浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第二单元方程组与不等式组第6课时公式方程式及其应用课件
中考数学总复习第二单元方程组与不等式组第06课时分式方程及其应用课件
高频考向探究
探究一 解分式方程
例 1 [2017·宁夏] 解方程:������+3- 4 =1.
������-3 ������+3
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误: (1)漏乘没有分母的项; (2)没有验根; (3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9, 移项、合并同类项,得 2x=-30, 系数化为 1,得 x=-15, 经检验:x=-15 是原方程的解.
解:设原计划平均每天施工 x 平方米,
则33000
������
-313.020������0
=11,
解得 x=500,
经检验,x=500 是原分式方程的解且符
合题意,
∴实际平均每天施工为
500×(1+20%)=600(平方米).
答:实际平均每天施工为 600 平方米.
高频考向探究
[方法模型] 列分式方程解应用题时应注意: (1)设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接 设、设多元等; (2)求分式方程的解,验根应从两个方面出发:方程本身和实际意义.
A.a=-5
B.a=5
C.a=-9
D.a=9
3.解分式方程������2-1+���1���+-���2��� =3 时,去分母后变形正确的为( D )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
课前双基巩固
4.若分式方程 ������2 = 1 有增根,则增根为(
浙江省2018年中考数学复习 第一部分 考点研究 第二单元 方程(组)与不等式(组)第5课时 一次方程(组)及
两
两 10 1
11 代入
12 相加
温馨提示：给出二元一次方程组求代数式的值时，往往先考虑 “加减消元法”来求解
1.审：把握题意，搞清楚什么是条件，求什么；
一
2.设：a.直接设未知数，问什么，设什么；b.间接设
次 方一 程般 (组) 步 的骤 实 际
未知数； 3.找出能包含未知数的等量关系(一般情况下设几个 未知数，就找几个等量关系)，列出方程(组)； 4.求出方程(组)的解； 5.验根(看是否符合题意)；
2.去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
解 法
3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移
步 到方程的另一边(记住移项要变号)
骤 4.合并同类项：把方程化成ax = -b(a≠0)的形式
5.系数化成1：在方程两边都除以未知数的⑥__系___数，得到方 程的解为⑦____x _ _ b
部分考点பைடு நூலகம்究
单元方程（组）与不等（组）
第5课时一次方程（组）及其应用
考点精讲
考点特训营
一 等式的基本性质及其在解方程中的应用 次
方 程 一元一次方程及解法
组
及 其 二元一次方程(组)及解法
应 用 一次方程(组)的实际应用
等式 的基 本性 质及 其在 解方 程中 的应 用
1.等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得
(3)设新式自行车购进x辆，老式自行车购进y辆．
根据题意得：xy100
，
400x200y36000
解得 x 8 0 ，
y
20
答：新式自行车购进80辆，老式自行车购进20辆．
练习1 某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷．为改善生态环境，
浙江省中考数学复习第一部分考点研究第二单元方程(组)与不等式(组)第5课时一次方程(组)及其应用试
浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第二单元方程（组）与不等式（组）第5课时一次方程（组）及其应用试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第二单元方程（组）与不等式（组）第5课时一次方程（组）及其应用试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二单元方程(组）与不等式(组）第5课时一次方程（组)及其应用（建议答题时间:40分钟）基础过关1．关于x的方程错误!＝1的解为2，则m的值是( )A。
2.5 B。
1 C。
－1 D。
32．方程组错误!的解是( ）A. 错误!B. 错误!C. 错误! D。
错误!3。
错误!（2017长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。
”其大意是，有人要去某关口,路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为（)A. 24里B. 12里 C。
6里 D。
3里4．（2017内江)端午节前夕,某超市用1680元购进A、B两种商品共60件,其中A型商品每件24元,B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件,依题意列方程组正确的是( )A。
错误! B。
错误!C. 错误! D。
错误!5．(2017乐山）二元一次方程组错误!＝错误!＝x＋2的解是________．6．（2017宜宾) 若关于x、y的二元一次方程组错误!的解满足x＋y＞0,则m的取值范围是________．7．(2017荆门）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁,再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁,当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为________岁．第8题图8．我市新建成的龙湖公园，休息长廊附近的地面都是用一种长方形的地砖铺设的，如图，测得8块相同的长方形地砖恰好可以拼成面积为2400 cm2的长方形ABCD，则矩形ABCD的周长为 ________cm .9．美团外卖促销活动中规定，当订餐份数超过或等于10份时，每份餐打8折，若每份餐售价为16元,某顾客一次付款128元，则该顾客共买餐________份．10．(2017桂林)解二元一次方程组：错误!。
浙江省18年中考数学复习第一部分考点研究第三单元函数第11课时一次函数的实际应用含近9年中考真题试题_1162
第一部分考点研究第二单元方程（组）与不等式（组）第11课时一次函数的实际应用浙江近9年中考真题精选（2009-2017）类型一阶梯费用问题(绍兴2考)1．(2017绍兴18题8分)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？(2)求当x>18时，y关于x的函数表达式．若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？第1题图2．(2013绍兴18题8分)某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x>3时，求y关于x的函数解析式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．第2题图类型二水流量、人流量问题(绍兴2016.19)3．(2016绍兴19题8分)根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完，游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．第3题图4．(2013衢州23题10分)“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y(人)与检票时间x(分钟)的关系如图所示．(1)求a的值；(2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数；(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？第4题图类型三行程问题(杭州2015.23，绍兴2考)5．(2015绍兴18题8分)小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？(2)小敏几点几分返回到家？第5题图6．(2016丽水21题8分)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(千米)与跑步时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求图中a的值；(2)组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过C点到第二次过C点所用的时间为68分钟．①求AB所在直线的函数解析式；②该运动员跑完赛程用时多少分钟？第6题图7．(2014绍兴18题8分)已知甲、乙两地相距90 km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车．图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象，根据图象解答下列问题．(1)A比B后出发几个小时？B的速度是多少？(2)在B出发后几小时，两人相遇？第7题图8．(2015衢州23题10分)高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，五·一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？第8题图9．(2015杭州23题12分)方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t 的函数关系如图①所示．方成思考后发现了图①的部分正确信息：乙先出发1 h；甲出发0.5小时与乙相遇；…….请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；(2)当20<y <30时，求t 的取值范围；(3)分别求出甲，乙行驶的路程s 甲，s 乙与时间t 的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地．若丙经过43h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？第9题图类型四 分配类最优方案问题(温州2次)10．(2016湖州22题10分)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加．(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个．求该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)．因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t .①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t 的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？11．(2015温州22题10分)某农业观光园计划将一块面积为900 m 2的园圃分成A 、B 、C 三个区域，分别种甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，已知B 区域面积是A 的2倍，设A 区域面积为x(m 2)．(1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式；(2)若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．类型五方案选取12．(2017衢州21题8分)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．第12题图根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．答案1．