高二数学2-2变化率与导数导学案
高二数学理科选修2-2导数导学案
1.1.1 函数的平均变化率(1)导学案 【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑；3、带星号的问题,C 层同学可以不做,当堂检测与课后作业写在导学案后空白处。
【学习目标】1、 知识与技能：（1）通过实例分析，了解函数平均变化率的意义；（2）会求函数)(x f 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；2、过程与方法：小组合作探究——分析求函数平均变化率的过程；3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
【重点难点】求函数平均变化率。
一、自主学习（阅读教材3-4页）1、在教材中，我们利用山坡的陡峭程度来理解函数的平均变化率，即将登山者的水平位置用 来表示，竖直位置用 来表示，构造出)(x f y =的函数关系。
（1）如果山坡是一条直线，那么)(x f y =的陡峭程度用直线的 来表示,为什么（2）如果山坡是曲线，那么)(x f y =的陡峭程度如何表示？2、函数的平均变化率 一般地，已知函数)(x f y =， ，记作， ，则当 商 的平均变化率。
注意1：0)(x x f 在处是否有意义；2、y x ∆∆、的含义、求法及范围；3、平均变化率的大小、符号是由谁决定。
二、合作，探究，展示，点评问题1 掌握求函数)(x f y =的平均变化率的过程与方法，并注意上述三点。
1、求函数2x y =在下列区间上的平均变化率。
（1）],[00x x x x ∆+∈；（2）]4,1[∈x2、求函数x y 1=在],[00x x x x ∆+∈的平均变化率（0000≠∆+≠x x x ，且），若]4,1[∈x ，]4,1[-∈x 是否能求出函数的平均变化率？3、求函数x y =在)0(00>=x x x 附近的平均变化率。
三、总结升华 1、知识与方法：2、各层同学将本节课内容按照你自己掌握的情况进行总结（你学到了什么）四、当堂检测请同学课上看投影，遇到有困难的问题请将问题摘抄到下面空白处，以便今后予以借鉴。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念
1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念（结合配套课件、作业使用，效果更佳）周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. `3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ (1)物体在 的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【合作探究】类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．跟踪训练1 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．类型二 求平均速度与瞬时速度例2 若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数例3 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝a ，则f ′(x 0)＝________.(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41D ．32．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝li m Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)24．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.【小结作业】小结：作业：对应限时练。
高中数学人教A版选修2-2《变化率问题与导数的概念》word学案
则平 均变化率为
探究1：观察函数f(x)的图象平均变化率
表示的几何意 义是什么?
直线的斜率
探究2：计算运动员在 这段 时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？否
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
例2．求函数f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例3．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：见课本P6解答。
小结：利用导数的定义求导，步骤为：
二、问题提出
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
3.培养学生科学严谨的探索精神。
【学习重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；导数的概念。
【学习难点】平均变化率的概念、导数的概念。
【预习新知】
1、对于函数 ，当自变量 从 变到 时，函数值从 变到 ，则称式子 为 从 到 的平均变化率，简记作： 。
2、函数 的平均变化率的几何意义是指函数 图象上两点 、 连线的斜率
一差二比三极限
【当堂达标】
1.设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 （D）
高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案
第2章 变化率与导数导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]导数的几何意义的应用3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数(1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x－2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx .思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y ＝(1＋x 2)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2sin x . (2)∵y ＝ln x x－2x ，∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x2－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2＋bx .y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′＝e u·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2＋bx .运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (3)y ＝1＋ln 2x .[解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝3(x 32)′－x ′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x . y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v ·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x ·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f (x )＝ax ＋x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f (x )的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，则依题意f ′(2)＝0，f (2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 即切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x，由题意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P (1,1)．。
人教课标版高中数学选修2-2《变化率与导数(第1课时)》教案-新版
