第三章数学解题的思维过程1
数学解题思维
数学解题思维
数学是一门需要高度思维能力的学科，解题过程中需要运用到多种思维方法。以下是数学解题思维的主要方面：
1. 观察与理解
观察是理解题目的第一步。首先要对题目进行全面的观察，明确题目中涉及的概念、定理和条件。通过观察，可以初步理解题目的基本框架和解题思路。
2. 分析与综合
分析是将问题分解成若干部分，逐一进行思考和研究。综合则是将各个部分联系起来，从整体上把握问题。在解题过程中，需要将分析和综合结合起来，先对问题进行局部分析，再从整体上进行综合。
3. 抽象与概括
抽象是从具体问题中提取共同特征，形成一般规律的过程。概括则是将抽象出来的规律应用于具体问题的解决。在解题时，需要运用抽象和概括的能力，将问题的一般规律总结出来，再应用到具体题目中。
4. 推理与判断
推理是根据已知条件推导出结论的过程。判断则是根据推理的结果对题目进行正误判断。在解题时，需要运用推理和判断的能力，根据已知条件推导出结论，再对结论进行正误判断。
5. 归纳与演绎
归纳是从具体问题中总结出一般规律的过程。演绎则是将一般规律应用于具体问题的解决。在解题时，需要运用归纳和演绎的能力，先从具体问题中总结出一般规律，再将其应用于具体题目中。
6. 创新与尝试
创新是在原有知识基础上进行新的尝试和创造的过程。尝试则是为了达到某种目的而进行的有针对性的试验。在解题时，需要运用创新和尝试的能力，尝试新的解题思路和方法，寻找最佳的解决方案。
7. 检验与修正
检验是验证答案是否正确的过程。修正则是根据检验结果对答案进行修正和完善。在解题时，需要运用检验和修正的能力，对答案进行验证和修正，确保答案的准确性和完整性。
提高数学的解题能力(陈勇)
如何提高数学的解题能力？
要想提高数学的解题能力，必先认识数学解题的思维过程及其规律！！
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段,即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
数学解题的思维训练方法与应用策略
数学解题的思维训练方法与应用策略数学解题的思维训练方法与应用策略
数学作为一门抽象并且逻辑性极强的学科，在解题过程中需要运用特定的思维方式和应用策略。本文将探讨一些数学解题的思维训练方法和应用策略，帮助读者在数学解题中更加得心应手。
一、培养逻辑思维能力
数学解题过程中，逻辑思维能力是至关重要的。逻辑思维能力包括分析问题、归纳总结、推理判断等方面。要培养逻辑思维能力，可以从日常生活中的各种问题开始。
比如，在日常生活中，可以试着分析一些简单的问题，如：早上起床后应该先刷牙还是先洗脸？通过观察、分析和推理，可以得出一个合理的结论。这样的思维训练可以帮助我们在数学解题中更加清晰地思考问题。
二、灵活运用数学定理
数学定理是解题过程中的重要工具，我们要善于灵活运用这些
定理。在实际解题中，可以通过大量的习题练习，加深对数学定
理的理解和掌握。
比如，对于解题中常用的勾股定理，我们可以通过大量的勾股
定理习题来提高对这个定理的运用能力。此外，还可以试图将数
学定理应用到不同的领域，如将三角函数理论应用到力学问题中，通过这样的实际运用，我们可以更深入地理解数学定理，并将其
灵活运用于不同的数学解题中。
三、培养问题解决能力
数学解题过程中，面对各种各样的问题是常态。培养问题解决
能力可以帮助我们更好地解决这些问题。问题解决能力包括问题
分析、解题方法选择和解决方案评估等方面。
在培养问题解决能力时，我们可以通过举一反三的思路来解决
一些复杂的问题。比如，当我们遇到一个难题时，可以尝试从简
单的例子入手，找到规律，并应用到原问题中。此外，还可以通
例谈数学解题的思维过程
数学方法论认为，数学对于一个人素质的养成，并不仅仅是掌握一定的数学知识，而是通过数学知识的学习，培养能力，锻炼思维，进而通过思维的训练，提高解决问题的能力和创新能力，成为具有数学素养的一员，为本职工作提供帮助。
在现今的高职数学教学中，由于数学是一门基础课不是专业课，加之学生数学基础差，底子薄，所以许多数学教师就把数学知识、结论直接灌输给学生，要求他们记忆模仿做大量的练习，以期通过“题海战术”来提高学生解决问题的能力，结果往往事与愿违。笔者认为，要想从根本上提高学生的思维能力和解决问题的能力，除了要让学生掌握概念、定理等基础知识外，还必须让学生学会如何利用这些概念、定理去解决问题，以及在解决问题过程中出现障碍时，如何控制和调节自己的思维，使问题得到有效解决。因此，剖析解题的思维过程，使思维在解题过程中得以有效展开，对于培养学生的思维能力，进而提高解决问题的能力是非常必要的。