解：(1)由图象得，当用水量为18立方米时，应交水费为45元；(3分)(2)由81元＞45元，得用水量超过18立方米，设函数表达式为y＝kx＋b(x＞18)，∵直线y＝kx＋b过点(18，45)，(28，75)，∴⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝4528k ＋b ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－9，(5分) ∴y ＝3x －9(x ＞18)，(6分)当y ＝81时，3x －9＝81，解得x ＝30.答：这个月用水量为30立方米．(8分)2．解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元；(2分)设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧8＝3k ＋b 12＝5k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝2， 故y 与x 的函数解析式为y ＝2x ＋2(x >3)；(4分)(2)当y ＝32时，32＝2x ＋2，解得x ＝15，答：这位乘客乘车的里程是15 km.(8分)3．解：(1)由题图可知暂停排水时间为30分钟(半小时)．(1分)排水孔的排水速度为900÷3＝300 m 3/h ；(3分)(2)由题图可知排水1.5 h 后暂停排水，此时游泳池的水量为900－300×1.5＝450 m 3， 设当2≤t ≤3.5时，Q 关于t 的函数表达式为Q ＝kt ＋b ，把(2，450)，(3.5，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧450＝2k ＋b ，0＝3.5k ＋b ，(6分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1050k ＝－300，∴当2≤t ≤3.5时，Q 关于t 的函数表达式为Q ＝－300t ＋1050.(8分)4．解：(1)由图象知，640＋16a －2×14a ＝520，所以a ＝10；(2分)(2)设过(10，520)和(30，0)的直线解析式为y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝52030k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－26b ＝780， 因此y ＝－26x ＋780，当x ＝20时，y ＝260，即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人；(6分)(3)设需同时开放n 个检票口，由题意知：14n ×15≥640＋16×15(7分)解得：n ≥4421， ∵n 为整数，∴n 最小＝5.答：至少需要同时开放5个检票口．(10分)5．解：(1)由题图可知小敏去超市途中的速度是3000÷10＝300 (米/分)；在超市逗留的时间：40－10＝30(分)．答：小敏去超市途中的速度是300米/分，在超市逗留了30分．(2)设小敏返家过程中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(40，3000)，(45，2000)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300045k ＋b ＝2000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－200b ＝11000， ∴小敏返家过程中的函数解析式为y ＝－200x ＋11000，当y ＝0时，－200x ＋11000＝0，解得x ＝55.答：小敏上午8：55分返回到家．6．解：(1)∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分钟，用时35分钟，∴a ＝0.3×35＝10.5(千米)．(2分)(2)①∵线段OA 经过点O (0，0)，A (35，10.5)，∴OA 的函数解析式是s ＝0.3t(0≤t≤35)．∴当s ＝2.1时，0.3t ＝2.1，解得t ＝7.(3分)∵该运动员从第一次过C 点到第二次过C 点所用的时间为68分钟，∴该运动员从起点到第二次过C 点共用的时间是7＋68＝75(分钟)．∴AB 经过(35，10.5)，(75，2.1)两点．(4分)设AB 所在直线的函数解析式是s ＝kt ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧35k ＋b ＝10.575k ＋b ＝2.1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.21b ＝17.85，(5分) ∴AB 所在直线的函数解析式是s ＝－0.21t ＋17.85.(6分)②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB 与x 轴交点横坐标的值．∴当s ＝0时，－0.21t ＋17.85＝0，解得t ＝85.∴该运动员跑完赛程用时85分钟．(8分)7．解：(1)由题图可知，A 比B 后出发1小时；(2分)B 的速度为60÷3＝20 km/h ；(4分)(2)由题图可知点D (1，0)，C (3，60)，E (3，90)，设直线OC 的解析式为s ＝kt ，则3k ＝60，解得k ＝20，∴直线OC 的解析式为s ＝20t ，设直线DE 的解析式为s ＝mt ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝03m ＋n ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45n ＝－45， ∴直线DE 的解析式为s ＝45t －45，(6分)联立两函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝20t s ＝45t －45， 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝95s ＝36，∴在B 出发后95小时，两人相遇．(8分) 8．解：(1)根据函数图象可知，从衢州到杭州火车东站的距离为240千米，坐高铁共用时1小时，∴高铁的平均速度为240千米/小时；(2分)(2)由(1)知高铁的速度为240千米/小时，∴当颖颖出发0.5小时时，离衢州的距离为120千米，此时乐乐已出发1.5小时， 设乐乐离衢州的距离与乘车的时间之间的函数关系式为y ＝kt ，则有120＝1.5k ，解得k ＝80，故y ＝80t ，(5分)当t ＝2时，y ＝80×2＝160，从图象可知：衢州到游乐园的距离为216千米，∵216－160＝56(千米)，∴当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有56千米；(7分)(3)当y ＝216时，t ＝2.7，18分钟＝0.3小时，∵216÷(2.7－0.3)＝90(千米/小时)，∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时．(10分)9．解：(1)由题图①可知B 、C 、D 三点的坐标，B (1.5，0)、C (73，1003)、D (4，0)． 设直线BC 解析式为y ＝kt ＋b(k≠0)，把B 、C 两点坐标分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧1.5k ＋b ＝073k ＋b ＝1003 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝40b ＝－60，∴直线BC 的解析式为y ＝40t －60 (1.5≤t ≤73)．(2分)设直线CD 解析式为y ＝k′t ＋b ′(k ′≠0)，把C(73，1003)、D (4，0)两点坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧73k′＋b′＝10034k′＋b′＝0， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k′＝－20b′＝80，∴直线CD 的解析式为y ＝－20t ＋80(73≤t ≤4)．(4分)(2)由直线CD 的解析式为y ＝－20t ＋80， 可得乙的速度为20 km/h. ∴A 点坐标为(1，20)，(5分)由题图①可知，两人的距离y 满足20＜y ＜30必是在第一次相遇之后到第二次相遇这段时间之内， 当20＜y ＜30时， 20＜40t －60＜30 ① 20＜－20t ＋80＜30 ②(6分) 解①得：2＜t ＜2.25， 解②得：2.5＜t ＜3.∴当2＜t ＜2.25和2.5＜t ＜3 时，有20＜y ＜30.(7分) (3)由直线BC 的解析式：y ＝40t －60，则乙在出发1.5小时后，两人之间的差距以每小时1003÷(73－1.5)＝40 km 的速度拉开，又v 乙＝20 km/h ，∴v 甲＝20＋40＝60 km/h.(8分) ∴s 甲＝60(t －1)＝60t －60(1≤t ≤73)，s 乙＝20t(0≤t ≤4)．(9分)在直角坐标系中画出它们的图象如解图．第9题解图(4)由前述题意可知：乙出发4小时可以从M 地到达N 地， ∵v 乙＝20 km/h ，∴M 到N 的总路程为20×4＝80 km ， 当丙出发43小时，s 乙＝20×43＝803km ，∴s 丙＝80－803＝1603km ，∴v 丙＝1603÷43＝40 km/h.∴丙距M 地的距离为(80－40 t ) km ，若丙与甲相遇，则80－40 t＝60t－60，解方程得t＝1.4小时．(12分)10．解：(1)设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，(2分)解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.(4分)(2)①由题意得，t＋4t＋3(100－3t)＝200，(7分)解得t＝25(符合题意)．答：t的值是25.(8分)②由题意得，提供养老床位y＝t＋4t＋3(100－3t)，其中10≤t≤30，y＝－4t＋300.因为k＝－4<0，所以y随着t的增大而减小．当t＝10时，y的最大值为300－4×10＝260(个)．当t＝30时，y的最小值为300－4×30＝180(个)．答：建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．(10分)11．解：(1)若A区域的面积为x m2，则B区域的面积为2x m2，C区域的面积为(900－3x) m2，y＝3x＋12x＋12(900－3x)＝－21x＋10800；(3分)(2)当y＝6600时，－21x＋10800＝6600，解得x＝200，∴2x＝400，900－3x＝300.答：A区域的面积为200 m2，B区域的面积为400 m2，C区域的面积为300 m2；(6分) (3)设甲、乙、丙三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝45600a ＋2400b ＋3600c ＝84000， 整理得b ＝5（19－c ）3，∵a 、b 、c 为正整数， ∴a 、b 、c 可能取的值如下表，又∵a 、b 、c 的差不超过10， ∴a ＝20，b ＝15，c ＝10，(8分) ∵B 区域的面积为400 m 2，最大，∴种植面积最大的花卉总价为400×6×15＝36000(元)． 答：种植面积最大的花卉总价为36000元．(10分) 12．解：(1)由题意可知y 1＝k 1x ＋80，(1分) 且图象过点(1，95)， 则有95＝k 1＋80， ∴k 1＝15，∴y 1＝15x ＋80(x ≥0)，(2分) 由题意易得y 2＝30x (x ≥0)．(4分) (2)当y 1＝y 2时，解得x ＝163；(5分)当y 1＞y 2时，解得x <163；(6分)当y 1＜y 2时，解得x >163.(7分)∴当租车时间为163小时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．(8分)(也可求出x ＝163之后，观察函数图象得到结论．)。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第二章 方程(组)与不等式(组)第6讲 一元二次方程及其应用
进价(成本)
利润问题 =总售价－总进价(总成本)=单个利润×总销售量.