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数第1课时教学目标 1. 核心素养通过变化率与导数的学习，体验数学发现和创造的过程，提高抽象概括能力． 2. 学习目标（1）1.1.1通过实例，经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，（2）1.1.2了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵. 3. 学习重点平均变化率与导数的概念；体会导数思想及内涵． 4. 学习难点理解导数的概念，掌握导数的记号. （一） 课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 2－P 6，思考：平均变化率和瞬时变化率是什么？平均变化率和瞬时变化率的区别是什么？你能否举出一个实例，求平均变化率和瞬时变化率. 任务2导数是什么？导数的记号是什么？2．预习自测1.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s s t t == (位移单位：m ，时间单位：s )，则小球在2到3秒间的平均速度为_____________. 答案：5/m s2.一做直线运动的物体，从1t =到1t t =+∆这段时间里，物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为（ ）A ．从1到1t +∆这段时间内物体的平均速度B ．从0到1这段时间内物体的平均速度C ．物体在1t =这一时刻的瞬时速度D ．物体在1t +∆这个时刻的瞬时速度 答案：C3.下列各式正确的是（ ） A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)x B ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0+Δx )－f (x 0)x D ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0+Δx )+f (x 0)x答案：C （二） 课堂设计 1.知识回顾（1）物理中平均速度xv t=，其中x 是位移，t 是时间. （2）物理中平均速率sv t=，其中s 是路程，t 是时间.（3）指数函数(1)x y a a =>的增长速度如何变化？指数增长越来越快. （4）对数函数log (1)a y x a =>的增长速度又如何变化？对数增长越来越慢. 2．问题探究问题探究一●活动一 阅读思考，体验平均变化率请大家阅读教材问题1：气球的膨胀率，然后思考：若气球的体积由1V 增长到2V 时，气球的平均膨胀率是多少？设气球的半径为r ，所以气球的平均膨胀率为()()1212r V r V r V V -=-. ●活动二 类比巧思，解决同类问题对比气球的膨胀率与平均速度如何证明指数函数(1)x y a a =>的增长速度越来越快？当x 从1增加到2时，函数值的平均增长率为2(1)a a a a -=-； 当x 从2增加到3时，函数值的平均增长率为322(1)a a a a -=-； 当x 从3增加到4时，函数值的平均增长率为433(1)a a a a -=-； 当a >1时，所以指数函数(1)x y a a =>的增长速度越来越快. ●活动三 归纳总结，收获新的认识请大家结合气球膨胀率、平均速度、函数增长速度等实例归纳什么是平均变化率？设函数()y f x =，12,x x 是其定义域内的两点，称式子2121()()f x f x x x --称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -，即21x x x ∆=-，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”.可用1x x +∆代替2x ；类似地，21()()y f x f x ∆=-.于是平均变化率也可表示为yx∆∆.且易知11()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆. 注意：x ∆是一个整体符号，不是∆与x 相乘，它可正、可负、不可为零.例 1 已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 【知识点：平均变化率】解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2点拨：理解函数的平均变化率.例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章 变化的快慢与变化率(第1讲)
1．自变量x 从0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A.在区间[0x ，1x ]上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化量
D.在区间[0x ，1x ]上的瞬时变化率
2．在求平均变化率时，自变量的增量△x 满足（ ）
A. △x>0
B. △x<0
C. △x=0
D. △x ≠0
3.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是（ ）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
4.若质点A 按规律32t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）
A.6
B.18
C.54
D.81
5.已知函数y=x 3-2,则当x=2时的瞬时变化率是 。
6.已知物体运动的速度与时间的关系是v(t)=t 2+2t+2， 则在时间间隔[1，1+△t]内的平均加速度是 。
7.求函数y=x 1
在x=2处的瞬时变化率。
8.求函数y=x 在x=4处的瞬时变化率。
9.求函数y=x+x 1
在x=1处的瞬时变化率。
答案ADAC 5.12;6.4t +∆；7.14-；8.1
4；9.0。
高中数学选修2-2第一章第一节《变化率与导数》全套教案
变化率与导数课时分配:第一课变化率1个课时第二课导数的概念1个课时第三课导数的几何意义1个课时1. 1.1 变化率【教学目标】1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法；4.让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．【教学重点】理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义【教学难点】通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义【学前准备】：多媒体，预习例题【教材分析】：平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：210k k <<陡 峭 程 度 （越大） （越小）yAB O1k 2k 12||||k k <（1）、我们研究的是随着体积V 的变化，半径R 变化的快慢，引入函数解析式（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？讨论得出： 观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议334()Vr V π=1212)()(r v v v r v --导数的概念【教学目标】（一）知识与技能理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的概念.（二）过程与方法通过观看国家运功员跳水视频，引出瞬时速度，进而结合瞬时变化率及极限的思想得出导数的概念.（三）情感、态度与价值观学生通过观看运动员跳水视频，理解瞬时速度及瞬时变化率，从而过渡到导数，培养了学生自主观察、发现新知的能力【教学重点难点】重点：导数的概念难点：导数的概念形成过程【学前准备】：多媒体，预习例题导数的几何意义【教学目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【教学重点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义【教学难点】导数的几何意义图3.1-2我们发现，当点沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。
人教版高中数学选修2-2学案：变化率与导数
变化率与导数（复习课）【学习目标】1.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；2.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；3.会求经过简单曲线上的点的切线方程.【新知自学】 知识回顾1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作 .3.导数的几何意义：函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点 处的 .4.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ________________________________________ ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 . 对点练习：1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 .2.在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,kf k f k )2()2(lim 0-+→= . 3.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度为 .4.已知f(x)=x 2,则=')2(f ______________.【合作探究】 典例精析例1.若曲线y=x 2+6在点P 处的切线垂直于直线2x-y+5=0，求点P 的坐标及切线方程.例2．若0()2f x '=,则kx f k x f k )()2(lim 000--→ = .【当堂达标】1.函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为 _____________.2.若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为 米/秒.3.若0()2f x '=,则0lim →k 00()()2f x k f x k--= . 4.若函数f(x)=ax 2+c ，且2)1(f ='，求a 的值.【课时作业】1.汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.2.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+5，则f(1)+(1)f '=__________.3.直线y=x 2+ax+b 在点处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）A.a=1,b=1B.a=-1,b=1。
