直线与圆的位置关系培优训练

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九年级数学竞赛培优专题及答案 20 直线与圆的位置关系1(含答案)

专题20 直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于E .若AB ＝3，DE ＝2，则BC 的长为( ) （青岛市中考试题）A ．2B ．3C ．3.5D ．4例1题图例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C 点看可应用切线长定理，从E 点看可应用切割线定理，又EC 为⊙O 的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB ＝45°，∠ABC ＝120°，⊙O 的半径为1. (1) 求弦AC ，AB 的长;(2) 若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使P A 与⊙O 相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB 与BC ，或PC 与BC 的关系，或求得PB 或PC 的长，点P 的位置即可确定.E【例3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点.过点P 作BC 的平行线交BT 于点E ，交直线AC 于点F .(1) 当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：P A •PB ＝PE •PF ；(2) 当点P 为线段BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上.连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相较于点F ，⊙O 过点M ，C ，P .(1) 请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；(2)AF AN 与APAD是否相等？请说明理由； (3) 随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H .设AB 为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C ＝90°，⊙O 过点M ，C ，P ，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长.当矩形确定后，依据线段CP 的长，就可确定P 点的位置.TTC MNNN【例5】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD ，BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，连接EO 并延长交BC 于点F .求证：BF ＝FC . （太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF ＝FC ，只需证FO ⊥BC 即可，连接OA ，OB ，OD ，将问题转化为证明∠DAO ＝∠EFC .【例6】如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 交于点P ，M 是△ABC 的内切⊙I 与边BC 的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，求证：PD 是⊙I 的切线. （全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I 切AB 于点S ，连接IM ，IS ，ID ，直接证明∠PDI ＝90°困难，不妨证明∠PDI ＝∠PSI ，即证明△PIS ≌△PID .能力训练A 级1. P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A ，B 的任意一点，则∠ACB ＝__________.2.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）第2题图第3题图3. 如图，P A 切⊙O 于点A ，C 是AB 上任意一点，∠P AB ＝62°，则∠C 的度数是__________.（荆门市中考试题）P4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC .若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（）A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ，CB 是⊙O 的切线，D ，B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD ，BD ，给出以下四个结论：①AD ∥OC ；②E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE .其中正确的结论是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点，CF 切⊙O 于点C 并与AD 的延长线相交于点F .图中的四个三角形①△CAF ,②△ABC ,③△ABD ,④△BEC ，其中一定相似的是（） (连云港市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④第5题图第6题图第7题图7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ． (1) 求证：△ABC 是等腰三角形；(2) 设AB =10cm ，BC =8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ，OD ∥AB ．求证：(1) ED 是⊙O 的切线；(2) 2DE 2＝BE •OD .ACB9．如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ．(1) 求证：△ABC 是直角三角形；(2) 若tan A ＝34时，求AE 的长. (内蒙古中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1) 求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2) 连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值． (武汉市中考试题)11．如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若tan ∠ADB ＝34，P A ＝43－33AH ，求BD 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积. (成都市中考试题)ABC BECB 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°， ∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.2．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是EG 上的一点，则∠EPF ＝__________. （广州市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm. （全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（）A ．abB ．a ＋b 2C ．aba ＋bD ．a ＋b ab5．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为( )A ．1+33 B ．233 C ．33D ． 2第4题图第5题图第6题图6．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD ＝BD ．其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．如图，已知AC 切⊙O 于点C ，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于点D ，与CP 的延长线交于点B .若AC ＝PC .求证：(1) BD ＝2BP ；(2) PC ＝3BP . (天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2) 当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切? (呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的半圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1.求证：S △AOD ，S △BCD 是方程10x 2－51x ＋54＝0的两个根. (河南省中考试题)10.如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求弦CE 的长.(武汉市中考试题)CCABDE11.如图，直线y ＝43x ＋4交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，⊙O ′过A ，O 两点.(1) 如图1，若⊙O ′交AB 于点C ，当O ′在OA 上时，求弦AC 的长; (2) 如图2，当⊙O ′与直线l 相切于点A 时，求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙O ′的半径的长.12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长. (四川省竞赛试题)C专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB ADBC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略（2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF APAN AD≠，则MN ∥CD 。

个性化练习【培优5】直线与圆位置关系

直线与圆位置关系培优21、（2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD 的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次2、如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-πEPABCD第10题图3、（2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O (0，0)、A (4，0)、B (4，3)。

动点P 从O 点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB 的边OA 、AB 、BO 作匀速运动；动直线l 从AB 位置出发，以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动。

若它们同时出发，运动的时间为t 秒，当点P 运动到O 时，它们都停止运动。

(1)当P 在线段OA 上运动时，求直线l 与以点P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围；(2)当P 在线段AB 上运动时，设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ，试问：四边形CPBD 是否可能为菱形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l 的出发时间，使得四边形CPBD 会是菱形。

4、如图，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、AC ．若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？A ．作AC 的中垂线，交AB 于P 点B ．作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点C ．作∠ABC 的角平分线，交AC 于D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点D ．过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点y O xA B5、如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设CD、CE的长分别为x、y，线段ED 的长为z，则z（x+y）= .6、如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）图①图②7、如图，割线与相交于、两点，为上一点，为的中点，交于，交于，。

初三数学培优之直线与圆的位置关系(2)

