高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角11ppt课件
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高一数学必修4课件 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
∴ΔABC是直角三角形
B A
O
x
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
变式：在RtABC中， AB (2, 3), AC (1, k ), 求k的值
3、向量的夹角
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解
ab cos a, b | a || b |
3、向量的夹角
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
| a | x12 y12
ab cos a, b | a || b |
4、向量垂直的判定
3、向量的夹角
cos
x1 y1 x2 y2 x12 y12 x22 x1 y1 x2 y2 0
a b | a || b | cos
2、向量的模 | a | a a
a • b x1 x2 y1 y2 2 2 | a | x1 y1
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围 分析: ABO是钝角 BO BA 0且不共线
B A
O
x
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
变式：在RtABC中， AB (2, 3), AC (1, k ), 求k的值
3、向量的夹角
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解
ab cos a, b | a || b |
3、向量的夹角
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
| a | x12 y12
ab cos a, b | a || b |
4、向量垂直的判定
3、向量的夹角
cos
x1 y1 x2 y2 x12 y12 x22 x1 y1 x2 y2 0
a b | a || b | cos
2、向量的模 | a | a a
a • b x1 x2 y1 y2 2 2 | a | x1 y1
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围 分析: ABO是钝角 BO BA 0且不共线
2.4.2平面向量数量积的坐标表示p模p夹角 课件(人教A版必修4)
∴|a+b|= x 2 x 2 2 2 x 12 2,
当x=-1时，|a+b|取最小值，为2.
2.(1)∵a= AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
∴|a|=
42 3 5.
2x-1)，则|a+b|的最小值为(
(A) 2 1 (B)2 2 (C) 2
)
(D)2
2.(2012²天津高 一检 测 ) 若向量 a 的始点为 A(-2,4), 终点为
B(2,1).求： (1)向量a的模; (2)与a平行的单位向量的坐标; (3)与a垂直的单位向量的坐标.
【解析】1.选C.∵a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), ∴a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示﹑模﹑夹角
1.理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关
的问题.
1.本课的重点是平面向量的数量积的坐标表示及运算.
2.本课的难点是利用向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂 直有关的问题.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
1.已知向量a＝(－2,1)，b＝(－3,0)，则a在b方向上的投影为
(
(A)- 5 (B) 5 (C)-2 (D)2
)
2.若a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)²(a-b)=__________. 3.已知向量a与b共线,b=(1,2),a²b=10,求a的坐标.
【解析】1.选D.设a与b的夹角为θ,a在b方向上的投影是
高一数学人教A版必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模和夹角课件(共45张PPT)
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：已知向量 a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30 ＝0，则 a 与 b 垂直，选 A.
答案：A
高一数学 人教A 版必修4 第二章2 . 4.2 平面向量数量积 的坐标 表示、 模和夹 角课件 （共4 5 张PPT ）
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3 已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若 λa－2b 与 a 垂 直，则实数 λ 等于___－__1___．
解法一：λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)，由 于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝ －1.
温馨提示
1通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与 方程、函数等知识的联系.
2向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一 种是坐标式，两者互相补充.
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2．设向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 和 a 垂直，
那么 λ＝( )
A．2B．1 C．－2D．－1答案：D
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高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量§2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于 .2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2填要点·记疑点相应坐标乘积的和x1x2＋y1y2＝03.平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝探要点·究所然情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.探究点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ?答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；解 设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c ＝____________；a·(b·c)＝____________.(－16，－8) (－8，－12)解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考2 如图，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量 的模？＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？探究点三 平面向量夹角的坐标表示例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.直角(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∵a，b的夹角α为钝角.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求与点D的坐标.解 设点D的坐标为(x，y)，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.跟踪训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标.可得10x＋4y＝29，①即x2－5x＋y2－2y＝0，②当堂测·查疑缺 1234 1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )B又∵a，b的夹角范围为[0，π].C5呈重点、现规律1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.明目标、知重点3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),且满足条件(8ab)· c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3). ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=6×3+3x=18+3x=30. ∴x=4. 答案:C
3π ������· ������ -5 2 = =- . |������||������| 5· 10 2
∵θ∈[0,π ],∴θ= 4 .
