九年级数学上册 2.7二次函数与一元二次方程教案 鲁教版【教案】
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教学设计
22.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一、内容和内容解析1、内容二次函数与一元二次方程的联系2、内容解析之前学习过从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，本节课讲从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系。
如果二次函数的图像与x轴有交点，则交点的横坐标是相应一元二次方程的根，但有些二次函数的图像与x轴有交点并不是整点，无法从图像上读出一元二次方程的解。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：明确方程与函数之间的联系，会根据二次函数的图像用无限逼近法求一元二次方程的近似解。
二、目标和目标解析1、目标（1）理解是抛物线与x轴的交点的横坐标即为相应一元二次方程的根（2）知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况（3）会根据二次函数图像用无限逼近法求一元二次方程的近似根2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能通过求一元二次方程的根得到抛物线与x轴的交点坐标，或者学生通过抛物线与x轴交点的横坐标得到一元二次方程的根。
达成目标（2）的标志是：学生能通过求一元二次方程的根的情况得到抛物线与x轴的交点的个数，或者学生通过抛物线与x轴交点的个数得到一元二次方程的根的情况。
达成目标（3）的标志是：学生会根据抛物线与x轴的交点找到一元二次方程的根的范围，通过取平均值用无限逼近法不断缩小根所在的范围，进而得到根的近似值。
三、教学问题诊断分析学生在《一次函数》一章中，已经学习过一次函数与一元一次方程的联系。
在上一章学习过解一元二次方程，本章又刚学习了二次函数的图像的性质，在本节课中，又设计了探索二次函数与一元二次方程的联系，这需要教师的启发和引导。
基于以上的分析，本节课的教学难点是：理解二次函数的图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
四、教学过程设计1、创设情景，实践引路问题1 问题1 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2．（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：由学生分小组讨论，得到解决方案，通过观察对比，教师找到或引导学生得到两个解决方案，并由学生上台展示自己的解题方案，第一个是用一元二次方程解题，第二个用函数图像解题，再引导学生对比两个方案。
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数与一元二次方程(2)》参考教案
3.7 二次函数与一元二次方程（2）教学目标(一)教学知识点1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．2．进一步发展估算能力．(二)能力训练要求1．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．2．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．教学重点1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学方法学生合作交流学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§3.7.2A)第二张：(记作§3.7.2B)第三张：(记作§3.7.2C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．投影片：(§3.7.2A)下图是函数y＝x2＋2x－10的图象．[师]从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．[生]有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根)．[师]由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算．[生]从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取负的4点3几．再按同样的方法求百分位上的数字．依次类推，即可求出比较准确的x的值．[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行，但我们的重点是求解方程的思路，而不是求解的结果．因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位．[生]因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．[师]有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．[生]另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索．由于当x＝2.3时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝2.3．[师]还有其他的方法吗？[生]有，可以把－5与－4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：投影片：(§3.7.2B)二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根．但是还与上面的题型不太一样．上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？[生甲]利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根．[生乙]也可以在上题的基础上进行，利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y ＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．[师]究竟哪一种方法正确呢？我们下面就来验证一下．[生甲]函数y＝x2＋2x－13的图象如下图(投影片§3.7.2C)：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：因此x＝2.7是方程的另一个近似根．[生乙]分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．Ⅲ．课堂练习P109随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标，发展估算能力．Ⅴ．课后作业习题3.16Ⅵ．活动与探究一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根与二次函数y＝x2－4x＋2的图象有何关系？请你把方程的根在图象上表示出来．解：一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根可以看成函数y＝x2－4x＋2的图象与直线y＝－1的交点的横坐标．图象略．板书设计§3.7.2 二次函数与一元二次方程(二)一、1．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10的根(投影片§3.7.2A、B)．2．做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
（1）教师给出练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）教师挑选部分学生的作业进行展示、讲解，总结解题方法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结二次函数与一元二次方程的知识点，梳理知识结构。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与一元二次方程的知识点。
