三维设计2014届高考数学理总复习课件第八章：第三节圆的方程

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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)空间几何体的表面积和体积教学案

页眉内容第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积[小题能否全取]1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a2 B.34a2C.3＋32a2 D.6＋34a2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a，∴S全＝34a2＋3×12×⎝⎛⎭⎪⎫22a2＝3＋34a2.2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr . 解得r ＝1，即直径为2. 答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性． 3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．典题导入[例1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5. 所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.[答案] 92由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以题试法1．(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＝4.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V ＝V 半球＋V 圆锥＝12·43π·33＋13·π·32·4＝30π.(2)VA －DED 1＝VE －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.[答案] (1)C (2)16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×32×4－13π×32×4＝24π.答案：24π由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．以题试法2．(1)(2012·长春调研)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13Sh ＝14.(2012·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．32B ．24C ．8D.323解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S ＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V ＝12×2＝24.典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.[答案] A由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.以题试法3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3D.16π3(2)(2012·潍坊模拟)如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面DBC ⊥底面ABC ，取BC 的中点O 1，连接AO 1，DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1＝3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中，AB ＝AC ＝2，又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径，O 1为圆心，又∵DO 1⊥底面ABC ，∴球心在DO 1上，即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，∴R ＝23. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝16π3.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：(1)D (2)6π1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8 B.83 C ．4D.43解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×PA ＝13×12×2×2×2＝43.2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651解析：选A 依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O－ABCD 的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51.3．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.154π C ．5πD.174π 解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 4．(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5． (2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A.112B ．5 C.92D ．4解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.6.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值解析：选D 因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：268．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π.答案：33π 9．(2013·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π10．(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．解：设原正六边形中，AC ∩BE ＝O ，DF ∩BE ＝O ′，由正六边形的几何性质可知OA ＝OC ＝3，AC ⊥BE ，DF ⊥BE .(1)证明：在五面体ABCDE 中，OA 2＋OC 2＝6＝AC 2， ∴OA ⊥OC ，又OA ⊥OB ，∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF ， ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ，BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ，同理BE ⊥平面FO ′D ，∴平面AOC ∥平面FO ′D ，故AOC －FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B －AOC 和E －FO ′D 为大小相同的三棱锥，∴V ABCDEF ＝2V B －AOC ＋V AOC －FO ′D＝2×13×12×(3)2×1＋12×(3)2×2＝4.11．(2012·大同质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD . 所以四边形BCDF 为平行四边形．所以DF ∥BC .在△PAB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ，所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△PAD 中，PA ＝PD ＝AD ＝2，所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.12．(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1，所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C . 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.1．(2012·潍坊模拟)已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球表面积等于( )A ．8πB ．16πC ．482πD ．不确定的实数解析：选B 设矩形长为x ，宽为y ，周长P ＝2(x ＋y )≥4xy ＝82，当且仅当x ＝y ＝22时，周长有最小值．此时正方形ABCD 沿AC 折起，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，三棱锥D －ABC 的四个顶点都在以O 为球心，以2为半径的球上，此球表面积为4π×22＝16π.2．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6.答案：63．(2013·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ，又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD . ∴BD ⊥OD .∴∠ODC ＝α.V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×12·OD ·BD ·OC＝26·OD ·OC ＝26·CD ·cos α·CD ·sin α ＝23·sin 2α≤23，当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号． ∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为23.(2)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ，又AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面BOC . ∴AD ⊥OB .∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BD AB.∴OD ＝BD 2AB＝222＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.1．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A ．(6－33)πB ．(8－43)πC ．(6＋33)πD ．(8＋43)π解析：选A 设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2，则3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3，r 1＋r 2＝3－32，从而4π(r 21＋r 22)≥4π·r 1＋r 222＝(6－33)π.2．已知某球半径为R ，则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A ．8R 2B ．6R 2C ．4R 2D ．2R 2解析：选A 设球内接长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则a 2＋b 2＋c 2＝(2R )2，所以S 表＝2(ab ＋bc ＋ac )≤2(a 2＋b 2＋c 2)＝8R 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝233R 时，等号成立．3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π解析：选 A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×12π＝20＋3π.4．(2012·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：选D ∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．5．(2012·上海高考)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．解析：如图过点B 在平面BAD 中作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接CE ，因为BC ⊥AD ，所以AD ⊥平面BCE .所以四面体ABCD 的体积为13S △BCE ·AD .当△BCE 的面积最大时，体积最大．因为AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，所以点B ，C在一个椭圆上运动，由椭圆知识可知当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝a 时，BE ＝CE＝a 2－c 2为最大值，此时截面△BCE 面积最大，为12×2a 2－c 2－1＝a 2－c 2－1，此时四面体ABCD 的体积最大，最大值为13S △BCE ·AD ＝2c 3·a 2－c 2－1.答案：23c a 2－c 2－1。

