中考数学总复习考点知识讲解与专题训练18---因式分解与恒等变形

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中考数学复习第四讲因式分解含详细参考答案

第四讲因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。

2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用法来分解。

3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （2013•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩，故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）（）（）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（2013•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练 5．（2013•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】7．2(31)3x --8．（2013•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+91．D2．（2013•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）2．C3．（2013•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（2013•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是．4．x-15．（2013•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（2013•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（2013•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（2013•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（2013•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（2013•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（2013•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（2013•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（2013•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（2013•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（2013•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（2013•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（2013•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。

2022年中考数学总复习第一部分考点指导第2节整式与因式分解

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续表
幂运算
①同底数幂的乘法：am·an = am+n （m，n 都是整数）
②幂的乘方：(am)n = amn （m，n 都是整数） ③积的乘方：(ab)m= ambm （m，n 都是整数） ④同底数幂的除法：am÷an = am-n （a ≠ 0，m，n 都是整数）
⑤负指数幂：a-p= ⑥零指数幂：a0=
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考点
近5年考情
1. 代数式 2. 整式 3. 因式分解
2021年 / 第4题 / 3分 2020年 / 第 11、12、14、18题 / 16分 2019年 / 第4、14题 / 7分 2018年 / 第12题 / 4分 2017年 / 第 8、11、15 题 /11分
中考专家解读：整式与因式分解为中考必考内容，属于一般性轮换考点，一般以计算为主，考查形式灵活多样
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阅读理解：已知 x3 - 8有一个因式 x - 2，我们可以用如下方法对 x3 - 8进行因式分解 . 解：设 x3 - 8 =（x - 2）（x2 + ax + b），因为（x - 2）（x2 + ax + b）= x3 +（a - 2）x2+（b - 2a）x 2b，所以a - 2 = 0，且b - 2a = 0，且 -2b = -8，所以 a = 2，且 b = 4，所以 x3 - 8 =（x - 2）（x2 + 2x + 4）. 这种分解因式的方法叫做待定系数法 .
公式法 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 . *十字相乘法： x2 +（p + q）x + pq = (x + p)(x + q) .

2022-2023年数学中考第一轮复习-专题四因式分解

故选：．
2．（2022秋•高昌区校级期中）下列属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
2．（2022春•细河区期末）下列分解因式正确的是
A． B．
C． D．
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式不能分解，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意．
故选：．
3．（2022秋•绿园区校级期中）分解因式：．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：．
2．（2021•兴安盟）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：．，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：．
3．（2022秋•仁寿县校级月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解：．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，没有把把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

中考数学专题复习专题03 因式分解(课件)

典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用完全平方公式分解因式
【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝
．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32 ＝(m＋n－3)2．故答案为：(m＋n－3)2．
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用平方差公式分解因式
【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝
．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6， ∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用分组分解法分解因式
（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b) ＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2) ＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab) ＝(a2＋b2) (a－b) 2， ∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1， ∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1， ∴原式＝9．
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
知识点梳理
（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. ①a2－b2＝ (a＋b)(a－b) ； ②a2±2ab＋b2＝ (a±b)2 ．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．

2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习

因式分解的多种方法考点培优练习考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三角形或直角三角形解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。

专题4.14 因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

江西南昌2019年中考数学研讨会资料——恒等变换

江西南昌2019年中考数学研讨会资料——恒等变换常用数学解题方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学问题的一种工具。

不同的问题能够用不同的方法，相同的问题也能够用不同的方法，同时还依赖于已有知识的掌握程度、经历程度和思维的灵活性、创造性。

从这一意义上说，掌握一些特别的解题方法和技能技巧，常常能缩短思考过程，尽快谋取最优解题方法，在解决较复杂的问题中应把各种思想方法结合使用。

我们不仅要学会各种解题方法，还要明白题是用什么方法去解的，如2003年杭州市中考中出现了如此一道题：求函数的最小值，较合适的解题方法应该是法，所以还能够用法等方法解决。

一. 等式用等号连接的两个解析式叫做等式。

等式两边的解析式的定义域的公共部分〔交集〕，称为此等式的定义域。

这两个解析式恒等，如此的等式叫做恒等式，假如等号两边的解析式关于自变数的所有同意值中，只有某些数才有相等的数值，如此的等式叫做条件等式。

假如等号两边的解析式关于自变数的所有同意值，它们的值都不相等，如此的等式叫做矛盾等式。

例如22()()x y x y x y +-=-，３＋５＝８等基本上恒等式；ｘ＋３＝１０是条件等式；53x x +=+是矛盾等式，有时为了强调一个等式是恒等式，常用""≡代替""=。

二. 恒等变换把一个解析式换成另一个与它恒等的解析式，这种变换叫做恒等变换或叫做恒等变形。

三.多项式恒等定理1.多项式恒等于零的定理：给定数域上标准形式的多项式，假如对自变量的任意数，该多项式的值总等于零，那么它的所有系数都等于零。

2.两个标准形式的多项式恒等的充要条件是同类项的系数都对应相等。

四.解题方法(一)配方法在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负性质，达到增加题目的条件等，从而达到解决数学问题的目的，配方法要紧用在多元代数式求值，无理式的证明或化简、解方程及函数的最值等方面。

2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—因式分解(含答案)

因式分解定义：把一个整式写成几个整式乘积的形式，称为因式分解。

在因式分解中，通常要求每个因式都是既约多项式（不可约多项式），这样的因式称为质因式。

因式分解常用的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，待定系数法等。

◆一、提公因式法：◆二、公式法①平方差公式：②完全平方和公式：③完全平方差公式：④立方和公式：⑤立方差公式：⑥完全立方和公式：⑦完全立方差公式：⑧三项平方和公式：⑨三项立方公式：◆三、分组分解法有一些整式（如：）既没有公因式可提，也不能运用公式直接分解，这样的式子需要采用分组分解法。

（一）分组后能直接提公因式)(c b a m mc mb ma ++=++))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-))((2233b ab a b a b a +-+=+))((2233b ab a b a b a ++-=-33223)(33b a b ab b a a +=+++33223)(33b a b ab b a a -=-+-2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++bn bm an am +++例1、分解因式：解：原式== =例2、分解因式：解：原式== =（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：解：原式== =例4、分解因式：解：原式== = 【举一反三】bnbm an am +++)()(bn bm an am +++)()(n m b n m a +++))((b a n m ++bxby ay ax -+-5102)5()102(bx by ay ax -+-)5()5(2y x b y x a ---)2)(5(b a y x --ayax y x ++-22)()(22ay ax y x ++-)())((y x a y x y x ++-+))((a y x y x +-+2222c b ab a -+-222)2(c b ab a -+-22)(c b a --))((c b a c b a --+-1、2、3、4、5、6、7、3223yxyyxx--+baaxbxbxax-+-+-22181696222-+-++aayxyxabbaba4912622-++-92234-+-aaaybxbyaxa222244+--222yyzxzxyx++--8、9、10、11、12、◆四、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。

第04讲解一元二次方程——因式分解法与换元法(解析版)-2024学年九年级数学上册学与练(人教版)

第04讲解一元二次方程——因式分解法与换元法课程标准学习目标①复习巩固因式分解的方法②利用因式分解法解一元二次方程③整体法或换元法解一元二次方程 1.复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。

2.学会利用因式分解解一元二次方程。

3.学会并掌握整体法或换元法解一元二次方程。

知识点01因式分解的方法1.因式分解的方法：①提公因式法：=++cm bm am ()c b a m ++；②公式法：平方差公式：=-22b a ()()b a b a -+；完全平方公式：=+±222b ab a ()2b a ±；③十字相乘法：分解c bx x ++2，若mn c =且b n m =+，则=++c bx x 2()()n x m x ++。

题型考点：①对因式分解进行熟练应用。

【即学即练1】1．把下列各式因式分解：（1）2a 2﹣4a ；（2）（a 2+9）2﹣36a 2；（3）x 2+2x ﹣15．【解答】解：（1）2a 2﹣4a＝2a （a ﹣2）；（2）（a 2+9）2﹣36a 2；＝（a 2+9+6a ）（a 2+9﹣6a ）＝（a +3）2（a ﹣3）2；（3）x 2+2x ﹣15＝（x +5）（x ﹣3）．知识点02利用因式分解法解一元二次方程1.因式分解法解一元二次方程的基本步骤：①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。

