圆相关的证明与计算(教师版)

圆 相 关 的 证 明 与 计 算

1. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC 的长．

解：（1）CD 是⊙O 的切线．……………………1分 证明：连接OD ．

∵∠ADE =60°，∠C =30°，∴∠A =30°． ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A =30°．

∴∠ODE=∠ODA+∠ADE =30°+60°=90°． ∴OD ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线．……………………………3分

（2）在Rt △ODC 中，∠ODC =90°， ∠C =30°， CD =33． ∵tan C =

CD

OD ， ∴OD=CD ·tan C =33×

3

3=3．

∴OC=2OD =6．

∵OB=OD =3，∴BC=OC -OB =6-3=3．…………………………………………5分

2. 已知：如图，O

为A B C ∆的外接圆，B C 为O 的直径，作射线B F ，

使得B A 平分C B F ∠，过点A 作A D B F ⊥于点D

.

求证：( 1 ) D A 为O 的切线； ( 2 ) 若1B D =，

1tan 2

B A D ∠=

，求O 的半径.

（1）证明：连接A O . --------------------------1分 ∵ A O B O

=，

∴ 23

∠=∠.

∵ B A C B F ∠平分，

∴ 12

∠=∠. ∴ 31∠=

∠ .

∴ D B

∥

A O

.--------------------------2分

∵ A D D B ⊥, ∴

90B D A ∠=︒

.

C

∴ 90D A O ∠=︒.

∵ A O

是⊙O 半径，

∴ DA

为⊙O 的切线. ---------------------------------3分

∵ A D D B ⊥,1B D

=，

1tan 2

B A D ∠=

，

∴

2

A D =.

由勾股定理，得A B =分

∴ sin 4∠=

∵ BC

是⊙O 直径，

∴

︒

=∠90BAC

.

∴ 290C ∠+∠=︒. 又∵ 4190∠+∠=︒, 21∠=∠,

∴

4C

∠=∠.

在Rt △A B C 中，sin A B B C C

==sin 4A B

∠=5.

∴ O

的半径为5

2.-------------------------5分

3. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；

（2）若DE =2，tan C =

2

1，求⊙O 的直径．

（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点, O 为AB 中点,

∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． --- 1分 ∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC =90°.

∴∠ODE =∠DEC =90°. ∴OD ⊥DE 于点D .

∴ DE 为⊙O 的切线． ------------ 2分

（2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径,

∴∠ADB =90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB =90°.

∵ D 为AC 中点, ∴AB=AC ．

在Rt △DEC 中，∵DE =2 ,tan C =2

1, ∴EC =

4tan =C

DE . ---- 3分

由勾股定理得：DC =52.

在Rt △DCB 中， BD=5tan =

⋅C DC ．由勾股定理得： BC =5. ∴AB= BC =5. -------------- 4分 ∴⊙O 的直径为5. ------------ 5分

4. 已知：如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，点D 在AB 的延长线上，A BCD ∠=∠. (1)求证：CD 为⊙O 的切线；

(2) 过点C 作AB CE ⊥于E .若5

4cos ,2=

=D CE ,求⊙O 的半径.

（1）证明：连接CO . ---------------------------------1分

∵ AB 是⊙O 直径， ∴ ︒=∠+∠901OCB .∵ CO AO =，

∴ A ∠=∠1． ∵ A ∠=∠5， ∴ ︒=∠+∠905OCB . 即︒=∠90OCD .∴ CD OC ⊥.

又∵ OC 是⊙O 半径，∴ CD 为⊙O 的切线．-------------------------3分 （2）∵ CD OC ⊥于C ，∴ ︒=∠+∠903D .

∵ AB CE ⊥于E ，∴ ︒=∠+∠9023.∴ D ∠=∠2. ∴cos 2cos D ∠=.--------------------------4分

在△OCD 中，︒=∠90OCD ，∴ CO

CE =∠2cos ，

∵ 5

4c o s =D ，2=CE ，∴

5

42=

CO ．

∴ 2

5=

CO ．∴ ⊙O 的半径为2

5.--------------------------5分

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连结EB 交OD 于点F ．

（1）求证：OD ⊥BE ； （2）若DE =2

5，AB =

2

5，求AE 的长．

证明：（1）连结AD ．

∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =∠AEB =90°． ∵ AB =AC ， ∴DC=DB ． ······················································································ 1分 ∵OA =OB ，

∴OD ∥AC ．

∴∠OFB =∠AEB =90°． ∴OD ⊥BE ． ······································· 2分

解：（2）设AE =x ，

由（1）可得∠1＝∠2，

∴BD = ED=

2

5． ·································· 3分

∵OD ⊥EB ，

∴FE=FB ．

第21题图