（2）学生分享自己的学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（3）教师总结归纳，强调重点，指出易错点，为课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，加深对二次函数与一元二次方程概念的理解。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。
2.从生活中的实际问题出发，选取一个案例，将其抽象为二次函数与一元二次方程模型，并求解。要求撰写解题过程，明确解题思路和方法。
3.小组合作，共同完成一道拓展题。题目如下：
拓展题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象，求该抛物线与x轴的交点坐标。
要求：各小组通过讨论、探究，给出至少两种解题方法，并在课堂上分享解题过程和心得。
4.培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。
初中数学《二次函数与一元二次方程》教案
教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。
鲁教版-数学-九年级上册-3.7 二次函数与一元二次方程(2) 教案
二次函数与一元二次方程（2）教学目标：1．巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h （h 是实数）图象交点的横坐标．2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h 的根的近似值的探索得到的过程.3．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系． 教学过程一、仔细观察、大胆联想问题：函数y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示，x=31为该图象的对称轴，根据图象 信息你能得到关于系数a ，b ，c 的一些什么结论？分析点拨：⑴a ＞0⑵ -1＜c ＜0⑶b2-4ac ＞0;⑷∵x= 31, ∴2a=-3b;⑸由⑴，(4)得b ＜0⑹由⑴,⑵,⑸得abc ＞0;⑺考虑x = 1时y ＜0，所以有a+b+c ＜0⑻又x = -1 时y ＞0，所以有a-b+c ＞0;⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜c-a b 42＜-1.活动目的：通过一道开放性的训练题，来训练学生由“形”到“数”的形数结合能力，由于结论开放，可以考察出不同层次学生的思维能力，观察问题的是否仔细、全面.教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论的形式，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识和团队精神.实际教学效果：由于本练习题思考解决的入手点的多样性，学生回答问题的积极性很高，小组间的议论很热烈.教学中，我开展了看哪个小组得到的结论多的活动，同学们之间、学习小组之间的竞争气氛被很好的调动起来.有的小组得到了5个结论，有的小组得到了6个结论，我及时带领同学再认真从不同角度审图，精简点拨之后，又有些小组受到启发，踊跃抢答.当同学们回答完我事先准备好的答案后，他们还提出了另一些结论：如a+2b+4c ＜0，a acb 42 ＜2等.课堂的气氛被学生精彩的回答渲染的非常热烈.二、课前热身、耐心填一填活动内容： 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度ym 与飞行时间xs 的关系满足 y=x2+10x ．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？解：（1）∵y=x2+10x ． ∴y=﹣（x2﹣50x ）， ∴y=﹣（x ﹣25）2+125． ∵a=﹣＜0，抛物线有最大值，∴x=25时，y 最大=125．∴经过25s ，炮弹达到它的最高点，最高点的高度是125米；（2）当y=0时，x2+10x=0，∴x1=0，x2=50．∵x ＞0，-1 -11∴x=50答：经过50s，炮弹落在地上爆炸．三、拓展延伸利用函数y=x2﹣x﹣3的图象，借助计算器探索方程x2﹣x﹣3=0的介于﹣3与﹣2之间的根（精确到0.1）解：方程x2﹣x﹣3=0的根是函数y=x2﹣x﹣3与x轴交点的横坐标．作出二次函数y=x2﹣x﹣3的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在﹣3与﹣2之间，另一个在2和3之间．求﹣3与﹣2之间的根，当x=﹣2.2时，y=﹣0.14；当x=﹣2.3时，y=0.105；因此，x=﹣2.3是方程介于﹣3与﹣2之间的一个近似根．同学们明白了这种解法的简洁原因，我也不失时机的向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性.四、归纳小节。
数学初三年级二次函数与一元二次方程课件教案
数学初三年级二次函数与一元二次方程课件教案教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与的关系的过程，培植学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论线性方程的根的情况，进一步方法论培养学生的数形紧密结合思想.3.通过学生共同观察和发表意见，培养大家的开展合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与乘法表的关系的投资过程过程，体验数学社会活动充满着探索与创造，感受数学的体会严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与表达式之间紧密联系的联系.2.理解何时不等式解释有两个不等的实根，两个相等的实数和没有完全相同实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了紫菊一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为曲线图一元一次方程kx+b=0的解.。
初中数学《二次函数与一元二次方程》教案
初中数学《二次函数与一元二次方程》教案2.8 二次函数与一元二次方程（1）教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2、具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函数y =kx+b (k0)的关系，你还记得吗？它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.2、新课讲解例题讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =－5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么（1）h 与t 的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？小组交流，然后发表自己的看法.学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t（2）小球落地时h为0 ，所以只要令 h =－5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是－5t 2+40t=0t 2－8t=0t（t－ 8）=0t=0或t=8t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.也可以观察图像，从图像上可看到t =8时小球落地.议一议二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示（1）每个图像与x 轴有几个交点？（2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？（3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系？