曲面积分习题课
曲面积分习题课(供参考)
第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(一)
2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习 题 课（一）
三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第 十 章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2
2
-8-
习 题 课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第 的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。 十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线 积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面 积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲 在D 内具有一 线 设D 是单连通域 , 函数 积 分 阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面 积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L
高数A(2)习题课(11)曲面积分
R( x, y, z )dxdy
D xy
R( x, y, z ( x, y) ) dxdy
Dxy
如果取下侧, 则
R( x, y, z)dxdy
R( x, y, z( x, y))dxdy
如果为x=x(y, z), (y, z)Dyz, P(x,y,z)C(), 则
2
2
2
2 a cos
0
r [cos sin cos sin ]rdr
2
o x
y
1 2 (cos sin cos sin ) (2a cos ) 4 d 2 4
8 2a
4
2
0
4 2 64 8 2a 2a 4 cos d 5 3 15
分记作2, 1在xoy面上投影为 1 2 于是, 2 2 Dx y {( x, y ) | x y a } 2
h
1
o
a
I ( x 2 y 2 )d S ( x 2 y 2 )d S
1 2
2 2
Dx y
ay
2
( x y )d S 0 D ( x y )
x
Dxy
y
2
R2 u 2 v2 dudv Dyz 2 所以, 2 2 2 3 u v R ,0v 2 3 R 类似地,有 ydzdx R I c R2 2 R3 3 3
(a R2 ( y b)2 ( z c)2 )dydz
课件制作：肖萍 赵庆华 李丹衡
一、 二、
内容总结 作业选讲
A11-曲线积分与曲面积分习题课习题课
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
D xy
(dS面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
y C
B(x A 2 y )d x (y 2 x )d y D
曲线积分与曲面积分习题课
（一）曲线积分与曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
曲面积分-习题课2共35页文档
解 设(X,Y,Z)为上任意,一 则点 得 出的方程为
xX yYzZ1 22 由点O到平面的距离公式,得
(x, y,z)
1 x2 y2 z2 44
设 S为椭球 x2面 y2z21的上半部 22
由z 1 x2 y2
22
一、教学要求
1. 了解两类曲面积分的概念及高斯 Gauss) 斯托克斯(Stokes)公式, 并会 、 计算两类曲面积分.
2.了解散度、旋度的概念及其计算 方法.
3. 会用曲面积分求一些几何量与物 理量.
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
z
x
,
x
x2 y2
2 1
22
得
z
y
y 2 1 x2 y2
22
dS 1x z2 yz2dxdy 4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2 22
所以
dS 4x2 y2 dxdy
z dS
S (x, y,z)
1 (4x2y2)dxdy
4 Dxy
2 1 x2 y2
22
(x, y,z)
(1 ) 若P,Q,R在闭曲面 所围成的空间 中域
高等数学第十一章习题课(二)曲面积分
z
B
o
dS
n C
y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3
(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D
x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy
( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I
1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y
11-8 曲面积分习题课
(二) 对坐标的曲面积分的计算
1．用高斯公式计算 2．添加曲面后用高斯公式计算 3．分项直接计算 4．转化为一项后直接计算
ez
u例10 计算òò
dxdy,
S x2 + y2
其中Σ为锥面 z = x2 + y2
与平面z=1,z=2围成的立体表面 的外侧.
z 2
1
oy x
(二) 对坐标的曲面积分的计算
性质线性可加性物理意义ds计算直接计算一投二代三换选择一投二代三定号确定高斯公式转化coscoscosds一内容小结二题型练习一内容小结二题型练习对坐标的曲面积分的计算计算公式dzxz计算步骤明确的方程化为二重积分确定选择面积元素ds1
第八讲 曲面积分习题课
曲面积分习题课
一 、内容小结 二 、题型练习
(一) 对面积的曲面积分的计算
1．简化计算 2．Σ方程的选择与确定 3．Σ的投影的求法
u例3 计算 òò (x2 + y2 + z2 )dS,
S
S : x2 + y2 + z2 = 2az.
l注 确定Σ的方程需考虑是否分片；
z
S1
S2
y
结合所给条件简化计算． u例4 计算曲面积分
xz 1
其中å 是由平面 与坐标面所围成的四面体的表面.