②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。

③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。

④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。

题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。

②利用公式法解一元二次方程。

【即学即练1】2．一元二次方程（x ﹣5）2＝4（x ﹣5）的解为（）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝5x 2＝9D ．x 1＝5x 2＝1【解答】解：（x ﹣5）2＝4（x ﹣5），（x ﹣5）2﹣4（x ﹣5）＝0，（x ﹣5）（x ﹣5﹣4）＝0，x ﹣5＝0或x ﹣5﹣4＝0，所以x 1＝5，x 2＝9．故选：C ．【即学即练2】3．方程x 2﹣3x ﹣18＝0的根是（）A ．x 1＝3，x 2＝6B ．x 1＝﹣3，x 2＝6C ．x 1＝3，x 2＝﹣6D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣6【解答】解：x 2﹣3x ﹣18＝0，（x +3）（x ﹣6）＝0解得：x 1＝﹣3，x 2＝6．故选：B ．【即学即练3】4．解方程（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0．【解答】解：（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0，∴，x 2＝﹣5．知识点03整体法或换元法解一元二次方程1.整体法或换元法：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。

中考数学《因式分解》专题复习试卷（含答案）

2018-2019学年初三数学专题复习因式分解一、单选题1.多项式﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2分解因式时，应先提的公因式是（）A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. ﹣3x2y22.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A. a2+（-b）2B. 5m2-20mnC. -x2-y2D. -x2+93.多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为（）A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. 3x2y24.下列四个多项式，哪一个是2X2+5X-3的因式？（）A. 2x－1B. 2x－3C. x－1D. x－35.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A. x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6xB. （x+5）（x-2）=x2+3x-10C. x2-8x+16=（x-4）2D. 6ab=2a.3b6.观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( )A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200D. 962×95+962×5＝91390+4810＝962007.把代数式xy2﹣9x分解因式，结果正确的是（）A. x（y2﹣9）B. x（y+3）2C. x（y+3）（y﹣3）D. x（y+9）（y﹣9）8.计算（﹣2）2002+（﹣2）2001所得的正确结果是（）A. 22001B. ﹣22001C. 1D. 29.下列分解因式错误的是（）A. 15a2+5a=5a（3a+1）B. ﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C. ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D. ﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x210.下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（）A. x2﹣yB. x2+2xC. x2+y2D. x2﹣xy+y211.下列由左边到右边的变形，属于分解因式的变形是（）A. ab+ac+d=a（b+c）+dB. a2﹣1=（a+1）（a﹣1）C. 12ab2c=3ab•4bcD. （a+1）（a﹣1）=a2﹣112.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A. （a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B. （a2﹣2a+1）2C. （a﹣1）4D. （a+1）2（a﹣1）213.把x2﹣xy2分解因式，结果正确的是（）A. （x+xy）（x﹣xy）B. x（x2﹣y2）C. x（x﹣y2）D. x（x﹣y）（x+y）14.下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（）A. x2﹣2=（x+1）（x﹣1）﹣1B. （x﹣3）（x+2）=x2﹣x+6C. a2﹣4=（a+2）（a﹣2）D. ma+mb+mc=m（a+b）+mc15.下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A. x2+y2B. x2-y2C. x2+2x+1D. x2+2x16.若a ，b ，c是三角形的三边之长，则代数式a-2ac+c-b的值（）A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 以上三种情况均有可能二、填空题17.分解因式：a2+ab=________．18.分解因式：a2﹣9=________．19.将多项式x2y－2xy2＋y3分解因式的结果是________．20.因式分解：2x2﹣18=________．21.已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2017=________．三、计算题22.因式分解：（1）；（2）23.先将代数式因式分解，再求值：2x（a﹣2）﹣y（2﹣a），其中a=0.5，x=1.5，y=﹣2．24.因式分解：3ab2+6ab+3a．25.把下列各式分解因式（1）3ax2+6axy+3ay2（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）26.把下列各式分解因式：（1）；（2）.四、解答题27.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．28.﹣x2+7x﹣10．五、综合题29.把下列各式因式分解（1）﹣36aby+12abx﹣6ab（2）9x2﹣12x+4；（3）4x2﹣9y2（4）3x3﹣12x2y+12xy2．30.因式分解：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2=﹣3x2y（2xy+1﹣4y）故选：B．【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最大公约数，②字母取公共的字母③指数取最小的，可得到答案；2.【答案】D【解析】【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】A、a2+（-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；B、5m2-20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故错误；C、-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；D、-x2+9能用平方差公式分解因式，故正确．故选D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．3.【答案】D【解析】【解答】解：6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为3x2y2．故选：D．【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．4.【答案】A【解析】【分析】利用十字相乘法将2x2+5x-3分解为（2x-1)（x+3)，即可得出符合要求的答案．【解答】∵2x2+5x-3=（2x-1)（x+3)，2x-1与x+3是多项式的因式，故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确的将多项式因式分解是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】【解答】解：A. 的右边不是积的形式，不是因式分解；故选项错误；B. 是多项式乘法，不是因式分解；故选项错误；C. 运用平方差公式因式分解，故选项正确；D. 不是把多项式化成整式积的形式，故选项错误.故选C.6.【答案】A【解析】【解答】解：计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，故答案为：A.【分析】通过观察式子，两个加数项中分别存在一个962，所以采取的简便方法为提取公因式法，将962提出公因式，进行接下来的计算即可。

中考数学备考资料-第八讲因式分解与恒等变形及详细解析

6．已知：x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002 的值为．
7．若 m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则 m3﹣2mn+n3 的值为．
8．要使二次三项式 x2+mx﹣6 能在整数范围内分解因式，则 m 可取的整数为．
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9．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
a2 2ab b 2 ab 2
a2 2ab b 2 ab 2
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法十字相乘法：
引入：乘法公式 x ax b x 2 a b x ab
x 应用这个公式，我们可以得到分解形如 2 px q 的二次三项式的方法：
如果可以得到两个数 a、b，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，也即 ab=q,a+b=p,如下图：
4．把 8a3﹣8a2+2a 进行因式分解，结果正确的是（）
A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2
5．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）
=m（a+b）+n（a+b）
=x2﹣（y+1）2

初中数学人教版初三复习讲义 5..因式分解(含知识点答案)

专题05 因式分解一、因式分解及其方法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a （m+n ）2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．（1）平方差公式两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：()()22a b a b a b -=+- （2）完全平方公式两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：()2222a ab b a b ±+=±（3）立方和与立方差公式两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．a 3+b 3＝（a+b ）（a 2-ab+b 2）a 3﹣b 3＝（a-b ）（a 2+ab+b 2）3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.（1）对于二次三项式，若存在，则（2）首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：am ﹣an ﹣bm+bn=（am ﹣an ）﹣（bm ﹣bn ）=a （m ﹣n ）﹣b （m ﹣n ）=（m ﹣n ）（a ﹣b ）．二、因式分解策略1.因式分解的一般步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.2.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．（1）如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．（2）如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．（3）如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．3.因式分解要注意的几个问题：（1）每个因式分解到不能再分为止．（2）相同因式写成乘方的形式．（3）因式分解的结果不要中括号．（4）如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数．（5）因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x2－y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x2－y2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）．【对点练习】（2019广西贺州）把多项式2a-分解因式，结果正确的是()41A．(41)(41)+-a a+-B．(21)(21)a aC ．2(21)a -D ．2(21)a +【答案】B【解析】运用公式法 241(21)(21)a a a -=+-，故选：B ．【例题2】（2020贵州黔西南）多项式34a a -分解因式的结果是______.【答案】(2)(2)a a a +-【解析】先提出公因式a ，再利用平方差公式因式分解．解：a 3-4a=a （a 2-4）=a （a+2）（a-2）．【点拨】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法．【对点练习】（2019宁夏）分解因式：2a 3﹣8a ＝．【答案】2a （a +2）（a ﹣2）【解析】先提取公因式，再利用二数平方差公式。