【三维设计】2014届高考数学一轮复习(基础知识高频考点

第五节合情推理与演绎推理[知识可否忆起]一、合情推理归纳推理类比推理由某类事物的部分对象拥有某些特由两类对象拥有近似特色和此中一征，推出该类事物的所有对象都具定义类对象的某些已知特色推出另一类有这些特色的推理，或许由个别事对象也拥有这些特色的推理实归纳出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般的推特色由特别到特别的推理理(1找出两类事物之间的相像性或一(1经过察看个别状况发现某些相同致性；(2用一类事物的性质去推测一般步骤性质；(2从已知的相同性质中推出另一类事物的性质，得出一个明确一个明确的一般性命题(猜想的命题(猜想二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们把这类推理称为演绎推理．2．特色：演绎推理是由一般到特别的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包含：①大前提—已知的一般原理；“三段论”的构造②小前提—所研究的特别状况；③结论—依据一般原理，对特别状况做出的判断①大前提—M是P；“”②小前提—S是M；三段论的表示③结论—S是P[小题可否全取]1．(教材习题改编命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，所以整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原由是(A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误分析：选C由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．2．数列2,5,11,20，x,47，⋯中的x等于(A．28B．32C．33D．27分析：选B由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，所以x＝32.3．(教材习题改编给出以下三个类比结论．(abn＝anbn与(a＋bn类比，则有(a＋bn＝an＋bn；loga(xy＝logax＋logay与sin(α＋β类比，则有sin(α＋β＝sinαsinβ；(a＋b2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b2类比，则有(a＋b2＝a2＋2a·b＋b2.此中结论正确的个数是(A．0B．1C．2D．3分析：选B只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.近似地，在空间中，若两个正四周体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．分析：＝＝·＝×＝.答案：1∶85．(2012·陕西高考察看以下不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<⋯⋯照此规律，第五个不等式为___________________________________________________．分析：察看得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右侧为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋⋯＋<(n∈N*，n≥2，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.答案：1＋＋＋＋＋<1.合情推理主要包含归纳推理和类比推理，合情推理拥有猜想和发现结论，探究和供给思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应第一明确什么是大前提，什么是小前提，假如大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必然是正确的．假如大前提错误，只管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1] (2012·河南调研已知函数f(x＝(x＞0．以下定义一列函数：f1(x＝f(x，f2(x＝f(f1(x，f3(x＝f(f2(x，，fn(x＝f(fn－1(x，，n∈N*，那么由归纳推理可得函数fn(x的分析式是fn(x＝________.[自主解答]依题意得，f1(x＝，f2(x＝＝＝，f3(x＝＝＝，，由此归纳可得fn(x＝(x＞0．[答案](x＞0由题悟法1．归纳是依照特别现象推测出一般现象，因此由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特别的状况，所以归纳是立足于察看、经验或试验的基础之上的．[注意]归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1．(2012枣·庄模拟将正奇数按以下图的规律摆列，则第21行从左向右的第5个数为(A．809B．852C．786D．893分析：选第5个数是第A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋＋39＝202＝400个，则第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.21行从左向右的类比推理典题导入[例2]在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋cr”，拓展到空间，类比上述结论，“若四周体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四周体的体积为________________”．[自主解答]三角形的面积类比为四周体的体积，三角形的边长类比为四周体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V四周体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4r.[答案]V四周体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4r由题悟法1．类比推理是由特别到特别的推理，命题有其特色和求解规律，能够从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比构造．2．类比推理的一般步骤：(1找出两类事物之间的相像性或一致性；(2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想．以题试法2．若{an}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有：(m－nap＋(n－pam＋(p－man＝0，类比上述性质，相应地，平等比数列{bn}，有__________________．＝分析：设{bn}的首项为b1，公比为q，则b·b·b＝＝(b1qp－1m－n·(b1qm－1n－p·(b1qn－1p－m＝b·q0＝1.答案：b·b·b＝1演绎推理典题导入[例3]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*．