选修2-2导学案：变化率问题与导数 平均变化率
新源县第二中学
主备：万银环：
编号：1
（第二课时）导数的几何意义
教学目标： 1、感受曲线上某点切线斜率的实际背景，经历运用数学探索、描述和刻画 现实世界的过程．体验数学中的极限思想。 2、 理解曲线上某点切线斜率的几何与代数意义， 掌握求曲线的切线的方法。 教学重点：掌握求曲线的切线斜率的方法。 教学难点：理解曲线上某点切线斜率的几何与代数意义。 教学过程 一、问题引入 问题 1：平均变化率几何意义：曲线上两点连线的斜率就是两点间的平均 变化率。 问题 2：如何精确刻画曲线上某一点处的变化趋势？（以直代曲的思想） 二：新课讲解 1：导数的几何意义 （1）切线
f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) ( x x) x x
f ( x x ) f ( x ) 无限趋近于 x
当 Q 沿曲线无限接近于 P 时，即 x 0 ，
P( x, f ( x)) 处的切线的斜率。
3、导数：函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 上有定义， x0 (a, b) ,若 x 0 ， 比值
新源县第二中学
主备：标： 1、 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中， 经历运用数学描述和刻画现 实世界的过程，体会数学的博大及学习数学的意义。 2、理解平均变化率的意义。 3：理解瞬时变化率 ----导数的定义 4：会求平均变化率和求函数在某一点处的导数 教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义。求平均变化率和求函数在 某一点处的导数 教学难点。对导数概念的理解 教学过程 一、问题情境 问题 1：气球膨胀率 （见课本） 问题 2： 。高台跳水（见课本） 二、函数的变化率 1：平均变化率 定义： 一般地， 函数 f ( x ) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为
高中数学选修2-21.1.1 变化率与导数学案
§1.1 变化率与导数学案§1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. [解析]:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.[解析]:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率. 3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率. 五、课堂反馈1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+2． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A －4B －8C 6D －63． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D xx ∆-∆+12 5． 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ）A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B 在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0 C 运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢 D 运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小6．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间[]21,t t 内的7．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的8．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是 9．正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？ 10．甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图（1）（2）所示，试问：（1）甲、乙两人哪一个跑得较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？11．一水库的蓄水量与时间关系如图所示，试指出哪一段时间（以两个月计）蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？12．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函数()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t§1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：导数的概念. 学习过程： 一、创设情景 (一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论: 小结:2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或'|x x y =即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x yx ∆∆→∆0lim .[解析]: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C o )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[解析]:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为. 2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数. 3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）Ax x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim 0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim Cx x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim 0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A 2 B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ）A 0B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
北师大版《选修2-2—第二章变化率与导数》第二课时《导数的概念》优质课导学案
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
总结:导数是一种________定义.
导数符号语言的几种等价形式:
1.___________________
2.___________________
当堂检测:
1.设
f (x) 是可导函数,若 lim x0
f (x0
2x) x
x
x
x
当 x 趋于 0 时,平均变化率趋于 3；
所以,水管中的水在 2 秒时的瞬时水量是 3m3/s .
总结: f '(x0 ) 反映函数 f (x) 在 x0 处变化____程度. 当堂练习:求函数 f (x) x2 在 x 1时的导数值.
三、导数符号语言
f
' (x0 )
y lim x0 x
式为:s= 1 gt 2 ；试估计小球在 t=5 这个时刻的瞬时速度.
2
析：当时间
t
从
t0
变到
t1
时，根据平均速度公式： v
s t
s(t1 ) t1
s(t0 ) t0
.
1. t1 6,t0 5 2. t1 5.1,t0 5
s(6) s(5) 176.4 122.5 53.9m / s.
f
' (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
.