“每每问题”:若单价每涨a元,少卖b件,则涨价x元,少卖的数量
为
·
件
常见
等量关系
类型
面积
问题
S阴影=(a－2x)
S阴影=(a－x)(b－x)
·(b－2x)
循环 握手问题:总次数=(－1)(x为人数)
2
D.6
答案
(2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2=0的一个根为
－1
x=－1,则m的值为_______,另一个根为x=_____.
2
变式2－2
变式2－3
(2023·常德)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a=0有两个不相等
a＜1
的实数根,则实数a的取值范围是________.
考点3
答案
1.(2024·贵州)一元二次方程x2－2x=0的解是( B )
A.x1=3,x2=1
B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=－2
D.x1=－2,x2=－1
2.[易错题](2024·龙东地区)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2=0有两个
实数根,则m的取值范围是( D )
A.m≤4
B.m≥4
解:设这款文创产品每件应降价x元.
根据题意,得(30－x)(100＋10x)=3 640,
即x2－20x＋64=0,
解得x=4或x=16.
当x=4时,100＋10x=140;
当x=16时,100＋10x=260.
∵要尽快减少库存,
∴x=16.
答:这款文创产品每件应降价16元.
浙江省2018年中考数学复习 第一部分 考点研究 第二单元 方程(组)与不等式(组)第5课时 一次方程(组)及
第一部分 考点研究第二单元 方程（组）与不等式（组） 第5课时 一次方程（组）及其应用 浙江近9年中考真题精选（2009~2017）命题点 1 等式的性质(杭州2017.5)1．(2017杭州5题3分)设x ，y ，c 是实数，( )A. 若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB. 若x ＝y ，则xc ＝ycC. 若x ＝y ，则x c ＝y cD. 若x 2c ＝y3c ，则2x ＝3y命题点 2 二元一次方程组及其解法 类型一 解二元一次方程组(温州2016.13)2．(2016温州13题5分)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x －2y ＝7的解_________．类型二 根据二元一次方程组求代数式的值(杭州2考)3．(2017嘉兴6题3分)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝33x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b ，则a －b ＝( )A. 1B. 3C. －14D. 744．(2014杭州13题4分)设实数x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧13x －y ＝413x ＋y ＝2，则x ＋y ＝__________．类型三 二元一次方程组的解的应用(杭州2考，台州2013.19)5．(2012杭州10题3分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－ax －y ＝3a ，其中－3≤a ≤1，给出下列结论：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－1是方程组的解； ②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解； ④若x ≤1，则1≤y ≤4. 其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ②③④D. ①③④6．(2016杭州16题3分)已知关于x 的方程2x ＝m 的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－n x ＋2y ＝5n (0<n <3)，若y >1，则m 的取值范围是__________．7．(2013台州19题8分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝72mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，求m ，n 的值．命题点 3 一次方程(组)的实际应用 类型一 调配问题(杭州2考，绍兴2014.8)8．(2016杭州6题3分)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运x 吨煤到乙煤场，则可列方程为( )A. 518＝2(106＋x )B. 518－x ＝2×106C. 518－x ＝2(106＋x )D. 518＋x ＝2(106－x )9．(2014绍兴8题4分)如图①，天平是平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码，现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧称盘的一个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球质量为( )第9题图A. 10克B. 15克C. 20克D. 25克 类型二 分配类问题(杭州2017.16，温州3考，绍兴2考)10．(2016温州4题4分)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍，设甲数为x ，乙数为y ，根据题意列方程组正确的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2x C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2y D. ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x 11．(2012温州9题4分)楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元，小明买20张门票共花了1225元，设其中有x 张成人票、y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2035x ＋70y ＝1225B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2070x ＋35y ＝1225 C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝122570x ＋35y ＝20 D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝122535x ＋70y ＝2012．(2015嘉兴5题5分)公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为________．13．(2013绍兴13题5分)我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有________只，兔有________只．14．(2017杭州16题4分)某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，每二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉________千克．(结果用含t的代数式表示) 15．(2013嘉兴23题12分)某镇水库的用水量为12000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量，实施城市化建设，新迁入了4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．(1)问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量为多少立方米？(2)政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米水才能实现目标？16．(2015绍兴22题12分)某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD 上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．(1)如图①，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比A M∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？(2)为了建造花坛，要修改(1)中的方案，如图②，将三条通道改为两条，纵向宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪中均有一边的长为8 m，这样能在这些草坛中建造花坛，如图③，在草坪RPCQ中，已知RE⊥P Q于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积．第16题图类型三阶梯费用问题(台州2017.9，绍兴2016.14)17．(2017台州9题4分)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计算项目里程费时长费远途费单价 1.8 元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成．其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内(含7公里)不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差( )A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟18．(2016绍兴14题5分)书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．类型四水流量问题(绍兴2015.16)19．(2015绍兴16题5分)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5 cm高度外连通(即管子底离容器底5 cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm ，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升56 cm ，则开始注入________分钟的水量后，甲与乙水位高度之差是0.5 cm.第19题图答案1．