2014福州5月份质检理数(word版)

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福州市2014年初中数学质检题(含答案)

（1）m＝_______%，这次共抽取了_________名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有_________名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
19．（满分11分）某商店决定购进一批某种衣服．若商店以每件60元卖出，盈利率为20%
22．解：（1）由抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C，可得：
，解得：，3分
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3．4分
（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m2－4m＋3），
∵点D（2，－1），5分
又∵ （3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：CD＝2，BD＝，BC＝3，
∵CD2＝BC2＋BD2，
其中一男一女的情况有6种．………………………………………………11分
∴抽到一男一女的概率P＝＝．12分
19．解：（1）设购进这种衣服每件需元，依题意得：1分
60－a＝20%a，3分
解得：a＝50．4分
答：购进这种衣服每件需50元．5分
（2）设一次函数解析式为y＝kx＋b，由图像可得：6分
，解得：k＝－1，b＝100，7分
三、解答题（共7小题，满分90分）
16．（每小题7分，共14分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（每小题7分，共14分）
（1）如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
（2）如图，已知点A（－3，4），B（－3，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°，得到
又∵E是的中点，即＝，∴∠ADE＝∠EDB，

2014年福建省福州市高中毕业班质量检测理科数学(word版)

2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={(x ,y )|y =lg x },B ={(x ,y )|x=a },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( ). A. a <1 B. a ≤1 C. a <0 D. a ≤02.“实数a =1”是“复数(1)ai i +( a ∈R ,i 为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M 的值是（）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4. 命题”x R ∃∈,使得()f x x =”的否定是( )A.x R ∀∈,都有()f x x =B.不存在x R ∈,使()f x x ≠C.x R ∀∈,都有()f x x ≠D.x R ∃∈,使 ()f x x ≠5. 已知等比数列{a n }的前n 项积为∏n ,若8843=⋅⋅a a a ,则∏9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,若OC ＝λOA ＋μOB ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )7. 函数f (x )的部分图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A.2B.5C.2D.2 9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3 10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1),则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ).A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ,则点M 恰好取自阴影部分的概率为 .13. 若直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为 . 14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩, 若数列{a m }满足))(2(+∈=N m mf a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.17. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，090ABC ∠=2===AD BC AB =4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．（Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD ⊥CG ；（Ⅱ）当B ADGED GBCF V V --=2时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, ①当βα+=2π时,求证直线AB 恒过一定点M ; ②若αβ+为定值(0)θθπ<<,直线AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数1()ln+)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠ （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围; （Ⅲ）若存在110x a-<<，20x >，使得()()f x f x ==120，求证：120x x +>. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,属于特征值1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=232α.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵; （Ⅱ）计算A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=,直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222(t 为参数),两曲线相交于M ,N 两点. （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若P (－2,－4),求|PM |+|PN|的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )=|x －4|+|x －3|, （Ⅰ）求f (x )的最小值m（Ⅱ）当a +2b +3c=m (a ,b ,c ∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分 17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC 而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分因为向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，所以sin 1sin 2A B =，由正弦定理得:21=b a ①……………10分由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC 又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小.EG=12BC =2,又∵EA=EB =2．则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG =(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD ⊥CG ………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0), ∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =- …………………10分面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n>=1212||||n n n n =- …………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角, ……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BGC --的平面角. …………9分由于HG =1,在∆OHG中5OH =, 又DH=2，在∆DOH中tan DHDOH OH∠==分所以此二面角平面角的余弦值为6.…………13分 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b ,则将 y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0)., 当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分 20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <．所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<)11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=, 于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4233A . ………… 2分所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A…………4分法二:033)3(0332=-++-=----c d d dcλλλλ即的两个根为6和1, 故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A-…………4分(Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2 则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1,故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。

福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学理试题扫描版含答案

数学(理科)试卷参考答案与评分标准第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. C2. B3. B 4．A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10．C 11. B 12. B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．1 14． 15．222n n -+ 16.．②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→-··········································· 2分由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π····························· 5分故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······················································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ······ 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ···················································· 9分 ∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ······································································· 10分由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （开区间也可以）··································································································································· 12分18. （本小题满分12分）解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>1111==n 13n 13n na a a +∴+，又 ········································································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ·············································· 4分n 1n11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ··············································································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++……① ····································································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++……② ··················································· 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++- ··································· 9分1111331313n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- ··················································· 10分 3114323n nnn S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nnS +--∴=⨯ ················································································· 12分19. （本小题满分12分） .解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,A A A ，它们彼此互斥，且123()0.4,()0.5,()10.40.50.1P A P A P A ==∴=--=分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,B B B ，它们彼此互斥，且123()0.5,()0.3,()10.50.30.2P B P B P B ==∴=--= ····················· 2分由题知，123,,A A A 与123,,B B B 相互独立， ········································· ３分记甲、乙两人所扣积分相同为事件M ，则112233M A B A B A B =++ 所以112233()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++0.40.50.50.30.10.20.20.150.020.37=⨯+⨯+⨯=++= ······ ６分 (Ⅱ) 据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 ·········································· 7分 11(0)()()0.2P P A P B ξ===1221(1)()()()()0.40.30.50.50.37P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=132231(2)()()()()()()0.40.20.50.30.10.50.28P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯= 2332(3)()()()()0.50.20.10.30.13P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯= 33(4)()()0.10.20.02P P A P B ξ===⨯= ············································· 10分的数学期望 ···· 11分答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，ξ的数学期望 1.4E ξ= ··············· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ································· 2分（I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ···························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<， ················································ 6分即3x10.5<. ···································································· 7分所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分（II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ···················································· 10分而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ········································· 12分21. （本小题满分12分）s 解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ····························· 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，·················································································· 2分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，····································································································· 3分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ····························································· 4分（II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ·················································· 6分此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ··········································································· 7分由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-， ································ 8分从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，···· 9分此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，由题设可得22199********kmm k k =--，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································································· 10分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， ············································ 11分整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >，所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝∞，，，，∞． ······· 12分 22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++， ∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ······································································ 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ··························································· 2分又∵()00f =，所以切点为()0,0. ····································································· 3分故所求的切线方程为：3y x =. ··········································································· 4分（Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-，∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x af x x x x +-++'=+=+++． ··························································· ６分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······························································ ７分 ②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ····················· ８分综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ····· ９分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ·················································· 10分 ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+． ································· 11分令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111nn n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+． ············································· 12分另一方面，∵()2111n n n<+，即21111n n n -<+, ∴21111n n n>-+．······························································································ 13分 ∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）． ····································································· 14分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ································· 10分 ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ······························································ 11分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ·········································································· 12分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ···························· 13分令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ·················································· 14分。