初三数学培优之直线与圆的位置关系（2）阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1．如图1，以⊙I 为△ABC 的内切圆，则有：（1）AE =AF =a s -，BF =BD =b s -，CD =CE =c s -；（2）∠B +∠DIF =∠C +∠DIE =∠A +∠EIF =180°.这里BC =a ，CA =b ，AB =c ，s =12（a +b +c ）.2．如图2，设⊙I 为Rt △ABC 的内切圆，则有：（1）四边形IDCE 是正方形；（2）内切圆半径r =AC +BC －AB2.3．如图3，设⊙O 为四边形ABCD 的内切圆，则有；AB +CD =AD +BC .CB图1 图2 图3例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点.若BC =2，AC =3，则A E ·EB = .（全国初中数学联赛试题）解题思路：P 为Rt △ABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解.P E BCAOEDC例1题图例2题图【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（）A ．3∶ 4B ．4∶ 5C ．5∶ 6D ．6∶ 7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB 于F.求证：F是△CDE的内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质.ADFBC E【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI.求证：AB+AC=2BC.（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD 角平分线的交点.求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.B【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G . 求∠DEF 的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键.GFA BEDC能力训练A 级1．如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF 、BE 的长是方程x 2－13x +30=0的两根，则S △ABC 的值是 . （泰州市中考试题）F（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r =2，则AC = . （杭州市中考试题） 3．如图，已知直线6+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上可以移动的点，且点P 在点A 的左侧，PM ⊥x 轴，交直线6+-=x y 于点M . 有一个动圆O ′，它与x 轴、直线PM 和直线6+-=x y 都相切，且在x 轴上方.当⊙O ′与y 轴也相切时，点P 的坐标是 .（青岛市中考试题）4．如图，已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点（四川省中考题）CC（第4题图）（第5题图）5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点A 且和BC 相切于点D ，和AB 、AC 分别交于点E 、F .若BD =AE ，且BE =a ，CF =b ，则AF 的长为（）A ．1+52 aB ．1+32 aC ．1+52bD ．1+32b6.若0°＜α＜90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的△ABC 的内切圆半径r 与外接圆半径R 之和是（）（安徽省竞赛试题）A ．sin α+cos α2B ．tan α+cot α2C ．2sin αcos αD ．1sin α+cos α7．如图，设AD 是△ABC 的中线，△ABD 、△ADC 的外心分别为E 、F ，直线BE 与CF 交于点G . 若DG =12BC ，求证：∠ADG =2∠ACG .（“我爱数学”夏令营竞赛试题）8．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P .过C 点的切线与AD 交于点D .连结AO 、DO .（1）求证：△ABO ∽△OCD ；（2）若AB 、CD 是关于x 的方程x 2－52（m －1）x +（m －1）2=0的两个实数根，且S △ABO +S △OCD =20，求m 的值.OBDCPA（第7题图）（第8题图）（第9题图）9．如图，以坐标原点O 为圆心，6为半径的圆交y 轴于A 、B 两点，AM 、BN 为⊙O 的切线，D 为切线AM 上的一点（D 与A 不重合），DE 切⊙O 于点E ，与BN 交于点C ，且AD ＜BC . 设AD =m ，BC =n .（1）求m ·n 的值；（2）若m ，n 是方程2t 2－30t +k =0的两根，求：①△COD 的面积；②CD 所在直线的解析式；③切点E 的坐标.（辽宁省中考题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙O n为n个（n≥2）相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，…，⊙O n－1与⊙O n相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙O n都与AB相切，且⊙O1与AC相切，⊙O n与BC相切.求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛试题）AF G（第10题图）（第11题图）11．如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的内心分别是I1、I2、I3.求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省竞赛试题）B级1．如图，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半径为r，那么满足关系式r=aba+b的图形是.（把正确的所有图形的序号填在横线上）BACAB①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高. O1、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则O1O2= .（太原市竞赛试题）3．如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= .（五城市联赛试题）4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O 的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④P A为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④BBC（第3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC 、CD 、DA 相切，若BC =2，DA =3，则AB 的长（）A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定（全国初中数学联赛试题）6．如图，在矩形ABCD 中，连结AC .如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于点E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为（）A ．12B ．23C ．34 D ．不能确定，与AB 、BC 的长度有关（《学习报》公开赛试题） 7．一条直线DE 平分△ABC 的周长，同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O .（全国初中数学联赛试题）8．如图，AB 、BC 、CD 分别与圆相切于E 、F 、G ，AB =BC =CD . 连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF. 求证：PF ⊥BC . （江苏省竞赛试题）BD BFPG A E C（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC 中，CH 为高，R 、S 分别为△ACH 和△BCH 的内切圆与CH 的切点.若AB =1995，AC =1994，BC =1993，则RS 可表示成mn，其中m ，n 是互质的正整数.求m +n 的值.（美国中学生数学邀请赛试题）10．如图，△ABC 的三边满足关系式BC =12（AB +AC ），O 、I 分别为△ABC 的外心、内心.∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .求证：（1）AI =BD ；（2）OI =12AE.（湖北省选拔赛试题）KC（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （－2，0）、B （8，0）.以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD .（1）求C 、M 两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得△QMC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（南宁市中考试题）12．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，与AB 、AC 两边分别切于D 、E 两点，连结DE . 点P 是劣弧 ⌒DE 上的一个动点（不与D 、E 重合），过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥BC 于K ，PK 交DE 于L 点.求证：（1）PL 2=PM ·PN ；（2）PK =PM +PN .（黄石二中理科实验班自主招生考试试题）。

直线与圆的位置关系综合大题训练含详解

（2）若直线与圆交于不同两点、 , 且 , 求直线的方程．
4．自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，求光线所在直线的方程．
5．已知圆心为的圆经过三点，
（1）求此圆的方程和点坐标；
（2）求直线被圆所截得的弦长。
6．已知圆，直线过点．
（Ⅰ）若直线与圆相切，求直线的方程；
试题分析：（1）判断直线与圆的位置关系需判定圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；（2）直线与圆相交的弦长问题求解时常利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成的直角三角形勾股定理求解
试题解析：（1）圆方程化为标准方程
∴ 圆C的圆心，半径
∴ 圆心到直线：的距离：
∴ 直线与圆相交．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
7．（1）；（2）和 .
【分析】
（1）由圆心到直线的距离等于半径，求得，即可求得圆的标准方程；
（2）可分当直线的斜率存在与不存在，两种情况讨论，结合直线与圆相切，即可求得切线的方程.
【详解】
（1）由题意，以点为圆心，与直线相切，
圆心到直线的距离等于半径，即，即，
所以圆的方程为 .Байду номын сангаас
（2）当直线的斜率存在时，设方程为，
直线与圆的位置关系综合大题训练
1．分别求实数的取值范围，使得直线与圆：
（1）相交；
（2）相切；
（3）相离.
2．已知直线过点M（﹣3，3），圆．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线截圆C弦长最长时直线的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
3．已知圆 : ,直线 : ．

专题12.4 直线与圆的位置关系(专题训练卷)(解析版)

