苏教版高中数学选修2-2《合情推理(第2课时)》教案
合情推理第二课时 学案 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2
高中数学第2章推理与证明 2.1.1 合情推理第二课时互动课堂苏教版选修2-2疏导引导1.合情推理包括归纳推理和类比推理,它是一种含有较多猜想成分的推理,因此应注意推出的结论不一定正确.数学真理知识的发现、发掘和推陈出新,离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程.归纳推理和类比推理常常被认为是发现数学真理的重要方法,前者是从特殊过渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的联想方法.只要略略浏览中外数学史,即可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的.杰出的数学家欧拉、高斯等人都是运用归纳与类比的大师.归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想.因此在数学教学中加强这方面有趣而生动的训练,有助于培养我们的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.2.推理是人的一种思维形式,在数学中有着不可替代的作用,同学们要以日常生活中的许多事实为依据,结合以前所学知识,认真体会推理的内涵,并初步运用推理知识解释一些现象.(1)归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式.归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.归纳推理有以下几个特点:①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;②归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测的性质;③归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.(2)运用归纳推理时的一般步骤.首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);最后,对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是能否进行严格的证明.(3)类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.(4)类比推理有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性.它以旧有认识作基础,类比出新的结果;②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;③类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但却具有发现的功能.(5)在运用类比推理时,其一般步骤为:首先,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);然后,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.(6)注意,两个系统可作类比的前提是,它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致.因此,类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚,这不同于比喻.(7)类比推理是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法.这是因为,类比推理不像归纳推理那样局限于同类事物,也不像演绎法那样受到一般原理的严格制约.运用类比推理,不仅可以跨越各类事物的界限,进行不同事物的类比,而且既可以比较事物的本质属性,也可以比较非本质属性.同时,类比推理比归纳推理更富于想象,因而也就更具有创造性.事实上,人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理、公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的.因此,类比推理已成为人类发现、发明的重要工具.3.合情推理所进行的推理过程概括为:活学巧用1.在△ABC 中,射影定理可表示为a=bcosC+ccosB.其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边.类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想. 解析:如右图,在四面体P —ABC 中,S 1、S 2、S 3、S 分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC 的面积,α、β、γ依次表示面PAB 、面PBC 、面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小,我们猜想将射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S 1cos α+S 2cos β+S 3cos γ.(其正确性,同学们可自己证明)2.在△ABC 中,余弦定理可叙述为a 2=b 2+c 2-2bccosA,其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边.类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.解析:如例1图示,S 1、S 2、S 3、S 分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC 的面积,α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC 、平面PBC 与平面PCA 、平面PCA 与平面PAB 所成二面角的大小,猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为 S 2=232221S S S ++-2S 1S 2cos α-2S 2S 3cos β-2S 3S 1cos γ. 上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方,等于其他各面面积平方的和,减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理证明三角形余弦定理的方法,给出较简捷的证法.先看由三角形射影定理证明其余弦定理的方法:在△ABC 中,a 、b 、c 分别表示角A 、B 、C 的对边,则有a=bcosC+ccosB, ①b=ccosA+acosC, ②c=acosB+bcosA, ③①×a -②×b -③×c 可得a 2-b 2-c 2=-2bccosA ,∴a 2=b 2+c 2-2bccosA.下面给出三维余弦定理的证明,如题1图形,记号表示面积为S1和S2的两个面所成的二面角大小,由题1的三维射影定理可知:S=S1cos+S2cos+S3cos, ①S1=S2cos+S3cos+Scos, ②S2=S3cos+Scos +S1cos, ③S3=Scos+S1cos+S2cos, ④①×S-②×S1-③×S2-④×S3可得S2-S12-S22-S32=-2S1S2cos-2S2S3cos-2S3S1cos=-2S1S2cosα-2S2S3cosβ-2S3S1c osγ,移项得欲证三维余弦定理.3.一个空间用n个平面去划分,最多能被分成几部分?解析:在空间只有三个平面才能交于一点(就是说,四个或四个以上平面不能交于一点)以及三个或三个以上的平面产生的交线互不平行的时候,用n个平面去划分空间,才能使分得的空间块的数目最多.因此,在后面的分析中,我们假设的这些条件都是满足的.用V n表示由n 个平面去划分空间时所得空间块的数目.考查增加一个平面,可以把空间多分割出几个空间块,由于第n个平面与前n-1个平面相交,因此第n个平面上就有n-1条交线,这些交线满足例3的假定条件,因此,根据例3的结论可知第n个平面被n-1条直线分成22 )1()1(2+-+-nn=222+-nn个平面块,而每个平面块把它所在的那个空间块一分为二,于是增加了222+-nn个空间块.因此得到递推公式V n=V n-1+222+-nn.在上式中分别令n=1,2,…,n,可得n个等式V1=1+1=1+22112+-,V2=V1+22222+-,V3=V2+22332+-,……V n=V n-1+222+-nn.以上n个等式相加,可得V n =1+21(12+22+…+n 2)21-(1+2+…+n)+n =1+21·6)12)(1(++n n n 21-·2)1(+n n +n =6653++n n . 故一个空间用n 个平面去划分,最多能被分成61(n 3+5n+6)个空间块.。
苏教版高中数学选修2-2合情推理 归纳推理教案
合情推理-归纳推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点,难点了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学过程一.问题情境1.情境:从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.任何一个推理都包含前提和结论两个部分,前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得的命题.它告诉我们推理的知识是什么.下面是三个推理案例.(1)前提:当0n =时,21111n n -+=;当1n =时,21111n n -+=;当2n =时,21113n n -+=;当3n =时,21117n n -+=;当4n =时,21123n n -+=;当5n =时,21131n n -+=;11,11,13,17,23,31都是质数.结论:对于所有的自然数n ,211n n -+的值都是质数.2.问题:上述案例中的推理各有什么特点?二.学生活动从个别事实推演出一般性结论.三.建构数学1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
2.归纳推理的思维规程大致为:3.归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是 人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.四.数学运用1.例题:例1.蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇鳄鱼海龟蜥蜴都是爬行动物,所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的.例2.三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸五边形的内角和是540,……由此我们猜想:凸n 边形的内角和是(2)180n -⨯.例3.221222223,,331332333+++<<<+++,…… 由此我们猜想:(,,b b m a b m a a m+<+均是正实数). 五.回顾小结:1.归纳推理的概念和特点;2.归纳推理的思维过程.。
苏教版高中数学选修2-2推理案例赏析教案
推理案例赏析教学目标(1)了解推理方式中合情推理和演绎推理的区别和联系; (2)通过对具体的数学思维过程的考察,进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.教学重点,难点合情推理和演绎推理的区别和联系. 教学过程 一.问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的? 三.数学运用 1.例题:例1.正整数平方和公式的推导. 提出问题我们知道,前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n =++++=+, …①那么,前n 个正整数的平方和22222()123?S n n =++++= …② 数学活动思路1(归纳的方案)如下表1-1所示,列举出2()S n 的前几项,希望从中归纳出一般的结论.(表1-1)头:1()S n 与2()S n 会不会有某种联系?如下表1-2所示,进一步列举出1()S n 的值,比较1()S n 与2()S n ,希望能有所发现.(表1-2)观察1()S n 与2()S n 的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?尝试计算.终于在计算1()S n 和2()S n 的比时,发现“规律”了(表1-3).从表1-3中发现21()21()3S n n S n +=,于是猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=. …③公式(3)的正确性还需要证明.思考:上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥什么作用? 思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和. (1)把正整数的平方表示出来,有222211,2(11)1211,==+=+⨯+2223(21)2=+=+22⨯1,+2224(31)3231,=+=+⨯+22(1)2(1)1n n n =-+-+,左右两边相加,得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+,等号两边的2()S n 被削去了,所以无法从中求出2()S n 的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出2()S n ,却求出了1()S n 的表达式,即2121()(1)22n n n S n n n +-==+,它启示我们:既然能用上面方法求出1()S n ,那么我们也应该可以用类似的方法求出2()S n .(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:33311,2(11)==+323332131311,3(21)232321,=+⨯+⨯+=+=+⨯+⨯+332(3)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+.左右两边分别相加,得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+.由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===.思考:上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥什么作用? 上面的案例说明:(1)数学发现活动时一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,互相为用,共同推动着发现活动的进程.(2)合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理,在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判断”和证明,从而为调控探索活动提供依据.对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学家G 波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的 内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程式一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的,” 五.回顾小结:1.合情推理和演绎推理的区别和联系; 2.体会这两种推理在数学活动中的作用.。
(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明教案 苏教版选修2-2
