与方程含解析

第八节曲线与方程最新考纲考情分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法．3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他性质进行综合考查.知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) (3)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) 2．小题热身(1)若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( A )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( D )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．一条直线(3)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( A )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.(4)已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是x 2＝2y －1.解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.(5)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是2x －y ＋5＝0.解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )则P (－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.考点一直接法求轨迹方程【例1】已知△ABC 的三个顶点分别为A (－1,0)，B (2,3)，C (1,22)，定点P (1,1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 的中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 的中垂线的斜率为－22，AB 的中垂线的斜率为－1，则AC 的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，∴△ABC 的外接圆圆心为(2,0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2,0)，由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0，∴(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，故弦EF 的中点的轨迹方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.方法技巧(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( A )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠1)．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为 x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．考点二定义法求轨迹方程【例2】 (1)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为________．【解析】 (1)如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．(2)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．【答案】 (1)x 29－y 216＝1(x >3) (2)x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件,动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.(2)关键,定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征.1．(2020·湖北黄冈模拟)设D 为椭圆x 2＋y25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( B )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：∵D 为椭圆x 2＋y25＝1上一点，且易知A 、B 为椭圆的焦点，∴|DA |＋|DB |＝2a ＝2 5.又|PD |＝|BD |，∴|P A |＝|PD |＋|DA |＝25，∴P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝(25)2＝20.故选B.2．(2020·豫北名校联盟联考)已知△ABC 中，AB ＝2，且sin A (1－2cos B )＋sin B (1－2cos A )＝0，以边AB 的中垂线为x 轴，以AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则动点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(x ≠0)．解析：在△ABC 中，由sin A (1－2cos B )＋sin B (1－2cos A )＝0得sin A ＋sin B ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，由正弦定理得|BC |2R ＋|AC |2R ＝2·|AB |2R (R 为△ABC 外接圆半径)，可得|CB |＋|CA |＝2|AB |>|AB |.∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(除y 轴上的点)，其中2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(x ≠0)．考点三相关点(代入法)求轨迹方程【例3】已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线MD ，D 为垂足，点P 满足PD →＝53MD →，求动点P 的轨迹E 的方程．【解】 (1)设P (x ，y )，y ≠0，M (m ，n )，则D (m,0)， ∵PD →＝53MD →，∴(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －x ＝0，－y ＝－53n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又∵M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点， ∴x 225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25，∴动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．方法技巧(1)可以用“相关点法”求轨迹方程所满足的条件：①某个动点P 在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M 随P 的变化而变化；③在变化过程中，P 和M 满足一定的规律.(2)“相关点法”求轨迹方程的基本步骤：将所求动点P 的坐标设为(x ，y )，另一已知动点Q 的坐标设为(x 0，y 0)，再寻找P ，Q 之间的关系，把x 0，y 0分别用x ，y 表示出来，然后代入点Q 满足的方程即得所求.已知点H (0，－8)，点P 在x 轴上，动点F 满足PF ⊥PH ，且PF与y 轴交于点Q ，Q 是线段PF 的中点．(1)求动点F 的轨迹E 的方程；(2)点D 是直线l ：x －y －2＝0上任意一点，过点D 作E 的两条切线，切点分别为A ，B ，证明：直线AB 过定点．解：(1)设F (x ，y )，y ≠0，P (m,0)，Q (0，n )，则PH →＝(－m ，－8)，PQ →＝(－m ，n )， ∵PF ⊥PH ，∴m 2－8n ＝0，即m 2＝8n ，又⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2＝0，0＋y 2＝n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y 2，代入m 2＝8n ，得x 2＝4y (y ≠0)．故轨迹E 的方程为x 2＝4y (y ≠0)．(2)证明：设D (x 0，x 0－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵直线DA 与抛物线相切，且y ′＝x 2，∴k DA ＝x 12， ∴直线DA 的方程为y ＝x 12x －y 1，∵点D 在DA 上，∴x 0－2＝x 12x 0－y 1，化简得x 0x 1－2y 1－2x 0＋4＝0. 同理，可得B 点的坐标满足x 0x 2－2y 2－2x 0＋4＝0.故直线AB 的方程为x 0x －2y －2x 0＋4＝0，即x 0(x －2)－2(y －2)＝0， ∴直线AB 过定点(2,2)．。

