直线交点,距离,对称
与直线有关的对称问题
与直线有关的对称问题山东 杨道叶一、知识精析1．关于直线对称的点若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则线段12PP的中点在对称轴l 上，而且连结1P 、2P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组 12121212022x x y y A B C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标222(,)P x y （其中120,A x x ≠≠）。
2．关于直线对称的两条直线此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。
若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。
3．点关于特殊直线对称点的坐标例1 求与点(3,5)P 关于直线l ：320x y -+=对称的点/P 的坐标。
分析：设点/P 的坐标为00(,)x y ，则直线l 为/PP 的垂直平分线，所以/PP l ⊥，/PP 的中点M 在l 上，列出关于0x ，0y 的方程组，求解即可。
解析：设/00(,)P x y ，则/0053PP y k x -=-，/PP 的中点0035,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
∴0000511333532022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得0051x y =⎧⎨=-⎩， ∴点/P 的坐标为()5,1-。
评注：另解为：先求出过点(3,5)P 与l 垂直的直线/PP 的方程，解/PP 与直线l 的方程组成的方程组，求得交点M 的坐标，再运用中点坐标公式求出点/P 的坐标。
例2 求直线a ：240x y +-=关于直线l ：3410x y +-=对称的直线b 的方程。
人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)
点、直线的距离和对称一、距离问题1. 设平面上两点()()111222,,,P x y P x y ，则12PP=为两点间距离2．点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离d ＝.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝.二、对称问题1. 关于点对称问题 （1）点关于点对称点()00,M x y 关于点(),P a b 的对称点是()002,2a x b y --．特别地，点()00,M x y 关于原点的对称点为()00,x y --．（2）线关于点对称已知l 的方程为：0Ax By C ++=()220A B +≠和点()00,P x y ，则l 关于P 点的对称直线方程．设'P ()'',x y 是对称直线'l 上任意一点，它关于()00,P x y 的对称点()''002,2x x y y --在直线l上，代入得()()''00220A x x B y y C -+-+=．此直线即为所求对称直线．2. 关于线对称问题 （1）点关于线对称已知点()00,M x y ，直线:l 0Ax By C ++=()0A B ≠，设点M 关于直线l 的对称点为()00,N x y ，则由1MN l k k =-得到一个关于,m n 的方程，又线段MN 的中点在直线l 得到另一个关于,m n 的方程，解方程组00001022n y A B m x x m y n A B C -⎧-⨯=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩ 即可求出点()00,N x y ．特别说明：①点()00,M x y 关于x 轴对称的点的坐标是()00,x y -，关于y 轴对称点的坐标是()00,x y - ②点()00,M x y 关于直线y x =的对称点坐标是()00,y x ，关于y x =-对称点为()00,y x -- （2）线关于线对称已知1111:0,:0l A x B y C l Ax By C ++=++=,求直线1l 关于直线l 对称直线2l如右图所示，在直线上任取不同于l 与1l 交点P 的任一点M ，先求出点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，再由,N P 在2l 上，用两点式求出直线2l 的方程．常见的对称结论有：设直线:0l Ax By C ++=．① l 关于x 轴的对称的直线是：()0Ax B y C +-+=； ②l 关于y 轴的对称的直线是：()0A x By C -++=； ③l 关于原点的对称的直线是：()()0A x B y C -+-+=； ④l 关于y x =的对称的直线是：0Ay Bx C ++=；⑤l 关于y x =-的对称的直线是：()()0A y B x C -+-+=；类型一 点到直线的距离例1：求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)3x －4y －1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可． 答案：(1)由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－－－1|32＋－2＝165. (2)由直线y ＝6与x 轴平行，得d ＝|6－(－2)|＝8.或将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0，∴d ＝|0×3＋－－6|02＋12＝8. (3)d ＝|3|＝3.练习1：求点P (－1,2)到直线2x ＋y －5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d ＝ 5.练习2：点A (a,6)到直线3x －4y ＝2距离等于4，求a 的值；答案：由点到直线的距离公式|3a －4×6－2|32＋42＝4， ∴a ＝2或463.练习3：求过点A (－1,2)且与原点距离等于22的直线方程． 答案：设所求直线l ：y －2＝k (x ＋1)，原点O (0,0)到此直线距离为22，可求得k ＝－1或－7， ∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.例2：已知在△ABC 中，A (3,2)、B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，求C 点坐标．解析：本题易求|AB |＝5，C 点到AB 的距离即为△ABC 中AB 边上的高．设C (x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋3，从而可建立x 0的方程求解．答案：设点C (x 0，y 0)，∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，∴y 0＝3x 0＋3.∵A (3,2)、B (－1,5)， ∴|AB |＝－2＋－1－2＝5.设C 到AB 的距离为d ，则12d ·|AB |＝10，∴d ＝4.又直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0，∴d ＝|3x 0＋x 0＋－17|32＋42＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4.∴3x 0－1＝±4，解得x 0＝－1或53.当x 0＝－1时，y 0＝0；当x 0＝53时，y 0＝8.∴C 点坐标为(－1,0)或(53，8)．练习1：求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.解法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为：x ＝1或4x －y －2＝0.练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（ ）A ． D ．答案：B类型二 两条平行线之间的距离例3：求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15的距离． 解析：由题目可获取以下主要信息： ①直线l 1与l 2的方程已知； ②l 1与l 2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．答案：解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即是所求的平行线间的距离．如图①所示，∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1. 解法二：设原点到直线l 1、l 2的距离分别为|OF |、|OE |，则由图②可知，|OE |－|OF |即为所求．∴|OE |－|OF |＝|－15|32＋42－|－10|32＋42＝1，即两平行线间的距离为1. 解法三：直线l 1、l 2的方程可化为3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0， 则两平行线间的距离为 d ＝|－10－－32＋42＝55＝1. 