向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动

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二阶积—微分方程边值问题解的存在性

二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。

一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。

三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。

四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。

含两个参数的向量二阶拟线性边值问题的奇摄动

中图分类号：１５１０７．３文献标志码：Ａ文章编号：６３８２（０８０－１２０１７．０２０）２００－０６
１７９６年文［］１证明了向量二阶拟线性边值问题
” ＋Ａ，ＹＹ＋（，） ’ ，Ｙ＝０；０）＝Ｏ）Ｙ１）＝／），）（，ｔ（，（，３（（）１
．
拓广为伴有边界摄动且含有两个参数的边值问题，即
『 ”＋Ａ（，）＋，ＹＹ，Ｙ＝０，），／、， ’
ｔ（ｙｇ）＝Ｏ，，（）：（）ｔ）Ｙ１一（，，
其中＞０，＞０是小参数， ∈ ［１一，，是ｎ维向量函数，ｎ×ｎ矩阵函数，，］Ｙ，是并且它们都可以按或或，渐近展开．本文给出了边值问题（）的渐近式的构造，幂２解并且导出了求形式渐近解的程序和余项估计，广和改进了文［］拓１的工作．
Ｐ（，，）＝一Ｃ，０Ｄ（，，）以及对于 ≤ ＜１一／，，，）（０，）ｘＯ０，ｚＱ（００
Ｃ，０．而且做变量替换（０，）
其中 “ ）是退化问题Ａ，，）＋厂０，）＝０ “ １（（０“ “ （， “ ，（）＝／（）的解，＞０是常数．近几年来，３０向量边值问题奇异摄动的研究又取得了一些新进展＿．文在文［］２本一Ｊ１工作的基础上，向量边值问题（）把１
修明