答案:(1)C (2)
3π 4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x 2-y1y 2=0. ( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量垂直的问题 【例3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于 ( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 (2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当 DE⊥CF时,AF= . 解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a· (a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
人教A版高中数学必修四课件：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.pptx
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
解:(1)a·b=2 3 + 2 3 = 4 3.
(2)cos θ= ������1������2+������1������2
垂直 夹角
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0
cos θ= ������·������ =
|������ ||������ |
������ 1 ������ 2 +������1 ������2 ������12+������12 ������22+������22
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
2.向量数量积性质的坐标表示
剖析:设两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),a 与 b 的夹角为 θ.
(1)a·b=a1b1+a2b2;
(2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
(3)a·a=|a|2⇔|a|= ������12 + ������22;
则
cos
θ=
������·������ |������||������|
=
-15 3×5 2
=
−
22.
由
0≤θ≤π,知
θ=
3π 4
,
即a
与
b
的夹角为
34π.
答案:
3π 4
人教版必修4 数学2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(28张)精选ppt课件
(2)由 x⊥y，得 x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0， ∴k＝t3＋3t， ∴k＋t t2＝t3＋tt2＋3t＝t2＋t＋3
向量模的坐标运算
已 知 A(1 ， 2) ， B(2 ， 3) ， C( － 2 ， 5) ， 试 判 断 △ABC的形状，并给出证明． (链接教材P106例5) [解] △ABC 是直角三角形． ∵A→B＝(2－1，3－2)＝(1，1)， A→C＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)， B→C＝(－2－2，5－3)＝(－4，2)．
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运 算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标 表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律 将原式展开，再依据已知计算．
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)． (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c)． 解：(1)法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)， ∴a－b＝(－4，0)． ∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0) ＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
∴cos 120°＝（ka|k－a－b）b|·|（a＋a＋b| b），
即－1＝
－2
，
2 2· k2＋（k＋2）2
化简整理，得 k2＋2k－2＝0，解得 k＝－1± 3.
易错警示
没能正确理解夹角范围致误
已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角 θ 为锐
角，则实数 λ 的取值范围是( A )
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人教A版高中数学必修四课件(共19张PPT)
.
4.已 知a r 2,b r 1,且 a r与 b r的 夹 角 是，
rr
3
那 么 向 量 a-b的 模 是 （ ） 。
A.2 B. 3 C.6 D.12
5.已 知 A (1 ， 0),B (0， 1),C (2， 5), uuu r uuu r
求 (1)2A BA C 的 模 . (2)cos B A C .
时，向量k a － b 与 a +3b (1)平行；(2)垂直
解：k a － b =(k－2, －1) a +3 b =(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)=-7 所以k= 1 3
(2)由向量垂直条件得7(k－2)－3=0 所以k= 1 7
7
例4:已知 a =(4,3) ,求与 a 垂直的单位r 向r 量b .
a x 1 i y 1 j, b x 2 i y 2 j
j
a • b ( x 1 i y 1 j)x 2 ( i y 2 j) o i x
2
2
x 1 x 2 i x 1 y 2 i • j x 2 y 1 i • j y 1 y 2 j
2
2
i 1 ,i•j0 ,j 1
a•bx1x2y1y2
2.4.2平面向量 数量积的坐标运算
温故知新
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为 ,
rr
我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积),记作 a • b.
a•babcos
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
a•00
设 a、 b是非零向量，e是b与 方向相同的
单位向量，是 a 与 e 的夹角，则:
242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件(人教A必修4)
解之得x＝ y＝
32＋1， 32－1，
或x＝－ y＝－
32＋1， 32－1，
所以 c＝( 32＋1， 32－1)或 c＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
法二：由于 a·b＝ 3×1＋(－1)× 3＝0，且|a|＝|b|＝2， 从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 a·c＝ b·c，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线．此 外，由于|c|＝ ，即其长度为正方形对角线长度( 2|b|＝2 2) 的一半， 故 c＝12(a＋b)＝( 32＋1， 32－1)或 c＝－12(a＋b)＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
[通一类] 3．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，
求m的值． 解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)， 又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0. ∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2. 法二：∵(a＋b)⊥(a－b)， ∴(a＋b)·(a－b)＝0，a2＝b2， 则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.
