中考数学二轮复习专题练习(上)常用辅助线—倍长(类)中线新人教版

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中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，己知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（）A ．2＜AD ＜8B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜5 D ．4≤AD ≤82．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（）A ．212AB << B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB <<3．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52C ．5D ．34．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（）A．5B．7C．8D．9评卷人得分二、填空题5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，3AC=，5AD=，则AB的取值范围是________．6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，△FAD＝60°，AE平分△FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF ＝__．评卷人得分三、解答题7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．8．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，△AOB+△COD＝180︒．（1）若△BOE＝△BAO，AB＝22，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．9．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，6AB=，10AC=，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使DE AD=，连接BE．根据______可以判定ADC≌△______，得出AC=______．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在ABE△中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在ABC中，90A∠=，D是BC边的中点，90EDF=∠，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：222BE CF EF+=．【问题拓展】（3）如图3，ABC中，90B=∠，3AB=，AD是ABC的中线，CE BC⊥，5CE=，且90ADE∠=．直接写出AE的长＝______．10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD 平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．11．如图，ABC中，BD DC AC==，E是DC的中点，求证：2AB AE=．12．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED△△ABD．△请证明△CED△△ABD；△中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，△ABM＝△NBC＝△90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．13．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．14．如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．15．如图，AD 为ABC 中BC 边上的中线()AB AC >．（1）求证：2AB AC AD AB AC -<<+；（2）若8cm AB =，5cm AC =，求AD 的取值范围．16．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．17．（1）如图1，△ABC 中，AD 为中线，求证：AB +AC ＞2AD ；（2）如图2，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE △DF 交AB 、AC 于E 、F ．求证：BE +CF ＞EF ．18．定义：如果三角形三边的长a 、b 、c 满足3a b cb ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 交BC 于点D ，过点D 作DF △AC ，垂足为F ，交AB 的延长线于E ，求证：EF 是△O 的切线；（3）在（2）的条件下，若53BE CF =，判断AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．19．课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D 是ABC 边BC 的中点，5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作//BE AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE BD⊥于点E，过点A作AF AE⊥，且AF AE=，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG CG=．20．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），△延长AD到M，使得DM＝AD；△连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；△利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，△BAE＝△CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．21．如图，在△ABC中，△ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC△BC，求AB的长．22．如图，ABC∆中，3AB=，4AC=，AD为中线，求中线AD的取值范围．23．（1）方法呈现：如图△：在ABC中，若6AB=，4AC=，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE AD=，再连接BE，可证ACD EBD△≌△，从而把AB、AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图△，在ABC中，点D是BC的中点，DE DF⊥于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE CF+与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD中，//AB CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF∠的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．24．在等腰Rt△ABC中△ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中△CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2 2，求BF的长．（2）如图2，连接BE、BD、EF，当△DBE＝45°时，求证：EF＝12ED．25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD是ABC∆的中线，7,5,AB AC==求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM AD=，连接BM，易证ADC MDB∆≅∆，所以BM AC=．接下来，在ABM∆中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是；（2）如图2，AD是ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点,F且AE EF=，求证：AC BF=；（3）如图3，在四边形ABCD中，//AD BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE DE⊥，试猜想线段,,BC CD AD之间满足的数量关系，并予以证明．26．已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF AC⊥，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若2tan 2ACD ∠=． △求证：AF BF =；△连接BE ，求证：2CD BE =．（2）如图2，若2AF AB BF =⋅，求cos FDC ∠的值．27．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ，AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．经过讨论，同学们得到以下思路：如图△，添加辅助线后依据SAS 可证得△ADC △△GDB ，再利用AE ＝EF 可以进一步证得△G ＝△F AE ＝△AFE ＝△BFG ，从而证明结论．完成下面问题：（1）这一思路的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．28．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若△BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．29．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．30．在ABC ∆与CDE ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，26AC BC ==，2CD ED ==，连接,AE BE ，点F 为AE 的中点，连接DF ，CDE ∆绕着点C 旋转．（1）如图1，当点D 落在AC 的延长线上时，DF 与BE 的数量关系是：__________；（2）如图2，当CDE ∆旋转到点D 落在BC 的延长线上时，DF 与BE 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当105BCD ∠=︒时，直接写出2DF 的值．参考答案：1．B 【解析】【分析】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，先证ABD ECD ≅，得AB CE =，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围．【详解】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ， AD 是△ABC 中BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD △与ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD ECD ∴≅，5AB CE ∴==，在ACE 中，由三角形三边关系得：CE AC AE CE AC -<<+，3AC =，2AE AD DE AD AD AD =+=+=，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．C【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB =CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE =AD ，△AD 是△ABC 的中线， △BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， △△ABD △△ECD （SAS ）， △AB =CE ， △AD =7， △AE =7+7=14， △14+5=19，14-5=9， △9＜CE ＜19，即9＜AB ＜19．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 3．C【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ， ∵AB ∥CD ， ∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ） ∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5 又∵CD ＝3， ∴PD=2， △4BD =△2225BP DP BD =+= ∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ． 4．A 【解析】延长AD 到E ，使AD =DE ，证明△ADC △△EDB ，然后利用三边关系即可得出结论．【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE =4，连接BE ，△D 是BC 的中点， △BD =CD 又△BDE =△CDA △△ADC △△EDB ， △BE =AC =3由三角形三边关系得，AE BE AB AE BE -<<+ 即：511AB << 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．713AB << 【解析】【分析】延长AD 至点E ，使DE=AD ，证明ABD ECD ≅,由全等性质求出相关的线段长度，在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD 至点E ，使DE=AD ，如下图：△D 是BC 的中点 △BD =CD在ABD △和ECD 中：BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABD ECD ≅ △=AB EC △AD =5 △AE =10在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<得：713EC << 即：713AB << 故答案为：713AB << 【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键． 6．4 【解析】【分析】延长AE ，BC 交于点G ，判定△ADE△△GCE ，即可得出CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，再根据三线合一即可得到FE△AG ，进而得出Rt △AEF 中，EF ＝12AF ＝4．【详解】解：如图，延长AE ，BC 交于点G ，△点E 是CD 的中点，△DE ＝CE ，△平行四边形ABCD 中，AD△BC ，△△D ＝△ECG ，又△△AED ＝△GEC ，△△ADE△△GCE ，△CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，又△AE 平分△FAD ，AD△BC ，△△FAE ＝△DAE ＝△G ＝12△DAF ＝30°， △AF ＝GF ＝3+5＝8，又△E 是AG 的中点，△FE△AG ，在Rt △AEF 中，△FAE ＝30°，△EF ＝12AF ＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．7．(1)6a =，10b =(2)2<CD <8【解析】【分析】（1）把()()211x a x b -+-+展开，然后根据多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b的形式，可得2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB△△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：△()()211x a x b-+-+221x x ax a b=-++-+()221x a x a b=+-+-+，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b△2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，解得：610ab=⎧⎨=⎩；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，△CD是AB边上的中线，△BD=AD，在△CDB和△HDA中，△CD=DH，△CDB=△ADH，BD=DA，△△CDB△△HDA（SAS），△BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，△10-6<2CD<10+6，△2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．8．（1）2；（2）12OE CD=，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知条件△BOE＝△BAO，且公共角OBE ABO∠=∠，证明△OBE△△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得OB；（2）延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB，证明△AOF△△DOC，进而可得OF CD=，即12OE CD=【详解】（1）解：△△BOE＝△BAO，OBE ABO∠=∠，△△OBE△△ABO，△BE OBOB AB=，△AB＝22，E为AB的中点，△2BE=△222OBOB=，△2OB=（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：12OE CD=，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB.△AE BE=△四边形AFBO是平行四边形，△AF OB ∥，AF OB =，△180FAO AOB ∠+∠=︒，△△AOB +△COD ＝180︒，△FAO COD ∠=∠，△OB ＝OC ，△AF OC =，在△AOF 和△DOC 中， OA OD FAO COD AF OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOF △△ODC ，△OF CD =△12OE CD =. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键． 9．（1）SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）见解析；（3）7．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；（2）延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，根据垂直平分线的性质得到EF GF =，然后利用SAS 证明BDE CDG ≌，得到BE CG =，B DCG ∠=∠，进而得到18090ACG A ∠=︒-∠=︒,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD 交EC 的延长线于点F ，根据ASA 证明ABD FCD ∆∆≌，然后根据垂直平分线的性质得到AE CF =，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）在ADC 和EDB △中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ADC EDB SAS ≌△△， △10AC BE ==．△6AB =，△<<BE AB AE BE AB -+，即106<<106AE -+，△4<<16AE ，△4<2<16AD ，解得：2<<8AD ；故答案为：SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）如图所示，延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，△90EDF =∠，△EF GF =，在BDE 和CDG 中， BD CD BDE CDG DE GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BDE CDG SAS ≌△△， △BE CG =，B DCG ∠=∠，△AB CG ∥，△18090ACG A ∠=︒-∠=︒，△在Rt FGC △中，222CG FC FG +=，△222BE CF EF +=；（3）如图所示，延长AD 交EC 的延长线于点F ，△,AB BC EF BC ⊥⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD FCD ASA ∴∆∆≌，△3CF AB ==，AD DF =，△90ADE ∠=，△AE EF =，△538EF CE AB =+=+=，△8AE =．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．10．[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x ＜4【解析】【分析】[探究与发现]由ASA 证明△ABC △△EDC 即可；[理解与应用]（1）延长AE 到F ，使EF =EA ，连接DF ，证△DEF △△CEA （SAS ），得AC =FD ，再证△ABD △△AFD （AAS ），得BD =FD ，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB =AF =2x ，再由三角形的三边关系得AD -BD ＜AB ＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【详解】解：[探究与发现]证明：△DE△AB，△△B=△D，又△BC=DC，△ACB=△ECD，△△ABC△△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，△点E是CD的中点，△ED=EC，在△DEF与△CEA中，EF EADEF CEAED EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DEF△△CEA（SAS），△AC=FD，△△AFD=△CAE，△△CAE=△B，△△AFD=△B，△AD平分△BAE，△△BAD=△F AD，在△ABD与△AFD中，BAD FAD AD AD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△AFD （AAS ），△BD =FD ，△AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD △△AFD ，△AB =AF =2x ，△BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．见解析【解析】【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，△E 是DC 中点， △DE CE = ，△在DEF 和CEA 中，DEF CEA EF EA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△DEF CEA △≌△（SAS ），△DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，△DC AC =，△ADC CAD ∠=∠，又△ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，△ADF ADB ∠=∠，在ADB △和ADF 中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADB ADF △≌△（SAS ），△2AB AF AE == ．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．12．（1）△见解析；△19BD <<；（3）MN =2BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）△只需要利用SAS 证明△CED △△ABD 即可；△根据△CED △△ABD 可得AB =CE ，由三角形三边的关系可得CE BC BE CE BC -<<+即AB BC BE AB BC -<<+则218BE <<，再由2BE BD =，可得19BD <<；（2），延长BD 到E 使得DE =BD ，同（1）原理可证△ADE △△CDB ，得到△DAE =△DCB ，AE=CB，然后证明△BAE=△MBN，则可证△BAE△△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）△△BD是三角形ABC的中线，△AD=CD，又△△ABD=△CDE，BD=ED，△△CED△△ABD（SAS）；△△△CED△△ABD，△AB=CE，△CE BC BE CE BC-<<+，△AB BC BE AB BC-<<+即218BE<<，又△2BE BD DE BD=+=，△19BD<<；故答案为：19BD<<；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE△△CDB（SAS），△△DAE=△DCB，AE=CB，△BC=BN，△AE=BN，△△ABM=△NBC=90°，△△MBN+△ABC=360°-△ABM-△NBC=180°，△△ABC+△BAC+△ACB=180°，△△ABC+△BAC+△DAE=180°，△△BAE+△ABC=180°，△△BAE=△MBN，又△AB =BM ，△△BAE △△MBN （SAS ），△MN =BE ，△BE =BD +ED =2BD ，△MN =2BD ．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．13．（1）BF AC =；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）通过证明BEF CEA △≌△，即可求解；（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，通过≌ABF CAD 得到AF CD =，再通过AFE CDE ≌即可求解；（3）过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MG AD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，利用全等三角形的性质证明AB MT =、DM MT =，即可解决．【详解】证明：（1）BF AC =由题意可得：BE EC =在BEF 和CEA 中BE EC BEF CEA EF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BEF CEA SAS △≌△△BF AC =（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，如下图：由题意可得：CD BC ⊥，且∠=∠EAF ACD则AF BC ⊥又△AB AC =△AF 平分BAC ∠，△BAF EAF ACD ∠=∠=∠△在ABF 和CAD 中ABF DAC AB ACBAF ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABF CAD ASA ≌△AF CD =在AFE △和CDE △中 FAE DCE AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()AFE CDE AAS △≌△△AE EC =（3）证明：过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MGAD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，如下图：△AB MT ∥△ABN T ∠=∠△ANB MNT ∠=∠，AN MN =△()ANB MNT AAS △≌△△BN NT =，AB MT =△MG AD△ADN MGN ∠=∠△,AND MNG AN NM ∠=∠=△()AND MNG AAS △≌△△,AD MG DN NG ==△BD GT =△,BAN AMT DAN GMN ∠=∠∠=∠△BAD GMT ∠=∠△BAD BCD ∠=∠△BCD GMK ∠=∠△,AD BC AD GM ==△BC GM =又△MK CD =△()BCD GMK SAS △≌△△,GK BD BDC MKG =∠=∠△,GK GT MDT GKT =∠=∠△GKT T ∠=∠△DM MT =△AB MT =△DM AB =【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．（1）见解析；（2）21k k + 【解析】【分析】（1）延长CM 至点D ，使CM DM =，可证ACM BDM ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出AC BD =，根据题目已知，可证DCB NCB ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出BN BD =，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ CP =，可证CPO CQO ∆≅∆，由全等三角形的性质相等角从而得出123∠=∠=∠，进而得出45∠=∠，故可证NOB NOQ ∆≅∆等量转化即可求出CP CM 的值．【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM 中，CM DM AMC BMD AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACM BDM ∴∆≅∆，AC BD ∴=，2CM CN =，CD CN ∴=，在DCB 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, DCB NCB ∴∆≅∆，BN BD ∴=，AC BN ∴=；（2）如图所示，120AMC ∠=︒，60CMN ∴∠=︒，NP 平分MNC ∠，BCN BCM ∠=∠，1602PNC BCN AMC ∠+∠=∠=︒， 120CON ∴∠=︒，60COP ∠=︒，180CMN BOP ∴∠+∠=︒，作CQ CP =，在CPO △与CQO 中， CQ CP QCO PCO CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CPO CQO ∴∆≅∆，123∴∠=∠=∠，45∴∠=∠，在NOB 与NOQ 中，45BNO QNO NO NO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，NOB NOQ ∴∆≅∆，BN NQ ∴=，CN CP NB ∴=+，2CM CP AC∴=+，设AC a=，CP ka∴=，(1)2a kCM+=，21CP kCM k∴=+．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（1）2AB AC AD AB AC-<<+，（2）31322AD<<【解析】【分析】（1）延长AD至E，使AD DE=，连接BE，然后再证明ACD EBD△≌△，根据全等三角形的性质可得AC BE=，再根据三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE-<<+，利用等量代换可得2AB AC AD AB AC-<<+；（2）把8cmAB=，5cmAC=代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长AD至E，使DE AD=，连接BE，△AD为ABC中BC边上的中线，△DC BD=，在ACD△和EBD△中：DC BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△(SAS)ACD EBD ≌△△，△AC BE =（全等三角形的对应边相等），在ABE △中，由三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE -<<+，即2AB AC AD AB AC -<<+；（2）解：△8cm AB =，5cm AC =，由（1）可得2AB AC AD AB AC -<<+，△85285AD -<<+，△31322AD <<．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，△AD是△ABC的中线，△D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，BD CDADB PDCAD PD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD△△PCD(SAS)，△AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，△2AB AC AD+>；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，△H为DE中点，D、E为BC三等分点，△DH=EH，BD=DE=CE，△DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH CHBHA CHQAH QH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABH△△QCH(SAS)，同理可得：△ADH△△QEH，△AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，△AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，△AC +CQ ＞AK +QK ，又△AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，△AK +QK ＞AE +QE ，△AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，△AB =CQ ，AD =EQ ，△AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ， △M 为DE 中点，△DM =EM ，△BD =CE ，△BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△ABM △△NCM (SAS )，同理可证△ADM △△NEM ，△AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，△AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，△AC +CN ＞AT +NT ，又△AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，△AT +NT ＞AE +NE ，△AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，△AB =NC ，AD =NE ，△AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 至点E ，使ED AD =．由AD 为中线可知BD CD =，即易证()ABD ECD SAS ≅，得出AB EC =．利用三角形三边关系可知AC EC AE +>，即可证明2AC AB AD +>．（2）延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG，EG ．由AD 为中线可知BD CD =．即易证()BDE CDG SAS ≅，得出BE CG =．由题意可得90EDF GDF ∠=∠=︒，即易证()EDF GDF SAS ≅，得出EF GF =．利用三角形三边关系可知CG CF FG +>，即可证明BE CF EF +>．【详解】（1）如图，延长AD 至点E ，使ED AD =．△AD 为中线，△BD CD =．△在ABD △和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABD ECD SAS ≅，△AB EC =．△在ACE 中，AC EC AE +>，△2AC AB AD +>．（2）如图，延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG ，EG ．△AD 为中线，△BD CD =．△在BDE 和CDG 中，BD CD BDE CDG ED GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()BDE CDG SAS ≅，△BE CG =．△DE DF ⊥，△90EDF GDF ∠=∠=︒， △在EDF 和GDF 中，90ED GD EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，△()EDF GDF SAS ≅，△EF GF =．△在CFG △中，CG CF FG +>，△BE CF EF +>．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．18．（1）5或8；（2）见解析；（3）AEF 是“匀称三角形”，见解析【解析】【分析】（1）设第三边长为x ，利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于3a b c b ++=等式中，4，6，x 均有可能为等式右边的“b ”，所以需要分三类讨论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边”，故最终答案为5或8；（2）要证明EF 为O 切线，连接OD ，由于OD 是O 半径，只需要证明OD EF ⊥，又由于DF AC ⊥，所以只需要证明//OD AC ，又由于O 为AB 中点，只需要证明D 为BC 的中点，因为AB 是O 直径，所以AD BD ⊥，又因为AB AC =，所以D 为BC 的中点，即可证明；（3）因为D 为BC 的中点，仿照“中线倍长”模型，过B 作BM EF ⊥于M ，如图2，或者在DE 上截取DM DF =，构造BMD CFD ≅，所以BM CF =，将53BE CF =转化成53BE BM =，因为//BM AC ，所以BEM AEF ∽，可以得到53AE BE AF BM ==，设5AE x =，则3AF x =，利用勾股定理求出4EF x =，满足定义，即可证明．【详解】解：（1）解：设第三边长为x ，△当4663x ++=时，解得8x =， △当463x x ++=是，解得5x =， △当4643x ++=时，解得2x =， 246+=，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以△舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD ，AD ，AB是O直径，AD BC∴⊥，AB AC=，D∴为BC的中点，即BD CD=，O为AB中点，//OD AC∴，12OD AC=，DF AC⊥，90AFD∴∠=︒，//OD AC，90ODE AFD∴∠=∠=︒，OD EF⊥∴，OD是O半径，EF∴是O的切线；（3）解：AEF∆是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM EF⊥于M，90BMD CFD ∴∠=∠=︒，在BMD 和CFD △中，BMD CFD BDM CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BMD CFD AAS ∴≅，BM CF ∴=，53BE CF =， ∴53BE BM =， 90BMD CFD ∠=∠=︒，EBM EAF ∴∽，∴53BE AE BM AF ==，设5AE x =，则3AF x =，∴224EF AE AF x =-=，54343x x x x ++=， ∴3AE EF AF EF ++=， AEF ∴是“匀称三角形”．【点睛】本题是一道圆的综合题，由新定义的结论，要注意分类讨论和根据三角形三边关系对答案进行取舍，在几何证明中，要注意利用相似转化线段比的思想，比如本题中“53BE BE AE FC BM AF ===”的转化． 19．（1）14AD <<；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知证明BDE ADC △≌△，进而求得AC BE =，根据三角形三边关系即可求得AD 的取值范围；（2）过点B 作//BM FC 交FE 的延长线于M ，证明ABE ACF ≌，得CF BE =，再证明BM CE =，进而证明BMG CFG △≌△，即可证明BG CG =【详解】（1）//BE ACE EAC∴∠=∠,BDE ADC BD CD∠=∠=∴BDE ADC△≌△3AC BE∴==AB BE AE AB BE-<<+，即228AD<<14AD∴<<（2）如图，过点B作//BM FC交FE的延长线于M，23∴∠=∠AF AE=,AF AE⊥,445AEF∴∠=∠=︒,1180180904545AEB AEF∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,,,90AB AC AE AF BAC EAF==∠=∠=︒BAC EAC EAF EAC∴∠-∠=∠-∠即BAE CAF∠=∠∴ABE ACF≌CF BE∴=，90AEB AFC∠=∠=︒390445∴∠=︒-∠=︒3445,AEF AE BD∠=∠=∠=︒⊥23145∴∠=∠=∠=︒BE BM∴=BM CF∴=又BGM CGF∠=∠,BMG CFG ∴△≌△BG CG ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．20．（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可求的；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，。