两类奇异的非线性微分方程边值问题解的存在性分析

摘要分数阶微积分已有很长的历史. 早在1695年，在Leibniz 和L’Hospital 的往来书信中就已经提到了分数阶微分的概念. 在近三个世纪内，人们对分数阶微积分理论的研究主要集中在数学的纯理论领域. 然而在最近几十年内，许多学者纷纷指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，这些性质在经典模型中是常常被忽视的．如今，分数阶微分方程模型越来越多地被用于描述声学、热学系统、材料力学、信号处理、系统辨识、控制理论、机器人科学以及其它应用领域中的问题．本文的工作如下：第一部分是绪论，主要简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的研究历史和发展现状，以及分数阶微分方程正解存在性方面的研究工作.第二部分研究了一类奇异的非线性semipositone Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性. 我们的主要方法是对非线性部分()f y 进行重新定义，使其转化成非奇异的p ositone 边值问题，然后应用锥上的不动点定理以及泛函分析的知识证明该奇异非线性s emipositone Sturm-Liouville 边值问题的正解的存在性.第三部分讨论了一类奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题正解的存在性. 我们的主要思想是重新研究非线性部分0(,(),())f t x t D x t β+，使其转化为非奇异的分数阶微分方程边值问题，然后再对每一个重新定义的非线性部分为0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈)的边值问题，证明其存在正解n x ，最后通过紧集上函数列极限的性质给出原奇异非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题的正解的存在性.关键词：微分方程，分数阶微分方程，边值问题，正解，奇异性，不动点.AbstractFractional calculus has a long history. As early as in 1695, the concept of fractional differential was already mentioned in the correspondence of Leibniz and L'Hospital. During the past three centuries, the research of fractional calculus theory was mainly concentrated in the pure theoretical field of mathematics. However, in the recent several decades many scholars in succession pointed out that fractional calculus is very suitable to characterize materials and processes with memory and hereditary properties, which were often neglected in the classical models ．Nowadays, fractional differential equation models are increasingly used to describe the problems in acoustics, thermal systems, material mechanics ，signal processing, system identification, control theory, robotics and other applied fields ．This thesis is divided as follows:The first part is an introduction, briefly presents the research history and development status of the fractional calculus and fractional differential equations, and some past research works about the existence of positive solutions of the fractional differential equations.The second part studies a singular nonlinear semipositone Sturm-Liouville boundary value problem. We redefine the nonlinear part ()f y , and make the singular boundary value problem transform into a nonsingular positone boundary value problem, and then prove the existence of a positive solution for the original singular nonlinear boundary value problem by using the cone fixed point theorem as well as knowledge of functional analysis.The third part discusses the positive solution existence for Dirichlet boundary value problem of a singular nonlinear fractional differential equation. We study itsnonlinear part 0(,(),())f t x t D x t β+, and have it transform into a nonsingular boundaryvalue problem, and then prove the existence of a positive solution n x for eachboundary value problem with redefined nonlinear part 0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈), andfinally we give the existence of a positive solution for the original Dirichlet boundary value problem via the limit properties of a sequence of functions on compact sets. Keywords: Differential equation, fractional differential equation, boundary value problem, positive solution, singularity, fixed point.目录摘要 (1)Abstract........................................................................................................I I 第一章绪论 (1)1.1分数阶微积分的历史 (1)1.2分数阶微分方程的研究现状 (2)第二章带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville边值问题解的存在性52.1 引言 (5)2.2 预备知识 (6)2.3 主要结果 (7)第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet边值问题正解的存在性 173.1 引言 (17)3.2 预备知识 (19)3.3 主要结果 (29)参考文献 (31)攻读硕士期间发表的论文 (34)后记 (35)第一章绪论1.1分数阶微积分的历史牛顿和莱布尼茨发明的微积分是现代数学和古典数学的分水岭，数学的发展和应用自此发生了根本性的变化，分析、几何和代数一同成为数学的三个基本研究方向和工具.对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是一个新奇的概念和数学工具，但它实际上早在300多年前就已被提出，和传统的整数阶微积分有着一样久远的历史.莱布尼茨最先引入/n n d y dx 来表示导数，也正是因为这个符号的出现，促使了L’Hospital 对分数阶导数问题的思考.1695年9月，L’Hospital 在写给莱布尼茨的信中问到：“一个函数()f x 的n 阶导数可以表示为()n n d f x dx ，如果当12n =时会有怎样的结果.” 莱布尼茨在回信中写道：“这显然是一个悖论，但总有一天会得出有用的结论.”由此，分数阶微积分诞生了，在之后300多年的学习研究过程中，莱布尼茨的这句话已经得到了验证，至少他说对了一半,尤其是在二十世纪，大量有关分数阶微积分的应用被人们所发现.尽管分数阶微积分有了这些应用以及一些数学背景，然而它的物理意义却很难把握，分数阶微积分的定义也不像整数阶微积分那样完善.历史上，莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、Lacroix 和傅里叶都曾对分数阶导数做出过重要贡献，其中,欧拉迈出了关键的第一步.他注意到，当n 时非整数时，幂函数a x 的导数na n d x dx在数学上有意义.1812年，拉普拉斯提出了积分形式的的函数()x T t t dt -⎰的分数阶导数的思想.1819年，Lacroix 第一次给出了1/21/21/2d x dx =1823年，Abel 在求解等时曲线的积分方程时，第一次使用分数阶算子并用分数阶微积分来表示该方程的解.1832年，Liouville 成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题，此后，Liouvile 发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的创始人.19世纪末，物理学家Heaviside发表的一系列文章表明，分数阶算子可以应用于求解特定的整数阶微分方程，从数学角度看，他的方法并不严格，但被证明对电缆中电流的传输这类问题非常有效.后来Heaviside的结果被证明是正确的，但他的处理过程在数学上并不完善，直到1919年Bromwich才把这一工作完善，Heaviside的想法极大的促进了分数阶算子的发展，但当时分数阶微积分还没有被应用于科学和工程的物理和力学建模.20世纪40年代，力学家Scott和Gerasimov分别独立的提出了介于牛顿流体和胡克定律表征的分数阶导数模型.地理学家Caputo和Mainardi将分数阶微积分方法运用到复杂黏弹性和流变介质，发展了若干的力学模型，更为重要的是，Caputo发展了一个不同于传统的Riemann-Liouville分数阶导数的新定义（被人们称为Caputo定义），克服了前者的强奇异性，并且自然的将初始条件含在定义中，在解决实际问题时得到了非常广泛的应用.1965年，美国耶鲁大学的Mandelbrot教授提出分形的概念，并首次指出自然界和工程中存在大量分数维的事实，并且整体与部分之间存在自相似现象，他认为分数阶布朗运动与Riemann-Liouville提出的分数阶微积分定义有紧密的内在联系.从此，作为分形几何和分形动力学的基础，分数阶算子理论特别是分数阶微分方程的研究开始得到广泛关注，分数阶微积分的研究重点也逐渐从纯数学领域转移到其它学科领域.20世纪末至今，由于反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学、黏弹性力学等研究的需要，分数阶导数的研究和应用再度引起广泛重视，成为多个领域学者研究的热点.1.2分数阶微分方程的研究现状现实的世界本质上是分数阶的.过去用整数阶微积分描述自然界中的事物，但自然界中许多现象依靠传统的整数阶微积分是不能精确描述的，必须对传统的微积分进行拓展才能更好的描述与研究这样的现象.分数阶微分方程是扩展传统微积分学的一种直接方式，即允许微分方程中对函数的导数阶次选择分数，而不是现有的整数.目前，分数阶算子的定义主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grunwald-Letnikov型，Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型以及Marchaud-Hadamard型分数阶微积分[]23，前面三种定义用的最为广泛，同时这三种定义还存在着一定关系:Riemann-Liouville型分数阶微分定义和Caputo型分数阶微分定义都是在Grunwald-Letnikov型分数阶微分定义的基础上进行改进而得到的，但是它们同时又有各自的侧重点，其中对于Riemanna-Liouville 型定义是从数学角度出发，在计算时初始条件是必要的，但这个定义在应用方面缺乏物理背景，是得它在很大程度上不能适用于具体模型;而对于Caputo 型定义，它正好弥补了Riemanna-Liouville 型定义可以很好的应用到数学模型中去，因为此时的初始条件恰好是整数阶的导数，这样连带的初始条件就可以很好的描述一些物理现象的特征，并能准确的对它进行计算，它还比较适用于拉普拉斯变换，有利于分数阶微分方程的进一步讨论随着分数阶微积分定义的出现，分数阶微分方程的求解就成为数学家至今仍在研究的主要课题,在分数阶微分方程的解析解研究方面：Agarwal []26,29,30研究了分数常微分方程解的存在性、唯一性；Miller 和Ross []21给出了一种分数阶微分方程的求解方法；Wyss []36等人给出了分数阶Black-Scholes 方程的一个完整解；Zhanbin Bai []40,41, Chuanzhi Bai []11等研究了分数微分方程正解的存在性;然而，由于分数阶微分方程的解析解以及基本解大多带有特殊函数(如多变量的Mittag-Lemer 函数)，这些特殊函数的计算是相当困难的，而且并非所有的分数阶微分方程都能得到其解析解.因此，建立分数阶微分方程的数值方法是非常必要的，在分数阶微分方程的数值解研究方面：Diethelm []1314，等人对于Adams类型的分数阶微分方程，提出用预测校正法来得到微分方程的数值解并且讨论了分数阶非线性微分方程的求解问题，在特定初值和Riemann-Liouville 型分数阶微积分定义的条件下求解分数阶微分方程的数值解；Diethelm 和Ford []15在分数阶微积分的Caputo 定一下给出了给出了一种求解分数阶微积分的数值算法；Sayed []33等人对于线性分数阶微分方程给出了一种计算其近似的数值解的算法，该算法需要很大的计算量来得到计算权数；Agrawal []4等人在Caputo 型分数阶微积分的基础上，求解了分数阶漫射波方程，数值解在实际问题中得到了广泛的应用，数学家们给出了自己的解法，每种解法都随着计算机技术的快速发展得到了验证.在最近的十多年里，有关分数阶微分方程的论文和著作相继出现，在这些论文和著作当中，也有很大一部分文章是关注不同边值条件和不同阶数取值范围下的分数阶微分方程正解存在性和唯一性问题，在不同的边值条件和阶数条件范围下，可以采用不同方法来求解分数阶微分方程的解以及证明其正解的存在性.已知的求解方法中较多是采用各种推广的特殊函数来直接求解，其中Green 函数是研究的重点内容，不同的边值条件和阶数的取值范围会产生不同的Green函数以及相应的Green函数值的有所不同，进而导致在后续估计分数阶微分方程正解的存在的条件以及在证明正解存在性的方法上出现显著差别.本文主要利用非线性泛函分析中的不动点理论,把解的存在性转化为某个非线性算子不动点的存在性.研究了一类分数阶微分方程在边值条件下正解的存在性.第二章带有奇异的非线性SemipositoneSturm-Liouville 边值问题解的存在性2.1 引言近年来，带有奇异的或非奇异的positone 问题(其中非线性项()f y 为非负值)的研究已引起了很多的学者的关注，详见文献[17，25,26,28].最近，文章[19,20]开始讨论了Semipositone 非奇异问题. 这里Semipositone 问题指的是非线性项()f y 可能在0y =处奇异并且f 可以取负值.本章主要研究了带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.0μ>这里是常数，1[0,1],q L ∈:(0,)f R ∞→连续并且在0y =处奇异, ,,,0:0.αβγδργβαγαδ≥=++>及在文献[27]中作者研究了带有奇异的Semipositone Dirichlet 边值问题 ()()(())0,01(0)(1)0;y t q t f y t t y y μ''+=<<⎧⎨==⎩解的存在性.受以上文献启发，本文讨论了带有奇异的Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.本章主要利用锥上的不动点理论来建立边值问题解的存在性，本章第二部分首先介绍了一些基本定义和引理,给出我们后面用到的基本定理，第三部分是我们的主要定理并给出了(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ特殊情形时的一个例子，边值问题(1)0,01(0)(1)0,0,0p q y y y t y y p q μ-''⎧++-=<<⎨==>>⎩ 当μ充分小时，有一个解()2[0,1](0,1),()0,0,1y C C y t t ∈⋂>∈且有()()(())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t y y y y μαβγδ''+=<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩2.2 预备知识定理 2.2.1[]27(,)E E K E =⋅∈设是一个Banach 空间，是一个锥，,r R 都是常数且有r R <<0.{}(=:)R R A K K x E x R Ω⋂→Ω∈<假设:这里，A 是一个连续的紧映射并且假设下列条件成立：(1) (),[0,1)E r x A x x K λλ≠∈∈∂Ω⋂且， (2) ,E R Ax x x K >∈∂Ω⋂，那么算子{}:A K x E r x R ⋂∈≤≤在集合上有一个不动点.引理 2.2.1[]27设{}[0,1]()0,[0,1]()[0,1]K y C y t t y t ∈≥∈＝:并且是上的凸函数，如果y ,K ∈那么 01()(1),[0,1];=max ()t y t t t y t y y t ≤≤≥-∈这里. 引理2.2.2 1[0,1],()0,(0,1),q L q t t ∈>∈假设那么边值问题()()=0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t t y y y y αβγδ''+<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩(2.2.1) 的解0()(),[0,1]w t w t G t t C t ≤∈满足(,);G t t 其中(,)为边值问题 =0,(0)(0)0,(1)(1)0;y y y y y αβγδ''⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩其中1()(),01,1()(),01,t s s t G t s s t t s γδγβαργδγβαρ⎧+-+≤≤≤⎪⎪⎨⎪+-+≤≤≤⎪⎩(,)= 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 记 ():,():,01t t t t t ϕγδγψβα=+-=+≤≤.证明：因为(2.2.1)式的解Green G t s 的函数(,)当t=s 的情形,1011()()()()()()()t t w t t s q s ds s t q s ds γδγβαγδγβαρρ=+-+++-+⎰⎰10()()1()()()()t t t t s q s ds s q s ds ϕψβαγδγρρρ=+++-⎰⎰ 10()()()()()()t t t t t t q s ds q s ds ϕψϕψρρ≤+⎰⎰ 所以有00()()()(,)t t w t C G t t C ϕψρ≤=. 