初中数学竞赛 知识点和真题 第31讲 极端原理

第31讲极端原理
我们要证明存在具有某种性质的对象，极端原
理告诉我们去找使某函数最大或最小的对象。

——A·恩格尔知识方法扫描
让我们先看一个有趣的放硬币游戏．
两人相继轮流往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。

谁放入了最后一枚硬币谁获胜。

问：先放的人有没有必定取胜的策略？
这是一个古老而值得深思的难题．当有人向一位确有才能的数学家提出这个难题时，引出了如下一段意味深长的对话：
数学家：这有什么难？如果圆桌小到只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。

提问者：这还用你讲？简直废话！
数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般问题的解决．提问者：怎么解决？
数学家：我先将第一枚硬币放在桌子的中心，利用圆桌的对称性，我就可以获胜．不管是圆桌还是方桌，也不管是桌子有多大，只要有一个对称中心就行．数学家独具慧眼，能从一般性问题中一下子找到一个极易求解的极端情形，并能将极端情形下的解法推向一般，轻而易举地解决了上述难题，而且还作了推广．
这位数学家大概是这样思考的：
一般性的问题比较复杂，先将其极端化，注意到所放硬币总数1
n≥，取其极端情形1
n=即假设桌子小到只能放下一枚硬币，得出特殊问题的解，即先占中心者为胜．然后根据圆桌的对称性，先放者把硬币放在中心位置Ｏ，若后放者把硬币放在C处，则先放者把硬币放在中心位置Ｏ的对称点C'处，这样只要后放者能放下硬币，先放者总能根据对称性，放下硬币，最后获胜．
这种思考问题的方法称为极端原理.
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值，如最大或最小的数、最大或最小距离、最大或最小边(角、面积)、得分最多或最少的队员等；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。