证明：(1数列是等比数列；(2Sn＋1＝4an.[自主解答](1∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，(n＋2Sn＝n(Sn＋1－Sn，即nSn＋1＝2(n＋1Sn.故＝2·，(小前提故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了(2由(1可知＝4·(n≥2，Sn＋1＝4(n＋1·＝4··Sn－1＝4an(n≥2．(小前提又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提∴关于随意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论由题悟法演绎推理是从一般到特别的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当第一明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则能够省略．以题试法3.以下图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最后把推理过程用简单的形式表示出来．证明：(1同位角相等，两条直线平行，(大前提BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提所以DF∥EA.(结论(2两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提DE∥BA且DF∥EA，(小前提所以四边形AFDE为平行四边形．(结论(3平行四边形的对边相等，(大前提ED和AF为平行四边形的对边，(小前提所以ED＝AF.(结论上边的证明可简单地写成：四边形AFDE是平行四边形?ED＝AF.1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(A．①B．②C．③D．①和②分析：选B由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．应选 B.2．(2012·肥模拟正弦函数是奇函数，合f(x＝sin(x2＋1是正弦函数，所以f(x＝sin(x2＋1是奇函数，以上推理(A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确分析：选C由于f(x＝sin(x2＋1不是正弦函数，所以小前提不正确.3．(2012·兴模拟在平面几何中有以下结论：正三角形泰ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推行到空间能够获得近似结论；已知正四周体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(A.B.C.D.分析：选D正四周体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.4．(2012·州模拟给出下边类比推理德(此中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集：①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0?a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0?a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1?－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1?－1＜z＜1”．此中类比结论正确的个数为(A．1B．2C．3D．4分析：选B类比结论正确的有①②.5．察看以下图的正方形图案，每条边(包含两个端点有n(n≥2，n∈N*个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推测出Sn与n的关系式为(A．Sn＝2nB．Sn＝4nC．Sn＝2nD．Sn＝4n－4分析：选D由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推测第成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为n个图案是这样组成的：各个圆点排Sn＝4n－4.6．(2012·汉市适应性训练以下推理中属于归纳推理且结论正确的选项是武(A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，，推断：Sn＝n2B．由f(x＝xcosx知足f(－x＝－f(x对?x∈R都建立，推测：f(x＝xcosx为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推测：椭圆＋＝1(a＞b＞0的面积S＝πabD．由(1＋12＞21，(2＋12＞22，(3＋12＞23，，推测：对全部n∈N*，(n＋12＞2n其前分析：选n项和等于A 选项 A由一些特别案例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．所以选 A.7．(2013·杭州模拟设n为正整数，f(n＝1＋＋＋＋，计算得f(2＝，f(4>2，f(8>，f(16>3，察看上述结果，可推测一般的结论为________．分析：由前四个式子可得，第的结论为f(2n≥.n个不等式的左边应当为f(2n，右侧应当为，即可得一般答案：f(2n≥8．(2011·西高考察看以下等式陕1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式为________．分析：每行最左边数分别为1、2、3、，所以第n行最左边的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数挨次是n、n＋1、n＋2、、3n－2.其和为n＋(n＋1＋(n＋2＋＋(3n－2＝(2n－12.答案：n＋(n＋1＋(n＋2＋＋(3n－2＝(2n－129．(2012杭·州模拟在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.假想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，假如用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比获得的结论是________．分析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.答案：S＋S＋S＝S10．平面中的三角形和空间中的四周体有好多相近似的性质，比如在三角形中：(1三角形两边之和大于第三边；(2三角形的面积S＝×底×高；(3三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四周体的有关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四周体的有关性质为：(1四周体的随意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2四周体的体积V＝×底面积×高；(3四周体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.11．