已知向量 a＝( 3，－1)和 b＝(1， 3)，若 a·c＝b·c，试求 模为 2的向量 c 的坐标．
[解] 法一：设 c＝(x，y)， 则 a·c＝( 3，－1)·(x，y)＝ 3x－y， b·c＝(1， 3)·(x，y)＝x＋ 3y， 由 a·c＝b·c 且|c|＝2，得x23＋x－y2＝y＝2，x＋ 3y，
则 cos θ＝|aa|·|bb|＝1，∴θ＝0°，从而 a，b 同向且共线，
又|b|＝1，∴b＝|aa|＝15(4，－3)＝(45，－35).
[研一题]
高中数学必修四2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件
角，那么cos θ如何用坐标表示？
答案
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22.
[思考辨析 判断正误] 1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( × ) 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.( × ) 3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.
( ×) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.
提示 答案
题型探究
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10
√B.－10
C.3
D.－3
解析 a＋2b ＝(4，－3) ，a －3b ＝(－1,2) ，所以(a ＋2b)·(a－3b)＝ 4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
解析 答案
(2)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上，且D→F＝2F→C，则A→E·B→F的值是____43____.
解析 答案
反思与感悟 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用 以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立 坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
解析 答案
类型三 平面向量的夹角问题
例 3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)， O(0,0)，若|O→A＋O→C|＝ 13，α∈(0，π)，则O→B，O→C的夹角为
高中数学人教A版必修4课件：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
D.(7,-6)
2.已知向量a在向量b=(1, 3 )方向上的投影为2,且|ab|= 5 ,则|a|=________.
【审题路线图】1.向量的夹角、模⇒坐标表示⇒设出点 B的坐标,列方程组求解. 2.投影、模⇒表示出投影式、模平方⇒构造模求值.
【解析】1.选D.因为向量 A 与B 向量a=(-3,4)的夹角 为π, 所以设 A B=ka=k(-3,4)=(-3k,4k),其中k<0，
所以 A EB F ＝ 2. 答案: 2
【方法技巧】关于向量数量积的运算 (1)在计算数量积的过程中,注意数量积运算律的应用, 强调先化简再代入坐标运算. (2)注意平面向量基本定理的应用,利用已知坐标的向 量表示未知向量后计算.
(3)在特殊图形中,如等腰三角形、矩形、正方形等可 以通过建立直角坐标系,表示出向量的坐标后计算.
(3)因为b·c=2×2+5×1=9, 所以a·(b·c)=9a=9(1,3)=(9,27).
类型二 平面向量的模
【典例】1.向量 A B 与向量a=(-3,4)的夹角为π ,|A B | =10,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标为 ( )
A.(-7,8)
B.(9,-4)
C.(-5,10)
3
3
2.选C.因为向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n,所以
m·n=(2x-1,3)·(1,-1)=2x-1-3=0,解得x=2.
【方法技巧】解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法:先利用平面向量的坐标表示出这两个向
量的数量积a·b及|a||b|,再由cosθ
=
a a
b b
是θ 是锐角,二是θ 为0°.
【变式训练】已知向量a=(-1,2), b=(m,1).若向量 a+b与a垂直,则m=________. 【解题指南】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0), 则a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0.
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平 面 向 量
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 运算． 2．掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面两点间的距离 公式．
基础梳理 一、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2)，a· b＝__________(坐标形 式)．这就是说：(文字语言)两个向量的数量积等于____________．
(b＋c)＝________. 则 a·
3．已知 a＝(－3，4)，b＝(2，－2)，则(a＋b)2＝________.
1．5
29
－7
2.－3
3.5
4．已知向量a，b满足 (a＋2b) · (a－b)＝－6，且 |a|＝1，|b|＝2 ，则a 与b的夹角为________．
(a－b)＝－6， 解析：(a＋2b)· 则 a2＋a· b－2b2＝－6， 即 12＋a· b－2×22＝－6，a· b＝1， a· b 1 所以 cos〈a，b〉＝ ＝ ， |a|· |b| 2 所以〈a，b〉＝60° 答案：60°
∴θ＝45° .