B 【解析】选项 逐项分析正误 A 当x ＝y 时，则由等式的性质得，x ＋c ＝y ＋c × B等式两边同时乘以一个实数，等式仍然成立√C 当x ＝y ，且c ≠0时，x c ＝yc×D 若x 2c ＝y 3c ，则c ≠0，所以，x 2＝y3，3x ＝2y ×2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1 【解析】由于y 的系数互为相反数，用加减消元法先消y ，两方程相加得4x ＝12，解得x ＝3，把x ＝3代入x ＋2y ＝5中，得3＋2y ＝5，解得y ＝1，因此该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1.3．D 【解析】将方程组中两个方程相加得4x －4y ＝7，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝b 代入得4a －4b ＝7，∴a－b ＝74.4．8 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧13x －y ＝4 ①13x ＋y ＝2 ②，方程①＋②，得23x ＝6，∴x ＝9，代入①得y ＝－1，∴x＋y ＝8.5．C 【解析】解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －1y ＝1－a ，①∵3≤s ≤1，∴－5≤x ≤3，0≤y ≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－1，不可能是方程组的解，故①错误；②当a ＝－2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝3，即x ，y 的值互为相反数，则②正确；③当a ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0，而方程x ＋y ＝4－a ＝3，即x ，y 也是此方程的解，则③正确；④x ≤1，则2a ＋1≤1，则a ≤0，而题中所给－3≤a ≤1，则－3≤a ≤0，1≤1－a ≤4，即1≤y ≤4，则④正确，故选C.6.25＜m ＜23 【解析】解原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ＋2y ＝2n －1，∵y ＞1，∴2n －1＞1，即n ＞1.∵0＜n ＜3，∴1＜n ＜3，∴3＜x ＜5.当x ＝3时，m ＝2x ＝23，当x ＝5时，m ＝2x ＝25.∵当x ＞0时，m随x 的增大而减小，∴25＜m ＜23.7．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2代入方程组中得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝7 ①2m －6n ＝4 ②，(2分)①×3得：3m ＋6n ＝21 ③，(4分) ②＋③得：5m ＝25，解得m ＝5，(6分) 将m ＝5代入①，解得n ＝1，(7分)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5n ＝1.(8分) 8．C 【解析】设从甲煤场运x 吨煤到乙煤场，则现在甲煤场有煤(518－x )吨，乙煤场有煤(106＋x )吨，根据等量关系“甲煤场存煤数是乙煤场的2倍”建立一元一次方程得518－x ＝2(106＋x)．9．A 【解析】设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m 克、n 克，根据题意得m ＝n ＋40.设被移动的玻璃球的质量为x 克，根据题意得m －x ＝n ＋x ＋20，则x ＝12(m －n －20)＝12(n ＋40－n －20)＝10. 10．A 【解析】根据题意可得等量关系：①甲数＋乙数＝7，②甲数＝乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．根据题意，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2y .11．B 【解析】设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2070x ＋35y ＝1225.12.1338 【解析】设这个数为x ，则x ＋17x ＝19，解得x ＝1338.13．22；11 【解析】设鸡有x 只，兔有y 只，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝332x ＋4y ＝88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22y ＝11，∴鸡有22只，兔有11只．14．30－t2【解析】设第三天销售香蕉x 千克，则第一天销售香蕉(50－x －t)千克，由题意得9(50－x －t )＋6t ＋3x ＝270，化简得2x ＋t ＝60，∴x ＝30－t2.15．解：(1)设年降水量为x 万立方米，每人年平均用水量为y 立方米，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧12000＋20x ＝16×20y 12000＋15x ＝20×15y ，(4分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200y ＝50，答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米；(7分)(2)设该城镇居民年平均用水量为z 立方米才能实现目标，由题意得12000＋25×200＝20×25z，(10分) 解得z ＝34，则50－34＝16(立方米)．答：该镇居民人均每年需节约16立方米的水才能实现目标．(12分) 16．解：(1)设通道的宽为x m ，AM ＝8y m ，AN ＝9y m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋24y ＝18x ＋18y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝23，答：通道的宽是1 m ；(5分)(2)∵四块相同草坪中的每一块有一条边长为8 m ， 若RP ＝8 m ，则AB >13 m ，与实际不符，∴RQ＝8 m ， ∴纵向通道的宽为2 m ，横向通道的宽为1 m ，∴RP＝6 m ， ∵RE ⊥PQ ，四边形RPCQ 是长方形， ∴PQ ＝62＋82＝10 m ，∴RE ·PQ ＝PR ·QR ，∴RE ＝4.8 m ， ∵RP 2＝RE 2＋PE 2，∴PE ＝3.6 m ， 同理可得QF ＝3.6 m ，∴EF ＝PQ －PE －QF ＝10－3.6－3.6＝2.8 m ，∴S 四边形RE CF ＝R E·EF＝4.8×2.8＝13.44 m 2， 答：花坛RECF 的面积为13.44 m 2.(12分)17．D 【解析】 设小王和小张的行车时间分别为x 分钟和y 分钟，则由题意得6×1.8＋0.3x ＝8.5×1.8＋0.3y ＋1.5×0.8，化简得0.3(x －y )＝5.7，∴x －y ＝19.18．248或296 【解析】设第一次购书原价为a 元，则第二次购书原价为3a 元，第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4元，故分类讨论如下： ①若a ≤100且3a ≤100，显然a ＋3a ≤200＜229.4(舍去)；②若a ≤100且100＜3a ≤200，则a＋0.9×3a ＝229.4，解得a ＝62，所以两次购书原价和为4a ＝4×62＝248元；③若a ≤100且3a ＞200，则a ＋0.7×3a ＝229.4，解得a ＝74, 所以两次购书原价和为4a ＝4×74＝296元，综上所述：两次购书原价的和为248元或296元．19.35，3320，17140【解析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面半径之比为1∶2∶1，注水1分钟，乙的水位上升56 cm ，∴单独向甲或丙注水1分钟水位就上升56×4＝103 cm ，设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5 cm ，有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，有1－56t ＝0.5, 解得t ＝35；②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，∵56t －1＝0.5，解得t ＝95，∵103×95＝6>5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，∵5÷103＝32分钟，56×32＝54，即经过32分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升54，∴54＋2×56(t －32)－1＝0.5，解得t ＝3320；③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为32＋(5－54)÷56÷2＝154分钟，∴5－1－2×103(t11 －154)＝0.5，解得t ＝17140.综上所述，开始注入35，3320，17140分钟后，甲与乙的水位高度之差为0.5 cm.。
浙江省中考数学复习方案 第2单元 方程组与不等式组课件 浙教版
解一 元一 次方
程的 一般 步骤
(1)去分母
在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘
(2)去括号
注意括号前的系数与符号
(3)移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号
(4)合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
(5)系数化为1 方程两边同除以
x
的系数，得
x＝ab的形式
①化二次项系数为1； ②把常数项移到方程的另一边； ③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；
⑤运用直接开平方法解方程
第7课时┃ 考点聚焦
考点3 一元二次方程的根的判别式
(1)b2－4ac>0⇔方程有_两__个__不__相__等___的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有_两__个__相__等_____的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程_____没__有_______实数根
[解析] (1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得 到收益率，即可进行比较； (2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，即可列 方程求解．
第6课时┃ 浙考探究
用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际 问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组 则需要两个等量关系．