专题12.4直线与圆的位置关系（专题训练卷）一、单选题A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D 【解析】设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-=【答案】A 【解析】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =. 故选：AA ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=【答案】A 【解析】因为点()2,1M -在圆225x y +=上，所以1k 2OM =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()y 12x 2+=-，整理得2x y 50.--= A ．-9 B ．1 C ．1或-2 D ．1或-9【答案】D 【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2-，因为直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，所以22492⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2890a a +-=，解得1a =或9a =-．故选：D. A ．相切 B ．内含C ．相交D ．外离【答案】A 【解析】圆1C 的圆心为()1,4， 11r = 圆2C 的圆心为()5,1， 26=r所以12215C C r r ===-所以圆1C 与2C 的位置关系是内切故选: A A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.A ．()()22195x y -++= B ．()()2211125x y -+-= C ．()()22115x y -+-= D ．()()221925x y -++=【答案】C 【解析】设圆的半径为r ，则242655m m r -+--==，则15m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 即圆的标准方程为()()22115x y -+-=，故选：C.A 632b ≤<B 33b <C 63b ≤<D 36b ≤<【答案】A 【解析】如图，取AB 的中点为C ，则OC AB ⊥且2OA OB OC +=，故222OC AC ≥⨯即22292OC AC OC ≥=⨯-，所以3OC ≥，故()2200311b -+≥+-6b ≥因为0b >，所以6b ≥又直线和圆是相交的，故()2200311b OC -+=<+-，所以32b <，故选：A.A ．12k =，4b =- B ．12k =-，4b = C ．12k =，4b =D ．12k =-，4b =-【答案】A 【解析】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0，所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-. 故选：AA ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D 【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ．二、多选题A ．5+22B ．522-+C ．522-D ．522--【答案】AC 【解析】由题得圆221:(3)(4)25C x y -+-=的圆心为(3,4),半径为5；圆2222:(1)(2)(0)C x y r r -+-=>的圆心为(1,2)，半径为r ；由题得22(31)(42)|5|,22|5|,r r r -+-=-∴=-=522±. 故选：ACA ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，当0a >时，恒成立，可知A 正确，B 不正确；当0a <时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D 正确，故选：ADA ．2x =B ．350x y -+=C ．34100x y -+=D ．2y =【答案】AC 【解析】当斜率不存在时：2x =，d R =成立，当斜率存在时，设直线方程为：4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，2421-+k k，因为直线与圆相切， 24221-=+k k ，解得34k =，所以直线方程为：34100x y -+=.综上：直线方程为：34100x y -+=或2x =.故选：ACA ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD 【解析】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD 三、单空题【答案】()1,3- 【解析】由题意得，()2222416442210D E F m m m +-=+--+> 即2230,(3)(1)0m m m m --<∴-+<，13m ∴-<<，故答案为：()1,3-.【答案】()3,31,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【解析】圆心为(),0O a ，半径30,2r a =><，由于过点A 可作两条切线，所以A 在圆外，即，解得()3,31,2a ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【答案】20x y +-=或20x y -+= 【解析】圆C 的圆心为坐标原点()0,0C ，半径长为42r =由题意可知，圆心C 到直线l 的距离d 满足52d r +=2d ∴=.①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为0x =，此时圆心在直线l 上，不合乎题意； ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由点到直线的距离公式可得221d k ==+1k =±.综上所述，直线l 的方程为20x y +-=或20x y -+=. 故答案为：20x y +-=或20x y -+=. 四、双空题【答案】()2,2 1 【解析】因为A 的方程为()()22221x y -+-=，所以其圆心A 坐标为()2,2，半径为1 故答案为：()2,2；1【答案】2 1 【解析】因为直线1y kx =+与圆222:()(0)C x a y r r -+=>相交于A ，B ，若当1k =-时，||AB 有最大值4，所以直线1y x =-+过圆心(,0)C a ，24r = 所以 01a =-+，得1a =，2r = ，故答案为：2；1【答案】3π或23π【解析】若直线l 与圆相切，则l 的斜率肯定存在，设l ：2y kx =+，则1d ==，所以k =l 的倾斜角为3π或23π；易得当OAB 为直角等腰三角形时面积最大，所以AB =故答案为：3π或23π.[]16,4- 【解析】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C，半径为r =若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以r d =≥，解得164m -≤≤．；[16,4]-．五、解答题（1）当1a =时，求直线l 与圆C 相交所得弦长；（2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．【答案】(1) 弦长为4；(2) 0 【解析】（1）当1a =时，直线l ：20x y +-=，圆C ：()()22114x y -+-=．圆心坐标为()1,1，半径为2．圆心()1,1在直线20x y +-=上，则直线l 与圆C 相交所得弦长为4.（2）由直线l 与圆C 相切，则圆心(1,)a 到直线20ax y +-=的距离等于半径，2=，解得：0a =．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线340x y n +-=与圆C 交于A ，B 两点，且6AB =，求n 的值．【答案】（Ⅰ）22(4)(2)25x y -++=；（Ⅱ）16n =-或24．【解析】（Ⅰ）∵圆心为(4, 2)M -的圆C 经过点(1, 2)P ， ∴圆C5．∴圆C 的标准方程为22(4)(2)25x y -++=．（Ⅱ）由（Ⅰ），知圆C 的圆心为(4, 2)M -，半径为5．设圆C 的圆心M 到直线340x y n +-=的距离为d ，则45n d -==．由题意，得222()52ABd +=．又∵6AB =，∴2(4)92525n -+=．∴16n =-或24．（1）若直线l 过点P 且被圆C截得的线段长为l 的方程；（2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．【答案】（1） x ＝0或3x －4y ＋20＝0；（2）x 2+y 2+2x ﹣11y +30＝0 【解析】（1）圆C ：22412240x y x y ++-+=，圆心为(2,6)C -，半径r ＝4，∵直线l被圆C截得的线段长为∴圆心C到直线l的距离d2，若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝0，此时圆心到直线l的距离为2，符合题意；若直线l斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，2=，解得k＝34，∴直线l的方程为y＝34x+5，即3x－4y＋20＝0 综上，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0．（2）设所求轨迹上任意一点为M（x，y），则k CM＝62yx-+（x≠﹣2），k PM＝5yx-（x≠0），整理得x2+y2+2x﹣11y+30＝0，经验证当x＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，当x＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30＝0．（1）求b的值；（2）当以AB为直径的圆的面积最小时，求直线AB的方程.【答案】（1）2；（2）2y=.【解析】联立212y kx by x=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y得2220x kx b--=.设1122(,),(,)A x yB x y，由韦达定理得12122,2x x k x x b+==-，因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以0OA OB⋅=，得12120x x y y+=，由于,A B两点在直线y kx b=+上，所以22 121212111212()()(1)() x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b +=+++=++++22222(1)220b k k b b b b =-+++=-=所以0b =或2b =当0b =时，直线AB 过坐标原点，不符合条件，故2b =；（2）由（1）知，21212()224y y k x x b k +=++=+，则AB 的中点坐标M 为2(,2)k k +，所以圆的半径||r MO === ，当且仅当0k =时，r 取得最小值2，此时，直线的方程为2y =.（1）平行于l 的直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）直线l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆C 上，求ABP △的面积的取值范围.【答案】（1）0x y +=或40x y +-=；（2）2,6.【解析】（1）∵ l ∥1l ，∴ 设直线1l ：0x y k ++=，∵ 1l 与圆C 相切，∴ 圆心(2,0)C 到直线1l 的距离d等于r = ∴d r ===0k =或4k =-，∴ 直线1l ：0x y +=或40x y +-=（2）∵ 直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，∴ (2,0)A -、(0,2)B -，则AB =又圆心(2,0)C 到直线l的距离d ==∴ min max 1122ABP AB h S AB h ∆⋅⋅≤≤⋅⋅即11()()22ABP AB d r S AB d r ∆⋅⋅-≤≤⋅⋅+，∴ 26ABP S ∆≤≤∴ ABP ∆的面积的取值范围：2,6.（1）求圆C 的方程；【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N【解析】（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切， ∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴必平分ANB ∠，此时N 可以为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=，经检验>0∆， ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，若x 轴平分ANB ∠，设N 为(),0t ，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x t x t --+=--，整理得：()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，综上，当点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.。