新人教版八年级数学倍长中线法专题练习卷(含答案)

新人教版八年级数学倍长中线法专题练习卷(含答案)XXX老师的精品教辅资料能够帮助你获得更好的成绩。

以下是一份倍长中线法专题练卷。

一、选择题1.在平行四边形 ABCD 中，将 AB 延长到点 E，使得 BE = AB，连接 DE 并交 BC 于点 F。

以下哪个结论不一定成立。

A。

∠E = ∠XXXB。

EF = DFC。

AD = 2BFD。

BE = 2CF2.在▱ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，AD 和 BE 的延长线交于点 F，DF = 3，DE = 2.则▱ABCD 的周长为A。

5B。

7C。

10D。

143.在□ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE 并延长至交 CD 延长线于点 F。

则△EDF 与△BCF 的周长之比是A。

1:2B。

1:3C。

1:4D。

1:54.在平行四边形 ABCD 中，AB = 4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点 E，与 DC 交于点 F，且点 F 为边 DC 的中点，DG ⊥ AE，垂足为 G，若 DG = 1，则 AE 的边长为A。

23B。

43C。

4D。

8二、填空题5.在平行四边形 ABCD 中，AB = 5，AD = 3，AE 平分∠DAB 交 BC 的延长线于 F 点，则 CF = ____________。

6.在▱ABCD 中，E 是 BA 延长线上的一点，AB = AE，连接 CE 并交 AD 于点 F，若 CF 平分∠BCD，AB = 3，则BC 的长为 ____________。

三、解答题7.在□ABCD 中，E 是边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，(1) 求证：△ADE ≌△FCE；(2) 若∠BAF = 90°，BC = 5，EF = 3，求 CD 的长。

8.已知四边形 ABCD 是平行四边形，E 在 AB 的延长线上，且 BE = AB，求证：BD = EC。

9.在□ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，AE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 F。

初中数学三角形中的辅助线之倍长中线专项训练题(附答案详解)