学生讨论后，解答如下：（1）二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点. （2）一元二次方程x 2+2x=0有两个根0，-2 ；x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ；方程x2－2x +2=0没有实数根（3）从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点（0,0）,(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;二次函数y=x2－2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程x2－2x+1=0 有两个相等的实数根1或一个根1二次函数y=x2－2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2－2x +2=0没有实数根由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.基础练习1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4 2、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .4、已知抛物线y=x2+px+q与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= .5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.6、抛物线y=a x2+bx+c（a0）的图象全部在轴下方的条件是（）（A） a＜0 b2-4ac0（B）a＜0 b2-4ac＞0（B）（C）a＞0 b2- 4ac＞0 (D)a＜0 b2-4ac＜0想一想在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是怎样知道的？学生交流：在式子h =－5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得－5t 2+40t=60t 28t+12=0t=2或t=6因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是6 0 m.课堂练习 72页小结：本节课学习了如下内容：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ），B（ x2，0 ）2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?。
二次函数与一元二次方程优秀教案
例 2：已知抛物线 y x2 6x a 的顶点在 x 轴上，则 a =_________；若抛物线与 x 轴有两
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个交点，则 a 的范围是_________；与 x 轴最多只有一个交点，则 a 的范围是_________ 例 3：已知关于 x 的函数 y ax2 x 1 （ a 为常数）
二次函数与一元二次方程
【教学目标】
1．经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。 2．理解二次函数的图象与 x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。 3．进一步体验数形结合的数学思想。
【教学重点】
体会方程与函数之间的联系。
【教学难点】
数形结合的数学思想。
【教学过程】
一、问题情景： 1．一次函数 y 2x 5 与 x 轴的交点坐标是什么？它与一元一次方程 2x 5 0 有什么关
系？ 2．解下列方程： ① x2 2x 3 0
② x2 6x 9 0
③ x2 2x 3 0
3．下列三个二次函数：① y x2 2x 3 ② y x2 6x 9 ③ y x2 2x 3 与上述相应的一
10．已知关于 x 的二次函数 y x2 (2m 1)x m2 3m 4
2/3
（1）探究 m 满足什么条件时，二次函数的图象与 x 轴的交点的个数； （2）设二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(x1, 0), B(x2 , 0) ，且 x12 x22 5 ， 求二次函数的解析式。 四、课外作业 1．已知一元二次方程 x2 px q 1 0 的一根为 2． （1）求 q 关于 p 的关系式； （2）求证：抛物线 y x2 px q 与 x 轴有两个交点； （3）设抛物线 y x2 px q 的顶点为 M ，且与 x 轴相交于 A(x1, 0)、B(x2, 0) 两点，求使△ AMB 面积最小时的抛物线的解析式。 2．已知抛物线 y x2 kx 3 k 2 （ k 为常数，且 k 0 ）。
鲁教版九年级数学上册《二次函数》教案教学设计
《二次函数》教案教学目标1.使学生理解并掌握二次函数的概念.2.能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式.3.能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学重点1.经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学过程一、复习引入（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课我们将开始教学二次函数.二、新课1、由实际问题探索二次函数问题1某水产养殖户用长40米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？要想解决上面的问题就需研究围成的矩形水面面积与其长之间的关系.设围成的矩形水面长是x米，那么，它的宽应为(20-x)米，它的面积是S平方米，则S=x(20-x)问题2一种商品售价为每件10元，一周可卖出50件，市场调查表明：这种商品每件涨价1元，每周少卖5件，每降价1元，每周可多卖5件，已知该商品进价每件8元，问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最大？设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元，那么y关于x的函数关系式应是怎样的呢？涨价后每件商品的利润为(10+x-8)元，一周可卖出(50-5x)件，则有y=(10+x-8)(50-5x)问题1中的函数关系式为S=x(20-x)=-x2+20x问题2中的函数关系式为y =(10+x -8)(50-5x )=-5x 2+40x +100这两个问题中，函数关系式是用自变量的二次式表示的.2、做一做1.正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，那么y 与x 的关系可表示为？y =6·x ·22.n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系？21322d n n =- 3、二次函数的定义一般地，形如y ＝ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零(必须存在二次项)，一次项系数b 、常数项c 可以为零.最简单形式的二次函数:y ＝a ·x 2例如，y ＝-5x 2+100x +60000和y ＝100x 2+200x +100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积s 与边长a 的关系s =a 2，圆面积s 与半径r 的关系(20-x )s =πr 2等也都是二次函数的例子．三、随堂练习1、函数y =(m ＋2)·x ^2＋2x －1是二次函数，则m =________．2、下列函数中是二次函数的有( )①y =x ＋1；②y =3[(x -1)]2＋2；③y =(x +3)2－x 2；④y =x 3＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．引伸：1．已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式． 2．已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3.已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．(四)小结1.二次函数的一般形式：y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数且a ≠0)2.用尝试求值的方法探索函数的最大值.。
鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章《二次函数教学设计》大单元教学课件
定的创新意识。
①、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