【聚焦典型一轮复习题】高三数学理科(人教B)一轮复习课件：双曲线(55ppt)

第50讲双曲线
点 ► 探(1)究[20点12·一三明联双考曲] 线若双的曲定线义x42及－1标y22 ＝准1方上程的一点
面讲
P 到它的右焦点的距离为 8，则点 P 到它的左焦点的距
考离是( )
向
A．4
B．12
C．4 或 12 D．6
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第50讲双曲线
(2)[2012·湖南卷] 已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距
固
(1) 等轴双曲线的渐近线互相垂直、离心率等于
基础
2.(
)
(2)若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)与ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
的离心率分别是 e1，e2，则e112＋e122＝1.(本题中的两条双曲线称为共轭双曲线)( )
[答案] (1)√ (2)√
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第50讲双曲线
双
向固
[ 解析 ] (1) 集合 P ＝ {M|||MF1| － |MF2|| ＝
基础
2a,0<2a<|F1F2|}，其中|F1F2|＝2c，a>0，c>0，a，c 为常数，则集合 P 表示以 F1，F2 为焦点的双曲线．在双曲线
的定义中的限制条件 0<2a<|F1F2|必不可少．当 2a＝
图形
范围
x≤_－__a_或__x_≥_a_，__y_∈_ R
y≤－_a_或__y_≥_a_，__x_∈__R_
对称性
关于 x 轴，y 轴及原点对称
关于 x 轴，y 轴及原点对称
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第50讲双曲线
双
向固基

2023年高考数学(理科)一轮复习课件——曲线与方程

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感悟提升
“相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0). (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式xy00＝＝gf（（xx，，yy）），. (3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
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训练 2 如图所示，动圆 C1：x2＋y2＝t2，1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2＝1 相交于 A，B，C，D 四点.点 A1， A2 分别为 C2 的左、右顶点，求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.
解析对于(2)，由方程得 x(x＋y－1)＝0，即 x＝0 或 x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线 y＝ x是曲线 x＝y2 的一部分，错误.
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2.(2022·郑州调研)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹
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分层训练巩固提升
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级基础巩固
1.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( C )
A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对
解析 (x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔xx－y－y＝ 1＝0， 0. 故xy＝＝11，或xy＝＝－－11.，
解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，E，F分别为两个切点. 则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|，所以|AB|－|AC|＝2 2<4，
所以点 A 的轨迹为以 B，C 为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且 a＝ 2，c＝2，所以 b＝ 2，所以顶点 A 的轨迹方程为x22－y22＝1(x> 2).

高三数学《师说》系列一轮复习曲线与方程课件理新人教B版

考点串串讲 1．曲线的方程、方程的曲线的概念坐标系建立后，平面上的点 P 与实数对 (x， y)建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线 C，与之相应的 x、 y 之间的约束关系，就形成了方程 f(x， y)＝ 0，即：曲线 C 点坐标解方程．曲线和方程的概念是建立数与形的关系形成解析几何的基本方法和观点，其主要内容就是两者的关系．一般地，在直角坐标系中，如果曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y)＝ 0 的实数解建立了如下关系：
6．求曲线轨迹方程常用的方法 (1)直接法求轨迹方程：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译成”动点的坐标 x、y 的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程，其一般步骤为：建系 ——设点 ——列式 ——代换 ——化简——检验． (2)定义法求轨迹方程：若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程． (3)待定系数法求轨迹方程：当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程． (4)代入法求轨迹方程：如果轨迹点 P(x， y)依赖于另一动点 Q(a， b)，而 Q(a， b)又在某已知曲线上，则可先列出关于 x、 y、a、b 的方程组，利用 x、y 表示出 a、b，把 a、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程．此法称为代入法，也称相关点法．
(5)参数法求轨迹方程：如果轨迹动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将 x、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．用参数法求轨迹方程需注意参数的范围对方程的影响 .