极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。

经典例题解析
例1设有n(n≥2)名选手进行比赛，任两选手都进行一场比赛，每场比赛均决出胜负．求证：存在选手A，使得其他的任一选手，或是输给A，或是输给被A打败的某一名选手．
证明要寻找的选手A，依直觉，应是“实力”最强的选手．因此，在这n
名选手中，设取胜的场次最多的一名选手为A(考虑极端！)．下面证明他满足题目的要求．
对其他的任一选手B ，若B 不是输给A ，即B 胜A.因B 战胜的对手不多于A 战胜的对手，故除A 、B 之外，A 战胜的对手必多于B 战胜的对手，从而，必存在选手C ，是A 战胜的，但不是B 战胜的，即B 输给被A 打败的选手C ．故结论成立．
评 注 例1的解法关键是抓住了“取胜的场次最多的一名选手”，利用这一点，解决了我们“无从着手”的难处，使解题简捷明快．
例2 把1600颗花生，分给100只猴子．证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多．并设计一种分法，使得没有5只猴子得到的花生一样多.并设计一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生.
分析与解 要使没有4只猴子得到的花生一样多，我们考虑极端情况：最经济（即所用花生数目最少）的分法是3只得0颗，3只得1颗，…，3只得32颗，还有一只得33颗，这样分需花生数3×(0+1+2+…+32)+33=1617已经超过了花生总数1600颗．所以不管怎样分，至少有4只猴子分得的花生一样多．
没有5只猴子一样多的分法是很多的，例如，对前述极端情况稍作调整可得到一种分法：4只得0颗，3只得1颗，3只得2颗，…，3只得31颗，2只得32颗，还有一只得48颗，共计3×(0+1+2+…+32)-32+48=1600(颗)，
例3 平面上给定n 个点(n ≥3)，任三点不共线，求证：在这n 个点中存在三个点A 、B 、C ，使其余n-3个点都在△ABC 之外．
分 析 此题有多种思考方法，其中最自然的想法是：面积越小的三角形，其内的点越少，而形外的点越多，所以要使其余n-3个点都在△ABC 之外，自然取面积最小的三角形．
证 明 在n 个点中任取两点B 、C ，作线段BC ，则其余n-2个点都不在BC 所在的直线上，以BC 为底边，其余n-2个点为顶点可得n-2个三角形，取面积最小的，记为△ABC 即为所求，事实上，如果△ABC 内还有—点A ′，则S BC A '∆＜S ABC ∆，这与S ABC ∆最小矛盾．
评 注 本题还可从以下几种极端状态着手：
（1）取其余n-2个点到直线BC 的距离最小的一点A ，则△ABC 即为所求；
(2)其余n-2个到BC 的视角最大的点设为A ，则△ABC 为所求；
(3)以B 为顶点，旋转BC ，首先交到的点(或说旋转角最小的点)设为A ，则△ABC 为所求．
以上四种思考方法，从不同角度取定一个几何量，在系统自身状态不断变化时考虑极端情况(最大或最小)，使问题迎刃而解．
例4 平面上有n 个点，其中任三点都可组成三角形，且其面积均不超过1，证明存在一个面积不超过4的三角形，它能覆盖住所有n 个点．
分 析 由于面积越大的三角形，覆盖的点越多，所以我
们自然地会想到：从取面积最大的三角形入手．
证 明 平面上由n 个点组成的三角形的数目是有限的，其
中必有一个面积最大的三角形，设为△ABC ，过各顶点分别作
对边的平行线，可得一个新△A ′B ′C ′.如图，
S C B A '''∆=4S ABC ∆，
∵S ABC ∆≤1，∴S C B A '''∆≤4.
平面上所有的n 个点全被△A ′B ′C ′覆盖住，否则设△A ′B ′C ′外有一点P ，则有S PBC ∆＞S ABC ∆，这与S ABC ∆最大矛盾．
评 注 由以上三例的分析、证明，我们不难发现利用极端性原理的步骤：选取适当的量——考虑极端状态——反证法证明．
例5 平面上给定n 个点，其中没有三点共线.证明:存在通过其中三个点的圆，它的内部(圆上除外)不包含任何一个已知点.
证明 给定的n 个点总存在具有最小距离的两个
点，不妨设为A 、B .以线段AB 为直径画O ，则其余的2n -个点与A 、B 的距离均不小于AB ，它们都位于O
的外面，将这2n -个点分别与点A 、B 连结，所得视角
依大小顺序排成一列，有
122180.n AP B AP B AP B -∠≤∠≤≤∠<
现过A 、B 、2n P -三点作圆(如图所示)，显然该圆内部不包含任何一个已知点，即为所求．
例6 在凸五边形ABCDE 的边和对角线中，没有互相平行的线段．延长边AB 和对角线CE ，使之相交于某个点，然后在边AB 上标上一个箭头，使之指向交点的方向．依此办法把五条边都标上箭头．求证：必有两个箭头指向五边形的同一个顶点．
证 明 考查由凸五边形的每三个相邻顶点所成的五个三角形，其中必有面积最小者．设△ABC 的面积最小．下面证明：BC 边上箭头必指向B 点．
由于DA 不平行于BC(如图)，再由S ABC ∆的最小性知S ABC ∆＜
S DBC ∆.设M 、N 分别是由A 及D 向BC 所引垂线的垂足，于是DN
＞AM ．所以，直线AD 与直线BC 交点在CB 的延长线上，且位于
B 的一方．从而，依箭头的标法，B
C 边上的箭头指向B ．
同理，AB 边上的箭头指向B ．结论得证．
例7 晚会上(2)n n ≥对男女青年双双起舞，设任何一个男青年都未与全部女青年跳过舞，而每个女青年至少与一个男青年跳过.求证:必有两男12,b b 及两女12,g g ，使得1b 与1g ，2b 与2g 跳过舞而1b 与2g ，2b 与1g 均未跳过.
证法1 记与之跳过舞的女青年数最多的男青年之一为1b ，因1b 未与全部女青年跳过，故可找到女青年2g 未与1b 跳过.因2g 至少与一个男青年跳过舞，故存在2b (1b ≠)与2g 跳过.如果凡事与1b 跳过舞的女青年都与2b 跳过，则与2b 跳过舞的P 2 P 1 P K
A B P n -2= C。