2024年中考数学一轮复习考点突破课件：因式分解

思考辨析下列分解因式正确的是( ) A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y) C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 答案：C
易错纠偏易混易错点 1 用提公因式法分解因式时易漏项 1．分解因式：12a2b－24ab2＋6ab. [错解] 12a2b－24ab2＋6ab＝6ab(2a－4b)＝12ab(a－2b). [错因剖析] 此题中的公因式为 6ab，提公因式后，漏掉了为 1 的项，注意用整式的乘法进行检验，就可避免此类错误． [正解] 12a2b－24ab2＋6ab＝6ab(2a－4b＋1).
提分技法
因式分解在求代数式值中的应用 (1)因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再整体代入求值． (2)用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
提分特训 6．(2023·滁州二模)已知 x＋y＝2，xy＝－3，则 x2y＋xy2＝________．答案：－6
7．已知 a＋b＝2，ab＝2，求12 a3b＋a2b2＋12 ab3 的值．解：12 a3b＋a2b2＋12 ab3＝12 ab(a2＋2ab＋b2) ＝12 ab(a＋b)2. 因为 a＋b＝2，ab＝2，所以原式＝12 ×2×22＝4.
A．(x－5)(x－14)
B．(x－2)(x－7)
C．(x－2)(x＋7)
D．(x＋2)(x－7)
答案：D
2．(2023·宿州一模)下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是
() A．x2＋2x－1
B．x2－2x＋3

2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—整式及因式分解

2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—整式及因式分解→➊考点精析←一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：○1单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如2143a b -，这种表示就是错误的，应写成2133a b -；○2一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如325a b c -是6次单项式。