引理2.2.3 :(0,)f R M ∞→>设的连续函数并且存在一个常数0,使得 ()0,f u M +≥(0,)u ∀∈∞，若边值问题*()()(()())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t t y y y y μφαβγδ''⎧+-=<<⎪'-=⎨⎪'+=⎩（2.2.2） 211[0,1](0,1)()(),(0,1),y C C y t t t φ∈⋂>∈有一解且 ()=(),t Mw t φμ这里 *()(),0f v f v M v =+>.1()()()u t y t t φ=-那么为(1.1.1).式的一个非负解证明：因为1()()()u t y t t φ''''''=-=*1()(()())()q t f y t t Mq t μφμ--+ []1()(()())()q t f y t t M Mq t μφμ=--++1()(()())()(())q t f y t t q t f u t μφμ=--=-所以有()u t ''=()(())q t f u t μ-，即1()()()u t y t t φ=-是(2.1.1).式的一个非负解2.3 主要结果假设下列条件成立:(H1):(0,)f R M ∞→>的连续函数并且存在一个常数0,使得()0,f u M +≥ (0,)u ∀∈∞.(H2)()()()f u M g u h u +=+,(0,)u ∀∈∞，其中0g ∞为（，）上正的连续递减函数并且存在000()()(),0,0K g ab K g a g b a b >≤∀>>使得. h ∞为[0,）上的连续非负函数并且有0hg∞为（，）上的递增函数. (H3) 存在常数,(,)(1),L G t t Lt t ≤-使得存在0,r MLC μ>使得00001,()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 1021002max 2(1)(),2(1)(),b t t q t dt t t q t dt ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰⎰其中，100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰. (H4)11((1))(0,),()(,)2()((1))((1))a a Rg a a R a R r q s G s ds g R g a a R h a a R εμσεε--∈>≤-+-⎰存在有这里 00MLC Rμεε>≥是任意常数且满足1-，11[0,1]01()(,)sup ()(,)a aaat q s G s ds q s G t s ds ξξ--∈≤≤=⎰⎰满足.定理2.3.1 假设条件(H1)、(H2)、(H3)和 (H4)成立，那么边值问题(2.1.1) 式有一个解2[0,1](0,1)(0,1)()0.y C C t y t ∈⋂∈>且有当时证明：记0*0001:(1)m N m N a a R m ηηε⎧⎫=∈<<-⎨⎬⎩⎭且. 我们首先证明边值问题0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.1）对0m N ∀∈有一个解m y ，()0,()(),[0,1],,m m m y t y t t t r y R φ≥≥∈≤≤这里1()()(),()11()(),0.m f v M g v h v v mf vgh v v mm ⎧+=+≥⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩欲证（2.3.1）式，我们接下来看下式*0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.2） *1()()(),11()()(),01()(0),0.m f v M g v h v v m f v g h v v mm g h v m ⎧+=+≥⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩这里所以我们有*()0,(,).m f v v ≥∀∈-∞∞0,([0,1],){[0,1]()0,[0,1]()[0,1]}.m N E C y C y t t y t ∈=∈≥∈固定并且Ｋ＝:且是上的凸函数()():[0,1]y t y t A K C →是边值问题（2.3.2）式的解当且仅当是算子1*01()()(()())(()())m Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ=-++⎰(,) （2.3.3）的不动点.:[0,1]A K C →由文献[27]知算子是连续的并且是全连续算子.:A K K →接下来验证*()0,(,)()0.m u K f v v Au t ∀∈≥∀∈-∞∞≥对,因为，所以有同时也容易看出()0A u t ''≤，(0,1),.t ∈ {}{}12=[0,1]:,[0,1]:.u C u r u C u R Ω∈<Ω=∈<设1,[0,1).y Ay y K λλ≠∈∈⋂∂Ω我们首先证明且=0.(0,1)=y Ay y Ay λλλλ≠∈当时，显然成立当时，假设成立，我们有*()()(()())0,01m y t q t f y t t t λμφ''+-=<< （2.3.4）00[0,1](0,1),(0,)()0,y t t t y t '∈∈≥由是凸函数可知，在区间上存在点使得当时有000(,1)()0,().t t y t t y t y r '∈≤==时有并且在处有0(,)()(1)=()(1)()(,),0,1(1)G t t y t t t y y t t t r w t G t t C L t t t ≥-≥-≤≤∈-因为以及,（）0()()()=()1()1()MLC Mw t y t t y t y t y t r μμφ⎡⎤⎡⎤--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以 0,r MLC μ>由于所以有0()()()10,0,1MLC y t t y t t r μφ⎡⎤-≥->∈⎢⎥⎣⎦（）（2.3.5） *11()=()()()0m v f v g v h v v v m m≥+∞≤≤当时，，因为g 在(0,)上递减，所以当时，*1()()()()()m f v g h v g v h v m=+≤+，*(()())(()())(()()),(0,1)m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈故有(0,1)(2.3.4)x ∈因此当时，由式我们有()()(()())(()())y x q x g y x x h y x x μφφ''≤-+--(()())()(()())1(()())h y x x q x g y x x g y x x φμφφ⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭(2.3.5)由式，我们有0(()())()()()11(()())MLC h y x x y x q x g y x r g y x x μφμφ⎧⎫-⎡⎤''≤-+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭-（） 00()1)1()())(MLC h r K gq x g y x rg r μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.6）不等式00()t t t t ≤两边从到积分得，00()()(())1)1()(t t MLC h r y t K g y t g q x dx rg r μμ⎧⎫'≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（）（2.3.7） =y Ay λ由知，1*01()()(,)()(()())(()())m y t Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤=-++⎰ 1*1(,)()(()())(()())m G t t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤-++⎰1*1(1)()(()())(()())m Lt t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤--++⎰ 因此++(0)(1)y y m mγδβαδβρρ++≤≤有，. 取++=max ,m mm γδβαδβηρρ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭0(2.3.7)t ，对式两边从0到积分,以及由分部积分得00+00()1)1()()(rt mMLC duh r K g xq x dx g u r g r γδβρμμ+⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰⎰（）有 0000()11)11)()()(1mrt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬-⎩⎭⎰⎰（（）000(2.3.6()1t t t t t ≥类似的，如果我们对）式两边先从到积分，然后再对不等式两边从到积分得m1000()11)11)()()(rt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭⎰⎰（（）有 000()1)1()(mrMLC duh r K b g g u r g r ημμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（）（2.3.8）其中0b 为条件（H3）中所定义，又因为由条件（H3）有00001()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 所以当η充分小时有0001()11()r du K b gu MLC h r g r g r ημμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 与（2.3.8）式产生矛盾.接下来我们证明，当 2y K Ay y ∈⋂∂Ω>时，有，2K ⋂∂Ω因为当时，有()(1),[0,1]y t t t R t ≥-∈.0(0,1)()()()1()(1)MLC t y y t t y t y t t t R r μφεε⎡⎤∈∈-≥-≥≥-⎢⎥⎣⎦当时, [],1t a a ∈-因此，当时，我们有 ()()(1),y t t a a R φε-≥-1()()(1)y t t a a R m φε-≥->由有 []*(()())=(()())(()()),,1mf y t tg y t th y t t t a a φφφ--+-∈- 1*01()()(()())(()())m Ay G s q s f y s s ds mξμξφϕξψξρ=-++⎰(,) 1*()(()())a m a G s q s f y s s dsμξφ-≥-⎰(,)1(()())()(()())1(()())a ah y s s G s q s g y s s ds g y s s φμξφφ-⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭⎰(,)1((1))()1()((1))aa h a a R g R G q s ds g a a R εμξε-⎧⎫-≥+⎨⎬-⎩⎭⎰(,s)(),(2.9).Ay R y ξ≥=由条件(H4)知因此式成立211.2.1(\),(1),[0,1]m m m A y r y R y t t r t ∈ΩΩ≤≤≥-∈由定理知有不动点并且有.0(1)(1)()()m y t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=因为m y 所以是边值问题(2.3.1)式的解.{}0[0,1].m m N y ∈下证是定义在区间上的有界，等度连续的函数族因为 *(()())(()())(()()),(0,1).m m m m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈(()())()()(()())1(()())m m m m h y t t y x q x g y t t g y t t φμφφ⎧⎫-''≤-+⎨⎬-⎩⎭所以我们有-00()()1)1()())()m m MLC h R y x K g q x gy x rg R μμ⎧⎫''≤-+⎨⎬⎩⎭-（（（2.3.9） 0(),()()()1()1,(0,1)()m m m m m MLC Mw s r y R y s s y s y s s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤≤≤-=-≥-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又因为，(0,1),(0,)()0,(,1)()0,m m m m m t t y t t y t ''∈≥≤同时存在使得在区间上在区间上 (2.3.9)()m m t t t t ≤对式两边从到积分得00()()1)1()())(mt m t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.10）(2.1.9)()m m t t t t ≥另一方面式两边从到积分得00()()1)1()())(m tm t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫-≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.11）由（2.3.10）、（2.3.11）式可知'00()()1)1(),(0,1)())(m m y t MLC h R K g v t t g y t rg R μμ⎧⎫≤-+∈⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.12）其中{}{}10max ,min ,()()t a t a v t q x dx =⎰，{}{}00010inf :sup :1m m a t m N t m N a <<∈≤∈<<.注：这里0,1()0m m m t y t '=是区间（）上唯一的一点，满足,有{}0inf :0m t m N ∈>. 倘若不成立，那么存在0N 的子列，使得0m m t →∞→当时，有. 对（2.3.10）式两边从0m t 到积分可得()00000()1)1()()(()m m m m y t t MLC duh R du K g xq x dx g u r g R g u ημμ⎧⎫≤-++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰（）（2.3.13）因为0,0m m m t η→∞→→当时，有，由（2.3.13）式可知m →∞当时有()0m m y t →，然而因为()m m y t 在区间[0,1]的最大值在m t 处取得，所以当0m m y →∞→当时，有这与()(1),[0,1]m y t t t r t ≥-∈矛盾故有{}0:m 0m inf t N ∈>.类似的可以证明{}0sup :1m t m N ∈<. 定义映射0:[0,)[0,),()()y duI I y g u ∞→∞=⎰，显然{}0)m m N I y ∈（是有界的.(())(())m m I y t I y s -()()()()(())m m y t t my s sm y x dudx g u g y x '==⎰⎰00()1)1()(ts MLC h R K g v x dx rg R μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（）可知{}0)m m N I y ∈（是等度连续的. 由，[]1()I I R -在区间0,上的一致连续性以及11())(()=((()))((()))m m m m y t I y s I I y t I I y s ----知{}0[0,1]m m N y ∈是定义在区间上的有界，等度连续的函数族.由Arzela Ascoli -定理知，存在0[0,1],N N y C ∈的子列以及函数 m →∞当时m y y 有在区间[0,1]上一致收敛到同时有(0)(0)0y y αβ'-=(1)(1)0y y γδ'+=，r y R ≤≤，()(1),[0,1]y t t t r t ≥-∈，且有0()(1)(1)()()y t t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=. 固定(0,1)t ∈，不失一般性，我们假设12t >，固定(0,1),x x t ∈>满足，对1[,]2s x ∀∈ 0()()()()1()1()MLC Mw s y s s y s y s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤-=-≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦00(1)(1)112MLC MLC x s s r r r r μμ-⎡⎤⎡⎤≥--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择0001(1)12MLC x n N r n r μ-⎡⎤∈<-⎢⎥⎣⎦使得，，设{}10:.N m N m n =∈≥ 当1,m y m N ∈时，由泰勒公式有12111()()()222x m m m y x y y x f s x s ds⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰=[]12111()(()())(()()()222x m m m m y y x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'+-+-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰因为(1)()m rs s y s R -≤≤，所以11,2my m N ⎧⎫⎛⎫'∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为有界序列，[]0,1s ∈. 故112m m N y ∈⎧⎫⎛⎫'⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭有一个收敛的子列，不妨设子列的极限收敛到0r R ∈，在1N 中当m →∞时，我们有，[]10211()()(()())(()()()22x y x y r x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（2.3.14）对（2.3.14）式两边求二阶导有[]()()(()())(()())0y x q x g y x x h y x x μφφ''+-+-=所以有 [][]()()(()())(()())0,0,1y t q t g y t t h y t t t μφφ''+-+-=∈*()()(()())0,01y t q t f y t t t μφ''+-=<<.因此y 为（2.2.2）式的解并且有()()y t t φ>，(0,1)t ∈. 下面我们通过一个实例来给出了定理2.3.1的一个应用. 例：考虑边值问题(1)0,01(0)(1)0,p q y y y t y y μ-''⎧++-=<<⎨==⎩ (2.3.15) 这里0(0,)μμ∈且满足()100(1)12pp μμ++≤. (2.3.16)那么边值问题(1.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.我们将应用定理 2.3.1来证明，边值问题(2.3.15)式是(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ的特殊情形. 设01,(),(),1p q M g y y h y y K -====,1L =，14a =，其中 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰10[0,1]111max 112t t t sds sds t t ∈⎧⎫=+-=⎨⎬-⎩⎭⎰⎰. 