练习1：两平行直线x ＋3y －4＝0与2x ＋6y －9＝0的距离是________． 答案：1020练习2：已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，则与它们等距离的直线方程是（ ） A ．23120x y +-= B ．2360x y +-= C ．230x y += D ．2330x y ++= 答案：B类型三 对称问题例4：点P (－1,1)关于直线ax －y ＋b ＝0的对称点是Q (3，－1)，则a 、b 的值依次是( )A ．－2,2B ．2，－2 C.12， －12 D.12，12 解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)． ∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，∴－1－13－－·a ＝－1，∴a ＝2.故b ＝－2. 答案：B练习1已知直线l ：y ＝3x ＋3，求点P (4,5)关于直线l 的对称点坐标． 答案：设点A (x ，y )是点P 关于直线l 的对称点，∵A 、P 的中点在直线l 上， ∴y ＋52＝3×x ＋42＋3，即3x －y ＋13＝0又∵AP 与直线l 垂直， ∴y －5x －4×3＝－1，即x ＋3y －19＝0 ②解①、②组成的方程组可得x ＝－2，y ＝7， 即所求点的坐标为(－2,7)．练习2：已知(),P a b 和()1,1Q b a -+是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（ ） A ．0x y += B ．0x y -= C ．10x y ++= D ．10x y -+=答案：D例5：在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小． 解析：设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．事实上，对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则||P ′A |－|P ′B ||＝||P ′A |－|P ′B ′||<|AB ′|＝||PA |－|PB ′||＝||PA |－|PB ||；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C ′|>|AC ′|＝|PA |＋|PC |. 答案：(1)如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.又由于线段BB ′的中点坐标为A (a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝02x ＋y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． ∴点P (2,5)为所求．(2)如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为(35，245)．∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为(117，267)．故P 点坐标为(117，267)，为所求．练习1：已知()()3,5,2,15A B -,直线:3440l x y -+= （1）在l 上求一点P ，使PA PB +的值最小； （2）在l 上求一点Q ，使QA QB -的值最小． 答案：（1）设点A 关于直线l 的对称点()'00,A x y ，则0000543335344022y x x y -⎧=-⎪+⎪⎨-+⎛⎫⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得0033x y =⎧⎨=-⎩ ∴()'3,3A -由两点式可得'A B 的方程为18510x y +-= 又∵点P 应是'A B 和l 的交点∴解方程组18503440x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求点P8,33⎛⎫⎪⎝⎭（2）∵2AB k = ∴AB 的方程为211y x =+ 由于直线AB 与l 的交点Q 即为所求∴解方程组3440211x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 得85x y =-⎧⎨=-⎩∴所求点()8,5Q --练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（ ） A．2．．2D．答案：B1．已知点()()1,3,2,6A B -，则AB 的长及中点坐标分别是（ ）A ．()1,9--B ．19,22⎫-⎪⎭C ．19,22⎫--⎪⎭D ．19,22⎫⎪⎭答案：B2．若点(),6A a 到直线342x y -=的距离等于4，则a 的值是（ ） A ．2 B ．463 C ．0或2 D ．2或463答案：D3．过点()1,2A -的直线方程是（ ） A ．10x y +-= B ．750x y ++=C ．10x y +-=或750x y ++=D ．10x y --=或750x y ++= 答案：C4．若点P 到点()()120,1,7,2P P 及x 轴的距离相等，则P 的坐标是（ ） A ．()3,5 B ．()17,145- C ．()3,5或()17,145- D ．以上全不对 答案：C5．两平行线4x ＋3y －1＝0与8x ＋6y ＋3＝0之间的距离是( )A.25B.110C.15D.12 答案：D6.若点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是( )A.10B ．2 2C. 6 D ．2 答案： B7. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0 答案：B8. 两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________．答案：1029.已知正方形中心G (－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．答案：正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610.设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0， 由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由－＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3.∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知点A (a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2B ．2－ 2C.2－1D.2＋1 答案：C2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0 答案：A3．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案：C4．过点A (－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．答案：3x －y ＋10＝0能力提升5．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)、Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 答案：C7. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．答案：48. 与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．答案：x ＋y －10＝0或x ＋y ＝09. △ABC 的三个顶点是A (－1,4)、B (－2，－1)、C (2,3)．(1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .答案：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－－2－－＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－2＝22， 又|BC |＝－2－2＋－1－2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 10. 已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程．答案：解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －－t ＋1|2＝|t －－t －1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0.。
两条直线的交点坐标与距离公式
l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则
{ x + 0 - y - 2-1=0，
22
y +2 ×1
=-1,
x
{ x=-1，
得
即（1，0），
y=-1.