②、能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二
次函数系数与图象形状和对称轴的关系；
③、会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，
能解决相应的实际问题；
④、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的
即为学生积累常见的基础模型，教学中增强题目的变式
训练，教学中引导学生积极探索、发散思维，教学中注
重数学抽象与建模的培养。
《二次函数》是鲁教版九年级第三章的内容，是前面学过的一次函数和反
比例函数的延续，是对函数及其应用知识学习的深化和提高，也是中考考察
的重点、热点和难点，同时又是高中数学学习的基础，是解决现实问题的重
例3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的
解集是（ ）A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1且x＞5
D.x＜-1或x＞5
学习活动设计
典例精讲
例4：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴
的交点在（0，2）和（0，3）之间（包含端点），下列结论:①3a＋b＜0；②-1≤a≤- ；
2
2
③对于任意实数m，a＋b≥am ＋bm总成立；④关于的方程ax ＋bx＋c＝n-1有两个不
相等的实数根。其中正确结论的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
例5: 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解
析式．
二次函数与一元二次方程 优秀教学设计(教案)
二次函数与一元二次方程【教学目标】1．知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。
2．过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。
由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。
3．情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
【教学难点】函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
【教学过程】一、问题导入。
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。
考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？2205h t t=-二、探索新知。
1．从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：函数，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程的根。
特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根。
以上关系，反过来也成立。
利用以上关系，可以解决两个方面问题。
其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。
2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。
观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，。
方程的根是。
方程无实数根。
3．归纳总结。
一般地，从二次函数的图象可得如下结论：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根。
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
数学：2.7二次函数与一元二次方程课件(鲁教版九年级上)
想一想
3
驶向胜利 的彼岸
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系 如何?
2.窗户面积S 2 xy
独立 作业
知识的升华
习题2.7 1,2,3题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
•
不知道并不可怕和有害, 任何人都不可能什么都知 道,可怕的和有害的是不 知道而伪装知道.
想一想
2
二次函数与一元二次方程
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b二次函数即为一元二次方程.
随堂练习 5
二次函数与一元二次方程
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解 : 1. 4 y 7 x x 15. 得, y 由 . 4 2 x 15 7 x x x 2
九年级数学上册《 二次函数与一元二次方程》教案
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案经典题型教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t —5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t －5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s 时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x ＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2++的图像与x轴相交，ax bx c那么交点的横坐标就是一元二次方程2++=0的根.ax bx c（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计二次函数与一元二次方程抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c=0的解之间的关系例题。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计
-设计一些简单的一元二次方程求解题目，让学生独立完成。
2.提高练习：运用二次函数与一元二次方程的关系，解决实际问题。
-设计一些与实际生活相关的问题，让学生运用所学知识解决问题。
3.课堂反馈：针对学生的解答，给予及时评价和指导，帮助学生查漏补缺。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数的一般形式，能够识别并写出二次函数的顶点式和交点式。
2.熟练掌握一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法等，并能够根据具体问题选择合适的方法进行解答。
3.掌握二次函数与一元二次方程的关系，能够通过二次函数图像求解相应的一元二次方程，并解释其几何意义。
-作业评价要及时，对学生的作业进行认真批改，并及时给予反馈，帮助学生发现和改正错误。
4.创设丰富的教学情境，激发学生的兴趣，引导他们主动参与课堂讨论，培养合作意识和团队精神。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解并掌握二次函数的一般形式及其图像特征。
2.掌握一元二次方程的求解方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，能够通过二次函数图像分析一元二次方程的解。
1.基础巩固题：请学生完成教材课后练习题中与二次函数与一元二次方程相关的基础题目，以加强对核心知识点的掌握。
-重点在于让学生通过练习，熟练运用直接开平方法、配方法、公式法求解一元二次方程。
2.实践应用题：要求学生从生活中找一个应用二次函数的例子，建立数学模型，并求解相应的一元二次方程。
-通过此题，学生可以将数学知识应用于现实情境，提高数学素养和解决问题的能力。
秋鲁教版(五四制)数学九年级上册二次函数与一元二次方程课件
2 y y = x2 … 0.56 0.25 -0.04 -0.31 …
1
–3 –2 –1 O 1
–1
–2
–3
23x y = 2∙x + 1
视察x取何值时，y 值最接近0？
先求位于-3和-2之间的根.