高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：曲线与方程(人教新课标).pdf

巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2013·泸州诊断)方程＋＝1(k＜8)所表示的曲线是( ) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆解析：根据方程特点知25－k＞9－k＞0，因此此曲线为椭圆．答案：B 2．(2013·金华联考)若ab≠0，则方程(ax－y＋b)( bx2＋ay2－ab)＝0表示的曲线只可能是( ) A. B. C. D. 解析：(ax－y＋b)(bx2＋ay2－ab)＝0ax－y＋b＝0或bx2＋ay2－ab＝0，即y＝ax＋b或＋＝1，结合选项可知，选C. 答案：C 3．(2013·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MAPA，且|MA|＝1，又|PA|＝1， |PM|＝＝. 即|PM|2＝2，(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 4．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(xR)的交点个数一定是( ) A．两个 B．4个 C．0个 D．与a的值有关解析：如图所示，据数形结合的方法．当a＝0时，y＝0，有两个公共点；当a≠0时，y＝±|a|x(y≤0)，亦有两个公共点．答案：A 5．(2013·大连、沈阳联考)已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.＋＝1 (y≠0)B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 解析：设P(x0，y0)、G(x，y)，由三角形重心坐标公式可得即代入＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．答案：C6．(2013·延边检测)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：x(y－mx－m)＝0有三个不同的交点，则实数m的取值范围是( ) A. B.∪ C. D.∪ 解析：曲线C1表示圆(x－1)2＋y2＝1，曲线C2表示两条直线x＝0，y＝m(x＋1)，若要两曲线有三个交点，只需直线y＝m(x＋1)与圆有两个交点，但m≠0，因此有0＜＜1，解得m∈∪. 答案：B 二、填空题 7．(2013·苏锡常镇调研)已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点的距离之比为23，则点M的轨迹方程为_____．解析：可得双曲线的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，设点M(x，y)，则有＝，代入整理得x2＋y2＋26x＋25＝0. 答案：x2＋y2＋26x＋25＝0 8．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．解析：设P(x1，y1)，PQ中点为M(x，y)， Q(0，－1)， ∴ ∵P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，y1＝2x＋1. 2y＋1＝2(2x)2＋1，化简得y＝4x2. PQ中点的轨迹方程为y＝4x2. 答案：y＝4x2 9．已知两定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，则P点的轨迹方程是__________．解析：设P(x，y)，则根据两点间距离公式，得 |PA|＝，|PB|＝，又＝，＝.整理，得(x＋2)2＋y2＝4即为所求. 答案：(x＋2)2＋y2＝4 三、解答题 10．(2013·济南调研)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程； (2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，于是点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，故所求轨迹的方程为x2＝4y. (2)由题意，直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立，消去y，得x2－4kx－4＝0. 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为， ·＝·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4 ＝4＋8， k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号， ·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16. 11．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－. (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M、N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)．由题意，得·＝－. 化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)． (2)方法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M、N的坐标分别为(3，yM)、(3，yN)，则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．令x＝3，得yM＝，yN＝. 于是PMN的面积 SPMN＝|yM－yN||3－x0|＝.又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，点P到直线AB的距离d＝，于是PAB的面积 SPAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|. 当SPAB＝SPMN时，得|x0＋y0|＝. 又因为|x0＋y0|≠0，所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝. 因为x＋3y＝4，所以y0＝±.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为. 方法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PA|·|PB|sinAPB＝|PM|·|PN|sinMPN. 因为sinAPB＝sinMPN，所以＝. 所以＝. 即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝. 因为x＋3y＝4，所以y0＝±. 故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为. 12．(2013·陕西调研)设x，yR，i、j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设＝＋，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．解析：(1)a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8，点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和为8. 点M的轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.(2)∵l过y轴上的点(0,3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时＝＋＝0. P与Q重合，与四边形OAPB是菱形矛盾．于是假设直线l的斜率存在，其方程为y＝kx＋3， A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消y，得(4＋3k2)x2＋18kx－21＝0. 此时Δ＝(18k)2－4(4＋3k2)(－21)＞0恒成立，且x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6. ＝＋，四边形OAPB是平行四边形．若存在直线l使得四边形OAPB是菱形，则||＝||. ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， x＋y＝x＋y. x－x＋y－y＝0. (x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. (k2＋1)(x1＋x2)＋6k＝0， k＝0. 故存在这样的直线l，使四边形OAPB为菱形，其方程为y＝3.。