直线与圆的位置关系练习题(含答案)

4题 5题《直线与圆的位置关系》练习题1.R t △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心，为半径的⊙C 与直线AB 相切；以C 为圆心半径为4作⊙C ，则⊙C 与直线AB 的位置关系为；若⊙C 与直线AB 相交，则⊙C 的半径R 的取值范围为。

2.一条直线到半径为3的圆的圆心距为方程x 2-4x+3=0的一个根，则这条直线与这个圆的位置关系是。

3.已知∠AOB 的边OB 上有一点M ，⑴若∠AOB=45°，OM=6，①则以M 为圆心，4为半径的⊙M 与OA 的位置关系是；②若以M 为圆心的⊙M 与OA 相切，则半径R= ；③若以M 为圆心的⊙M 与OA 相交，则半径R 的取值范围为。

⑵若∠AOB=60°，以M 为圆心，4cm 长为半径的⊙M 恰好与OA 相切，则OM= 。

⑶若∠AOB=30°，OM=1，⊙M 的半径R=4，⊙M 的圆心M 沿射线OB 方向移动，当移动的距离为时，⊙M 与直线OA 恰好相切。

⑷若∠AOB=20°，OM=4，以M 为圆心，2 3 为半径作⊙M ，此时⊙M 与直线OA ，若射线OA 绕点O 顺时针方向旋转，当旋转角度为时，⊙M 与直线OA 第一次相切。

4.如图,⊙O 的半径为4cm,点O 到直线l 的距离为6cm,直线l 从右向左以1cm/s 的速度平移①当平移的时间t=8s 时，⊙O 与直线l 的位置关系为；②当平移的时间t= 时，⊙O 与直线l 相切； ③若⊙O 与直线l 有交点，则移动的时间t 的取值范围为。

5.如图，直线AB 、CD 交于点O ，M 为CD 上一点，MO=10cm, ∠AOC=30°，⊙M的半径R=2cm ，⊙M 沿着CD 方向以2cm/s 的速度运动，①当运动时间t 为秒时，⊙M 与直线AB 相切；②若⊙M 与直线AB 相交，则运动时间t 的取值范围为。

直线和圆的位置关系练习题(带答案)