一、数学问题与数学思维
美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos)指出：数学定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏，解决问题是数学活动的基本形式。数学家波利亚的“怎样解题表”给出了解题的四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。因此，不断地提出问题、分析和解决问题成为数学学习和研究的根本。
许多专家认为，所谓数学问题主要是指对于解题者具有一定的接受性、障碍性和探究性的一些情形或问题。而解决数学问题可以看作是数学思维的一个基本过程。由于解题重视的是使用信息和事实的能力，是解题的思维过程和思维策略，是构造算法或模型的设计技巧，是把非常规题变换为常规题的转化能力，因此数学思维贯穿于解题过程的始终。
怎样解题数学思维的新方法(一)
怎样解题数学思维的新方法(一)
1. 理解问题
•首先，要仔细阅读题目，理解问题的意思。
•确定问题所涉及的知识点，列出相关公式和定义。
•分析题目，找到问题的关键词和限制条件。
•利用图表或示意图辅助理解问题。
2. 制定解题策略
•根据问题的特点和所学知识，确定解题策略。
•选择适当的方法，例如：列方程、画图、分类讨论等。
•将解题策略转换为清晰明确的步骤。
3. 执行解题策略
•按照设定的步骤进行思考和计算。
•注意细节，检查计算过程和结果的正确性。
•如果发现错误，重新查找并改正错误。
4. 总结和反思
•回顾整个解题过程，总结成功的部分和失败的部分。
•总结学习到的知识点和解题策略。
•找到不足之处，为今后的学习和解题奠定基础。
5. 培养数学思维
•练习各种类型的数学题目，培养数学思维。
•鼓励自己思考和尝试，不害怕犯错误。
•与同学讨论解题思路和方法，相互学习和借鉴。
解题数学思维是一项重要的能力，需要不断的练习和培养。通过
以上方法的实践，能够帮助你理解题目，制定有效的解题策略，提高
解题的效率和准确性，同时也会培养出一定的数学思维和解决问题的
能力。
6. 拓展思维
•拓展思维是指在解决问题时，超出自身已有知识和技能，运用创新思维去思考。
•在解题过程中，可以尝试创新思维，例如联想思维、逆向思维等方法。
•拓展思维可以培养出学生的创新能力，提高自身的综合素质。
7. 善于运用技巧
•学习解题技巧可以帮助我们更快、更准确地解决问题。
•常用的解题技巧，例如：代入法、差值法、反证法、逆向思维等。
•在解题过程中，可以灵活运用各种解题技巧，加深对问题的理解和思考。
数学思维数学题解决方法的讲解
数学思维数学题解决方法的讲解数学思维，作为一种重要的思考方式，具有普适性和实用性。在解决数学问题的过程中，恰当地运用数学思维可以提高问题解决的效率和准确性。本文将重点探讨数学思维在解决数学题中的应用方法，并介绍数学题解决的一般步骤。
一、数学思维的应用方法
1. 归纳法
归纳法是数学思维中常用的一种方法。在解决数列、概率、几何等问题时，我们可以通过观察现象的规律，总结出通用的结论。例如，对于一个等差数列，我们可以根据前几个数的差值的规律，推导出后续任意一个数的求法。
2. 反证法
反证法是一种常用的证明方法，也可以应用到解决数学问题中。当我们无法直接给出问题的解答时，可以设定一个错误的假设，然后通过分析矛盾之处，得出问题的正确解答。例如，在证明奇数加奇数仍为奇数时，可以假设奇数加奇数为偶数，然后通过分析得出矛盾，说明了原假设的错误。
3. 数学模型
数学模型是将实际问题转化为数学问题的一种方法。通过建立适当的数学模型，我们可以对问题进行抽象和分析，从而更好地理解问题
的本质。例如，在解决运动问题时，可以建立位移、速度、加速度等物理量之间的数学关系，来描述运动的过程。
4. 分类讨论
当面对一个复杂的问题时，我们可以通过分类讨论的方法，将问题分解为若干个简单的情况进行处理。通过对每一种情况的分析，再进行综合，最终得出整个问题的解答。例如，在解决概率问题时，可以将问题分为互斥事件和非互斥事件两种情况进行考虑，然后分别计算概率最后进行整合。
二、数学题解决的一般步骤
1. 阅读题目
在解决数学题之前，我们首先需要认真阅读题目，理解题目所给条件和要求，确定解题的目标。通过仔细阅读，可以避免因为对题目理解有偏差而导致的错误解答。
高三数学知识点：解题能力
高三数学知识点：解题能力
高三数学知识点：解题能力