初中数学三角形中的辅助线之倍长中线专项训练题（附答案详解）1．在ABC 中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点 D 作DF ⊥ DE ，交直线BC 于点F，连接EF．（1）如图1，当 E 是线段AC 的中点时，设AE a, BF b ，求EF 的长（用含a, b 的式子表示）；（2）当点 E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF，BF 之间的数量关系，并证明．2．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ ADC ≌△ GDB，再利用AE＝EF 可以进一步证得∠ G＝∠ FAE＝∠ AFE＝∠ BFG，从而证明结论．思路二如图 ②，添加辅助线后并利用 AE ＝EF 可证得∠ G ＝∠ BFG ＝∠ AFE ＝∠ FAE ，再依据 AAS 可以进一步证得△ ADC ≌△ GDB ，从而证明结论．完成下面问题：1）①思路一的辅助线的作法是：② 思路二的辅助线的作法是：2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E 使DE=AD ，再连接 BE （或将△ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD ），把 AB ， AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线 AD 的取值范围是 _______ ；（ 2）问题解决：如图②，在 △ABC 中， D 是BC 边上的中点， DE ⊥DF 于点 D ，DE 交AB 于点 E ，DF 交 AC 于点 F ，连接 EF ，求证： BE+CF > EF ；（ 3）问题拓展：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ B+∠D=180°，CB=CD ，∠BCD=14°0 ，以 C为顶点作如图①，在 △ABC 中，若 AB=10 ， AC=6 ，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 3．阅读一个 70°角，角的两边分别交 AB ，AD 于 E ，F 两点，连接 EF ，探索线段 BE ， DF ， EF 之间的数量关系，并加以证明．4．问题提出( 1)如图， AD 是 ABC 的中线，则 AB AC ____________ 2 AD ；(填“ ”“ ”或 ( 2)如图，在矩形 ABCD 中， CD 3,BC 4，点 E 为 BC 的中点，点 F 为CD 上任意一点，当 AEF 的周长最小时，求 CF 的长；问题解决( 3)如图，在矩形 ABCD 中，AC 4,BC 2，点O 为对角线 AC 的中点，点P 为 AB 使折线 OPQB 的长度最小？若存在，请确定点 Q 的位置，并求出折线 OPQB 的最小长度；若不存在，请说明理由．5．如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上任意点， AF 平分∠EAD ，交 CD 于点 F ．(1) 如图 1，若点 F 恰好为 CD 中点，求证： AE=BE+2CE ；CE(2) 在(1)的条件下，求的值；BC(3) 如图 2，延长 AF 交 BC 的延长线于点 G ，延长 AE 交 DC 的延长线于点 H ，连接 HG ，当 CG=DF 时，求证： HG ⊥ AG ．上任意一点，点 Q 为 AC 上任意一点，连接 PO 、 PQ 、 BQ ，是否存在这样的点 Q ，6．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA OB, OC OD , AOB COD 90 ，连接AC ,BD ．1)如图1,若A、O、D三点在同一条直线上，则AC与BD的关系是2)如图2，若A、O、D三点不在同一条直线上, AC与BD相交于点E，连接OE,猜想AE、 BE、 OE 之间的数量关系，并给予证明；3) 如图3，在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF ，直接写出AD与OF 之间的关系．7．如图，在△ABC中，AB=AC ，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA ，BE ⊥AD 于点E，取BE 的中点F，连接AF ．(1) 若AC= 15 ，AE= 3，求BE的长；(2) 在( 1)的条件下，如果∠D=45°，求△ABD 的面积．(3) 若∠ BAC= ∠DAF ，求证：2AF=AD ；1）如图 1，若 AEF B ， AE AF ，求 B 的度数；AF2）如图 2 ，若E 是AB 的中点， EC EF ，求 AF 的值；AC3）如图 3，若 AEF B ，点 A 是线段CF 的中点，求证： AB EF9．如图 1， ABC ， AED 都是等腰直角三角形， ABC E 90 ， AE AB b ，且 a b ，点 D 在 AC 上，连接 BD ，BD c ．1）如果 c 5 a ；2①求 a 的值；b②若 a ，b 是关于 x 的方程 x 2 2）如图 2，将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 90a ，1 2 2 3mx 215 m 2 25m 35 0的两根，求 m ；135 F 在 CA 的延长线上①在 BC 上方，与 A 、D 、E 同一平面内找一点 F ，使四边形 BCDE 的面积 S 四边形 BCDE 与四边形 BCFE 的面积 S 四边形BCFE 相等，并简要说明寻找点 F 的作法； ②若S 四边形BCDE S △ ABE 50 ，直接写出 BE 的长 10．阅读材料，解答下列问题．如图 1，已知△ ABC 中， AD 为中线．延长 AD 至点 E ，使 DE=AD ．在△ ADC 和△EDB 中，AD=DE ，∠ADC=∠EDB ，BD=CD ，所以，△ACD ≌△EBD ，进一步可得到 AC=BE ， AC//BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图 2，在△ ABC 中， AD 是三角形的中线，点 F 为 AD 上一点，且 BF=AC ，连结并延长 BF 交 AC 于点 E ，求证： AE=EF ．11．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①， △ABC 中，若 AB=12 ， AC=8 ，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BE.根据 SAS 可证得到 △ADC ≌△EDB ，从而根据 “三角形的三边关系 ”可求得 AD 的取值范围是．解后反思：题目中出现 “中点”中“线 ”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中 .直接运用）如图②， AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ，AF 是ACD 的边CD 上中线 .求证： BE=2AF.（灵活运用）如图③，在 △ABC 中，∠ C=90°，D 为AB 的中点， DE ⊥DF ，DE 交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE 、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.12．如图，分别以ABC 的边向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG，若O 为EG 的2（2）AO BC ．13．如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥ ．14 ．如图所示，，是的中点，，，求证．15 ．已知：如图所示，AD 平分，M 是BC 的中点，MF//AD ，分别交CA 延长线，AB 于F、E．求证：BE=CF ．16．已知：AD 是的中线，AE=EF ．求证：AC=BF ．探究倍延三角形的一条中线，我们可以发现一些有用的结论.已知，如图 1 所示，AD 为△ABC 的中线，延长AD 到E,使AD=DE, 连接BE、CE.（2）请再写出两条不同类型的结论.解决问题如图所示2，分别以△ABC 的边AB 和AC 为边，向三角形的外侧作两个等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE, ∠BAD = ∠ CAE=90° ，点M 为BC 的中点，连接DE,AM, 试问线段AM 、DE 之间存在什么关系？并说明理由.18．如图1，在Rt ABC中，BAC 90 ，ABC 60 ，AB 4 3，M 是BC 边的中点，MN BC交AC 于点N .将直角PMQ 绕顶点M 旋转，使得边MP 与线段BA 交于点P ，边MQ与线段AC交于点Q.1）求证： PBM 与 QNM 相似；2）设 BP 的长为 x ，Rt APQ 的面积为 S ，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；3）探究 BP 2、 PQ 2、 CQ 2三者之间的数量关系，并说明理由 ABC 中， AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点， EF ∥AD 交CA21．如图所示， ABC 中， D 为 BC 的中点， AB 6,AC 4，求 AD 的取值范围．22．如图所示， AD 为 ABC 的角平分线， E,F 分别在 BD,AD 上， DC DE ，若23．如图所示，在 ABC 中， AD 为中线， BAD 90 ,AB 2AD ，求 DAC的求证： AD 为 BAC 的平分线 . BF 交AD, AC 分别于 E,F ，如果19．如图所示，在BE AC ，求证： AF EF EF ∥AB度数．90 ，D为AB 的中点，E、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD 于D .求证：AE2BF2EF2.25．如图，在ABC 中，BAC BCA AD是边BC上的中线，延长BC至E，使BC EC ，求证：AE 2AD .26．如图，AB AE ，AD AC ，BAE DAC 180 ，点F 为DE 的中点，的延长线于点F ，ABC的中线，AG HG .求证：BH AC.中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA 交AB 于点G ，若BG CF ，求证：BAC 2 BAD .参考答案1．（1）a2b2；（2）图见解析，EF2AE2BF2，证明见解析．【解析】分析】11）先根据中位线定理和线段中点定义可得DE //BC ，DE BC，CE AE a，再根据平行四边形的性质、2矩形的判定与性质可得DE CF ，从而可得CF BF b ，然后利用勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得EAD GBD，DEA DGB ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得ED GD ，AE BG ，然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF FG ，最后在Rt BGF 中，利用勾股定理、等量代换即可得证．【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点∴ DE 为ABC 的中位线，且CE AE a1∴ DE //BC ，DE BC2∵ C 90∴ DEC 180 C 90∵ DF DE∴ EDF 90∴四边形DECF 为矩形∴ DE CF11CF BC （BF CF）22∴ CF BF b则在Rt CEF 中，EF CE2 CF2a2 b2；（2）过点B作AC 的平行线交ED 的延长线于点G，连接FG ∵ BG//AC∴ EAD GBD ，DEA DGB∵D是AB 的中点∴ AD BD∴ EAD GBD ( AAS)ED GD ， AE BG又∵ DF DE∴DF 是线段 EG 的垂直平分线∴ EF FG∵ C 90 ， BG// AC∴ GBF C 90在 Rt BGF中，由勾股定理得： FG 2 BG 2 BF 222 ∴ EF 2 AE 2BF 2．【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（ 2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．2．（1）①延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接 BG ；②作BG ＝BF 交AD 的延长线于点 G ；（2）详见解析【解析】【分析】（1）①依据 SAS 可证得△ ADC ≌△ GDB ，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠ G ＝∠ FAE ＝ ∠ AFE ＝∠ BFG ，从而证明结论．②作 BG ＝BF 交 AD 的延长线于点 G ．利用 AE ＝ EF 可证得∠ G ＝∠ BFG ＝∠ AFE ＝∠ 在 EAD 和 △ GBD 中，EAD GBD DEA DGB AD BDFAE，再依据AAS可以进一步证得△ ADC ≌△ GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC 交AD 的延长线于G，证明△ ADC≌△ GDB （AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠ BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG ＝AD ，连接BG，如图① ，理由如下：∵AD 为△ABC 中线，∴BD＝CD，AD=DG在△ ADC 和△GDB 中，ADC＝ GDB ，CD BD∴△ ADC≌△ GDB （SAS），∴ AC ＝BG ，∵AE＝EF，∴∠ CAD＝∠ EFA，∵∠ BFG＝∠ G，∠ G＝∠ CAD，∴∠ G＝∠ BFG ，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG ＝AD ，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵ BG ＝ BF ，∴∠ G ＝∠ BFG ， ∵AE ＝EF ，∴∠ EAF ＝∠ EFA ， ∵∠ EFA ＝∠ BFG ，∴∠ G ＝∠ EAF ，（2）作 BG ∥AC 交AD 的延长线于 G ，如图③所示：则∠ G ＝∠ CAD ，∵AD 为△ABC 中线，∴BD ＝CD ，CAD ＝ G在△ADC 和△GDB 中， ADC ＝ GDB ，CD BD∴△ ADC ≌△ GDB （ AAS ），∴ AC ＝ BG ，∵AE ＝EF ， ∴∠ CAD ＝∠ EFA ，∵∠ BFG ＝∠ EFA ，∠ G ＝∠ CAD ，∴∠ G ＝∠ BFG ，∴BG ＝BF ，在△ ADC 和△ GDB 中， CAD ＝ GADC ＝ GDB ，CD BD∴△ ADC ≌△ GDB （ AAS ），∴ AC ＝ BG ，∴AC ＝BF ；故答案为：作 BG ＝BF 交 AD 的延长线于点 G ；∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS 、ASA 、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．3．（1）2<AD<8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF ；理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD 至E，使DE=AD ，由SAS证明△ACD ≌△ EBD ，得出BE=AC=6 ，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；（2）延长FD 至点M，使DM=DF ，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△ CFD，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM > EM 即可得出结论；（3）延长AB 至点N，使BN=DF ，连接CN，证出∠NBC= ∠ D，由SAS 证明△NBC ≌△ FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=7°0 =∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△ FCE，得出EN=EF ，即可得出结论．详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD ，连接BE，如图①所示：∵ AD 是BC 边上的中线，∴ BD=CD ，在△BDE和△CDA 中，BD=CD ，∠ BDE= ∠ CDA ，DE=AD ，∴△ BDE ≌△ CDA （SAS），∴ BE=AC=6 ，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE<AE<AB+BE ，∴10﹣6<AE <10+6，即4<AE<16，∴2<AD <8；故答案为2<AD <8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF ，连接BM 、EM ，如图②所示：同（1）得：△BMD ≌△ CFD （SAS），∴ BM=CF ，∵DE ⊥DF，DM=DF ，∴EM=EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE+BM >EM ，∴ BE+CF >EF；（3）解：BE+DF=EF ；理由如下：延长AB 至点N，使BN=DF ，连接CN，如图3所示：∵∠ ABC+ ∠ D=180°，∠ NBC+ ∠ ABC=18°0 ，∴∠ NBC= ∠D，在△NBC和△FDC 中，BN=DF ，∠NBC = ∠D，BC=DC，∴△ NBC≌△ FDC （SAS），∴ CN=CF ，∠NCB= ∠FCD，∵∠ BCD=14°0 ，∠ ECF=70°，∴∠ BCE+∠ FCD=70° ，∴∠ ECN=7°0 =∠ ECF，在△NCE 和△FCE 中，CN=CF ， ∠ ECN= ∠ ECF ， CE=CE ， ∴△ NCE ≌△ FCE （SAS ），∴ EN=EF ，∵ BE+BN=EN ，∴ BE+DF=EF ．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理 .4．（1）＞；（2）CF 1；（ 3）当点 Q 与AC 的中点 O 重合时，折线 OPQB 的长度最小，最小长度为 4．【解析】【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出 AB EC ，再根据三角形的三边关系定理即可得；（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出 AB 3, B BCD 90 , AB//CD ，从而可得 AE 的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出 AEF 的周长最小时，点 F 的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线时， B ,Q,P,O 四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出BAC 30 ，AB 2 3， AO 2 ，然后利用轴对称的性质、角的和差可得 AB 2 3, AO 2，BAO 90 ，由此利用勾股定理可求出 B O 的长，即折线 OPQB 的最小长度；设 B O 交 AC 于点 Q ，根据等边三角形的判定与性质可得 AQ 2 ，从而可得 AQ AO ，由此即可得折线 OPQB 的长度最小时，点 Q 的位置．OPQB 的长度最小详解】(1) 如图，延长AD ，使得DE AD，连接CE AD 是ABC 的中线BD CDAD ED在△ ABD 和ECD 中，ADB EDCBD CDABD ECD (SAS)AB EC在△ ACE 中，由三角形的三边关系定理得：EC AC AE ，即EC AC AD AB ACDE 2AD故答案为：；（2）如图，作点E关于CD 的对称点G ，连接FG，则CE CG四边形ABCD 是矩形，CD 3,BC 4AB CD 3, B BCD 90 , AB //CDDC 垂直平分EGEF FG点 E 是BC 的中点12BE CE BC2CE2，BG BC CG 6AE AB2 BE213，CG则AEF 的周长为AE EF AF13EF AF13FG AF要使AEF 的周长最小，只需FG AF由两点之间线段最短可知，当点A, F,G 共线时，FG AF 取得最小值AGAB//CD∴ FCG ABGFC CG FC 2∴，即AB BG 3 6解得CF 1；3）如图，作点B关于AC的对称点B ，作点O关于AB的对称点O，连接AB,QB,AO,PO,BO ，则QB QB,OP OP∴折线OPQB 的长度为OP PQ QB O P PQ QB由两点之间线段最短可知，OP PQ QB BO ，当且仅当点B,Q,P,O 四点共线时，折线OPQB 取得最小长度为B O∵在矩形ABCD中，AC 4, BC 2, ABC 90BAC 30 ，AB AC2 BC 2 2 3∵点O为AC 的中点1∴ AO AC 2 2∵点 B 与点B′关于AC对称，点O与点O 关于AB 对称B AC BAC 30，AB AB 2 3O AB BAC 30 ，AO AO 2BAO BAC BAC O AB 90B O AB 2 AO 2 (2 3)2 22 4设BO交AC于点Q在Rt ABO 中，AO 2,B O 4AB O 30AOB 90 ABO 60 ，即 AO Q 60又∵ O AQ BAC O AB 60∴ △ AO'Q' 是等边三角形∴ AQ AO 2∵ AO 2AQ AO∴点 Q 与 AC 的中点 O 重合综上，当点 Q 与AC 的中点 O 重合时，折线 OPQB 的长度最小，最小长度为 4．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题( 3)，利用轴对称的性质正确找出折线 OPQB 的最小长度是解题关键．15． (1)见解析； (2) ； (3)见解析 4【解析】分析】1)延长 BC 交 AF 的延长线于点 G ，利用“ AAS ”证△ ADF ≌△ GCF 得AD ＝CG ，据此知 CG ＝BC ＝BE ＋CE ，根据 EG ＝ BE ＋CE ＋CE ＝BE ＋2CE ＝AE 即可得证；(2) 设 CE ＝a ，BE ＝b ，则 AE ＝ 2a ＋ b ，AB ＝ a ＋ b ，在 Rt △ ABE 中，由 AB 2＋BE 2＝AE 2 可得 b ＝ 3a ，据此可得答案；结合∠ AFD ＝∠ HFG ，知△ ADF ∽△ HGF ，从而得出∠ ADF ＝∠ FGH ，根据∠ ADF ＝90°即可得证．【详解】3）连接 DG ，证△ ADF ≌△ DCG 得∠ CDG ＝∠ DAF ，再证△ AFH ∽△ DFG 得 AF FH DF FG解：(1)如图1，延长BC交AF 的延长线于点G，∴∠ DAF=∠ G，又∵AF平分∠DAE，∴∠ DAF=∠ EAF，∴∠ G=∠ EAF，∴EA=EG，∵点F为CD 的中点，∴CF=DF，又∵∠ DFA=∠ CFG，∠FAD=∠G，∴△ ADF≌△ GCF (AAS)，∴AD=CG，∴CG=BC=BE+CE，∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，在Rt△ABE 中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3 a，b=﹣a(舍)，CE a 1∴BC a b 4(3) 如图2，连接DG，∴△ ADF≌△ DCG （SAS），∴∠ CDG=∠ DAF ，∴∠ HAF =∠ FDG ，又∵∠ AFH=∠DFG ，∴△ AFH∽△ DFG，∴AF FH ，DF FG ，又∵∠ AFD=∠HFG ，∴△ ADF∽△ HGF，∴∠ ADF =∠ FGH ，∵∠ ADF =90°，∴∠ FGH =90°，∴AG⊥GH．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点．6．（1）AC BD且AC BD；（2）AE BE 2OE ；证明见解析；（3）AD 2OF 且AD OF ．【解析】【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C'进行角的等量代换进行分析即可；（2）根据题意在AE 上截取AM BE ,连接OM ，并全等三角形的判定证明BOCAOCBOD 和 AMO BEO ，进而利用勾股定理得出 OM 2 OE 2 ME 2进行分析求解即可；（3）过点B 作BM ∥OC ，交OF 的延长线于点 M ，延长 FO 交AD 于点 N ，证明?BFM?? CFO ， ? AOD ?? OBM ，进而即可得到结论．【详解】∴ AOC BOD (SAS), AC BD ，延长 AC 交 BD 于点 C '，如下图：故答案为： AC BD 且 AC BD ；2 AE BE 2OEAOC BOD 在 AOC 和 BOD 中解： 1 ∵ OA OB,OC OD , AOBCOD 90 ，∵ AOC BOD , ACO BCC ，ACO CAO BCC CBC90 , BC C 90 ，即 AC BD ，综上 AC BD 且 ACBD，证明:在 AE 上截取 AM BE ,连接 OMAOB BOC CODAO BOAOC BODOC ODAOC BOD SASCAO DBO 在AMO 和BEO 中AM BEMAO EBOAO BOAMO BEO SASOM OE, AOM BOEAOM MOB 90BOE BOM 90OM 2 OE2 ME 2 即2OE2 ME22OE MEME MA AE2OE BE AE ；3 AD 2OF 且AD OF ，理由如下：过点B作BM ∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD 于点N，∵BM ∥OC，∴∠ M= ∠FOC，∵∠ BFM= ∠ CFO，BF=CF,∴?BFM ?? CFO（AAS ），∴ OF=MF ，BM=CO ，∵ DO=CO ，∴ DO=BM ，∵BM ∥OC，∴∠ OBM+ ∠ BOC=180 °，∵∠ BOC+ ∠AOD=360 °-90°-90°=180°，∴∠ OBM= ∠AOD ，又∵ AO=BO ，∴? AOD ?? OBM （SAS），∴ AD=OM=2OF ，∠ BOM= ∠OAD ，∵∠ BOM+ ∠AON=180 ° -90° =90°，∴∠ OAD+ ∠AON=90 °，即OF⊥ AD ．∴ AD 2OF 且AD OF ．点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.7．（1）2 3 ；（2）9；（3）见详解解析】分析】1）在Rt△AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；2）由∠ D ＝45°可证得BE＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；3）如图，延长AF 至M 点，使AF＝MF，连接BM ，首先证明△ AEF≌△ MFB，再证明△ABM ≌△ACD 即可．∴∠ EAB+∠ABM ＝180详解】1）解：∵ AB ＝AC ，AC ＝ 15 ， ∴AB ＝ 15 ，∵BE ⊥AD ，AE ＝ 3，∴EF ＝BF ，在△ AEF 和△ MBF 中，AF FMAFE BFMEF BF∴△ AEF ≌△ MBF (SAS )，∴∠ FAE ＝∠ FMB ，∴AE ∥MB ，∴在 Rt △ AEB 中， BE AB 2 AE 2 ( 15) 2 ( 3)22）解：∵ BE ⊥AD ， ∠ D ＝ 45°，∴∠ EBD ＝∠ D ＝45°，∴BE ＝DE ＝ 2 3，∴ AD ＝ AE+DE ＝ 3∴S ABD 12AD BE 2 12 3 3 2 39；AF 至 M 点，使 AF ＝MF，连接 BM ，3）证明：如图，延长∴∠ ABM＝180°﹣∠ BAD，又∵ AB＝AC，DB＝DA ，∴∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BAD ，∴∠ ACD ＝180°﹣∠ ACB，∴∠ ABM＝∠ ACD ．又∵∠ BAC＝∠ DAF ，∴∠ BAC﹣∠ MAC ＝∠ DAF ﹣∠ MAC ，∴∠ 1＝∠ 2．在△ ABM 和△ ACD 中，12AB AC ，ABM ACD∴△ ABM≌△ ACD （ASA），∴AM＝AD，又∵ AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．AF 18．（1）B 36 ；（2）；（3）证明见解析．AC 2【解析】【分析】（1）设B x，则AEF D B x ，则由题意可得BAC ACB 2x，利用三角形内角和定理即可求解；（2）过E作EG / / BC ，交AC于G点，可利用全等三角形的性质判定可得FEA≌CEG 即可求解；（3）延长BA至G，使得AG AB，连结GF，可利用全等三角形的性质判定可得AGF ≌ABC 则G B，FG BC从而得出G AEF即可证明AB EF ．详解】解：（1）设B x ，则AEF D B x ，AE AF ，BAC ACB 2x ，在ABC 中，2x 2x x 180 ，x 36 ，即B 36 ；（2）如图1，过E作EG//BC，交AC于G点，则AG GC ，E是AB的中点，EG//BC，11AE AB BC EG ，22EAG EGA，EF EC ，EFC ECF ，FEA CEG ，在FEA 和CEG 中，EF ECFEA CEGAE EGFEA ≌CEG（SAS），FA GC ，即FA AG GC ，AF 1；AC 2；（3）证明：如图2，延长BA至G，使得AG AB，连结GF，点A为CF 的中点，AF AC ，在AGF 和ABC 中，AF ACFAG CAB ，AG ABAGF ≌ABC（SAS），G B，FG BC ，AEF B ，G AEF EF FG ，即EF BC AB ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定．作辅助线构造三角形全等是解题关键．a29．（1）①；② m 1；（2）①说明寻找点F的作法见解析；② BE 10．b3【解析】【分析】（1）①延长ED 交BC 于F ，根据勾股定理建立等式即可求出答案；a2②由根与系数的关系求出a+b 及ab，利用①即可用m 分别表示 a 与b，再整理求出mb3即可得到答案；（2）①取CD的中点O ，连接EO并延长EO至F ，连接CE 、DF 、BF 、CF ，则四边形ECFD为平行四边形，CF DE且CF∥DE，CE DF 且CE∥DF，根据平行四边形的性质得到S CDE S CFE ，即可证得结论；②利用平行四边形的性质根据SAS证明△EAB≌△ FCB ，得到BEF 为等腰直角三角形，根据S四边形BCDE S△ABE 50，求出S△BEF 50即可求出答案25详解】1）解：①如图 1，延长 ED 交BC 于F ，∴ m 1符合题意，∴ m 1；DF b a ， BF a ，2 2 2在 Rt △DHB 中由勾股定理得， a 2 (b a)2 c 2 ，又∵ c 5a∴ (a 2b)(3a 2b) 0 ，又∵ a b ，∴ a 2∴ b 3；②由根与系数的关系ab m 由 a ba 2 m ，b3，解得 a 2 3m b m ， 5 562 1 2 2 3 ∴m m m 25 255 5 整理得， 2m 2m 30解得 m 1 3， m 2 1， ∵ a b m 0，1 2 2 3 m m ， 25 5 5 当 m 1时，方程为 x 2 x0 ，这个方程有两个不相等的正根， ∴ a 2b 或 3a 2b ， ∴ m 1，50，2）解：①如图 2，取 CD 的中点 O ，连接 EO 并延长 EO 至 F ，使 OE=OF ，连接 CE 、DF 、 BF 、 CF ，则四边形 ECFD 为平行四边形， CF DE 且 CF ∥DE ， CE DF 且 CE ∥DF ，②∵ CE ∥DF ，∴∠ EFC=∠DEF=90° ，∵∠ ABC=90° ， ∴∠ BCF+ ∠ BAF= ∠ BAF+ ∠ BAE=180° ， ∴∠ BCF= ∠ BAE ， ∵ CF=DE=AE ， BC=BA ， ∴ △EAB ≌△ FCB (SAS) ， ∴ EB=FB ，∠ ABE= ∠CBF, ∴∠ EBF=90°，∴ BEF 为等腰直角三角形，∴ S △BEF 50 ，1∴ BE BF 50 ．2∴ BE BF 10 ．【点睛】S 四边形BCDE S △BCE S △ CDE S △ BCE S △CFE S 四边形 BCFE ；S 四边形BCDE S △ ABE ∴ S CDE S CFE此题考查勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意综合解题方法的应用，正确掌握各部分知识是解题的关键.10．详见解析【解析】【分析】延长AD 到M，使DM=AD ，连接BM，根据SAS 推出△BDM ≌△ CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，∠ CAD= ∠M，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出∠ BFM= ∠M，求出∠ AFE= ∠ EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD ，并连结BM ，∵ AD 是三角形的中线，∴ BD CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD,BDM CDA,DM DA,∴ △MDB≌△ ADC ，∴ AC MB ，BMD CAD ，∵ BF AC ，∴ BF BM ，∴ BMD BFD ，BFD EFA ，BMD CAD ，EFA EAF ，即AE EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．11．（1）2<AD <10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ ADC ≌△ EDB ，得到BE=AC=8 ，再根据三角形的构成三角形得到AE 的取值，再根据 D 为AE 中点得到AD 的取值；（2）延长AF 到H，使AF=HF ，故△ADF≌△HCF，AH=2AF ，由AB ⊥AC，AD ⊥ AE ，得到∠ BAE+ ∠CAD=180 °，又∠ ACH+ ∠CAH+ ∠AHC=18°0 ，根据∠ D= ∠ FCH，∠ DAF= ∠CHF ，得到∠ ACH+ ∠ CAD=18°0 ，故∠ BAE= ACH ，再根据AB=AC ，AD=AE 即可利用SAS证明△ BAE ≌△ ACH ，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD ，连结GA ，GE ，证明△ DBF≌△ DAG ，故得到FD=GD ，BF=AG ,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠ EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵ △ADC ≌△EDB，∴ BE=AC=8 ，∵ AB=12 ，∴12-8<AE<12+8，即4<AE <20，∵ D 为AE 中点∴2<AD <10；（2）延长AF到H，使AF=HF ，由题意得△ADF ≌△ HCF ，故AH=2AF ，∵AB ⊥AC，AD ⊥AE，∴∠ BAE+ ∠ CAD=180 °，又∠ ACH+ ∠ CAH+ ∠ AHC=18°0 ，∵∠ D=∠FCH ，∠ DAF= ∠CHF，∴∠ ACH+ ∠ CAD=18°0 ，故∠ BAE= ACH ，又AB=AC ，AD=AE∴△ BAE ≌△ACH （SAS），故BE=AH, 又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF 为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD 到点G，使DG=FD ，连结GA，GE，由题意得△ DBF≌△ ADG，∴ FD=GD ，BF=AG ,∵DE⊥DF，∴ DE 垂直平分GF,∴ EF=EG,∵∠ C=90°，∴∠ B+∠ CAB=90° ，又∠ B=∠ DAG ，∴∠ DAG + ∠ CAB=90°∴∠ EAG=9°0 ，故EG2=AE 2+AG2，∵ EF=EG, BF=AG∴ EF2=AE 2+BF2，则以线段AE、BF、EF 为边的三角形为直角三角形此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解 .12．（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）如图，延长 AO 到 M ，使 OM=AO ，连接 GM ，延长 OA 交 BC 于点 H ．根据全等三角形的性质得到 AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠ MGA+ ∠GAE=180 °，根据正方形的性质得到 AG=AB ，AE=AC ，∠ BAG= ∠ CAE=90 °，根据全等三角形的性质得到 AM=BC ，等量代换即可得到结论；（ 2）根据全等三角形的性质得到∠ M= ∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠ EAO= ∠ ACB ，求得∠ AHC=90 °，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】OM=AO ，连接 GM ，延长 OA 交 BC 于点 H ．∴ OG=OE ，∴△ AOE ≌△ MOG （SAS ）， ∴ AE=MG ，∠ MGO= ∠AEO ，∴∠ MGA+ ∠ GAE=180∵四边形 ABFG 和四边形 ACDE 是正方形，∴ AG=AB ，AE=AC ，∠ BAG= ∠ CAE=90 °，∴ AC=GM ，∠ GAE+ ∠BAC=180 °，解：（1）如图，延长 AO 到 M ，使在△ AOE 与△ MOG 中， AO OMAOEOE MOG ， OG点睛】∵O 为EG 的中点，∴∠ BAC= ∠ AGM ，AG AB在△ AGM 与△ ABC 中，AGM BAC，GM AC∴△ AGM ≌△ ABC （SAS ），∴ AM=BC ，∵ AM=2AO ，1∴ AO BC ；2（2）由（1）知，△ AOE ≌△ MOG ，△ AGM ≌△ ABC ，∴∠ M= ∠ EAO ，∠ M= ∠ACB，∴∠ EAO= ∠ACB，∵∠ CAE=90 °，∴∠ OAE= ∠ CAH=90 °，∴∠ ACB+ ∠ CAH=90 °，∴∠ AHC=90 °，∴AH ⊥BC．即AO BC .【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．见解析【解析】【分析】延长到，使，连结，易证≌，可得，，然后根据及可得，问题得证.【详解】延长到，使，连结，利用易证≌，∴，．又，∴，∴，∴，∵ 平分，∴，∴，∴∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键.14．见解析【解析】【分析】延长AM 到F，使MF＝AM ，交CD 于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF ≌△ CAD，可得出∠ BAF ＝∠ ACD ，再结合条件可得到∠ ANC ＝90°，可证得结论．【详解】证明：延长AM 到F，使MF＝AM ，交CD于点N，∵BM ＝EM，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴BF＝AE，∠ ABF＋∠ BAE ＝180°，∵∠ BAC＝∠ DAE ＝90°，∴∠ CAD ＋∠ BAE ＝180°，∴∠ ABF ＝∠ CAD ，∵BF＝AE，AD ＝AE，∴BF＝AD，在△ABF 和△CAD 中，∴△ ABF ≌△ CAD （SAS），∴∠ BAF ＝∠ ACD ，∵∠ BAC ＝90°，∴∠ BAF＋∠ CAF ＝90°，∴∠ ACD＋∠ CAF ＝90°，∴∠ ANC ＝90°，∴AM ⊥CD ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠ BAF＝∠ ACD 是解题的关键．15．见解析.【解析】【分析】过B作BN ∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD ，AD 平分∠ BAC 可得∠ F＝∠ DAC= ∠BAD ＝∠ BEM ，∠ BEM ＝∠ N，所以BE ＝BN＝CF. 【详解】证明：过 B 作BN∥AC 交EM 延长线于N 点，∵BN∥AC，BM ＝CM，∴∠ BMN ＝∠ CMF ，∠ N＝∠ F，∴△BMN ≌△CMF ，∴CF＝BN，又∵ MF//AD ，AD 平分∠ BAC ，∴∠ F＝∠ DAC= ∠BAD ＝∠ BEM ，∴∠ BEM＝∠ N，∴BE＝BN ＝CF.【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．见解析.【解析】【分析】延长AD 到M，使AD＝DM ，连接BM，根据SAS证△ADC ≌△ MDB ，推出BM ＝AC，∠CAD ＝∠ M，根据AE ＝EF，推出∠ CAD ＝∠ AFE ＝∠ BFD ，求出∠ BFD ＝∠ M ，再根据等腰三角形的性质证明即可．【详解】证明：延长AD 到M，使AD ＝DM ，连接BM，∵ AD 是△ABC 中线，∴CD＝BD，∵在△ADC 和△MDB 中，∴△ ADC ≌△ MDB （SAS），∴BM ＝AC ，∠ CAD ＝∠M，∵AE ＝EF，∴∠ CAD＝∠ AFE，∵∠ AFE＝∠ BFD，∴∠ BFD ＝∠ CAD ＝∠ M ，∴BF＝BM ＝AC，即AC＝BF．【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．17．探究（1）见解析；（2）见解析；解决问题：ED=2AM，AM⊥ ED；证明见解析.【解析】【分析】探究（1）先证明四边形BEAC 是平行四边形，即可完成；（2）根据（1）所得的平行四边形，写两条性质即可；解决问题：ED=2AM ，AM⊥ED.延长AM 到G，使MG=AM ，连BG，则ABGC 是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE ≌△ ABG ，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM ，∠BAG=∠EDA，再延长MG 交DE于H，因为∠ B4G+ ∠DAH=90 °，所以∠ HDA+ ∠DAH=90 °这样就证明了AMLED ；【详解】解：探究（1）∵ AD 为△ABC 的中线，∴BD=DC 又∵AD=DE∴四边形ABEC是平行四边形∴AB ∥CE（2）∵四边形ABEC是平行四边形∴ BE=AC,BE ∥AC，∠BAC=∠BEC 等写两个即可解决问题：ED=2AM，AM⊥ED证明：延长AM到G，使MG=A，M 连BG，则ABGC是平行四边形，再延长M4交DE于H. ∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=18°0又∵∠ DAE+∠BAC=18°0 ，∴∠ABG=∠DAE.∴△DAE≌△ABG ∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA.延长MA交DE于H，∵∠ BAG+∠DAH=9°0 ，∴∠ HDA+∠DAH=9°0 .AM⊥ED.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的应用；做出辅助线，证得平行四边形和全等三角形是解答本题的关键.解析】分析】3）利用M 是BC 边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系【详解】（1）PBM QNM .证明：∵MQ MP ，MN BC ，∴PMB PMN90，QMN PMN90 ，PMB QMN. ∵ PBM C 90 ，QNM C90 ，PBM QNM，∴ PBM QNM .（2）在Rt ABC中，BAC 90 ，ABC 60，AB4 3 ，∴ C 30，BC83 ，AC12.∵M是BC边的中点，∴BM CM 4 3 . 在Rt NMC 中，NMC90 ，C30，CM 4 3 ，∴ MN4，CN 8，∴ AN AC CN 4.又∵BPx，AP 4 3 x.由（1）得PBM QNM ；∴BP BM，即x43 NQMN，NQ4NQ3，∴x ，∴AQ AN NQ43，x，33S 1AP AQ143x43x3x 2 x830x 4 3 223618．（1）PBM QNM 2）S 3 x28 3 0 x6 4 3 （3）BP2 CQ2 PQ21）由同角的余角相等证得PMB QMN 及PBM QNM 即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出AC、BC ，再由相似比求出NQ ，并进一步得出AQ ，最后由面积公式得出S 与x 的函数关系式；2 2 2（3）BP2 CQ2 PQ2.理由如下：如图2，延长PM ，使P'M PM .∴M 是BC的中点，∴ BM CM .∵ PMB P'MC，∴ BMP CMP '，∴ BP CP' ，B MCP'. ∵ B ACB 90 ，∴ MCP' ACB 90 ，∴CP'2 CQ2 P'Q2，则BP2 CQ2 P'Q2.∵P'M PM ，QM PM ，∴ PQ P'Q ，∴ BP2 CQ2 PQ2.【点睛】本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.19．见解析【解析】【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△ BEG≌△ CEH，即可求得∠ F=∠FGA，即可求得∠ CAD =∠BAD ，即可解题．【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴∠ BEG=∠ CEH，在△BEG和△CEH 中，BE＝CEBEG＝CEH ，GE＝EH∴△ BEG≌△ CEH（SAS），∴∠ BGE=∠ H，∴∠ BGE=∠ FGA=∠H，。