直线和圆的地位关系演习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一.选择题：(每小题5分,共50分,每题只有一个准确答案)1．已知⊙O的半径为10cm,假如一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的地位关系为（）A. 相离B. 相切C. 订交D. 订交或相离2．如右图,A.B是⊙O上的两点,AC是⊙O∠B=70°,则∠BAC等于（）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°3．如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O下列结论中,错误的是（）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB⊥OPD. 2PA PC·PO4．如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延伸线交于P,PC=5,则⊙O的半径为（）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB是⊙O的直径,弦AD.BC订交于点P,那么CD︰AB）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A.B.C是⊙O上三点,AB⌒的度数是）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°8．心坎与外心重合的三角形是（）A. 等边三角形B.C. 不等边三角形D. 外形不肯定的三角形9．AD.AE和BC分离切⊙O于D.E.F,假如AD=20,则△ABC的周长为（）A. 20B. 30C. 40D.2135二.填空题：(每小题5分,共30分)11．⊙O的两条弦AB.CD订交于点P,已知AP=2cm,BP=6cm,CP︰PD =1︰3,则DP=___________．BDACEF（第3题图）（第4题图）DCBAP12．AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,P 是BA 的延伸线上的点,贯穿连接PC,交⊙O 于F,假如PF=7,FC=13,且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1,则CD=_________． 13．从圆外一点P 引圆的切线PA,点A 为切点,割线PDB 交⊙O 于点D.B,已知PA=12,PD=8,则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm,C 是⊙O 上的一点,点D 等分BC ⌒,DE=2cm,则AC=_____．15．如图,AB 是⊙O的直径,∠E=25°,∠DBC=50°,则∠CBE=________．16．点A.B.C.D 在统一圆上,AD.BC 延伸线订交于点Q,AB.DC 延伸线订交于点P,若∠A=50°,∠P=35°,则∠Q=________．三.解答题：(共7小题,共70分,解答应写出文字解释.证实进程或演算步调) 17．如图,MN 为⊙O 的切线,A 为切点,过点A 作AP⊥MN,交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,求⊙O 的直径．18．如图,AB为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于B,AC 交⊙O 于P,CE=BE,E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．,BE//AC,交CD 于E,过A 点的切线交DC 的延伸线于,M.N 分离为AB ⌒.CD ⌒的中点,求证：∆PEF 是等腰三角形． 21．ABCD 是圆内接四边形,过点C 作DB 的平行线交AB 的延伸线于E 点, 求证：BE·AD=BC·CD．22．已知∆ABC 内接于⊙O,∠A 的等分线交⊙O 于D,CD 的延伸线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BCCD 22=．23．如图,⊙O1与⊙O2交于A.B 两点,过A 作⊙O2的切线交⊙O1于C,直线CB 交⊙O2于D,直线DA 交⊙O1于E,求证：CD2 =CE2＋DA·DE．参考答案基本达标验收卷一.选择题：ABCDQP答案 B C B D D A A B C C二.填空题：1. 订交或相切2. 13. 54. 35°5. 251+6. 667. 28. 109. 3 10. 6三.解答题：1. 解：如右图,延伸AP 交⊙O 于点D.由订交弦定理,知PC PB PD PA ··=. ∵PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,∴2PD=5×3. ∴PD=7.5. ∴AD=PD+PA=7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A,AP⊥MN, ∴AD 是⊙O 的直径.∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证实：如图,贯穿连接OP.BP.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB=90°. 又∵CE=BE,∴EP=EB. ∴∠3=∠1. ∵OP=OB,∴∠4=∠2. ∵BC 切⊙O 于点B,∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径,∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证实：如图2,贯穿连接OQ,则CQ⊥OQ. ∵PQ=PO,∠QPC=60°, ∴∠POQ=∠PQO=60°. ∴∠C=︒=︒-︒603090.∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C,∴∠BAC=∠PCB=30°. 又AB 为⊙O 的直径,∴∠BCA=90°. ∴∠CBA=90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060,∴PB=BC. 又362121=⨯==AB BC ,OP N AB D OACP 123 4∴9=+=AB PB PA . 5. 解：（1）贯穿连接OC,证∠OCP=90°即可. （2）∵∠B=30°,∴∠A=∠BGF=60°. ∴∠BCP=∠BGF=60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C,∴PD·PE=48)34(22==PC .又∵36=BC ,∴12=AB ,33=FD ,3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD.PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时,OD⊥BC,OG∥AC 或∠BOG=∠BAC……时,结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立,只要证实△BFC∽△BGO 即可,凡是能使△BFC∽△BGO 的前提都可以. 才能进步演习1. CD 是⊙O 的切线;BA DB CD ·2;︒=∠90ACB ;AB=2BC;BD=BC 等. 2. （1）①∠CAE=∠B,②AB⊥EF,③∠BAC+∠CAE=90°,④∠C=∠FAB,⑤∠EAB=∠FAB. （2）证实：贯穿连接AO 并延伸交⊙O 于H,贯穿连接HC,则∠H=∠B. ∵AH 是直径,∴∠ACH=90°.∵∠B =∠CAE,∴∠CAE+∠HAC=90°.∴EF⊥HA. 又∵OA 是⊙O 的半径, ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的等分线,其交点就是小亭的中间地位.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O,贯穿连接OA.OB . ∵MA.MB 与⊙O 相切,∴∠OAM=∠OBM=90°.又∠M=90°,OA=OB,∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA=MA.量得MA 的长,再乘以2,就是锅的直径.（2）如右图,MCD 是圆的割线,用直尺量得MC.CD 的长,可求得MA 的长.∵MA 是切线,∴MD MC MA ·2=,可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线,DA 是割线,BD=6,AD=10,由切割线定理,得 DA DE DB ·2=.∴6.310622===DA DB DE . （2）设是上半圆的中点,当E 在BM 上时,F 在直线AB 上;E 在AM 上时,F 在BA 的延伸线上;当E 鄙人半圆时,F 在AB 的延伸线上,贯穿连接BE. ∵AB 是直径,AC.bD 是切线,∠CEF=90°,∴∠CAE=∠FBE,∠DBE=∠BAE,∠CEA=∠FEB. ∴Rt△DBE∽Rt△BAE,Rt△CAE∽Rt△FBE. ∴AEBE BADB =,AEBE ACBF =.依据AC=AB,得BD=BF.。

人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练(含答案)

人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB. (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．人教版九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB ，BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，可得点A ，B ，C 所在的圆的圆心为O ′(2，0)．只有当∠O ′BF ＝∠O ′BD ＋∠DBF ＝90°时，BF 与圆相切，此时△BO ′D ≌△FBE ，EF ＝DB ＝2，此时点F 的坐标为(5，1)．作过点B ，F 的直线，直线BF 经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B 的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5.【答案】B 【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠C OP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt△BCM中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，∴∠BMC＝30°，∴BC＝12MC，即MC＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O 的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O，连接OA，OB，则OB⊥AB，∠OAB＝12×(180°－60°)＝60°.∵AB＝3，∴OA＝6，OB＝3 3，∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2[解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5[解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交．理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝8. ∵AB ＝AC ＝10， ∴AD ＝6. ∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°， ∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB 是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。

直线和圆的位置关系专项练习

直线和圆的位置关系专项练习1．直线和圆的三种位置关系的定义：（1）利用公共点的个数，（2）利用圆心到直线的距离d 和半径r 之间的大小关系来确定。

2．相切的判定：（1）直线与圆有唯一公共点；（2）d=r ；(3)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（应用时，注意区分两种常用的辅助线：①如果已知直线经过圆上一点，则“连半径，证垂直”；②如果已知中直线和圆的公共点没有确定，则“作垂直，证半径”。

）3．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；（1）过圆心，（2）过切点，（3）垂直于切线。

任意具备两条即可得到第三条作为结论，形成三条性质。

4．区分三角形的内心、外心；内心是三角形内切圆的圆心，是三个角的角平分线的交点，是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；正三角形的内心、外心重合补充：与圆有关的比例线段：切线长定理，相交弦定理与圆有关的角：圆周角，圆心角，圆内角，圆外角（其中，同弧所对的圆外角<圆周角<圆内角）。

