7.1空间几何体的,结构特征及,三视图和直观图,(高三)

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空间几何体的结构、三视图、直观图课件

2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
正棱锥性质2 P
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
S 投射方向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
• 三视图
• 正(主)视图——从正面看到的图
由由这这些些面面所所围围成成的的几几何何体体叫叫做做棱棱锥锥。。
用一个平行于棱锥底用面一的个平面行去于截棱棱锥锥底，面底的面平与面截去面截之棱间锥的，部底分面叫与作截棱面台之
间的部分叫作棱台
(1)上下两个底面互(1相)上平下行两；个底面
(互2)相侧平棱行的；延长线相(2交)侧于棱一的点延；长线
圆柱
圆锥
圆台
圆锥的结构特征
S 顶点
轴
母
线
侧
面
A
O
底面
B
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
球的结构特征
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
直径
O
球心
半径
球的基本属性：球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合.

7.1立体几何的结构特征及三视图直观图

(对应学生用书 P128)
几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．
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(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．
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【解析】若为D选项，则主视图为： D选项．
【答案】 D
，故不可能是
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(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
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对应学生用书 P127)
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形．多 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点面的三角形．体 (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
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【思路启迪】利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．
【解析】命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．

【最新】版高中全程复习方略配套课件：7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图(北师大版·数学理)

(3)棱台 ①定义：用一个__平__行__于__棱__锥__底__面___的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台. ②正棱台：用_正__棱__锥___截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高. ③分类：三棱台、四棱台、五棱台、…
【即时应用】 (1)思考：由棱柱的结构特征可知：棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形,反过来，成立吗？提示:不一定成立.如图所示几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足 “每相邻两个侧面的公共边互相平行”，故它不是棱柱.
2.简单多面体若干个__平__面__多__边__形___围成的几何体叫作多面体，其中_棱__柱___、 __棱__锥___、__棱__台___是简单多面体. (1)棱柱 ①定义：两个面__互__相__平__行__，其余各面都是_四__边__形___，并且每相邻两个四边形的公共边都__互__相__平__行__，这些面围成的几何体叫作棱柱.
①一个棱柱至少有五个面，六个顶点、九条棱
()
②一个棱锥至少有四个面、四个顶点、四条棱
()
③棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
()
【解析】棱数最少的三棱锥有四个面、四个顶点、六条棱.
∴②不正确；对于棱锥，用不平行于底面的平面截去一个小②× ③×
3.对本节内容的考查常以选择题、填空题的形式出现，常将三视图、直观图同几何体的表面积和体积综合在一起考查，难度不大，属低中档题.
1.简单旋转体 (1)旋转体的定义一条_平__面__曲__线___绕着它所在的平面内的一条_定__直__线__旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的_几__何__体__叫作旋转体.
3.直观图 (1)平面图形直观图的画法斜二测画法的规则是： ①在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′,使∠x′O′y′=__4_5_°__(_或__ _1_3_5_°__)_,它们确定的平面表示__水__平__平_面___. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 __平__行__于___x′轴和y′轴的线段.

高三理科数学第一轮复习§7.1：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

第七章：立体几何初步 §7.1：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
第七章：立体几何初步 §7.1：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
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第七章：立体几何初步 §7.1：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

7-1第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图(2015年高考总复习)

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变式思考 2
某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则 )
该几何体的俯视图不可能是(
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第七章
疑点清源 1．对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．
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答案
D
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2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可能是( A．球 C．正方体 ) B．三棱锥 D．圆柱
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课本导读 1．多面体的结构特征
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2 2
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高考一轮课件(7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图)

出以下a,b,c,d四种不同的三视图,其中可以正确表示这个正三
棱柱的三视图的有( )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
【解析】选D.根据正三棱柱的位置,以及画三视图的规则,容易得出4种不同的三视图都正确.
【互动探究】若本例题(3)中的四棱锥P-ABCD为正四棱锥,且主视图和左视图是边长为1的正三角形,求该四棱锥的侧棱长. 【解析】如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高 PO 3 .
2
则在正方形ABCD内, OB 2 AB 2 ,
2 2
故侧棱长 PB PO 2 OB2 3 2 5 .
1
(2)立体图形直观图的画法
立体图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴
水平 z′轴的是_______,平面x′O′y′表示_____平面,平面y′O′z′和平行性直立 x′O′z′表示_____平面,平行于z轴的线段,在直观图中_______ 长度和_____都不变.
4.三视图
⑥棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是( (A)①②③④ (C)③④⑤⑥ )
(B)②③④⑤ (D)①②③④⑤⑥
(2)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆柱的母线;
②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
【解析】选C.由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体.
3.一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯
视图不可能是(
)
【解析】选D.∵该几何体的主视图和左视图都是正方形,∴其