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中，通常解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始;
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心;
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实质，是解题思维活动的重要组成部分;第四阶段的反思问题是一个思维活动过
数学题目的解题过程与思路
数学题目的解题过程与思路
数学作为一门学科，无论在学校还是在生活中，都扮演着重要的角色。解题是
数学学习的核心，也是培养逻辑思维和问题解决能力的重要途径。本文将探讨数学题目的解题过程与思路，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
一、审题与理解
解题的第一步是仔细审题与理解题意。这一步至关重要，因为只有理解了题目，才能确定解题的方向和方法。在审题时，我们应该注意题目中的关键词和条件，并将其转化为数学符号或方程式。同时，我们还需要思考题目的背景和意义，以便更好地理解问题的本质。
例如，假设我们遇到了一道求解方程的题目：“已知一条直线过点(2,3)，斜率
为2，求该直线的方程。”在审题时，我们需要注意到题目中的关键词“直线”、“斜率”和“方程”。通过理解题目，我们可以将问题转化为求解一条直线的方程，而已
知条件是直线过点(2,3)和斜率为2。这样，我们就可以进入下一步解题过程。
二、确定解题方法
在理解题意后，我们需要确定解题的方法。数学问题的解法多种多样，我们需
要根据题目的特点和已有的数学知识来选择合适的方法。常见的解题方法包括代数法、几何法、数列法等等。
以求解方程的例子为基础，我们可以选择代数法来解决这个问题。根据已知条件，我们知道直线的斜率为2，可以使用直线的斜率截距式来确定方程。根据公式
y = kx + b，我们可以将已知条件代入方程中，得到3 = 2(2) + b，进而求解出b的
值为-1。最终，我们可以得到直线的方程为y = 2x - 1。
三、列方程与求解
在确定解题方法后，我们需要列方程并进行求解。列方程是将问题转化为数学
数学解题的思维分析
数学解题的思维分析
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，可简要总结为弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧：
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或
例说数学解题的思维过程
例说数学解题的思维过程
陕西师范大学数学系罗增儒
在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注。暴露概念的形成过程，暴露命题的
发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动，但是，这种暴露大多停留在可见事实的陈述上，而内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来。本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去。先给出题目：
两直线被第三条直线所截，外错角相等，则两直线平行。
1.浮现数学表象
通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形(几何型
表象)，与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象)：由数量关系去确定位置关系。
在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3 个展开的起点。
(1)由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如
两直线被第三条直线所截，有：
1）同位角相等⇔两直线平行；
2）内错角相等⇔两直线平行。
……
这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来。
(2)由条件∠1= ∠2(数量关系)所唤起的问题有：
1）由角的相等关系能得出什么?
2）图1 中有与∠1 相等的角吗?
3) 图1 中有与∠2 相等的角吗?