法向量指向原点.
u例12 计算
òò [ f (x, y, z) + x]dydz + [2 f (x, y, z) + y]dzdx + [ f (x, y, z) + z]dxdy,
S
f(x,y,z)连续,Σ为平面 x - y + z = 1
z
在第Ⅳ卦限部分的上侧．
曲面积分习题课
′x 2 + z ′y 2 dxdy = 1 + ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 dxdy dS = 1 + z 原式 = ∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
[ r 2 sin θ cos θ + r 2 (cos θ + sin θ )]rdr
=4
2 π 2a 4 2π (sin θ − 2
∫
cos 5 θ + cos 5 θ + sin θ cos 4 θ )dθ
y
64 = 2a 4 15
o
2a
x
或 ∫ ∫ ( xy + yz + zx )dS = 2 ∫ ∫ [ xy + ( x + y ) x 2 + y 2 ]dxdy
1. 若曲面Σ :
则
z = z( x, y)
′x 2 + z′y 2 dxdy; 1+ z
∫∫ f ( x , y , z )dS Σ = ∫∫ f [ x , y , z ( x , y )]
D xy
2. 若曲面 Σ： y = y( x, z)
则
∫∫
Σ
′ 2 + y′ 2dxdz f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x, y( x, z),z] 1 + yx z
∫∫ Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy = ∫∫(Pcosα+Qcosβ+ Rcosγ)dS
Σ Σ
§10.习题课(曲面积分)
环流量 Pdx Qdy Rdz 旋度
R Q P R Q P rotA ( )i ( )j ( )k y z z x x y
线积分典型例题
例1 计算
e
L
x y
2
2
ds L : x y a , y x , y 0
2 2
其中L为
①不包围也不通过原点的任意闭曲线(可直接用格林公式) ②以原点为中心的正向单位圆周 ③包围原点的任意正向闭曲线(挖去小圆)
解 ① P x y2 2
x y
P y Q x
2
Q
2
y x x y
2
2 2
2
x y 2 xy (x y )
2
1) 因为
2
2
L l
-
l
-
l
-
D
(
Q x
P y
) dxdy
2
-
2
（ x y ) dx ( x y ) dy
l
x y
2
（ x y ) dx ( x y ) dy
l
这里的x,y就是小圆的
x y
2
2
0
(cos sin )( sin ) (sin cos )(cos ) cos sin
( 0 ,0 ) D
则由Green公式
Qdy 0
Pdx
L
②
I
L
2
x y 1
2 2
A11-曲线积分与曲面积分习题课习题课
oC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3
x
y
yz
1 3
(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
计
f (x, y, z)ds
R(x, y, z)dxdy
f [x, y, z( x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
令
P
k
x
3
,
Q
k
y
3
易证
P246 11. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
Pdydz Qdzdx Rdxdy
曲面积分习题课_
∑
x P
y Q
y Q
z R
dS z R
y
cosα cos β cosγ = ∫∫
∑
x P
2. 旋度
i 称向量 x P j y Q k 为向量场的旋度 (rotA) . z R
R Q P R Q P = ( )i + ( ) j + ( )k. y z z x x y
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件
两类关系公式的另一种表达形式
向量点积法
设∑ : z = f ( x , y ), 法向量为 { f x′ , f y′ , 1},
I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
∑
= ∫∫ { P , Q , R} { f x′ , f y′ ,1}dxdy
∑
′ ′ 将∑在xoy面投影± ∫∫ {P, Q, R} { fx , f y , 1}dxdy.
解 设( X , Y , Z )为∏ 上任意一点 , 则得出 ∏ 的方程为 则得出∏ xX yY + + zZ = 1 2 2 由点到平面的距离公式,得 由点到平面的距离公式 得 1 ρ ( x, y, z ) = x2 y2 2 + +z 4 4
x2 y2 由z = 1 2 2
z = x x x2 y2 2 1 2 2
∑ + ∑1 + ∑ 2
∫∫
ydydz xdzdx + z 2dxdy ,
= ∫∫∫ 2zdv
( = 柱坐标) dθ ∫ rdr ∫ 2 zdz + ∫ dθ ∫ rdr ∫ 2 zdz ∫
曲线曲面积分-习题课共51页
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓ห้องสมุดไป่ตู้的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
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向量形式
A d S
0 A n dS
高斯公式
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ 围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q R 或 ( )dv ( P cos Q cos R cos )dS x y z
这里 是 的整个边界曲面的外侧， cos , cos , cos 是 上点( x , y , z )处的法向 量的方向余弦.
(
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y x y z P Q R cos x P cos y Q cos dS z R
x2 y2 2 1 2 2
2
z z dS 1 dxdy x y
4 x2 y2 dxdy 2 2 x y 2 1 2 2
所以
x2 y 2 z 1 2 2
4 x2 y2 dS dxdy 2 2 x y 2 1 2 2 1 ( x, y, z ) x2 y2 z2 4 4
解 设( X , Y , Z )为上任意一点则得出 的方程为 , xX yY zZ 1 2 2 由点到平面的距离公式,得 1 ( x, y, z ) x2 y2 z2 4 4
x y 由z 1 2 2
z x x
2
2
得
, z y
2
y x2 y2 2 1 2 2
2 2
计算的关键是看所给曲面方程的形式！！！ 曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个 变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。
第二类曲面积分
1)若曲面 : z z( x , y )
Pdydz Qdzdx Rdxdy P ( z ) Q ( z ) R dxdy D
x P 3 r
r x y z , z y R 3 Q 3 r r
2 2 2
P Q R 0 x y z
1 : x 2 y 2 z 2 2 ( 充分小)取内侧，然后用高斯公式 .