定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为 5.(1求a18的值；(2求该数列的前n项和Sn.解：(1由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，故a18＝3.(2当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋＋an＝(a1＋a3＋＋an－1＋(a2＋a4＋＋an＝2＋2＋＋＋3＋3＋＋＝n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1＋2＝n－.综上所述：Sn＝12．某少量民族的刺绣有着悠长的历史，如图(1、(2、(3、(4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形组成，小正方形数越多刺绣越美丽．现按相同的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含f(n个小正方形．(1求出f(5的值；(2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1与f(n之间的关系式，并依据你获得的关系式求出f(n的表达式；(3求＋＋＋＋的值．解：(1f(5＝41.(2由于f(2－f(1＝4＝4×1，f(3－f(2＝8＝4×2，f(4－f(3＝12＝4×3，f(5－f(4＝16＝4×4，由上式规律，所以得出f(n＋1－f(n＝4n.由于f(n＋1－f(n＝4n，所以f(n＋1＝f(n＋4n，f(n＝f(n－1＋4(n－1f(n－2＋4(n－1＋4(n－2f(n－3＋4(n－1＋4(n－2＋4(n－3＝f(1＋4(n－1＋4(n－2＋4(n－3＋＋42n2－2n＋1.(3当n≥2时，(－，∴＋＋＋＋1＋1＋＝－.1．(2012江·西高考察看以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，，则a10＋b10＝(A．28B．76C．123D．199分析：选C记an＋bn＝f(n，则f(3＝f(1＋f(2＝1＋3＝4；f(4＝f(2＋f(3＝3＋4＝7；f(5＝f(3＋f(4＝11.经过察看不难发现f(n＝f(n－1＋f(n－2(n∈N*，n≥3，则f(6＝f(4＋f(5＝18；f(7＝f(5＋f(6＝29；f(8＝f(6＋f(7＝47；f(9＝f(7＋f(8＝76；f(10＝f(8＋f(9＝123.所以a10＋b10＝123.2．关于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情况是：若O是△ABC内一点，则有到空间情况应当是：若O是四周体S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·ABCD内一点，则有________．＝0，将它类比分析：将平面中的有关结论类比到空间，往常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，所以依题意可知若O为四周体ABCD内一点，则有VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.答案：VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝03．(2012·建高考某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常福数：(1sin213°＋cos217°－sin13cos°17；°(2sin215°＋cos215°－sin15cos°15；°(3sin218°＋cos212°－sin18cos°12；°(4sin2(－18°＋cos248°－sin(－18°cos48；°(5sin2(－25°＋cos255°－sin(－25°cos55.°(1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2依据(1的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1选择(2式，计算以下：sin215°＋cos215°－sin15cos°15＝°1－sin30°1－＝.(2三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α－sinα·cos(30－°α＝.证明以下：法一：sin2α＋cos2(30°－α－sinαcos(30°－α＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30sin°α2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinαsin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2αsin2α＋cos2α.法二：sin2α＋cos2(30°－α－sinαcos(30°－α＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30sin°α＝－cos2α＋＋(cos60cos°2α＋sin60°sin2α－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α1－cos2α－＋cos2α＝.1．(2012·西高考察看以下事实：江|x|＋|y|＝1的不一样整数解(x，y的个数为4，|x|＋|y|＝2的不一样整数解(x，y的个数为8，|x|＋|y|＝3的不一样整数解(x，y的个数为12，，则|x|＋|y|＝20的不一样整数解(x，y的个数为(A．76B．80C．86D．92分析：选B由特别到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y的不一样整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n时，对应的不一样整数解的个数．经过察看能够发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y的不一样整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不一样整数解(x，y的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不一样整数解(x，y的个数为80.2．(2012·东、豫北名校测试已知以低等式：豫3－4＝(32－42，32－3×4＋42＝(33＋43，33－32×4＋3×42－43＝(34－44，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝(35＋45，则由上述等式可归纳获得3n－3n－1×4＋3n－2×42－＋(－1n4n＝________(n∈N*．分析：依题意及不完整归纳法得，3n－3n－1×4＋3n－2×42－＋(－1n4n＝[3n＋1－(－4n＋1]．答案：[3n＋1－(－4n＋1]。