(2)解法一：a－λb＝(4＋2λ，3－λ)，2a＋b＝(6，7)， ∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直， (6，7)＝0. ∴(4＋2λ，3－λ)· 解得 λ＝－9. 解法二：∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直， ∴(a－λb)· (2a＋b)＝0， ∴2a2＋(－2λ＋1)a· b－λb2＝0， 2 2 2 2 a b | | | | 又 ＝ 4 ＋3 ＝5， ＝ －2 ＋1 ＝ 5， (－2，1)＝－8＋3＝－5， a· b＝(4，3)· ∴50－5(－2λ＋1)－5λ＝0， 解得 λ＝－9.
(3)解法一：∵a＋2b＝(0，5)，a－b＝(6，2)，
(a－b)＝(0，5)· (6，2)＝10. ∴(a＋2b)· (a－b)＝a2＋a· 解法二：(a＋2b)· b－2b2
＝25－5－10＝10.
点评： 求(a+2b) · (a-b)的值时，解法一用向量的坐标法，先分别求出 (a+2b) 与(a-b) 的坐标，再用数量积公式求解，解法二直接用向量运算律进 行运算．
(1) x2＋y2
x2＋y2(2)来自x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
跟踪训练 1．已知向量a＝(4,3)，b＝(-2,1)， (1)求向量a＋b与a－b的夹角θ； (2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值． 分析：先把向量a＋b与a－b用坐标表示出来，然后再根据夹角公式 求解． 解析：(1)∵a＋b＝(2，4)，a－b＝(6，2)， ∴|a＋b|＝2 5，|a－b|＝2 10， (2，4)· (6，2) 2 cos θ＝ ＝ ， 2 2 5×2 10
练习1：a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)· (a－b)＝______.
一、1.x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和
练习1：－7
思考应用 1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？ 解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算 律．设i、j分别是和x轴、y轴同向的单位向量，则i· i＝1，j· j＝1，i· j＝j· i＝0， 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝(x1i＋y1j)· (x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i· j＋x2y1i· j＋y1y2j2
2 10 ∴a 在 b 方向上的投影＝| a|cos θ＝ 5×－ ＝－ 2 . 10
自测自评
1．已知 a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则|a|＝________，
|b|＝________，a· b＝________.
2．已知 a＝(2，－3)，b＝(－2，1)，c＝(－1，－2)，
思考应用 2．怎样求向量的投影？试求向量a＝(1,2)在向量b＝(2，－2)方向 上的投影． 分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求 两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
解析：设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 a· b cos θ＝ ＝ |a||b| 1×2＋2×－2 12＋22× 10 2 2＝－ 10 . 2 ＋－2
根据向量间的关系求向量的坐标
已知a与b同向，b＝(1,2)，a· b＝10.
(1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2,-1)，求a(b· c)及(a· b)c. 分析：设向量a的坐标为，根据等量关系列方程组求解．
解析：(1)设 a＝(x，y)，依题意有 x＋2y＝10 x＝2 ，解得 . 2x－y＝0 y＝4 a＝(2，4).
向量数量积、模及夹角的坐标运算
已知向量 a＝(4，3)，b＝(－2，1). (1)求|a|，|b|； (2)求 a· b 的值；
(a－b)的值． (3)求(a＋2b)·
分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算．
解析：(1)|a|＝ 42＋32＝5；|b|＝ －22＋12＝ 5.
(－2，1)＝－8＋3＝－5. (2)a· b＝(4，3)·
＝x1x2＋y1y2.
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理 几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
二、平面向量的模、夹角的坐标表示 1．平面内两点间的距离公式 (1)设 a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|________. (2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → ＝________(平面内两点间的距离公式) |AB |
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 运算． 2．掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面两点间的距离 公式．
基础梳理 一、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2)，a· b＝__________(坐标形 式)．这就是说：(文字语言)两个向量的数量积等于____________．
(b＋c)＝________. 则 a·
3．已知 a＝(－3，4)，b＝(2，－2)，则(a＋b)2＝________.