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m （a +b +c ）=ma +mb +mc .（3）多项式与多项式相乘：（m +n ）（a +b ）=ma +mb +na +nb .8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-.运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±.3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.→➋真题精讲←考向一代数式及相关问题1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.1．（2023·湖南常德·统考中考真题）若2340a a +-=，则2263a a +-=()A ．5B ．1C ．1-D ．0【答案】A【分析】把2340a a +-=变形后整体代入求值即可．【详解】∵2340a a +-=，∴234+=a a ∴()222632332435a a a a +-=+-=⨯-=，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知2230a a --=，则2(23)(23)(21)a a a +-+-的值是（）A ．6B ．5-C ．3-D ．4【答案】D【分析】2230a a --=变形为223a a -=，将2(23)(23)(21)a a a +-+-变形为()2428a a --，然后整体代入求值即可．【详解】解：由2230a a --=得：223a a -=，∴2(23)(23)(21)a a a +-+-2249441a a a =-+-+2848a a =--()2428a a =--438=⨯-4=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将2(23)(23)(21)a a a +-+-变形为()2428a a --．3．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【分析】根据总共配发的数量=年级数量⨯每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．4．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y +=，2y =，则22x y xy +的值是___________________．【答案】6【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．【详解】解：22x y xy +()xy x y =+，∵3x y +=，2y =，∴1x =，∴原式123=⨯⨯6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．5．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为______．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b =+76=⨯42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．6．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m 满足210m m --=，则32239m m m --+=_________．【答案】8【分析】由题意易得21m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵210m m --=，∴21m m -=，∴32239m m m --+()2229m m m m m --=-+229m m m -=-+29m m =-+()29m m =--+19=-+8=；故答案为8．【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．7.（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y +=，2y =，则22x y xy +的值是___________________．【答案】6【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．【详解】解：22x y xy +()xy x y =+，∵3x y +=，2y =，∴1x =，∴原式123=⨯⨯6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．8.（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为______．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b =+76=⨯42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．9．（2020·湖南长沙·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学，请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．【答案】9【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．【解析】设每个同学的扑克牌的数量都是x ；第一步，A 同学的扑克牌的数量是3x -，B 同学的扑克牌的数量是3x +；第二步，B 同学的扑克牌的数量是33x ++，C 同学的扑克牌的数量是3x -；第三步，A 同学的扑克牌的数量是2(3x -)，B 同学的扑克牌的数量是33x ++-(3x -)；∴B 同学手中剩余的扑克牌的数量是：33x ++-(3x -)9=．故答案为：9．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．10．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【分析】根据总共配发的数量=年级数量⨯每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．考向二整式及其相关概念单项式与多项式统称整式.观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.11．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，则m n +=___________．【答案】4【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n 的值，再代入求解即可.【解析】解：∵单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，∴m-1=2,n+1=2,解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.12．（2020·广东中考真题）若3m x y 与25n x y -是同类项，则m n +=___________．【答案】3【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．13．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：2232a a -=________．【答案】2a 【分析】直接根据合并同类项法则进行计算即可得到答案．【详解】解：222232(32)a a a a -=-=故答案为：2a .【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项运算法则是解答本题的关键．考向三规律探索题解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.14．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是（）A ．()12n a --B ．()2n a -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【解析】解： a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------∙∙∙∴第n 项为：()12.n a --故选A ．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．15．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣23，69，﹣1227，2081，﹣30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____．【答案】(1)n -(1)3⨯+nn n 【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n 个数．【解析】解：观察下列一组数：﹣23＝﹣1123⨯，69＝2233⨯，﹣1227＝﹣3343⨯2081＝4453⨯，﹣30243＝﹣5563⨯，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是：（﹣1）n (1)3⨯+n n n ，故答案为：(1)n -(1)3⨯+nn n ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．16．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．2101【答案】D【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=，故选：D ．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．17．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：4682,,,,357a a a a ⋅⋅⋅则第n 个式子是.【答案】2n2n 1a -（n 为正整数）【解析】寻找规律：已知式子可写成：21222324,,,,211221231241a a a a ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯-⨯-，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a 的指数为偶数2n ．∴第n 个式子是2n2n 1a -（n 为正整数）．考向四幂的运算幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．18．（2023·江西·统考中考真题）计算()322m 的结果为（）A ．68mB ．66mC ．62m D ．52m 【答案】A【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．【详解】解：()32628m m =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．19．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（）A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．33()ab ab =D ．23a a a÷=【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法可判断A ，根据幂的乘方可判断B ，根据积的乘方可判断C ，根据整数指数幂的运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：235a a a ⋅=，运算正确，故A 符合题意；()326a a =，原运算错误，故B 不符合题意；333()ab a b =，原运算错误，故C 不符合题意；231a a a÷=，原运算错误，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．20．（2023·湖南·统考中考真题）计算：()23a =（）A ．5aB ．23aC ．26a D ．29a 【答案】D【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解：()2239a a =．故选：D.【点睛】此题考查了积的乘方，积的乘方等于各因数乘方的积，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．21．（2023·全国·统考中考真题）下列算式中，结果等于5a 的是（）A ．23a a +B ．23a a ⋅C ．23()a D ．102a a ÷【答案】B【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ⨯=，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a -=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．22．（2023·浙江宁波·统考中考真题）下列计算正确的是()A ．23x x x +=B ．632x x x ÷=C ．()437x x =D ．347x x x ⋅=【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可．【详解】解：A 、23x x x +≠，错误，故不符合要求；B 、6332x x x x ÷=≠，错误，故不符合要求；C 、()43127x x x =≠，错误，故不符合要求；D 、347x x x ⋅=，正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．23．（2023·云南·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．22(3)6a a =C ．632a a a ÷=D ．22232a a a -=【答案】D【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案．【详解】解：52233a a a a ⨯⋅==，故A 错误；2222(3)39a a a ==，故B 错误；63633a a a a -÷==，故C 错误；()22223312a a a a -=-=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键．24．（2023·山东烟台·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．2242a a a +=B ．()32626a a =C ．235a a a ⋅=D ．824a a a ÷=【答案】C【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答．【详解】解：A.2222a a a +=，故该选项不正确，不符合题意；B.()32628a a =，故该选项不正确，不符合题意；C.235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；D.826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键．25.（2023·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（）A ．23a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．33a a -=D ．222()a b a b -=-【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．【详解】解：A 、23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；B 、624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；C 、32a a a -=，故该选项不正确，不符合题意；D 、222()2a b a ab b -=-+，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）若23( )22a b a b ⋅=，则括号内应填的单项式是()A ．a B ．2aC ．abD ．2ab【答案】A【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．【详解】解：∵23( )22a b a b ⋅=，∴()3222a b a b a =÷=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．27．（2023·上海·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．523a a a ÷=B ．336a a a +=C ．()235a a =D a=【答案】A【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．【详解】解：A 、523a a a ÷=，故正确，符合题意；B 、3332a a a +=，故错误，不符合题意；C 、()236a a =，故错误，不符合题意；D a =，故错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．28．（2023·湖南·统考中考真题）计算2312x ⎛⎫⎪⎝⎭的结果正确的是（）A ．6xB ．614xC ．514x D ．9x 【答案】B【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．【详解】解：()236322112124x x x ⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．29．（2023·山东临沂·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．321a a -=B ．222()a b a b -=-C ．()257a a =D ．325326a a a ⋅=．【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．【详解】解：A 、32a a a -=，故选项错误，不符合题意；B 、222()2a b a ab b -=-+，故选项错误，不符合题意；C 、()2510a a =，故选项错误，不符合题意；D 、325326a a a ⋅=，故选项正确，符合题意；故选:D ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．30．（2023·山东枣庄·统考中考真题）下列运算结果正确的是（）A ．4482x x x +=B ．()32626x x -=-C ．633x x x ÷=D ．236x x x ⋅=【答案】C【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．【详解】解：A 、4442x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、()32628x x -=-，选项计算错误，不符合题意；C 、633x x x ÷=，选项计算正确，符合题意；D 、235x x x ×=，选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．31．（2020春·云南玉溪·八年级统考期末）下列计算正确的是（）A ．3a +4b ＝7abB ．x 12÷x 6＝x 6C ．（a +2）2＝a 2+4D ．（ab 3）3＝ab 6【答案】B【分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断.【详解】解：A 、3a 和4b 不是同类项，不能合并，所以此选项不正确；B 、x 12÷x 6＝x 6，所以此选项正确；C 、（a +2）2＝a 2+4a +4，所以此选项不正确；D 、（ab 3）3＝a 3b 9，所以此选项不正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.32．（2023·山西·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．()2236a b a b -=-C ．632a a a ÷=D ．()326a a =【答案】D【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．【详解】A ．235a a a ⋅=，故该选项计算错误，不符合题意，B ．()2362a b a b -=，故该选项计算错误，不符合题意，C ．633a a a ÷=，故该选项计算错误，不符合题意，D ．()326a a =，故该选项计算正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．33．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（）．A ．4322x x x ÷=B ．()437x x =C ．437x x x +=D ．3412x x x ⋅=【答案】A【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．【详解】解：A.4322x x x ÷=，计算正确，故选项A 符合题意；B.()4312x x =，原选项计算错误，故选项B 不符合题意；C.4x 与3x 不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C 不符合题意；D.347x x x ⋅=，原选项计算错误，故选项D 不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．34．（2023·湖南郴州·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．437a a a ⋅=B ．()325a a =C ．2232a a -=D ．()222a b a b -=-【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．【详解】解：A 、437a a a ⋅=，选项计算正确，符合题意；B 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；C 、22232a a a -=选项计算错误，不符合题意；D 、()2222a b a ab b -=-+，选项计算错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．35．（2023·广西·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．347a a a +=B ．347a a a ⋅=C ．437a a a ÷=D ．()437a a =【答案】B【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方进行计算即可．【详解】A.347a a a +≠，故该选项不符合题意；B.347a a a ⋅=，故该选项符合题意；C.437a a a a ÷=≠，故该选项不符合题意；D.()43127a a a =≠，故该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．36．（2023·四川·统考中考真题）下列计算正确的是()A ．22ab a b -=B ．236a a a ⋅=C ．233ab a a ÷=D ．222()()4a a a +-=-【答案】D【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式进行计算即可求解．【详解】A.22ab a b -≠，故该选项不正确，不符合题意；B.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C.233a b a ab ÷=，故该选项不正确，不符合题意；D.222()()4a a a +-=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．考向五整式的运算整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．37．（2023·四川乐山·统考中考真题）计算：2a a -=（）A ．aB ．a-C ．3aD ．1【答案】A【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．【详解】解：2a a a -=，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．38．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（）A ．3232a a a -=B ．()222a b a b +=+C ．322a b a a÷=D ．()2242a b a b =【答案】D【分析】根据合并同类项可判断A ，根据完全平方公式可判断B ，根据单项式除以单项式可判断C ，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：33a ，2a 不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；()2222a b a ab b +=++，故B 不符合题意；3222a b a ab ÷=，故C 不符合题意；()2242a b a b =，故D 符合题意；故选：D.【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．39．（2023·湖南张家界·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．22(2)4x x +=+B ．248a a a ⋅=C ．()23624x x =D ．224235x x x +=【答案】C【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．【详解】解：A 、22(2)44x x x +=++，选项计算错误，不符合题意；B 、246a a a ⋅=，选项计算错误，不符合题意；C 、()23624x x =，计算正确，符合题意；D 、222235x x x +=，选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．40.（2023·黑龙江·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b -=-C ．()()2224m m m -+--=-D ．()257a a =【答案】C【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．【详解】解：A.()2224a a -=，原式计算错误；B.()2222a b a ab b -=-+，原式计算错误；C.()()2224m m m -+--=-，计算正确；D.()2510a a =，原式计算错误．故选：C ．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．41．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．32a a a -=B ．325a a a ⋅=C ．321a a ÷=D ．()23a a=【答案】B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算即可．【详解】解：3a 与2a 不是同类项，不能合并，故A 选项错误；33522a a a a +⋅==，故B 选项正确；32a a a ÷=，故C 选项错误；()236a a =，故D 选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．42．（2023·新疆·统考中考真题）计算2432a a b ab ⋅÷的结果是（）A ．6aB ．6abC ．26a D ．226a b 【答案】C【分析】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】解：2432a a b ab⋅÷3122a b ab=÷26a =，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．43．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：()22a a a +-=（）A ．2B ．2aC ．22a a+D ．22a a-【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()222222a a a a a a a +-=+-=，故选：B.【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．44．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式：01234571,77,749,7343,72401,716807,,====== 根据其中的规律可得01220197777++++ 的结果的个位数字是（）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出01220197777++++ 的结果的个位数字．【解析】∵01234571,77,749,7343,72401,716807,,====== ∴个位数4个数一循环，∴()201914505+÷=，∴179320+++=，∴01220197777++++ 的结果的个位数字是：0．故选A ．【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．45．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：()()233(3)a b a b a b -++-，其中13,3a b =-=．【答案】226a ab -，24【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．。