11210021max 2(1),2(1)6b t t dt t t dt ⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭⎰⎰.01122r MLC r μμμ==<≤=取时有，，()1001112121121()11()ppp r p q du r gu r rp p MLC h r g r g r μμμ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (2.3.16)由式有()()00000011122222121()11()p pr du K b p p gu MLC h r g r g r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<≤≤=++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 取01111222MLC R R R μμε=>=-≥,当时有，1- . 最后当,1R q →∞>时有，13((1))320()((1))((1))333232pq p qp qR Rg a a R g R g a a R h a a R Rεεε-+-+⎛⎫⎪-⎝⎭=→-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此定理2.3.1的条件（H1）、（H2）、（H3）、（H4）均满足，故边值问题(2.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程D i r i c h 边值问题正解的存在性3.1 引言近年来，人们开始并越来越多的关注、研究分数阶微分方程，主要是因为分数阶微积分自身理论的发展以及在多种学科中的应用，例如物理学，化学，工程学等等，详见文献[8,23,30,31].分数阶微分方程的Dirichlet 边值问题是很多学者研究是的焦点，在文献[40]中作者研究了边值问题()(),()0(0)(1)0D y t f t y t y y α+===正解的存在性和多解性，这里[][]()12,0,1,0,f C α<≤∈∞为非负函数，Bai Zhanbin 通过Krasnosel’skii 不动点定理和Leggett-Williams 不动点定理得到了相关结论.在文献[32]中，Zhang 研究了边值问题()(2)()(),,0,01,1n D u t q t f u u u t n n αα-'+=<<-<≤， (3.1.1)(2)(2)(0)(0)(0)(1)0,n n u u u u --'===== (3.1.2)这里0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数，q 可能在t=0处奇异，f 可能在(2)0,0,0n u u u -'===处奇异.在此基础上Goodrich 在文献[42]中研究了边值问题()0(),(),01,1,vD y t f t y t t n v n +-=<<-<≤ (3.1.3) ()0,02,i y i n =≤≤-（0） (3.1.4)00()0,12,t D y t n αα+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (2.1.5)这里的3n >,可以看出边值条件(3.1.2)式是边值条件(3.1.4)和(3.1.5)式的特殊情形，文献[42]在Zhang 研究的基础上进一步阐述了Green 函数的有关性质Harnack-like 不等式，这是在锥上寻找正解存在性的一个重要性质.文献[28]中Agarwal 等研究了边值问题()(),(),()0,D u t f t u t D u t αμ+= (3.1.6) (0)(1)0,u u == (3.1.7)正解的存在性，这里12,0,1αμαμ<<>-≥，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.f 是正的Caratheodory 函数并且(,,)0f t x y x =在处奇异，通过锥上的不动点定理以及函数列的相关性质证明了边值问题(3.1.6)、(3.1.7)式正解的存在性.本章主要在文献[28,42]的基础上研究下面的带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题00()(,(),())0,01D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.8) ()(0)0,02i x i n =≤≤- (3.1.9)01()0,02t D x t n μμ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (3.1.10)正解的存在性.这里1n n α-<≤，01βα<≤-，f 是正的Caratheodory 函数并且在[0,1],(0,)B B ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件(([0,1]f C a r B ∈⨯，(,,)0f t x y x =在处奇异，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.我们说函数f 在集合[0,1],(0,)B B R ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件，如果函数f 满足下面三个条件：[]()(,,):0,1(,)a f x y x y B →∀∈是可测函数，成立， [](b)(,,):0,1f t B t →∈是连续的，a.e.成立， []1()0,1,c B L κκϕ∈对中的任一紧集，存在函数使得[](,,),0,1(,)f t x y t x y B κϕ≤∈∀∈a.e.，成立，函数[]0,1u C ∈称为边值问题(2.1.8)-(2.1.10)的一个正解，如果x 在区间(0,1)上有0x >，[]00,1D x C β+∈，[]100,1D x L μ+∈且满足边值条件(3.1.9)、(3.1.10)式和等式(3.1.8),对几乎所有的[]0,1t ∈成立.本文中假设函数f 满足下列条件：[]()1():0,1,(0,),H f Car C B B ∈⨯=∞⨯[]0lim (,,),..0,1,x f t x y a e t y +→=∞∈∀∈(3.1.11)并存在正整数m 满足(,,)(1)f t x y m t μ≥-，[]..0,1,(,)a e t x y ∈∈∀∈(3.1.12)()[]2():(,,)()()()(),..0,1,(,)H f t x y t q x p x y a e t x y B γω≤++∈∈∀∈这里[]()[)1()0,1,0,1,,0,1t L q C p C γω∈∈∈都是正的函数，其中q 单调递减，,p ω单调递增，且有[]10()((1))s q K s s ds αγ-<∞⎰，()1mK α=Γ+ (3.1.13)()()lim0x p x x xω→∞+= (3.1.14)因为(3.1.8)式是一个奇异方程，故我们定义1(,,)11(,,)0n f t x y x n f f t y x n n⎧≥⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩有[]()[)**0,1,0,n f Car C B B ∈⨯=∞⨯，n ∈，由条件1()H 和2()H 可得[]*1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭ (3.1.15)[]1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭(3.1.16)接下来我们首先讨论一般的分数阶微分方程00()(,(),())0,01n D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.17) 3.2预备知识定义2.1[]40空间[]0,1C 上的范数[]{}max ():0,1x x t t =∈，空间[]10,1L 上的的范数1()Lxx t dt =⎰.定义 3.2[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶积分由以下公式给出：1001I ()()()()ty t t s y s ds ααα-+=-Γ⎰ (3.2.1) 上式右端在(0,)∞上有定义，其中10()s e s ds αα∞--Γ=⎰.定义3.3[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶微分由以下公式给出：0101()()()()n tn d y s D y t ds n dt t s ααα+-+⎛⎫= ⎪Γ--⎝⎭⎰ (3.2.2)上式右端在(0,)∞上有定义，其中[]1n α=+，[]α表示实数α的整数部分.引理3.1[]28关于分数阶微积分有如下性质：（1）00I ()()D y t y t αα++=，..(0,1]a e t ∈, 1(0,1)y L ∈, 0α>（2）如果0α>，0λ>，那么110()()D ttαλλαλλα---+Γ=Γ- (3) []10()(,1),0,1tt s s ds t B t βααβαβ----=-∈⎰,其中B 为Beta 函数1110(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --=->>⎰，()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+(4) [][]1()(),0,1,()0,1.I I f t I f t t f t L αβαβ+=∈∈ 由性质(4)可知()111()()()(,)()()t s tt s s f d ds B t s f s ds αβαβττταβ+-----=-⎰⎰⎰引理3.2[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂，那么分数高阶微分方程0()0D y t α+=有唯一解1212()N N y t C t C t C t ααα---=+++，,1,2,,i C R i N ∈=,其中N 是大于或等于α的最小整数.引理 3.3[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂且关于α的分数阶导数0()(0,1)(0,1)D yt C L α+∈⋂，那么120012I ()()N N D u t u t C tC t C t ααααα---++=++++ (3.2.3)其中，,1,2,,i C R i N ∈=，N 是大于或等于α的最小整数.引理3.4[]42设[]0,1f L ∈，那么边值问题0()()0,01,1D u t f t t n n αα++=<<-<≤， ()(0)0,02i u i n =≤≤-01()0,02t D u t n ββ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦有唯一的解1()(,)()y t G t s y s ds =⎰，其中11111(1)(),01()(,)=(1),01()t s t s s t G t s t s t s ααμαααμαα-------⎧---≤≤≤⎪Γ⎪⎨-⎪≤≤≤⎪Γ⎩证明：由引理2.3知，边值问题的解为12120()I ()n n u t C t C t C t f t αααα---+=+++- (3.2.4)由边值条件（1.4）式知230n C C C ====，对上式两边求μ阶导数，由引理2.1以及边值条件(2.1.5)式知11010()1()()()()()tD u t C t t s y s ds μαμαμααμαμ----+Γ=--Γ-Γ-⎰ 当1t =时有，1110()10(1)()()()C s y s ds αμααμαμ--Γ=--Γ-Γ-⎰，故有 11101(1)()()C s y s ds αμα--=-Γ⎰ 1111001()(1)()()()()()t t y t s y s ds t s y s ds ααμααα----=---ΓΓ⎰⎰111111011((1)())()(1)()()()t tt s t s y s ds t s y s ds ααμαααμαα-------=---+-ΓΓ⎰⎰ 设[][]{}0,1:0,1X x C D x C β=∈∈，给空间X 赋以范数{}*max ,x x D x β=，由文献[14]知X 是Banach 空间.定义空间X 中的锥P ，[]{}:()0,0,1.P x X x t t =∈≥∈为了证明边值问题(3.1.9)、（3.1.10）、(3.1.17)有一个正解，我们首先通过公式定义锥上的算子n T ，10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰ (3.2.5)引理3.5如果条件1()H 和2H （）成立，那么:n T P P →是一个全连续算子. 证明：设x P ∈，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以[]10,1n f L ∈，故有10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰1110(1)(,(),())()n t s f s x s D x s ds ααμβα---=-Γ⎰ 101()(,(),())()t n t s f s x s D x s ds αβα---Γ⎰ []10()(,(),())0,1(,)0tn t s f s x s D x s ds C G t s αβ--∈≥⎰由以及，可知()()[]()()0,1,0n n T x t C T x t ∈≥ (3.2.6)接下来由引理3.1的性质（3）、（4）可知()()()()()()101nn tn n d D T x t t s T x s ds n dt βββ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰()()()111(,)(,(),())nn t nd t s G s f x D x d ds n dt ββτττττβ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰⎰=()()1111001s (1)(,(),())()nn tn d t s f x D x d ds n dt αβαμβτττττβα-----⎛⎫-- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()110011()(,(),())()nn t s n d t s s f x D x d ds n dt βαβτττττβα---⎛⎫--- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()111101s (1)(,(),())()nn t n d t s ds f x D x d n dt βααμβττττταβ-----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰⎰ ()()()+101,(,(),())()nn t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰()()1+1101,(1)(,(),())()nn n d t B n f x D x d n dt αβαμβαβττττταβ----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()()+101,(,(),())()n n t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()(11101,(1)(,(),())()i n n B n it f x D x d n αβαμβαβαβττττταβ----≤≤--∏-+=-ΓΓ-⎰()10(,(),())tn t f x D x d αββτττττ--⎫--⎪⎭⎰所以有()()()(11101(1)(,(),())i n nn iD T x t ts f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ--⎫--⎪⎭⎰ (3.2.7)因此有[]0,1,:n n D T x C T P P β∈→.为了证明n T 是一个连续算子，设{}m x P ⊂是一个收敛序列而且有*lim 0m m x x →∞-=,可知*,m x M m ≤∀∈对，M 是一个正的常数，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，我们有[]lim (,(),())(,(),()),..0,1n m m n m f t x t D x t f t x t D x t a e t ββ→∞=∈由(2.1.15)、(2.1.16)式可知，10(,(),())()()()()n m m f t x t D x t t q p M M n βγω⎛⎫<≤++ ⎪⎝⎭(3.2.8)由Lebesgue 控制收敛定理有1lim (,(),())(,(),())0n m m n m f t x t D x t f t x t D x t dt ββ→∞-=⎰ (3.2.9)()10()()()()(,)(,(),())(,(),())n m n n m m n T x t T x t G t s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ-=-⎰ ()1(1,)(,(),())(,(),())n m m n G s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰10(,(),())(,(),())n m m n f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰()()()11101()()()()(1)(,(),())(,(),())i n n m n n m m n iD T x t D T x t ts f s x s D x s f s x s D x s dsn ββαβαμββαβαβ----≤≤-∏-+-≤--Γ+-⎰()()()101(,(),())(,(),())ti n nmm n it s f s xs D x s f s x s D x s dsn αβββαβαβ--≤≤-∏-++--Γ+-⎰()1012(,(),())(,(),())i n n m m n if s x s D x s f s x s D x s ds n ββαβαβ≤≤-∏-+≤-Γ+-⎰故有lim 0n m n m T x T x →∞-=，所以n T 是连续算子.最后，设P X Ω⊂是中的有界集，*,x x L ∀∈Ω≤有，L 是一个正的常数，由于[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以存在[]10,1L ϕ∈使得()[]0(,(),())..0,1,n f t x t D x t t a e t x βϕ<≤∈∀∈Ω对[],0,1x t ∀∈Ω∈有，11()()(,)(,(),())(,(),())n n n L T x t G t s f s x s D x s ds f s x s D x s ds ββϕ=≤≤⎰⎰()11101()()(1)(,(),())i n n n iD T x t t s f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ----⎰()012i n L i n αβϕαβ≤≤-∏-+≤Γ+-故()n T Ω是X 中的有界集，下证n T 是等度连续的,设1201t t ≤<≤，1111212101()()()()()(1)(,(),())()n n n T x t T x t t t s f s x s D x s ds αααμβα-----=--Γ⎰111120(()())(,(),())t n t s t s f s x s D x s dsααβ--+---⎰2112()(,(),())t n t t s f s x s D x s dsαβ---⎰1111111211201()(1)()(()())()()t t t s s ds t s t s s ds αααμααϕϕα------≤--+---Γ⎰⎰。