第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解合情推理的含义,认识归纳推理的基本方法与步骤,能利用归纳推理进行简单的推理应用.2.过程与方法通过学生的积极参与,经历归纳推理概念的获得过程,了解归纳推理的含义.让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程,体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论,培养学生归纳推理的思维方式.3.情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用,并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用.学生通过主动探究、合作学习,激发学习兴趣,认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质.●重点难点重点:归纳推理的含义与特点,能进行简单的归纳推理.难点:运用归纳推理得到一般性的结论,做出猜想.归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分,具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养,突出体现数学的人文价值和实际应用价值,因此,在高中数学的模块中,归纳推理就显得格外的举足轻重了.为了突破难点,引导学生合作交流,发现特殊实例的共性,抓住本质特征,作出合理猜想.(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学,建议以学生熟悉的实例为载体,创设问题情境.例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理,并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流,培养学生合作学习的意识与数学思维能力.在课堂上渗透数学文化教育,让学生通过数学文化的学习,了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物,激发学习数学的兴趣.●教学流程创设问题情境,引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练,使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练,求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈、矫正.1.(1)若a1=1,a2=2,a3=3,a4=2,…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗?(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°,你能猜想出什么结论?【提示】(1)a n=n(n∈N*);(2)三角形的内角和都是180°.2.在解决上述问题时,经历了怎样的思维过程?【提示】列出部分→归纳现象→得出结论.1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.2.归纳推理(1)归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程如图:实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3.归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.n1n+1n(1)求a2,a3,a4;(2)归纳猜想数列通项公式a n,并证明结论的正确性.【思路探究】由a1=1求a2的值,进而求a3,a4→分析a1,a2,a3,a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1=1,且a n+1=2a n+1(n∈N*),令n=1,得a2=3,令n=2,n=3,进而得a3=7,a4=15,(2)由a1=21-1,a2=22-1,a3=23-1,a4=24-1.可归纳猜想,得a n=2n-1(n∈N*).证明如下:由a n+1=2a n+1,得a n+1+1=2(a n+1).∴{a n+1}是以2为首项,公比为2的等比数列.∴a n+1=2·2n-1=2n,因此a n=2n-1.1.在数列中,常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式;要认真观察数列中各项数字间的规律,分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系,这是解题的关键.2.归纳推理具有由特殊到一般,由具体到抽象的认知功能,归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些共同的特征;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).已知:1>12;1+12+13>1;1+12+13+14+15+16+17>32;1+12+13+…+115>2;…根据以上不等式的结构特点,请你归纳一般结论. 【解】 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…猜想不等式的左边共有2n -1项,最后一项的分母为2n-1,右边为n 2,由此可得一般性结论.1+12+13+…+12n -1> n 2(n∈N *).理得出它们之间的关系.图2-1-1【思路探究】 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数,观察它们之间有什么关系,再归纳出一般性的结论.【自主解答】 正方体:F =6 V =8 E =12; 三棱柱:F =5 V =6 E =9; 五棱柱:F =7 V =10 E =15; 四棱锥:F =5 V =5 E =8; 两个同底面的四棱锥组成的组合体:F =8 V =6 E =12;通过以上观察发现F ,V ,E 满足F +V -E =2.所以归纳得:在凸多面体中,面数F 、顶点数V 和棱数E 满足以下关系:F +V -E =2.1.在几何中随点、线、面等元素的增加,探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决,通过比较,寻找规律是解决该类问题的关键.2.应用归纳推理,注意两点:(1)从图形的数量规律入手,寻找数值变化与数量关系;(2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,数值发生了怎样的变化.有两种花色的正六边形地面砖,按如图2-1-2所示的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少?图2-1-2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表:为首项,以5为公差的等差数列,所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.法二由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形).故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:6+5×(6-1)=31.边形.如图2-1-3所示,为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.图2-1-3试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式.(不要求证明)【思路探究】 根据前三个图形,找出正六边形增加的规律.【自主解答】 由图形可知:每个图形最外面有6×(n-1)个正六边形:f(4)=f(3)+18=19+18=37,f(5)=f(4)+24=37+24=61, 因为f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6, … …所以当n≥2时,有f(n)-f(n -1)=6(n -1). 以上各式相加,当n≥2时,f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n -1)], ∴f(n)=f(1)+6×(n -1)n 2=3n 2-3n +1.1.在本例中,应注意两点:(1)图形的特点,每个图形从宏观上看均为一大正六边形,每一边上均有n 个小正六边形,(2)式的变化,通过式子,寻求f(n)与f(n -1)的关系,转化成数列问题.2.利用归纳推理,可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论,掌握事物的本质规律.意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢? 我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,… 这就是斐波那契数列.此数列中,a 1=a 2=1,当n≥3时,请归纳出a n 与a n -1间的递推关系式.【解】 因为2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得:从第三项起,它的每一项等于它的前面两项之和,即a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).归纳不完整致误对任意的正整数n,猜想2n与n2的大小关系.【错解】当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;当n=3时,23<32.归纳猜想:当n=1时,2n>n2;当n≥2时,2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2,n仅取1,2,3来判断它们的大小关系,这不具有代表性,忽略了对n>3时情形的归纳.【防范措施】进行归纳推理时,防止归纳的局限性,可多考查一些特殊情形,从中寻找规律,发现一般性的结论.【正解】当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;当n=5时,25>52;当n=6时,26>62.归纳猜想:当n=1或n≥5时,2n>n2;当n=2或4时,2n=n2;当n=3时,2n<n2.1.归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法,应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论,为学习研究提供方向.2.我们在进行归纳和猜想时,要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律.通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.1.由数列1,10,100,1 000,…,猜测该数列的第n项可能是________.【解析】该数列可整理为100,101,102,103….【答案】10n-12.如图2-1-4所示的是由火柴杆拼成的一列图形,第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有________根;第n个图形中,火柴杆有________根.图2-1-4【解析】设a n表示第n个图形中的火柴杆数,易知a1=4,a2=4+3=7,a3=7+3=10,a4=10+3=13….∴a n=3n+1.【答案】13 3n+13.(2013·陕西高考)观察下列等式:12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10,…,照此规律,第n个等式可为________【解析】12=1,12-22=-(1+2),12-22+32=1+2+3,12-22+32-42=-(1+2+3+4),…,12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1(1+2+…+n)=(-1)n +1n (n +1)2. 【答案】 12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1n (n +1)24.已知数列{a n }的首项a 1=1,且a n +1=a n1+a n(n =1,2,3,…),试用归纳法归纳出这个数列的通项公式.【解】 当n =1时,a 1=1; 当n =2时,a 2=11+1=12;a 3=a 21+a 2=13;a 4=a 31+a 3=14.归纳可得,数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数,由此可以猜测,这个数列的通项公式为a n =1n(n =1,2,3,…).一、填空题图2-1-51.如图2-1-5所示的是一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排,那么第36颗珠子的颜色是________色.【解析】 通过观察发现,每5颗珠子为一组,前3颗为白色,后2颗为黑色,所以36=35+1=5×7+1.得第36颗珠子一定为白色的.【答案】 白2.(2013·无锡高二检测)如图2-1-6所示,第n 个图形中,小正六边形的个数为________.图2-1-6【解析】 a 1=7,a 2=7+5=12,a 3=12+5=17,∴a n=7+5(n-1)=5n+2.【答案】5n+23.正整数按下表的规律排列,则上起第2 005行,左起第2 006列的数应为________.【解析】第2 006行的第一个数为2 0062,第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项,-1为公差的等差数列的第2 007项,∴该数为2 0062+(-1)×2 006=2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064.(2012·江西高考改编)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=________.【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.【答案】1235.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于________.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111 234×9+5=11 11112 345×9+6=111 111【解析】等号右边应为n+1个“1”.【答案】 1 111 1116.定义A*B,B*C,C*D,D*B分别对应下列图形图2-1-7那么下列图形中,图2-1-8可以表示A*D ,A*C 的分别是________. 【解析】 由已知图形,抓共性不难总结出: A “|”,B “□”(大),C “—”,D “□”(小). 故A*D 为(2),A*C 为(4). 【答案】 (2),(4)7.经计算发现下列不等式:2+18<210, 4.5+15.5<210,3+2+17-2<210,…根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a ,b 都成立的条件不等式:________.【解析】 ∵2+182=10,4.5+15.52=10,3+2+17-22=10, ∴不难得出,若a +b =20,a +b <210. 【答案】 若a +b =20,则a +b <2108.(2013·镇江高二检测)设函数f(x)=x x +2(x >0),观察:f 1(x)=f(x)=xx +2,f 2(x)=f(f 1(x))=x3x +4,f 3(x)=f(f 2(x))=x7x +8,f 4(x)=f(f 3(x))=x15x +16,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N *且n ≥2时,f n (x )=f (f n -1(x ))=________.【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式,由1,3,7,15,…,可推知该数列的通项公式为a n =2n-1.分母中常数项依次为2,4,8,16,…,其通项为2n. 又函数中,分子都是x .∴当n ≥2时,f n (x )=f (f n -1(x ))=x(2n-1)x +2n.【答案】x(2n-1)x +2n二、解答题9.在△ABC 中,不等式1A +1B +1C ≥9π成立,在四边形ABCD 中,不等式1A +1B +1C +1D ≥162π成立,在五边形ABCDE 中,不等式1A +1B +1C +1D +1E ≥253π成立,猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式,为什么?