2021届高考数学人教B版大一轮总复习59 曲线与方程

课时作业59 曲线与方程一、选择题1．在平面直角坐标系中，已知定点A (0，－2)，B (0，2)，直线P A 与直线PB 的斜率之积为－2，则动点P 的轨迹方程为( B )A.y 22＋x 2＝1 B.y 22＋x 2＝1(x ≠0) C.y 22－x 2＝1D.x 22＋y 2＝1(x ≠0)解析：设动点P (x ，y )，由题意可知y ＋2x ·y －2x ＝－2(x ≠0)，化简得y 22＋x 2＝1(x ≠0)，故选B.2．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是( A )A ．x 2－4y 2＝1B ．4y 2－x 2＝1C ．x 2－y24＝1D.x 22－y 2＝1解析：设M (x ，y )，由M 为线段OP 的中点，得P (2x,2y )，代入双曲线方程，得(2x )24－(2y )2＝1，即x 2－4y 2＝1，故选A.3．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( A )A ．x 2＝12yB ．y 2＝－12xC ．y 2＝12xD ．x 2＝－12y解析：由题意知，动圆圆心到点F (0,3)的距离等于动圆圆心到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y ，故选A.4．平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(1,1)，(－3,3)．若动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ，μ∈R ，且λ＋μ＝1，则点P 的轨迹方程为( C )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5解析：设P (x ，y )，则x ＝λ－3μ，y ＝λ＋3μ，得λ＝x ＋y 2，μ＝y －x6，因此x ＋y 2＋y －x6＝1，化简得x ＋2y －3＝0，故选C.5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( C )A ．y 2－x248＝1 B ．x 2－y248＝1 C ．y 2－x248＝1(y ≤－1)D ．x 2－y248＝1(y ≥1)解析：由两点间的距离公式可得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，得|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2<14，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支，由c ＝7，a ＝1，得b 2＝48，所以F 的轨迹方程是y 2－x248＝1(y ≤－1)，故选C.6．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为坐标原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P 的轨迹方程是( C )A ．x 2＋y29＝1 B.x 29＋y 2＝1 C ．x 2＋y24＝1D.x 24＋y 2＝1解析：设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，由OP →＝13OA →＋23OB →得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13a ，y ＝23b ，所以a ＝3x ，b ＝32y .又|AB →|＝3，所以a 2＋b 2＝9，即(3x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2＝9，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1，故选C.7．(2020·广东七校联考)设圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为C ，A (2,0)是圆内一定点，Q 是圆周上任一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的交点为R ，则点R 的轨迹方程为( C )A.y 29＋x 25＝1 B.y 29－x 25＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 29－y 25＝1解析：连接AR ，由题意可知|RQ |＝|RA |，所以|RC |＋|RA |＝|RC |＋|RQ |＝|CQ |＝6>4＝|AC |，所以点R 的轨迹是以A (2,0)，C (－2,0)为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝32－22＝5，所以点R 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.故选C.8．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN →2＝λAN →·NB →，则当λ<0时，动点M 的轨迹为( C )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN →2＝y 2，λAN →·NB →＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，当λ<0时，变形为x 2＋y2λ＝1，所以当λ<0时，动点M 的轨迹为双曲线，故选C.二、填空题9．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，满足||PF 1|－|PF 2||＝2的动点P 的轨迹方程为x 2－y23＝1.解析：根据双曲线的定义可得，实轴长2a ＝2，即a ＝1，半焦距c ＝2，由c 2＝a 2＋b 2，解得b 2＝3，故动点P 的轨迹方程为x 2－y 23＝1.10．已知两定点A (－2,0)，B (2,0)及定直线l ：x ＝103，点P 是l 上一个动点，过B 作BP 的垂线与AP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.