福建省福州一中2014届高三5月校质检数学【理】试题及答案

福州一中2013-2014学年度校质检高三数学理试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 已知命题p ：x R ∃∈，21x =．则p ⌝是A ．x R ∀∉，21x ≠ B. x R ∀∈，21x ≠ C ．x R ∃∉，21x ≠D. x R ∃∈，21x ≠2. 设集合{}1,1M =-，{}2N a =，则“1a =”是“MN M =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．54. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为A.2-B. 3C. 4D. 65. 在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于A ．40B ．42C ．43D ．456.若sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α等于 A ．34 B ．34- C ．12 D ．12- 7. 函数()412x xf x +=的图象 A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y x =对称 D ．关于原点对称 8. 已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必与α相交C ．平面ABC 必不垂直于αD ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内9. 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为12,F F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为A ．1213144e e += B. 221231144e e += C ．221231144e e += D. 221213144e e += 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩则下列说法正确的个数是①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅; ②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =;③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+. A ．2 B. 3 C ．4 D. 5第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．若复数1iz i=+，则z 的共轭复数z ＝___________. 12．已知多项式()()()22012111nn n x x x b b x b x b x ++++++=++++，且满足12n b b b +++26=，则正整数n 的一个可能值为___________.13．已知圆22:440C x y x y +--=，直线60l y ++-=，在圆C 上任取一点A ，则点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． 14. 已知()ln ln 1x x x '=+，则1ln exdx =⎰___________.15.已知两个非零向量a 和b 所成的角为()0θθπ≤≤，规定向量c a b =⨯，满足：（1）模：sin c a b θ=；（2）方向：向量c 的方向垂直于向量a 和b （向量a 和b 构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向. 这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积. 对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是___________.①0a a ⨯=; ②0a b ⨯=等价于a 和b 共线; ③叉乘运算满足交换律，即a b b a ⨯=⨯; ④叉乘运算满足数乘结合律，即()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[]100,0，样本数据分组为[)20,0，[)40,20，[)60,40，[)80,60，[]100,80，学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿.（Ⅰ）求频率分布直方图中x 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（Ⅲ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取3人，记ξ为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求ξ的分布列及其数学期望.17. （本小题满分13分）已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求二面角E AD B --的余弦值;（Ⅱ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ BQ ⊥，若存在，求出DQ 的长；若不存在，请说明说明理由.18. （本小题满分13分）如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，1,AB BC ==,M N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将AMN ∆沿MN 翻折，AMN ∆变为A MN '∆，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=．（Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；（Ⅱ）求线段A N '长度的最小值．19. （本小题满分13分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点,其焦点()(),00F c c >到直线l :20x y -+=（Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）若M 是抛物线C 上异于原点的任意一点，圆M 与y 轴相切. （i ）试证：存在一定圆N 与圆M 相外切，并求出圆N 的方程；（ii ）若点P 是直线l 上任意一点，,A B 是圆N 上两点，且AB BN λ=，求PA PB ⋅的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k Z ∈，且()f x kx k >-对任意1x >恒成立，求k 的最大值；（III ）若()*2ln 23ln 3ln 3,k a k k k k N=+++≥∈，证明：311nk ka=<∑()*,n k n N ≥∈．21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2413M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2010N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）求圆221x y +=在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线l的参数方程为：()2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线l 与曲线C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,a b 为正实数.（Ⅰ）求证:22a b a b b a+≥+；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2014年5月）参考答案（理科）一．选择题BACDB BADCC 二．填空题 11.12i -；12. 4；13. 14；14. 1；15. ①②④三．解答题16.解：（I ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …3分（II ）设中位数为y ，则()200.0125200.0250.5y ⨯+-⨯=，解得30y =所以中位数估计为30分钟. ……6分（III ）依题意得13,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分 ()()33131102813128P P C ξξ⎛⎫===⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭()32313228P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()311328P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………11分所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 P18 38 38 18 所以ξ的数学期望是13322E ξ=⨯=..……………13分17. 解：（I ）由三视图知，,,CA CB CE 两两两垂直，以C 为原点，以,,CA CB CE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．……………1分则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，1），E （0，0，4）∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-，()()4,4,1,0,0,1DA BD =--=……………3分设面ADE 的法向量为(),,n x y z =，面ABD 的法向量为(),,m x y z '''=则有00n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430440y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，取1z =得31,,14n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m AB m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4400x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =得()1,1,0m =，……………… 6分设二面角E AD B --的大小为θ，由图可知θ为钝角故31cos cos ,41n m n m n mθ+⋅=-=-=-=∴二面角E AD B --的余弦值为．…………………………… 8分（II ）∵点Q 在棱DE 上，∴存在()01λλ≤≤使得DQ DE λ=………………… 9分()()()0,0,10,4,30,4,31BQ BD DQ BD DE λλλλ∴=+=+=+-=-+同理()4,44,31AQ λλ=--+………………… 11分,0AQ BQ AQ BQ ⊥∴⋅=即()()()2444+3+1=0λλλ--解得15λ=所以满足题设的点Q 存在，DQ 的长为1.…………………………13分18. 解：（I ）设MA MA x '==，则1MB x =-．在Rt MBA '∆中，()1cos 2xxπθ--=，………2分 ∴2111cos22sin MA x θθ===-．………4分∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合， ∴42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．…………5分（II ）在AMN ∆中，23ANM πθ∠=-，2sin sin 3AN MA πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭, 21sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθθθθθ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………… 8分令2212sin sin 2sin sin sin cos 32t πθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos2sin 22226πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭………………… 11分 ∵42ππθ<<， ∴52366πππθ<-<．当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时， t 有最大值32. ∴3πθ=时，AN '有最小值23．………………… 13分 19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24y cx =,2=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. …………4分(Ⅱ) （i ）设圆M 与y 轴的切点是点M ',连结MM '交抛物线C 的准线于点M ''，则1M MF MM r ''==+，所以圆M 与以F 为焦点，1为半径的圆相切，圆N 即为圆F ，圆N 的方程为()2211x y -+=;…………8分(ii)由AB BN λ=可知，AB 为圆N 直径，…………9分从而()()()22211272PA PB PN NA PN NBPN PN NA NB NA NB PN ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-⎛≥- ⎝⎭=所以PA PB ⋅的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………13分 20.解：（I ）因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．………………… 1分因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3，所以()e 3f '=，即ln e 13a ++=．所以1a =．………………… 2分（II ）由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，………………… 4分，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………… 5分因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，6分所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．……… 7分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．………………… 8分（III ）由（II ）知()ln 231x x x x >->，取()*2,x k k k N =≥∈，则有2ln 2223,3ln3233,,ln 23k k k >⋅->⋅->⋅-将上面各式相加得()()()222ln 23ln 3ln 22331211k k k k k k k +++>+++--=-+=-即()21k a k >-，故()()()211131(2)1k k a k k k <=≥---，所以 ()()3311111112231211111 1223211111nk kn a a a n n n n n ==++<+++⨯⨯--=-+-++---=--<∑…………………14分21.（1）解：（Ⅰ）法１：由于24213=，∴M -1=1322112M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, ∴1X M N -==32201021100012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭；…………………3分（Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M -对应的变换作用下变为(),x y ''则10000x x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则0x x y '=⎧⎨'=⎩，所以作用后的曲线方程为0(11)y x =-＃.…………………7分（2）解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………4分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）,代入ax y 22=得到0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+，因为2MN PM PN =，所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+解得1=a …………………7分（3）（Ⅰ）证明：0,0a b >>，由柯西不等式得()()222a b b a a b ba ⎛⎫++≥+=+ ⎪⎝⎭=a b =. 所以22a b a b b a+≥+.…………………4分（Ⅱ）解：01,10x x <<∴->由（Ⅰ）知，()221111x x y x x xx-=+≥-+=-，当且仅当1x x -=，即12x =时等号成立.所以函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值为1. …………………7分。