【解】 不等式左边和式个数分别为3,4,5,…时,不等式右边的数依次为9π,162π,253π,…,其分子依次为32,42,52,…,分母依次为(3-2)π,(4-2)π,(5-2)π,…. 故当不等式左边和式个数为n 个时,归纳猜想右边应为n 2(n -2)π(n≥3,n ∈N *),故所求为1A 1+1A 2+…+1A n ≥n 2(n -2)π(n ≥3,n ∈N *).10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1且S n -1+1S n+2=0(n≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式.【解】 当n =1时,S 1=a 1=1;当n =2时,1S 2=-2-S 1=-3,∴S 2=-13;当n =3时,1S 3=-2-S 2=-53,∴S 3=-35;当n =4时,1S 4=-2-S 3=-75,∴S 4=-57.猜想:S n =-2n -32n -1(n∈N *).11.观察下列等式: ①cos 2α=2cos 2α-1;②cos 4α=8cos 4α-8cos 2α+1;③cos 6α=32cos 6α-48cos 4α+18cos 2α-1;④cos 8α=128cos 8α-256cos 6α+160cos 4α-32cos 2α+1;⑤cos 10α=m cos 10α-1 280cos 8α+1 120cos 6α+n cos 4α+p cos 2α-1. 求m -n +p 的值.【解】 观察等式可知,cos α的最高次项的系数:2,8,32,128构成了公式比为4的等式数列,故m =128×4=512;取α=0,则cos α=1,cos 10α=1,代入等式⑤,得1=m -1 280+1 120+n +p -1,即n +p =-350.(1)取α=π3,则cos α=12,cos 10α=-12,代入等式⑤,得-12=m(12)10-1 280×(12)8+1 120×(12)6+n ×(12)4+p×(12)2-1,即n +4p =-200.(2) 联立(1)(2), 得n =-400,p =50.故m -n +p =512-(-400)+50=962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:图1 图2他们研究过图1中所示的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中所示的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.则289,1 024,1 225,1 378中既是三角形数又是正方形数的是________.【自主解答】 记三角形数构成的数列为{a n },则a 1=1,a 2=3=1+2,a 3=6=1+2+3,a 4=10=1+2+3+4,可得通项公式为a n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n =n 2. 将289,1 024,1 225,1 378分别代入上述两个通项公 式,可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2,n ∈N ,(2x +12)n -(3x +13)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n,将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ,则T 2=0,T 3=123-133,T 4=0,T 5=125-135,…,T n ,…,其中T n =________.【解析】 由T 2=0,T 4=0,…猜想T n =0(n 为偶数).T 3=123-133,T 5=125-135,…猜想T n =12n -13n (n 为奇数),因此可得T n =⎩⎪⎨⎪⎧0,n 为偶数,12n -13n ,n 为奇数【答案】 T n =⎩⎪⎨⎪⎧0,n 为偶数,12n -13n ,n 为奇数第2课时 类比推理(教师用书独具)●三维目标 1.知识与技能通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对问题的发现中去.2.过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识.3.情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数学意识.●重点难点重点:了解合情推理的含义,理解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理. 难点:类比时寻求合适的类比对象;培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力.(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例,对合情推理——类比推理进行了概括和总结,让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用.(1)创设恰当的教学问题情境,如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念,从而提炼出类比推理的一般过程,概括出类比推理的含义.(2)分组交流,合作学习,讲练结合,将班上同学分成六个小组,分组讨论.从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳,类比——提出猜想,让学生充分感受和体验类比推理的过程.●教学流程创设问题情境,引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练,使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练,理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.已知三角形的如下性质: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的面积等于高与底积的12.1.试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质. 【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积. (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2.上述两个推理是从特殊到一般的推理吗?【提示】 不是.是从三角形的特征推出四面体的特征,两个推理是从特殊到特殊的推理.1.类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法.其思维过程为:观察、比较猜测新的结论 2.类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理; (2)类比推理的结果是猜测性的,不一定可靠.类比推理与归纳推理有何本质的不同?【提示】 类比推理是由特殊到特殊的推理,而归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.1.合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2.合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围,带有猜想的成分,因此推理所得的结论未必正确;(2)合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供证明的思路和方向的作用.n n 4841281612 类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,________,________,T 16T 12成等比数列.【思路探究】 等差数列的性质结论多与和、差有关,等比数列的性质结论多与积、商有关,注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16-S 12对应,易得答案.【自主解答】 等比数列类比等差数列,其中积类比和,除法类比减法,于是可得类比结论为:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列.【答案】 T 8T 4 T 12T 81.运用类比推理必须寻找合适的类比对象,从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求,充分挖掘事物的本质及内在联系.2.类比推理的一般步骤为:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性).(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想.(3)检验这个猜想.已知命题:若数列{a n }为等差数列,且a m =a ,a n =b(m≠n,m ,n ∈N *),则a m +n =bn -amn -m.现已知等比数列{b n }(b n >0,n ∈N *),且b m =a ,b n =b (m ,n ∈N *且m ≠n ).类比上述结论,求b m +n ,并说明理由.【解】 类比得b m +n =n -m b na m.理由如下:设等比数列{b n }的公比为q , 则b m +n =b m q n.又b m b n =b 1q m -1b 1q n -1=q m -n =a b . ∴q =(ab)1m -n .因此b m +n =b m q n=a (a b )n m -n =(b na m )1n -m =n -mb na m.BC 2+AC2=AB 2.拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积和底面积的关系,可以得出的正确结论是________.【思路探究】 三角形是由直线段围成的封闭图形,三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形,因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系.【自主解答】 考虑到直角三角形的两条边互相垂直,所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥,作为直角三角形的类比对象.1231.解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何中.2.类比与归纳推理虽然不一定正确,但都是经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出合理猜想的推理,为研究学习提供了一盏明灯.已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,则经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程为xx 0+yy 0=r 2.类比上述性质,可以得到椭圆x 2a 2+y2b2=1类似的性质为________.【解析】 圆的性质中,经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0,y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2+y2b2=1类似的性质为:过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2+y 0yb2=1.【答案】 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义;(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点?并加以说明. (3)在第(2)问中,若a 1=2,公和为5,求a 18和S 21.【思路探究】 先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义,然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项的和.【自主解答】 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n +a n +1=a n +1+a n +2,所以a n +2=a n .所以等和数列的奇数项相等,偶数项也相等.(3)由“等和数列”的定义,知 a 1=a 3=a 5=…=a 19=a 21=2. a 2=a 4=a 6=…=a 18=a 20=3. 因此a 18=3.S 21=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)+a 21 =5×10+2=52.1.本题通过对等差数列定义及性质的理解,类比出等和数列的定义和性质,考查学生的类比应用能力.2.从类比出新数列的定义出发,由特殊到一般,归纳出数列规律,类比是一个伟大的引路人,在探求知识的过程中,我们要充分运用类比的方法,由已知探究未知.设f(x)=12x +2,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+f(1)+…+f(5)+f(6)的值是________.【解析】 等差数列运用“倒序相加”求和.令t =f(-5)+f(-4)+…+f(0)+f(1)+…+f(5)+f(6)① 则t =f(6)+f(5)+…+f(1)+f(0)+…+f(-4)+f(-5).② ∵f(x)=12x +2,∴f(1-x)=121-x +2=2x2+2·2x=2x2(2x+2),因此f(x)+f(1-x)=12x +2+2x2(2x+2)=12=22, 故①+②,得2t =12×22=62, ∴t =3 2. 【答案】 3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2都是非零实数,不等式a 1x 2+b 1x +c 1<0,a 2x 2+b 2x+c 2<0的解集分别为M ,N ,则“a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”是“M=N”成立的________条件.【错解】 在方程a 1x 2+b 1x +c 1=0与a 2x 2+b 2x +c 2=0中,若“a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”,则两个方程同解.由a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2知两个不等式同解,故“a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”是“M=N”成立的充要条件.【答案】 充要【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.【防范措施】 类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误,因此要理解好类比对象的本质,忌盲目类比.【正解】 当a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2时,可取a 1=b 1=c 1=1,a 2=b 2=c 2=-1,则M =∅,N =R ,即a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2D /⇒M =N ;当M =N =∅时,可取a 1=b 1=c 1=1,a 2=1,b 2=2,c 2=3,则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2, 即M =ND /⇒a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2.综上知“a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”是“M =N ”成立的既不充分也不必要条件. 【答案】 既不充分也不必要1.进行类比推理时,要尽量从本质上思考,不要被表面现象所迷惑,否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.2.类比推理的特点:(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发,推测正在研究的事物的属性,提出新问题作出新发现.