专题12 倍长中线问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题12 倍长中线问题【规律总结】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【典例分析】例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4【答案】B【分析】先延长AD 到E ，且AD DE =，并连接BE ，由于ADC BDE ∠=∠，BD DC =，利用SAS 易证ADC EDB ≌，从而可得AC BE =，在ABE △中，再利用三角形三边的关系，可得28AE <<，从而易求14AD <<．【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，则AE=2AD ，∵AD DE =，ADC BDE ∠=∠，BD DC =，∵ADC EDB ≌()SAS ，3BE AC ∴==，在AEB △中，AB BE AE AB BE -<<+，即53253AD -<<+，∵14AD <<．故选：B ．【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．例2．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，在△ABC 中，△ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC△BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．【答案】4【分析】根据垂直的定义得到∵BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．【详解】∵ DC∵BC ，∵ ∵BCD=90︒，∵ ∵ACB=120︒，∵ ∵ACD=30︒，如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，∵ D 为 AB 的中点，∵ AD=BD ，在 ΔADH 与 ΔBCD 中，CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ ΔADH∵ΔBCD(SAS)，∵ AH=BC=4，∵AHD=∵BCD=90°，∵点A 到CD 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．例3．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）在ABC ∆与CDE ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，AC BC ==2CD ED ==，连接,AE BE ，点F 为AE 的中点，连接DF ，CDE ∆绕着点C 旋转．（1）如图1，当点D 落在AC 的延长线上时，DF 与BE 的数量关系是：__________；（2）如图2，当CDE ∆旋转到点D 落在BC 的延长线上时，DF 与BE 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当105BCD ∠=︒时，直接写出2DF 的值．【答案】（1）12DF BE =；（2）具有，证明见解析；（3）14或8- 【分析】（1）；当点D 落在AC 的延长线上时，∵ADE=90º，点F 为AE 的中点，直角三角形斜边中线的性质12DF AE =，再证∵ACE∵∵BCE （SAS ）利用性质得AE=BE 即可；（2）成立（具有）延长ED 到点G ，使DG ED =，连接,AG CG ，由点F 为AE 的中点，可知DF 是EAG ∆的中位线，有结论12DF AG =，先证()CDE CDG SAS ∆≅∆，再证()CBE CAG SAS ∆≅∆，BE AG =即可；（3）分两种情况∵BCD 再BC 的左边与右边，构造Rt∵ECH ，∵HCE =60º或Rt∵CGE ，∵GCE=30º，CH=12BE 2，再用（1）结论即可．【详解】（1）当点D 落在AC 的延长线上时，∵ADE=90º，∵点F 为AE 的中点，∵AF=EF=FD ， ∵12DF AE =， ∵BC=AC ，∵ACB=90º，CD=DE ，∵CDE=90º，∵∵DCE=∵DEC=45º，∵∵BCE=∵BCD+∵DCE=90º+45º=135º，∵∵ACE=360º-∵ACB -∵BCE=360º-90º-135º =135º=∵BCE ，∵CE=CE ，∵∵ACE∵∵BCE （SAS ），∵AE=BE ， ∵12DF AE =，故答案为：12DF AE =；（2）成立（具有）证明：延长ED 到点G ，使DG ED =，连接,AG CG ，∵点F 为AE 的中点，∵DF 是EAG ∆的中位线， ∵12DF AG =， ∵90CDE ∠=︒，CD ED =，∵45DCE ∠=︒，∵,,90CD CD DG ED CDE CDG ==∠=∠=︒，∵()CDE CDG SAS ∆≅∆，∵,45CE CG DCE DCG =∠=∠=︒，∵90ECG ∠=︒，∵,,90CB CA CE CG BCE ACG ACE ==∠=∠=︒+∠，∵()CBE CAG SAS ∆≅∆，∵BE AG =， ∵12DF BE =；（3）14或8-过E 作EH∵BC 于H ，∵在Rt∵ECD 中，，∵∵BCD=105º，∵∵HCE=105º-∵DCE=60º，∵CH=12=∵BC=∵BH=BC -CH=，∵FD 2=()(22222111BE 8444BH EH ⎡⎤=+=+=-⎢⎥⎣⎦延长BC ，过E 作EG∵BC 于G ，∵∵BCD=105º，∵DCE=45º，∵∵GCE=180º-∵ACD -∵DCE=30º，∵GE=12∵BG BC CG =+==∵FD 2=()(22222111BE 14444BG GE ⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦．综上所述，2DF 的值为14或8-【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．【好题演练】一、单选题1．（2021·全国八年级）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE ⊥交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF +与EF 的大小关系为( )A ．BE CF EF +<B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF +>D ．以上都有可能【答案】C【分析】如图，延长ED 到T ，使得DT ＝DE ，连接CT ，TF ，证明∵EDB∵∵TDC （SAS ），推出BE ＝CT ，由CT ＋CF ＞FT ，可得BE ＋CF ＞EF ．【详解】解：如图，延长ED 到T ，使得DT DE =，连接CT ，TF ．DE DT =，DF ET ⊥，EF TF ∴=，在EDB ∆和∆TDC 中，DB DC EDB TDC DE DT =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EDB TDC SAS ∴∆≅∆，BE CT ∴=，CT CF FT +>，BE CF EF ∴+>，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．（2020·四川绵阳富乐国际学校）如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】 ①根据面积法可得ABE ACE S AB S AC ∆∆=，ABE ACE S BE S CE∆∆=，从而可得①正确；②由AD 是中线，无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故可判断②错误；③运用SAS 证明ADC MDB ∆≅∆得AC MB =，在AMB ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，运用SAS 证明AFN AFC ∆≅∆得NF CF =，在BNF ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．【详解】解：①过E 作EG AB ⊥于G ，EH AC ⊥于H ，过A 作AK BC ⊥于K ，AE ∵是BAC ∠角平分线，EG AB ⊥，EH AC ⊥，EG EH ∴=，1212ABEACE AB EG S AB S AC AC EH ∆∆⋅∴==⋅ AK BC ⊥，12ABE S BE AK ∆∴=⋅， 12ACE S CE AK ∆=⋅ 1212ABE ACEBE AK S BE S CE CE AK ∆∆⋅∴==⋅ AB EB AC EC∴=，故①正确； ②180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒180()BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠+∠，AE ∵平分BAC ∠，1190()22BAE CAE BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒-∠+∠， AD 是中线，∴无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故②错误； ③延长AD 到M 使DM AD =，连接BM ，AD 是中线，BD CD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD ADC MDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC MDB SAS ∴∆≅∆AC MB ∴=在AMB ∆中，AB BM AM AB BM -<<+2AM AD DM AD =+=，AC BM =，2AB AC AD AB AC ∴-<<+11()()22AB AC AD AB AC ∴-<<+，故③正确； ④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，AE ∵是角平分线，NAF CAF ∴∠=∠，在AFN ∆和AFC ∆中，AN AC NAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFN AFC SAS ∴∆≅∆，NF CF ∴=，在BNF ∆中，BF NF BN -<，BN AB AN AB AC =-=-BF CF AB AC ∴-<-，即AB CF AC BF +>+，故④正确；综上①③④正确．故选B ．【点睛】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．二、填空题3．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，MN 分别是AD 、BC 边上的点，将四边形ABNM 沿直线MN 翻折，使得点A 、B 分别落在点'A 、'B 处，且点'B 恰好为线段CD 的中点，''A B 交AD 于点G ，作DP MN ⊥于点P ，交''A B 于点Q ．若4AG =，则PQ =________．【答案】5【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解．【详解】如图，连接B BB ' ，延长NB AD '、交于点F ，则CNB FDB ''△△≌，CB N FB D DGB '''∠=∠=∠，根据翻折的性质可得FMN 为等腰三角形，EFM EFN ∠=∠，作FE MN ⊥于点E ，设DB B C x ''==，则正方形边长为2x ，则BB MN '==，54BN x =，52FM FN x ==，32CN FD x ==，1124,4,,4444x x x DG x GM AM A M FG '∴=-=-===- 由A MG FB G ''△△∽，得A M MG FB FG '='，则444511444x x x x -=-，解得6x =，则159216,,,8,222B C B N CN DG DM ''=====，PD DM ∴== 设CBB NFE MFE MDP α'∠=∠=∠=∠=，则1tan 2B C BC α'==，设CB N DGB β''∠=∠=，则3tan 4NC B C β=='，此时作QH GD ⊥，,tan tan QH QH GH DH βα==， 128tan tan 5QH QH QH βα+=⇒=，则QD ==，5PQ PD DQ ∴=-=．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，综合性比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就是结合图中构造出的全等或相似，准确列式计算也是本题的一个关键点．4．（2020·成都市树德实验中学九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．【答案】83【分析】延长BE ，AD 交于Q ，已知8AB =，12BC =，则10CF ==，因为E 为CD 中点，即可得()QDE BCE AAS ∆∆≌，通过QNF BNC ∆∆∽，根据对应边成比例可得FN 、CN 的长；同理延长CF ，BA 交于点W ，即可求出CM 的长，即可得MN ．【详解】解：延长BE ，AD 交于Q ，∵四边形ABCD 为矩形，12BC =，∵90BAD ∠=︒，12AD BC ==，//AD BC ，∵F 为AD 中点，∵6DF AF ==，在Rt CDF ∆中，8CD AB ==，由勾股定理得：10CF =，∵//AD BC ，Q EBC ∠=∠，E 为CD 中点，8CD =，∵4DE CE ==，在QDE ∆与BCE ∆中，DQE CBE DEQ CEB DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()QDE BCE AAS ∆∆≌，∵12DQ BC ==，即18QF DQ DF =+=，∵//AD BC ，∵QNF BNC ∆∆∽，∵32FN QF CN BC ==， ∵CF 10=，∵365FN CF ==，245CN CF ==，延长CF ，BA 交于点W ，∵F 为DA 中点，∵DF AF =，在AFW ∆与DFC ∆中，AWF DCF AFW DFC AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AFW DFC AAS ∆∆≌，∵8AW CD ==，∵16BW BA AW =+=，10CF NF ==，∵20CW =，∵//AB CD ，∵CME WMA ∆∆∽， ∵12CM CE WM AW ==，∵12033CM CW ==， ∵MN FN CM CF =+-206103=+- 83=，即MN 的长度为83．【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型．三、解答题5．（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解：（1）如图1，在ABC 中，若10AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使得AD DE =，再连接BE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边关系即可判断中线AD 的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>．（3）问题拓展：如图3，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，延长DA 至E ，使得AC BE =，求证：CAD BED ∠=∠．【答案】（1）28AD <<；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图1延长AD 到点E ，使得AD DE =，再连接BE ，由AD 为中线，推出BD=CD ，可证∵ACD∵∵EBD （SAS ）得AC=EB ，在ABE △中，由三边关系4<2AD<16即可，（2）如图2延长FD 到G ，使DG=FD ，连结BG ，EG 由D 为BC 中点，BD=CD 可证∵FCD∵∵GBD （SAS ）得FC=GB ，由DE DF ⊥，DF=DG 得EF=EG ，在∵BEG 中由三边关系，（3）如图3，延长AD 到G 使DG=AD ，连结BG ，由D 是BC 边上的中点，得BD=CD ，可证∵ACD∵∵GBD （SAS ）得AC=GB ，∵DAC=∵G ，利用BE=BG 即可推得答案，【详解】（1）如图1延长AD 到点E ，使得AD DE =，再连接BE ，∵AD 为中线，∵BD=CD ，在∵ADC 和∵ EDB 中，∵CD=BD ，∵ADC=∵EDB ，AD=ED ，∵∵ACD∵∵EBD （SAS ），∵AC=EB=6，△，ABE∵AB-BE<AE<AB+BE，∵4<2AD<16，∵2<AD<8，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，由D为BC中点，BD=CD，在∵FDC和∵GDB中，∵CD=BD，∵FDC=∵GDB，FD=GD，∵∵FCD∵∵GBD（SAS），∵FC=GB，⊥，DF=DG，∵DE DF∵EF=EG，+>，在∵BEG中EG<EB+BG，即BE CF EF（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D是BC边上的中点，∵BD=CD，在∵ADC和∵GDB中，∵CD=BD，∵ADC=∵GDB，AD=GD，∵∵ACD∵∵GBD（SAS），∵AC=GB，∵DAC=∵G，∵BE=AC，∵BE=BG，∵∵BED=∵G=∵CAD．【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，6．（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）在等腰Rt AOB和等腰Rt DOC中，AD M为AD中点，连OM．∠=∠=，连,AOB DOC︒90（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；△旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说（2）将图1中的COD明理由．【答案】(1)OM=12BC，理由见解析；（2）（1）结论成立，理由见解析【分析】（1）延长OM至E，使ME=MO，连接DE，AE，可判断四边形AODE为平行四边形，得到AO=DE，根据三角形，四边形内角和定理，结合条件可判定∵BOC∵∵EDO，得到BC=OE，进而得出结论；（2）延长MO至E，使ME=OM,连接DE，AE利用（1）中的方法即可得出结论．【详解】（1）解：OM=12BC，理由如下：如图OM至E，使ME=OM，连接DE，AE∵AM=DM，EM=OM，∵四边形AODE为平行四边形，∵AO=DE，又∵AO=BO，∵OB=DE，∵∵BOC+∵AOD=360°－∵COD －∵AOB=180°，又∵EDO+∵DOA=180°，∵∵BOC=∵EDO ，又OC=OD ，在∵BOC 和∵EDO 中，OC OD BOC EDO OB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BOC∵∵EDO ，∵BC=OE ，又∵OM=12OE ∵OM=12BC ；（2）（1）中结论任然成立，理由如下：延长OM 至E ，使ME=MO ，连接DE ，AE∵AM=DM ，EM=OM ，AODE 为平行四边形，∵AO=DE又∵AO=BO ，∵OB=DE ，∵∵BOC+∵AOD=∵AOB+∵COD=180°，又∵EDO+∵DOA=180°，∵∵BOC=∵EDO ，又OC=OD ，在∵BOC 和∵EDO 中，OC OD BOC EDO OB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BOC∵∵EDO ，∵BC=OE ，又∵OM=12OE ， ∵OM=12BC ；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题关键是正确做出辅助线利用平行四边形的性质得出全等三角形最后得出结论．。

2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

初中数学三角形中的辅助线之倍长中线专项训练题(附答案详解)

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
11．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是；
（2）如图2，若三点不在同一条直线上, 与相交于点，连接 ,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点 ,连接，直接写出与之间的关系．
7．如图，在△ABC中，ABFra bibliotekAC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
初中数学三角形中的辅助线之倍长中线专项训练题（附答案详解）
1．在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；