福建省福州一中2014届高三5月校质检理综试题 Word版含答案.pdf

，再经过20s停止运动。该物体的速度与时间的关系如图所示。求：
（1）整个过程中物体的位移大小；
（2）物体与地面的动摩擦因数。21.（19分）如图所示，在xoy平面内的y轴左侧有沿y轴负方向的匀强电场，y轴右
侧有垂直纸面向里的匀强磁场，y轴为匀强电场和匀强磁场的理想边界。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计
（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。（16分）中学化学常见的物质A、B、C、D之间存在如下转化关系
：A + B →C + D + H2O（没
有配平）请按要求填空：
（1）若A为短周期元素组成的黑色固体单质，与B的浓溶液共热时，产生C、D两种气体。C、D两种气体均能使澄清
（3）若A在水中的溶解度随温度的升高而降低；B为短周期非金属单质，C是漂白粉的有效成分之一，C发生水解反
石灰水变浑浊，则该反应的化学方程式是：______________________，鉴别这两种气体不能选用的试剂是
___________。a．BaCl2溶液
b．KMnO4溶液
c．品红溶液
d．酸化的Ba(NO3)2溶液向500mL 2mol?L-
1的NaOH溶液中通入0.8mol无色无味的C气体，恰好反应完全，此时反应混合液中物质的量最大的微粒是
D．可用BaCl2溶液除去粗盐中的SO42－
10．下列实验能达到目的的是（）
A．检验SO2具有漂白性B．配制0.1 mol?L-1NaOH溶液时定容C．分离出碘水中的碘D．配制一定浓度硫酸溶液
11．对于可逆反应mA(g) + nB(g) pC(g) + qD(g)，若其它条件都不变，探究催化剂对反应的影响，可得到如下两

2014年高考试题(福建卷)理数(word答案)

2014年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是学科网（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（） A.25 B.246+ C.27+ D.2610.学科网用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分. 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. （1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）学科网求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

2014年福建高考理科数学试题含答案(Word版)

2014年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D 4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件 7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b bb b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 二、填空题 11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

福建省惠安县2014届高三5月质量检查数学(理)试题-Word版包含答案(2014高考)