(2)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它有发现功能.3.要熟练掌握一些常见的类比推理,如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比,特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比,需掌握它们的类比特点与一些常用结论.1.若数列{a n }是等差数列,则通项为b n =a 1+a 2+…+a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列.类比上述性质,相应地,若数列{c n }是等比数列,且c n >0(n ∈N *),则有通项为d n =________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列.【解析】 “和”变“积”,“商”变“开方”. 【答案】nc 1·c 1·…c n2.下面使用类比推理恰当的序号是________.①“若a·3=b·3,则a =b”类推出“a ·c =b ·c ,则a =b ”; ②“(a ·b )·c =a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c =a ·(b ·c )”; ③“(a +b )c =ac +bc ”类推出“a +bc =a c +bc(c ≠0)”; ④“(ab )n=a n b n”类推出“(a +b )n=a n+b n”. 【解析】 ①②④均错. 【答案】 ③3.在平面直角坐标系O —xy 中,二元一次方程Ax +By =0(A ,B 不同时为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系O —xyz 中,三元一次方程Ax +By +Cz =0(A ,B ,C 不同时为0)表示________.【解析】 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系O —xyz 中,三元一次方程Ax +By +Cz =0(A ,B ,C 不同时为0)表示过原点的平面.【答案】 过原点的平面4.类比圆的下列特征,找出球的相关特征. (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; (2)平面内不共线的3个点确定一个圆; (3)圆的周长和面积可求.【解】 (1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面; (2)空间中不共面的4个点确定一个球; (3)球的表面积与体积可求.一、填空题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四面各正三角形的________.【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”. 【答案】 中心2.已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为________.【解析】 乘积类比和,幂类比积. ∴a 1+a 2+a 3+…+a 9=2×9. 【答案】 a 1+a 2+a 3+…+a 9=2×93.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.【解析】 若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.事实上,由平面几何和立体几何的知识,可知很多比值在平面上成平方关系,在空间内成立方关系.【答案】 1∶84.在圆中,连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦,类比圆的上述结论写出球的相应结论为________.【解析】 平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系,对应得出球的相应结论:在球中,连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面.【答案】 在球中,连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面 5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: (1)“mn=nm”类比得“a ·b =b ·a ”;(2)“(m +n )t =mt +nt ”,类比得“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”; (3)“|m ·n |=|m |·|n |”类比得“|a ·b |=|a |·|b |”; (4)“ac bc =a b ”类比得“a ·cb ·c =ab”. 以上的式子中,类比得到的结论正确的序号是________. 【解析】 (1)(2)均正确,(3)(4)不正确. 【答案】 (1)(2)6.(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是________.【解析】 原问题的解法为等面积法,即正三角形的面积S =12ah =3×12ar ⇒r =13h.类比,用等体积法,V =13Sh =4×13r ·S ⇒r =14h.【答案】 正四面体的内切球的半径是高的147.对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2-1-9所示的“分裂”,仿此,记53的“分裂”中的最小数为a ,而52的“分裂”中最大的数是b ,则a +b =________.图2-1-9【解析】 ,,∴a =21,b =9,则a +b =30. 【答案】 30图2-1-108.如图2-1-10所示,对于函数y =x 2(x >0)图象上任意两点A(a ,a 2),B(b ,b 2),线段AB 必在曲线段AB 的上方,点C 分向量AB →的比为λ(λ>0),过C 作x 轴的垂线,交曲线段AB 于C′,则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2+λb 21+λ>(a +λb 1+λ)2.请分析函数y =ln x(x >0)的图象,类比上述不等式可以得到的不等式是________.【解析】 y =x 2的图象在x >0时,图象下凹,且A(a ,a 2),B(b ,b 2),所以点C 的纵坐标是a 2+λb 21+λ,点C 与点C′的横坐标都是a +λb 1+λ,而点C′在曲线y =x 2上,点C 在点C′上方,所以y C =a 2+λb 21+λ>y C ′=(a +λb 1+λ)2.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 合情推理—类比推理 导学案(2)
2.1.1《合情推理—类比推理》学案(2)学习目标:1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识类比推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
学习重点、难点:学习重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。
学习难点:用类比进行推理,做出猜想。
学习过程:一、复习引入:1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?2、合情推理的主要形式有和 .3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式二、问题情境情境1:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子。
他的思路是这样的:茅草是齿形的,茅草能割破手,需要一种能割断木头的,它也可以是齿形的。
这个推理过程是归纳推理吗?______________情境2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理,发明了潜水艇。
三、学生活动1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了;2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了;3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征:1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。
科学家猜想:。
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.四、数学建构1、类比推理⑴根据两个(或两类)对象之间在___________________,推演出它们在____________,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法。
2、类比推理的几个特点:(1) ; (2) ; (3) 。
表一:利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 1122-=-(,)a b a a b=1(,λλλa a a ⋅=+11a b a b a ⇔=1//b a ⊥⇔1a b a b 2212||=+a a a 表二:在形状上和概念上,都有类似的地方,即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 合情推理 类比推理
第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b⇒a+c=b+c(2)减法法则:a=b⇒a-c=b-c(3)乘法法则:a=b⇒ac=bc(4)除法法则:a=b⇒a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b⇒a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35) [处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)↔乘(×)加数、被加数↔乘数、被乘数和↔积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d↔=q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d↔b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2↔=b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q↔b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.。
苏教版高中数学选修2-2《合情推理(第2课时)》参考教案
2.1.1 合情推理(2)教学目标:1.了解类比推理的概念和归纳推理的作用,懂得类比推理与归纳推理的区别与联系.2.掌握类比推理的一般步骤.3.能利用类比进行一些简单的推理.教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理.教学难点:用类比进行推理,做出猜想.教学过程:一、 复习引入:1. 什么叫推理?推理由哪几部分组成?2. 合情推理的主要形式有 .3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式.4. 归纳推理的特点: .5…a ,b 均为实数),请推测a = b = .二、创设情境在案例2中,由矩形对角线的某一性质,推出长方体的对角线具有类似的性质.这个推理过程是归纳推理吗?我们再看几个类似的推理实例:1.据传,春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发,发明了锯子.他的思维过程可能为:齿形草能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.2.试根据等式的性质猜想不等式的性质.等式与不等式有不少相似的属性,例如:(1)a b a c b c a b a c b c ⇒⇒=+=+猜想>+>+;(2)a b ac bc a b ac bc ⇒⇒==猜想>>;(3)2222a b a b a b a b ⇒⇒==猜想>>.问 这样猜想出的结论是否一定正确?三、构建新知上述几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理(reasoning by analogy ),简称类比法.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想,归纳推理的思维过程:类似推理的思维过程:四、数学运用例1 (G .波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出它们类似的性质. 解 在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) 乘(×)加数、被加数 乘数、被乘数 和积 等等,它们具有下列类似的性质:表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆截面圆 弦大圆 直径周长表面积 圆面积球体积 五、学生探究1.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.2.若数列{a n }为等差数列,且()m n a x a y m n m n N +=,=≠,,∈,则m n mx ny a m n +-=-.现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N +)为等比数列,且m b x =,n b y = ()m n m n +N ≠,,∈类比以上结论,可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗?六、课堂总结1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.2.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或者一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).七、课后作业教材第68页练习第1题,第2题,第3题,第4题.。
苏教版选修(2-2)2.1《合情推理与演绎推理》word教案1
教学过程设计
情境设计 情境一: 类比平面 问题设计 问题 1、把前面所进行的推理过程进行概括?总结什么是合情推理?
内直角三角形的勾 股定理,试给出空 间中四面体性质的 猜想.
从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 可见,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、
习题设计
n
1
2
3
4
1. 在平行四边形 ABCD 中,有 AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1
中,有 AC12+BD12+CA12+DB12=
D1
C1
A1
B1
D
CDΒιβλιοθήκη CA BA
B
2. 猜想数列
1 1 1 1 , , , , 的通项公式是 1 3 3 5 5 7 7 9
联想, 再进行归纳、 类比, 然后提出猜想的推理, 我们把它们统称为合情推理。
情境二:学生讨论 并体会合情推理在 实际例子中的应用
问题 2、 例 1 如图所示,有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规 则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动 1 个金属片; (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测: 把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针, 最少需要移动多少次? 解:设 an 表示移动 n 块金属片时的移动次数. 当 n=1 时,a1=1 当 n=2 时,a2=3 当 n=3 时,a3=7 当 n=4 时,a4=15
情感态度价值观:体会合情推理在实际生活和数学发现中的作用,提高学习数学的兴趣,
增强创新意识.