第7课时┃ 一元二次方程及其应用
第6课时┃ 浙考探究
0.3x＋0.5 2x－1
例 2 [2011·滨州] 依据下列解方程 0.2 ＝ 3 的过程，请在前面 的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为3x＋ 2 5＝2x－ 3 1；(____分__式__的__基___本__性__质___________) 去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1)；(_等__式__性__质__2_) 去括号，得 9x＋15＝4x－2；(__去__括__号__法___则__或__乘__法__分__配__律_____________) (___移__项_____)，得 9x－4x＝－15－2；(____等___式__性__质__1________________) 合并，得 5x＝－17；(合__并___同__类_)项 (_系__数__化__为__1_)，得 x＝－157.(_____等__式__性__质__2_______________________)
浙江省2018年中考数学总复习 第二章 方程与不等式 第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用讲解篇
第6讲一元一次方程与分式方程及其应用1．一元一次方程及解法考试内容考试要求等式的性质性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个____________________，所得结果仍是等式；性质2：等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是．ab方程的概念含有未知数的叫做方程．方程的解使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解．一元一次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：去分母、去_____________、移项、合并______________、系数化为1.c2.分式方程及解法考试内容考试要求分式方程的概念分母里含有的方程叫做分式方程．a分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为______________方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以____________________，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果，c则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．3.列方程解应用题的一般步骤考试内容考试要求列方程解应用题的一般步骤c1.审审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系．2.设设未知数(可设直接或____________________未知数).3.列根据题意寻找列方程．4.解解方程．5.答检验所求的未知数的值是否符合题意(分式方程既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意)，写出答案．考试内容考试要求基本思想解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，即分式方程――→去分母转化整式方程．c 基本方法1.分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.2.列方程的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：①抓住不变量；②找关键词；③画线段图或列表格；④运用数学公式．1．(2016·杭州)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为( )A ．518＝2(106＋x )B ．518－x ＝2×106C ．518－x ＝2(106＋x )D ．518＋x ＝2(106－x ) 2．(2017·宁波)分式方程2x ＋13－x ＝32的解是____________________．3．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x 米，根据题意可列出方程：____________________.4．(2017·金华)解分式方程：2x ＋1＝1x －1.【问题】给出以下五个代数式：2x －4，x －2，x ，12，3.(1)选取其中的几个代数式，组成一个一元一次方程和一个分式方程； (2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它们的解法．类型一 等式性质和方程的解的含义例1 (1)(2017·杭州)设x ，y ，c 是实数，( )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y 3c，则2x ＝3y(2)已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a ＝________.(3)已知关于x 的方程3x ＋n2x ＋1＝2的解是负数，则n 的取值范围为______________．【解后感悟】(1)熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键；(2)本题利用方程的思想，通过方程的解来构造关于a 的一元一次方程，求出a 值；(3)本题是分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n －2＜0和n －2≠－12，注意题目中的隐含条件2x ＋1≠0不要忽略．1．(1)已知等式3a ＝2b ＋5，则下列等式中不一定成立的是( )A ．3a －5＝2bB ．3a ＋1＝2b ＋6C ．3ac ＝2bc ＋5D ．a ＝23b ＋53(2)如果方程x ＋2＝0与方程2x －a ＝0的解相同，那么a ＝____________________． (3)(2017·成都)已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1x＝2的解，那么实数k 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2类型二 一元一次方程的解法例2 解方程：x －x －12＝2－x ＋23.【解后感悟】(1)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(尤其是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(2)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘．2．解方程：(1)(2016·贺州)解方程：x 6－30－x4＝5；(2)7x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12（x －1）＝23(x －1)．类型三 分式方程的解法例3 (2015·营口)若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m3－x＝2有增根，则m 的值是( )A ．m ＝－1B ．m ＝0C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝3【解后感悟】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程：③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．例4 (1)(2017·湖州)解方程：2x －1＝1x －1＋1；(2)(2017·陕西模拟)解方程：2－x x －3＝13－x －2.【解后感悟】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3．解分式方程：(1)x x －3＝x －63－x ＋3；(2)x x ＋1－4x 2－1＝1.类型四一元一次方程和分式方程的应用例5(2015·宁波)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【解后感悟】此题主要考查了分式方程的应用，此题关键是正确理解题意，找到合适的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．4．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？【探索规律题】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【方法与对策】根据寻找的规律，每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可．这是探索规律题(图形的变化类)，并利用方程思想来解决．它是中考热点题之一．【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根】 解分式方程：x 2－4x x 2－1＋1＝2xx ＋1.参考答案第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用【考点概要】1．整式 等式 等式 相等 一 1 括号 同类项 2.未知数 整式 最简公分母 不为0 3.间接 等量关系【考题体验】1．C 2.x ＝1 3.160x ＝200x ＋54.x ＝3 【知识引擎】【解析】(1)答案不唯一，2x －4＝3和2x －4x －2＝12；(2)2x －4＝3，解得x ＝3.5；2x －4x －2＝12，解得x ＝2，代入方程x ＝2是方程的增根，舍去，所以，方程无解． 【例题精析】例1 (1)B ；(2)5；(3)解方程3x ＋n 2x ＋1＝2得x ＝n －2.∵关于x 的方程3x ＋n2x ＋1＝2的解是负数，∴n －2＜0.解得：n ＜2.又∵原方程有意义的条件为：x≠－12，∴n －2≠－12，即n≠32.∴n ＜2且n≠32. 例2 6x －3(x －1)＝12－2(x ＋2)，6x －3x ＋3＝12－2x －4，3x ＋3＝8－2x ，3x ＋2x ＝8－3，5x ＝5，∴x ＝1. 例3 方程两边都乘以(x －3)得，2－x －m ＝2(x －3)，∵分式方程有增根，∴x －3＝0，解得x ＝3，∴2－3－m ＝2(3－3)，解得m ＝－1.故选A . 例4 (1)方程两边都乘以x －1得：2＝1＋x －1，解得：x ＝2，检验：∵当x ＝2时，x －1≠0，∴x ＝2是原方程的解，即原方程的解为x ＝2. (2)方程的两边同乘(x －3)，得：2－x ＝－1－2(x －3)，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入(x －3)＝0，即x ＝3不是原分式方程的解．则原方程无解． 