专题4.18 因式分解(常考知识点分类专题)(基础篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.18因式分解（常考知识点分类专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【考点一】因式分解➽➼➵因式分解的判定✮✮因式分解中的参数1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()255x x x x+=+B ．()()2111x x x ++=-C ．()22442x x x -+=-D ．()222413x x x ++=++2．多项式2771330x x --可因式分解成()()7x a bx c ++，其中a ，b ，c 均为整数，b ac +的值为（）A ．0B ．10C ．22D ．19-3．已知关于x 的二次三项式22x bx a ++分解因式的结果是()()123x x +-，则代数式ba 的值为（）A ．－3B ．－1C ．－13D ．13【考点二】因式分解➽➼➵提公因式法✮✮公因式4．下列各组多项式中，没有公因式的是（）A ．ax ﹣by 和by 2﹣axyB ．3x ﹣9xy 和6y 2﹣2yC ．x 2﹣y 2和x ﹣yD ．a +b 和a 2﹣2ab +b 25．已知230x x --=，则代数式()()()323210x x x x +-+-的值为（）A ．34B ．C ．26D ．6．220052005-一定能被（）整除A ．2004B ．2006C ．2008D ．2009【考点三】因式分解➽➼➵判断能否用公式法进行因式分解7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A ．221x x --B ．221x x +-C ．244x x +-D ．244x x ++8．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --9．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）A ．2249a b -B ．222a ab b -+-C ．21a --D ．2114b -+【考点四】因式分解➽➼➵平方差公式✮✮完全平方公式10．因式分解()2216x --的结果是（）A ．()()26x x -+B ．()()1418x x +-C ．()()26+-x x D ．()()1418x x -+11．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式2a -□2b 中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（）A ．aB ．9-C ．25D ．2a 12．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．244x x +-B ．222x x ++C ．29x -D ．2816x x ++【考点五】因式分解➽➼➵十字相乘法13．多项式212x ax ++分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个14．甲、乙两人在因式分解2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +-，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x -+，那么b a -的值为（）A ．8-B ．6-C ．4-D ．215．若二次三项式()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则当0a >，0b <，0c >时，1c ，2c 的符号为（）A ．10c >，10c >B ．10c <，20c <C ．10c >，20c <D ．1c ，2c 同号【考点六】因式分解➽➼➵分组分解法16．用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．()()222a b b bc ---B ．()2222a b c ab--+C ．()()2222a b c bc ---D ．()2222a b c bc -+-17．将多项式2233x y x y --+分解因式的结果为（）A ．()()3x y x y ++-B ．()()3x y x y ---C ．()()3x y x y +--D ．()()3x y x y -+-18．把2212a b ab ---分解因式，正确的分组为（）A ．()2212a b ab -++B ．()()2212a b ab ---C ．()()2212ab a b -+--D ．()2212a b ab---【考点七】因式分解➽➼➵综合公式法进行因式分解19．下列分解因式错误的是（）A ．21555(31)a a a a +=+B ．()2222()()x y x y x y x y --=--=-+-C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．2()()a ab ac bc a b a c -+-=-+20．把多项式424a a -分解因式，结果正确的是（）A ．()()2222a a a a -+B ．()224a a -C ．()()222a a a +-D ．()222a a -21．下列因式分解正确的是（）A ．()222x xy y x y ++=+B ．()()25623x x x x --=--C ．()3244x x x x -=-D ．()()22943232m n m n m n -=+-【考点八】因式分解的应用➽➼➵用因式分解在有理数运算的应用22．计算()()2022202122-+-所得的结果是（）A ．－2B ．2C ．－20212D ．2021223．20152-2015一定能被（）整除A ．2010B ．2012C ．2013D ．201424．计算：752-252=（）A ．50B ．500C ．5000D ．7100【考点九】因式分解的综合应用25．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A ．2+a bB ．4a b +C ．2a b +D ．3a b+26．已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A ．2022-B ．2022C ．3-D ．327．小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中记录着下面的信息．现将()()222288m a b n a b ---分解因式，结果呈现的密码信息可能是（）a b -m n -8a b +22a b +m爱大兴文美好A ．大爱兴文B ．美好兴文C ．大美兴文D ．大好兴文二、填空题【考点一】因式分解➽➼➵因式分解的判定✮✮因式分解中的参数28．若215x kx +-能分解成()()53x x +-，则k 的值为______．29．已知二次三项式22x x m -+有一个因式是5x +，则m 的值为______．30．若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若225x -与()2x b +为关联多项式，则b 为______．【考点二】因式分解➽➼➵提公因式法✮✮公因式31．边长为a 、b 的长方形的周长为16，面积为10，则a 2b +ab 2=__．32．分解因式：()()22m a a +=--___．33．若3x y -=，2xy =-，则代数式2233x y xy -的值是_____．【考点三】因式分解➽➼➵判断能否用公式法进行因式分解34．在多项式①﹣m 2+9；②﹣m 2﹣9；③2ab ﹣a 2﹣b 2；④a 2﹣b 2+2ab ；⑤（a+b ）2﹣10（a+b ）+25中，能用平方差公式因式分解的有__；能用完全平方公式因式分解的有__（填序号）．35．给出下列多项式：①22x y +；②22x y -；③22x xy y ++；④222x xy y ++；⑤41x -；⑥2214m mn n -+．其中能够因式分解的是：_____________（填上序号）．36．多项式a(a －b －c)＋b(c －a ＋b)＋c(b ＋c －a)提出公因式a －b －c 后，另外一个因式为__________．【考点四】因式分解➽➼➵平方差公式✮✮完全平方公式37．分解因式：2525()a a --=_______．38．已知0.5x y -=，5 3.5x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为_________．39．已知2440m m m n -++-=，那么nm -=_____．【考点五】因式分解➽➼➵十字相乘法40．已知：2(5)(Δ)235x x x x -+=+-其中∆代表一个常数，则∆的值为___________．41．因式分解：21024--=x x ______．42．已知多项式2312A x =-，21016B x x =-+，则A 、B 的公因式是______．【考点六】因式分解➽➼➵分组分解法43．分解因式：2x xy ax ay -+-=_________．44．分解因式：22224x x y y xy --+-=___________．45．因式分解：m 2-n 2-2m +1=___．【考点七】因式分解➽➼➵综合公式法进行因式分解46．已知100a b +=，3a b -=，则代数式2222a b -的值为______．47．已知4,6x y x y +=-=，则2222x y -=__________．48．已知27a b ab -=-=，，则代数式32232a b a b ab -+的值为___．【考点八】因式分解的应用➽➼➵用因式分解在有理数运算的应用49．小明将()220212022x +展开后得到2111a x b x c ++，小李将()220222021x +展开后得到2222a x b x c ++，若两人计算过程无误，则12a a -的值为______．50．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．51．计算：2021×512−2021×492的结果是_______________．【考点九】因式分解的综合应用52．已知x 、y 满足321xy x y =⎧⎨-=-⎩，则3223882x y x y xy -+=__．53．若2310x x x +++=，则23201920201x x x x x ++++⋯++的值________．54．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a bad bc c d=-，例如：121423234=⨯-⨯=-，按照这个规定请你计算：当2440x x -+=时，12123x xx x +--的值是__________．三、解答题55．分解因式(1)()(4)a b a b ab --+．(2)2()4a b ab -+．56．因式分解：(1)32639x x x --+；(2)()()()22332a b a b a a b +--+．57．把下列各题因式分解：(1)2244xy x y ---；(2)()()()426x x a y a x x a -----．58．因式分解：(1)2242mx mx m-+(2)268x x -+59．因式分解：(1)22916x y -；(2)2224129a b bc c -+-；(3)2215x x --；(4)22465x y x y -+--．60．阅读理解：（1）特例运算：①（x +1）（x +2）＝；②（x +3）（x ﹣1）＝；（2）归纳结论：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（）x +；（3）尝试运用：直接写出计算结果（m +99）（m ﹣100）＝；（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2﹣5x +6＝；②x 2﹣3x ﹣10＝．（5）拓展延伸：若x 2+px ﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是．参考答案1．C【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．2．D【分析】根据已知可得()()27713307x x x a bx c --=++，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，从而可得777b =，713ab c +=-，30ac =-，进而求出b 的值，进行计算即可解答．解：()()27713307x x x a bx c --=++ ，2277133077x x bx abx cx ac∴--=+++()2277133077x x bx ab c x ac ∴--=+++，777b ∴=，713ab c +=-，30ac =-，11b ∴=，113019b ac ∴+=-=-，故选：D ．【点拨】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．3．C【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，可求得a 与b 的值，从而可求得结果的值．解：()()22123223323x x x x x x x +-=+--=--则3a =-，1b =-∴11(3)3b a -=-=-故选：C【点拨】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，负整数指数幂的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是本题的关键．4．D【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．解：A 、by −axy ＝−y （ax −by ），故两多项式的公因式为：ax −by ，故此选项不合题意；B 、3x −9xy ＝3x （1−3y ）和6y 2−2y ＝−2y （1−3y ），故两多项式的公因式为：1−3y ，故此选项不合题意；C 、x 2−y 2＝（x −y ）（x ＋y ）和x −y ，故两多项式的公因式为：x −y ，故此选项不合题意；D 、a ＋b 和a 2−2ab ＋b 2＝（a −b ）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；故选：D ．【点拨】此题主要考查了公因式，掌握确定公因式的方法是解题关键．5．C【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．