2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析

【中考数学专题】08：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线

专题08：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、单选题1．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（）A ．1＜AB ＜11 B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜162．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒3．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠ C ．ED BC EB += D ．2DEBC EFB S S =四边形4．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<165．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：△DEF 是等腰直角三角形；△四边形CDFE 的面积保持不变；△AD BE DE +>．其中正确的是（）A ．△△△B ．△C ．△D ．△△二、填空题 6．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________7．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．8．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：23，则△BCD＝_____．10．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，△CAD＝45°，则BC＝_____.三、解答题11．如图，已知AD是ABC的中线，过点B作BE△AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．12．在ABC中，△C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF△DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．13．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至点E ，使 DE =AD ．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ，△ADC =△EDB ，BD =CD ，所以，△ACD △△EBD ，进一步可得到AC =BE ，AC //BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．14．如图1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，3AB =M 是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N .将直角PMQ ∠绕顶点M 旋转，使得边MP 与线段BA 交于点P ，边MQ 与线段AC 交于点Q .（1）求证：PBM ∆与QNM ∆相似；（2）设BP 的长为x ，Rt APQ ∆的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）探究2BP 、2PQ 、2CQ 三者之间的数量关系，并说明理由.15．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．参考答案1．C【解析】【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，△ADB＝△EDC，AD＝DE，△△ABD△△ECD（SAS），△AB＝CE，△AD＝5，△AE＝5＋5＝10，△10＋6＝16，10−6＝4，△4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．2．D【解析】【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE △△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD △AB 于D ，△ADE ＝50°，即可求出△B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，△四边形ABCF 是平行四边形，△AB △CF ，AB ＝CF ，△△NAE ＝△F ，△点E 是的AF 中点，△AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△NAE △△CFE （ASA ），△NE ＝CE ，NA ＝CF ，△AB ＝CF ，△NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，△BC ＝2AB ，△BC ＝BN ，△N ＝△NCB ，△CD △AB 于D ，即△NDC ＝90°且NE ＝CE ，△DE ＝12NC ＝NE ， △△N ＝△NDE ＝50°＝△NCB ，△△B ＝80°．故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．3．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠ 可以证得DFE CFP ≅，所以ED BC CP BC BP +=+=,由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅，所以BEP DEBC S S=四边形，由此可以判断D 选项；【详解】四边形ABCD 是平行四边形 ∴ 228CD AD BC ===∴ 4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴ CFB FBC ∠=∠DC AB ∥∴ CFB FBC FBA ∠=∠=∠∴ 2ABC ABF ∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴ D FCP ∠=∠∴ 在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ DFE CFP ≅∴ ED BC CP BC BP +=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP ≅∴ BEP DEBC S S =四边形F 为DC 的中点∴ 2BEP BEF DEBC S S S ==四边形故D 选项正确；故选：D.【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键. 4．B【解析】【分析】延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，证明△ADC△△EDB 就可以得出BE=AC ，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【详解】解：延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ．△AD 是△ABC 的中线，△BD=CD ．在△ADC 和△EDB 中，CD BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB （SAS ），△AC=BE ．△AB -BE ＜AE ＜AB+BE ，△AB -AC ＜2AD ＜AB+AC ．△AB=8，AC=5，△1.5＜AD ＜6.5．故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．A【解析】【分析】连接CF ，利用SAS 可证ADF CEF ≌，从而得出,=∠=∠DF FE AFD CFE ，从而求出90EFD ∠=︒，即可判断△；根据全等三角形的性质可得=ADF CEF S S ，从而得出四边形CDFE 的面积为12ABC S ，从而判断△；延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ，证出AD BG =和DE EG =，最后根据三角形的三边关系即可判断△．【详解】解：如图，连接CF ．△AC BC =，F 为AB 的中点，△CF AB ⊥，12∠=∠=ACF BCF ACB ． △90ACB ∠=︒，△45∠=∠=∠=︒A ACF BCF ，△CF AF =．又△AD CE =，△ADF CEF ≌．△,=∠=∠DF FE AFD CFE ，△90AFD CFD ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒CFE CFD ，△90EFD ∠=︒，△DEF 是等腰直角三角形．△正确．△ADF CEF ≌，△=ADF CEF S S ，△四边形CDFE 的面积为12+=+==CDF CEF CDF MDF AFC ABC SS S S S S ． △11883222=⨯=⨯⨯=ABC S AC BC ， △四边形CDFE 的面积为16，为定值．△正确．延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ．△AF BF =，∠=∠AFD BFG ，DF FG =，△ADF BCF ≌△△，△AD BG =．△90EFD ∠=︒，△EF DF ⊥，△DE EG =．在EBG 中，△+>BG BE EG ，△AD BE DE +>．△正确．△△△均正确，故选A ．【点评】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．6．30【解析】【分析】延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，先依据全等的判定和性质得到FE FG =，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FC FE FG ==，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BF BC =，依据三角形等边对等角得到50FCG G ∠=∠=︒、50BFC FCG ∠=∠=︒，依据三角形内角和得到GFC ∠，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，△平行四边形ABCD 中，△//AD BC ，AB CD =,AD BC =,△A GBF ∠=∠，AFE BFG ∠=∠，90GCE CED ∠==︒,又△点F 为边AB 中点，得12A FB A BF ==, △AFE △△BFG (ASA)，0509C G EF ∠∠-==︒︒，△FE FG =，△FC FE FG ==，△50FCG G ∠=∠=︒,△18080GFC FCG G ∠=︒-∠-∠=︒, △12BF AB =,12AD CD =,AB CD =,AD BC =, △BF BC =,△50BFC FCG ∠=∠=︒,△30BFG GFC BFC ∠=∠-∠=︒,△30BFG AFE ∠∠==︒,故答案为：30.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.7．32；【解析】【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆,得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACD GBD ∆≅∆△,CAD G AC BG ∠=∠=△BE AC =△BE BG =△G BEG ∠=∠△BEG AEF ∠=∠△AEF EAF ∠=∠△EF AF =△AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- △32AF = 【点评】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．85 【解析】【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【详解】解：延长BE 交CD 于点F,△AB 平行CD ，则△A=△EDC ，△ABE=△DFE ，又E 为AD 上的中点，△BE=EF,所以ABE DFE ≌.△1,12BE EF BF AB DF ==== △1CF =在直角三角形BCF 中，BF=2212+=5.△1522BE BF ==. 【点评】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.9．30°【解析】【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE ，过E 点作EF △BC ，垂足为F ，△D 是AB 的中点，△AD＝BD，又△△ADC＝△BDE，DE＝DC，△△ADC△△BDE（SAS），△AC＝BE，△CD：AC：BC＝1：2：23，设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，△FC＝FB＝12BC＝3m，在Rt△CEF中，cos△FCE＝CFCE＝32mm＝32，△△FCE＝30°，即△BCD＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．10．237【解析】【分析】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF△AC于F，作CH△AD于H，如图，先证明△ADB△△EDC得到EC=AB=10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF2，则根据勾股定理可计算出CF2从而得到AC2，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．【详解】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF△AC于F，作CH△AD于H，如图，△AD是中线，△BD=CD．在△ADB 和△EDC 中，△AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△EDC （SAS ），△EC =AB =10．在Rt△AEF 中，△△DAC =45°，AE =14，△AF =EF 22=AE =72．在Rt△CEF 中，CF 2210(72)2=-=，△AC =AF ﹣CF =62．在Rt△ACH 中，△△HAC =45°，△AH =CH 22=AC =6，△DH =AD ﹣AH =1．在Rt△CDH 中，CD 221637=+=，△BC =2CD =237．故答案为237．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解答此题的关键．11．6【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，△AD 是ABC 的中线，△BD CD =，△BE AD ⊥，CF AD ⊥，△90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BDE CDF AAS ≅，△6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．12．（15（2）AE 2+BF 2＝EF 2，证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE△BC ，DE ＝12BC ，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE ＝CF ，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作BM△AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明△ADE△△BDM 得AE ＝BM ，DE ＝DM ，由垂直平分线的判定定理得EF ＝MF ，进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）△D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，△DE△BC ，DE ＝12BC ， △△ACB ＝90°，△△DEC＝90°，△DF△DE，△△EDF＝90°，△四边形CEDF是矩形，△DE＝CF＝12BC ，△CF＝BF＝1，△CE＝AE＝2，△EF＝2222125CF CE+=+=；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM△AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则△AED＝△BMD，△CBM＝△ACB＝90°，△D点是AB的中点，△AD＝BD，在△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDM AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADE△△BDM（AAS），△AE＝BM，DE＝DM，△DF△DE，△EF＝MF，△BM2+BF2＝MF2，△AE2+BF2＝EF2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．13．详见解析【解析】【分析】延长AD 到M ，使DM=AD ，连接BM ，根据SAS 推出△BDM△△CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，△CAD=△M ，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出△BFM=△M ，求出△AFE=△EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD =，并连结BM ，△AD 是三角形的中线，△BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MDB ADC △≌△，△AC MB =，BMD CAD ∠=∠，△BF AC =，△BF BM =，△BMD BFD ∠=∠，△BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，△EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．14．（1）PBMQNM ∆∆；（2）206S x x =-+≤<（3）222BP CQ PQ += 【解析】【分析】（1）由同角的余角相等证得PMB QMN ∠=∠及PBM QNM ∠=∠即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出AC 、BC ，再由相似比求出NQ ，并进一步得出AQ ，最后由面积公式得出S 与x 的函数关系式；（3）利用M 是BC 边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究2BP 、2PQ 、2CQ 三者之间的数量关系.【详解】（1）PBM QNM ∆∆.证明：△MQ MP ⊥，MN BC ⊥，△90PMB PMN ∠+∠=︒，90QMN PMN ∠+∠=︒，△PMB QMN ∠=∠.△90PBM C ∠+∠=︒，90QNM C ∠+∠=︒，△PBM QNM ∠=∠，△PBM QNM ∆∆.（2）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB =△30C ∠=︒，BC =12AC =.△M是BC 边的中点，△BM CM ==.在Rt NMC ∆中，90NMC ∠=︒，30C ∠=︒，CM =△4MN =，8CN =，△4AN AC CN =-=.又△BP x =，△AP x =.由（1）得PBMQNM ∆∆；△BP BM NQ MN =，即4x NQ =，△3NQ x =，△43AN NQ A x Q +=+=，△()11422S AP AQ x x ⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭20x x =+≤<.（3）222BP CQ PQ +=.理由如下：如图2，延长PM ，使'P M PM =.△M 是BC 的中点，△BM CM =.△'PMB P MC ∠=∠，△'BMP CMP ∆≅∆，△'BP CP =，'B MCP ∠=∠.△90B ACB ∠+∠=︒，△'90MCP ACB ∠+∠=︒，△222''CP CQ P Q +=，则222'BP CQ P Q +=.△'P M PM =，QM PM ⊥，△'PQ P Q =，△222BP CQ PQ +=.【点评】本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.15．（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2【解析】【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B 、E 、D 三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明=EG CG ，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC ∠=︒，从而证明EG CG ⊥；（2）延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ，首先通过SAS 证明HFG CDG △≌△，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明//HF CD ，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明BEC FEH △≌△，从而可证明结论仍然成立；（3）连接AH ，首先根据题意确定当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE BF +有最小值就是AC 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由如下：如图1，连接BD ．△正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，△45EBF DBC ∠=∠=︒，△B 、E 、D 三点共线．△90DEF ∠=︒，G 为DF 的中点，90DCB ∠=︒， △12EG DF CG DG ===． △2EGF EDG ∠=∠，2CGF CDG ∠=∠．△290EGF CGF EDC ∠+∠=∠=︒，即90EGC ∠=︒，△EG CG ⊥．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ．△GF GD =，HGF CGD ∠=∠，HG CG =，△()HFG CDG SAS △≌△，△HF CD =，GHF GCD ∠=∠，△//HF CD ．△ABCD 是正方形，△HF BC =，⊥HF BC ．△BEF 是等腰直角三角形，△BE EF =，EBC HFE ∠=∠，△()BEC FEH SAS △≌△，△HE EC =，BEC FEH ∠=∠，△90BEF HEC ︒∠=∠=，△ECH ∆为等腰直角三角形．又△CG GH =，△=EG CG 且EG CG ⊥．（3）如下图，连接AH ，当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，△//FH AB ，//AC BF ，△四边形ABFH 是平行四边形，△AH BF =，由（2）知CG GH =，△2GE BF CH AH AC +=+=，即2GE BF +有最小值，就是AC 的长，由勾股定理得22222AC =+=【点评】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．。

初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)

∴△CBD≌△CBF（SAS）， ∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF， ∴CF＝2CE，∴CD＝2CE.
课堂练习
练习5.已知: 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证: CD＝2CE
课堂练习
练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证: ∠C＝∠BAE．
课后练习
5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FCE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证: AM⊥CD．
课后练习
7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD.BC的延长线交 MN于E、F．
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证: AD是∠EAC的平分线．
例题讲解
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证: BG＝CF．
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点， ∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
求证: ∠DEN＝∠F．
课后练习
1.如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．
例2.已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是

全等辅助线之倍长中线练习题(带答案

全等辅助线之倍长中线题集1. 倍长中线1.如图，将的中线延长至点，使，连接，则下列结论正确的是①②③≌④【答案】①②③④【解析】倍长中线后，≌，∴，，∴．故答案为：①②③④．【标注】【知识点】倍长（类）中线2.如图，在中，，边上的中线的长为，则的长可能是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】延长至，使，连接．在和中，，∴≌，∴．在中，，即，，故的长可能是．故选．【标注】【知识点】中点类辅助线（1）（2）3.在中，是边上的中线．求证：．若，，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析．．【解析】（1）延长到点，使得，连接，（2）在和中，，∴≌（），∴，∴．根据三角形三边关系有：，∴．【标注】【知识点】中点类辅助线A.可证明B.不可证明C.无法判断4.如图，中，，是中线．能否证明（）．（提示：三角形中，大边对大角，等边对等角）【答案】A 【解析】延长到，使，连结．在和中，∴，∴，．在中，∵，∴．∴，∴．【标注】【知识点】全等三角形的判定5.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．BCA DF E【答案】证明见解析．【解析】如图，延长到点，使得，连接，BCA DF EG∵是边上的中线，∴，在和中，，∴≌，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，即，∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线6.如图，中，，是的中点，求证：平分．【答案】证明见解析．【解析】延长至点，使得，连接，∵为中点，∴又∵，∴≌（）∴，∵∴∴∴≌（）∴∴平分．【标注】【知识点】中点类辅助线7.（1）（2）（3）如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使，连接，证明下列结论：．．平分．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）如图，延长到，使，连接，是的中线，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．，，，（3）如图，延长到，使，连接，是的中线，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，平分．【标注】【知识点】倍长（类）中线，，8.如图，中，，，是的中点，平分，过作交于，求的长（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，延长到，使，连接，延长交延长线于，∵是中点，∴，，∴≌，∴，，又∵，，∴，∴，，∴，∴．【标注】【知识点】中点类辅助线9.如图，是的中线，，，，．求证：，．【答案】证明见解析．【解析】延长至使，连接，∵是的中线，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．∵，∴∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线10.已知：为的中线，，，连接，．如图，求证：．图【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）如图，延长至，使，连接．在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，，∴，∵，，∴，又，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．图【标注】【知识点】倍长（类）中线2. 倍长类中线AB CDEF1.已知如图，中，是中点，，试判断与的大小关系．并证明你的结论．【答案】．【解析】方法一：方法二：如图，延长使得，连接，，AB CDEFG图∴易证≌，∴，，∵，∴，∴≌，∴，∵在中，，∴．如图，过点作的平行线，交的延长线于点，方法三：ABCDEF G图∵，（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）∵是中点，（已知）∴（中点定义）在和中，，∴≌，∴，，（全等三角形对应边相等）∵，（已知）∴，（垂直定义）易证≌，∴（全等三角形对应边相等）∵在中，，（三角形中两边之和大于第三边）∴．（等量代换），证明如下：如图，延长到点，使，连接，．ABCDEFG图∵是的中点，∴，在和中，∴≌，∴，又，∴，在中，，∴．【标注】【知识点】截长补短A. B. C. D.无法判断2.如图所示，在中，平分，点为中点，且，则与的数量关系（）．【答案】A【解析】延长到点，使得，则易证≌，则，，又，，∴，∴，∴，∴．【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角3.如图，点在的延长线上，，点在上，连接，，求证：．【答案】证明见解析．【解析】延长至，使，连接，则在和中，，∴≌（）．∴，．又∵，∴．∴．∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线4.已知：如图，在中，点是的中点，过点作直线交，的延长线于点，．当时，求证：．【答案】证明见解析．【解析】延长至，使得，连接．∵点是的中点，∴．在和中，，∴≌．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线3. 直角三角形斜边上的中线1.已知在中，，为斜边上的中线，求证：．【答案】证明见解析．【解析】延长至，使，连接．在和中∴≌（）∴，∴∴在和中∴≌（）∴∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线2.已知：如图，，点、分别是线段、的中点，求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接线段、，∵，为的中点，∴，，∴，∴为等腰三角形，∵为的中点，∴．【标注】【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用【能力】推理论证能力3.已知如图，，、分别是、的中点．求证：．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接、．∵．在和中，是中点，∴，，∴．∵为中点，∴．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题。

2021年最新中考数学人教版专题复习-[第29讲常见几何辅助线的添加]必备练习卷(教师版)