例5 (1)设B 花木数量为x 棵，则A 花木数量是(2x －600)棵，由题意得：x ＋2x －600＝6600，解得：x ＝2400，2x －600＝4200，答：B 花木数量为2400棵，则A 花木数量是4200棵； (2)设安排a 人种植A 花木，由题意得：420060a ＝240040（26－a ），解得：a＝14，经检验：a ＝14是原分式方程的解，26－a ＝26－14＝12，答：安排14人种植A 花木，12人种植B 花木．【变式拓展】1．(1)C (2)－4 (3)D 2. (1)x ＝30； (2)x ＝－573.3.(1)解得x ＝3，经检验x ＝3是增根，分式方程无解. (2)x ＝－3.4.设文学类图书平均每本的价格为x 元，则科普类图书平均每本的价格为(x ＋5)元．根据题意，得12000x ＋5＝5000x .解得x ＝257.经检验，x ＝257是原方程的解，且符合题意，则科普类图书平均每本的价格为257＋5＝607元，答：文学类图书平均每本的价格为257元，科普类图书平均每本的价格为607元．【热点题型】【分析与解】(1)寻找规律：1张这样的餐桌四周可坐6人，2张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4人，3张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4×2人，4张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4×3人，…n 张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4(n －1)人．∴4张这样的餐桌拼接起来四周可坐18人，8张这样的餐桌拼接起来四周可坐34人．(2)∵n 张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4(n －1)人，∴若用餐的人数有90人，则6＋4(n －1)＝90，解得n ＝22.∴若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要22张．【错误警示】原方程变形为x 2－4x （x ＋1）（x －1）＋1＝2x x ＋1.方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，得x 2－4x ＋(x＋1)(x －1)＝2x(x －1)．整理得x 2－4x ＋x 2－1＝2x 2－2x ，即2x ＝－1，x ＝－12.检验：当x＝－12时，(x ＋1)(x －1)≠0，所以x ＝－12是原方程的根．。
2018年中考数学复习第一部分考点研究第二单元方程组与不等式组第6课时公式方程式及其应用含近9年中考真题试
第一部分 考点研究第二单元 方程（组）及其应用第6课时 分式方程及其应用 浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点 1 分式方程的解法(杭州2017.14，台州2考，温州3考，绍兴2考)1. (2014台州7题4分)将分式方程1－2x x －1＝3x －1去分母，得到正确的整式方程是( ) A. 1－2x ＝3 B. x －1－2x ＝3C. 1＋2x ＝3D. x －1＋2x ＝32．(2013绍兴12题5分)方程2x x －1＝3的解是________． 3．(2012宁波14题3分)分式方程 x －2x ＋4＝12的解是________． 4．(2012温州13题5分)若代数式2x －1－1的值为零，则x ＝________． 5. (2015温州14题5分)方程2x ＝3x ＋1的根是________． 6．(2017杭州14题4分)若 m －3m －1·|m |＝m －3m －1，则m ＝_______． 7．(2009杭州15题4分)已知关于x 的方程 2x ＋m x －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为________． 8. (2015嘉兴18题8分)小明解方程 1x －x －2x＝1的过程如图，请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．第8题图9．(2014嘉兴18题8分)解方程：1x －1－3x2－1＝0.10．(2016台州18题8分)解方程：x x －7－17－x＝2.命题点2 分式方程的实际应用(台州2012.9，温州2017.14)11．(2012台州9题4分)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14.设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )A. 40x ＋20＝34×40xB. 40x ＝34×40x ＋20C. 40x ＋20＋14＝40xD. 40x ＝40x ＋20－1412. (2017温州14题5分)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x 米，根据题意可列出方程：________________．13．(2015湖州22题10分)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．答案1．B 【解析】根据等式的基本性质，给方程两边同时乘以(x －1)，得x －1－2x ＝3.2．x ＝3 【解析】去分母，得2x ＝3(x －1)，去括号，得2x ＝3x －3，解得x ＝3，经检验，x ＝3是分式方程的。
(浙江)中考数学复习第二单元方程组与不等式组 课时训练一元一次不等式组
课时训练(八) 一元一次不等式(组)|夯实基础|1.[2019·凉山州]不等式1-x ≥x-1的解集是 ( ) A .x ≥1B .x ≥-1C .x ≤1D .x ≤-12.[2019·乐山]不等式组 2 -2- -1的解集在数轴上表示正确的是 ( )图K8-13.[2019·无锡]某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a 个零件(a 为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a 的值至少为 ( ) A .10B .9C .8D .74.[2019·聊城]若不等式组 12-1 ①②无解,则m 的取值范围为( ) A .m ≤2B .m<2C .m ≥2D .m>25.[2019·重庆B 卷]若数a 使关于x 的不等式组-2 1--2 1-有且仅有三个整数解,且使关于y 的分式方程1-2-1- 1- =-3的解为正数,则所有满足条件的整数a 的值之和是 ( )A .-3B .-2C .-1D .16.定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有a ⊕b=a (a-b )+1,其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,如:2⊕ =2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5.那么不等式 ⊕x<13的解集为 .7. 1 [2019·淄博]解不等式:- 2+1>x-3.2 [2018·丽水]解不等式组: 22 2 -18.[2019·凉山州]根据有理数乘法(除法)法则可知: ①若ab>0或>0,则 0 0或 0 0 ②若ab<0或<0,则 0 0或 0 0根据上述知识,求不等式(x-2)(x+3)>0的解集. 解:原不等式可化为: ①-2 0 0或② -2 0 0 由①得,x>2,由②得,x<-3, ∴原不等式的解集为:x<-3或x>2.请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题: (1)不等式x 2-2x-3<0的解集为 . (2)求不等式 1-<0的解集(要求写出解答过程).9.[2018·济宁]“绿水青山就是金山银山” 为保护生态环境,A ,B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元. (2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员的方案?10.[2019·福建]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m;(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.|拓展提升|11.我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3.用<a>表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.解决下列问题:(1)[-4.5]= ,<3.5>= .(2)若[x]=2,则x的取值范围是;若<y>=-1,则y的取值范围是.(3)已知x,y满足方程组 []2[]--则x的取值范围为,y的取值范围为.12.阅读下列材料:解答“已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法:解:∵x-y=2,∴x=y+2.又∵x>1,∴y+2>1,∴y>-1.又∵y<0,∴-1<y<0.①同理得1<x<2.②由①+②得-1+1<y+x<0+2,∴x+y的取值范围是0<x+y<2.请按照上述方法,完成下列问题:(1)已知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是;(2)已知y>1,x<-1,若x-y=a成立,求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示).【参考答案】1.C2.B3.B [解析]设原计划m 天完成,开工n 天后有人外出,则15am=2160,am=144,15an+12(a+2)(m-n )<2160,化简可得:an+4am+8m-8n<720,将am=144代入得an+8m-8n<144,an+8m-8n<am ,a (n-m )<8(n-m ),其中n-m<0,a>8,至少为9,故选B .4.A [解析]解不等式①,得x>8,由不等式②,知x<4m ,当4m ≤8时,原不等式组无解,∴m ≤2 故选A .5.A [解析]第一部分:解一元一次不等式组 -2 1- ①-2 1- ②解不等式①,得:x ≤ 解不等式②,得:x> 211. 因为有且仅有三个整数解, 所以三个整数解分别为:3,2,1. 所以 211的范围为0≤ 2 11<1, 解得-2. ≤a<3. 第二部分:求分式方程1-2-1- 1- =-3的解,得y=2-a ,根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得 0 1 即 2-0 2- 1解得:a<2且a ≠1.第三部分:根据第一部分a 的范围和第二部分a 的范围,找出a 的公共范围:-2. ≤a<2且a ≠1所以满足条件的整数a 为-2,-1,0. 它们的和为:-2-1+0=-3.故选A . 6.x>-17.解:(1)去分母,得x-5+2>2x-6, 移项,得x-2x>-6+5-2, 合并同类项,得-x>-3,解得x<3.(2)2 ①2 2 -1 ②由①可得x+6<3x ,解得x>3,由②可得2x+2≥ x-3,解得x ≤ .