解：()()()323210x x x x +-+-229410x x x =-+-210104x x =--()2104x x =--，∵230x x --=∴23-=x x ∴原式=10×3－4=26故选C ．【点拨】本题考查了代数式的化简求值、平方差公式、提取公因式、整体代入等知识点，掌握整体代入是解答本题的关键．6．A【分析】提出公因式2005，原式变形为20052004⨯，即可求解．解：()22005200520052005120052004-=⨯-=⨯，所以220052005-一定能被2004整除．故选：A【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．D【分析】根据完全平方式()222a ab b ±+的结构逐项分析判断即可解：A.221x x --，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B.221x x +-，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C.244x x +-，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D.244x x ++()22x =+，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键．8．A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．9．C【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解．解：A 选项，22(243)(23)9a b a b a b =+--是平方差公式因式分解，不符合题意；B 选项，222222(2)()a ab b a ab b a b -+-=--+=--是完全平方因式分解，不符合题意；C 选项，221(1)a a --=-+不可以用公式法因式分解，符合题意；D 选项，22111111114422b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是平方差公式因式分解，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键．10．C【分析】利用平方差公式对多项式()2216x --进行分解因式即可得到答案．解：()2216x --()()2424x x =---+()()62x x =-+，故选C ．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．11．B【分析】直接利用公式法以及提公因式法分解因式得出答案．解：A 、222)(a ab a a b =--，故此选项不符合题意；B 、229a b +不能分解因式，故此选项符合题意；C 、22255)(5()a y a b a b =--+，故此选项不符合题意；D 、222)()(a a b a ab a ab -+-=，故此选项不符合题意．故选：B ．【点拨】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，熟练掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键．12．D【分析】直接根据完全平方公式逐项排查即可．解：A 、244x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；B 、222x x ++，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；C 、29x -，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；D 、()228164x x x ++=+，可以用完全平方公式进行因式分解，符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式的特点是解题的关键：()222a b a b ab ±=±+．13．D【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a 等于这两个整数的和．解：12112=⨯时，11213a =+=；()12112=-⨯-时，()11213-+-=-；1226=⨯时，268a =+=；()1226=-⨯-时，()268-+-=-；1234=⨯时，347a =+=；()1234=-⨯-时，()347-+-=-；∴a 的取值有6个．故选：D ．【点拨】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m 、n 之积为12，m 、n 之和为a 是解题的关键．14．A【分析】根据甲分解的结果求出b ，根据乙分解的结果求出a ，然后代入b a -求解即可．解：∵()()226412x x x x =+--+，∴12b =-，又∵()()284432x x x x -+=--，∴4a =-，∴()1248b a -=---=-，故选：A ．【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．15．D【分析】首先整式的乘法展开()()1122a x c a x c ++为()212122112a a x a c a c x c c +++，然后根据0c >求解即可．解：∵()()21122ax bx c a x c a x c ++=++212122112a a x a c x a c x c c =+++，()212122112a a x a c a c x c c =+++，∵0a >，0b <，0c >，∴120a a >，12210a c a c +<，120c c >，∴1c ，2c 同号．故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．16．D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．解：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．17．A【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．解：2233x y x y--+()()()3x y x y x y =+-+-()()3x y x y =++-，故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．18．A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．解：2212a b ab---()2212a b ab=-++()21a b =-+()()11a b a b =++--．故选：A ．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．19．B【分析】利用因式分解的方法判断即可．解：A.()2155531a a a a +=+，正确；B.()2222x y x y --=-+，错误，所以此选项符合题意；C.()()()1k x y x y k x y +++=++，正确；D.()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确故选B.【点拨】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．C【分析】先提公因式2a ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．解：()()()422224422a a a a a a a -=-=+-，故选：C ．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．21．D【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．解：A 、22x xy y ++不能进行因式分解，不符合题意；B 、()()25661x x x x --=-+，原因式分解错误，不符合题意；C 、()()()324422x x x x x x x -=-=+-，原因式分解错误，不符合题意；D 、()()22943232m n m n m n -=+-，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点拨】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．22．D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)()20212=--20212=，故D 正确．故选：D ．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．23．D解：解析：20152-2015=2015×（2015-1）=2015×2014，所以一定能被2014整除.故选D.24．C解：原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000，故选C ．考点：因式分解的运用．25．A【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．解：大正方形的面积为()222442a b ab a b ++=+，∴大正方形的边长为2+a b ，故选：A ．【点拨】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．26．D【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦()11142=++3=；故选D ．【点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．A【分析】先提取公因式228()a b -，然后再利用平方差公式分解因式即可得出密码信息．解：22228()8()m a b n a b ---228()()a b m n =--8()()()a b a b m n =+--，∴密码信息是兴、文、爱、大四字组成．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的运用，掌握综合运用提公因式与平方差公式分解因式是解题的关键．28．2【分析】根据多项式215x kx +-分解成()()53x x +-，所以整式乘法()()53x x +-得出的多项式与215x kx +-相同，由此得出一次项系数k 的值．解：()()53x x +-25315x x x =+--2215x x =+-，∵()()53x x +-是由215x kx +-分解成的，∴一次项系数2k =．故答案为：2．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握整式乘法与因式分解为互逆的运算过程是解题的关键．29．35-【分析】设另一个因式为()x n +，根据因式分解的定义以及多项式乘以多项式的运算法则求解即可．解：设另一个因式为()x n +，根据题意，得()()225x x m x x n -+=++，即()22255x x m x n x n -+=+++，∴52n +=-，5m n =，解得7n =-，35m =-，故答案为：35-．【点拨】本题考查因式分解的应用、多项式乘以多项式，理解因式分解和整式乘法是互逆运算是解答的关键．30．5±【分析】将多项式因式分解，根据公因式的定义即可得出答案．解：根据题意，则225x -=（x +5）（x -5），∵225x -与()2x b +为关联多项式，∴b =±5．故答案为：±5．【点拨】本题考查了公因式，掌握多项式ma +mb +mc 中，各项都含有一个公共的因式m ，因式m 叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．31．80【分析】根据题意，知识()216,10a b ab +== ，将a 2b +ab 2进行因式分解，代入即可求解．解：由题目，有：()216,10a b ab +== 8,10a b ab +==a 2b +ab 2=()10880ab a b +=⨯=故本题答案为：80．【点拨】本题考查代数式的因式分解，将已知条件代入求值即可，关键在于因式分解的掌握和应用．32．()()21a m --【分析】直接提取公因式()2a -，进而分解因式得出答案．解：原式()()22m a a -=--()()21a m =--．故答案为：()()21a m --．【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．33．18-【分析】原式提取公因式后，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵3x y -=，2xy =-，∴原式()318xy x y =-=-，故答案为：18-【点拨】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．34．①③⑤试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解．根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可．解：①﹣m 2+9可直接应用平方差公式分解；②﹣m 2﹣9是两数的平方和的相反数，不能因式分解；③2ab ﹣a 2﹣b 2符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解；④a 2﹣b 2+2ab 不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；⑤将（a+b ）看作一个整体，（a+b ）2﹣10（a+b ）+25符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解．故能用平方差公式因式分解的有①；能用完全平方公式因式分解的有③⑤（填序号）．故答案为①；③⑤．考点：因式分解-运用公式法．点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键．35．②④⑤⑥【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.