……
一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但
随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来。
(3) 由结论AB∥CD(位置关系)所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件?题目提供
了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供没有？
数学解题思维
解 C 为钝角， tgC 0 .在ABC 中 A B C C ( A B) 且 A、B均为锐角，
tgA tgB tgC tg ( A B) tg ( A B) 0. 1 tgA tgB tgA 0, tgB 0,1 tgA tgB 0.即tgA tgB 1.
已知 a, b, c, d 都是实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d ) 2 .
证明
ห้องสมุดไป่ตู้不妨设 A(a, b), B(c, d ) 如图 1－2－1 所示，
则 AB (a c) 2 (b d ) 2 .
OA a 2 b 2 , OB c 2 d 2 ,
思维障碍
2 2
已知 3x 2 2 y 2 6x ， 试求 x 2 y 2 的最大值。
3 2 由 3 x 2 y 6 x 得 y x 3 x, 2 3 2 1 9 2 2 2 2 x y x x 3x ( x 3) , 2 2 2 9 2 2 ∴当 x 3 时， x y 取最大值，最大值为 . 2
转化 是解数学题的一种十分重要的思维
方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就 是 把复杂问题转化成简单问题， 把抽象问题转化成具体问题， 把未知问题转化成已知问题。
数学问题解题步骤与思考方法
数学问题解题步骤与思考方法
数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，解题过程中的步骤和思考方法对于学生来说至关重要。本文将介绍一些解题步骤和思考方法，帮助中学生和他们的父母更好地应对数学问题。
1. 理解问题
首先，理解问题是解题的关键。学生在解题前应仔细阅读问题，确保对问题的要求和条件有清晰的理解。可以通过画图、列式子等方式将问题形象化，帮助理解问题的意义和难点。
例如，有一道题目：“小明有一些苹果，小红给他5个苹果，小明的苹果总数变为原来的两倍，求原来小明有多少个苹果。”学生可以通过画图表示小明原来的苹果数量，再根据小红给他的苹果数量进行计算，最后得出答案。
2. 分析问题
在理解问题的基础上，学生需要分析问题，找出解题的关键点和规律。通过分析问题，可以确定解题的方法和步骤。
例如，有一道题目：“甲、乙、丙三个人共有钱数1万元，甲比乙多3000元，乙比丙多2000元，求三个人各自的钱数。”学生可以通过设定未知数、建立方程组的方式进行分析，找出三个人各自的钱数。
3. 制定解题计划
在分析问题后，学生需要制定解题计划，确定解题的步骤和方法。解题计划可以根据问题的难易程度和个人的解题习惯进行调整。
例如，有一道题目：“一个数的百分之一是12，这个数是多少？”学生可以制定解题计划，先将百分数转化为小数，再通过等式进行计算，最后得出答案。
4. 执行解题计划
在制定好解题计划后，学生需要按照计划执行解题步骤。在执行过程中，要注意计算的准确性和规范性，避免出现计算错误。
例如，有一道题目：“一个数的百分之一是12，这个数是多少？”学生可以按照解题计划，先将百分数转化为小数，再通过等式进行计算，最后得出答案。
河北省邢台市南宫中学关于2020年高考数学 解题的思维过程解读
高考数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
数学解题的思维导梳理解题思路
数学解题的思维导梳理解题思路数学解题是学习数学过程中的重要环节，对于培养学生的逻辑思维
能力和解决实际问题的能力具有重要作用。在解题过程中，掌握一定
的解题方法和思维导向能够帮助学生更好地应对各种数学问题。本文
将从理解题目、分析问题、建立数学模型、解决问题和总结经验等方
面整理数学解题的思维导梳理解题思路。
一、理解题目
在解题之前，首先要对题目进行充分的理解。理解题目是解题的第
一步，也是解题成功的关键。在理解题目时，可以采取以下步骤：
1. 通读题目：仔细阅读题目，了解题目所给的条件和要求，了解问
题的背景和相关信息。
2. 提取关键信息：将题目中的关键信息提取出来，包括已知条件和
需要求解的未知量。
3. 理清问题要求：明确问题所要求的解答形式，例如求解方程的解、计算数值等。
4. 解释问题：用自己的话解释题目意思，确保自己对问题的理解准确。
二、分析问题
理解题目后，需要对问题进行分析。分析问题的目的是找出解决问
题的关键要点和思路。在分析问题时，可以采取以下方法：
1. 确定问题类型：对题目进行分类，确定问题的类型，例如代数问题、几何问题等。
2. 归纳问题特征：分析问题的特点和规律，总结出解题的一般方法
和步骤。
3. 寻找问题的边界条件：确定问题的限制条件和约束条件，了解解
题的范围和限制。
4. 设立问题的转化：将问题转化为容易理解和求解的形式，简化问
题的难度。
三、建立数学模型
分析问题后，需要根据题目给出的条件和要求建立数学模型。建立