解析：设Q (x ，y )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，y 1，则y 1103＋2＝y x ＋2，y 1103－2·yx －2＝－1，∴163·y x ＋2·34·y x －2＝－1，∴4y 2＝4－x 2，∴点Q 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.11．已知圆C ：x 2＋y 2＝25，过点M (－2,3)作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点Q 时，点Q 的轨迹方程为2x －3y ＋25＝0.解析：圆C ：x 2＋y 2＝25的圆心C 为(0,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，因为AQ 与圆C 相切，所以AQ ⊥CA ，所以(x 1－x 0)(x 1－0)＋(y 1－y 0)(y 1－0)＝0，即x 21－x 0x 1＋y 21－y 0y 1＝0，因为x 21＋y 21＝25，所以x 0x 1＋y 0y 1＝25，同理x 0x 2＋y 0y 2＝25，所以过点A ，B 的直线方程为xx 0＋yy 0＝25.因为直线AB 过点M (－2,3)，所以得－2x 0＋3y 0＝25，所以点Q 的轨迹方程为2x －3y ＋25＝0.12．已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1、A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 2解析：由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎨⎧x 1＝2x ，y 1＝2y x ，③则x ≠0，且|x |< 2.因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)．三、解答题13．(2020·安徽江南十校联考)已知两个定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P (x ，y )到点A 的距离是它到点B 的距离的2倍．(1)求P 点的轨迹E 的方程；(2)若过点C (1,1)作轨迹E 的切线，求此切线的方程．解：(1)设动点P (x ，y )，则|P A |＝2|PB |，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹E 的方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)当切线的斜率存在时，设切线l ：y －1＝k (x －1)，则|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，故切线l ：3x －4y ＋1＝0. 当切线斜率不存在时，l ：x ＝1恰好与轨迹E 切于(1,0)点．综上，切线方程为x ＝1或3x －4y ＋1＝0.14．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .15．(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ>0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是③④.(填序号)解析：本题考查圆锥曲线定义．对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.∵λ>0，且λ≠1，∴x 2＋y 2＋(2＋2λ2)1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，∴点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )， ∵(－x ＋1)2＋(－y )2·(－x －1)2＋(－y )2＝(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2，∴点P ′(－x ，－y )也在曲线(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称．故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则kPF 1＝y x ＋1，kPF 2＝yx －1，由题意得kPF 1·kPF 2＝y x ＋1·y x －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确．综上，正确结论的序号是③④.16．如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM →＝12DP →知P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎨⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0得，k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2020高三数学一轮复习(人教版理)：曲线与方程

第八节曲线与方程2019考纲考题考情—基础徴梳理JICH U WE1SHUL.I "1. 曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元眾材回扣堆咄自测竺*微知识•小题练方程f(x，y) = 0的实数解建立了如下的对应关系：(1) 曲线C上点的坐标都是这个方程的解。

(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2. 求动点的轨迹方程的基本步骤(1) 建系：建立适当的平面直角坐标系。

(2) 设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x, y)。

(3) 列式：列出或找出动点P满足的等式。

(4) 代换：将得到的等式转化为关于的方程(5) 验证：验证所得方程即为所求的轨迹方程。

•箒记结论•1. “曲线C是方程f(x, y) = 0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0的解”的充分不必要条件。