解：①22x y +，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；②()()22x y x y x y -=+-，故可以因式分解；③22x xy y ++，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；④()2222x xy y x y ++=+，故可以因式分解；⑤()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故可以因式分解；⑥2221142m mn n m n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故可以因式分解；综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，故答案为：②④⑤⑥.【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.36．a －b －c解：试题解析：原式()()(),a abc b a b c c a b c =--------()().a b c a b c =----故答案为.a b c --37．()25a -/()25a -【分析】先去括号，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．解：2525()a a --=()2210255a a a -+=-，故答案为：2(5)a -．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．38．4【分析】根据已知等式得出22x y +=，将代数式因式分解即可求解．解：∵0.5x y -=，5 3.5x y +=，∴244x y +=∴22x y +=∴2244x xy y ++()22x y =+22=4=，故答案为：4．【点拨】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．39．4-【分析】根据完全平方公式将2440m m m n -++-=转化为：()220m m n -+-=，再利用绝对值和偶数次幂的非负性，求出m ，n 的值，进而即可求解．解：2440m m m n -++-= ，()220m m n ∴-+-=，20,0m m n ∴-=-=，2m n ∴==，224nm ∴-=-⨯=-．故答案是：4-．【点拨】本题主要考查代数式求值，完全平方公式，掌握绝对值和偶数次幂的非负性，是解题的关键．40．7【分析】将2235x x +-因式分解即可解答．解：将2235x x +-因式分解，得：2235(5)(7)x x x x +-=-+，故∆7=，故答案为：7．【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的十字相乘法．41．()()122x x -+【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可．解：21024--=x x ()()122x x -+，故答案为：()()122x x -+．【点拨】题目主要考查利用十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．42．2x -/2x-+【分析】把A 、B 进行因式分解，即可求解．解：()()()2231234322A x x x x =-=-=+-，()()2101628B x x x x =-+=--，所以A 、B 的公因式是2x -．故答案为：2x -【点拨】本题考查多项式的公因式，将各多项式因式分解是求解本题的关键．43．()()x a x y +-【分析】前两项一组，提取公因式x ，后两项一组，提取公因式a ，然后两组之间再提取公因式()x y -整理即可．解：2x xy ax ay-+-()()2x xy ax ay =-+-()()x x y a x y =-+-()()x a x y =+-故答案为：()()x a x y +-【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．44．()()22x y x y -+-【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．解：原式()()22224x xy y x y =--+-+，()()22(2)x y x y x y =-+--，()()22x y x y =-+-．故答案为：()()22x y x y -+-．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．45．（m -1+n ）（m -1-n ）【分析】先分组，得到m 2-2m +1-n 2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．解：原式=m 2-2m +1-n 2=（m -1）2-n 2=（m -1+n ）（m -1-n ）．故答案为（m -1+n ）（m-1-n ）．【点拨】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．46．600【分析】代数式()()22222a b a b a b -=+-，将100a b +=，3a b -=，代入求解即可．解：()()22222a b a b a b -=+-，将100a b +=，3a b -=，代入原式21003600=⨯⨯=，故答案为：600．【点拨】本题考查了平方差公式，代数式求值等知识．解题的关键在于正确的运算．47．48【分析】先因式分解得出()()22222x y x y x y -=+-，再把4,6x y x y +=-=代入即可得出答案解：∵()()()22222x 2y 2x y 2x y x y -=-=+-，∵4,6x y x y +=-=，∴原式=24648⨯⨯=故答案为：48【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键48．28【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后代值求解即可．解：∵27a b ab -=-=，，()()322222322a b a b ab a ab b b a a b a b -+=+=--，∴()3232272228a b a b ab =⨯-=+-，故答案为：28．【点拨】本题考查了代数式求值，综合提公因式与公式法进行因式分解等知识，解题的关键在于正确的运算．49．4043-【分析】根据完全平方公式可得212021a =，222022,a =再利用平方差公式进行简便运算即可．解：()220212022x +展开可得：212021,a =()220222021x +展开可得：222022,a =∴()()22122021202220212022202120224043.a a -=-=+-=-故答案为：4043-．【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．50．8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．解：原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点拨】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．51．404200【分析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可简便计算．解：2021×512−2021×492=2021×(512-492)=2021×(51+49)×(51-49)=2021×100×2=404200．故答案为：404200．【点拨】本题考查因式分解的应用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．52．6【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：3xy = ，21x y -=-，3223882x y x y xy -+222(44)xy x xy y =-+22(2)xy x y =-223(1)=⨯⨯-61=⨯6=，故答案为：6．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．53．1【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．解：2310x x x +++= ，∴原式()()()234567820172018201920201x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++()()()235232017231111x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++1000=+++⋯+1=．故答案为：1．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．54．1-【分析】根据：2440x x -+=时，可得：2(2)0x -=，据此求出x 的值是多少，进而求出12123x xx x +--的值是多少即可．解：2440x x -+= 时，2(2)0x ∴-=，20x ∴-=，解得2x =，∴12123x x x x +--3411=3141=⨯-⨯34=-1=-故答案为：1-．【点拨】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．55．(1)（2(2)a b -；(2)2()a b +【分析】（1）整理后用完全平方公式分解即可；（2）整理后用完全平方公式分解即可．解：（1）原式222224444(2)a ab ab b ab a ab b a b =--++=-+=-．（2）原式22222242()a ab b ab a ab b a b =-++=++=+．【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．56．(1)()()3231x x x -+-；(2)()()23a b a b -++【分析】（1）先提取公因式3x -，再根据十字相乘法分解因式即可；（2）提取公因式()2a b +即可分解因式．（1）解：32639x x x--+()2332x x x -+-=()()3231x x x =-+-；（2）解：()()()22332a b a b a a b +--+()()2233a b a b a +--⎡⎤⎣⎦=()()23a b a b +--=()()23a b a b ++=-【点拨】本题考查因式分解．掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解题关键．57．(1)()22x y -+；(2)()()223x a x y -+-【分析】（1）用完全平方公式分解因式即可；（2）用提公因式法分解因式即可．（1）解：2244xy x y ---()2244xy x y +=-+()22x y =-+；（2）解：()()()426x x a y a x x a -----()()()426x x a y x a x a -+---=()()223x a x y -+-=．【点拨】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，准确计算．58．(1)()221m x -；；(2)()()42x x --【分析】（1）首先提取公因式2m ，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）用十字相乘法分解即可．（1）解：原式()2221m x x =-+()221m x =-．（2）解：原式()()42x x =--．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，能根据多项式的特点，灵活选择方法是关键．59．(1)()()3434x y x y +-；(2)()()2323a b c a b c +--+；(3)()()53x x -+；(4)()()51x y x y +--+【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；（2）先利用完全平方公式将原式变形为()2223a b c --，再利用平方差公式进行因式分解；（3）利用十字相乘法进行因式分解；（4）利用分组分解法将原式变形为()()2223x y --+，再利用平方差公式进行因式分解．（1）解：22916x y -()()2234x y =-()()3434x y x y =+-；（2）解：2224129a b bc c -+-()2224129a b bc c =--+()2223a b c =--()()2323a b c a b c =+--+；（3）解：2215x x --(5)(3)x x =-+；（4）解：22465x y x y -+--()()224469x x y y =++--+()()2223x y =--+()()51x y x y =+--+．【点拨】本题考查因式分解，掌握分组分解法、十字相乘法、公式法等常用的因式分解方法是解题的关键．60．（1）①x 2+3x +2；②x 2+2x ﹣3；（2）a +b ；ab ；（3）m 2﹣m ﹣9900；（4）①（x ﹣2）（x ﹣3）；②（x ﹣5）（x +2）；（5）﹣7，﹣2，2，7【分析】（1）各式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律计算即可求出值；（4）利用十字相乘法分解即可；（5）根据十字相乘法求出p 的所有可能值即可．解：（1）特例运算：①（x +1）（x +2）＝x 2+3x +2；②（x +3）（x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3；（2）归纳结论：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ；（3）尝试运用：直接写出计算结果（m +99）（m ﹣100）＝m 2﹣m ﹣9900；（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2﹣5x +6＝（x ﹣2）（x ﹣3）；②x 2﹣3x ﹣10＝（x ﹣5）（x +2）；（5）拓展延伸：若x 2+px ﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是﹣7，﹣2，2，7，故答案为（1）①x 2+3x +2；②x 2+2x ﹣3；（2）a +b ；ab ；（3）m 2﹣m ﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7【点拨】考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．。