二阶椭圆型方程奇摄动边值问题的渐近解

＝
如一
即可（ｆ，Ｙ）满足
ａ ∈ ２塑Ｏｙ
一
０
，
一＞０；
可（，０）一０，
∈ ０；
可（Ｏ，Ｙ）＝（），利用虿（０）：０，（０）＝０，得
Ｏｙ２一ｅ一
三。（）昙＋６（）Ｇｑ２＋ｃ（）器舢）＋ｅ（训）南圳
其中系数０，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，，都是有界区域ＱＣＲ上的连续函数且ａ（ｘ，Ｙ）＞０，／（ｘ，Ｙ）０．若存在两次连续可微函数（，Ｙ）和ｑＹ（ｘ，Ｙ）使得ｌ（）Ｉ［一皿］，Ｖ（ｘ，Ｙ） ∈Ｑ，
本文在文f71的基础上进一步讨论一类二阶线性椭圆型方程的奇摄动边值问题利用边界层函数法89构造出问题的零次形式近似并应用椭圆型算子的最大值原理作出解的渐近估计
第４６卷第１期２０１３年３月
数学研究
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｔｕｄｙ
式近似，并应用椭圆型算子的最大值原理对问题的解作出渐近估计．
关键词奇摄动；椭圆型方程；边值问题；边界层函数法；最大值原理Ｏ１７５．２５文献标识号Ａ
中图分类号
１引言
１９５０年，Ｌｅｖｍｓｏｎ［１】首先研究了一类二阶椭圆型方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题，在构造形式近似式的基础上，应用椭圆型方程的极值原理给出精确解的渐近估计．随后涌现出大批研究偏微分方程奇摄动边值问题的论文［２－６］．１９９６年，ＤｅＪａｇｅｒ和江福汝【７】综合阐述了奇异摄动理论和方法，并对二阶和高阶偏微分方程的奇摄动问题作了系统的研究．本文在文【７］的基础上进一步讨论一类二阶线性椭圆型方程的奇摄动边值问题，利用边界层函数法【８，９ｊ构造出问题的零次形式近似，并应用椭圆型算子的最大值原理作出解的渐近估计．引理１【７Ｊ（椭圆型算子的最大值原理）设

学优秀科研成果评选结果

论文
熊进
15
重庆电大
我国金融安全的预警机制与风险控制研究
研究报告
南旭光罗慧英艾向军周莉向玲
16
贵阳电大
新学入黔--贵州近代教育的源流及发展
著作
何幼兰
17
广东电大
空间相位调制对强非局域空间光孤子的影响
论文
秦晓娟邵毅全郭旗
18
辽宁铁岭电大
远程学习者学习动机与学习研究
著作
于连科
19
贵州电大
“虚拟全能导师”学习支持服务模式的研究与应用
附件：
2008年度广播电视大学优秀科研成果评选结果
（按标准分排序）http//
一等奖
序号
单位
成果名称
类别
获奖者
1
浙江电大2
天津电大
数字化学习型社区学习中心模式和综合研究
研究报告
冯雪飞张庆生郑占文杨顺起韩建华
3
江苏电大
汉语修辞文化概论
哈尔滨电大
基于网络的行动学习模式的探索
论文
杨旭东
28
宁夏电大
对我国诉讼契约制度的几点思考和理解
论文
陈永忠
29
福建电大
国家艺术科学“十五”规划课题：《闽台文化艺术源流、现状和发展趋势研究》
论文
何绵山
30
广东惠州电大
网络时代的大众文化
论文
陈更海
31
重庆电大
影视图像处理
著作
陈丹李昆陈春燕毛婉月
32
湖南电大
科学发展观视野下的广播电视大学系统建设
论文
周德义
33
成都电大
浅析课程自主学习设计的结构与层次策略
论文