一．选泽题1.如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO 等于（）A 、54B 、53C 、34D 、432.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A ．2B ．3 CD．3.如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（）．A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交4.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，已知∠B=50°，∠C=60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于（）A 、40° B 、55° C 、65° D、70°第1题图第2题图第4题图5. 下列命题中，真命题是（）A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直6.如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（）．A.MN =B.若MN 与⊙O相切，则AM C.若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切 D. l 1和l 2的距离为27如图，D 是半径为R 的⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交直径AB 的延长线于点C ，下列四个条件：①AD ＝CD ；②∠A ＝30°；③∠ADC ＝120°；④DC ＝3R ．其中,使得BC ＝R 的有（）A. ①②B. ①③④C.②③④D.①②③④二．填空题 1.如图6，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA=40°，则∠ADC=2.如图2，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移个单位时，它与x 轴相切.3．如图，已知AD 为⊙O 的切线，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，则∠CAD ＝．三．解答题1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=21AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值.第5题图第1题图第7题图第2题图第3题图第1题图2．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BE C ∽△ADC ；（3）BC 2=2AB ·CE ．3.如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是 AE 的中点，OM 交AC 于点D ，60BOE ∠=°，1cos 2C =，BC = （1）求A ∠的度数；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；（3）求 MD的长度．4．如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90º，以直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，连结BD ．（1）若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；（2）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．第2题图第3题图第4题图5.已知：AB 是⊙O 的弦，D 是AB ⌒的中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ，（1）求证：AD ＝DC ；（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝EC ，求sinC.6.如图，AB 是⊙O 的直径， P 为AB 延长线上任意一点，C 为半圆ACB 的中点，PD 切⊙O 于点D ，连结CD 交AB 于点E ．求证：（1）PD =PE ；（2）PB PA PE ⋅=2．7．如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =求：（1）⊙O 的半径；（2）AC 的值．第5题图第7题图第6题图8.已知，如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在 AB 上，（1）若∠OAB=35°，求∠AOB 的度数；（2）过点C 作CD ∥AB ，若CD 是⊙O 的切线，求证：点C 是 AB 的中点。

6.5 直线与圆的位置关系(同步练习)(解析版)

6.5 直线与圆的位置关系
同步练习
故C 到:3410l x y +-=的距离为22381
234+-=+，
故所求弦长为2223225-=．
故选：C
1．圆()2211x y ++=与直线230x y ++=的位置关系是（）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法d 与r 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆()2
211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，所以圆心到直线230x y ++=的距离22351512d -+=
=<+，所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
2．直线33
y x =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是( ) A ．相交但直线不过圆心 B ．相切
C ．相离
D ．相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d ，和圆的半径r 比较即可得到此圆与直线的位置关系．
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为()1
0，，半径1r =，直线为30x y -=， ∴()1
0，到直线30x y -=的距离112
13d r ==<+， ∴圆与直线的位置关系为相交，又圆心()1
0，不在直线33y x =上，故选：A ．能力进阶。

直线与圆的位置关系练习(含参考答案)

直线与圆的位置关系习题课班级学号姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为（）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为．解析显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为．解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于．解析依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是．解析法一如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)．法二设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x；（2）y －x ；（3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

38【提高】点、直线、圆与圆的位置关系(培优课程讲义例题练习含答案)