1．5
29
－7
2.－3
3.5
4．已知向量a，b满足 (a＋2b) · (a－b)＝－6，且 |a|＝1，|b|＝2 ，则a 与b的夹角为________．
(a－b)＝－6， 解析：(a＋2b)· 则 a2＋a· b－2b2＝－6， 即 12＋a· b－2×22＝－6，a· b＝1， a· b 1 所以 cos〈a，b〉＝ ＝ ， |a|· |b| 2 所以〈a，b〉＝60° 答案：60°
∴θ＝45° .
(2)解法一：a－λb＝(4＋2λ，3－λ)，2a＋b＝(6，7)， ∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直， (6，7)＝0. ∴(4＋2λ，3－λ)· 解得 λ＝－9. 解法二：∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直， ∴(a－λb)· (2a＋b)＝0， ∴2a2＋(－2λ＋1)a· b－λb2＝0， 2 2 2 2 a b | | | | 又 ＝ 4 ＋3 ＝5， ＝ －2 ＋1 ＝ 5， (－2，1)＝－8＋3＝－5， a· b＝(4，3)· ∴50－5(－2λ＋1)－5λ＝0， 解得 λ＝－9.
(3)解法一：∵a＋2b＝(0，5)，a－b＝(6，2)，
(a－b)＝(0，5)· (6，2)＝10. ∴(a＋2b)· (a－b)＝a2＋a· 解法二：(a＋2b)· b－2b2
＝25－5－10＝10.
点评： 求(a+2b) · (a-b)的值时，解法一用向量的坐标法，先分别求出 (a+2b) 与(a-b) 的坐标，再用数量积公式求解，解法二直接用向量运算律进 行运算．
(1) x2＋y2
x2＋y2(2)来自x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
跟踪训练 1．已知向量a＝(4,3)，b＝(-2,1)， (1)求向量a＋b与a－b的夹角θ； (2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值． 分析：先把向量a＋b与a－b用坐标表示出来，然后再根据夹角公式 求解． 解析：(1)∵a＋b＝(2，4)，a－b＝(6，2)， ∴|a＋b|＝2 5，|a－b|＝2 10， (2，4)· (6，2) 2 cos θ＝ ＝ ， 2 2 5×2 10
练习1：a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)· (a－b)＝______.
一、1.x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和
练习1：－7
思考应用 1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？ 解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算 律．设i、j分别是和x轴、y轴同向的单位向量，则i· i＝1，j· j＝1，i· j＝j· i＝0， 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝(x1i＋y1j)· (x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i· j＋x2y1i· j＋y1y2j2
2 10 ∴a 在 b 方向上的投影＝| a|cos θ＝ 5×－ ＝－ 2 . 10
自测自评
1．已知 a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则|a|＝________，
|b|＝________，a· b＝________.
2．已知 a＝(2，－3)，b＝(－2，1)，c＝(－1，－2)，
思考应用 2．怎样求向量的投影？试求向量a＝(1,2)在向量b＝(2，－2)方向 上的投影． 分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求 两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
解析：设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 a· b cos θ＝ ＝ |a||b| 1×2＋2×－2 12＋22× 10 2 2＝－ 10 . 2 ＋－2
根据向量间的关系求向量的坐标
已知a与b同向，b＝(1,2)，a· b＝10.
(1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2,-1)，求a(b· c)及(a· b)c. 分析：设向量a的坐标为，根据等量关系列方程组求解．
解析：(1)设 a＝(x，y)，依题意有 x＋2y＝10 x＝2 ，解得 . 2x－y＝0 y＝4 a＝(2，4).
向量数量积、模及夹角的坐标运算
已知向量 a＝(4，3)，b＝(－2，1). (1)求|a|，|b|； (2)求 a· b 的值；
(a－b)的值． (3)求(a＋2b)·
分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算．
解析：(1)|a|＝ 42＋32＝5；|b|＝ －22＋12＝ 5.
(－2，1)＝－8＋3＝－5. (2)a· b＝(4，3)·
＝x1x2＋y1y2.
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理 几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
二、平面向量的模、夹角的坐标表示 1．平面内两点间的距离公式 (1)设 a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|________. (2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → ＝________(平面内两点间的距离公式) |AB |