二阶非线性积分-微分方周期边值问题

（十ＮＴ（）了Ｍ．ＩＳ）ｆ一、ｈ（）
’
依据引理１方程（），４等价于算子方程：
（）５
为了研究方程（）我们先考虑线性厨期１，
收稿日期：０９０ —８２０ —９２
作者简介：晓东（９２，，肃临洮人．读硕士研究生．蒲１８～）男甘在主要研究方向为非线性泛函分析．
ＥｍｉｐｘｏｏｇＯ＠１３ｃｔ — ａｌｕｉｄｎ４６６．ｏｌｌａｌ
第２卷第ｌ９期
２１００年１月
数学教学研究
ｒ一（）￡一（）ＮＳｕｔ一（）Ｓｐ０。）））
２ｓ￣ｌｎｆｉ
因Ｎ＜为Ｎ因为＜
不含Ｓｕ时建立了类似的结果．他们都要求但
Ｃ［，］满足ｚＯ，
１ｏ（（ｃ “）Ｎｕ）∈ ｆ）一）（），）Ｓ∞）￡Ｍ（十 “，ｔｔ一 “ Ｊ甜，ｏ ≤ （，（ ≥ （（．
，
‘ ３
其。Ｍ（）。Ｎｉ中＜＜。≤ ＜ｆ￣，２ｎｌ２ｓ
｛）“（ｕ），￡）：ｔＪｆｏ）Ｍ（一（。．，（一ｕ）ｈ）∈ 一：（ “，ｏ “，ｃ）（（（ｕ
‘ ２
引Ｌ设ｏ＜ｆ，则对ｖ ∈ 理１。＜Ｍ＼１Ｃ，Ｕｈ
“ Ｔｈ，垒Ｍ且
文献
（）线２存．文的主要目的是讨论二阶非线ＣＩ，性周期边值问题（）在唯一解本１丁：［，一ｃ［，］）Ｍｃｏ］ｏ叫为线性全连续

二阶非线性积-微分方程边值问题正解的存在性与多解性

ｔ∈ Ｅ，］ｏ１，
｛ｏ一（一“０一“（一０ “ ）１）１（）（）
来描述，文献［ — ２．见１］若一一，Ｇ（，）为线性二阶边值问题设ｔｓ
一
‘ ３ ’
（）４
（）一ｈｆ，ＥＥ，］ “ ０￡（）ｔｏ１；（）一Ｕ（）：０１
ｆ厂，， “（），（“ ）ｓ））ｓｓ（（ｓｄ
所以Ｉｌ
Ｉ≤ Ｉｆ５“ ｓ，Ｓ）ｓ）ｓｌ（，（）（ｕ（）ｄ．ｓ
当￡寺，］因为Ｇｔ） ∈［１时，（ｓ≥专ｓｏ１，，，ＥＥ，按上式有ｓ］
（ｕ（）一ＩＧ（，）ｓ“ ｓ，Ｓ）ｓ）ｓＱ）￡ｔｓｆ（，（）（ｕ（）ｄ ≥
２１０１年９月
二阶非线性积一分方程微
边值问题正解的存在性与多解性
钱媛媛，永祥李
（北师范大学数学与信息科学学院，肃兰州７０７）西甘３００
摘
要：非线性二阶积一分方程边值问题正解的存在性进行了研究，用锥压缩与锥拉伸不动点定对微利
引理１Ｑ（Ｐ，Ｑ：Ｐ）且Ｐ— Ｐ为全连续映射．
证明对ＶＥＰ，Ｑ的定义，ＶｔＥ，］有按对 ∈ ｏ１，（）ｆ（）＝ｌＧ（，）（，（）（）ｓ）ｓｔｆｓ乱ｓ，（）ｄ ≤
Ｊ０
称为方程（）的正解是指ＵＥＣＥ，］满足方程（）当ｔ（，）时 “ ￡＞０１。ｏ１，１且Ｏ１Ｅ（）．

奇异摄动法在微分方程中的应用

奇异摄动法在微分方程中的应用微分方程是数学中极为重要的一种工具，应用范围涉及物理、化学、生物、工程等领域。

奇异摄动法，也称为渐进展开法，是解决微分方程的一种有效方法。

它是一种基于渐进分析的近似解法，通过将微分方程中的解展开成一系列的渐近级数，来求解微分方程。

奇异摄动法是微分方程理论中的一个重要分支，其应用极为广泛。

一、奇异摄动法的基本概念奇异摄动法是一种基于渐进分析的方法，它是一种将解函数分解为一个正常的函数和一个渐近级数的方法。

其基本思想是通过对解函数进行分解，将其转化为一个可求解的问题。

奇异摄动法的具体实现方法是：对于一个微分方程，设其解为y=y(x)，当解在某个点x0处存在一个奇异点（即y(x)会发生突变或者发散）时，我们可以将解函数y(x)分解为一个正常函数和一个渐近展开函数。

具体过程是：在奇异点附近，将解y(x)指定为一个未知函数u(t)，然后通过一系列近似代入来计算u(t)，并将其代入原方程中。

在这个过程中，我们可以将解分解成两个部分，一个是奇异部分，另一个则是正常的部分。

二、奇异摄动法的应用奇异摄动法是求解某些复杂微分方程的一种有效方法，由于其具有一定的灵活性和精确性，被广泛应用于理论物理、力学、天文、生物、化学等领域。

下面，我们分别就这些领域中奇异摄动法的应用进行讨论。

1、理论物理奇异摄动法在理论物理中的应用，主要体现在量子力学和广义相对论等领域。

其中，量子力学中的手征摄动和角动量摄动就是奇异摄动法的两个典型应用。

此外，在广义相对论中，对于黑洞事件视界的研究也需要借助奇异摄动法等数学工具，来对从黑洞中传出的信号进行研究。

2、力学在力学领域，奇异摄动法主要应用于研究非线性振动问题，如变参数系统中的稳定性问题、自激振动等。

在这些领域中，奇异摄动法通常被用于求解非线性常微分方程、偏微分方程和差分方程等问题。

3、天文在天文学中，奇异摄动法被广泛应用于研究天体运动的不稳定性问题。

例如，人们可以借助奇异摄动法来分析彗星轨道的发散性和非对称性等问题，从而为彗星的运动研究提供了重要的理论支持。

奇异微分方程边值问题的数值解法

奇异微分方程边值问题的数值解法奇异微分方程（singular differential equation）是指微分方程中存在奇异点（singular point）的一类特殊微分方程。

这些奇异点通常是导致方程在一些点上不连续或无定义的地方。

差分法（finite difference method）是将微分方程转化为差分方程，并用差分方法进行逼近求解的一种方法。

它的基本思想是将区间离散化，将微分方程转化为一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。

差分法的步骤如下：1.将求解区间进行等距离离散化，将连续的问题转化为离散的问题。

2.将微分方程中的导数用中心差分或向前/向后差分表示，得到差分方程。

3.将边界条件转化为差分方程中的代数方程。

4.将离散化的差分方程和代数方程组成一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。

有限元法（finite element method）是一种将微分方程用虚位移法（variational principle）得到弱形式，然后通过离散化和近似求解的方法。