【三维设计】2014届高考数学一轮复习教师备选作业第八章第八节曲线与方程理.doc

第八章第八节曲线与方程一、选择题1．已知| AB u u u r|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点， OP u u u r ＝13OA u u u r ＋23OB u u u r ，则动点P 的轨迹方程是 ( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝12．已知两个定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于 ( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π3．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足 OC u u u r ＝λ1 OA u u u r＋λ2 OB u u u r(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是 ( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)5．给出以下方程：①2x ＋y 2＝0；②3x 2＋5y 2＝1；③3x 2－5y 2＝1；④|x |＋|y |＝2；⑤|x －y |＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆二、填空题 7．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是____________．8．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．9．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是____．三、解答题10．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点．求动点P 的轨迹C 的方程．11．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程．详解答案一、选择题1．解析：设A (0，y 0)，B (x 0,0)，P (x ，y )，则由| AB u u u r |＝3得x 20＋y 20＝9，又因为 OPu u u r ＝(x ，y )， OA u u u r ＝(0，y 0)， OB u u u r ＝(x 0,0)，由 OP u u u r ＝13OA u u u r ＋23OB u u u r 得x ＝2x 03，y ＝y 03，因此x 0＝3x 2，y 0＝3y ，将其代入x 20＋y 20＝9得x 24＋y 2＝1.答案：A2．解析：设P (x ，y )，则|PA |2＝(x ＋2)2＋y 2，|PB |2＝(x －1)2＋y 2，又|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4，表示圆，∴S ＝πr 2＝4π. 答案：B3．解析：设C (x ，y )，则 OC u u u r ＝(x ，y )， OA u u u r＝(3,1)， OB u u u r＝(－1,3)，∵OC u u u r ＝λ1 OA u u u r ＋λ2 OB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．答案：A4．解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c ＝7，a ＝1，b 2＝ 48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．答案：A5．解析：所给出的方程中，①2x ＋y 2＝0是抛物线，②3x 2＋5y 2＝1是椭圆，③3x 2－5y2＝1是双曲线，④|x |＋|y |＝2是一个正方形，⑤|x －y |＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．答案：B6．解析：设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．答案：B 二、填空题7．解析：(参数法)设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 8．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)．9．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题10．解：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .又|AB |＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12. ∴12y 2＋43x 2＝12.∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.11．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3.b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216x 2＋y2＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]；当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． 12．解：如图，可得直线l ：x ＝－2与x 轴交于点A (－2,0)，设P (－2，m )，(1)当m ＝0时，点P 与点A 重合，这时OP 的垂直平分线为x ＝－1，由∠AOP ＝∠MPO ＝0°，得M (－1,0)；(2)当m ≠0时，设M (x 0，y 0)，①若x 0>－1，由∠MPO ＝∠AOP 得MP ∥OA ，有y 0＝m ，又k OP ＝－m 2，OP 的中点为(－1，m2)，∴OP 的垂直平分线为y －m 2＝2m (x ＋1)，而点M 在OP 的垂直平分线上，∴y 0－m 2＝2m(x 0＋1)，又m ＝y 0，于是y 0－y 02＝2y 0(x 0＋1)，即y 20＝4(x 0＋1)(x 0>－1)．②若x 0<－1，如图，由∠MPO ＝∠AOP 得点M 为OP 的垂直平分线与x 轴的交点，在y －m2＝2m (x ＋1)中，令y ＝0，有x ＝－m 24－1<－1，即M (－ m24－1,0)， ∴点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)和y ＝0(x <－1)．。