演练方阵第29讲常见几何辅助线的添加中点相关辅助线的添加技巧类型一：倍长中线法添加辅助线☞考点说明：倍长中线法添加辅助线的核心特点是构造“8字型”，无论倍长标准的中线、倍长过中点的任意线段还是通过平行来实现“8字型”的构造，其添加辅助线后得到的模型都是“8字型”.【中】1.已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．【答案】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BCD，∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵∠AED=∠F，∴AE=AF，∴AE=BC．【解析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，由CD是△ABC的中线，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCD，等量代换即可得到结论．【中】2.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD=CE．∵BD=CE，∴BD=GD，∴∠B=∠DGB=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【解析】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF=∠E、∠DGB=∠ACB，结合DF=EF以及∠DFG=∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD=CE，结合BD=CE可得出BD=GD，进而可得出∠B=∠DGB=∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．【中】3.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】（1）解：∵∠B=60°，∠BDA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDA=60°，∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠DAC=∠C，∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；（2）证明：延长AE到M，使EM=AE，连接DM，在△ABE和△MDE中，，∴△ABE≌△MDE，∴∠B=∠MDE，AB=DM，∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，在△MAD与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD=∠CAD，∴AD是∠EAC的平分线．【解析】（1）根据已知条件得到∠BAD=∠BDA=60°，于是得到AB=AD，等量代换得到CD=AD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，推出∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，即可得到结论；（2）证明：延长AE到M，使EM=AE，连接DM，推出△ABE≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠MDE，AB=DM，根据全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠MAD=∠CAD于是得到结论．【中】4.如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD=BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．【答案】（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠C=60°，∵DF∥AB，∴∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD=DF，∵点P为DE中点，∴PD=PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF=BE，∴CD=BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∴∠E=90°﹣∠A=30°，∴AD=AE，∠BPE=∠ACB﹣∠E=30°=∠E，∴BP=BE，由（1）得CD=BE，∴BP=BE=CD，设BP=x，则BE=CD=x，AD=12﹣x，∵AE=2AD，∴12+x=2（12﹣x），解得：x=4，即BP的长为4．【解析】（1）作DF∥AB交BC于F，由等边三角形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=60°，由平行线的性质得出∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP，证出△CDF是等边三角形，得出CD=DF，由AAS证明△PDF≌△PEB，得出对应边相等DF=BE，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得出AD=AE，证出BP=BE，得出BP=BE=CD，设BP=x，则BE=CD=x，AD=12﹣x，得出方程12+x=2（12﹣x），解方程即可．【中】5.在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB=8，AC=14，求NC的长．【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵CE∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠3．∴∠E=∠3．∴AC=AE．∵F为EC的中点，∴AF⊥EC，∵AD∥EC，∴∠AFE=∠FAD=90°．∴AF⊥AD．（2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，∴∠3=∠C，∠F=∠4∵M为BC的中点，∴BM=CM．在△BFM和△CNM中，，∴△BFM≌△CNM（AAS），∴BF=CN，∵MN∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．∴∠E=∠5=∠F．∴AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=14﹣x，BE=AB+AE=8+14﹣x．∴8+14﹣x=x，解得x=11，∴CN=11．【解析】（1）推出∠3=∠E，推出AC=AE，根据等腰三角形性质得出AF⊥CE，根据平行线性质推出即可；（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=14﹣x，BE=AB+AE=8+14﹣x．得出方程8+14﹣x=x．求出即可．【中】6.已知：如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC+∠DAE=180°，AB=AE，AC=AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．将△ADE绕点A旋转，在旋转的过程中，请探究∠ANB与∠BAE的数量关系，并加以证明．【答案】解：∠ANB+∠BAE=180°．证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF．∵点M是DE的中点，∴DM=ME，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AD∥FE，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC=∠AEF，∵AC=AD，∴AC=EF，在△ABC与△EAF中，∵，∴△ABC≌△EAF，∴∠B=∠EAF，∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，即∠ANB+∠BAE=180°．【解析】延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形ADFE是平行四边形，根据平行四边形的性质和已知条件可证△ABC≌△EAF，根据全等三角形的性质即可得到∠ANB与∠BAE的数量关系．【难】7.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：（1）EG=CG，EG⊥CG．（2）EG=CG，EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，由图（3）可知，∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠EBF=45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形∴BE=EF，∠F=45°，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∵在△GFE与△GMC中，，∴△GFE≌△GMC（SAS），∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．【难】8.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．【答案】解：（1）MD=MF，MD⊥MF；（2）结论不变MD=MF，MD⊥MF，证明：如图乙，延长DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2．在△AMD与△EMN中，∵，∴△AMD≌△EMN，∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（3）MD=MF，MD⊥MF，证法一：如图丙，延长DM到N使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．在△AMD与△EMN中，，∴△AMD≌△EMN，∴∠3=∠4，AD=NE．又∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．∴DC=NE．∵∠3=∠4，∴AD∥EH，∴∠H=∠ADC=90°．∵∠G=90°，∠5=∠6，∴∠7=∠8．∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，∴∠DCF=∠FEN．在△DCF与△NEF中，，∴△DCF≌△NEF，∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD．证法二：如图丙，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．在△DCF与△NEF中，，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD．【解析】（1）利用测量或观察的方法即可作出判断；（2）易证明△AMD≌△EMN，得到AD=EN，MD=MN，再根据CF=2AD，EF=2EN，得到：FD=FN．从而证得FM⊥MD，MF=MD；（3）延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．证明△DCF≌△NEF，即可得到线段MD，MF的位置及数量关系．类型二：直角三角形斜边上的中线型辅助线☞考点说明：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可知，在直角三角形中，常需要添加的辅助线是连结斜边上的中线，得到斜边上的中线等于斜边的一样这一线段之间的关系，而这一线段的等量关系常会与中位线模型结合考查，而当题目中没有已知的直角三角形时，常需要通过三线合一的性质来构造直角.【易】1.已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．【答案】证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，∴BE=DE=AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．【解析】连接BE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【易】2.如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别为AB、CD的中点．求证：MN⊥CD．【答案】证明：如图，连接CM 、DM ，∵∠ACB=∠ADB=90°，M 为AB 的中点，∴CM=AB ，DM=AB ，∴CM=DM=AB ，∵N 为CD 的中点，∴MN ⊥CD ．【解析】连接CM 、DM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=DM=AB ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【中】3.已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE 是AB 边上的中线．（1）CD=21AB ；（2）若CG=EG ，求证：DG ⊥CE ．【答案】证明：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴AD ⊥BC ，∵∠B=30°，∴AD=AB ，∵∠ACB=45°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴CD=AD ，∴CD=AB ；（2）连接DE ，如图所示：∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，∴DE=AB，∵CD=AB，∴DE=CD，∵CG=EG，∴DG⊥CE．【解析】（1）含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出结论；（2）连接DE，证得DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE=AB，证得DE=CD，即可得出结论．【中】4.在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．【答案】解：如图，分别取AP、BP的中点M、N，并连接EM、DM、FN、DN．根据三角形中位线定理可得：DM∥BP，DM=BP=BN，DN∥AP，DN=AP=AM，∴∠AMD=∠APB=∠BND，∵M、N分别为直角三角形AEP、BFP斜边的中点，∴EM=AM=DN，FN=BN=DM，已知DE=DF，∴△DEM≌△FDN（SSS），∴∠EMD=∠FND，∴∠AME=∠BNF，∴△AME、△BNF为顶角相等的等腰三角形，∴∠PAE=∠PBF．【解析】取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，根据直角三角形斜边中线性质易证得△DEM≌△FDN，即可得各角的关系．即可证得结论．【难】5.如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【答案】（1）证明：如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A，∴∠DME=180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A ，∵DM=ME=BM=MC ，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°﹣∠A ）=360°﹣2∠A ，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A ）=2∠A ﹣180°．【解析】（1）连接DM ，ME ，根据直角三角形的性质得到DM=BC ，ME=BC ，得到DM=ME ，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答．类型三：中位线型辅助线☞考点说明：当题中出现的中点数量比较多的时候，常考虑通过构造中位线来转化线段和角，如果题中出现的中点不足以得到所需的中位线，则需要再次添加新的中点.【中】1.已知：如图，∠BAD=∠CAD ，AB ＞AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点．求证：DH=21（AB ﹣AC ）．【答案】证明：延长CD 交AB 于E ，在△EAD 和△CAD 中，，∴△EAD≌△CAD，∴AE=AC，ED=DC，∵ED=DC，BH=HC，∴DH=BE，∴DH=（AB﹣AE）=（AB﹣AC）．【解析】延长CD交AB于E，证明△EAD≌△CAD，根据三角形中位线定理证明结论．【中】2.如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．【答案】证明：找到BC的中点H，连接MH，NH．如图：∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=EC．∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=BD．∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA，（两直线平行，内错角相等）同理∠HNM=∠QPA．∴△APQ为等腰三角形，∴AP=AQ．【解析】根据中位线定理证明MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP=AQ．【中】3.如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且BD是△ABC的角平分线．求证：BE=AF．【解析】连接DE，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形ADEF是平行四边形，得到AF=DE，证明BE=DE，等量代换即可．【答案】证明：连接DE，∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点．∴DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF．【中】4.如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P．求证：∠PAD=∠PBC．【答案】证明：如图：取AP，BP的中点分别为F，E；并连接DF，MF，EC，ME；根据三角形的中位线定理得：MF=BP=PE，ME=AP=PF，∴四边形MFPE为平行四边形∴∠MFP=∠MEP，∵PD⊥AD，PC⊥BC，∴∠ADP=∠BCP=90°，∴在Rt △APD 与Rt △BPC 中，DF=AF=PF=PA ，CE=BE=PE=BP ，∴DF=EM=PF ，FM=PE=CE ，∵MC=MD ，∴△MDF ≌△CME （SSS ），∴∠DFM=∠MEC ，∴∠DFP=∠CEP ，∴FA=FD ，CE=BE ，∴∠DAF=∠FDA ，∠ECB=∠CBE ，∴∠DFP=2∠DAP ，∠CEP=2∠CBP ，∵∠DFP=∠CEP ，∴∠PAD=∠PBC ．【解析】用中位线定理证明，MF=BP=BE ，ME=AP=DF ，进而证明△MDF ≌△CME ，并根据平行四边形对角相等求证．【中】5.如图，在四边形ABCD 中，BC 、AD 不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，已知EF=4，求AB 2+CD 2的值．【答案】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM 并延长交BC 于N ，连接FM ，∵∠BAD+∠ADC=270°，∴∠ABC+∠C=90°，∵E 、F 、M 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴EM ∥AB ，FM ∥CD ，EM=AB ，FM=CD ，∴∠MNF=∠ABC ，∠MFN=∠C ，∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，由勾股定理得，ME 2+MF 2=EF 2=16，∴AB 2+CD 2=（2ME ）2+（2MF ）2=64．【解析】连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM 并延长交BC 于N ，连接FM ，根据三角形中位线定理得到EM=AB，FM=CD，∠NMF=90°，根据勾股定理计算即可．【中】6.如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．（1）求∠FGH度数；（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．【答案】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，∴FG∥DB，GH∥EC．∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°．（2）如图所示：连接FM、HM．∵M、H分别是BC和DC的中点，∴MN∥BD，MN=．同理：GF∥BD，GF=．∴四边形FGHM为平行四边形．∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，∴GH==3，，由（1）可知：∠FGH=90°，∴四边形FGHM为矩形，∴∠GHM=90°．∴GM==5．【解析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，从而可证明∠FGH=90°；（2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可．【难】7.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE ；（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC 中，F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线FE 交BA 的延长线于点G ，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE 的长度．【答案】（1）证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH ，∵E ，H 分别是AD ，BD 的中点，∴EH ∥AB ，EH=AB ，∴∠BME=∠HEF ，∵F ，H 分别是BC ，BD 的中点，∴FH ∥CD ，FH=CD ，∴∠CNE=∠HFE ，∵AB=CD ，∴HE=FH ，∴∠HEF=∠HFE ∴∠BME=∠CNE ；（2）连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴EH=AB ，FH=CD ，FH ∥AC ，∴∠HFE=∠FEC=45°，∵AB=CD=2，∴HF=HE=1，∴∠HEF=∠HFE=45°，∴∠EHF=180°﹣∠HFE ﹣HEF=90°，∴．【解析】（1）连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH ，根据三角形中位线定理得到EH ∥AB ，EH=AB ，根据平行线的性质证明；（2）连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH ，根据勾股定理、平行线的性质计算．【难】8.如图（1），BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ．（1）试说明：FG=21（AB+BC+AC ）；（2）①如图（2），BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线；②如图（3），BD 为△ABC 的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．【答案】解：（1）证明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，∴∠BAF=∠BMF，∴MB=AB，∴AF=MF，同理可说明：CN=AC，AG=NG∴FG是△AMN的中位线，∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC）（2）解：图（2）中，FG=（AB+AC﹣BC）图（3）中，FG=（AC+BC﹣AB）①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，∴FG=MN=（BM+CN﹣BC）=（AB+AC﹣BC），②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，∴FG=MN=（CN+BC﹣BM）=（AC+BC﹣AB），解答正确一种即可【解析】（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案；（3）与（1）方法类同即可证出答案．【难】9.如图，线段AC与BD交于O，DO=DC，AO=AB，E，F，G分别是OB，OC，AD 中点．（1）如图1，当∠AOB=60°时，EG与FG的数量关系是，∠EGF=；如图2，当∠AOB=45°时，EG与FG的数量关系是，∠EGF=；（2）如图3，当∠AOB=θ时，EG与FG的数量关系是，∠EGF=；（3）请你从上述三个结论中选择一个结论加以证明．【答案】解：（1）当∠AOB=60°时，证明：连接DF与EG，∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△DOC与△AOB是等边三角形，∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，∴DF⊥AC，AE⊥BD，∴EG=AD，FG=AD，∴EG=FG，∵∠DCO=∠BAO=60°，∴AB∥CD，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵∠CDO=∠CDA=∠OAB=BAO=30°，∴∠ADF+∠EAG=120°，∵DG=GF=AG=EG=AD，∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°，∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°，∴∠DGF+∠AGE=360°﹣（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=120°，∴∠FGE=60°；当∠AOB=45°时，证明：连接DF与EG，∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=45°，∴△DOC与△AOB是等腰直角三角形，∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，∴DF⊥AC，AE⊥BD，∴EG=AD，FG=AD，∴EG=FG，∵∠DCO=∠BAE=45°，∴AE∥CD，∴∠CDA+∠DAE=180°，∵∠CDO=∠CDO=∠OAB=BAO=45°，∴∠ADF+∠EAG=135°，∵DG=GF=AG=EG=AD，∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°，∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°，∴∠DGF+∠AGE=360°﹣（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=190°，∴∠FGE=90°；（2）当∠AOB=θ时，证明：连接DF与AE，∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ，∴△DOC与△AOB是等腰三角形，∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，∴DF⊥AC，AE⊥BD，∴EG=AD，FG=AD，∴EG=FG，∵∠FDO=∠EAO=90°﹣θ，∴∠ODA+∠OAD=θ，∴∠FDA+∠EAD=180°﹣θ，∵DG=GF=AG=EG=AD，∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°﹣θ，∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°﹣2θ，∴∠DGF+∠AGE=360°﹣（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=180°﹣2θ，∴∠FGE=180°﹣2θ．故答案为：（1）EG=FG，60°；EG=FG，90°；（2）EG=FG，180°﹣2θ；（3）选择证明即可．【解析】（1）由DO=DC，AO=AB，∠DOC=∠AOB=60°，可得：△DOC与△AOB是等边三角形，由三线合一可得DF⊥AC，AE⊥BD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得EG=FG，又由DG=GF=AG=EG=AD，利用等边对等角，即可求得∠FGE的度数；∠AOB=45°时，方法一样；（2）与（1）的方法类似，注意此时△DOC与△AOB是等腰三角形，由等腰三角形中的三线合一仍可求得结果；（3）根据以上分析证明即可．截长补短法添加辅助线类型一：截长法添加辅助线☞考点说明：当题中的已知条件或待证明的结论中出现某三条线段（甚至更多条线段）的关系时，常会考虑利用截长补短法来添加辅助线：截长：将三条线段中的最长线段截成两段，使其分别与两条短线段长度相等；补短：将其中一条短线段补成与长线段等长，使补出的长度与另外一条短线段等长.【注意】截长补短是两种方法，但是对识别条件的要求是相同的（都是多条线段的长度关系），两种方法有时候通用，有时候只有一种适用，视已知条件而定.【中】1.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．【答案】证明：（1）如图1，在BC上截取BD=BA，连接PD，∵BP平分∠ABD，∴∠ABP=∠DBP，在△ABP和△DBP中，，∴△ABP≌△DBP（SAS），∴AP=DP，∠BAP=∠BDP，∵△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，又∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACB，∴∠BAP=∠BDP=45°，∠DCP=22.5°，∴∠DPC=∠BDP﹣∠DCP=22.5°，∴∠DCP=∠DPC，∴CD=PD=AP，∵BC=DB+CD，∴BC=AB+AP；（2）如图2，在AD上截取AD=AB，连接PD，∵AP平分∠DAB，∴∠BAP=∠DAP，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ADP=∠ABP，BP=DP，∵BP平分∠ABC，∴∠ADP=∠ABP=30°，又∵CP平分∠ACB，∠ACB=30°，∴∠DCP=15°，∴∠DPC=∠ADP﹣∠DCP=15°，∴∠DCP=∠DPC，∴CD=PD=BP，∵AC=AD+CD，∴AC=AB+BP．【解析】（1）先在BC上截取BD=BA，连接PD，再根据SAS判定△ABP≌△DBP，得出AP=DP，再证明CD=PD，即可由BC=DB+CD，得到BC=AB+AP；（2）先在AD上截取AD=AB，连接PD，再根据SAS判定△ABP≌△ADP，得出BP=DP，再证明CD=PD，即可由AC=AD+CD，得到AC=AB+BP．【中】2.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=2FD．【答案】证明：（1）∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴AB=CE；（2）如图，在EC上截取EG=BF，∵△ABD≌△CED，∴∠B=∠CED，在△BDF和△EDG中，，∴△BDF≌△EDG（SAS），∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴BF+EF=EG+EF=FG=FD，故BF+EF=FD．【解析】（1）根据三角形高线的定义求出∠ADB=∠CDE=90°，并判断出△ACD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE；（2）在EC上截取EG=BF，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠CED，然后利用“边角边”证明△BDF和△EDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DG，全等三角形对应角相等可得∠BDF=∠EDG，再求出∠FDG=90°，判断出△DFG是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质证明即可．【中】3.在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．如果∠MAN在如图1所示的位置时，有BM+DN=MN 成立（不必证明）．请问当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】解：MN=DN﹣BM．理由如下：如图2所示，在DN上截取DE=BM，连接AE；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠D=90°，AB=AD，又∵DE=BM，∴Rt△ABM≌Rt△ADE，∴AM=AE，∠BAM=∠DAE；∵∠MAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=∠MAB+∠BAN=∠MAN=45°，∴∠EAN=90°﹣（∠DAE+∠BAN ）=45°，又∠MAN=45°，∴∠EAN=∠MAN=45°，又∵AM=AE ，AN=AN ，∴△AMN ≌△AEN ，得MN=EN ，∴DN=DE+EN=BM+MN ，即MN=DN ﹣BM ．【解析】在DN 上截取DE=BM ，连接AE ，然后通过两步全等来求解；首先证△ADE ≌△ABM ，可得AE=AM ，证△AMN ≌△AEN ，得到MN=NE ，由此求得BM 、DN 、MN 的数量关系．【难】4.（1）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ．求证：EF=BE+FD ；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD ，∴∠GAE=∠EAF ．∵AE=AE ，∴△AEG ≌△AEF ，∴EG=EF ，∵EG=BE ﹣BG ，∴EF=BE ﹣FD．类型二：补短法添加辅助线☞考点说明：当题中的已知条件或待证明的结论中出现某三条线段（甚至更多条线段）的关系时，常会考虑利用截长补短法来添加辅助线：截长：将三条线段中的最长线段截成两段，使其分别与两条短线段长度相等；补短：将其中一条短线段补成与长线段等长，使补出的长度与另外一条短线段等长.【注意】截长补短是两种方法，但是对识别条件的要求是相同的（都是多条线段的长度关系），两种方法有时候通用，有时候只有一种适用，视已知条件而定.【中】1.如图所示，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA 平分∠CDE．【答案】解：连接AC ，延长DE 到F ，使EF=BC ，连接AF，∵BC+DE=CD ，EF+DE=DF ，∴CD=FD ，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF ，在△ABC 和△AEF 中，AB AE ABC AEF BC EF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AC=AF ，在△ACD 和△AFD 中，AC AF CD FD AD AD ===⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ACD ≌△AFD （SSS ）∴∠ADC=∠ADF ，即AD 平分∠CDE ．【解析】连接AC ，延长DE 到F ，使EF=BC ，连接AF ，易证△ABC ≌△AEF ，进而可以证明△ACD ≌△AFD ，可得∠ADC=∠ADF 即可解题．【中】2.如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为AB 上的点，Q 为AD 上的点，且△APQ 的周长为2．求∠PCQ的度数．【答案】解：∵正方形ABCD 的边长为1，∴AB+AD=1+1=2，∵△APQ 的周长为2，∴AP+AQ+PQ=2，又∵AB=AP+BP ，AD=AQ+DQ ，∴DQ+BP=PQ ，将△CBP 绕点C 顺时针旋转90°得△CDE ，则CE=CP ，DE=BP ，∠BCP=∠DCE ，∴EQ=DQ+DE=DQ+BP=PQ ，在△CPQ 和△CEQ中，，∴△CPQ ≌△CEQ （SSS ），∴∠PCQ=∠ECQ ，又∵∠PCQ+∠ECQ=∠PCQ+∠DCQ+∠DCE=∠PCQ+∠DCQ+∠BCP=∠BCD=90°，∴∠PCQ=×90°=45°．【解析】根据正方形的边长为1，△APQ的周长为2可得DQ+BP=PQ，将△CBP绕点C顺时针旋转90°得△CDE，根据旋转的性质只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可得CE=CP，DE=BP，然后求出PQ=EQ，利用“边边边”证明△CPQ和△CEQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PCQ=∠ECQ，从而求出∠PCQ=45°．【难】3.已知△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∠BDC=120°，E、F分别为AB 和AC上任一点，且∠EDF=60°，DG⊥EF，求证：△BED≌△GED．【答案】证明：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，在△NBD和△FCD中，，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴BD=DG，在Rt△EBD与Rt△EGD中，，∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL）．【解析】如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出BD=GD．从而证得结论．角平分线相关辅助线的添加类型一：角平分线的性质型辅助线☞考点说明：根据角平分线的性质可知，遇到角平分线，可添加的第一类辅助线就是过角平分线上的任意一点，向角的两边作垂线，垂线段的长度相等.【易】1.点P为∠ABC角平分线上的一点，D和E正分别在AB和BC上，且PD=PE，试探究∠BDP与∠BEP的关系，并给予证明．【答案】解：∠BDP+∠BEP=180°．理由：过P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于N点，由角平分线性质得PM=PN，在Rt△DPM和Rt△EPN中，∴Rt△DPM≌Rt△EPN（HL），所以∠ADP=∠BEP，又∠BDP+∠ADP=180°，∴∠BDP+∠BEP=180°．【解析】根据角平分线性质，过P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于N点，则PM=PN，已知PD=PE，可证Rt△DPM≌Rt△EPN，再利用对应角相等及平角的性质证明∠BDP+∠BEP=180°．【易】2.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PD=2，求PC 的长．【答案】解：作PE⊥OA于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ECP=∠AOB=30°，∴PC=2PE=4．【解析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．类型二：角平分线的对称型辅助线☞考点说明：利用角平分线的对称结构可以通过截长补短的方法，将角平分线两侧的三角形构造成轴对称的形式，进而可以证明全等，进行相等的边和角的转化，这也是角平分线相关辅助线中比较常见的一种形式.【易】1.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．【答案】证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∵，∴△DAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE=∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．【解析】首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB．【中】2.徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3）请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．【答案】解：小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD．在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠ABD=∠AED∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，即AB+BD=AC；小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．∴∠E=∠BAE．∵∠ABC=∠E+∠BAE，∴∠ABC=2∠E．∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C，∴△AEC是等腰三角形．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC．∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE∴∠ADE=∠DAE，∴EA=ED=AC，∴AB+BD=AC.【解析】小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，由角平分线的性质就可以得出∠DAB=∠DAE，再证明△ADB≌ADE就可以得出结论；小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．就可以得出∠E=∠C，就有AE=AC，进而得出AE=ED即可．【难】3.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA 的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】解：（1）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°．∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°．∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．（2）FE=FD．如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．。