知识点
2.1.合情推理-苏教版选修2-2教案
2.1.合情推理-苏教版选修2-2教案一、教学目标1.了解合情推理的基本概念和特点。
2.学习合情推理的方法和步骤。
3.通过实例分析,了解合情推理的应用情景。
4.提高学生的综合思维能力和应用能力。
二、教学重点1.合情推理的基本概念和特点。
2.合情推理的方法和步骤。
三、教学难点1.分析合情推理的应用情景。
2.综合运用合情推理方法解决实际问题。
四、教学过程A.引入1.引导学生回忆前几节课所学的逻辑推理方法,以及其缺点和应用情景。
2.引出苏教版选修2-2中的“合情推理”,并让学生思考其含义和在实际生活中的应用。
B.讲解1.给出合情推理的基本概念和特点,并进行逐一解释,如以下内容:•合情推理是根据人类经验和潜在思维隐含假设,推理出一个可能的结论。
•合情推理依赖于人类经验和潜在思维隐含假设,具有一定的不确定性。
•合情推理需要建立在准确获取信息的基础上,否则可能出现错误。
2.讲解合情推理的方法和步骤,并给出示例来进行解释,如以下内容:•识别问题:首先需要识别问题,明确要对什么进行推理。
•获取信息:其次需要从多个来源获取相关信息,并分析信息的可靠性和完整性。
•分析信息:对信息进行分类、归纳和比较,从中寻找共性和规律。
•提出假设:在分析信息的基础上,提出一个可能的假设或结论。
•归纳验证:将提出的假设或结论与实际情况进行比较,验证其准确性。
C.案例分析1.运用合情推理方法,分析下面的案例,并让学生参与讨论:小明家的猫叫“喵喵”,有一天猫不见了。
小明家旁边有一家屠宰场,于是小明就怀疑猫是被屠宰场的人偷走了。
请问,这个推断正确吗?2.提醒学生注意信息的可靠性和完整性,并让学生按照合情推理的步骤进行分析。
D.巩固练习1.让学生自行找到一个实际问题,运用合情推理方法进行分析,并给出结论和相关依据。
2.分享并讨论各自的实际问题,进一步巩固掌握合情推理的方法和步骤。
五、教学反思1.本节课通过引入实际案例,让学生更深入理解合情推理的概念和应用情景。
苏教版高中数学选修2-2合情推理 演绎推理教案
合情推理-演绎推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.教学重点,难点掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.教学过程一.问题情境1.问题:在数学学习中,除了合情推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如,“铜能导电”的结论就是怎样得到的?二.学生活动“铜能导电”的结论就是这样得到的:所有的金属都能导电铜是金属所以,铜能导电三.建构数学再例如,在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5所以,2375是5的倍数.像这样的推理通常称为演绎推理,三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:-是)PM P M(M-是)S M S(S P S-是)P(说明:在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.三段论中包含了三个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题――结论.为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把三段论的结论作为下一个三段论的前提.四.数学运用1.例题:例1.已知lg 2m =,计算lg 0.8.解:(1)lg lg n a n a =(0)a >, (大前提)3lg8lg 2= (小前提) 所以lg83lg 2=. (结 论)(2)lglg lg a a b b=-(0,0)a b >>, (大前提)8lg 0.8lg 10=, (小前提) 所以lg0.8lg81=-3lg 21=-31m =-. (结 论)例2.已知,,a b m 均为正实数,b a <,求证:b b m a a m+<+. 证明:(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b a <,0m >, (小前提)所以mb ma <. (结 论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立, (大前提)mb ma <,ab ab =, (小前提)所以ab mb ab ma +<+,即()()b a m a b m +<+. (结 论)(3)不等式两边除以同一个数,不等式仍成立, (大前提)()()b a m a b m +<+,()0a a m +>, (小前提) 所以()()()()b a m a b m a a m a a m ++<++, 即b b m a a m +<+. (结 论) 例2的证明通常简略地表述为:()() ()0b a m a b m a a m ⇒+<+⎫⎬+>⎭()()()()b a m a b m a a m a a m ++⇒<++b b m a a m +⇒<+. 说明:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义,公理,定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别,特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰,令人信服的的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.五.回顾小结:1.演绎推理的概念;2.演绎推理基本模式和特点.。
江苏省苏州市第五中学高中数学选修2-2教学设计:合情
《合情推理》第二课时——类比推理教案说明一、本课数学内容的本质、地位、作用分析数学发现的过程往往包含合情推理的成分,在人类发明、创造活动中,合情推理也扮演了重要的角色.高中生的学习生活中也有很多合情推理的实例,物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理.因此,分析合情推理的过程,对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的.本节课是归纳推理基础上对合情推理学习的继续,类比和归纳一样是合情推理常用的思维方法,从学生熟悉并感兴趣的具体例子入手,分析它们所反映的思维过程,从中挖掘、提炼出类比推理的一般过程,并概括其含义.在练习和应用中加深对类比推理的认识.通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性,初步体会科学的方法论在日常生活的作用,有助于学生形成类比推理的思维方式, 培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础;有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风,形成言之有理、论证有据的习惯.二、教学目标分析:本节课教学目标确立如下:知识与技能:了解类比推理的含义、特点,能利用类比进行简单的推理.过程与方法:通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究,提高学生观察猜想、抽象概括的能力,渗透类比的思想方法.情感、态度与价值观:体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用,提高学习数学的兴趣,增强创新意识.三、教学问题诊断学生在学习本节内容时主要有以下两个困难:1.用类比进行推理,作出猜想.这部分中大多数问题是给出具有类似特征的两类对象,由学生根据一类事物的已知特征推测另一类对象也具有这些特征.要弄清楚怎样类比首先应该会明确指出这两类对象具有哪些类似特征.所以在教学过程中对学生举到的类比推理的例子和教师给出的小练习,都应注重从两个方面先分析:(1)问题中两类对象分别是什么;(2)他们有哪些类似特征.通过寻找两类对象的相似性,将两类不同的对象联系起来,从这种相似性出发,从概念、结构、维度、方法等角度出发,由一类对象的已知特征推测另一类也具有这样的特征.本节课主要以平面几何与立体几何的类比为载体,因此也特别注意从它们研究的对象出发,建立平面内点、直线、平面图形与空间元素的对应关系.2.确定合适的类比对象进行类比推理时,合理的确定类比对象是非常重要的,否则会使类比成为“乱比”.这部分内容对学生要求较高,本节课通过对正方形、长方形等平面图形的特征,尤其是图形蕴含的位置关系和数量关系的分析,使学生初步感受和体会寻找类比对象的方法.四、本节课的教法特点以及预期效果分析本节课采取以问题为驱动的启发式教学为主要教学方法.主要以以下几个问题为主线展开教学:问题1:(从《阿凡达》和叩诊法说起)这些问题中用到的推理方法与归纳推理有什么区别?从学生感兴趣的问题入手,复习归纳推理的基础上提出另一种不同的推理方法,请同学参与讨论,并感受这种推理方法与归纳推理的区别,辨析概念的同时挖掘类比推理的含义和特点.问题2:你能举一些生活或学习中类比推理的例子吗?启发调动学生积极思考,初步理解类比推理的含义.寻找类比推理在生活和学习中的应用,通过对所举例子的辨析加深学生对概念的理解.问题3:类比推理的步骤是怎样的?在学生举例基础上请学生给“等和数列”下个定义,使学生发现这个过程中只有一类对象,因为需要从已有的旧知识中寻找线索,找到一个合适的类比对象,在此基础上推测“等和数列”的定义.从中抽象出类比推理的步骤.问题4:圆可类比为球,正方形呢?长方形呢?平行四边形呢?三角形呢??学生能很快的答出正方形可类比为正方体,重点从位置关系和相关数量关系等角度分析正方形和正方体有哪些类似的特征,使学生初步体会从升维的角度该从哪些方面入手寻找两类对象的相似特征.并从三角形的类比对象出发引出例题,在例题寻找类比对象、推测四面体性质和探寻验证方向三个层面的类比过程中,使学生感知类比推理发现新结论、提供思考和证明问题的思路与方向的作用.通过本节课的教学,使学生在达到本节课的教学目标的基础上,能深刻体会到数学是生动的、有趣的,数学的本质并非仅仅是解决问题,更重要的是发现问题.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.1.1 合情推理》2
§合情推理第2课时类比推理教学目标:1.了解类比推理这一种合情推理的基本方法,掌握类比推理的一般步骤,能利用类比进行一些简单的推理; 2.正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识;3.增强学生的数学应用意识,提高学生数学思维的情趣,给学生成功的体验,形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点:类比推理及方法的总结;教学难点:类比推理的含义及其具体应用.教学过程设计(一)、情景引入,激发兴趣。
【教师引入】 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子他的思路是这样的:茅草是齿形的;茅草能割破手我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的这个推理过程是归纳推理吗?二、探究新知,揭示概念为回答“火星上是否有生命”这个问题,科学家所作的猜想。
科学家找出了火星和地球的相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
然后由 地球上有生命问题:上述推理基本步骤是什么? 上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.(三)、分析归纳,抽象概括类比推理的一般步骤:⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;⑶检验猜想。
即(四)、知识应用,深化理解例1.试将平面上的圆与空间的球进行类比圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦不是直径的中点的连线垂直于弦球心与截面圆不是大圆的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直经过切点且垂直于切面的观察、比较联想、类推猜想新结论例2根据实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理》
合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点,难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性.教学过程我们生活中有很多谚语,特别是关于农耕的,例如“瑞雪兆丰年”“邋遢冬至干净年”,以及一些看云识天气的方法,这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验.这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气,生物学家会去观察鸟类,心理学家会去观察行为和表情,比如说你们也会观察,总结出我上课写在黑板右侧的总是错的,或者我微微一笑,说明接下来就是一个具有挑战性的问题.当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字.一.问题情境数学教育家G.波利亚在其名著《数学与猜想》中对哥德巴赫猜想的推理过程进行了模拟演示:首先,波利亚说明:归纳法常常从观察开始.一个生物学家会观察鸟类的生活,一个晶体学家会观察晶体的形状,一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质.这一段叙述说明:归纳从观察开始,而观察要有归纳的动因,即要有感兴趣、需研究的问题,归纳推理研究问题、发现规律的手段.接着,波利亚说:假如你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话,那么你就应当对鸟稍有熟悉,对鸟感兴趣,甚至你应当喜欢鸟.同样,假如你要考察数,你就应当对它们感兴趣,并且对它们颇为熟悉,你应当会区别偶数和奇数,你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,….这里,波利亚想要传达的意思是:对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解,也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究.波利亚又说:即使只有这一点朴素的知识,你也可能观察到一些东西.