2. 曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解;（2）方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。

厂题组欷热身一屮题演嫌•握知幣■TJZLIWEIRESHEK __…-一、走进教材1.（选修2- IP37A组T3改编）已知点F-, 0 ,直线I: x=1--,点B是I上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）A .双曲线B .椭圆C.圆 D .抛物线解析由已知|MF|= |MB|,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线I为准线的抛物线。

答案D2.（选修2 - IP37A组T-改编）已知O O方程为x2+ y2= 4,过M（4,0）的直线与O O交于A, B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为__________ 。

解析根据垂径定理知: OM为直径的圆且在O O内的部分。

以0M为直径的圆的方程为（x—2）2+ y2 =4,它与O O的交点为(1, 土. 3)。

备考2020年高考数学一轮复习：52 曲线与方程(理科专用)

备考2020年高考数学一轮复习：52 曲线与方程（理科专用）一、单选题(共11题；共22分)1．（2分）平面内，到两定点 F 1(−3，0) 、 F 2(3，0) 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是（） A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．（2分）动圆M 与定圆C ：x 2＋y 2＋4x ＝0相外切，且与直线l ：x －2＝0相切，则动圆M 的圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2－12x ＋12＝0 B ．y 2＋12x －12＝0 C ．y 2＋8x ＝0D ．y 2－8x ＝03．（2分）直角坐标系 xOy 中，已知两点 A(2，1) ， B(4，5) ，点 C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 λ、μ∈R ，且 λ+μ=1 ．则点 C 的轨迹方程为（） A ．y =2x −3 B ．y =x +1C ．x +2y =9D ．(x −3)2+(y −3)2=54．（2分）已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为 a ，定点 M 在棱 AB 上(不在端点 A,B 上)，点 P 是平面 ABCD 内的动点，且点 P 到直线 A 1D 1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a 2 ，则点 P 的轨迹所在的曲线为（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．（2分）已知点 A(−2，0) ， B(2，0) ，直线 PA ，PB 相交于点 P ，且它们的斜率之积为 −34.则动点 P 的轨迹方程为（） A ．x 24+y 23=1(x ≠±2)B ．x 24+y 23=1(y ≠±√3)C ．x 24+y 23=1D ．x 23+y 24=1(y ≠±2)6．（2分）若动点 P(x ，y) 与两定点 M(−a ，0) ， N(a ，0) 的连线的斜率之积为常数 k(ka ≠0) ，则点 P 的轨迹一定不可能是（） A ．除 M ，N 两点外的圆 B ．除 M ，N 两点外的椭圆 C ．除 M ，N 两点外的双曲线D ．除 M ，N 两点外的抛物线7．（2分）以 (a 1,0) ， (a 2,0) 为圆心的两圆均过 (1,0) ，与轴正半轴分别交于 (y 1,0) ，(y 2,0) ，且满足 lny 1+lny 2=0 ，则点 (1a 1,1a 2) 的轨迹是（）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线8．（2分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，的左、右焦点分别为 F 1(−c ，0)，F 2(c ，0) ， P 是椭圆上任意一点，从任一焦点引 ∠F 1PF 2 的外角平分线的垂线，垂足为 Q ，则点 Q 的轨迹为（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．（2分）设 O 为坐标原点，动点 N 在圆 C:x 2+y 2=8 上，过 N 作 y 轴的垂线，垂足为 M ，点 P 满足 MP ⇀=12MN ⇀ ，则点 P 的轨迹方程为（） A ．x 28+y 22=1B ．x 22+y 28=1C ．x 22+y 24=1D ．x 24+y 22=110．（2分）已知过点（0，1）的直线与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的轨迹方程是（） A ．x 2+(y −12)2=1B ．