点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系 1.已知⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与⊙O 位置关系各是怎样的?【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．连接PO ，QO ，RO ．∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴ PO ＝2222435PD OD r +=+==．∴ 点P 在⊙O 上． 222223435QO QD OD QD r =+=+>+==，∴ 点Q 在⊙O 外．2222223435RO RD OD RD r =+=+<+==，∴ 点R 在⊙O 内．【总结升华】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．类型二、直线与圆的位置关系2.（•武汉模拟）如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A （3，0）的⊙A 被y 轴截得的弦长BC=8，如图，解答下列问题：（1）⊙A 的直径为；（2）请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形，则⊙D 的圆心D 的坐标为；⊙D 与x 轴的位置关系是，⊙D 与y 轴的位置关系是，⊙D 与⊙A 的位置关系是；【答案与解析】解：（1）半径==5，所以直径为10.（2）（﹣5，6）；相离；相切；外切；【总结升华】本题主要考查了平移作图即图形平移变换的知识，注意图形的平移，变化的是位置，不变的是形状．举一反三：【变式】（•甘南州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是多少？【答案】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10.3.（·中山月考）如图所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作⊙P．(1)当r=7cm时，试判断⊙P与OB位置关系；(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【思路点拨】（1）过点P作PC⊥OB于点C，根据直角三角形的性质求出PC的长，再比较出PC与r的大小即可；（2）根据⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【答案与解析】解（1）过点P作PC⊥OB于点C，∵∠AOB=30°，∴11126()7.22PC OP cm cm ==⨯=＜∵PC＜r,∴⊙P与OB相交；（2）∵⊙P与OB相离，∴0＜r＜PC,∴0cm ＜r＜6cm.【总结升华】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键. 类型三、三角形的外接圆4.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.【思路点拨】由垂径定理知，点D为AB中点，且AC=BC；再由中位线定义知，DE 12BC，DF12AC，从而可得四边形CEDF 为菱形.【答案与解析】四边形CEDF 为菱形.证明：∵AB 为弦，CD 为直径所在的直线，且AB ⊥CD ，∴AD=BD ，∠ADC=∠CDB ，在△ADC 和△BDC 中，==AD BD ADC BDC CD CD ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ADC ≌△BDC （SAS ）∴AC=BC.又∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点，D 为AB 中点， DF=CE=12AC ，DE=CF=12BC ， ∴DE=DF=CE=CF ，∴四边形CEDF 为菱形.【总结升华】本题主要考查外接圆与其他知识的综合.举一反三：【变式】如图，已知，在△ABC 中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.【答案】如图，连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接DB.由三角形内角和得，∠C=180°－70°－50°=60°.又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°，在Rt △ABD 中，∠DAB=30°，AB=10，由勾股定理得，AD=3 ∴半径AO=3即△ABC 外接圆⊙O 的半径为3O BACD类型四、圆与圆的位置关系5. 如图所示，⊙O 的半径为5，点P 为⊙O 外一点，OP ＝8．求：(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O相切，则⊙P 的半径为多少?(2)当⊙P 与⊙O 相交时，⊙P 的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P 与⊙O 外切时，则有5+r ＝8，∴ r ＝3．当⊙P 与⊙O 内切时，则有r -5＝8，∴ r ＝13．∴ 当r ＝3或13时，⊙O 与⊙P 相切．(2)当⊙P 与⊙O 相交时，则有| r -5|＜8＜r+5，解得3＜r ＜13，即当3＜r ＜13时，⊙P 与⊙O 相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d ＝R+r 和d ＝R -r (R ＞r )，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，则O 1O 2的长是( )A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 1与⊙O 2外切时，d ＝O 1O 2＝R+r ＝3+2＝5(cm)；当⊙O 1与⊙O 2内切时，d ＝O 1O 2＝R-r ＝3-2＝1(cm)．故选C.点、直线、圆与圆的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( ).A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交2.（•集美区一模）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．5 B．6 C．7 D．83.一个点与定圆上最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则此圆的半径是( ).A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.13cm或5cm4．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆5．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部6．（•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7 x+12=0的两根，则此Rt△ABC的外接圆的半径为_________．8.（•杭州模拟）已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是_____．9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，以点C为圆心，作半径为R的圆，则当_____时，⊙O和直线AB相交.10．如图，OA=OB，点A的坐标是(-2,0),OB与x轴正方向夹角为60°，则过A，O, B三点的圆的圆心坐标是____________.11．（秋•榆阳区校级期末）已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 . 12．（•临清市二模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm∕s的速度，沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．三、解答题13. （•齐齐哈尔模拟）已知圆O的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD的长为多少？14．（秋•集美区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．15．（秋•滨州期末）如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】如图，过C作CD⊥AB于点D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴1142(cm)22CD BC==⨯=，又⊙C的半径为2cm，即d＝r，∴直线AB与⊙C相切．2．【答案】A；【解析】∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，∴OP＜6．故选A．3．【答案】A；【解析】如图，定点P与定圆⊙O的位置关系有两种：内部与外部.当P在圆内时，直径为9+4=13cm，半径为6.5cm;当P在圆外时，直径为9-4=5cm，半径为2.5cm.4．【答案】C；【解析】任意不在同一直线的三点确定一个圆，五个点中任取三个点,共有10种情况.5.【答案】B；【解析】因为方程有实根，所以△=b2-4ac=4-4d≥0，即d≤1，所以有d≤r，所以点在圆上或圆内. 6．【答案】B；【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．二、填空题7．【答案】2.5；【解析】解：解方程x2-7x+12=0，得：x1=3，x2=4，即两直角边AC、BC是3或4，根据勾股定理得：斜边长为：5，也就是Rt△ABC的外接圆直径为5，∴Rt△ABC的外接圆的半径为2.5．8．【答案】不能确定；【解析】设以QP为直径的圆为⊙O，则⊙O的半径为QP，如果OA＞QP，那么点A在圆O外；如果OA=QP，那么点A在圆O上；如果OA＜QP，那么点A在圆O内；∵题目没有告诉OA与QP的大小关系，∴以上三种情况都有可能，所以不能确定点A与圆的位置关系.9．【答案】R＞4.8 ；【解析】利用三角形的面积不变性，先求出斜边上的高，再求相交时的半径满足的要求即可. 10．【答案】(-1,3 )；【解析】如图，11.【答案】2或9.【解析】如图，分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是18，因而半径是9；②当点P在圆外时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是4，因而半径是2．故此圆的半径为2或9．12．【答案】4或8；【解析】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间==4（秒）；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间==8（秒）．故答案为4或8．三、解答题13. 【答案与解析】解：如图，∵直径AB=4，∴OB=2，∵OC⊥AB，∴∠COB=90°，∵点D与圆O上各点所连接线段最短为1，∴BD=1，当点在⊙O外，OD=OB+BD=2+1=3，在Rt△COD中，CD==；当点在⊙O内，OD′=OB﹣BD′=2﹣1=1，在Rt△COD中，CD′==，∴CD的长为或．故答案为或．14. 【答案与解析】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．15. 【答案与解析】解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．。

第二章-直线与圆的位置关系培优提高(含详解)

C D第二章直线与圆的位置关系培优提高卷一、仔细选一选。

（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，两个半圆，大半圆中长为16cm 的弦AB 平行于直径CD ，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（）A ．64π2cmB ．32π2cmC ．16π2cmD ．128π2cm2．如图，已知AB 、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧BC 的中点，DE 垂直于AC ，交AC 的延长线于E ，连接BC ，若DE =6cm ，CE =2cm ，下列结论正确的是（）①DE 是⊙O 的切线；②直径AB 长为20cm ；③弦AC 长为15cm ；④C 为弧AD 的中点. A . ①②④ B .①③④ C . ①② D .②③3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （－4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1（O 为坐标原点），点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（） ABC ．D ．34．如图，在Rt △AOB中，OA =OBO 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 的最小值为（） A B ．2 C D 5．如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，圆周角AMB =，EF 切⊙O 于C ，交P A 、PB 于E 、F ，PEF 的外心在PE 上，P A =3.则AE 的长为（）A .B .C . 1D .二、认真填一填。

（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．如图，在平面直角坐标系中，已知点E 和F 的坐标分别为E （0，－2）、F 0），P 在直线EF 上，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，使得∠APB =60°，若符合条件的点P 有且只有一个，则⊙O 的半径为．∠6034-3和直角梯形EBCD13．如图，已知⊙P的半径为上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的．14．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．三、全面答一答。

个性化练习培优1】直线与圆位置关系

直线与圆位置关系(培优1)1.(2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是（）A ．12B ．1C ．2D ．32.（2011浙江温州，10，4分）如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2，则正方形ABCD 的边长是( )A ．3B ．4C ．22+D ．223.（2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为ba ab +的是（）4.（2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（）A. 13B.5C. 3D.25.（2011山东东营，12，3分）如图，直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。

若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ． 56.等腰⊿ABC 中，AB=AC ，点O 是底边BC 中点，以O 为圆心的⊙O 与AB 边相切于点D 。