数学模型是解题的关键步骤，是将问题抽象为数学符号和方程的过程。在建立数学模型时，可以参考以下方法：
数学解题技巧与思考
数学在工程技术中的运用
结构设计与 优化
提高工程的稳定 性和安全性
数据分析和 模拟
帮助工程师做出 准确的决策
数学在商业领域的应用
01 风险管理和决策分析
帮助企业降低风险并做出明智的决策
02 金融建模与投资策略
为投资者提供更精准的分析和预测
03
数学在日常生活中的运用
财务管理与税收规 划
帮助个人规划财务收支， 实现财务自由 优化税务筹划，减少税负
社会影响
贡献
数学思维的发展可以推动 科学技术的进步，促进社 会的发展和创新。
具备良好的数学思维可以 为社会作出更多的贡献， 推动社会进步。
数学思维的重要性
01 个人成长
数学思维的发展对个人的职业发展和个人成 长至关重要。
02 社会影响
数学思维对社会的科技进步和创新起着关键 作用。
03 未来发展
培养良好的数学思维可以为未来的挑战做好 准备。
数学解题技巧与思考
汇报人：XX
2024年X月
第1章 数学解题技巧与思考 第2章 简单数学问题的解决 第3章 复杂数学问题的解决 第4章 数学思维与创新 第5章 数学解题的实践应用 第6章 总结与展望
目录
● 01
第1章 数学解题技巧与思考
概述数学解题技巧
数学解题技巧是数学学习的基础，熟练掌握基本 算术运算、理解数学概念与公式以及掌握解题思 路和技巧是解题的关键。
数学解题思维方法
数学解题思维方法
数学解题思维方法
数学解题的思维方法很多，如分析法，综合法，变更问题法，试验法，联想法，换元法，数形结合法，构造法，待定系数法，等等。以下是店铺为大家整理的数学解题思维方法，仅供参考，希望能够帮助到大家。
数学解题思维方法篇1
在小学数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。
抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。形式思维是辩证思维的基础。
形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。
辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。
小学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：
(1)思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。
(2)思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。
(3)思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。
(4)思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。
1、对照法
如何正确地理解和运用数学概念？小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、
牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少？
对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
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例 1解不等式：
x 1 x
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
分析：令x tan (
2
1 x2 0. 2 1 x
例2已知： cos cos 2m,sin sin 2n. 求 tan tan 的值。
分析：在单位圆上取点（ A cos ,sin）B(cos ,sin ), 则AB的中点M （m，n） , 且AB OM . m 直线AB方程：y n ( x m), n 代入x 2 y 2 1, 消去y得关于x的二次方程 (m2 n 2 ) 2 n 2 (m2 n 2 ) 2 m2 cos cos . sin sin . 2 2 2 2 m n m n
2 2 2 2
二.解题思维过程的三层次 罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，将 德国心理学家邓克尔的三个层次在数学解题思维过程 中的作用解释为： 1、一般性解决：即在策略水平上的解决，以明 确解题的大致范围或总体方向，这是对思考做定向调 控。 2、功能性解决：即在数学方法水平上的解决， 以确定具有解决功能的解题手段。这是对解决做方法 选择。 3、特殊性解决：即在数学技能水平上的解决， 以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推 理步骤，这是对细节做实际完成。
2 2
三、解题思维过程的预见图 数学解题是一种探索性思维。在《数学的发现》 一书中，波利亚将其观点进行进一步发挥，对各个细 节进行了具体分析，认为探索性思维中最关键的环节 是提出一个有希望的合理的猜测，即作出某种预见。 预见需要一定的知识准备和思维活动,波利亚将 这一过程总结为一个正方形图解式,处于正方形顶点、 边和中心的关键词有:动员、组织、分离、结合、回 忆、辨认、重组、充实、预见.