专题04 因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结

知识回顾专题04因式分解2023年中考数学必考考点总结考点一：因式分解1.因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。

2.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。

若多项式首项是负的，则公因式为负。

用各项除以公因式得到另一个式子。

②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22。

完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。

对于一个二次三项式c bx ax ++2，若满足21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++。

当1=a 时，二次三项式是c bx x ++2，此时只需21c c c ⋅=，且b c c =+21，则c bx x ++2可分解为：()()212c x c x c bx x ++=++。

④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。

（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3.因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。

（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。

四项及以上则考虑分组分解。

（3）检查因式分解是否分解完全。

必须分解到不能分解位置。

再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。

微专题1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为．【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝．【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+2）2．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案为：a（a﹣3）2．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故答案为：2022（x﹣1）2．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．24．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是．【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．。

2024年中考数学一轮复习考点探究整式与因式分解学案 (含答案)

第2节整式与因式分解(必考,3~6分)【知识清单】知识点1 代数式代数式{定义:用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,单独的一个数或一个① 也是代数式代数式的书写规则{(1)若数字因数是带分数,要化成假分数,如:412x 要写成92x (2)式子中出现除法时,要写成分数的形式,如:x ÷y 要写成x y (3)列出的代数式是多项式且后面带有单位,必须将多项式用括号括起来知识点2 整式的有关概念整式的有关概念{单项式{定义:表示数与字母乘积的式子,单独的一个数或字母也是单项式,如15,a 系数:单项式中的② 次数:单项式中所有字母的指数的③多项式{定义:几个单项式的④ 项:多项式中每一个⑤ 常数项:不含⑥ 的项次数:多项式中次数⑦ 的次数整式:⑧ 统称为整式同类项:所含的⑨ 相同,并且相同字母的⑩ 也相同的项(常数项都是同类项)知识点3 整式的运算整式的运算{整式的加减{合并同类项:字母和字母的指数⑪ ,⑫ 相加减作为新的系数去括号法则{括号前是“+”,去掉括号和它前面的“+”,原括号内各项不变号如a +(b +c )=⑬ 括号前是“-”,去掉括号和它前面的“-”,原括号内各项都变号如a -(b +c )=⑭ 幂的运算{同底数幂相乘:底数不变,指数⑮ ,a m ·a n=⑯ 同底数幂相除:底数不变,指数⑰ ,a m ÷a n =⑱ (a≠0)幂的乘方:底数不变,指数⑲ ,(a m )n =⑳积的乘方:(ab )n=㉑整式的乘法{单项式乘单项式:2a 3b ·(−2a 2b)=㉒单项式乘多项式:m (a +b +c )=㉓ (m,a,b,c 都是单项式)多项式乘多项式:(m +n )(a +b )=㉔乘法公式{平方差公式:(a +b )(a -b )=㉕完全平方公式:(a ±b )2=㉖整式的除法{单项式除以单项式:8x 2y 4÷(−4xy 2)=㉗多项式除以单项式:(am +bm +cm )÷m =㉘ (m ≠0) 知识点4 因式分解因式分解{定义:把一个㉙化成几个整式的㉚的形式因式分解的方法{提公因式法:ma +mb +mc =㉛公式法{平方差公式:a 2-b 2=㉜完全平方公式:a 2±2ab +b 2=㉝ *十字相乘法:x 2+(p +q)x +pq =(x +p)(x +q)常用公式变形{ a 2+b 2=(a +b )2-2ab=(a-b)2㉞(a +b )2-(a-b)2=㉟ x 2+1x 2=(x +1x )2-2=(x -1x)2+2 【方法总结】因式分解“三步曲”:【参考答案】①字母②数字因数③和④和⑤单项式⑥字母⑦最高项⑧单项式和多项式⑨字母⑩指数不变系数a+b+c a-b-c相加a m+n相减a m-n相乘a mn a n b n-4a5b2ma+mb+mc ma+mb+na+nba2-b2a2±2ab+b2-2xy2a+b+c多项式积m(a+b+c)(a+b)(a-b) (a±b)2+2ab 4ab【自我诊断】1.下列说法中,正确的是( )A.2不是单项式B.-abc2的系数是-12C.3πr2的次数是3D.多项式5a2-6ab+12的次数是42.下列计算正确的是( )A.m+m=m2B.(-3x)2=6x2C.(m+2n)2=m2+4n2D.(m+3)(m-3)=m2-93.下列选项中的单项式,与-ab2是同类项的是( )A.a2b2B.-3b2aC.-ab2cD.-a2b4.多项式a3+2ab+a-3的次数和常数项分别是, .5.若a-2b=4,则2(a-2b)-a+2b-5的值是.6.因式分解:3x2-12= .【参考答案】1.B2.D3.B4.3-35.-16.3(x+2)(x-2)【真题精粹】考向1 列代数式及求值(6年3考)1.(2022·江西)将字母“C”和字母“H”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第4个图形中字母“H”的个数是( )第1个图形第2个图形第3个图形…A.9B.10C.11D.122.(数学文化)(2021·江西)下图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过,因而人们把这个图叫做杨辉三角,请你根据杨辉三角的规律补全图中第四行空缺的数字,这个数字是.考向2 整式的运算3.(2023·江西)计算(2m2)3的结果为( )A.8m6B.6m6C.2m6D.2m54.(2022·江西)下列计算正确的是( )A.m2·m3=m6B.-(m-n)=-m+nC.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n25.(2023·江西)化简:(a+1)2-a2= .热点预测6.计算(-3x)2·2x正确的是( )A.6x3B.12x3C.18x3D.-12x3考向3 因式分解7.(2022·江西)因式分解:a2-3a= .8.(2021·江西)因式分解:x2-4y2= .热点预测9.因式分解:y2+6y+9= .【参考答案】1.B2.33.A4.B5.2a+16.C7.a(a-3)8.(x+2y)(x-2y)9.(y+3)2【核心突破】考点1 列代数式及求值例题1 按一定规律排列的单项式为a,√2a2,√3a3,√4a4,√5a5,…,则第n个单项式是( )A.√nB.√n-1a n-1C.√n a nD.√n a n-1变式特训1.(2023·赣州模拟)如图,各图形由大小相同的黑点组成,图1中有2个点,图2中有7个点,图3中有14个点,…,按此规律,第6个图中黑点的个数是( )A.47B.62C.79D.982.(2023·山西)如图,这是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,…,依此规律,第n个图案中有个白色圆片.(用含n的代数式表示)3.(2023·河北)根据表中的数据,a的值为,b的值为.x结果代数式2n3x+17b2x+1a1x考点2 整式的相关概念例题2 下列说法中,不正确的是( )A.-2a2b2c的系数是-2,次数是5是整式B.x+y2C.-2x2-x+1的项是-2x2,-x,1D.-πab2-a是四次二项式变式特训4.若关于x,y的多项式2x2+3mxy-y2-xy-5是二次三项式,则m= .考点3 整式的运算例题3 (2023·抚州模拟)下列计算正确的是( )A.a3·a2=a6B.2a+3a=5a2C.(a+b)2=a2+b2D.(-2a2)3=-8a6x m+3y和2x4y n+3的和还是单项式,那么(m+n)2023的值为( ) 例题4 如果单项式-12A.2023B.0C.1D.-1例题5 (过程性学习)小红在计算a(1+a)-(a-1)2时,解答过程如下:小红的解答从第步开始出错,请写出正确的解答过程.例题6 先化简,再求值:(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其中x=-1.变式特训5.(2023·赣州模拟)下列计算正确的是( )A.b2+b2=2b4B.m3·m3=2m3C.(a-b)2=a2-b2D.(-a2b3)2=a4b66.若多项式x2-mxy-y2+6xy-1(m为常数)不含有xy,则m= .7.已知x2+2x-2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.考点4 因式分解例题7 (2023·赣州模拟)在实数范围内分解因式:xy2-4x= . 变式特训8.因式分解:-x2+2x-1= .【参考答案】例题1 C变式特训1.A-22.(2n+2)3.52例题2 D变式特训4.13例题3 D例题4 D例题5一.3a-1例题6-22变式特训5.D6.67.5例题7x(y+2)(y-2) 变式特训8.-(x-1)2。