求证：AC与⊙O 相切7.(2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm 的两个点,A B 在在线l 上，它们分别以2 cm/s 和1 cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点,A B 分别平移到点11,A B 的位置时，半径为1 cm 的1A 与半径为1BB 的B 相切，则点A 平移到点1A 的所用时间为 s.l A B8.如图，某海域直径为30海里的暗礁区中心A 有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B 处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，•但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C 处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号．（1）若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航行的方向应改变的角度至多为北偏东（90°－α），求sin α的值；（2）当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船改变的角度至多为南偏东多少度？9.当060α<<°°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A ()2sin 30sin 3αα+︒=B ．()2sin 302sin 3αα+︒=C ．()2sin 303sin cos ααα+︒+ ⑴ 正确的选项是；⑵ 如图1，ABC △中，1AC =，30B ∠=︒，A α∠=，请利用此图证明⑴中的结论；⑶ 两块分别含45︒和30︒的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，82BD =ADC S △.图1α30°CB A图2D C BA10、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，求证：CD 2 = CE 2＋DA ·DE ．ABC1O E 2O。

时直线与圆的位置关系配套练习必修

时直线与圆的位置关系配套练习必修SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第14课直线与圆的位置关系分层训练1．直线10x y ++=与圆2242x y x y +-+10+=的位置关系为：（）()A 相离 ()B 相切 ()C 相交但直线不过圆心()D 相交且直线过圆心2．圆 222430x y x y +++-=到直线10x y ++=的点共有（）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3．圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为C ，若90ACB ∠=，则F 的值是（）()A -()B ()C 3 ()D 3-4．若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是（）()A 在圆上 ()B 在圆外()C 在圆内 ()D 不能确定5．过圆上一点(3,4)P 作圆2225x y +=的切线，该切线的方程为．6．与直线3y x =+垂直，且与圆228x y +=相切的直线方程是．7．圆224440x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长等于．8．过(2,4)M 向圆22(1)(3)1x y -++=引切线，求切线方程并求切线长。

9．一个圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦长为30x y -=上，求该圆的方程．拓展延伸10．已知直线2360x y ++=与圆222x y x ++ 60y m -+=（其圆心为点C ）交于,A B 两点，若CA CB ⊥，求实数m 的值．11．自点(3,3)P -射出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线方程．本节学习疑点：第14课时直线与圆的位置关系 1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．。

必修Ⅱ系列训练直线与圆圆与圆的位置关系

必修Ⅱ系列训练直线与圆圆与圆的位置关系必修II 系列训练12：直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题：1、直线4x-3y-2=0与圆0114222=-+-+y x y x 的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都不对2、经过点)1,2(-M 作圆522=+y x 的切线，则切线的方程为（）A. 52=+y xB. 052=++y xC. 052=--y xD. 052=++y x3、平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）A. 052=+-y xB. 052=--y xC. 052052=-+=++y x y x 或D. 052052=--=+-y x y x 或4、圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 外切，则m 的值为（）A. 2B. -5C. 2或-5D. 不确定5、圆0222=++x y x 和0422=-+y y x 的公共弦所在直线方程为（）A. x-2y=0B. x+2y=0C. 2x-y=0D. 2x+y=0二、填空题：6、若圆822=+y x 和圆04422=-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________________7、集合(){}(){}22222)4()3(,,4,r y x y x B y x y x A =-+-==+=，其中r>0，若B A 中有且仅有一个元素，则r 的值是____________8、已知圆4)2()1(:22=-+-y x C 及直线l ：x-y+3=0，则直线l 被圆C 截得的弦长为________________9、若经过两点)2,0(),0,1(B A -的直线l 与圆1)()1(22=-+-a y x 相切，则a=________三、解答题：10、求与圆014222=++-+y x y x 同心，且与直线012=+-y x 相切的圆的方程。

直线与圆的位置关系培优练习

8. 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，那么该三角形为__ ______. 9. 如图，Py ＝32x 上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y ) (1)求⊙P 与直线x ＝2相切时点P 的坐标；(2)请直接写出⊙P 与直线x ＝2相交、相离时x 的取值范围.10.如图，形如量角器的半圆O 的直径DE ＝12cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC =12cm .半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上.设运动时间为t (s )，当t =0(s )时，半圆O 在△ABC 的左侧，OC ＝8cm .问：当t 为何值时，△ABC 的一边．．所在的直线与半圆O 所在的圆相切？思考：如图，在□ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝15㎝．⊙O 的半径等于3㎝，AB ，AD 分别与⊙O 相切于点E ，F ．⊙O 在□ABCD 内沿AB 方向滚动，与BC 边相切时运动停止．试求⊙O 滚过的路程．考点2：切线，想到_ _ ，得到_ .11. 如图，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，假设∠BCD=40°，那么∠ABC ＝_____________.12.如图，⊙M 与x 轴相交于点A (2，0)，B (8，0)，与y 轴相切于点C ，那么圆心M 的坐标是___________.13.如图，在同心圆O 中，大圆的弦AB 与小圆相切,假设大圆的半径是13cm ，弦AB ＝24cm ，那么小圆的半径是_______.14.如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 的切线PC 与AB 的延长线交于P ，那么____.15.如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠P ＝50°，那么∠ACB ＝__ _.A E变式：①P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB＝___________.②如图，P A，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，假设∠BAC=25°，那么∠P= .16.〔11 衢州〕木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B，较短边AB＝8cm.假设读得BC长为a cm，那么用含a的代数式表示r为.17.〔11 苏州〕如图，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D.假设CD＝3，那么线段BC的长度等于__________.18. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与以下格点的连线中，能够与该圆弧相切的是〔〕A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)19. 如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，以下四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有〔〕A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④20．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．〔1〕求证：PM＝PN；〔2〕假设BD＝4，P A＝32AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．21．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：〔1〕∠AOC=2∠ACD；〔2〕AC2＝AB·AD．第17题第18题第19题22．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ．〔1〕假设BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；〔2〕当AB =1，BC =2时，求△DEC 外接圆的半径．23．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ，BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AC 、BC ．〔1〕△ABC 的形状是______________，理由是_________________；〔2〕求证：BC 平分∠ABE ；〔3〕假设∠A ＝60°，OA ＝2，求CE 的长．24．：OA 、OB 是⊙O 的半径，且OA ⊥OB ，P 是射线OA 上一点(点A 除外)，直线BP 交⊙O 于点Q ，过Q 作⊙O 的切线交直线OA 与点E 。