2014年惠安县普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i(1i)-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}012<-=x x A ，{}m x x B <=，若“A a ∈”是“B a ∈”的充分而不必要条件，则实数m 的取值可以是（）A ．14B ．13C ． 1D ．123．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，682=+a a ，则=9S （）A ．227B ．27C ．54D ．108 4．已知平面βα,和直线 m ，给出条件：①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ．为使m β⊥，应选择下面四个选项中的（）A ．③⑤B ．①⑤C ．①④D ．②⑤5．若直线6π=x 是x x x f ωωcos sin 3)(+=的图象的一条对称轴，则ω可以是（）A ．1B ．2C ．4D ．56．执行下面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（）A ．120B ．720C ．1440D ．50407．若函数)(x f 的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分，则函数)(x f 称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆2214x y +=的“可分函数”为（） A ．3)(x x f = B ．()sin f x x = C ．xx x f +-=22ln )( D ．()2x x f x e e -=+-8．函数x x f sin )(=在区间(0,5)π上可找到n )2(≥n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得：nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则自然数n 的所有可能取值集合为（） A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}5,4,3,2{ D ．}6,5,4,3{ 9．如图，设圆弧221(0,0)x y x y +=≥≥与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M ，过圆弧上一点A 做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N .现随机在区域N 内投一点B ，若设点B 落在区域M 内的概率为P ，则P 的最大值为（）A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π第16题A10．如图，点(4,4)P 是曲线y =OP 的中点1M 作x 轴的垂线交曲线于点1P ，再过线段1P P 的中点2M 作x 轴的垂线交曲线于点2P ，……，以此类推，过线段1n P P - 的中点n M 作x 轴的垂线交曲线于点n P （0P 为原点O ， 1,2,3,n =）．设点(1,0)F ，直线n FM 关于直线1n P P -的对称直线为n l （1,2,3,n =），记直线1n P P -、n l 的斜率分别为1n P P k -、n l k ．若1n n P P l k k λ-≤+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ取值范围是（）A ．]23,(-∞ B ．]1,(-∞ C ．]21,(-∞ D ．]0,(-∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．在平面直角坐标系下，满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+002y y x y x 所对应的平面区域面积是．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .13．已知二项式3322103)12(x a x a x a a x +++=-，则=++32132a a a .14．直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，P 为双曲线C 上的一点，且b a +=(+∈R b a ,，O 为坐标原点)，则11a b+的最小值为______． 15．先阅读下面的材料：x =，则有x =21x x =+，解得12x +=（负值舍去）．”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得函数()F x x =的零点为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分13分)已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//,AB CD 且,ACBD ⊥AC 与BD 交于O ，,2,2PO ABCD PO AB CD ⊥===底面E F 、分别是AB AP 、的中点．（Ⅰ）求证：AC EF ⊥；（Ⅱ）求二面角F OE A --的余弦值．17．(本小题满分13分)已知函数A x A x f -+=)6(cos 2)(2ϕπ（R x ∈,0>A ,2||πϕ<）,)(x f y =的部分图像如图所示,P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,点P 的坐标为),1(A ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及ϕ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为)0,1(,32π=∠PRQ ,求A 的值和PRQ ∆的面积．18．(本小题满分13分)如图，在圆22:4O x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．（Ⅰ）当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E的方程；（Ⅱ）若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系．19．(本小题满分13分)持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一.为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率)(k P =η取得最大值的整数k .20．(本小题满分14分)设()(1)xf x e a x =-+(e 是自然对数的底数， 71828.2=e )，且0)0(='f ．（Ⅰ）求实数a 的值，并求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设)()()(x f x f x g --=，对任意)(,2121x x R x x <∈，恒有m x x x g x g >--1212)()(成立．求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若正实数21,λλ满足121=+λλ，)(,2121x x R x x ≠∈，试证明：)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+<+；并进一步判断：当正实数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ )2,(≥∈n N n ，且n x x x ,,,21 是互不相等的实数时，不等式<+++)(2211n n x x x f λλλ )()()(2211n n x f x f x f λλλ+++ 是否仍然成立．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转︒45的变换R 所对应的矩阵为M ,将每个点横、纵坐标分别变为原来的2倍的变换T 所对应的矩阵为N ．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（Ⅱ）求曲线1=xy 先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=6sin36cos 1ππt y t x （t 为参数）．（Ⅰ）分别求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲已知0>>b a ，且bb a a m )(1-+=．（Ⅰ）试利用基本不等式求m 的最小值t ；（Ⅱ）若实数z y x ,,满足t z y x =++2224，求证：32≤++z y x ．2014年惠安县普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．B ； 7．D ； 8．C ； 9．D ； 10．C*10.解析：随着n 的增大，1n P P k -、n l k 均递减，且当点n P 无限趋近于点P 时，1n P P k -无限趋近于点P处的切线l 的斜率12，又易得直线FP 关于切线l 的对称直线为4y =，即n l k 无限趋近于0（或由抛物线的光学性质知n l k 无限趋近于0），所以1n n P P l k k -+无限趋近于12．二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．1； 12．31； 13．6； 14．4； 15*15.解析：令()f x x =，则()((((F x f f f f xx =-．若00()f x x =，则00(())()f f x f x x ==，…，00(((()))f f f f x x =；反过来，若0x 满足00(((()))f f f f x x =，由于()f x 在[0,)+∞上单调递增，由反证法可知，必有00()f x x =．综上可知，方程(((()))f f f f x x =与()f x x=同解，得x =（负值舍去）．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．证明：（1）E F 、分别是AB AP 、的中点.EF 是APB ∆的中位线，//,EF PB ∴ ………………………………………2分由已知可知,,PO ABCD PO AC ⊥∴⊥ ………………………………………3分,AC BD ⊥OP BD O =,AC POB ∴⊥面 …………………………………4分 PB POB ⊂面AC PB ∴⊥ …………………………………………………5分.AC EF ∴⊥…………………………………………………………………………6分（2）以,,OB OC OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题设，得2,1OA OB OC OD ====， …………………………………………7分()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,0,1,0,0,(0,0,2)A B C D P --(1,1,0),(0,1,1),OE OF =-=- …………………………………………………………8分设平面OEF 的法向量为(,,)m x y z =00m OE m OF ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩可得(1,1,1)m =， ………………………………………………………10分又平面OAE 的法向量为(0,0,1)n = 设二面角F OE A --的大小为α，则||3|cos |||||m n m n α⋅==．α为锐角，∴二面角F OE A -- ……………………………13分17. 本小题主要考查三角函数的图像和性质、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合、化归与转化思想等．满分13分．解：（Ⅰ）)23cos(]1)6(cos 2[)6(cos 2)(22ϕπϕπϕπ+=-+=-+=x A x A A x A x f ． ……………2分所以632==ππT ．将),1(A P 代入得1)23cos(=+ϕπ(2||πϕ<），故6πϕ-=．…6分（Ⅱ）设点Q 的坐标为),(0A x -，由题意可知πππ=-330x ，得40=x ，所以),4(A Q - ．连接PQ , 则222249)()14(A A A PQ +=--+-=, ………………………………8分又因为A RP =,22229)0()14(A A RQ +=--+-= ………………………………9分在PRQ ∆中,32π=∠PRQ ,由余弦定理得：2222221cos .22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅解得32=A ，又0>A ，所以3=A ．……………………………………………11分233231232132sin 92132sin 212=⨯⨯⨯=+⋅⋅=⋅⋅=∆ππA A RQ RP S PRQ ………13分 18. 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(,2)P x y ．点P 在圆224x y +=上，22(2)4x y ∴+=，即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）解法一：（i ）当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为2x =或2x =-．显然与轨迹E 相切；（ii ）当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为(0)y kx t k =+≠，因为直线PN 与圆O2=，即22440t k --=．………………7分又直线MN 的斜率等于2k，点N 的坐标为(,0)t k -．所以直线MN 的方程为()2k t y x k =+，即1()2y kx t =+． …………………………9分由221(),21,4y kx t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222(1)240k x ktx t +++-=． 222(2)4(1)(4)kt k t ∆=-+-2224(44)0k t k =--=．故直线MN 与轨迹E 相切．综上（i ）（ii ）知，直线MN 与轨迹E 相切． ……………………………………………13分解法二：设00(,)P x y （00≠x ），则22004x y +=．……………………………………5分（i ）当00=y 时，直线MN 的方程为2x =或2x =-，此时，直线MN 与轨迹E 相切；（ii ）当00≠y 时，直线PN 的方程为0000()()0x x x y y y -+-=，即004x x y y +=．令0y =，则04x x =．04(,0)N x ∴，又点00(,)2y M x ，所以直线MN 的方程为00004()42()y y x x x x =--，即00022x y x y y =-+．………………9分由000222,2440,x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩得22220000()84160x y x x x y +--+=即2200240x x x y --+=． 22220000(2)4(4)4(4)0x y x y ∆=--+=+-=．所以，直线MN 与轨迹E 相切．综上（i ）（ii ）知，直线MN 与轨迹E 相切．……………………………………………13分19．本小题主要考查样本频率分布、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解: （Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：%64%1005032=⨯．………………2分被调查者年龄的平均约为：4350570560105015401030520=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…4分（Ⅱ）依题意得：3,2,1,0=ξ……………………………………………………………5分()22642251061545150=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()111224644422225105104246666222=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=………………………………………7分所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=． ……………………………………………………9分（Ⅲ） 2050201832)(C C C k P kk -==η,其中20,4,3,2 =k . …………………………………10分∴)1)(1()20)(32()()1(2018321918132-+--===+=--+k k k k C C C C k P k P kk k k ηη，…………………………………11分当1)1)(1()20)(32(≥-+--k k k k 即521712+≤k 时，)()1(k P k P =≥+=ηη；当1)11)(1()20)(32(<-+--k k k k 即521712+>k 时，)()1(k P k P =<+=ηη.……………12分即)13()4()3()2(=<<=<=<=ηηηηP P P P ；)20()15()14()13(=>>=>=>=ηηηηP P P P .故有：)(k P =η取得最大值时13=k . ………………………………………13分20．本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分. 解：（Ⅰ）∵a e x f x-=')(，01)0(=-='a f ，故1=a ．……………………………1分令01)(>-='xe xf 得0>x ；令01)(<-='xe xf 得0<x ． ………………3分所以)(x f 的单调递增区间为),0(+∞；单调递减区间为)0,(-∞．………………4分令12x x t -=，则函数)0(1)(222>-+-=t e et t tλλϕλ．]1[)()1(22222-=-='-t t t t e e e e t λλλλλϕ，其中0)1(2<-t λ，得01)1(2<--t e λ，故0)(<'t ϕ．即)(t ϕ在),0(+∞上单调递减，且0)0(=ϕ．所以0)(<t ϕ．从而有)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+<+成立．该不等式能更进一步推广：已知2,≥∈n N n ，n x x x ,,,21 是互不相等的实数，若正实数n λλλ,,,21 满足1=+++λλλ ，则<+++)(x x x f λλλ )()()(x f x f x f λλλ+++ ．21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=22222222M ，1=M ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴-222222222222222211M M ．…4分（Ⅱ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2002N ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=22222222M ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111NM⎩⎨⎧+='-='∴y x y y x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'-='+'=22y x y y x x 代入1=xy 中得：422='-'x y ．故所求的曲线方程为：422=-x y ．…………………………………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由θρc os 4=得θρρcos 42=，故曲线C 的直角坐标方程为：x y x 422=+，即4)2(22=+-y x ；由直线l 的参数方程消去参数t 得)1(333-=+x y ，即043=--y x ．………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为圆心)0,2(C 到到直线l 的距离为1314032=+-⋅-=d ，d 恰为圆C 半径的21，所以圆C 上共有3个点到直线l 的距离为1．………………………………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由三个数的均值不等式得：3)(1)(3)(1)(3=-⋅-≥-++-=bb a b b a b b a b b a m（当且仅当ba b b a -==-1即2,1==a b 时取“=”号），故有3=t ．……4分（Ⅱ）3=++z y x ，由柯西不等式得：2222222)2()111]()2([z y x z y x ++≥++++（当且仅当1121z y x ==即53,56===y z x 时取“=”号）整理得：9)2(2≤++z y x ，即32≤++z y x ．……………………………7分。