例 2：一条水管中流过的水量 y (单位:m3)是时间 x (单位:s)的函数,求
函数 y f (x) 3x 在 x 2 处的导数,并解释它的实际意义.
人教版数学高二B版选修2-2学案 1.1变化率与导数1
第1课时 变化率与导数【知识梳理】 1.导数的概念（1）()f x 在0x x =处的导数就是()f x 在0x x =处的，记作：0'|x x y =或()0'f x ，即()()()0000'limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.（2）当把上式中的0x 看做变量x 时，()'f x 即为()f x 的，简称导数，即()()()''lim x f x x f x y f x x∆→+∆-==∆.2.导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率()0'k f x =，切线方程为.3.基本初等函数的导数公式 （1）'C =（C 为常数）；（2）()'n x = ()*n ∈Q ；（3）()sin 'x = ； （4）()cos 'x = ；（5）()'x a =； （6）()'x e = ； （7）()log 'a x =； （8）()ln 'x =.4.两个函数的四则运算的导数 若()u x ，()v x 的导数都存在，则 （1）()'u v ±= ； （2）()'u v ⋅=；（3）'u v ⎛⎫=⎪⎝⎭；（4）()'cu =（c 为常数）.5.复合函数的导数设()u g x =在点x 处可导，则复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在点x 处可导，且()'f x =.【典型例题】例1.利用导数定义求函数()f x x =在1x =处的导数.变式训练1.设()38f x x x =-，则()()22limx f x f x ∆→+∆-=∆.()()22limx f x f x ∆→-∆-=∆.()()22lim2x f x f x →-=-.例2.求下列函数的导数： （1）()()33421y x xx =-+；（2）2sin y x x =； （3）32xxxy e e =-+；（4）2ln 1xy x =+.例3.求下列函数的导数：（1）2cos3xy ex =；（2）y =.变式训练2.求下列函数的导数： （1）()()2ln 1f x x =-；（2）()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （3）()()2sin 2xf x e x -=.例4.已知曲线31433y x =+. （1）求曲线在点()2,4P 处的切线方程； （2）求曲线过点()2,4P 的切线方程； （3）求满足斜率为1的曲线的切线方程.变式训练4.（1）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =.（2）过点()1,1-的曲线32y x x =-的切线方程为 .。
2012-2013高二北师大数学选修2-2第二章变化率与导数小结导学案
第二章章末小结知识框图本章知识综述1.要注意结合实例理解导数概念的实质，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程，注意当切线平行于y 轴时，这时导数不存在，此时切线方程为0x x =。
2.熟记基本初等函数的求导公式和四则运算法则，并能熟练运用。
注意，有时先化简后求导会给解题带来方便，因此观察函数的特点，对函数进行适当的变形是优化解题过程的关键。
3.对复合函数求导，关键在于选取合适的中间变量。
弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆。
最后将中间变量代入，换成关于自变量的函数。
典例分析题型一 利用导数的定义解题对于导数的概念，要明确定义的基本内容和0→∆x 的意义，函数值的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比x y ∆∆能够趋于一个固定的值，即x y x ∆∆→∆0lim xx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000。
在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形。
例1 如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）A ． 6m/sB ．18m/sC ．54m/sD ．81m/s例2设4)3(='f ,()()为hf h f h 233lim 0--→（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．1题型二 求导数以导数的四则运算法则和复合函数的求导法则为依据，利用基本初等函数的求导公式求某些函数的导数。
求函数的导数是微积分知识的基本要求，也是高等数学知识中的重要内容。
例3 求下列函数的导数（1）x x x y +=sin ； （2）x x x y 21ln -+=; 题型三 利用导数的几何意义由于函数()x f y =在),(00y x P 处的导数()0x f '表示函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率，导数()0x f '的几何意义就是曲线()x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，其切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=-，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法求解。
人教版高中选修2-2数学1.1变化率与导数教案(4)
§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。
高二数学选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.2 变化率和导数导学案(简答)
高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.1.2 变化率与导数导学案学习目标1.了解瞬时速度，瞬时变化率（导数）的定义。
2.掌握瞬时速度，瞬时变化率的求法。
3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。
重点、难点形成导数的概念，了解导数的内涵。
学习方法经历由平均速度到瞬时速度的推导过程，了解并掌握导数的概念及求法。
学习过程一、知识要点填空：1．瞬时速度物体在0t 时的瞬时速度v 就是运动物体在0t 到t t ∆+0一段时间内的平均速度，当0→∆t 时的极限，即=∆∆=→∆ts v t lim 0 2．导数的概念在0x x =处的导数的定义：一般地，)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是=∆∆→∆xf x lim0 我们称之为)(x f y =在0x x =处的 记作)(0'x f 或0|'x x y =即=)(0'x f3求导数的步骤。
①求函数的增量：=∆y ②求平均变化率：=∆∆xy ③取极限，得导数：=)(0'x f上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。
二、知识点实例探究：掌握求导方法:例 （1）以初速度为)0(00>v v 做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为2021)(gt t v t s -=，求物体在时刻0t 处的瞬时速度。
（2）求122+=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
（3）设2)(x x f =+1，求)('x f ，)1('-f ，)2('f掌握导数定义及变形:已知)(x f 在0x x =处的导数为A ,求x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(000lim 及x x f x x f x ∆-∆-→∆)()2(000lim 的值。
（2）若2)(0='x f ,求hh x f h x f h )()(000lim +--→的值.展示提升1. 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆.(2)求质点M 在t =2时的瞬时速度2.利用导数定义试求函数f(x)=x 2在x=1和x=3处的导数三、课堂小结：这节课主要学习了：1.物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim 2.利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量 ；第二步：求平均变化率 ；第三步：取极限得导数 .本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《变化率与导数2》节节过关达标检测班级 组名 学生姓名1．一物体的运动方程是23t s +=，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为（ ）A 0.41B 3C 4D 4.12．设函数)(x f 可导，则x f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim 0等于（ ） A )1(/f B 不存在 C31)1(/f D 以上都不对 3．设x x f 1)(=，则a x a f x f ax --→)()(lim 等于（ ） A a 1- B a 2 C 21a - D 21a4．若3)(x x f =，3)(0/=x f ，则0x 的值是（ ）A 1B －1C 1±D 335．设函数2)(3+=ax x f ，若3)1(/=-f ，则=a __________。
数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案
北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案§1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
