专题——三角函数及解斜三角形

专题——三角函数及解斜三角形一 任意角的三角函数1角α和β终边相同：Z k k ∈︒⨯+=360αβ2几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置 角的集合X 轴正半轴 {}Z k k ∈︒⨯=,360|ααY 轴正半轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα X 轴负半轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|αα Y 轴负半轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|ααX 轴 {}Z k k ∈︒⨯=,180|ααY 轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα坐标轴 {}Z k k ∈︒⨯=,90|αα3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π4弧长公式：r l ||α= （α是圆心角的弧度数）5 扇形面积公式：2||2121r r l S α==6 三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么sin y r α=； cos x r α=； tan yxα=； （cot x y α=； sec r x α=； csc r yα=）7 三角函数的符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值y r对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值x r对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

8特殊角的三角函数值：α0 6π 4π 3π 2π π23π sin α 0 21 22 23 1 01-cos α 1 23 22 21 0 1-0 tan α33 1 3 ∞∞αⅠ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin α + + － － cos α + － － + tan α + － + － cot α+－+－cot α∞ 3 133 0 ∞ 09三角函数的定义域、值域：函 数定 义 域值 域sin y α= R [1,1]- cos y α=R[1,1]-tan y α={|,}2k k Z πααπ≠+∈R10诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= sin α-； c o s (180)α+=- cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-= ； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=- ； cos(360)cos αα-=－α απ-απ+ απ-2()Z k k ∈+απ2απ-2sin －sin α sin α －sin α －sin α sin α cos α coscos α－cos α－cos αcos αcos αsin α（1）要化的角的形式为180k α⋅± （k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。

同角三角函数的基本关系1倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=2商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα=3平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=二 三角恒等变换 1和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-3降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+= 4半角公式2cos 12sinαα-±=；2cos 12cosαα+±=；1cos sin 1cos tan21cos 1cos sin ααααααα--=±==++ 5万能公式22tan2sin 1tan2ααα=+；221tan 2cos 1tan2ααα-=+；22tan 2tan 1tan2ααα=-6积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=7和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-；2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-8三倍角公式：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43- 9辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+2222sin cos b a a ba bϕϕ==++其中，三 三角函数的图像与性质1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈3函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象5 由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置6对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y 值，再描点作图三角函数的最值及综合应用1y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y = 22a b +sin （x +ϕ）2y =a sin 2x +b sin x +c 型 常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型：3y =dx c b x a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型 （2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作）4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-∙，求它们的范围，一般是令s i nc o x x t+=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒∙=或21sin cos 2t x x -∙=-，转化为关于t 的二次函数来解决5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值： 如已知tan 2x =，求22sin 2sin cos cos 4x x x x +⋅++的括常数项的式子的分母1用22sin cos x x +代换，然后分子分母同时除以2cos x 化为关于tan x 的表达式6．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式； 1±sin α 可化为⎪⎭⎫⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式； 或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭ ()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握．7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tan x 、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．9三角函数的奇偶性① 函数y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k ． ② 函数y = sin (x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ．③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ．④ 函数y = cos (x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ． 10正切函数的单调性正切函数f (x ) = tan x ，2ππ+≠k x ()Z ∈k ，在每一个区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，()Z ∈k 上都是增函数，但不能说f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数． 四 解斜三角形1.1、正弦定理及其变形； 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 是三角形外接圆的半径）变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R= 变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c = 1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-，变式：222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-，变式：222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式： 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===。