福州三中2014届5月高三理数试卷含答案

2013～2014学年福州三中高三数学（理科）考前模拟试卷2014.05.24本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：（1）答卷前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密封线外。

（2）请考生认真审题，将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置，并认真检查以防止漏答、错答。

（3）考试中不得使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.计算2(1)i i -的值等于（）A.-4B.2C.-2iD.4i2.已知集合}11|{<≤-=x x A ，}0|{2≤-=x x x B ，则B A 等于（）A. }10|{<≤x x B ．}10|{≤<x x C ．}10|{<<x x D.}10|{≤≤x x3.原命题p ：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞2bc ”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（）个.A.0B.1C.2D.44.已知角α的终边与单位圆122=+y x 交于),21(0y P ,则α2cos 等于（）A ．12-B ．21 C．-D ．15.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（）6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A ．()x f x x=B ．cos ()()22x f x x x ππ=-<< C ．21()21x x f x -=+ D ．22()ln(1)f x x x =+1x--Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8.已知曲线1C :1322=+y x 和2C :122=-y x ，且曲线1C 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能9.设a ∈R ，函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln22B ．－ln2 C.ln22 D ．ln210. 设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上满足22[]4[]100x y +=的点(,)P x y 所形成的图形的面积为（）A.10B. 12C. 10πD. 12π第二卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．在567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，含4x 的项的系数是___12.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3115,2S a ==，则4a =______.13. 已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若△ABC 的面积222S b c a =+-，则tan A =的值是。

2014福州市5月质检】福建省福州市2014届高三5月综合练习物理试题 Word版含答案

2014福州市5月质检】福建省福州市2014届高三5月综合练习物理试题 Word版含答案13.一正弦交流电通过理想电流表接在一个理想的降压变压器两端，瞬时值为e=2202sin100πtV。

以下哪个说法正确？A。

流过r的电流方向每秒钟变化50次。

B。

变压器原线圈匝数小于副线圈匝数。

C。

开关从断开到闭合时，电流表示数变小。

D。

开关闭合前后，AB两端电功率可能相等。

14.图中为一个透明均匀玻璃圆柱，其横截面为图中所示，由a、b两种单色光组成的复色光通过A点射入，分别从B、C射出。

以下哪个说法正确？A。

a光的折射率大于b光的折射率。

B。

在玻璃中，a光的传播速度小于b光的传播速度。

C。

a、b两种单色光分别从B、C射出时折射角相等。

D。

a、b两种单色光分别通过同一个双缝干涉装置获得的干涉条纹间距b的较大。

15.一列横波沿水平绳传播，绳的一端在t=0时开始做周期为T的简谐运动，经过时间t(T/2<t<3T/4)，绳上某点位于平衡位置下方的最大位移处。

则2t时刻，该点位于平衡位置和运动状态：A。

上方，加速向下运动。

B。

上方，减速向上运动。

C。

下方，加速向上运动。

D。

下方，减速向下运动。

16.2013年12月2日，嫦娥三号探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，从环月圆轨道上的P点实施变轨进入椭圆轨道，再由近月点Q开始进行动力下降，最后于2013年12月14日成功落月。

假设嫦娥三号在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力。

以下哪个说法正确？A。

若已知环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度。

B。

在环月段圆轨道上运行周期比在环月段椭圆轨道上的周期大。

C。

在环月段圆轨道上经过P点时开动发动机加速才能进入环月段椭圆轨道。

D。

沿环月段椭圆轨道运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度。

17.如图所示斜面，除AB段粗糙外，其余部分都是光滑的，一个物体从顶端滑下，经过A、C两点时的速度相等，且AB=BC，整个过程斜面体始终静止在水平地面上。

2014福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)试卷及答案

1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分（Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =，所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=．故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分（Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '．（ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分（ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=，所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦．（*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。