（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
故应选B.）
.
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考点四 直线系方程的应用 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
两直线的交点坐标与 距离公式
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一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行≠，0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1,C两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.由题意知
| 2k - 3 + k + 2 | =
| -4k - 5 + k + 2 |
两直线的位置关系及距离公式
解：(1)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)，
则a2b＋ －a b2＋ ＝2 21－5＝0
，解得ab＝ ＝35 ，
∴B(3,5)，
由2x＋ x－y－ y＋52＝＝00 ，解得xy＝ ＝14 ，
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点为 P(1,4)，
线的距离公式，会求两条平行直 难度不大；若与圆、圆锥曲线结
线间的距离.
合，则出现在解答题中，具有一
定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定
平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2且
；
(2)l1⊥l2⇔
∴|4a＋35b－2|＝2，即4a＋3b－2＝±10.
②
由①②得ab＝ ＝1－，4， 或ab＝ ＝2－77， 87.
∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.
【考向探寻】 1．解关于“中心对称、轴对称”的问题． 2．利用对称解决有关最值问题、光线反射问题．
【典例剖析】
(1)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则
反射光线所在的直线方程为
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求： ①点A关于直线l的对称点A′的坐标； ②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(1)利用入射光线上的点关于直线x＋y－5＝0的对称点在反射光线上解题． (2)①直线l为线段AA′的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程 组求出A′点坐标；②转化为点关于直线的对称．
直线的交点坐标与距离公式
互动探究
例3条件不变，求直线l关 于点A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．
考点四 直线中的最值问题
例4.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满 足（1）;C关于l的对称点为C′,AC′与l 的交点Q满足(2).事 实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则
由 l1⊥MN 知，k1＝－kM1N＝－35， ∴l1 的方程为 y＋2＝－35(x＋2)，即 3x＋5y＋16＝0. l2 的方程为 y－3＝－35(x－1)，即 3x＋5y－18＝0.
练习 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0a 0，直线l2：－4x＋
2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是
∴3－＝2k＝＋－b22.k＋b1， ②
①
由①－②得 b1－b2＝3k－5，
由 d＝|b11－＋bk22|＝|31k＋－k52|两边平方，
整理，得(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0.
③
由 k∈R，得 Δ＝302－4(d2－9)(d2－25)≥0.
又 d>0，故解得 0<d≤ 34.
(2)直线关于点的对称，其主要方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两 点式求出直线方程，或者求出一个对称点， 再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00 的解．
2．距离公式
类型
条件
两点间的 距离
两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
高三数学直线的交点坐标与距离公式
• 当 F 与 B 重合时， F 点坐标为 (2,0) ，由①式
得k＝－2＋
• 当k∈[－2＋ 大值为f(－2＋
，0]时，f(k)递减，f(k)的最 )＝32－16 ；
• 当k∈[－1，－2＋
－ • 在 [－ 2<f(－2＋ ]上递减； ，－2＋
• 2．点到直线距离公式
• 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： • 3．两平行线间的距离公式 • 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
• 1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
•
A． 6 D．不能确定
B.
C．2
•
)时，可证f(k)在[－1，
)上递增，f(－1)＝ .