x … -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 …
y
5
y … 0.56 0.25 -0.04 -0.31 …
一想，二次函数与一元
（2）试用含有x的不等式来描述问二题次(1方)。程与一元二次不
解：
等式有什么联系？
（1）当 - 1 x 3 , y 0
2
2
（2）当x - 1 或x 3 , y 0
2
2
对于一元二次方程 ax2 bx c 0 ，
当 b2 4ac 0 时有实数根，
这个实数根就是对应二次函数 y ax2 bx c 的值等于0时自变量x 的一个值，即二次函数的图象与x 轴一个交点的横坐标。
y ax2 y bx c
y ax2 bx x
y
h
教学难点
1、二次函数与一元二次方程的关系的探索过程． 2、准确理解二次函数与一元二次方程的关系
．
情景引入
5y
4
3Leabharlann 21y = 2∙x 3
–3 –2 –1 O 1 2 3 4 x –1 –2 –3
–4
想一想，通–5过一次函数的 图象可以得出哪些结论？
前面我们学习通 过视察一次函数 的图象，研究了 一次函数与一次 方程、一次不等 式之间的关系。
3.7 二次函数与一元二次方程
教学目标
1．知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数 之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次 方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
鲁教版九上2.7二次函数与一元二次方程课件ppt.ppt
一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4
． N
直线y=0
0 12
x
的图象与直线（ 直线y=1 ）交点的横坐标 y
正确？
y=x2-4x+4
方程x2-4x+4=1的根（x1=1 x2= 3 )
2 1
．． M
N
直线y=1
(x-2)2=1
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
0 123
(x-2)=±1
x
X-2=-1 或 x-2=1
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
想一想
一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c 的图象和 直线y=k 交点横坐标
． ． y 直线y=k
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
复习提问
1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2-4a。c
有两个不等实数根
方程根的情况是：当△﹥0 时方程
；
九年级数学上册 2.7《二次函数与一元二次方程》学案 鲁教版
一、学习目标： 1、理解二次函数的图象与 X 轴的公共点的个数和一元二次方程的根的判别式之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
2理解一元二次方程h c bx ax =++2的根就是二次函数c bx ax y ++=2与直线h y =交点的横坐标。
3．经历探索二次函数c bx ax y ++=2和一元二次方程02=++c bx ax 的关系的过程，体会方程与函数之间的关系。
4．通过学习，进一步培养学生团结协作精神和乐于助人的优秀品质。
二、知识链接：1、一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的关系？2、怎样把二次函数转化为一元二次方程？三、探究新知：利用多媒体投放课本67页的问题。
1、议一议：利用多媒体投放二次函数x x y 22+=，122+-=x x y ，222+-=x x y 的图象，回答下面的问题：（1）每个图象分别与x 轴有几个公共点？如果有公共点，说出公共点的坐标。
（2）一元二次方程022=+x x ，0122=+-x x 分别有几个根？它们的根分别是什么？一元二次方程0222=+-x x 有实数根吗？（3）二次函数x x y 22+=和一元二次方程022=+x x 有什么联系？函数x x y 22+=的图象与x 轴的公共点坐标和方程022=+x x 的根之间有什么关系？二次函数122+-=x x y 和一元二次方程0122=+-x x 呢？二次函数222+-=x x y 和一元二次方程0222=+-x x 呢？（4）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的公共点的个数和一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式有什么关系？（5）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的公共点坐标和一元二次方程02=++c bx ax 的根有什么关系？回顾反思： 二次函数 c bx ax y ++=2的图象与一元二次方程02=++c bx ax 关系是什么？友情提示：当042>-ac b 时，有两个公共点；当042=-ac b 时，有一个公共点；当042<-ac b 时，没有公共点。
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数与一元二次方程(1)》教学设计
3.7 二次函数与一元二次方程（1）一、教学目标：知识与技能：1. 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根.过程与方法：1. 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想；2. 理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标.情感态度与价值观：1. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；2. 通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.二、教学重难点教学重点：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根.教学难点：理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h 是实数)图象交点的横坐标.三、教学过程分析第一环节课前热身、耐心填一填活动内容：1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________.它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是( ，).2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2+ bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h) 2+k交点式：y = a(x-x1)(x-x2)3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为________,与y轴的交点为_____.5.已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为___________ .活动目的：教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来.问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾.目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心.第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y= ax2＋bx＋c与x 轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程ax2＋bx＋c=0的根就是抛物线与x 轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究.第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣.热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备.实际教学效果：课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛.特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫.第二环节用心想一想，马到功成活动内容：1. 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h表示, 其中h(m) 是抛出时的高度, v(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？(2) h和t的关系式是什么？(3)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.2. 分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.思路点拨: 与x轴交点就是求当y=0时这个方程的解, 然后写成点的坐标.(1)观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根吗?