2014年福州市质检初三数学试卷及答案

二0一四年福州市初三质检考试数学试卷（全卷共4页，三大题，共22小题；满分150分；考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效毕业学校___________ 姓名__________ 考生号_____________一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．3-的相反数是A ． 3B ．3-C ． 13D ．13-2．今年参加福州市中考的总人数约为78000人，可将78000用科学记数法表示为 A ．478.010⨯ B ．47.810⨯ C ． 57.810⨯ D ．60.7810⨯ 3．某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是A ．三棱柱B ．长方体C ．圆柱D ．圆锥4．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是A B C D5．下列计算正确的是A ．32a a -=B ．333236b b b ⋅=C ．3233a a a ÷=D ．()437a a =6．若20a -，则a b +的值是A ．2B ．0C ．1D ．1-7．某班体育委员对七位同学定点投篮进行数据统计，每人投十个，投进篮筐的个数依次为：5，6，5，3，6，8，9．则这组数据的平均数和中位数分别是A ．6，6B ．6，8C ．7，6D ．7，88．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m ．依题意，下面所列方程正确的是A ． 120x ＝100x +10 B ．120x ＝100x －10C ．120x －10＝100x D ．120x +10＝100x第 10 题CA BGFD E O第 9 题9．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC =4，AO =3，则四边形DEFG 的周长为A ．6B ．7C ．8D ．1210．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （1-，0），顶点坐标为C （1，k ），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），则k 的取值范围是A ．2＜k ＜3B ．25＜k ＜4 C ．38＜k ＜4 D ． 3＜k ＜4二．填空题（共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置） 11．分解因式：2xy xy +=____________．12．“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页” ．这是___________事件（选填“随机”，“必然”或“不可能”）．13．已知反比例函数ky x=的图象经过（1，－2）．则k = ． 14．不等式4325x x -<+的解集是_________．15．如图，已知∠AOB =60°，在OA 上取O 1A =1,过点1A 作11B A ⊥OA 交OB 于点1B ，过点1B 作21A B ⊥OB 交OA 于点2A ，过点2A 作22B A ⊥OA 交OB 于点2B ，过点2B 作32A B ⊥OB 交OA 于点3A ，…，按此作法继续下去，则10OA 的值是．三．解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）16．（每小题7分，共14分） ⑴．计算：120141()(1)3-+- ⑵．先化简，再求值：2(1)(1)(2)a a a +-+-，其中a =12．123O第 17（2）题17．（每小题7分，共14分）（1）如图，CA =CD ，∠1=∠2，BC =EC ．求证：AB =DE ．（2）如图，点A （3-，4），B （3-，0）将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△11OA B ． ①画出△11OA B ，并直接写出点1A 、1B 的坐标； ②求出旋转过程中点A 所经过的路径长（结果保留π）．1CABDE 第17（1）题218．（满分12分）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．5学生体育活动条形统计图学生体育活动扇形统计图（1）m =______%，这次共抽取了_______名学生进行调查；并补全条形图；（2）请你估计该校约有名学生喜爱打篮球；（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？19．（满分11分）某商店决定购进一批某种衣服．若商店以每件60元卖出，盈利率为20%（100%-⨯售价进价利润率=进价）．（1）试求这种衣服的每件进价；（2）商店决定试销售这种衣服时，销售单价不低于进价，又不高于70元，若试销中销售量y （件）与销售单价x (元)的关系是一次函数（如图）．问当销售单价定为多少元时，商店销售这种衣服的利润最大？20．（满分12分）如图，在⊙O 中，点P 为直径BA 延长线上一点，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥PE ，点H 为垂足，BH 交⊙O 于点C ，连接BD ．（1）求证：BD 平分∠ABH ；（2）如果AB =10，BC =6，求BD 的长；（3）在（2）的条件下，当E 是AB 的中点， DE 交AB 于点F ，求DE DF ⋅的值．21．（满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AB =7，AD =4，CA =5，动点M 以每秒1个单位长得速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C →D →A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 交于点E ，与折线A —C —B 的交点为Q ，设点M 的运动时间为t ．（1）当点P 在线段CD 上时，CE = ，CQ = ；（用含t 的代数式表示）（2）在（1）的条件下，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为等腰三角形，求t 的值；（3）当点P 运动到线段AD 上时，PQ 与AC 交于点G ，若:1:3PCG CQG S S ∆∆=，求t 的值．22．（满分14分）已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点A （1，0）、B （3，0）、C （0，3），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线2y ax bx c =++上有一点G ，使得∠GAB =∠BCD ，求点G 的坐标；（3）设△ABD 的外接圆为⊙E ，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是⊙E 上异于A 、B的任意一点，直线AP 交l 于点M ，连接EM 、PB ．求t an t an MEB PBA ∠⋅∠的值．DCAB DC A BM Q l EP←→DCA BB学生体育活动条形统计图2014年福州市初中毕业班质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8． B 9． B 10．C 二、填空题11．(1)xy y + 12．随机 13．2- 14．x <4 15．94 或182 三、解答题16．（1）解：120141(1)3-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=431-+ ································································ 6分 =2． ······································································ 7分（2）解：原式=1-2244a a a +-+ ················································ 4分=45a -+， ·························································· 5分当a =21时，原式=-2+5=3． ········································ 7分 17．（1）证明：∵∠1=∠2， ∴12ECA ECA ∠+∠=∠+∠， ························································· 2分即 ACB DCE ∠=∠． ··································································· 3分又∵,CA CD BC EC ==， ······························································ 5分 ∴△ABC ≌△D E C ． ······························································ 6分 ∴AB DE =． ············································································· 7分（2）①画图正确2分， 1A （4，3），1B （0，3）……………4分； ②如图，在Rt △OAB 中， ∵222OB AB OA +=，∴5OA =.…………………5分 ∴90551802l ππ⨯==. …………………6分因此点A 所经过的路径长为52π． ·········································· 7分 18．（1）20；50；如图所示； …………………………………6分（2）360；………………………8分（3）列树状图如下：……10分由树状图可知：所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． …………………11分∴抽到一男一女的概率P=61122=． ············································ 12分解法二：列表如下：………10分由列表可知：所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．………………………………11分∴抽到一男一女的概率P=61122=． ············································ 12分 19．解：（1）设购进这种衣服每件需a 元，依题意得： ·············· 1分6020%a a -=， ···························································· 3分解得：50a =. ······························································· 4分答：购进这种衣服每件需50元． ·································· 5分（2）设一次函数解析式为y kx b =+，由图像可得： ·················· 6分60407030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1k =-，100b =， ··································· 7分 ∴100y x =-+.∴利润为(50)(100)x x ω=--+······························· 8分21505000x x =-+-=2(75)625x --+. ··················································· 9分∵函数2(75)625x ω=--+的图像开口向下，对称轴为直线75x =,∴当5070x ≤≤时，ω随x 的增大而增大， ······························ 10分 ∴当70x =时，600ω=最大.答：当销售单价定为70元时，商店销售这种衣服的利润最大.…11分 20．解：（1）证明：连接OD . ·················································· 1分 ∵PD 是O 的切线，∴OD ⊥PD .又∵BH ⊥PD ，∴90PDO PHB ∠=∠=︒,……2分 ∴OD ∥BH ，∴ODB DBH ∠=∠.……………………………3分而OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，……………4分女男3男2男1女男2男1女男3男1女男3男2男3男2男1∴OBD DBH ∠=∠，∴BD 平分ABH ∠. ……………………………5分（2）过点O 作OG BC ⊥，G 为垂足，则3BG CG ==， ········································································ 6分在Rt △OBG 中，OG =22BG OB -=4. ∵90ODH DHG HGO ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ODHG 是矩形. ···························································· 7分 ∴5,OD GH == 4,DH OG == 8.BH = ·········································· 8分在Rt △DBH 中，BD =······················································· 9分（3）连接,A D A E ，则,AED ABD ∠=∠ 90ADB ∠=︒.在Rt △ADB 中,AD =. ························································· 10分又∵E 是AB 的中点，即A E B E =,∴AD E ED B ∠=∠，∴△ADE ∽△FDB . ································································· 11分即DE ADDB FD=，∴40DE FD DB AD ⋅=⋅=. ······································· 12分 21．解：（1）3CE t =-， ·························································· 1分553CQ t =-； ·········································································· 3分（2）当C P C Q =时，得：553t -=t ，解得：t =158；………………………………4分当QC QP =时（如图1）， ∵QE CD ⊥，∴2CP CE =， ············································································ 5分即：2(3)t t =-，解得：t =2； ············································································· 6分当QP CP =时，由勾股定理可得：2224(23)(4)3PQ t t =-+-， ∴224(23)(4)3t t -+-=2t ， ······················································· 7分整理得：2432042250t t -+=，解得：13t =(舍去)，27543t =····················································· 8分解法二：如图2，当Q P C P =时，过点P 作PN CQ ⊥，N 为垂足，则CN =CQ 21= 21（553t -） ∵△C P N ∽△CAD ．∴CP CN CA CD =，即3)355(215t t -=，解得：7543t =． ······································································ 8分因此当t =158，t =2或7543t =时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形为等腰三角形．（3）如图3，过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，交PQ 于点H .4(3)7PA DA DP t t =-=--=-．在Rt △BCF 中，由题意得，4BF AB AF =-=．∴CF BF =，∴∠B =45°，…………………9分∴ 7QM MB t ==-， ∴QM PA =．又∵QM ∥PA ，∴ 四边形A M Q P 为平行四边形．∴PQ =AM =t . ········································································· 10分 ∵:1:3PCG CQG S S ∆∆=，且12P C G S PG CH ∆=⋅，12CQG S QG CH ∆=⋅， ∴PG ∶QG =1∶3 ． ······························································· 11分得：31(7)44t t -=， ····························································· 12分解得：214t =． ····································································· 13分因此当214t =时，:1:3P C G C Q G S S ∆∆=． 22．解：（1）由抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，可得：30930c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ············································· 3分 ∴抛物线的解析式为243y x x =-+. ·········································· 4分（2）解：过点G 作GF x ⊥轴，垂足为F ．设点G 坐标为（m ，243m m -+），∵点D (2，1-), ········································································· 5分又∵B (3,0),C (0,3),∴由勾股定理得：CD =BD =BC =∵222CD BC BD =+，∴△C B D 是直角三角形，………………………6分 ∴1tan tan 3GAF BCD ∠=∠=. ∵1tan 3GF GAF AF ∠==， ∴ AF =3GF ……7分即 23(43)1m m m --+=-，解得：11m =（舍去），383m =． ·············································· 8分 ∴点G 的坐标为（83，59-）． ··············································· 9分（3））解法一：∵点D 的坐标为（2，1-），∴△ABD 是等腰直角三角形，∴圆心E 是线段AB 的中点，即E （2，0），半径为1，………10分设点M 的坐标为（3，m ）， ∵AB 为直径，∴AB =2，BE =1，∠APB =90°，∴∠PBA =∠AMB ， ………11分 ∴tan 1mMEB m ∠==， ………12分 2tan tan PBA AMB m∠=∠=………13分 ∴2tan tan 2MEB PBA m m∠⋅∠=⋅=． ………14分解法二：∵点D 的坐标为（2，1-）， ∴△ABD 是等腰直角三角形，∴圆心E 是线段AB 的中点，即E （2，0），半径为1，………10分设P （1x ，1y ）（1＜1x ＜3，10y ≠），M （3，0y ）,作PF x ⊥轴，F 为垂足.∵点A 、P 、M 三点在一条直线上，∴01121y y x =-，即10121y y x =-．∴0112tan 1y y MEB EBx ∠==-，…… 11分∵AB 为直径， ∴∠APB =90°，∴∠PBA =∠APF , ……………12分 ∴111tan tan ||x PBA APF y -∠=∠=，……………13分 ∴11112||1tan tan 21||y x MEB PBA x y -∠⋅∠=⋅=-．……………14分解法三：同上，连接PE ， ∵ PE ＝1，PF =|1y |, EF =|1x -2|，在Rt △PEF 中, 根据勾股定理得：2211(2)1x y -+=，即22111(2)x y --=,…………………………………………………12分，∵11tan 3y PBA x ∠=-，………………………………………………13分∴22112211122tan tan (43)1(2)y y MEB PBA x x x ∠⋅∠==--+--=2．……14分（没有加绝对值或没有分类讨论扣1分）。