三维设计2014届高考数学理总复习课件第八章：第九节圆锥曲线的综合问题

x2 A．y2－＝1 3 3 2 3 2 C. x － y ＝1 4 8
y2 B. －x2＝1 3 3 2 3 2 D. y － x ＝1 4 8
y2 x2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)， a b a2＋b2＝c2， c 则a＝2， c＝2，
得 a＝1，b＝ 3.
(2)设动圆C2：x2＋y2＝ t12与C0相交于A′，B′，C′，D′四
点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积
相等，证明：＋为定值．
t12 t12
[自主解答] (1)设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知 A1(－ y1 a,0)，A2(a,0)，则直线 A1A 的方程为 y＝ (x＋a)， ① x1＋a －y1 直线 A2B 的方程为 y＝ (x－a)． x1－a
1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两
种：几何法和代数法． (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五
研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研
究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．
1． (2012· 信阳模拟)设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
2
设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 |8－2m| 2|m－4| d＝ 2 . 2＝ 13 3 ＋2 设△ABP 的面积为 S，则 1 3 S＝ |AB|· d＝ · m－4212－m2. 2 6

【三维设计】2014届高考数学(理)总复习课件：第八章第5讲椭圆(共56张PPT)

又ac＝ 23，∴c＝ 3， ∴b＝1，故椭圆方程为x42＋y2＝1.
1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题．
2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，且 A≠B)．
1．(2012·张家界模拟)椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点为 F1，F2，
过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，
则|PF2|＝
()
7 A.2 C. 3
3 B. 2 D．4
解析：因为 a2＝4，b2＝1，所以 a＝2，b＝1，c＝ 3. 不妨设 F1 为左焦点，P 在 x 轴上方，则 F1(－ 3，0)，设 P(－ 3，m)(m＞0)，则－4 32＋m2＝1，解得 m＝12，所以 |PF1|＝12根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－ |PF1|＝22－12＝72. 答案: A
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
解析：在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝ 3，
所以离心率
A．4
B．8
()
C．6
D．18
解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
答案：C
2．(教材习题改编)方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的
范围是

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义第八章解析几何(含解析)

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P115基础盘查一直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0对应学生用书P115考点一直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1. [提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.对应A 本课时跟踪检测四十五一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故|MA |·|MB |＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.第二节两直线的位置关系对应学生用书P117基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． (二)小题查验 1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0对应学生用书P117考点一两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二距离问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三对称问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．对应B 本课时跟踪检测四十六一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >k A 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程对应学生用书P120基础盘查一圆的定义及标准方程(一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题．(二)小题查验1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 基础盘查二点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)．(二)小题查验1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( )(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( )答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4.即a 2<1，故－1<a <1.答案：(－1,1)对应学生用书P120考点一圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径． [提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧ B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12 D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B. 3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12. ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3. ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最。

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆

椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF ·2PF 的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF ·2PF＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF ·2PF 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca 或e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM ,|＝1，且PM ,·AM ,＝0，则|PM,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM ,·AM,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM,|＝ |PA |2－|AM |2＝ |PA |2－1，∴当|PA ,|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM,|min ＝ 3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c 2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c－c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 答案：(1)3 (2)⎣⎡⎭⎫33，1典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得 (3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF ,·2MF,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15，当P ，M ，F 2三点共线时取等号．答案：15线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF ,＝λFN ,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN ,⊥AF,；(2)若当λ＝1时，有AM ,·AN ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF ,＝(c －x 1，－y 1)，FN,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF ,＝FN,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN ,＝(0,2y 2)，AF ,＝(c ＋4,0)，∴MN ,·AF,＝0， ∴MN ,⊥AF ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， ∴AM ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ，AN ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM ,·AN ,＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*) ∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF ,|＝2|MO ,|＝2|2MF,|，则该椭圆的离心率为( )A.33 B.23 C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|1MF ,|＝2|MO ,|＝2|2MF ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF ,|2－|1NF ,|2＝|2MF ,|2－|2NF ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k .当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ① 把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧(2－x 0)2－2≠0，Δ＝8[(2－x 0)2＋y 20－2]>0，① 且k 1k 2＝y 20－2(2－x 0)2－2＝12. 由⎩⎨⎧x 2016＋y 2012＝1，y 20－2(2－x 0)2－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝⎛⎭⎫185，575 或⎝⎛⎭⎫185，－575. 3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫ 2，22.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·(1＋k 2)(x 1－x 2)2·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 2(2－m 2)，又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。