(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?3.归纳整理:a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:1、有两个交点；2、有一个交点；3、没有交点.b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?活动目的：这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历，具备了一定的数形结合思想基础，为了求出v0和h，只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式.教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义？”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点(h,t)一定在抛物线图象上，反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度.当学生理解了这个关系后，再引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点(0，0)和(8，0)，至此求h、t就转化为求解方程组的问题.学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间.紧接着给出求出三个函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2与x轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快？看谁画图快？在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识，.随后的五个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了.为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力.实际教学效果：由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解.第三环节教材题变形，拓展延伸活动内容：【例】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2＋19.6t来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．(1)当t=1时，足球的高度是多少？(2)t为何值时，h最大？(3)经过多长时间球落地？(4)方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?(5)方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?解：(1)t=1时，h=14.7(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大(3)对于h=－4.9t2＋19.6t 球落地表示h=0即－4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0(舍去)，t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.(4)方法一：解方程0=－4.9t2＋19.6t 得t=0, t=4根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点(0，0)，(4，0)即可图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点(5)方法一：解方程14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3方法二：图象法，过点(0，14.7)作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可.表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系.前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出.第四问引导学生观察到方程－4.9t2＋19.6t =0是函数h=－4.9t2＋19.6t 的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系.当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻.这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性.在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了.在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你能再用图象法解决这个问题吗？启发学生用形的一面去考虑问题.目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法.以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚.教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处.实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈.第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点.但第5问给出后，学生静了下来.我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达？特别是用图形来表示一元二次方程14.7= －4.9t2＋19.6t的根这个问题对于他们很陌生.此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么？学生回答h=0表示直线x轴.那么h=14.7的几何意义又是什么呢？他们恍然大悟，明白了方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点.5个问题一步步逐渐揭示出方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程ax2+bx+c=h的根的几何意义又是什么呢？学生就不难理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标了.学生在课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了.第四环节开拓创新，试一试活动内容：在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出.实际教学效果：教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，把h=60带入函数式中，转化为求方程的根.全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法.看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的.我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法？另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，我还可以用几何方法解决.画出直线h=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论.他的讲解赢得了同学热烈的掌声.我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗？你能比较一下两种解法的优劣吗？此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷.第五环节放开手脚，做一做活动内容：【例】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?错解：由△=(－7) 2－4×k×(－7)=49＋28k＞0，得k＞－74．正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，∴△=(－7) 2－4×k×(－7)= 49＋28k≥0，得k≥－74，故k≥－74且k≠0点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑.使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化.在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有？实际教学效果：学生基本都能把问题转化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果.但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到.教学中先让有问题的学生板演出他的解法△＞0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为△≥0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法.同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯.第六环节归纳小节、说一说活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标.实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，师生互相交流总结完善同学们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，教师用前面学生出现的错误认识为例，再次强调研究函数问题时，用“数”研究“形”，用“形”研究“数”要相互配合使用，结合两种方法的优势.学生此时对本章的学习真正有了完整的认识.四、教学反思1．教案设计时要备好教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，特别是课改的新教材提供的内容表面上显得很简单，学生预习时总觉得容易，上课有时注意力显得不够集中.教师备课时要吃透教材，在讲授二次函数这一章时更应该注意这一点，准确把握新知识的发生点.明确学生在什么地方是模糊的，什么地方是需要加强巩固的，讲授时紧紧扣住数形结合的思想这条主线，培养学生尽早形成对本章知识完整的理解.2．教案设计前要备好学生为了使学生准确理解教材内容，讲授时教师要充分调动课堂内一切积极因素.用设问、反问等语言调动学生的求知欲望，用启发性的语言吸引学生，用肯定的话语鼓励学生，力争营造出师生互动、生生互动的和谐课堂气氛.3．注意改进的方面教师在学生讨论时应该参与到学生中去，对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等，使每一位同学都能有收获，使小组合作学习更具实效性.。
九年级数学上册 2.7 二次函数与一元二次方程导学案(无
2.7二次函数与一元二次方程学习目标： 1、理解二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的公共点个数与一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式的关系. 2、理解一元二次方程h c bx ax =++2（h 是实数）的解是二次函数c bx ax y ++=2与直线h y =的交点的横坐标，体会数学结合的数学思想。
3、经过探索二次函数c bx ax y ++=2和一元二次方程02=++c bx ax 的关系过程，体会方程与函数的关系.一、温故知新1、一次函数y=x+2的图象与x 轴的交点坐标2、任意一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与x 轴有几个交点？3、一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根与其判别式有什么关系？二、自主探究1、观察图（1）、（2）、（3）你发现：（1）与x 轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________（2）与x 轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________（3）与x 轴有_____（有、无）公共点2、一元二次方程022=+x x 的判别式⊿ 0，有_____个根，分别是_________________ 一元二次方程0122=++x x 的判别式⊿ 0，有__________个根，是_________________ 一元二次方程0222=+-x x 的判别式⊿ 0，__________（有、无）实根3、函数x x y 22+=与方程022=+x x 的关系是：4、得到函数x x y 22+=的图象与x 轴的公共点坐标和方程022=+x x 的根有什么关系：__________________________________________________5、观察上述三个图象与x 轴的公共点的坐标与其对应的一元二次方程的根的关系，可知：二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴的公共点坐标和一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根有什么关系？6、从1和2、3中你能发现二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴的公共点个数与一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根的判别式有什么关系？7、一元二次方程h c bx ax =++2（h 是实数）的根可以看作是二次函数y =_____________与直线y =_____________的交点的横坐标. 我的疑问： 三、合作交流1、自主学习中的内容，主要是5、6、7四、巩固新知（一）、初步应用1(A)、不画图象说出下列二次函数与x 轴的公共点各有几个.（1）962++=x x y （2）942+-=x y（3）522+-=x x y （4）c bx ax y ++=2（a >0,c <0）2(A)、二次函数c bx ax y ++=2与x 轴两交点的坐标为（2，0）（－5，0），则一元二次方程02=++c bx ax 的根是_____________3(B)、函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（） Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根 4(B)、关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是5(B)、一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h=－4.9t 2＋19.6t 来表示．其中t （s ）表示足球被踢出后经过的间．（1）t=1时，足球的高度是 （2）t= 时，h 最大？（3）球经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t 2＋19.6t =0的根的实际意义是（5）方程14.7=－4.9t 2＋19.6t 的根的实际意义是6(A)、已知二次函数y= x 2－2x-8（1）求证：该二次函数的图像与x 轴一定有两个不同交点；3 Ｏ x y（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，求△ABC 的面积。
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2.7二次函数与一元二次方程
教学目标:
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
重点:
本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．
难点:
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．
教学过程:
一、实例讲解：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二、探究：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
三、分析例题：
【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．
四、随堂练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
五、课后选用作业：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．
8．二次函数y=kx 2
＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
．
9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2
的顶点在直线y=2上，则a 的值是
．
10．抛物线y=3x 2
＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无
11．如图1所示，函数y=ax 2
－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的
值是（ ）
A ．－3
B ．3
C ．21
D ．－21
12．已知二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A ．0＜－
a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b
2=1
13．已知二次函数y=x 2
＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x 2
－2kx ＋k 2
＋k －2． （1）当实数k 为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围；
（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图2-8-10． （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时，方程x 2
－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关
系满足y=－5
1x 2
＋10x ．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线y=x 2
－（k ＋1）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．。