它的基本思想是将求解区域划分为有限个子区域，然后在每个子区域内选取适当的基函数，通过这些基函数的线性组合近似原方程。

有限元法的步骤如下：1.将求解区域划分为三角形或四边形的有限个子区域，每个子区域称为单元。

2.在每个单元内选取适当的基函数，通常为多项式函数。

3.将原方程化为弱形式，即将方程两边乘上一个测试函数，并在整个求解区域上进行积分。

4.在每个单元内进行积分近似，并通过对各个单元的积分进行求和，得到离散化的方程。

5.将边界条件转化为代数方程。

6.将离散化的方程和代数方程组成一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。

总结起来，奇异微分方程边值问题的数值解法包括差分法和有限元法。

这两种方法都需要将微分方程进行离散化，然后通过求解线性方程组得到数值解。

选择使用哪种方法主要取决于具体的问题和求解精度要求。

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题谭静静;张克梅【摘要】应用非紧性测度的性质和广义凝聚映像的Sadovskii不动点定理,获得了Banach空间中一类含有一阶导数的非线性二阶奇异微分方程m点边值问题解的存在性结果. 首先给出一些定义和引理, 然后定义两个新的Banach空间和不动点算子, 通过证明算子A的连续有界,以及证明((AV)(t))/(1+t), (AV)′(t)是等度连续的,该文得到边值问题(5)至少存在一个解.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)002【总页数】12页(P23-34)【关键词】边值问题;不动点定理;锥;非紧性测度【作者】谭静静;张克梅【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O175.15非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一类重要问题.特别地,多点边值问题在物理、生物等领域有着广泛的应用,其解的存在性引起了许多学者的关注,见文献[1-3]及其所附文献.文献[4]研究了二阶三点边值问题的解的存在性,其中f∈C([0,∞),[0,∞)),b(t)∈C([0,1],[0,∞))且ϖt0∈[0,1],使得b(t0)>0.作者主要利用该问题相应的Green函数,将其转化为Hamm erstein型积分方程,借助锥上的不动点指数理论,得到了边值问题正解的存在性与多重性的结果.文[5]研究了二阶m点边值问题的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,∞)×R,[0,∞)),0<ξ<ξ2<…<ξm-2<1,βiΕ0(i=该文主要是应用格林函数及其性质和不动点定理[5],得到了边值问题(2)至少存在3个正解的结果(当边界条件为此结果仍然成立).近些年来,在抽象空间中研究常微分方程边值问题成为一个新的重要理论分支,就笔者所知,在抽象空间中研究多点边值问题解的存在性的文献尚不多见.最近,文献[6]在抽象空间中研究了边值问题的正解的存在性,其中θ是E的零元,非线性项f不依赖于一阶导数项x′(t),f在t=0,x=θ处是奇异的.作者通过构造一个特殊的锥,利用严格集压缩算子的不动点指数理论,得到了其正解的存在性结果.对于这个问题,文献[7]应用M˚nch不动点定理,也得到了同样的结果.文献[8]研究了边值问题的解的存在性,f∈C[I×E×E,E],I=[0,1],0<α<1,1<η<本文考虑非线性项非奇异的情况.受以上文献的启发,本文主要研究Banach空间E中二阶m点边值问题非平凡解的存在性,其中θ是E的零元,f∈C[I×E×E,E],f(t,θ,θ)≠θ,I=[0,1],h:(0,1)→R连续且h(t)在t=0,1两点奇异.显然本文所讨论的边值问题比上述问题更加广泛,在纯量空间中,此结果仍然成立.为了证明本文主要结果,下面给出一些定义和引理.定义1.1 (对偶锥)令P是Banach空间E中的一个锥,f是E上的有界线性泛函,如果对于Πx∈P, f(x)Ε0,称f(x)是非负的,把所有的非负的f的集合记作P3,P3就是P的对偶锥.定义1.2 (非紧性测度)设E是实Banach空间,使每个Si的直径d(Si)Φδ},称α(S)是S的非紧性测度.定义1.3 (严格集压缩映像)设E1和E2是实Banach空间,D<E1,设A:D→E2连续,有界,(i)如果存在常数kΕ0,使对任何有界集S<D,都满足α(A(S))Φkα(S),则称A为D上的k2集压缩映像.特别k <1时的k2集压缩映像称为严格集压缩映像.(ii)如果对任何非相对紧的有界集S<D,都满足α(A(S))< α(S),则称A是D上的凝聚映像. 显然若A是严格集压缩映像,则A一定是凝聚映像.引理1.1[7] 若H<C[I,E]有界且等度连续,那么α(H(t))在I上连续,并且这里I=[a,b],H(t)={x(t);x∈H},t∈I,αc(·),α(·)分别表示H在C[I,E]和E中的非紧性测度.引理1.2 (Sadovskii)令D是Banach空间E中的有界凸闭集(D不一定有内点),A:D→D是凝聚映像,则A在D中必具有不动点.关于锥的定义及性质可参见文献[15].显然,C1[I,E]<C[I,E],DC1[I,E]<FC[I,E].本文分别记空间E,C[I,E],FC[I,E],DC1[I,E]中的有界子集的非紧性测度为αE(·),αC(·),αF(·),αD(·).为方便起见,我们列出下面几个条件.事实上,由(H1)知(1)‖f(s,u(s),u′(s))‖Φ[(1+s)a(s)+b(s)]‖u‖D+c(s).(2)a(t),b(t),c(t)∈C[0,1]且非负,所以它们在[0,1]上有界.令a(t)ΦM1,b(t)ΦM2,c(t)ΦM3,对Πt∈I,取?M=m ax{M1,M2,M3}.又V有界,ϖM′>0,Πu∈V满足‖u‖DΦM′,有因为t是任意的,所以所以由引理2.4和(24)-(25),得到A是Ω到Ω的严格集压缩映像,显然A是凝聚映像.由引理1.2知A在Ω中至少有一个不动点,即边值问题(5)在DC1[I,E]上至少有一个非平凡解.参考文献:[1]L iu B,W uW,L iu L,etal.Positive so lution for singu lar second order three2pointboundary value p roblem s[J].Non linearA 2nalysis,2007,66:275622760.[2]L iu B.Positive so lutionsof non linear r2pointboundary valueproblem[J].App lM ath Comput,2004,155:1792203.[3]Chen SH,Hu H,Chen L,etal.Existence resu lts for n2pointboundary value problem of second ordero rdinary differentialequa2 tions[J].ComputApp lM ath,2005,180:4252432.[4]王淑丽,刘进生.二阶三点边值问题的正解[J].数学物理学报,2008,28A(2):3732382.[5]Yang L iu,Shen Chun2fang,L iu X i2ting.Existence of three postive so lutions for som e second order M 2pointboundary value p rob2 lem[J].A ctaM athm aticalApp lication Sinica,English Series,2008,24(2):2532264. [6]刘衍生.Banach空间中非线性奇异微分方程边值问题的正解[J].数学学报,2004,47(1):.[7]Cui Yujun,Zou Yum ei.Positive so lution of non liner singu lar boundary value problem s in abstract spaces[J].Non linerAnalysis 2008,69:2872294.[8]Chen Haibo,L i Peiluan.Existence of so lutionsof three2point boundary value p roblem s in Banach spaces[J].M athem atical and ComputerM odelling,2009,49:7802788.[9]Lakshm ikantham V,Leela S.NonlinearD ifferen tial Equations in Abstract Spaces[M].Pergamon,Oxford,1981.[10]Guo D,Lakshm ikantham V,L in X.Nonlinear Integral Equations inAbstractSpaces[M].KluwerA cadem ic,Dord recht,1996.[11]L iu B.Positive so lutionsof a non linear three2pointboundary value problem[J].App lM ath Comput,2002,132:11228.[12]L iu Y.Boundary value problem s for second order differential equations on unbounded dom ains in a Banach space[J].App l M ath Comput,2003,135:5692584.[13]Guo D,Lakshm ikantham V.Nonlinear Problem s in AbstractCones[M].New York:A cadem ic Press,1988.[14]Deim ling K.Non linear FunctionalAnalysis[M].Berlin:Sp ringer,1985.[15]郭大钧.非线性泛函分析[M].第2版.济南:山东科技出版社,2001.[16]杨义涛,孟凡伟.抽象空间中二阶三点边值问题正解的存在性[J].曲阜师范大学学报(自然科学版),2009,35(3): 15218.。

一类二阶非线性微分方程的两点边值问题

＝
引理２（［３，Ｌｅｍｍａ２．１］）
问题（２）有唯一解当且仅当Ｐ＝ｌｎ２ｃｒ．
ｌｎｅ％ｅｃ — — —≠ 一
．
（６）
下面，我们求解问题（２）．事实上，在问题（２）中
类似可得，当 ∈ （，１）时
ｔ厂＋一＝１， ∈（０，１），口（０）＝（１）＝０（１）
果，详见文献［３ — ５］及其后参考文献。
非负解的存在性。回归到问题（１）非负解的讨论上来。
非线性常微分方程两点边值问题是微分方程研究领域中的一个分支，此类问题来源于数学与应用数学、物理学等众多学科，现已被广泛研究。对该类边值问题解的存在性的研究方法有很多，如拓扑方法、上下解方法、变分法、迭代法等。本文通过非线性变换：ｅ一，将问题（１）等价转化为如下ｂｌｏｗ—
，，
ｌｉｍｕ（ｘ）＝ｌｉｒ（ｍｕｘ）＝＋∞
（２）
其中，函数ｕ的图像关于：对称，在：１
接下来通过证实问题（２）存在解进而得到问题
（１）存在非负解。
一
处取得最小值且ｕ（ ÷）＝ｌｎ２￣ｒ２．
（一）
＝
第一个式子两边同时乘上
把＝１代人上式
，
）且两边积分，得到

临界情况下一类二阶拟线性方程组边值问题的奇摄动

第２２卷
第２期
甘肃科学学报
ＪｕｎｌｏｌＳｃｅｃｓｏｒａｆＧｆＵＳｉｎｅＮ
Ｖｏ．２Ｎｏ２【２．
２１０Ｏ年６月
Ｊｎ２１ｕ．００
临界情况下一类二阶拟线性方程组边值问题的奇摄动
（）对于ＶｔＥ，３存在着方阵（ｔＯ的对应于ｋ个恒为０的特征值的ｋ个线性无关的特征向Ｂ ∈ ｏＴ，，，）
量．则称问题（）是临界情况下的奇摄动问题．１
２边值问题
倪明康等研究了以下系统］
（Ａ）对于Ｖｔ∈ Ｅ，］特征值满足０Ｔ，
收稿日期：０９０ — ４２０ — ９０
１０
甘肃科学学报
２１００年第２期
（）三０（￡ｉ＝１，，ｋ＜）， … 愚，Ｒｆ￡（）＜ｏ，ｉ— ｋ＋１，， … ｍ．
非线性边值问题来源于应用数学和物理等学科中的多个分支，描述了应用数学领域内的许多问题，它在
非线性扩散、气体热点燃、物化学领域均有很高的应用价值，目前分析数学中研究较为活跃的领域之生是Biblioteka Ａｂｔａｔｓｒｃ：
Ｔｈｅｓｎｉｇｕｌｒｐｅｔｂａｉｎｐｒｂｌｍｆａｋｉｄｏｗｏｏｄｅｕａｉｌｎｅｒｅｕａｉｓｗｉｈｂｎｄｒａｒｕｒｔｏｏｅｏｎｆｔ — ｒｒｑｓ—ｉａｑｔｏｎｔｏｕａｙ