第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图文湘教版课件

2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝ 23，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 23× 22＝ 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′＝12×2×
()
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．答案：B
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台的母线长为________ cm. 解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为 1∶16，设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质得3＋3 l＝4rr，解得 l＝9. 所以，圆台的母线长为 9 cm. 答案：9
相对位置不改变.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系
S
＝直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
4．转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台
4．三视图 (1)几何体的三视图包括正(主) 视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几
何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样

[广东理数一轮]7.1空间几何体的结构三视图及直观图

三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
• 三视图 • 主视图——从正面看到的图 • 左视图——从左面看到的图 • 俯视图——从上面看到的图 • 画物体的三视图时,要符合如下原则: • 位置：主视图左视图 • 俯视图 • 大小：长对正,高平齐,宽相等.
按照底面多边形的边数可分为三棱锥,四棱锥,五棱锥…
S E A B C D
(5)正棱锥的定义:
底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心,这样的棱锥是正棱锥. S
O
3、棱台: (1)定义: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ,底面与截面之间的部分，这样的几何体叫棱台。 (2)棱台的上下底面、侧面、侧棱、顶点、高 (3)棱台的表示: 用表示顶点的字母表示. 如棱台ABCD—A1B1C1D1 (4)棱台的分类: 按照底面多边形的边数可分为三棱台,四棱台, 五棱台……
斜二测画法的步骤： (1)画轴： (2)平行处理： (3)长度处理：
3、用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图；例1、用斜二侧画法画水平放置的正六边形的直观图
y
o
x
x′
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
B’ y’
D’ C’
E F A O’
D C x’ B
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’ D E A O’ B C x’
1cm 1cm
主视图
侧视图
2cm
2cm
俯视图
根据三视图想象物体原形, 画出物体的实物草图,并求体积.
1cm 1cm
主视图

7.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何
体叫棱柱
C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D、棱台是平行于底面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分
【分析】根据柱、锥、台的概念作出判断.
【解析】A，B中，不满足“每相邻两个侧面的公
共边互相平行”，所以不是棱柱；C中，不满足各个三角形有唯一的公共顶点.
考点一几何体的结构特征
判断图中所示物体是不是台体，为什么?
【分析】用台体的定义判断.
【解析】以上三图都不是台体，（1）中延长
AA1,DD1，它们交于一点，而延长BB1,CC1，它们交于
另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体；（2）中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3）中⊙O与⊙O1也不平行，故（3）也不是台体. 【评析】判断是否是台体要看两点：一是看底面是否平行，二是看是否可以还原成锥体.
＊对应演练＊
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由.
（1）是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行
母线.
D（A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
B错误.如图，若△ABC
不是直角三角形或是直
角三角形，但旋转轴不
是直角边，所得的几何
体都不是圆锥.
C显然错误.故应选D.）
考点三
基本元素的计算
圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径和两底面面积之和.

高中空间几何体的结构特征及三视图与直观图知识点及练习

侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公
共顶点
②举例：三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是
四边形)……
底面(底)：多边形面
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点棱锥的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图棱锥可记作：棱锥 S－ABCD
侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶
3．如图甲，将一个正三棱柱 ABC DEF 截去一个三棱锥 A BCD，得到几何体 BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图是( )
4．如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )
A．1∶1
直径：半圆的直径叫做球的直径
4.简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、
球等几何结构特征的物体组成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
知识点二空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影与平行投影
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是 ( )
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
轴：形成旋转体所绕的定直线
体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段

空间几何体的结构特征及三视图和直观图经典课件(最新)

图 12
高中数学课件
【反思·升华】三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
高中数学课件
空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件
高中数学课件
1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
高中数学课件
(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
高中数学课件
高频考点 2 空间几何体的三视图【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)

归纳与技巧：空间几何体的结构特征及三视图和直观图基础知识归纳一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．基础题必做1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③解题方法归纳1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例1]下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案] D解题方法归纳解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2]某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案] C解题方法归纳三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC 为△ABC 的高．把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，则点C ′变为点C ，且OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45° a ＝62 a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a . 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.解题方法归纳用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”． “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变，图形改变；“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD ，且EC 投影在面P AD 上，故B 正确．5.如图△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B 正确．6．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：5339．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.12．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝⎛⎭⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3 D ．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：33．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE .∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线．∴OE ∥A 1C .∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22， S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a 28， ∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B.322C. 2D. 3解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A 1BC 1垂直时，∵面ACD 1∥面A 1BC 1， ∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a ，则3a＝2，∴a ＝63. ∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫632＝ 3. 此时投影面积最大，故D 正确．2．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2. 答案：4＋3 23．已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度(x 可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S (x )，则函数S (x )的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO ′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S (x )的最大值为8.当三棱柱绕OO ′旋转时，当A 点旋转到B点，B 点旋转到C 点，C 点旋转到A 点时，所得三角形与原三角形重合，故S (x )的最小正周期为2π3. 答案：82π3。