比方说你可能会碰到这样几个关系:3+7=103+17=20213+17=30并注意到它们之间的类似之处.它会使你想到:3,7,13,和17都是奇素数,10,20210都是偶数….这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和,那么其他偶数又怎么样呢?上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征:从特殊情形开始,并且所有的特殊情形都要具有类似之处,这个类似之处正是归纳发现的基础.波利亚接着说:那么其他偶数又怎么样呢?它们也有类似的性质吗?当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6=3+3.看看超过6的数,我们发现8=3+510=3+7=5+512=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11.这样下去总是对的吗?波利亚想告诉我们的是,对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信,需要进一步验证.只有在较多的归纳检验证实的基础上得到的结论才能使我们更有信心.最后,波利亚说:无论如何,所看到的这些个别情况,至少可以启发我们提出一个一般性的命题:任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和.至此,实现了归纳推理的目标:一个一般性的结论(猜想).当然,波利亚还进一步说明了证明的必要性.从波利亚的这个案例我们可以发现,对归纳推理的教学应该突出说明以下几点:1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试,科学发现更不是纯属偶然的巧合,必须有一定的内因的驱动和信念的支撑.2、归纳推理的三个特点:从特殊开始的推理;由归纳推理得到的结论仅仅“似真”;归纳推理是一种创造性的推理.3、归纳推理的思维规程大致为:【活动一】1.观察下列等式,从中可以得出怎样的一般规律?2222=+++110002222=+++21100222231110=+++2222222242000,41111=+++=+++或 222252100=+++ 222262110=+++ 222272111=+++ 222282200=+++2222222293000,92210=+++=+++或22222222102211103100=+++=+++,或猜想:任何一个正整数都能表示为四个数的平方和. 2.在数列}{n a 中,()111,,2n na a a n N a *+==∈-,通过计算234,,a a a ,试猜想这个数列的通项公式. =2a a -21 =3a a a232-- =4a aa 3423--猜想=n a an n an n )1()2()1(-----)(*∈N n3.前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n =++++=+, 前n 个正整数的平方和22222()123?S n n =++++=从表中发现21()21()3S n n S n +=,于是猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=. 归纳推理要具备下述几个要素:1.多个特例综合分析;特例共性的发现:要存在某种相似性;共性的概括:猜想.归纳推理需要大量的原始数据,这是一个漫长的过程,在大数据时代,电脑已部分取代了这个过程,例如分析你的上网数据,分析你的喜好进行广告推送.但我们还有另外一种常用的推理方法.在高中数学学习中,指数函数与对数函数的类比,等差数列和等比数列的类比,平面几何和立体几何的类比,圆和椭圆和双曲线抛物线的类比,实数与虚数的类比等.(G 波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出它们类似的性质. 在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系: 加(+)乘(×) 加数、被加数 乘数、被乘数和积等等,它们具有下列类似的性质:试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦 截面圆 直径 大圆 周长 表面积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比:一般化为四边形,特殊化为正三角形,升维度为三棱锥,改平面为曲面等【活动二】1.选两个相关知识进行类比2.已知圆C 的方程是222x y r +=,则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=. 猜想新命题:1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.2.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或者一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). 【活动三】1.设x ,y 为实数,满足823≤+≤y x ,924≤-≤y x ,求yx 43-的最大值. 解:设y x y x n y x m 43)2()2(-=-++,则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩,即1-=m ,2=n ,将8(2)3x y -≤-+≤-,82(2)18x y ≤-≤两式相加 得15430≤-≤y x .根据以上解答过程进行类比,尝试解决下题:设x ,y 为实数,满足238xy ≤≤,249x y ≤≤,求34x y的最大值.(2021年江苏高考第13题) 设4322)()(yx y x xy n m=,由此可以求出1-=m ,2=n ,而2021江苏高考数学卷中的题目就体现出多种形式的类比思想。
高二数学导学案--合情推理苏教版选修2-2
2 3 4 5 , 3 , 4 , 5 , ( 3 8 15 24
2 2
) .
5、从 1 1 ,2 3 4 3 ,3 4 5 6 7 ห้องสมุดไป่ตู้ 中,得出的一般性结论 是 .
2 1鼠 猴 3 兔 猫 开始
(A)编号 1
1兔 猫 2 3鼠 猴 4
1猫 兔 2 猴 鼠 4 3 第二次
(C) 编号 3
1猴 鼠 2 猫 兔 4 3 第三次
(D) 编号 4
4
第一次
(B) 编号 2
4、下列各列数都是依照一定的规律排列,在括号里填上适当的数 (1)1,5,9,13,17, ( ) ; (2) 2
练习:111 例 2
小结归纳推理的特点:
例 3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
例 4、如图所示,已知图(1)中的面积关系: 试用类比的思想写出图(2)的体积关系
总结提高
练习:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间四面体性 质的猜想。
小结类比推理的特点:
四、随堂练习 1、已知数对如下: ( 1 ,1 ) , (1 ,2 ) , ( 2 ,1 ) , (1 ,3 ) ( 2 ,2 ) , ( 3 ,1 ) , ( 1 ,4 ) , ( 2 ,3 ) , ( 3 ,2 ) , ( 4 ,1 ) (1,5) , (2,4) ,… …,则第 60 个数对是_______
宿羊山高中高二数学导学案(5-1) 本案共 4 页 责任制作: 作业反馈
一、 课前预习 1、学习目标 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等方法进行简单的推理 2、预习练习
(1) 从______________ 推出___________ 的结论,这样的推理通常称 为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是
2019-2020学年苏教版选修2-2 合情推理(2) 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 合情推理(2)教案教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理.教学难点:用类比进行推理,做出猜想.教学过程:一、复习引入:1. 什么叫推理?推理由哪几部分组成?2. 合情推理的主要形式有.3. 归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式.4. 归纳推理的特点: .5.a,b 均为实数),请推测a=b=.二、创设情境在案例2中,由矩形对角线的某一性质,推出长方体的对角线具有类似的性质.这个推理过程是归纳推理吗?我们再看几个类似的推理实例:1.据传,春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发,发明了锯子.他的思维过程可能为:齿形草能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.2.试根据等式的性质猜想不等式的性质.等式与不等式有不少相似的属性,例如:三、构建新知上述几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理(reasoning by analogy),简称类比法.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想,归纳推理的思维过程:类似推理的思维过程:四、数学运用例1(G.波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出它们类似的性质.解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)乘(×)加数、被加数乘数、被乘数和积等等,它们具有下列类似的性质:表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆截面圆 弦大圆 直径周长表面积 圆面积球体积 五、学生探究1.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.2.若数列{a n }为等差数列,且()m n a x a y m n m n N +=,=≠,,∈,则m n mx ny a m n +-=-.现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N +)为等比数列,且m b x =,n b y = ()m n m n +N ≠,,∈类比以上结论,可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗?六、课堂总结1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.2.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或者一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).七、课后作业教材第68页练习第1题,第2题,第3题,第4题.。
高中数学选修2-2精品教案 2.1 合情推理与演绎推理(二)
§2.1 合情推理与演绎逻辑(二)【内容分析】:类比是重要的推理方法,在掌握一定的数学基础知识(如数列、立体几何、空间向量等等)后,对数学问题的探究方法加以总结,上升为思想方法。
【教学目标】:1、知识与技能:(1)结合数学实例,了解类比推理的含义(2)能利用类比方法进行简单的推理,2、过程与方法:通过课例,加深对类比这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观:体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
【教学重点】:(1)体会并实践类比推理的探索过程(2)类比推理的局限【教学难点】:引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A .①;B .①②; C .①②③; D .③3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是4)定义运算a *b=⎩⎨⎧>≤)()(b a bb a a 则对x ∈R ,函数f(x)=1*x 的解析式为__________。
5)三角形的面积公式为S =ah 21(a,h 分别表示三角形的边和该边上的高),类比四面体的体积V =6)在三角形ABC 中,AB CD C ⊥=∠,900于D ,则有AB AD AC ⨯=2,类比此性质,给出空间四面体的一个猜想,并判断该猜想是否正确。
答案: 1)s=lr 21 2)C3)正棱锥的侧棱长相等 4)f(x)=1*x =⎩⎨⎧>≤)1()1(1x xx5) 四面体的体积V =Sh 31(S,h 分别表示四面体的底面积和该面上的高) 6)在棱锥S -ABC 中,O C SO ,SAB 于平面平面AB SC ⊥⊥,则CAB OAB 2SAB S S S ∆∆∆⋅=(中等题)1)a,b 为实数,则由00=⇒=⨯a b a 或0=b ,类比向量运算中0=•b a 可以得出什么结论? 2)若三角形的内切圆半径为r 三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积)(21c b a r s ++=根据类比思想,若四面体的内切球半径为r ,四个面的面积分别为4321,,,s s s s ,则此四面体的体积V =_________3) 在ABC ∆中,若,,AB AC AC b BC a ⊥==,则ABC ∆的外接圆半径22a b r +=,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体S ABC -中,若SA SB SC 、、两两垂直,,,SA a SB b SC c ===,则四面体S ABC -的外接球半径R =_______.4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平行四边形ABC D 中,有AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2),那么在图2所示的平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,有AC 12+BD 12+CA 12+DB 12=( ).A .2(AB 2+AD 2+AA 12) B .3(AB 2+AD 2+AA 12)C .4(AB +AD +AA 1) D .4(AB +AD )答案:1)0=•b a 00==⇒b a 或或b a ⊥2)V =)(314321S S S S r +++3)2222a b c ++4)C(难题)1)若数列{}n a 是等差数列,对于)(121n n a a a nb +++=Λ,则数列{}n b 也是等差数列。