c2 n 1 a2 n 1 a2 n
9 (解为 ） 2
13 1 n 1 5 1 n ( ) , c2 n a2 n a2 n 1 ( ) . 6 3 2 3
考虑具备功能性的程序有：求出x0的表达式；确定 x0的表达式中自变量的取值范围；运用适当的知识 推出结论。 特殊性解决：具体实施功能性解决中的方法程序。
分析：取点（ A a cos ,b sin ）B(a cos , b sin ),
a b 由 PA PB , 得x0 (cos cos ).可证。 2a
第三章 数学解题的思维过程
第一节 解题过程的思维分析
解题的过程是思维的过程，其中既有逻辑思维，又有 直觉思维；有分析与综合､抽象与概括､比较与类比，也有 归纳与猜想､观察与尝试､想象与顿悟，是一个极其复杂的 心理过程。 一、 “观察----联想----转化”解题“三部曲” 1、观察是联想的基础，在观察中认识特征。 观察是人们认识事物､增长知识的最基本的途径，是 发现和解决问题的前提。 观察是积极的，有意识的，而不应是消极的､被动的。 通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有意识地去 寻找各种特征､联系，从比较中发现问题，从变化中寻找 特点，特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系， 同时，不仅解题开始要观察，在解题过程中也要观察，以 便根据解题的不断变化，作出相应的决断。
2、联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径。
人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有一 定的趋向性。数学解题的定向，取决于观察问题的特 征所作出的相应的联想，即从问题的条件和结论出发， 联想有关知识，从中寻找途径。
3、转化是解题的手段，在转化中确定方案
从前面讨论过的解题实质表明，解题过程是通过 转化得以完成的。从问题的具体特征，联想有关知识 后，解题就有了定向，这时需要朝这个方向去努力， 寻求转化关系，使问题应用联想的知识来解决，也就 是在转化中确定方案。
（2）设这个方程的另一根是i，则
例5
已知数列a1 , a2 ...an ...相邻两项an , an 1是
2
1 n 方程x cn x ( ) 0的两根，且a1 2.求无 3 穷数列c1 , c2 ...cn ,...的和。 an 2 1 1 n 1 1 n 得 , 分析：由an an 1 ( ) , an 1 an 2 ( ) ； an 3 3 3 1 n 1 1 1 n 则a2 n 1 2 ( ) , a2 n ( ) ， 再由 cn an an 1得 3 2 3
x2 y2 例3 已知椭圆 2 2 1( a > b 0)，A、B是椭圆上的 a b 两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点P(x0 ,0)。 a 2 b2 a 2 b2 证明： x0 . a a 一般性解决：要证明的结论是x0的取值范围，而x0
是由A，B坐标确定，因而问题相当于确定函数的 值域，这就从大方向上解决了题目。 功能性解决：为确定函数的值域，在操作层面上需
辨认 动员 回忆 分离 预见 充实 结合 重组 组织
例4 已知a1 , a2 , L , an , L 成等差数列，且诸ai 及公差都是 非零实数，考虑方程ai x 2 2ai 1 x ai 2 0(i 1, 2, L ). (1)证明这些方程有公共根，并求出这个公共根。 1 1 1 , ,L , , L 成等差数列。 1 1 2 1 n 1 分析：(1)根据等差数列，等差中项的性质，x=-1; ai 2 (2)由韦达定理，i ai ai 1 1 得 ai . i 1 ai 2 ai 2d
2
),即解 sin cos 2 0.
法2：两式平方相加求出 cos( ) 2(m2 n 2 ) 1
已知条件和差化积得tan(α+β)/2,
m n 从而求出cos(α+β)= 2 2 m n
2 2
再将所求式子积化和差代入即可得到：
(m n ) m tan tan 2 2 2 2 (m n ) n