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§1.1 变化率与导数学案学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 教学难点：平均变化率的概念. 二、新课学习（阅读课本1-4页） (一)问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出：思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及 临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 解:. [例2] 求y ＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率变式题：已知函数f (x )＝x 2＋2x ，求f (x )从a 到b 的平均变化率．(1)a ＝1，b ＝2；(2)a ＝3，b ＝3.1； (3)a ＝－2，b ＝1.5.[例3] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．变式题：过曲线f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．四 。
平均变化率的应用[例4] 试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大？五、课堂反馈及作业一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09D ．2.94．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09D ．2.15．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )27．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3D ．9.38．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．②D ．①9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( ) A ．v 0B.Δts (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD.s (t )t10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx＝________.12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________．14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．16．过曲线f (x )＝2x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率．17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．§1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点： 导数的概念.学习过程：（阅读课本4-6页） (一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程:二、学习新知 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论: 小结:2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x=处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.三、典例分析例1 用定义求函数在某点处的导数 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim .解: (1) (2)一用定义求函数在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)Δx 趋近于0时，若ΔyΔx 趋近于一个常数，则这个常数就是函数在该点处的导数．例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况. 、二定义的应用[例3] 若函数f (x )在x ＝a 处的导数为A ，求： (1)li m Δx→f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx ；(2)li m t→f (a ＋4t )－f (a ＋5t )t .四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五、课堂反馈及课后作业 一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．813．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2C ．2＋ΔxD ．14．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A ．37B ．38C ．39D ．405．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0) 6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( ) A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)B ．f ′(x 0)＝li m Δx →[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx D ．f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( )A ．4aB ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a等于( )A ．－1aB.2a C ．－1a2D.1a2 二、填空题11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li m Δx→0f (x 0－Δx )－f (x 0)＝________；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________.12．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______． 14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →32x －3f (x )x －3的值是________．三、解答题15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)Δy Δx(2)f ′(1)．18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．§1.1.3导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 教学难点： 导数的几何意义.学习过程：阅读课本6-9页 (一) 平均变化率、割线的斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx =-----------------(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？ 我们发现:问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)设切线的倾斜角为α,那么当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一. 三、典例分析例1 (1)求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程. (2)求函数23x y =在点(1,3)处的导数. 解:例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++,根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.解:四、课堂练习1.求曲线3)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.2.求曲线y =(4,2)处的切线.五、课堂反馈及课后作业一、选择题1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.54π D ．－π43．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，144．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －55．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交7．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( )A ．3,3B ．3，－1C ．－1,3D ．－1，－18．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,0)或(－1，－4)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,4)9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，πB.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫56π，πC.⎣⎡⎭⎫23π，πD.⎝⎛⎦⎤π2，56π10．(2010·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12] B ．[－1,0]C ．[0,1] D ．[12，1] 二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________．12．若函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线的方程为________． 13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．三、解答题15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程．16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．17．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．。