苏教版高中数学选修2-2 2.1.1合情推理 第2课时 学案
第2课时类比推理学习目标 1.了解类比推理的含义、特征,能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点,了解合情推理的合理性.知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征:(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星;(2)有大气层,在一年中也有季节更替;(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此,科学家猜想:火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理?答案类比推理.梳理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法.(2)类比推理的思维过程大致如图观察、比较―→猜测新的结论(3)特征:由特殊到特殊的推理.知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系?答案区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真可假.思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗?答案不一定正确.梳理(1)合情推理的含义合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.(2)合情推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想类型一 数列中的类比推理例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,________,________,T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4 T 12T 8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{b n }的公比为q ,首项为b 1,则T 4=b 41q 6,T 8=b 81q 1+2+…+7=b 81q 28,T 12=b 121q 1+2+…+11=b 121q 66, T 16=b 161q1+2+…+15=b 161q120, ∴T 8T 4=b 41q 22,T 12T 8=b 41q 38, T 16T 12=b 41q 54, 即(T 8T 4)2=T 12T 8·T 4,(T 12T 8)2=T 8T 4·T 16T 12, 故T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列.反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质,在类比过程中也有一些规律,如下表所示的部分结论(其中d ,q 分别是公差和公比):跟踪训练1 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =a 1+a 2+…+a nn (n ∈N *)也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列{c n }是等比数列,且c n >0,则有数列d n =________(n ∈N *)也是等比数列. 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =a 1+a 2+…+a n n(n ∈N *)也是等差数列.类比猜想:若数列{c n}是各项均为正数的等比数列,则当d n=n c1c2c3…c n时,数列{d n}也是等比数列.类型二几何中的类比推理例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解如题图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类似地,如图所示,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S 分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积,相对于直角三角形的两条直角边a,b 和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构,我们猜想S2=S21+S22+S23成立.反思与感悟(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2)中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,空间与平面,圆与球等等,比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下:跟踪训练2 在长方形ABCD 中,对角线AC 与两邻边所成的角分别为α,β,cos 2α+cos 2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想.解 在长方形ABCD 中,cos 2α+cos 2β=(a c )2+(b c )2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.类型三 合情推理的应用例3 我们已经学过了等差数列,你想过有没有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义;(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点,并加以说明; (3)在等和数列{a n }中,如果a 1=a ,a 2=b ,求它的前n 项和S n .解 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n +a n +1=a n +1+a n +2, 所以a n +2=a n .所以等和数列的奇数项相等,偶数项也相等. (3)当n 为奇数时,令n =2k -1,k ∈N *,则 S n =S 2k -1=S 2k -2+a 2k -1=2k -22(a +b )+a=n -12(a +b )+a =n +12a +n -12b ; 当n 为偶数时,令n =2k ,k ∈N *,则 S n =S 2k =k (a +b )=n2(a +b ).所以它的前n 项和S n=⎩⎨⎧n +12a +n -12b ,n 为奇数,n2(a +b ),n 为偶数.反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型,通过对某种概念的定义及性质的理解,类比出其他相似概念的定义和性质,很好地考查学生类比应用的能力,本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性.跟踪训练3 定义“等积数列”:在一个数列中,从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n }是等积数列,且a 1=2,公积为6,求这个数列的前n 项和S n .解 由定义,得a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n 为奇数,3,n 为偶数.前n 项和S n=⎩⎨⎧5n 2-12,n 为奇数,5n2,n 为偶数.1.下列平面图形中,与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________.(填序号) ①三角形;②梯形;③平行四边形;④矩形. 答案 ③解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互相平行. 2.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间上,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________. 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1,V 2, 则V 1∶V 2=13S 1h 1∶13S 2h 2=S 1h 1∶S 2h 2=1∶8.3.三角形的面积为S =12(a +b +c )r ,a ,b ,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得到四面体的体积为________.答案 13(S 1+S 2+S 3+S 4)r (S 1,S 2,S 3,S 4为四个面的面积,r 为内切球的半径)解析 △ABC 的内心为O ,连结OA ,OB ,OC ,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r ,底边长分别为a ,b ,c .类比:设四面体A -BCD 的内切球球心为O ,连结OA ,OB ,OC ,OD ,将四面体分割为四个以O 为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为r ,所以V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r .4.在平面几何中,有射影定理:“在△ABC 中,AB ⊥AC ,点A 在BC 边上的射影为D ,有AB 2=BD ·BC .”类比平面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系,可以得出的正确结论是:“在三棱锥A -BCD 中,AD ⊥平面ABC ,点A 在底面BCD 上的射影为O ,则有________________.” 答案 S 2△ABC =S △BOC ·S △BCD 5.已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为________.答案 a 1+a 2+…+a 9=2×9解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有a 1+a 2+…+a 9=9222个+++=2×9.1.在进行类比推理时,要尽量从本质上思考,不要被表面现象所迷惑,否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. 2.提高所得结论的准确性的常用技巧(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面,并尽可能是多方面.课时作业一、填空题1.下列几种推理是类比推理的是________.(填序号) ①内错角相等,两直线平行;②由平面三角形的性质,猜想空间四面体的性质; ③由数列的前几项,猜想数列的通项公式. 答案 ②解析 由类比推理的定义,得只有②为类比推理.2.已知x ∈(0,+∞),观察下列不等式:x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥3,…,类比有x +a x n ≥n+1(n ∈N *),则a =________. 答案 n n解析 由类比推理可得x +a x n =x n +…+x n +a x n ≥(n +1)·x n ·x n ·…·x n ·ax n =n +1,此时a =n n .3.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c ,类比这个结论可知:四面体A -BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,内切球半径为R ,四面体A -BCD 的体积为V ,则R =________. 答案3VS 1+S 2+S 3+S 4解析 设四面体的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是R ,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)R ,所以R =3VS 1+S 2+S 3+S 4.4.圆(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)在点P (x 0,y 0)处切线的方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2,由此类比,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)在点P (x 0,y 0)处切线的方程为______________.答案x 0x a 2+y 0y b 2=1 解析 类比过圆上一点的切线方程,可合情推理:椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)在点P (x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1.5.平面几何中,有结论:“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”.类比这一结论,将其拓展到空间,可得到结论:“__________________________________”. 答案 平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和解析 “平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”.6.二维空间中圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2;三维空间中球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =43πr 3;四维空间中“超球”的三维测度V =8πr 3,则猜想其四维测度W =________. 