∴原不等式组的解为3<x ≤ . 8.解:(1)-1<x<3[解析]原不等式可化为(x-3)(x+1)<0, 从而可化为①- 0 1 0或② - 0 1 0 由①得不等式组无解;由②得-1<x<3, ∴原不等式的解集为:-1<x<3. 故答案为:-1<x<3. (2)原不等式可化为①0 1- 0或② 01- 0由①得x>1;由②得x<-4, ∴原不等式的解集为x>1或x<-4.9.解:(1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为x 元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为y 元,根据题意列方程组,得:1 9 000 10 1 8000 解得 2000 000答:清理养鱼网箱的人均支出费用为2000元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为3000元. (2)设清理养鱼网箱人数为m ,则清理捕鱼网箱人数为(40-m ),根据题意,得: 2000 000 0- 102000 0-解得18≤m<20,∵m 是整数,∴m=18或19,当m=18时,40-m=22,即清理养鱼网箱人数为18,清理捕鱼网箱人数为22; 当m=19时,40-m=21,即清理养鱼网箱人数为19,清理捕鱼网箱人数为21.因此,有2种分配清理人员的方案,分别为①清理养鱼网箱人数为18,清理捕鱼网箱人数为22;②清理养鱼网箱人数为19,清理捕鱼网箱人数为21.10.解:(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,又 0- 0= 8 >8,所以m<35,依题意得,30+8m+12(35-m )=370,解得m=20,故该车间的日废水处理量为20吨. (2)设一天生产废水x 吨.①当0<x ≤20时,依题意得,8x+ 0≤10x ,解得x ≥1 所以1 ≤x ≤20. ②当x>20时,依题意得,12(x-20)+20×8+ 0≤10x , 解得x ≤2 .所以20<x ≤2 . 综上所述 1 ≤x ≤2 .故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.11.(1)-5 42 2≤x<3-2≤y<-1(3)-1≤x<02≤y<3[解析]解方程组 []2[]--得[]-1∴x,y的取值范围分别为-1≤x<0 2≤y<3.12.解:(1)1<x+y<5(2)∵x-y=a,∴x=y+a.又∵x<-1,∴y+a<-1,∴y<-1-a.又∵y>1,∴1<y<-1-a.①同理得1+a<x<-1.②由①+②得2+a<y+x<-2-a.∵y>1,x<-1,∴x-y<-2,∴a<-2.∴2+a<x+y<-2-a(a<-2).。
2018年浙江省中考数学《第10讲：不等式与不等式组》总复习讲解(含答案)
第10讲不等式与不等式组1．不等式的概念及性质2.一元一次不等式(组)的解法及应用1．(2015·嘉兴)一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解在数轴上表示为( )2．(2015·丽水)如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是( )A ．x ≥2B ．x >2C ．x >－1D ．－1<x ≤2 3．(2017·湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1，12x≤1的解集是( )A ．x ＞－1B ．x ≤2C ．－1＜x ≤2D ．x ＞－1或x ≤2 4．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________________． 5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x≤2，3x ＋2＞x.【问题】给出以下不等式：①2x ＋5<4(x ＋2)， ②x －1<23x ， ③1x －1>0， ④x －1≤8－4x .(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，选取其中二个一元一次不等式，并求其公共解． (3)选取其中一个一元一次不等式，使其只有一个正整数解．(4)通过以上问题解答的体会，解一元一次不等式(组)要注意哪些问题？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理解一元一次不等式(组)的一般步骤及注意的问题．类型一 不等式的基本性质例1 (1)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B .x 3＞y3 C ．x ＋3＞y ＋3 D ．－3x ＞－3y(2)若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a ＋c ＞b ＋cD ．a ＋b ＞c ＋b (3)设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【解后感悟】将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．对于第(2)、(3)题渗透了数形结合的思想．1．(2016·大庆)当0<x <1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．x 2<x <1xB .1x <x <x 2C .1x <x 2<xD ．x <x 2<1x类型二 一元一次不等式的解法例2 解不等式：x ＋12＋x －13≤1.【解后感悟】解答这类题学生往往在解题时不注意，在去分母时漏乘没有分母的项．移项时不改变符号而出错；解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．2．(1)(2016·绍兴)不等式3x ＋134>x3＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．类型三 一元一次不等式组的解法例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），2x －1＋3x2<1，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．【解后感悟】求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．注意不等式中整数解问题．3．解不等式组：(1)(2015·泰州)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ，12x ＋3<－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）＞x ＋8，x 4≥x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．类型四 不等式的解的应用例4 (1)(2017·丽水)若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤2(2)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( )A ．m ＞－23B ．m ≤23C ．m ＞23D ．m ≤－23【解后感悟】(1)列出不等式是解题的关键；(2)本题是已知不等式组的解集求字母系数，是逆向思维问题，故先求出不等式组的解集，再根据已知解集，列关系式求字母系数．4．(1)(2016·通州模拟)如果不等式(a －3)x >a －3的解集是x >1，那么a 的取值范围是( ) A ．a <3 B ．a >3 C ．a <0 D ．a >0(2)(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x<m 的解是x ＜5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5【阅读理解题】(2017·湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．【方法与对策】解答本题的关键是仔细阅读材料，理解例题的解题过程．这类题型复习时应注意给出方法和过程．【求不等式组中字母系数范围出错】如果一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>3，x<a 关于x 的整数解为4，5，6，7，则a 的取值范围是( )A ．7<a ≤8B ．7≤a <8C ．a ≤7D ．a ≤8参考答案第10讲 不等式与不等式组【考点概要】 1．< < > > 【考题体验】1．A 2.A 3.C 4.x ＜－1 5.－1＜x ≤4. 【知识引擎】【解析】(1)①②④ (2)不唯一．选②和④，公共解为x ≤95(3)④ (4)解一元一次不等式(组)，注意去分母时，不要漏乘没有分母的项；移项时要改变符号；最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．【例题精析】例1 (1)D ；(2)B ；(3)A 例2 去分母得：3(x ＋1)＋2(x －1)≤6，去括号得：3x ＋3＋2x －2≤6，解得：x ≤1. 例3 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2） ①，2x －1＋3x2＜1 ②，由①得：x ≥－1，由②得：x ＜3, 不等式组的解集为：－1≤x ＜3.在数轴上表示为：.不等式组的非负整数解为2，1，0. 例4 (1)C ；(2)解不等式①得，x ＜2m ，解不等式②得，x ＞2－m ，∵不等式组有解，∴2m ＞2－m ，∴m ＞23.故选C .【变式拓展】 1．A2.(1)x >－3 (2)x ≤－1.3．(1)x ＜－8. (2)由①得：x ＞1，由②得：x ≤4，所以这个不等式组的解集是1＜x ≤4，用数轴表示为4．(1)B (2)A 【热点题型】【分析与解】(1)根据新定义列出关于x 的方程，2×3－x ＝－2011，得x ＝2017；(2)根据新定义列出关于x 的一元一次不等式，2x －3＜5，得x ＜4.【错误警示】 A。
【精选推荐】中考数学复习第二单元方程(组)与 不等式(组)(分式方程的解法及应用)全新完整版
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第二单元 方程(组)与 不等式(组)
（六）分式方程的解法及应用
知识梳理
目
知识过关
录
课堂检测
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
知识梳理
一、分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 二、分式方程的解法
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
例 解方程：21x＝x－2 3. 解：方程两边乘2x(x－3)，得x－3＝4x. 解得x＝－1. 检验：当x＝－1时，2x(x－3)≠0. ∴原分式方程的解为x＝－1.