福建省福州一中高三数学5月质量检测试卷理

福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式s=V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x （第1题图）2.若11a i i i+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A. i B. i - C. 2i - D. 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．25D ．454.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为A ．2B ．3C ．2-D ．3- 5.下列判断不正确的是A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξEB ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等 6.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称 D ．关于直线6π=x 对称7．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为A8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是（）A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADC.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30 第8题图 D.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥．则以下结论一定成立的是A ．a b ⊥B ．()b a b ⊥-C ．()a a b ⊥-D ．()()a b a b +⊥-10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 有且只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos ,0xf x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨≤⎪⎩⎰则．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为．14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等于．15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，323()f x x x =-+．则以下结论：①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >； ④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <．其中正确结论的序号是．（填上你认为正确的所有答案序号）(第12题图)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.（Ⅰ）求证：FC ∥∥平面EAD ；（Ⅱ）求二面角A FC B --的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设m R ∈，函数（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，，求()f A 的取值范围．EA B CDFO19．（本小题满分13分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数23()1x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11(,())33f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若不等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的一个特征值1所对应的特征向量为10⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长. （3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足2226a b c ++=．（Ⅰ）求2a b c ++的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M +++≥恒成立，求实数m 的取值范围．福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：313214. 40292 15. ①④选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y m y --=，△=216(1)m +，把（1）代入22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D.三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===，14115528(1)25C P X C C ===，8 7 5 6 9826甲乙5 57 2 58 5115511(2)25P X C C ===，…………………10分随机变量X160122525255EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………13分17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以BC AD ∥，BF DE ∥.因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ，所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥…………………………………………………2分又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂，所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂，所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分（II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥，又因为O 为AC 中点,且FC FA =，所以FO AC ⊥又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥………………………………………………6分由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ，则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ，令1=x ，则)1,3,1(--=→n …………………………………………………………………10分因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为515…………………………………………………13分 18．解：（I2分…………………………………4分5分，k Z ∈7分（II ……………………………………………………………………………………………8分11分 12分13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =1c =． ⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+故椭圆C 的方程为22143x y +=.…………………………………………………………4分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………………………………………………5分证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………8分因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．……………………………………………………………………………………………9分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．………………………………………10分点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分20. 解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………1分2121199'()1310(1)9f --+∴==-+，又1()33f =，所以函数()f x 在13x =的切线方程为913()103y x -=--，即9331010y x =-+.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）11'()1()x p g x x p x p x p--=-=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减；当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；所以 1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+.……………………………………………5分 ①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点，所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分(Ⅲ)1220153()2015,a a a +++=当12201513a a a ====时，有1()33f =.所以1220151()()()2015()60453f a f a f a f +++=⨯=.………………………10分接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤.由(I)知，函数23()1x f x x +=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+.而当03x <≤时，2239331()(3)()0110103x f x x x x x +=≤-+⇔--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010n n n f a a a ≤-+=-………………12分所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10f a f a f a a a a +++≤⨯-+++=所以，当12201513a a a ====时，122015()()()f a f a f a +++的最大值为6045.再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥所以p 的最小值为6044.……………………………………………………………14分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a =，0b =.…2分所以1101M ⎛⎫=⎪⎝⎭.因为det 1M =，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………………4分（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到''(,)x y ，则''1101x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得''x x y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即'''x x yy y⎧=-⎪⎨=⎪⎩，代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为221x y +=.…………7分（2）（Ⅰ）由12x ty t=⎧⎨=+⎩，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+=.………………2分由)4πρθ=+，得coscos sin )2sin 2cos 44ππρθθθθ=+=+， 22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=.……4分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离d ==，圆的半径R ,||AB ===……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，即有2(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分又a 、b 、c 是正数，∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当121a b c==，即当1,2a c b ===时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-，由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.综上，实数m 的取值范围为7m ≥或5m ≤-.……………………………………………7分。

福州5月月考测试卷理科数学(word版)

