第19课时 直角三角形与勾股定理

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c且
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
1.两锐角之和等于②______ 90° 一半 2.斜边上的中线等于斜边的③_______ 30° 角所对的直角边等于斜边的一半 3.④______
4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜
a2＋b2＝c2 边为c，则有⑤__________ 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
第一部分 考点研究
第四单元
第19课时
三角形
直角三角形与勾股定理
考点精讲
考点特训营
勾股定理及 其逆定理
直角 三角 形与 勾股 定理
性质
判定
概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,
a2＋b2＝c2 那么①___________
∵a2＋b2＝c2，∴4S1＋4S2＝4S3 ，即S1＋S2＝S3；图④中，
S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.故选
D.
练习3
如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，
以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的 一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按 照此规律继续下去，则S2018的值为( A. ( )
＝ c

S1 ，b2＝ 8 S2 ，c2＝ S3，∵a2＋b2＝ 8 8 8 8 c2，∴ S1＋ S2＝ S3 ，即S1＋S2＝S3； ，∴a2＝
图③中，设斜边长为a的等腰直角三角形的直角边为x，则
x＝ 2 a，同理可得，另外两个三角形的直角边分别为 2 b
2
2 2 2 a 1 1 2 2 2 2 2 和 c，∴S1＝ × a× a＝ 4 ，S2＝ × b× b＝ b ， 2 2 2 2 2 2 2 2 4 S3＝ 2 × 1 c× 2 c＝c ，∴a2＝4S1，b2＝4S2，c2＝4S3， 2 2 2 4
OB 2 2 3 tan30 3 3
，在Rt△ABP中，AP
＝

2 3

2
42 2 7 ；
情况三：如解图③，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝ AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝
AO＝2，故答案
为： 2 3 或 2 7或2 .
练习1题解图
练习2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝
2 2 1 2 1 1 ( ) ＝( )1，…，以此类推，Sn＝( )n－3，则S2018＝ 2 2 1 2015 2 ( ) . 2
30° 那么这条直角边所对的锐角等于⑥_____
1.有一个角为90°的三角形是直角三角形 2.勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,则以a、b、c为边的三角形
是直角三角形
3.一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
4.有两个角互余的三角形是直角三角形
1 1 ab 面积计算公式：S=⑦________= ch，其中a、b为两条直角 2 2
边，c为斜边，h为斜边上的高
重难点突破
一直角三角形的相关计算
例1 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于 点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，连接MD，若
BD＝2，CD＝1，
则MD的长为________．
例1题图
【解析】如解图，过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分
∠BAC交BC于点D，CD＝1，AC⊥BC，∴FD＝CD＝1，在 Rt△BDF中，FD＝1，BD＝2，∴∠B＝30°，∴∠1＝∠2
＝30°，∴在Rt△AFD中，AD＝2FD＝2，∴在Rt△AED中，
AE＝
AD 2 4 3 ， cos 30 3 3 2
1 ∴MD＝ AE＝ 2 3 . 2 3
例1题解图
练习1 如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是 射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角
三角形时，AP的
长为______________．
练习1题图
【解析】情况一：当∠APB＝90°时(如解图①)，∵AO＝ BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝
AB· sin60°＝4× 3＝ 2 3 ；情况二：当∠ABP＝90°时(如 2 解图②)，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°， ∴BP＝
3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则 CD的长为________．
练习2题图
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，∴AB＝
BD＋AD＝BD＋CD，设CD＝x，则BD＝4－x，在 Rt△BCD中，CD2＝BC2＋BD2，即x2＝32＋(4－x)2，解得x ＝ 25 .
8
二 、勾股定理的应用
例2
如图，以直角三角形a、b、c为边，向外分别作等边 )
三角形、半圆 、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况
的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有(
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例2题图
3 2 3 2 3 2 【解析】图①中，∵S1＝ a ，S2＝ b ，S3＝ c ， 4 4 4 4 4 4 ∴a2＝ S1，b2＝ S2，c2＝ S3，∵a2＋b2＝c2，∴ 3 3 3 4 4 4 S ＋ S 2＝ S3，即S1＋S2＝S3；图②中，∵S1＝ 3 1 3 2 3 1 1 b 2 b2 b a 2 1 2c π( ) ＝ ，S2＝ π( ) ＝ ，S3＝ π( ) 2 2 22 2 2 2 8 8 8 8
2 2 1 2
)2015
B. (
C. (
)2015
D. (
2 2016 ) 2 1 )2016 2
练习3题图
【解析】根据面积公式可得S1
＝22＝(
1 －2 ) ，通过解直角三 2
角形可得以CD为斜边的等腰直角三角形的直角边长为 2 ， 所以S2＝( 2 )2＝( 2)－1，同理可得S3＝12＝( 1 )0，S4＝