1
3
1
3d x d y d （高斯公式） z
引申: 2 分两种情形 情形1： 不包围原点的任意闭曲面。
计算
1 2
ydydz xdzdx z 2 dxdy ,
P y, Q x, R z 2
由高斯公式
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( x y z )dv
1 2
曲面积分习题课
基本计算公式
第一类曲面积分
如果曲面方程为以下三种：
1)若曲面 :
z z( x , y )
则 f ( x , y , z )dS
D
x 2 zy 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 z
2)若曲面 : y y( x , z ) 则 f ( x , y , z )dS
2. 通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则
向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 P Q R div A x y z
斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
[ f ( x , y , z ) z ]dxdy
1 I { [ f ( x , y , z ) x ] 3 1 1 [2 f ( x , y , z ) y ] [ f ( x , y , z ) z ]} dS 3 3
1 : x y z 1 ( x y z )dS 3 1 dS 1 1 1dxdy 3dxdy 1 dS 3 y 1 1 1 1 3dxdy 2 O x 3 Dxy
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q ( x y ) R ( xz ) dydz
D yz
其中符号当Σ取前侧时为正，后侧时为负。 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
两类关系
Pd ydz Qdzdx Rdxd y Pcos Qcos Rcos d S
1
例5. 计算曲面积分
其中, r x 2 y 2 z 2 , : x 2 y 2 z 2 R 2 取外侧 .
解:
1 3 3d x d y d （高斯公式） z R x2 y2 z 2 2 2 1 时, 引申: 1.本题 改为椭球面 2 a b c 应如何计算 ? 2.若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
2
I
下
1 2 外
1 下
2 上
15 2
例4
计算
I [ f ( x , y , z ) x ]dydz [2 f ( x , y , z ) y ]dzdx [ f ( x , y , z ) z ]dxdy ,其中 f ( x , y , z ) 为连续函数,
x
y
xy
其中符号当Σ取上侧时为正，下侧时为负。
2)若曲面 : y y( x , z )
Pdydz Qdzdx Rdxdy P ( y ) Q R ( y ) dzdx D
x
z
zx
其中符号当Σ取右侧时为正，左侧时为负。
3)若曲面 ： x x( y, z )
应如何计算 ?
引申: 1 x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c 计算： 其中：
3x 2 r 2 3x 2 P x 1 ( 3 )x 3 5 当(x, y,z) 0,0,0 x r r r r5 2 2 R z r 2 3z 2 Q y r 3y ( 3 )y ( 3 )y 5 5 z r r y r r
( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]
2
0
15 d r rdr . 1 2
2 2
法2： 用高斯公式. 补面： 1 : z 1, x2 y2 1 取下面，
2 : z 2, x2 y 2 4 取上面。 则 1 2 构成封闭曲面，且取外侧。
n
z
o x
y
2. 旋度 i 称向量 x P
j y Q
k 为向量场的旋度 ( rotA) . z R
R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y
例 题
例1 求 x 2 dS , 其中 为柱面 x 2 y 2 a 2 , 0 z 6
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
(曲面关于xoz面 对称）
选Байду номын сангаас题：
1.设 为球面x +y +z =1的上半部分的上侧，
2 2 2
则下列式子错误的是( C )
A x 2 dydz 0
B ydydz 0
C xdydz 0
解：由于 关于变量 x, y 轮换对称性
x 2 dS y 2 dS
1 a 2 2 x dS 2 x y dS 2
2
2
dS 6 a3
x2 y2 例2 设S为椭球面 z 2 1的上半部分, 2 2 点P ( x, y, z ) S , Π为S在点P处的切平面, ( x , y , z ) z dS . 为点O(0,0,0)到平面Π的距离, 求 ( x, y, z ) S
z ( x , y, z )dS S
2 1 2 2 d (4 r )rdr 0 4 0
1 2 2 (4 x y )dxdy 4 Dxy
3 2
x2 y2 Dxy : 1 2 2
例3
计算 I ydydz xdzdx z 2dxdy, 其中 为
D y 2 dydz 0
2.设 是yoz平面上的圆域y 2 z 2 1, 则 x 2 y 2 z 2 ds
为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧.
解 利用两类曲面积分之间的关系 的法向量为 n (1,1,1)