答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2,观察发现S ′=l .三维空间中球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =43πr 3,观察发现V ′=S .∴四维空间中“超球”的三维测度V =8πr 3,猜想其四维测度W ,则W ′=V =8πr 3,∴W =2πr 4. 7.已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是____________________.答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法,即正三角形的面积S =12ah =3×12ar ⇒r =13h .类比,用等体积法,V =13Sh =4×13r ·S ⇒r =14h .8.半径为r 的圆的面积S (r )=πr 2,周长C (r )=2πr ,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr 2)′=2πr ①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子②:______________________, ②式可以用语言叙述为:___________________________________________________. 答案 (43πR 3)′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析 通过给出的两个量之间的关系,类比球的体积公式和球的表面积公式,我们不难发现⎝⎛⎭⎫43πR 3′=4πR 2,从而使问题解决. 9.在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比S △AEC S △BEC =ACBC ,将这个结论类比到空间:在三棱锥A -BCD 中,平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 交于E ,则类比的结论为________________.答案V A -CDE V B -CDE =S △ACDS △BCD解析 平面中的面积类比到空间为体积,故S △AEC S △BEC 类比成V A -CDEV B -CDE .平面中的线段长类比到空间为面积, 故ACBC 类比成S △ACD S △BCD. 故有V A -CDE V B -CDE =S △ACD S △BCD.10.由图1有面积关系:S △P AB S △PCD =P A ·PBPC ·PD ,则由图2有体积关系:V P -ABC V P -DEF=________.答案P A ·PB ·PCPD ·PE ·PF解析 设点A ,D 到平面PBC 的距离分别为h 1,h 2,则h 1h 2=P A PD 且V P -ABC =13S △PBC ·h 1,V P -DEF =13S △PEF ·h 2,所以V P -ABC V P -DEF =P A ·PB ·PC PD ·PE ·PF11.下列类比推理中正确的个数是________. ①(ab )n =a n b n 与(a +b )n 类比,则有(a +b )n =a n +b n ;②log m (xy )=log m x +log m y 与sin(a +b )类比,则有sin(a +b )=sin ab ; ③(a +b )2=a 2+2ab +b 2与(a +b )2类比,则有(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2. 答案 1解析 对于①,令a =b =1,n =2,则(a +b )n =4,a n +b n =2,(a +b )n ≠a n +b n ,故①错误;对于②,令a =0°,b =30°,则sin(a +b )=12,sin ab =0,sin(a +b )≠sin ab ,故②错误;对于③,由平面向量的知识可知,③显然正确. 二、解答题12.已知:等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,有如下的性质: (1)通项a n =a m +(n -m )·d .(2)若m +n =p +q ,且m ,n ,p ,q ∈N *,则a m +a n =a p +a q . (3)若m +n =2p ,且m ,n ,p ∈N *,则a m +a n =2a p . 类比上述性质,在等比数列{b n }中,写出相类似的性质. 解 设等比数列{b n }中,公比为q ,前n 项和为T n . (1)通项b n =b n ·q n-m.(2)若m +n =p +q ,且m ,n ,p ,q ∈N *, 则b m ·b n =b p ·b q .(3)若m +n =2p ,且m ,n ,p ∈N *,则b 2p =b m ·b n . 13.已知命题:若数列{a n }为等差数列,且a m =a ,a n =b (m ≠n ,m ,n ∈N *),则a m +n =bn -am n -m .现已知等比数列{b n },类比等差数列,写出相似的性质.解 等差数列的通项a n 与项数n 是一次函数关系,等比数列的通项b n 与项数n 是指数型函数关系.利用类比可得b m +n =1()n n mm b a=n -m b n a m . 三、探究与拓展14.若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项和为S n ,则数列{S nn }为等差数列,且通项为S n n =a 1+(n -1)·d2,类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1,公比为q ,前n 项的积为T n ,则________________________. 答案 数列{n T n }为等比数列,且通项为nT n =b 1(q )n -1解析 T n =b 1·b 2·…·b n =b n 1·q 1+2+3+…+(n -1)=b n 1·q n (n -1)2,而n T n =b 1·q n -12=b 1(q )n -1,所以数列{nT n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列,其通项为nT n =b 1·(q )n -1.15.如图,已知O 是△ABC 内任意一点,连结AO ,BO ,CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则OA ′AA ′+OB ′BB ′+OC ′CC ′=1. 这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”:OA ′AA ′+OB ′BB ′+OC ′CC ′=S △OBC S △ABC +S △OCA S △ABC +S △OAB S △ABC =S △ABCS △ABC =1.运用类比猜想,对于空间中的四面体V-BCD ,存在什么类似结论?并用“体积法”证明.解 如图,设O 为四面体V -BCD 内任意一点,连结VO ,BO ,CO ,DO 并延长交对面于V ′,B ′,C ′,D ′,类似结论为OV ′VV ′+OB ′BB ′+OC ′CC ′+OD ′DD ′=1.类比平面几何中的“面积法”,可用“体积法”来证明.因为V O -BCD V V -BCD =13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h =OV ′VV ′(其中h ′,h 分别为两个四面体的高),同理V O -VCD V B -VCD =OB ′BB ′,V O -VBD V C -VBD =OC ′CC ′,V O -VBC V D -VBC =OD ′DD ′.所以OV ′VV ′+OB ′BB ′+OC ′CC ′+OD ′DD ′=V O -BCD V V -BCD +V O -VCD V B -VCD +V O -VBD V C -VBD +V O -VBCV D -VBC=1.。
2.1.合情推理-苏教版选修2-2教案
2.1. 合情推理-苏教版选修2-2教案教学目标通过本课的学习,学生能够:1.了解合情推理的概念和作用;2.学习合情推理的步骤和方法;3.运用所学知识,对实际问题进行合情推理。
教学重点1.合情推理的概念和作用;2.合情推理的步骤和方法。
教学难点如何运用所学知识进行实际问题的合情推理。
教学过程1.导入•引言:人们在日常生活中常常需要根据有限的信息进行推理,但由于信息不全或不完全可靠,我们往往会做出错误的结论。
那么,怎样才能用有限的信息做出正确的推理呢?今天我们要学习的就是如何进行“合情推理”。
2.学习•合情推理的概念:通过对信息进行分析,找到其中的共性和规律,从而得出正确的结论,这种推理方式被称为“合情推理”。
•合情推理的作用:合情推理能够帮助我们快速和准确地得出结论,尤其在信息量大、信息不完全时,其作用更为显著。
•合情推理的步骤和方法:1.分析问题,确定推理的目的;2.收集信息,筛选有用的信息;3.评价信息的可靠性,确定信息是否存在偏差;4.将信息进行分类,并找出其中的共性和规律;5.根据共性和规律,进行准确的推理,得出正确的结论。
•对于信息偏差和不完全的情况,我们可以采用以下方法:1.收集更多的信息,以丰富推理的依据;2.采用多种途径获取信息,减少信息偏差的可能性;3.与他人讨论,借鉴他人的意见和想法;4.对可能存在问题的信息进行分析和评价,减少其对推理结论的影响。
3.实践•将所学知识运用到实际问题的解决中,引导学生进行合情推理。
总结反思1.本节课学习了什么内容?2.合情推理的作用是什么?3.合情推理的步骤和方法是什么?4.我们在进行合情推理时需要注意哪些问题?5.我们如何将所学知识运用到实际问题的解决中?常见问题解答1.什么情况下需要进行合情推理?合情推理适用于对信息有限或不完全可靠的情况下的推理,尤其在信息量大、信息不完全时,其作用更为显著。
2.如何评价信息的可靠性?评价信息的可靠性需要考虑信息来源的可靠性、信息的真实性、信息的全面性等因素,一般可以通过多种途径获取信息,并进行比较和分析,减少信息偏差的可能性。
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2.1.1 合情推理
教学目标:
1.了解类比推理的概念和归纳推理的作用,懂得类比推理与归纳推理的区别与联系.
2.掌握类比推理的一般步骤. 3.能利用类比进行一些简单的推理. 教学重点:
了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理. 教学难点:
用类比进行推理,做出猜想. 教学过程: 一、
复习引入:
1. 什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2. 合情推理的主要形式有 .
3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式.
4. 归纳推理的特点: .
5.222233+=,333388+=,44441515+=,…,66a a
b b +=(a ,b 均
为实数),请推测a = b = . 二、创设情境
在案例2中,由矩形对角线的某一性质,推出长方体的对角线具有类似的性质.这个推理过程是归纳推理吗? 我们再看几个类似的推理实例:
1.据传,春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发,发明了锯子.他的思维过程可能为:齿形草能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的. 2.试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式与不等式有不少相似的属性,例如:
(1)a b a c b c a b a c b c ⇒⇒=+=+猜想>+>+;
(2)a b ac bc a b ac bc
⇒⇒
==猜想>>;
(3)2222
a b a b a b a b
⇒⇒
==猜想>>.
问这样猜想出的结论是否一定正确?
三、构建新知
上述几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理(reasoning by analogy),简称类比法.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想,归纳推理的思维过程:
类似推理的思维过程:
四、数学运用
例1(G.波利亚的类比)类比实数的加法与乘法,并列出它们类似的性质.
解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:
加(+)乘(×)
加数、被加数乘数、被乘数
和积
等等,它们具有下列类似的性质:
表2-1-2
加法的性质乘法的性质
a b b a
+=+ab ba
=
()()
a b c a b c
++=++()()
ab c a bc
=
()0 a a
+-=
1
()1 a
a
×=
a a
+=1
a a
×=
例2试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
实验,观察概括,推广猜测一般性结论
球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 截面圆 弦 大圆 直径周长 表面积 圆面积
球体积
五、学生探究
1.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 2.若数列{a n }为等差数列,且()m n a x a y m n m n N +=,=≠,,∈,则
m n mx ny
a m n
+-=
-.现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N +)为等比数列,且m b x =,n b y = ()m n m n +N ≠,,∈类比以上结论,可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗?
六、课堂总结
1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠. 2.类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物之间的相似性或者一致性.
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).七、课后作业
教材第68页练习第1题,第2题,第3题,第4题.。