【最新版】二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文

【最新版】二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equationswith the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equationswith the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab to solve the specific examples on the basis of the second chapter, andanalyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题近年来，随着科学家们对数学和物理理论的研究以及精细的数值解析技术的运用，学者们开始注意到一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题（QEP）。

QEP是一种具有无穷边界值的二次非线性方程组，其中参数具有某种统一性。

QEP具有丰富的理论和实际意义，它们是众多物理大会和其他专业交流会议的热点话题，也是各种研究、设计及其应用的重要基础。

QEP的定义及其表达式如下：假定给定矩阵AB，们的特征方程如下：Au=λBu其中，u 为AB特征向量，λ为AB特征值，则矩阵AB足QEP 的充分条件为：Au=λBu+σu其中，γ为AB共轭特征向量，σ为AB特征值的偏移量，即AB有无穷边界值。

QEP的实际应用十分广泛，它可以用于数学建模、密码学、无线传感器、网络服务等各个领域。

例如，在网络服务领域，通过控制不同的传输延迟，可以使网络服务的质量更优，从而节省网络资源，从而减少网络负载。

此外，在数学建模中，QEP可以用于解一些复杂的量子力学问题，以及其他复杂的动力学系统。

在解决QEP问题时，人们有多种算法可以供选择。

常见的算法包括：矩阵平方法（MSF）、反方形拟合方法（RFF）、插值非线性迭代方法（INIM）、线性矩阵迭代方法（LMI）和Karmarkar方法（KM）等。

于某些问题，这些方法在计算量上有很大的优势，而且可以较快地获得较为满意的精度。

QEP的研究也被广泛应用于优化技术的研究。

优化技术可以帮助我们在一定范围内计算最佳的参数或系统状态，这可以应用于工程技术、生物学、无线传感器网络、金融分析等领域。

于QEP有无穷多的解决方案，使用优化技术可以有效地找到最优解，从而实现更好的应用效果。

当前，围绕QEP问题的研究也有很多，其中包括对不同求解方法的分析，以及对具体应用的探索。

从四个维度，即定解法、数值方法、运算优化和应用研究，对QEP的研究可以得出如下结论：1.定解法方面，近年来，人们提出了许多新的数学理论，如基于有限元法的方法，可用于求解QEP问题；2.数值方法方面，学者们利用计算机技术，研究了一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题；3.运算优化方面，学者们研究了QEP问题的求解算法，例如MSF、RFF、INIM、LMI和KM等，以及它们的复杂性分析；4.应用研究方面，学者们利用QEP的研究成果，将其应用到计算机网络，信息加密，量子力学等领域。

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题有关二次奇摄动的问题是十分重要的，因为很多物理量如位移、角度等都可以看作是有边界的二次函数，而且都具有无穷的分布区间。

这类问题的主要研究对象是无穷多个参数变量的二次奇摄动。

一、设定与初始状态相关联的二次奇摄动对于这种边值问题，我们可以从三方面入手来研究它。

(1)求解边界值问题，将其转化为单值、二次函数以及极坐标形式;第三种情况是，只知道系统在所选初始条件下，求得了随时间而变化的数值，但并不知道其边界值。

我们称之为“边界值随时间变化的边值问题”。

这类问题常用数值方法求解。

因此，本节将介绍常用的一些数值计算方法和基本思想。

(2)确定已知条件下的边界值;(3)利用边界值求解初始条件下的边值问题，这种方法叫做边值原理。

下面我们来考虑其中一种特殊形式：1.当N是正整数时，表示被研究的系统在某初始条件下，其边界值是可以测出来的;当N是负整数时，表示被研究的系统在某初始条件下，其边界值不可以测出来。

这时的边界值，可以取自一组开始取自0的整数，也可以取自0以外的一组小数或无限小数。

2.当N是负整数时，表示被研究的系统在某初始条件下，其边界值随时间而变化;3.当N是正整数时，表示被研究的系统在某初始条件下，其边界值不随时间而变化。

这时的边界值，可以取自一组开始取自0的整数，也可以取自0以外的一组小数或无限小数。

4.对于非线性微分方程，求解边界值问题比求解初值问题困难，因此，需要在一定条件下才能找到数学上的最优解。

2。

当N是负整数时，表示被研究的系统在某初始条件下，其边界值随时间而变化; 3。

当N是正整数时，表示被研究的系统在某初始条件下，其边界值不随时间而变化。

这时的边界值，可以取自一组开始取自0的整数，也可以取自0以外的一组小数或无限小数。

4。

对于非线性微分方程，求解边界值问题比求解初值问题困难，因此，需要在一定条件下才能找到数学上的最优解。

3.下面我们列举几种常见的求解边值问题的方法。

二阶非线性微分方程Riccati方程的解法及应用_李晓琴

１１－ｘ２
，ｔ＝ｇ（ｙ）＝ｓｉｎｙ，有ｂ′（ｘ）＋２ａ（ｘ）ｂ（ｘ）＝０，由
定
理
３
的
２）及
推
论
得ｔ″＋ａ（ｘ）ｔ′＋ｂ（ｘ）ｔ＝ｆ（ｘ）方
程
通解为：ｔ＝ｃ１ｘ＋ｃ２
槡１－ｘ２
＋
１３ｘ２＋
１３
，从
而
原
方
程
的
通
积
分
为
ｓｉｎｙ＝ｃ１ｘ＋ｃ２
槡１－ｘ２
＋
１３ｘ２
＋
１３
，ｙ＝
ａｒｃｓｉｎ（ｃ１ｘ＋ｃ２
０引言
我们知道，二阶非线性微分方程一般是不可积的（即不能用初等积分法求其通解），利用两类Ｒｉｃｃａｔｉ
方程
ｚ′＝ｚ２－ａ（ｘ）ｚ＋ｂ（ｘ）
（１）
的求解公式，给出了两类二阶非线性微分方程的通解，应用这些只与方程系数ａ（ｘ）与ｂ（ｘ）相关的求解公
槡－ｃ
槡α－１
ｃ２ｅ槡１－αｘ）ｅ－４１ｘ２，ｙ＝（ｃ１ｅ－槡１－αｘ＋ｃ２ｅ槡１－αｘ）ｅ２－２１ｘ２．
槡α－１
例２求解方程（１－ｘ２）ｙ″ｃｏｓｙ－（１－ｘ２）ｙ′２ｓｉｎｙ－ｘｙ′ｃｏｓｙ＋ｓｉｎｙ＝１－ｘ２，（｜ｘ｜＜１）．
解原方程可化为，ｙ″ｃｏｓｙ－ｙ′２ｓｉｎｙ－１－ｘｘ２ｙ′ｃｏｓｙ＋１－１ｘ２ｓｉｎｙ＝１，取ａ（ｘ）＝－１－ｘｘ２，ｂ（ｘ）＝
τ
ｓｉｎτ
槡ｂ（ｘ）ｄｘ＋ｃ２ｃｏｓτ
槡ｂ（ｘ）ｄｘ］；
∫ ∫ ３）当ｃ２

含两参数的三阶非线性常微分方程Robin边值问题的奇摄动(Ⅱ)

含两参数的三阶非线性常微分方程Robin边值问题的奇摄动
(Ⅱ)
林宗池;林苏榕
【期刊名称】《福建师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(17)2
【摘要】研究含两参数的三阶非线性常微分方程 Robin边值问题的奇摄动 ,在适当的条件下 ,证得当(μ2 /ε)→ 0 (ε→ 0 )和ε=μ2
【总页数】5页(P1-5)
【关键词】非线性常数微分方程;Robin边值问题;奇异摄动;渐近展开;边界层函数;一致有效
【作者】林宗池;林苏榕
【作者单位】福建师范大学数学系;福建广播电视大学数学科
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14;O175.8
【相关文献】
1.含两参数的三阶非线性常微分方程Robin边值问题的奇摄动(工) [J], 林苏榕
2.含两参数的三阶半线性常微分方程边值问题的奇摄动(Ⅰ) [J], 林苏榕
3.含两参数的非线性高阶常微分方程Robin边值问题的奇摄动 [J], 周哲彦;林苏榕;林宗池
4.含两参数的三阶拟线性常微分方程边值问题的奇摄动 [J], 林苏榕;田根宝;林宗池
5.含两参数的三阶半线性常微分方程边值问题的奇摄动(Ⅱ) [J], 林苏榕;林宗池因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

伴有边界摄动非线性积分微分方程系统的奇摄动

伴有边界摄动非线性积分微分方程系统的奇摄动
吴钦宽
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2009(47)5
【摘要】研究伴有边界摄动的二阶非线性积分微分方程组的奇摄动问题.在适当的条件下,利用对角化技巧证明了解的存在性,并构造了解的渐近展开式,给出了余项的一致有效估计.
【总页数】6页(P881-886)
【作者】吴钦宽
【作者单位】南京工程学院,数学研究所,南京,211167
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.伴有边界摄动非线性系统初值问题的奇摄动 [J], 黄蔚章;陈育森
2.伴有边界摄动的积分微分方程组的奇摄动 [J], 林宗池
3.伴有边界摄动的Volterra型积分微分方程组的奇摄动 [J], 吴钦宽
4.伴有边界摄动的积分微分方程组的奇摄动 [J], 林宗池
5.伴有边界摄动二阶非线性系统的奇摄动 [J], 陈育森
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