x 2+（y ﹣1）2=1C ．x 2+(y −12)2=2D ．x 2+（y ﹣1）2=211．（2分）已知点A （3，0），B （﹣3，0），|AC|﹣|BC|=4，则点C 轨迹方程是（）A ．x 24 ﹣ y 25 =1（x ＜0）B ．x 24 ﹣ y 25=1C ．x 24 ﹣ y 25=1（x ＞0） D ．x 24 ﹣ y 25=0（x ＜0）二、填空题(共6题；共8分)12．（1分）已知圆 O ： x 2+y 2=4 及一点 P(−1，0) ， Q 在圆 O 上运动一周， PQ 的中点M 形成轨迹 C 的方程为．13．（1分）已知椭圆方程为 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) ，M 是椭圆上一动点， F 1 和 F 2 是左、右两焦点，由 F 2 向 ∠F 1MF 2 的外角平分线作垂线，垂足为N ，则N 点的轨迹方程为 .14．（1分）已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦且|BC|＝6，则BC 的中点的轨迹方程是． 15．（2分）在平面直角坐标系中，A （a ，0），D （0，b ），a≠0，C （0，﹣2），∠CAB ＝90°，D 是AB 的中点，当A 在x 轴上移动时，a 与b 满足的关系式为；点B 的轨迹E 的方程为．16．（2分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中 A(−2，0) ， B(2，0) ，动点 P 满足 |PA|=λ|PB|(λ>0) ，若点 P 的轨迹为一条直线，则 λ= ；若 λ=2 ，则点 P 的轨迹方程为；17．（1分）由动点 P(x ，y) 引圆 O ：x 2+y 2=4 的两条切线 PA ，PB ，切点分别为 A ，B ，若∠APB =90∘ ，则 P 点的轨迹方程是．三、解答题(共4题；共35分)18．（5分）在△ABC 中，已知|BC|=4，且 |AB||AC|=λ ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．19．（10分）已知点P 与两个定点O(0,0),A(-3,0)距离之比为 12.（1）（5分）求点P 的轨迹C 方程；（2）（5分）求过点M(2,3)且被轨迹C 截得的线段长为2 √3 的直线方程．20．（10分）已知圆M ： x 2+y 2+2√2y −10=0 和点 N(0，√2) ，动圆P 经过点N 且与圆M 相切，圆心P 的轨迹为曲线E ．（1）（5分）求曲线E 的方程；（2）（5分）点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，点B ，C 在曲线E 上，若直线AB ，AC 的斜率分别是k 1，k 2，满足k 1•k 2=9，求△ABC 面积的最大值．21．（10分）已知动点M （x ，y ）到直线l ：x=3的距离是它到点D （1，0）的距离的 √3 倍．（1）（5分）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）（5分）设轨迹C 上一动点T 满足： OT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3μ OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中P 、Q 是轨迹C 上的点，且直线OP 与OQ 的斜率之积为﹣ 23 ．若N （λ，μ）为一动点，F 1（﹣ √56 ，0）、F 2（ √56，0）为两定点，求|NF 1|+|NF 2|的值．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由题意可知 ||MF 1|−|MF 2||=6 ， ∵|F 1F 2|=6 ， ∴||MF 1|−|MF 2||=|F 1F 2| ，因此点 M 的轨迹是两条射线，故D 符合题意. 故答案为：D .【分析】根据题意可得：|MF 1|−|MF 2|=6=|F 1F 2|.2．【答案】B【解析】【解答】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆得半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r ，d=r ∴|MC|﹣d=2，即： √(x +2)2+y 2 ﹣（2﹣x ）=2，化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0．故答案为：B ．【分析】根据两圆相外切及直线与圆相切的性质，得到MC=2+r ，d=r 并列式，整理化简即可求出动圆圆心轨迹方程.3．【答案】A【解析】【解答】由 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+μ＝1，得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为y−1x−2=y−5x−4，整理得： y =2x −3 ．故P 的轨迹方程为： y =2x −3 ．故答案为：A.【分析】利用平面向量基本定理结合向量共线定理，结合已知条件用两点式表示直线方程即点C 的轨迹方程。