)＝32－16
【分析点评】
• 本题对直线方程，两点间的距离公式和分段 函数问题进行了综合考查，在考查
• 直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对 称问题．
• (1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对 称，主要利用中点坐标公式解决． • (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称 解决，对于点与点关于直线x＝0，
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组 若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方 求得，
• 【例 1】 直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
高中数学：直线方程中的对称问题
高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。
这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。
分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。
2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。
专题05 直线的交点、距离公式与对称、最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题【知识梳理】1、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可．若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点111()P x y ，，222()P x y ，间的距离公式为12PP =．3、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =4、两平行线间的距离直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，6、点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y AB C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程9、常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，．点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，．点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --，．点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-，．【专题过关】【考点目录】考点1：两直线的交点问题考点2：两点的距离考点3：点到直线的距离考点4：两平行直线的距离考点5：点线对称考点6：线点对称考点7：线线对称考点8：两线段和与差的最值问题【典型例题】考点1：两直线的交点问题1．（2021·江苏连云港·高二期中）若三条直线280,10x ky x y ++=--=和20x y -=交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．3D ．12【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩.把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C2．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a≠2-B ．a≠±1C ．a≠2-且a≠±1D ．a≠2-且a≠1【答案】C【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若0a =，则三条直线围成三角形，若0a ≠，则11a a ≠，111a ≠，解得1a ≠±，1a ≠±时，由100ax y x y a ++=⎧⎨++=⎩，得1(1)x y a =⎧⎨=-+⎩，代入10x ay ++=得1(1)10a a -++=，1a =或2a =-，因此2a ≠-综上：1a ≠±且2a ≠-．故选：C ．3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=【答案】B【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=，故选：B4．（多选题）（2021·江苏徐州·高二期中）已知a 为实数，若三条直线280,43100ax y x y ++=+-=和2100x y --=不能围成三角形，则a 的值为（）A ．83B ．1C ．1-D ．4-【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时，由431002100x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，所以交点为(4,2)-，所以4480a -+=，得1a =-，当直线280ax y ++=与43100x y +-=平行时，243a =，得83a =，当直线280ax y ++=与2100x y --=平行时，221a =-，得4a =-，所以当1a =-，或83a =，或4a =-时，三条直线不能围成三角形，故选：ACD5．（2021·全国·高二期中）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.6．（2021·上海·南洋中学高二期中）关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【解析】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=__．【答案】﹣1【解析】把(1,1)M 分别代入直线l 1和直线l 2的方程，得110,210a b ++=--=，所以2,1a b =-=，所以1a b +=-．故答案为：-1．8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：280x y +-=和l 2：3100x y -+=截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.【解析】设l 1与l 的交点为A (a ，8-2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (-a ，2a-6)在l 2上，代入l 2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为041004y x --=--即x ＋4y-4＝0.9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l ：(41)(1)30x y λλ+-++=.(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 被两平行直线1l ：220x y -+=与2l ：260x y --=所截得的线段AB 的中点恰好在直线260x y ++=上，求λ的值.【解析】(1)由已知：(41)(1)30x y λλ+-++=，即(4)30x y x y λ-+-+=，令4030x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：x =1，y =4，∴直线l 恒过定点(1,4).(2)设直线1l ，2l 分别与直线260x y ++=交于C ，D 两点，由260220x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得C 14255⎛⎫-- ⎝⎭,，由260260x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得D 61855⎛⎫-- ⎪⎝⎭,，∴CD 的中点M 的坐标为(－2,－2)，不妨设A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，则△AMC ≌△BMD ，即MA =MB ，故M (－2,－2)为AB 的中点，将M 代入直线l 的方程得：(41)(2)(1)(2)30λλ+--+-+=，解得12λ=·10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为_________.【答案】210x y +-=【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=考点2：两点的距离11．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（）AB ．CD ．1【答案】D【解析】联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB ==故选：D12．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知()2,3A -，()5,7B -，则AB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()2,3A -，()5,7B -，所以5AB ==，故选：C.13．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2)-，则过A 点的中线长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】设过A 点中线长即为线段AD .D 为BC 中点：3562,22D +-+⎛⎫⎪⎝⎭，即D （4，-2）∴||AD ===故选：B.14．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.15．（2021·北京·临川学校高二期中（文））已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3【答案】C【解析】因为||MN =，=2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C16．（2021·四川巴中·高二期中（文））当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB 两点间的距离d =考点3：点到直线的距离17．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））直线2x =与32120x y +-=的交点到直线10x y +-=的距离______．