用3
700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的
3 2
倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(2)原定以每件225元的价格销售第二批仙桃，但为 了 尽 快 售 完 ， 决 定 打 折 促 销 ． 要 使 得 销 售 利 润 为 350 元，则第二批仙桃每件应打几折出售？(利润＝售价－ 进价)
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
3．解分式方程： (1)x＋1 2＝x－3 1； (2)xx＋ －22－2－4 x＝2. 解：(1)方程两边乘(x＋2)(x－1)，得x－1＝3(x ＋2)． 解得x＝－72. 检验：当x＝－72时，(x＋2)(x－1)≠0. ∴x＝－27是原分式方程的解．
(2)工程问题
基本数量关系：工作时间＝工工作作效总率量 常量见关等系注则原甲甲工工意工的的作作：作工工总1时题效作作量间干率总效＝中量率－未工－改告作乙乙善工诉效的的后作工率工工工总作作作作量总总效效量量率率时＝＝工提时作前间总完差量成可的以时看间作整体“1”，
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第二单元 方程（组）及其利用
第6课时 分式方程及其应用
考点精讲
考点特训营
分 概念：分母中含有①_______ 未知数 的方程 式 分母为0 方 增根：使原分式方程的②__________的根 程 及 解分式方程的步骤 其 应 用 分式方程的实际应用
解分式方程的步骤：分式方程
乘以最简公分母 ③______________ 最简公 分母为0
分母或分子前加括号；
3．去括号时，若括号前为“－”，去掉括号后，括号内每
一项都变号；
4．在解分式方程时，易忽略对方程的解进行检验，从而导 致出现错解．因此，一定要牢记对分式方程的解进行检验．
二 、分式方程的实际应用
例2 某工程队修建一条长1200米的道路． (1)工程队花费45000元购买材料用于修路，一段时间后，又 但进价比第一次少100元，问第一次购买材料每千克的进价是
去分母
整式方程
解整式方程
检验 ④ ______ x =a
最简公分 母不为0
a是分式方 程的增根
a是分式 方程的根
温馨提示：分式方程的无解与增根并非同一个概念，分 式方程无解,可能是解为增根也可能是去分母后得到的整 式方程无解；而增根是指去分母后得到的整式方程有解， 但此解使分式方程分母为0
分 式 方 程 的 实 际 应 用
常 见 类 型 及 关 系 式
销售额 销售额 销售问题：销量= , ±变化量= 单价 单价 变化后销售额
变化后单价 工程问题 行程问题
注意：必须双验根，既要检验是否为所列分式方程的 根，又要检验是否符合实际情况
常 见 类 型 及 关 系 式
工作量 工程问题：工作时间= ；工作效率 -工作 工作效率 工作量 时间差= ， 改善后的工作效率
第四步 第一步、第二步、第四步． 上述步骤中出现错误的是：___________________________. 请你写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘(x－3)得：2－x＝－1－2(x－3)，
整理得：2－x＝1－12x＋6，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x－3＝0，∴原方程无解．
【名师提醒】在解分式方程时，应注意以下四点： 1．若方程中含有常数项，去分母时不要忘记给常数项乘以 公分母； 2．若常数项或某个分式前为“－”，去掉分母时，要给公
工作总量
工作效率
工作时间
1200 ⑤________ m
原计划 实际
1200 1200
m (1＋50%)m
1200 ⑥________ (1＋50%)m
设原计划每天修建道路m米，则实际每天修(1＋50%)m米．
1200 根据题意得： m
＝
1200 ＋ 4， (1＋50%)m
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，
到x＋1＝0，即x＝－1，代入整式方程得－5＝－2＋2＋m，
解得m的值为－5，故选A.
失分点 2 解分式方程别“丢三落四” 解方程
2 x x3
＝
1 3 x
－2.
解：方程两边同乘(x－3)得：2－x＝－1－2，
整理得：－x＝－1－2＋2， 解得：x＝1，
第一步
第二步 第Байду номын сангаас步
所以原方程的解为x＝1.
工作量
列表格梳理题干信息时，以工作时间、工作量、工作
效率作为表头
常 见 类 型 及 关 系 式
总路程 路程 行程问题：时间= ； ±时间差 速度 原速度 总路程 = ，列表格梳理题干信息时， 变化后的速度 以时间、路程、速度作为表头
重难点突破
一 、解分式方程
例1
x 1 解分式方程： x
＋
3x x 1 ＝4.
花费21000元第二次购买材料．第二次购买量是第一次的一半，
多少元？
总费用 【信息梳理】本问应用基本公式为：单价＝ ，表格 购买量 以单价、总费用、购买量为表头进行梳理．设第一次购买材 料的单价为x元． 单价 总费用 购买量
45000 ①________ x
第一次 第二次
x x－100
45000 21000
21000 ②________ x 100
解：(1)设第一次购买材料的进价是x元/千克，则第二次购买 材料的进价是(x－100)元/千克，
45000 根据题意得： x
×
1 2
＝
21000 x 100
，
解得x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，
答：第一次购买材料每千克的进价为1500元．
解：去分母，得(x－1)2＋3x2＝4x(x－1)，
化简得2x＋1＝0，
解得x＝－ 1
.
2
2 1 是原方程的根， 经检验，x＝－
∴原分式方程的解为x＝－ 1 .
2
练习 A. －5
关于x的方程 B. －8
m 3x 2 x 1 ＝2＋ x 1 无解，则m的值为(
A )
C. －2
D. 5
【解析】去分母得3x－2＝2x＋2＋m，由分式方程无解，得
答：原计划每天修建道路100米．
(2)购买材料的地点距工地180千米，工程队第二次购买材料 后，用卡车运回工地，匀速行驶了一个小时后，司机接到
工程队命令需提前到达，速度增加为原来的1.5倍，最终提
前40分钟到达工地，求没加速前卡车的平均速度是多少？ 路程 【信息梳理】本问应用基本公式为：速度＝ ，表格 时间 以速度、路程、时间为表头进行梳理．设加速前卡车的平 均速度是y千米/小时．
＝
180 y
，
答：没加速前卡车的平均速度是60千米/时．
(3)若按照原计划方法修建道路，可能无法在工期内完成，为 加快速度，工程队采用新的施工方法，工作效率比原计划提
高了50%，结果提前4天完成任务，求该工程队原计划每天修
建道路多少米？ 工作总量 【信息梳理】本问应用基本公式为：工作时间＝ 工作效率 表格以工作时间、工作总量、工作效率为表头进行梳理．设 原计划每天修建道路m米．
速度
加速前 加速后 y 1.5y
路程
y 180-y ③________
时间
1
180 y ④________ 1.5 y
(2)设没加速前卡车的平均行驶速度为y千米/时．
40分钟＝ 小时， 根据题意得：1＋ 180 y 1.5 y 解得y＝60， 经检验，y＝60是原方程的解， ＋
2 3 2 3