【三维设计】2014届高考数学(理)总复习课件：第八章第4讲直线与圆_圆与圆的位置关系(共34张

1 2
.则r2
＝12|AB|2＋d2＝32，r＝
6 2.
答案：B
4．(教材习题改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公
共点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意知
2 1＋k2
＞1，解得－
3＜k＜
3.
答案：(－ 3， 3)
5．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2 ＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是
A．(－2 2，2 2)
B．(－
2，
( 2)
)
C.－
42，
2 4
D.－18，18
解析：易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方
程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距
离公式得 |kk＋2＋2k1| ＜1，即k2＜18，解得－
42＜k＜
2 4.
答案：C
直线与圆的位置关系的综合
____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
直线与圆的位置关系的判断
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C：x2＋y2－4x＝
[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，
直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦
AB的长等于
()
A．3 3
B．2 3ຫໍສະໝຸດ C. 3D．1(2)(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n

【三维设计】高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第八章平面解析几何第三节圆的方程

答案：B
2．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________．
解析：法一直线 3x－4y＋12＝0 与两坐标轴的交点分别为 A(－ 4,0)，B(0,3)，所以线段 AB 的中点为
3 C－2，2，|AB|＝5.
2
故所求圆的方程为(x＋2)
)
解析：设圆心坐标为 (0 ， b) ，则由题意知 0－12＋b－22＝1，解得 b＝2，故圆的方程为 x2 ＋(y－2)2＝1.
答案：A
2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为 A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 ( )
角度二
截距型最值问题
2.在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取 |2－0＋b| 得最大值或最小值，此时＝ 2 图) 所以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. 3 ，解得b＝－2± 6.(如
角度三

角度四
利用对称性求最值
4．(2013· 重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 A．5 2－4 B. 17－1
[练一练]
1．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是 ( A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 )
解析：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r＝|b|， ∴圆的方程为 x2＋(y－b)2＝b2. ∵点(3,1)在圆上， ∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5. ∴圆的方程为 x2＋y2－10y＝0.

2014届高考数学专题复习课件：第三篇专题5 立体几何

查缺补漏
第三篇 5
BC 与 AE 是相交直线，所以 BC 一定不与平面 PAE 平行， ③错误；
本讲
直线 PD 与平面 ABC 所成角为∠PDA，
栏目
在 Rt△PAD 中，AD＝PA，
开
关 ∴∠PDA＝45°，④正确．
答案 ④
查缺补漏
第三篇 5
8．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：
①若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD；
目
开关
∴∠BSA＝90°，以 S 为顶点，将三棱锥补成
一个正方体，如图所示，
故外接球的直径 2R＝ 3·SA，即 R＝3，
∴S＝4πR2＝36π.
查缺补漏
第三篇 5
10．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥
平面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，
F 分别是 AP，AD 的中点．
目开
②若 α∥β，l⊂α，则 l∥β；
关 ③α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β；
④若 m，n 为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β.
其中正确命题的个数是________．
查缺补漏
第三篇 5
解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；
由直线与平面平行的定义知命题②正确；
求证：(1)直线 EF∥平面 PCD；
本讲
(2)平面 BEF⊥平面 PAD.
栏目
证明 (1)因为 E，F 分别是 AP，AD 的中点，∴EF∥PD.
开关
又∵PD⊂面 PCD，EF⊄面 PCD，
∴直线 EF∥平面 PCD.
(2)连结 BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，

【三维设计】届高考数学(理)总复习课件：第八章第3讲圆的方程(共32张PPT)

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1

解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
0－12＋b－22 ＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y －2)2＝1.
答案：A
4．(2012·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋ 3y－3＝0的距离为________．
解析：圆心(1,0)，d＝ |11－＋33| ＝1. 答案：1
•17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
基• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
高
础•
分
知
障
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示
圆的充要条件是 A.14＜m＜1
() B．m＜14或 m＞1
C．m＜14
D．m＞1
解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜14或m＞1.
答案：B
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则
[答案] (1)A (2)3－2 2
解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如 u＝xy－－ba型的最值问题，可转化为定点(a，b) 与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如 A 级 T9)； (2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．

三维设计2014届高考数学理总复习课件第八章：第三节 圆 的 方 程

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