2017版高考数学课件：7.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

(3)由三视图想象几何体特征时要根据“⑨ 长对正
宽相等 ”的基本原则.
、⑩ 高平齐、
3.平行投影的投影线互相平行;中心投影的投影线交于一点.
第六页，编辑于星期六：二十点二十三分。
四、三视图与直观图的识别与转化
1.空间几何体的三视图
(1)“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线
(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )
A.①②⑥ B.①②③
C.④⑤⑥ D.③④⑤
第二十三页，编辑于星期六：二十点二十三分。
答案 B
解析正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是相邻两边长为5 和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图
. (2)(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( )
A.72 cm3
B.90 cm3
3
C.108 cm
D.138 cm3
第二十五页，编辑于星期六：二十点二十三分。
答案 (1) 2 (2)B
2
解析 (1)如图所示.
∵OE= ( 2)2 1=1,
5.(2015浙江测试卷,4,5分)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的三
视图不可能是 ( )
第十五页，编辑于星期六：二十点二十三分。
答案 C A显然正确;把几何体逆时针旋转90度,所得的三视图即为B;C
也是把几何体逆时针旋转90度后所得的三视图,但侧视图是错误的;把几
何体的前面作为底面,左、右侧面还是分别作为左、右侧面,所得的三视
点A、C、D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B