福州市高三综合练习数学(理科)试卷第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( )A.6π B.2πC.56πD.π4.函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是( )A B C D 5. 已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于( ) A.18.5 B.37 C.185 D.370 6.已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有( )个.A.8B.9C.26D.277.设F 1、F 2分别为双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN =120o,则该双曲线的离心率为( ) A.337 B.37C.321D.319 8.设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为 (mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡,则b 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.20149.如图,己知3||,5||==,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB ,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+,若点P 在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x 、y 的式子中,①x ≥0,y ≥0;②x －y ≥0;③x －y ≤0;④5x －3y ≥0;⑤3x －5y ≥0.满足题设条件的为( ) A.①②④ B.①③④ C.①③⑤ D.②⑤10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d ,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a 口令,那么第5次也使用a 口令的概率是( )A.727 B.61243 C.1108 D.1243第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+0,0,032|),(y x y x y x y x 所表示的平面区域内任取一点M ,则点M 恰好取自x 轴上方的概率为___ _____.12.在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅=32-,则AC ＝_____ __．13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 . 14.若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是． 15.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米): 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133; 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图), 问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X 的分布列. 17. (本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-,(sin(),sin )2n B B π=+,且sin 2m n A ⋅=.(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F ,求COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++的值.18. (本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,.C ; 已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; ks5u(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B ,试利用结论:在椭圆22221x y a b +=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y y a b+=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ; (Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由. 20.(本题满分14分)已知函数ln ()xx kf x e+=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x-+<+恒成立.21.(本题满分14分)(1)二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程.(2)已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ks5u(Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;ks5u(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =,求直线l 的普通方程.(3)已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.2014届福州市高三综合练习数学(理)参考答案1-5 DABCA 6-10 BCABA 11.1412.114.)4,0[ 15.{x |x >1}.16. 解:(1)茎叶图如图所示:(2分)统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗高度的中位数为127,乙种树苗高度的中位数为128.5;④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.………………………………………………4分(每写出一个统计结论得1分) (2)依题意,x ＝127,S ＝35. (6分)S 表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量.S值越小,表示树苗长得越整齐,S值越大,表示树苗长得越参差不齐.(3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12,则X～B⎝⎛⎭⎪⎫5，12, (10分)所以随机变量X的分布列为13分17. (1)由题意，sin2sin cos sin cosA CB B C=+得2sin cos sin()sinA ABC A=+=………………………………………………2分由于ABC∆中sin0A>,2cos1A∴=,1cos2A=………………………………3分∴sin A=………………………………………………………4分2R=3,31,32sinπ===SRAa-----------------------------------------6分(2)因为O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,所以RCOFBOEAOD===cos||cos||cos||,故COFBOEAODcos||cos||cos||++=3-----13分解:(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系O x y z-,则A(1,0,0),C(0,1,0),设11,DD m B E n==,由于111BB B E⋅=,所以1mn=,并且1(0,0,)D m,E(1,1,m n+),……………… 2分∴1(1,1,)D E n=,1(1,0,)AD m=-,1(0,1,)CD m=-,1110D E AD mn⋅=-+=,11D E AD∴⊥又1110D E CD mn⋅=-+=,11D E CD∴⊥111AD CD D⋂=,∴1D E⊥平面1AD C……………… 6分(Ⅱ)(0,1,)AE m n=+，(1,0,)CE m n=+设平面EAC 的法向量为(,,)t x y z =,则00t AE t CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩, 即()0()0y z m n x z m n ++=⎧⎨++=⎩,令1z =,则()x y m n ==-+,(,,1)t m n m n ∴=----. ……………… 9分1D E ⊥平面1AD C ,∴平面1AD C 的法向量1(1,1,)D E n = ∴11cos||4||||t D Et D E π⋅=⋅,即|2=,解得m n ==…………… 12分 ∴当1112B E BB =时,二面角1E AC D --的大小为4π. ……………… 13分 19.解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0a b >>)431222=-=e ab ① 点(1,32)在椭圆C 上,221914a b +=②,由①②得:224,3a b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=， ……………… 4分 (Ⅱ)设切点坐标11(,)A x y ,22(,)B x y ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y+=. 又两条切线交于点M(4,t ),即1113t x y +=,2213tx y += 即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=,显然对任意实数t ,点(1,0)都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点2F . ……………… 7分 (Ⅲ)将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程,得 223(1)41203t y y -++-=,即22(4)2903t y ty +--=所以122612t y y t +=+,1222712y y t =-+……………… 10分不妨设120,0y y ><,21||3AF y ===,同理22||BF y = 所以2211||||AF BF +21121211()y y y y y y --==1243=所以2211||||AF BF +的值恒为常数43.……………… 13分 20.解:(Ⅰ)由ln ()x x k f x e +=得'1ln ()xkx x x f x xe --=,(0,)x ∈+∞, 所以曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线斜率为'1(1)k f e-=,(1)k f e =,∴曲线y=()f x 切线方程为1(1)k k y x e e--=-,假设切线过点(2,0),代入上式得:10(21)k ke e--=-,得到0=1产生矛盾,所以假设错误,故曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0)…………4分(Ⅱ)由'0()0f x =得001ln x x k x -=001x <≤,∴'0210x k x +=-<,所以0()k x 在(0,1]上单调递减,故1k ≥…………7分 (Ⅲ)令2'()()()g x x x f x =+,当x =1时,1k =,所以1()(1l n ),(0,)xx g x x x x x e +=--∈+∞.. 因此,对任意0x >,2()1g x e -<+等价于21ln (1)1xe x x x e x ---<++.…………9分由()1ln h x x x x =--,(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2,h x x =--(0,)x ∈+∞.因此,当2(0,)x e -∈时,'()0h x >,()h x 单调递增;2(,)x e -∈+∞时,'()0h x <,()h x 单调递减.所以()h x 的最大值为22()1h e e --=+,故21ln 1x x x e ---≤+. …………12分设()(1)xx e x ϕ=-+,'()1x x e ϕ=-,所以(0,)x ∈+∞时'()0x ϕ>,()x ϕ单调递增,()(0)0x ϕϕ>=,故(0,)x ∈+∞时,()(1)0xx e x ϕ=-+>,即11xe x >+. 所以221ln 1(1)1xe x x x e e x ----≤+<++. 因此,对任意0x >,2'21()e f x x x-+<+恒成立 …………14分21.(1)解:(Ⅰ)由题意,二阶矩阵A 对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,故10102A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭二阶矩阵B 对应的变换是逆时针旋转090的旋转变换,故0110B -⎛⎫=⎪⎝⎭…………4分(Ⅱ) C=BA =0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭10102⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,10210C ⎛⎫- ⎪∴= ⎪⎝⎭ 设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12x ny m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-= …………7分 21.(2)解:(Ⅰ)由4cos ρθ=,得24cos ρρθ=,222x y ρ=+,cos x ρθ=∴曲线1C 的直角坐标方程是224x y x +=,即22(2)4x y -+=. …………3分(Ⅱ)设11(2cos ,1sin )A t t θθ++,22(2cos ,1sin )B t t θθ++,由已知||2||MB MB =,得122t t =- ① …………4分联立直线的参数方程与曲线1C 的直角坐标方程得:222cos (1sin )4t t θθ++=,整理得:22sin 30t t θ+-=,12122sin ,3t t t t θ∴+=-⋅=-,与①联立得:sin θ=,cos θ= ∴直线的参数方程为21x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)或21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)50y --=50y +-=…………7分 21.(3)解:(Ⅰ)原不等式等价于: 当1x ≤时,232x -+≤,即112x ≤≤. 当12x <≤时,12≤,即12x <≤ 当2x >时,232x -≤,即522x <≤. 综上所述,原不等式的解集为15{|}22x x ≤≤. …………4分 (Ⅱ)当0a >时,()()|1|||f ax af x ax ax a -=--- =|1|||ax a ax ---≤|1||1|ax a ax a -+-=-所以23|1|a a -≥- 2a ∴≥ ……………7分。

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