新人教版2021年中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线_构造等边三角形

6.构造等边三角形1.公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积？答案：见解析解析：延长DC AB 、交于E ，连结DB ，∵120ABC BCD ∠=∠=︒，∴60EBC ECB ∠=∠=︒， ∴EBC ∆是等边三角形，∵DC CB =，∴30CDB DBC ∠=∠=︒， ∴90DBA ∠=︒，103BD =， ∵45A ∠=︒，∴103AB =，∴()211031502ABDS ∆==，11110103253222BCD BDE S S ∆∆==⨯⨯⨯=，∴这块草地的面积为()150253+平方米．DCBAEABCD2.如图：已知10AB =,点C D 、在线段AB 上且2AC DB ==；P 是线段CD 上的动点,分别以AP PB 、为边在线段AB 的同侧作等边AEP 和等边PFB ,连结EF ,设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时,则点G 移动路径的长是____．答案：3解析：分别延长AE BF 、交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出G 为PP 中点，则P 的运行轨迹为三角形PPP 的中位线PP ．再求出PP 的长，运用中位线的性质求出PP 的长度即可．解：如图，分别延长PP、PP 交于点P ．∵∠P ＝∠PPP ＝60°，∴PP ∥PP ，∵∠P ＝∠PPP ＝60°，∴PP ∥PP ，∴四边形PPPP 为平行四边形，∴PP 与PP 互相平分．∵P 为PP 的中点，∴P 正好为PP 中点，即在P 的运动过程中，P 始终为PP 的中点，所以P 的运行轨迹为三角形PPP 的中位线PP ．∵PP ＝10－2－2＝6，∴PP＝3，即P 的移动路径长为33.四边形ABCD ，有BC CD =，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求D ∠=____︒.AB C DP EFG答案：75 解析：延长DC AB 、交于E ，连结DB ，∵120ABC BCD ∠=∠=︒，∴60EBC ECB ∠=∠=︒， ∴EBC ∆是等边三角形，∵DC CB =，∴30CDB DBC ∠=∠=︒， ∴90DBA ∠=︒，∵45A ∠=︒，∴904545ADB ∠=︒-︒=︒， ∴453075ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒4.如图，四边形ABCD 中，AC BD ，是对角线，ABC 是等边三角形．3035ADC AD BD ∠=︒==，，，则CD 的长为____.DCBAEABCD答案：4解析：首先以CD 为边作等边CDE ，连接AE ，利用全等三角形的判定得出BCD ACE ≌ ，进而求出DE 的长即可．解：如图，以CD 为边作等边CDE ，连接AEBCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ，∴ 在BCD 和ACE 中， AC BC ACE BCD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE SAS ∴≌（）， BD AE ∴= ．又30ADC ∠=︒ ，90ADE ∴∠=︒ ．在Rt ADE 中，53AE AD ==，，于是224DE AE AD =-= ，4CD DE ∴==．5.如图所示，在ABC 中，AB AC D E =，、是ABC 内两点，AD 平分60BAC EBC E ∠∠=∠=︒．，若62BE DE ==，，则BC 的长度是__.答案：8解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出62BE DE ==，，进而得出BEM 为等边三角形，EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF BC 于F ，AB AC AD =，平分BAC ∠ ， AN BC BN CN ∴⊥=，， 60EBC E ∠=∠=︒ ，BEM ∴为等边三角形， EFD ∴为等边三角形，62BE DE ==，，4DM ∴= ，BEM 为等边三角形，60EMB ∴∠=︒ ， AN BC ⊥ ， 90DNM ∴∠=︒ ， 30NDM ∴∠=︒ ，2NM ∴= ， 4BN ∴= ， 28BC BN ∴== ，6.如图，六边形ABCDEF 中，每一个内角都是1201230828AB BC CD DE ︒====，，，，．求这个六边形的周长为_____.答案：116解析：凸六边形ABCDEF ，并不是一规则的六边形，但六个角都是120︒ ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．解：如图，分别作直线AF ED BC 、、的延长线和反向延长线使它们交于点G H P 、、．六边形ABCDEF 的六个角都是120°，∴ 六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°． PGH BGA DHC EFP ∴、、、都是等边三角形． 128GC BC DH CH ∴====，．1230850GH ∴=++=，5028814FE PE PH ED DH ==--=--=，50141224AF PG PF AG =--=--=．∴ 六边形的周长为：24123082814116+++++= ．7.如图，已知120ABC ∠=︒ ，BD 平分60ABC DAC ∠∠=︒，，若23AB BC ==，，则BD 的长是_____.答案：5解析：在CB 的延长线上取点E ，使BE AB =，连接AE ，则可证得ABE 为等边三角形，再结合条件可证明ABD AEC ≌ ，可得BD CE = ，再利用线段的和差可求得CE ，则可求得BD .解：在CB 的延长线上取点E ，使BE AB =，连接AE ，120ABC ∠=︒ ，18060ABE ABC ∴∠=∠=︒﹣ ，BE AB = ，ABE ∴ 为等边三角形，60AE AB BAE E ∴=∠=∠=︒，， 60DAC ∠=︒ ，DAC BAE ∴∠= ，BAD BAC DAC EAC BAC BAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，， BAD EAC ∴∠=∠ ，BD 平分ABC ∠ ，，ABD E ∴∠=∠ ，在ABD 和AEC 中，BAD EAC AB AEABD E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABD AEC ASA ∴≌（）， BD CE ∴= ，325CE BE BC AB BC =+=+=+= ，5BD ∴= ，8.如图，在ABC 中，AB AC D E =，、是ABC 内两点，AD 平分60BAC EBC E ∠∠=∠=︒，，若602BE cm DE cm ==，，则BC = ____cm ．答案：62解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出62BE DE ==，，进而得出BEM 为等边三角形，EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF BC，=，AD平分BAC∠，AB AC，，∴⊥=AN BC BN CN∠=∠=︒，EBC E60∴为等边三角形，BEM∴为等边三角形，EFD，，==BE DE602DM∴=，58BEM为等边三角形，∴∠=︒，60EMB⊥，AN BC∴∠=︒，DNM90∴∠=︒，NDM30∴=，NM29∴=，BN31∴==，BC BN262故答案为62．9.如图，过边长为1的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥ 于E Q ，为BC 延长线上一点，当PA CQ = 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为____.（注：若答案不是整数，请化为小数）答案：0.5 解析：过P 作PFBC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC == ，根据等腰三角形性质求出EF AE = ，证PFD QCD ≌ ，推出FD CD = ，推出12DE AC =即可．解：过P 作PFBC 交AC 于F ．PF BC ，ABC 是等边三角形， PFD QCD APF ∴∠=∠，是等边三角形，AP PF AF ∴== ，PE AC ⊥ ，AE EF ∴= ，AP PF AP CQ ==，，PF CQ ∴= ．在PFD 和QCD 中，PFD QCD PDF QDC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD QCD AAS ∴≌（），FD CD ∴= ，AE EF = ，EF FD AE CD ∴+=+ ，12AE CD DE AC ∴+==， 1AC = ， 10.52DE ∴== ．10.如图，ABC 中，AB AC AD =，平分BAC D E ∠，、是ABC 内两点，且60ECB E ∠=∠=︒ ，若82CE DE ==，，则BC =_____.答案：10解析：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，根据等腰三角形的性质得出，，进而得出CEM为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．==CE DE82解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∠，=，平分BACAB AC AD∴⊥=，，AN BC BN CNECB E∠=∠=︒，60∴为等边三角形，CEM，，==82CE DE∴=，6DMCEM为等边三角形，60∴∠=︒，EMC⊥，AN BC∴∠=︒，90DNM∴∠=︒，NDM30∴=，NM3﹣，∴==CN835∴=，5BN∴==．BC BN210故答案为：10．11.如图，凸四边形ABCD 满足条件：60120AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，，那么AC ____BC CD +．（填“大于”或“小于”或“等于”）答案：等于解析：延长DC 到点E ，使得BC CE = ，连接BE 和BD ，根据已知条件和所作辅助线可得ABD 与BCE 均为等边三角形，证明ABC 和DBE 全等即可证明；解：延长DC 到点E ，使得BC CE = ，连接BE 和BD .∵120BCD ∠=︒∴18012060BCE ∠=︒-︒=︒又BC CE = ，60AB AD BAD =∠=︒，ABD ∴ 与BCE 均为等边三角形60BD AB BE BC ABD EBC ∴==∠=∠=︒，，ABD DBC EBC DBC ∴∠+∠=∠+∠ ,即ABC DBE ∠=∠在ABC 和DBE 中AB BD ABC DBE BC BE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABC DBE ≌∴BD DE =∵DE CD EC CD BC =+=+AC BC CD ∴=+ ．故答案为：相等12.已知：如图，等边ABC 中，1AB P =，是AB 边上一动点，作PE BC ⊥ ，垂足为E ；作EF AC ⊥ ，垂足为F ；作FQ AB ⊥ ，垂足为Q ．（1）设BP x AQ y ==，，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长；（3）当点P 和点Q 不重合，但线段PE FQ 、延长线相交时，求它们与线段EF 围成的三角形周长的取值范围．答案：见解析解析：（1）由已知等边ABC 中，可得每个角都是60︒ ，由作PE BC ⊥ ，垂足为E ；作EF AC ⊥ ，垂足为F ；作FQ AB ⊥ ，垂足为Q ，得三个直角三角形且都有30︒的角，据此用x 可表示出BE CE CF ，，，相继表示出AF AQ ，，求出y 与x 之间的函数关系式．（2）由已知可列出方程组结合已知求出EF 的长．（3）当线段PE FQ 、相交时，根据已知得到它们与线段EF 围成的三角形三个角都是60︒ 解：（1）ABC 是等边三角形，1AB = ．601A B C BC CA AB ∴∠=∠=∠=︒===，．又90BEP CFE FQA BP x ∠=∠=∠=︒=，．11122BE x CE x ∴==-，，1111111242424CF x AF x x =-=--=+，（）． 11112224AQ AF x ∴==+（）， 1184y x ∴=+ ．（2）由方程组11184x y y x +=⎧⎪⎨=+⎪⎩得23x = ． ∴ 当点P 和点Q 重合时，23x =，11333243EF CF x ∴==-=（）．（3）设线段EP FQ 、的延长线相交于点M ，EF AC ⊥ ，390QFE ∴∠+∠=︒ ，FQ AB ⊥ ，390A ∴∠+∠=︒ ，60A QFE ∴∠=∠=︒ ，190C ∠+∠=︒ ，1290∠+∠=︒ ，260C ∴∠=∠=︒ ，MEF ∴ 是等边三角形，且当点P 和点Q 重合时，EF 最短为33. 且当点P 和点B 重合时，EF 最长为32 3332m ∴<≤ ．13.如图，在四边形ABCD 中，60120AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，，，连接AC BD ，交于点E ．（1）若2BC CD == ，M 为线段AC 上一点，且12AM CM =：：，连接BM ，求点C 到BM 的距离．（2）证明：BC CD AC += ．答案：见解析解析：（1）由条件可以证明ABC ADC ≌，可以得出30BAC DAC ∠=∠=︒ ，6090ACB ACD AEB ∠=∠=︒∠=︒，，求出90ABC ∠=︒ ，由勾股定理可以求出423AC AB ==，，由12AM CM =：：可以求得AM CM 、的值，在Rt BEC 中由勾股定理可以求出CE BE 、的值，从而求出BM 的值，过点C 作CF MB ⊥ 于F ，利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论．（2）要证BC DC AC += ，延长BC 到E ，使CE CD = ，则求AC BE = 即可．由60AB AD ABD =∠=︒，，得ABD 是等边三角形，进而得60ADB AD BD ∠=︒=，，又有120BCD ∠=︒ ，则DCE 是等边三角形，所以得ACD BDE ≌ ，则AC BE BC CD ==+ ．解：（1）60AB AD BAD =∠=︒，，ABD ∴ 是等边三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒ ．BC CD = ，ABC ADC ∴≌ ，3060BAC DAC ACB ACD ∴∠=∠=︒∠=∠=︒，．9090AEB BEC ABC ∴∠=∠=︒∠=︒，， 112CE BC ∴==，324BE AC BC ===，． 12AM CM =：：，43AM ∴=，83CM = ， 53EM ∴= ，在Rt BEM 中由勾股定理得 225213(3)()33BM =+= 过点C 作CF BM ⊥ 于点F ．22BM CF CM BE ⋅⋅∴= ． 213833322CF ⨯∴= ， 43913CF ∴= ．即点C 到BM的距离43913．（2）证明：延长BC 到点F ，使CF CB = ，连接DF ，，60AB AD ABD =∠=︒，ABD ∴ 是等边三角形，60ADB AD BD ∴∠=︒=，，BC CD ∴= ，CF CD ∴= ．120BCD ∠=︒ ，18060DCF BCD ∴∠=︒∠=︒﹣ ，DCF ∴ 是等边三角形，60CDF ADB DC DF ∴∠=∠=︒=，，ADC BDF ∴∠=∠ ，又AD BD = ，ACD BDF ∴≌ ，AC BF BC CF ∴==+ ，即AC BC CD =+ ．14.已知：如图，在等边三角形ABC 中，点D 是AC 边上的一个动点（D 与A C ，不重合），延长AB 到E ，使BE CD = ，连接DE 交BC 于点F ．（1）求证：DF EF = ；（2）若ABC 的边长为10 ，设CD x BF y ==，，求y 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围．答案：见解析解析：（1）过D 作DM AB 交BC 于M ，则CDM 为等边三角形，得CD DM = ，而BE CD = ，得到DM BE = ，易证得FDM FEB ≌ ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由（1）得FDM FEB ≌ ，得到MF BF y == ，易得CM CD x == ，而10BC = ，即有10x y y ++= ，即可得到y 与x 间的函数关系式．解：（1）证明：过D 作DM AB 交BC 于M ，CDM A CMD ABC ∴∠=∠∠=∠，，又∵在等边三角形ABC 中，60A ABC C ∠=∠=∠=︒ ，CDM CMD C ∴∠=∠=∠ ，CDM ∴ 是等边三角形，CD DM ∴= ，又CD BE = ，BE DM ∴= ，DM AE ，MDF E ∴∠=∠ ，在DMF 和EBF 中，MDF E ∠=∠ ，DFM EFB ∠=∠ ，DM BE = ，DMF EBF AAS ∴≌（）， DF EF ∴= ；（2）由（1）得DMF EBF ≌ ，BF MF y ∴== ，由（1）得CDM 是等边三角形，CM CD x ∴== ，又10CM MF FB BC ++== ，210y x ∴+= ，即152010x y x =-（＜＜）．15.如图，在四边形ABCD 中，260254AB AD A BC CD ==∠=︒==，，，．（1）求ADC ∠ 的度数．（2）求四边形ABCD 的面积．答案：见解析解析：（1）连接BD ，根据260AB AD A ==∠=︒，，得出ABD 是等边三角形，求得2BD = ，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC 是直角三角形，从而求得150ADC ∠=︒ ；（2）根据四边形的面积等于三角形ABD 和三角形BCD 的和即可求得；解：（1）连接BD ，260AB AD A ==∠=︒，，ABD ∴ 是等边三角形，260BD ADB ∴=∠=︒，，254BC CD ==，，则22222224202520BD CD BC +=+===，（）， 222BD CD BC ∴+= ，90BDC ∴∠=︒ ，150ADC ∴∠=︒ ；（2）131131••222443222222ABD BDC S S S AD AD BD DC =+=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+．16.已知：如图，四边形ABCD 中，6030ADC ABC AD CD ∠=︒∠=︒=，，．（1）连接AC ACD ，的形状是？（2）求证：222BD AB BC =+ ．答案：见解析解析：（1）根据全等三角形的判定定理“有一内角为60︒ 的等腰三角形是等边三角形”推知ACD 是等边三角形．（2）如图，以BC 为边向形外作等边BCE ，连接AE ．构造全等三角形（BCD ECA ≌ ），然后根据全等三角形的性质、勾股定理证得结论．解：（1）如图，连接AC ．60ADC AD CD ∠=︒=，，ACD ∴ 是等边三角形；故答案是：等边三角形；（2）如图，以BC 为边向形外作等边BCE ，连接AE ．由（1）知，ACD 是等边三角形，则60DC AC EC BC ACD BCE ==∠=∠=︒，，，在BCD 与ECA ，∵DC AC DCB ACE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BCD ECA SAS ∴≌（）， AE BD ∴= ，90ABE ∠=︒ ，∴ 在Rt ABE 中，有222AB BE AE += ，即222AB BC BD += ．17.如图，在ABC 中，AB AC D =，是三角形外一点，且60ABD BD DC AB ∠=︒+=，．求证：ACD ∠= ____°．答案：60解析：首先延长BD 至E ，使CD DE = ，连接AE AD ，，由BD DC AB += ，易得ABE 是等边三角形，继而证得ACD ADE ≌ ，则可证得：60ACD E ∠=∠=︒ ．证明：延长BD 至E ，使CD DE = ，连接AE AD ，，BD CD AB BE BD DE +==+，，BE AB ∴= ，60ABD ∠=︒ ，ABE ∴ 是等边三角形，60AE AB AC E ∴==∠=︒，，在ACD 和ADE 中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ACD ADE SSS ∴≌（），60ACD E ∴∠=∠=︒ ．18.如图，凸六边形ABCDEF 的六个角都是120︒ ，边长28116AB cm BC cm CD cm DE cm ====，，，，求出这个六边形的周长为____cm .答案：46解析：凸六边形ABCDEF ，并不是一规则的六边形，但六个角都是120︒ ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．解：如图，分别作直线AB CD EF 、、的延长线使它们交于点G H P 、、．因为六边形ABCDEF 的六个角都是120︒，所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60︒ ．所以三角形APF 、三角形BGC 、三角形DHE 、三角形GHP 都是等边三角形．所以86GC BC cm DH DE cm ====，．所以811625GH cm =++= ，252815FA PA PG AB BG cm ==--=--= ，251564EF PH PF EH cm =--=--= ．所以六边形的周长为2811641546cm +++++= ．19.如图，在六边形ABCDEF 中，A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ．（1）试说明MAF 为等边三角形；（2）请探索AB BC EF DE ，，，之间的关系（等量关系或位置关系）并说明理由．答案：见解析解析：（1）根据多边形的内角和定理求出120A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒ ，求出60MAF MFA ∠=∠=︒ ，得出等边三角形MAF ，推出MA MF = ，同理求出NBC MNG EDG 、、是等边三角形，推出BN BC DE EG ==，，求出AN FG = ，即可求出答案．解：（1）作直线AB 、直线EF 、直线CD AB ，和EF 交于M AB ，和CD 交于N EF ，和CD 交于G ，A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ，62180A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=-⨯︒（），120A B C D E F ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒ ，18012060MAF MFA ∴∠=∠=︒-︒=︒ ，MF MA ∴= ，MAF ∴为等边三角形．（2）AB BC EF DE +=+ ，理由是：120ABC BCD ∠=∠=︒ ，18012060NBC NCB ∴∠=∠=︒︒=︒﹣ ，NB NC ∴= ，BNC ∴ 是等边三角形，60BC BN N ∴=∠=︒，，同理60DE EG G =∠=︒，，60G N ∴∠=∠=︒ ，MN MG ∴= ， MAF 为等边三角形，MA MF ∴= ，MN MA MG MF ∴=﹣﹣ ，AN FG ∴= ，AB BC AB BN AN +=+= ，FG EF EG EF DE =+=+ ，AB BC EF DE ∴+=+ ．20.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒ ，其中连续四边的长依次是1995、、、．求这个六边形的周长为____.答案：42解析：首先延长并反向延长AB CD EF ，，，两两相交于点G H I 、、，可得GHI GBC ，是等边三角形，同理：HAF DEI ，是等边三角形，即可求得AF 与EF 的长，继而求得答案.解：如图，延长并反向延长AB CD EF ，，，两两相交于点G H I 、、，六边形ABCDEF 的每个内角都是120︒，6060G H I GCB GBC ∴∠=∠=∠=︒∠=∠=︒，，GHI GBC ∴，是等边三角形，同理：HAF DEI ，是等边三角形，95BG GC BC DE DI EI ∴======，，99523GI GC CD DI ∴=++=++= ，23GH GI HI ∴=== ，13AH GH BG AB ∴=--= ，13AF AH FH ∴=== ，5EF HI EI FH ∴=--= ，∴ 六边形ABCDEF 的周长113559942AB AF EF DE CD BC =+++++=+++++= ．。

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)

倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

中考数学二轮复习专题练习(上)常用辅助线—截长补短新人教版

2.截长补短1.已知ACB ∆，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交底BC 于G ，求证GD GE =．答案：见解析解析：解法1：过E 作EF AB ∥，交BC 的延长线于F ，则=B F ∠∠ ∵3=4∠∠，3=B ∠∠，4B ∴∠=∠ ∴4=F ∠∠，∴CE =CF ，在GEF ∆与GDB ∆中，12DB CE EF B F ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴GFE GBD ∆∆≌AAS （）GED C BA1243FK C GE D BA∴G DG =E 解法2：过D 点作DK AC ∥交BC 于K ，过D 点作DF BC ∥交AC 于F ， ∴四边形DKCF 是平行四边形， ∴DK =FC ，1ACB ∠=∠， ∵B ACB ∠=∠，∴1B ∠=∠， ∴DB =DK =CE =CF ， ∴C 是EF 中点，又∵BC DF ∥， ∴G 是DE 中点，∴DG =EG2.如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+答案：见解析1F KCGED BAEDCA解析：在BC 上取一点F ，使得BFBA =，连接DF ，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴ABD FBD ∠=∠，在ADB △与FDB △中，ABD FB BF BA BD BD D =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩∴ADB FDB △≌△(SAS)， ∴DFAD =，又∵DA DE =， ∴DF DE =∵100A ∠=︒，AB AC = ∴40ABC ∠=︒∵BD 是ABC ∠的平分线， ∴20ABD ∠=︒∴60ADB FDB ∠=∠=︒, ∵60CDE ADB ∠=∠=︒, ∴60FDC EDC ∠=∠=︒, 在DCF △与DCE △中，F EDCAFDC ED CD CD C =∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴DCF DCE △≌△(SAS)， ∴FC EC =∴BC BF FC AB EC =+=+3.如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．答案：见解析解析：在AC 上取一点E ，使得AB AE =连结DE ．AD Q 平分BAC ∠，∴BAD EAD =∠∠，在ABD △和AED △中DC B AEDC B ABAD EAD ∠=∠, AD AD =∴ABD AED △≌△SAS （）， ∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∴∠=∠，ED EC =，BD EC =∴，AC AE EC AB BD ∴=+=+∴AB BD AC +=．方法二：在AB 的延长线上取一点E使得AC AE =，连结DE ．在AED △和ACD △中，AC AE =EAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠，又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =， ∴AB BD AE AC +== ∴AB BD AC +=．ABCDE4.如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．答案：见解析解析：如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． ∵AD BC ⊥，DE DB =， ∴AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又∵AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， ∴CAE C ∠=∠，于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．5.如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．求证：AFDF BE =+．C D BAABD E C答案：见解析解析：证明：如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ． ∵ABCD 是正方形， ∴在ADF ∆和ABG ∆中，AD AB =90ADF ABG ∠=∠=°， DF BG =．∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ∆∆≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠．又∵AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAFBAE ∠=∠，∴DAF EAF BAG BAE ∠+∠=∠+∠．即EAD GAE ∠=∠．∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =．FEDC BAGFE DCBA即AG BG BE =+． ∴AF BG BE =+， ∴AF DF BE =+．6.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+答案：见解析解析：解一：作FH AE H ⊥于∵AF 平分DAE ∠，90D ∠=︒，FH AE ⊥，∴DAFEAF ∠=∠，FH FD =，在Rt AHF △与Rt ADF △中， ∵AF 为公共边，FH FD =FE DCB AHFEDCBA∴R AFH AFD t Rt ∆∆≌HL （）． ∴AHAD =，HF DF =．∵DF FC HF ==，FE 为公共边，90C FHE ∠=∠=︒， ∴()EFH EFC HL ∆∆≌ ∴HE CE =．∵AE AH HE =+，AG AD CD ==，HE CE =， ∴AE EC CD =+．解二：延长AF BC ，交于点G∵F 是CD 的中点，∴DF FC =， ∵在正方形ABCD 中，AD BC ∥， ∴90D FCG ∠=∠=︒，G FAD ∠=∠， ∴ADF CFG ∆∆≌AAS （）， ∴CG AD CD ==，G FAD ∠=∠， ∵DAFEAF ∠=∠∴G EAF ∠=∠ ∴AE EG =∴AE EC CG EC CD =+=+．GFE DC B A7.如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．答案：见解析解析：证明：如图，延长AB 到F ，使BF CE =，连接EF 与BC 相交于点N ，在BFN △和CEN △中，90FBN C BNF CNE BF CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BFN CEN AAS △≌△（）， ∴12BN CN BC ==，EN FN =，又∵M 是CD 的中点，∴12DM CD =， M EDCBA在正方形ABCD 中，AB BC CD ==，90D ABC ∠=∠=︒， ∴BNDM =，()ABN ADM SAS ≅△△，∴BAN DAM ∠=∠， ∵2BAE DAM ∠=∠， ∴BAN EAN ∠=∠，∴AN 既是AEF △的角平分线也是中线， ∴AE AF =，∵AFAB BF =+，∴AE BC CE =+．8.在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．答案：见解析解析：如图，在AC 上截取AE AB =，连接DE ．CD B AECD B A∵AD 平分BAC ∠， ∴BAD EAD ∠=∠，在ABD △与ADE △中，AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD AED SAS △≌△（）， ∴B AED ∠=∠，DE BD =，而AB BD AC AE CE +==+， ∴DE CE =， ∴EDC C ∠=∠，而AED C EDC ∠=∠+∠， ∴C B C ∠=∠-∠，∴12C B ∠=∠， ∴:2:1B C ∠∠=．9.如图，ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，且AB BD CD +=，则C ∠的大小是_____________.AB CD答案：见解析解析：如图，在DC 上取DE DB =，连接AE ， ∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒, 在ABD ∆与AED ∆中，90DE DB ADB ADC AD AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩ABD AED ∆∆≌()SAS ．AB AE CE ==，AEB B ∠=∠， AB BD CD +=Q ，AE DE CD +=∴，又EC DE CD +=Q ，AE EC =∴，C EAC ∠=∠∴，AEC C EAC ∠=∠+∠∴， 2B AEB C ∠=∠=∠，1801802120BAC B C C C ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒∴，得20C ∠=︒．10.如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.EAB CD答案：见解析解析：解法一过C 作AD 的垂线交AD 延长线于F ，CE AB ⊥Q ，90F BEC ∠=∠=︒∴，又AC Q 平分BAD ∠，EC FC =∴，在Rt EAC △与Rt FAC △中，EC FC =，AC AC =， Rt EAC Rt FAC △≌△()HL ，AE AF =∴，∵180B ADC ∠+∠=︒，180FDC ADC ∠+∠=︒， ∴FDC B ∠=∠，在BCE △与DCF △中，E DCBAFE DCBAEC FC =，90F BEC ∠=∠=︒， FDC B ∠=∠，BCE DCF ≌△△ BE DF =∴，∴AE AD DF AD BE =+=+11.正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.答案：见解析解析：延长EB 使得BG DF = ，连接AG ，在ABG △ 和ADF △ 中，FED CBA GFED CBA由90AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，可得ABG ADF SAS △≌△（）， DAF BAG ∴∠=∠ ，AF AG = ，又EF DF BE EB BG EG =+=+=Q ，AE AE = ，在AEG △ 和AEF △ 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， AEG AEF SSS ∴△≌△（）， EAG EAF ∴∠=∠，90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒Q 90EAG EAF ∴∠+∠=︒， 45EAF ∴∠=︒ ．12.如图，在ABC △中，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD CE 、相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；请说明理由．答案：见解析解析：FE FD =．理由如下：如图1，在AC 上截取AG AE =，连接FG ，∵AD 是BAC ∠的平分线， ∴12∠=∠，在AEF △和AGF △中，12AG AE AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF AGF SAS △≌△（）， ∴AFE AFG ∠=∠，FE FG =， ∵60B ∠=︒，∴18060120BAC ACB ∠+∠=︒-︒=︒， ∵AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，∴122BAC ∠=∠，132ACB ∠=∠， ∴11231206022BAC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒（）， ∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒．∴180180606060CFG AFG CFD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴CFG CFD ∠=∠， ∵CE 是BCA ∠的平分线， ∴34∠=∠，在CFG △和CFD △中，34CFG CFD FC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴CFG CFD ASA △≌△（）， ∴FG FD =， ∴FE FD =；13.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，若AB AD ＞，DC BC =．求证：180B D ∠+∠=︒．答案：见解析解析：证明：如图，在AB 上截取AD AF =，连接FC ． ∵AC 平分DAB ∠， ∴12∠=∠，在ADC △与AFC △中，12AD AF AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADC AFC SAS △≌△（）， ∴4D ∠=∠，CD CF =．又∵DC BC =， ∴FC BC =， ∴3B ∠=∠，∴34180B D ∠+∠=∠+∠=︒，即180B D ∠+∠=︒．14.已知：如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E F 、分别是BC DC 、边上的点，且AE EF ⊥，2BE =．（1）求:EC CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP 于点P （图2），试判断AE 与EP 的大小关系，并说明理由．答案：见解析解析：（1）∵AE EF ⊥， ∴2390∠+∠=︒， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴90B C ∠=∠=︒，∴1390∠+∠=︒，12∠=∠， ∴ABE ECF △∽△， ∴::5:2EC CF AB BE ==；（2）在AB 上取一点M ，使BM BE =，连接ME ．∴AM CE =． ∴45BME ∠=︒， ∴135AME ∠=︒． ∵CP 是外角平分线， ∴45DCP ∠=︒， ∴135ECP ∠=︒． ∴AME ECP ∠=∠．∵90AEB BAE ∠+∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒， ∴BAE CEF ∠=∠．∴AME PCE ASA △≌△（）． ∴AE EP =．15.如图，已知正方形ABCD 中，E F 、分别是BC 、CD 上的点，且AF 平分DAE ∠．求证：AE DF BE =+．答案：见解析解析：证明：延长CB 到G ，使BG DF =，连接AG （如图）∵AD AB =，90D ABG ∠=∠=︒，∴ADF ABG SAS △≌△（）， ∴5G ∠=∠，13∠=∠，∵12∠=∠，∴23∠=∠，∴2434∠+∠=∠+∠，即FAB EAG ∠=∠，∵CD AB ∥，∴5FAB EAG ∠=∠=∠，∴EAG G ∠=∠，∴AE EB BG EB DF =+=+．16.如图正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒．求证：BE DF EF +=；答案：见解析解析：（1）证明：延长EB 至H ，使BH DF =，连接AH ，∵在正方形ABCD 中，∴ADF ABH ∠=∠，ADF ABH ∠=∠，在ADF △和ABH △中，∵AD AB ADF ABH DF HB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF ABH SAS △≌△（）， ∴BAH DAF ∠=∠，AF AH =，∴90FAH ∠=︒，∴45EAF EAH ∠=∠=︒，在FAE △和HAE △中，∵FAE EAH AE AE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴FAE HAE SAS △≌△（）， ∴EF HE BE HB ==+，∴EF BE DF =+，17.如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF BE FD =+．答案：见解析解析：证明：将ADF △顺时针旋转得到ABG △，使得AD 与AB 重合，则ADF ABG △≌△，∴FAG BAD ∠=∠，AF AG =，DF GB =， ∵12EAF BAD ∠=∠， ∴EAF EAG ∠=∠，在EAG △和EAF △中，EAF EAG AE AE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAG EAF SAS △≌△（）∴GE EF =，∵GE GB BE DF BE =+=+，∴EF BE FD =+．18.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB ⊥于E ，并且1()2AE AB AD =+，求ABC ADC ∠+∠的度数．答案：见解析解析：过C 作CF 垂直AD 于F ，∵AC 平分BAD ∠，∴FAC EAC ∠=∠，∵CE AB ⊥，CF AD ⊥，∴90DFC CEA ∠=∠=︒，∴AFC AEC AAS △≌△（）， ∴AF AE =，CF CE =，∵1()2AE AB AD =+， ∴2AE AB AD =+，又∵AD AF DF =-，AB AE BE =+，AF AE =， ∴2AE AE BE AE DF =++-，∴BE DF =，∵90DFC CEB ∠=∠=︒，CF CE =，∴CDF CEB SAS △≌△（）， ∴ABC CDF ∠=∠，∵180ADC CDF ∠+∠=︒，∴180ABC ADC ∠+∠=︒．19.已知凸四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=︒，AC 平分BAD ∠，过C 作AB 的垂线交AB 于E ，求证：12AE AB AD =+（）．答案：见解析解析：证明：过C 作CM AD ⊥于M ，Q CE AB ⊥，∴90M CEB ∠=∠=︒，Q 180ABC ADC ∠+∠=︒，180MDC ADC ∠+∠=︒，∴B MDC ∠=∠，Q AC 平分BAD ∠，CM AD ⊥，CE AB ⊥，∴CM CE =，MAC EAC ∠=∠，在MAC △和EAC △中，90MAC EAC M AEC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，MAC EAC AAS ∴△≌△（）， AM AE ∴=，90M BEC ∠=∠=︒Q ，∴在Rt DMC △和Rt BEC △中CD BC CM CE =⎧⎨=⎩， Rt DMC Rt BEC HL ∴△≌△（）， BE DM ∴=，∴22AB AD AE BE AD AE DM AD AM AE +=++=++==，即12AE AB AD =+（）．20.已知如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，且12AE AB AD =+（），求证：B ∠与D ∠互补．答案：见解析解析：证明：在AB 上截取AF AD =，连接CF ，AC Q 平分BAD ∠，BAC CAD ∴∠=∠，又AC AC =，ACF ACD SAS ∴△≌△（）， AF AD AFC D ∴=∠=∠，， Q 12AE AB AD =+（）， EF BE ∴=，又CE AB ⊥Q ，BC FC ∴=，CFB B ∴∠=∠，180B D CFB AFC ∴∠+=∠+∠=︒，即B ∠与D ∠互补．21.如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于点E ，且12AE AB AD =+（）．如果120D ∠=︒，则B ∠等于．答案：60︒解析：解：如图，在AB 上截取AF AD =，连接CF ，AC Q 平分BAD ∠，AC 为公共边，AFC ADC ∴△≌△，ADC AFC ∴∠=∠，12AE AB AD =+Q （），AF AD =， 12AF EF AF BF AF ∴+=++（）， ∴12EF BF =， EF BE ∴=，CE AB ⊥Q ，ABC BFC ∴∠=∠，180ADC ABC ∴∠+∠=︒，120D ∠=︒Q ，60B ∴∠=︒．故答案为：60︒．22.如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，2AD AB AE +=．求证：180B ADC ∠+∠=︒．答案：见解析解析：证明：过C 作CF 垂直AD 于F ，AC Q 平分BAD ∠，FAC EAC ∴∠=∠，CE AB ⊥Q ，CF AD ⊥，90DFC CEB ∴∠=∠=︒，AFC AEC ∴△≌△，AF AE ∴=，CF CE =，2AE AB AD =+Q ，又AD AF DF =-Q ，AB AE BE =+，AF AE =，2AE AE BE AE DF ∴=++-，BE DF ∴=，90DFC CEB ∠=∠=︒Q ，CF CE =，CDF CEB ∴△≌△，ABC CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒Q ，180B ADC ∴∠+∠=︒．23.如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．答案：见解析解析：如图所示，延长AC 到E 使CE BM =．在BDM ∆与CDE ∆中，∵BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =， ∴BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =．∵120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒， ∴60BDM NDC ∠+∠=︒．又∵BDM CDE ∠=∠， ∴60MDN EDN ∠=∠=o．在MND ∆与END ∆中，NM EDC BADN DN =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DM DE =，∵MND END ∆∆≌，则NE MN =，∴AMN ∆的周长AM AN MN AM AN NE =++=++ AM AN NC CE =+++ AM AN NC BM =+++ AB AC =+2=．24.如图，在ABC △中，AB BD AC +=，ABC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．答案：见解析解析：在AC 上取一点E ，使得AB AE =，连结DE ．在△ABD 和AED △中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，DC B AEDC B AAD AD =．∴ABD AED △≌△， ∴BD ED =，B AED ∠=∠ 又∵AB BD AC +=， ∴EC BD ED ==2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．25.如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．答案：见解析解析：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD △与EBD △中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD =， ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠，AB CDE DCB A∵108A ∠=︒，∴108DEB ∠=︒, ∴72DEC ∠=︒．∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒．∴13618542ADB C ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴72CDE ∠=︒, ∴CDE DEC ∠=∠, ∴CD CE =, ∵BC BE EC =+， ∴BC AC CD =+.26.如图，ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，那么C ∠的大小是__________．答案：80︒ 解析：在AB 上取点E ，使得AE AC =，连接DE ．D CB A∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△, ∴C AED ∠=∠，CD CE =, ∵AB AC CD =+，AE AC =， ∴CD BE DE ==, ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80AED B BDE =+=︒∠∠∠， 80C AED ∠=∠=︒.26.如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，2B C ∠=∠，D 点在BC 上，AD 平分BAC ∠，若1AB =，则BD 的长为____________．答案：见解析解析：在BC 上截取AE AB =，连接DE ，ED CB AD CB A∵AE AB =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ABD AED △≌△∴BD DE =，ABD AED ∠=∠，AB AE =，∵90BAC ∠=︒，2B C ∠=∠， ∴60B ∠=︒，30C ∠=︒， ∴30DEC C ∠=︒=∠， ∴DE CE =，∴1BD AC AB =-=-.27.已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．答案：见解析解析：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2，ED CB AD CBA∴E EAB ∠=∠， ∵AB CD BD =-， ∴ED CD =，在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =，∴AED ACD △≌△， ∴E C ∠=∠， ∴2B C ∠=∠．28.已知等腰，，的平分线交于，则．答案：见解析解析：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．图2EAB CD ABC ∆100A ∠=︒ABC ∠AC D BD AD BC +=DCB A∵12∠=∠，BD 为公共边，∴BAD BFD △≌△，AD FD =，ADB FDB ∠=∠，∵1111(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒， ∴180(1)180(10020)60ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒． ∵DF DE =，∴DFC DEC △≌△， ∴E DFC ∠=∠，34∠=∠．∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒． ∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+， ∴BC BD AD =+．BADC21FE43。

初二数学上册：倍长中线模型练习题(含答案)

初二数学上册：倍长中线模型练习题（含答案）【例一】已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC．【例二】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G则△DGF∽△ECF，∴DG：CE=DF：EF，而DF=EF，∴DG=CE；∵AB=AC，∴∠B=∠ACB；∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∴∠DBG=∠DGB，∴DG=BD，∴BD=CE．【例三】已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE=ED，在△ABE与△FDE中BE=DE，∠AEB=∠DEF，AE=EF∴△ABE≌△FDE（SAS）∴AB=DF，∠BAE=∠EFD∵∠ADB是△ADC的外角∴∠DAC＋∠ACD=∠ADB=∠BAD∴∠BAE＋∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD∴∠EFD＋∠EAD=∠DAC＋∠ACD∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC∴DF=DC，在△ADF与△ADC中AD=AD∠ADF=∠ADCFD=DC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．【例四】已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F.求证：AF=EF证明：延长AD至K，使DK=AD，连接BK，∵D为BC中线，∴BD=DC，在△ADC和△KDB中，AD=DK∠1=∠2BD=DC，∴△ADC≌△KDB，∴∠3=∠K，AC=BK，又∵BE=AC，∴BE=BK，∴∠K=∠5，又∵∠5=∠4，∴∠3=∠4，∴AF=EFend。

中线有关的辅助线——倍长中线

中线有关的辅助线——倍长中线倍长中线1．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB 于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．（1）试判断△EMF是什么形状的三角形，并证明；（2）以线段BE、EF、FC为边能否构成直角三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC中点，点E、F分别为AB、AC 上的点，且ED⊥FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断此三角形的形状．5．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．6．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°．如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=（AB2+AC2）．7．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．三线合一1．如图，点P是等腰Rt△ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足为E、F，设点D为BC中点，求证：△DEF是等腰直角三角形．2．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．3．如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．5．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．中线有关的辅助线——倍长中线一．解答题（共7小题）1．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD=∠G，BG=AC又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB 于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．【分析】作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG=CF，只要证明BG=CM，CF=CM 即可．【解答】证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B=∠MCE，∵E是BC中点，∴BE=EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG=CM，∵AD∥EF，∴∠1=∠FGA，∠2=∠F，∵∠1=∠2，∴∠F=∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA=∠M，∴∠F=∠M，∴CF=CM，∴BG=CF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点M为BC边上的中点，过M作ME⊥MF，ME交AB于E，MF交AC于F．（1）试判断△EMF是什么形状的三角形，并证明；（2）以线段BE、EF、FC为边能否构成直角三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．【分析】（1）连接AM，根据等腰直角三角形的性质就可以得出△AFM≌△BEM，就有EM=FM，进而得出△EMF是等腰直角三角形；（2）由△AFM≌△BEN可以得出BE=AF，再通过证明△AME≌△CMF就可以得出AE=CF，就可以得出结论．【解答】解：（1）△EMF是等腰直角三角形理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴AB=AC，∠B=∠C=45°．∵点M为BC边上的中点，∴AM=MB=MC，∠AMC=∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM=45°，∴∠B=∠C=∠BAM=∠CAM．∠AME+∠BME=90°．∠AMF+∠CMF=90°∴ME⊥MF∴∠EMF=90°，∴∠AME+∠AMF=90°，∴∠BME=∠AMF，∠AME=∠CMF．在△AFM和△BEM中，，∴△AFM≌△BEM（ASA），∴FM=EM．∵∠EMF=90°，∴△EMF是等腰直角三角形；（2）线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．∵△AFM≌△BEM∴AF=BE．在△AME和△CMF中，，∴△AME≌△CMF（ASA），∴AE=CF．∵∠BAC=90°，∴AE2+AF2=EF2，∴CF2+BE2=EF2．∴线段BE、EF、FC为边能构成直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC中点，点E、F分别为AB、AC 上的点，且ED⊥FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断此三角形的形状．【分析】作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，易证∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠G，即可证明△DFC≌△BDG，可得FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，易证EF=EG 和∠ABG=90°，即可解题．【解答】解：作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，∵BG∥FC，∴∠FCD=∠DBG，∠CFD=∠DGB，在△DFC和△BDG中，，∴△DFC≌△BDG，（AAS）∴FC=BG，DG=DF，∠DBG=∠ACB，∵ED⊥FD，∴EF=EG，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°，∴△EBG为直角三角形，∴BE、EF、FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DFC≌△BDG是解题的关键．5．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【分析】延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF=FH，证△BDE≌△CDH，推出BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH ＞FH，代入求出即可．【解答】证明：延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1=∠4=∠ADB，∠3=∠5=∠ADC，∴∠1+∠3=∠4+∠5=∠ADB+∠ADC=×180°=90°，∵∠1=∠2，∴∠3+∠2=90°，即∠EDF=∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF=FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有一定的难度．6．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°．如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=（AB2+AC2）．【分析】添加AC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EN，即ED=DN，得△BED≌△CND，则BE=NC；再由中垂线的性质得EM=MN，所以BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2，可得△BEM为直角三角形，即可求证．【解答】证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD=DC，∴ED=DN．在△BED与△CND中，∵∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE=NC．∵∠MDN=90°，∴MD为EN的中垂线．∴EM=MN．∴BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2，∴△BEM为直角三角形，∠MBE=90°．∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．∴∠BAC=90°．∴AD2==（AB2+AC2）．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、三角形全等的判定，作辅助线是关键．7．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是BM=DM且BM⊥DM；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．【解答】解：（1）∵M是EC的中点，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DM=BM．∵M是EC的中点，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案为：BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°﹣∠5﹣∠7﹣∠1，∠7=180°﹣∠6﹣∠9，∴∠8=360°﹣45°﹣（180°﹣∠6﹣∠9）﹣（∠3+∠9），=360°﹣45°﹣180°+∠6+∠9﹣45°﹣∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．。

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