高三数学复习(理)：第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图[学生用书P136]1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线或对边中点连线所在直线圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在的平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．常用结论1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)棱柱的概念不清致误；(2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错； (3)斜二测画法的规则不清致误．1．如图，长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′.剩下的几何体是( )A ．棱台B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱解析：选C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C. 2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选B.根据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．3．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．解析：在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝22.而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1，＋1.所以BC＝BE＋EC＝22由此可还原原图形如图所示．在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝22＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以这块菜地的面积为S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋2 2[学生用书P137]空间几何体的几何特征(自主练透)1．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选 B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为() A．2，8 B．4，12C．2，12 D．12，8解析：选 A.因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体．因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体．4．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝202－102＝10 3.答案：103空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体的三视图(多维探究)角度一已知几何体，识别三视图(1)已知棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直观图如图．若正三棱柱ABC-A1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为()(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】(1)由题知，四个选项的高都是2.若侧视图为A，则中间应该有一条竖直的实线或虚线；若侧视图为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若侧视图为D，则长度应为3，而不是1.故选B.(2)由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】(1)B(2)A已知几何体，识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．角度二由空间几何体的三视图还原直观图(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．E B．FC．G D.H(2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由三视图知，该几何体是由两个长方体组合而成的，其直观图如图所示，由图知该端点在侧视图中对应的点为E，故选A.(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.【答案】(1)A(2)C【迁移探究1】(变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是多少？解：由三视图可知，P A＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝22，PC＝3，CD＝5，故最长棱为PC，且|PC|＝3.【迁移探究2】(变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积．解：面积最小的面为面PBC，且S△PBC＝12BC·PB＝12×1×22＝2，即最小面的面积为 2.由三视图确定几何体的步骤角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为( )A ．3丈B ．6丈C ．8丈D ．(5＋13)丈【解析】由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52(丈)，所以该楔体侧视图的周长为3＋2×52＝8(丈)．故选C.【答案】 C由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．1．(2021·银川模拟)将一长为4，宽为2的矩形ABCD沿AB，DC的中点E，F的连线折成如图所示的几何体，若折叠后AE＝AB，则该几何体正视图的面积为()A．4 B．2 3C．2 D. 3解析：选B.依题意，该三棱柱为正三棱柱，正视图中矩形的长为BC的长，宽为正三角形ABE的边BE上的高，如图，作AG⊥BE，又AB＝BE＝AE＝1，所以AG＝1×sin 60°＝32，所以正视图＝23，故选B.的面积为4×322．(2021·江西重点中学联考(一))现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③解析：选A.还原出空间几何体，编号为①的三棱锥的直观图如图(1)的三棱锥P-ABC，平面P AC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为②的三棱锥的直观图如图(2)的三棱锥P-ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为③的三棱锥的直观图如图(3)的三棱锥PABC，不存在侧面与底面互相垂直，所以满足题意的编号是①②.3．(2021·陕西西安五校4月联考)一个几何体的三视图如图所示，则在该几何体的各个面中，最大面的面积为()A．215B．15C．2 D.4解析：选 B.由三视图可得该几何体的直观图(如图所示)，其中AD⊥平面BCD，BD＝CD＝AD＝2，所以S△ABD＝12×2×2＝2，S△ADC＝12×2×2＝2，在△BCD中，边BD上的高h＝22－12＝3，所以S△BCD＝12×2×3＝ 3.在△ABC中，AC＝AB＝22，BC＝32＋（3）2＝23，BC边上的高h′＝（22）2－（3）2＝5，所以S△ABC＝12×BC×h′＝12×23×5＝15.综上，最大面的面积为15，故选B.空间几何体的直观图(自主练透)1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为矩形．2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B．38a2C.68a2 D.616a2解析：选D.如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝6 8a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.3．在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：因为OE＝（2）2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝2 4.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22平面图形与其直观图的关系(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．[学生用书P140]核心素养系列13直观想象——构造法求解三视图问题的三个步骤三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，是高考的热点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，而由三视图还原几何体只要按照以下三个步骤去做，基本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)作垂线，找到顶点，连线即可．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为()A.16B．26C.36 D.12【解析】几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线．②俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一个直角．正视图和侧视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(图中D点上方顶点)，将该顶点下拉至D点，连接DA，DB，DC即可．该几何体即图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD，其体积为13×12×1×1×1＝16.故选A.【答案】 A如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图．【解】第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①.第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角．第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体为三棱锥A-BCD，如图②.[学生用书P315(单独成册)][A级基础练]1．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.2．如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′ABC，则剩余的部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B.如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′ABC，剩余部分是四棱锥A′BCC′B′.3．(2020·开封模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B在平面α上，AB＝ 2.若平面A1B1C1D1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体ABCD-A1B1C1D1在平面α上的俯视图的面积为()A．2 B．1＋ 3C．2 3 D．2 2解析：选B.由题意得AB在平面α内，且平面α与平面ABCD所成的角为30°，与平面B1A1AB所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S＝2×(2cos 30°＋2 cos 60°)＝2(cos 30°＋cos 60°)＝1＋ 3.4．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.5．如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为()A．{1，5} B．{1，6}C．{1，2，5} D．{1，2，22，6}解析：选B.如图所示，该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，侧棱长为6，故选B.6．已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V-ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2 2.因为一条侧棱长为211，所以VO＝VA2AO2＝44－8＝6.所以正四棱锥V-ABCD的高为6.答案：67．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为______cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．答案：138．某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，D′为C′B′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为________．解析：由题图易知，该几何体为一个四棱锥(高为23，底面是长为4，宽为3的矩形)与一个半圆柱(底面圆半径为2，高为3)的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测画法可知S直∶S原＝24，所以四边形O′A′B′C′的面积为12×24＝3 2.答案：3 29．如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A的长．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 (cm)．由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．10．已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图和侧视图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)如图．(2)侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝2 3. 则S △VBC ＝12×23×23＝6. [B 级综合练]11.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )解析：选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切，排除C ，D.由于两球球心连线AB 1与面AA 1C 1C 不平行，故两球球心投影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，B 正确．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分解析：选 D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为()A．1 B． 2C. 3 D．2解析：选D.正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S正视图＝12×a2.设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以S俯视图S正视图的最大值为a 212a 2＝2，故选D. 14．某几何体的三视图如图所示，三视图中的点P ，Q 分别对应原几何体中的点A ，B ，在此几何体中从点A 经过一条侧棱上点R 到达点B 的最短路径的长度为( )A ．aB ．2aC ．52a D.3a解析：选D.由几何体的三视图可知，该几何体为棱长为a 的正四面体(如图1)，将侧面三角形CDB 绕CD 翻折到与面ACD 在同一平面内(如图2)，连接AB 与CD 交于一点R ，该点即为使路径最短的侧棱上的点R ，且最短路径为AB 的长，在△ACB 中，由余弦定理易知AB ＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos 120°＝3a .故选D.[C 级提升练]15.(2021·深圳模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱A 1D 1，A 1B 1的中点，点P 是棱CD 上的动点(含端点)，则平面MNP 与正方形BCC 1B 1所在平面相交的线段中，最长的一条线段的长度为( )A ．2 2B ． 2C ．2133 D. 5解析：选C.如图，连接BD ，设DP ＝x (0≤x ≤2)，平面MNP 与BC 的交点为Q ，与BB 1的交点为H ，连接NH ，HQ ，PQ ，易知PQ ∥MN ，则PQ ∥BD ，BQ ＝x ，由△BHQ ∽△B 1HN ，可得BH ＝2x x ＋1.所以HQ 2＝BH 2＋BQ 2＝4x 2（x ＋1）2＋x 2，且为定义域内的增函数，所以当x ＝2时，HQ 取得最大值，为2133.16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 解析：选B.由题意，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示，当点M 为线段BC 的中点时，截面为四边形AMND 1，当0＜BM ≤12时，截面为四边形，当BM ＞12时，截面为五边形，故选B.。