【答案】【解析】由232120x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2,3x y ==，即直线2x =与32120x y +-=的交点为()2,3点()2,3到直线10x y +-==.故答案为：18．（2021·辽宁·高二期中）对任意的实数λ，求点()2,2P -到直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）的距离d 的取值范围为______．【答案】0,⎡⎣【解析】由题意，直线()()212320x y λλλ+-+-+=（），即()2640x y x y λ--+--＝，所以26040x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()2,2Q -，当PQ 垂直直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）时，d 取得最大值=，当直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）过点P 时，d 取得最小值0，∴d 的取值范围0,⎡⎣.故答案为：0,⎡⎣．19．（2021·全国·高二期中）已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【解析】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）BC ==直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC=，则ABC 的面积为1242⨯=.20．（2021·全国·高二期中）已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，点()2,3A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解析】因为直线l 垂直于直线3490x y +-=，可设直线l 为430x y c -+=，因为点()2,3A 到直线l 的距离为1，|1|15c -==，解得6c =或4c =-，故所求直线方程为4360x y -+=或4340x y --=.21．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为_______【答案】13-或79-【解析】因为点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，解得13a =-或79a =-，故答案为：13-或79-22．（2021·山东威海·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0或5-=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-23．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点()1,1P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则该直线的方程是（）A ．450x y +-=B ．450x y +-=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=或450x y +-=【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，()2,3A ，()4,5B -到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k --+=，由()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等=1k =-或4-，即直线方程为20x y +-=或450x y +-=.故选：C.考点4：两平行直线的距离24．（2021·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．54C ．3D ．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=故选：B25．（2021·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】4【解析】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|24d --==，故答案为：426．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =_______.【答案】9-或21【解析】由题，可知12//l l ，所以两平行线间距离为3d =，解得9C =-或21，故答案为：9-或21考点5：点线对称27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）已知点P 与点()1,2Q -关于直线10x y +-=对称，则点P 的坐标为_______.【答案】()3,0【解析】由题可知该直线是线段PQ 的垂直平分线，设(),P m n ，则1210,2221,1m n n m +-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得3,0.m n =⎧⎨=⎩故答案为：(3，0).28．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知ABC 的顶点(4,1),A AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=，则BC 边所在直线方程___________.【答案】2711450x y --=.【解析】由题意，AB 边上的高所在直线的斜率为35-，则AB 的斜率53k =，所以()5:14531703AB l y x x y -=-⇒--=，与直线250x y --=联立解得29x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,9B --.设(),C a b ，则线段AC 的中点坐标为41,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，14AC b k a -=-，所以1241250522119425a b a b b a ++⎧⎧=⋅--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩，即129,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以99275121125BCk +==+，所以BC 边所在直线方程为：()2792271145011y x x y +=+⇒--=.故答案为：2711450x y --=.29．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【解析】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．30．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）光线沿直线730x y --=入射到直线220x y -+=后反射，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】3y x =+【解析】由730220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得14x y =⎧⎨=⎩即直线730x y --=与直线220x y -+=交点为(1,4)N 在直线730x y --=上取点(0,3)H -设点(0,3)H -关于220x y -+=的对称点为'(,)H m n 则03220223210m n n m +-⎧⨯-+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩41m n =-⎧⎨=-⎩即'(4,1)H --'41114NH k +==+则反射光线所在直线的方程为143y x x =-+=+故答案为：3y x =+31．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A ．()3,3B ．()2,2C ．53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B32．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】B【解析】设对称点为(),m n ，由题意可得1113311022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即对称点为()0,4，故选：B.33．（2021·江苏·40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（）A50y ++=B．40x +=C．50x +=D．0x =【答案】C40y --=，令0x =，解得4y =-，设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ，则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则111022a b =-⎪+-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D，11253BD k ==-，直线BD：)15y x -=-，即50x =。
两条直线的交点与距离公式
类题通法
点关于直线对称：若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax ＋By＋C＝0 对称，则线段 P1P2 的中点在对称轴上，而且连接 P1P2 的
A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0 直线垂直于对称轴 l，由方程组yx22－ －yx11·－AB＝－1
，可得到
点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2).
答案：6x－y－6＝0 解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则 反射光线所在直线过点 M′，
所以a－－b32－＋－4a3－·1b＝＋2 －4＋1，3＝0，
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为6y－－00＝2x－－11，即 6x－y－6＝0.
1．若直线 y＝－2x＋3k＋14 与直线 x－4y＝－3k－2 的交点位于
第四象限，则实数 k 的取值范围是( )
A．－6<k<－2 B．－5<k<－3
C．k<－6
D．k>－2
答案：A 解析：解方程组yx＝－－4y＝2x＋－33kk＋－124，， 得 x＝k＋6，y＝k＋2， 由题意知kk＋＋62><00 ，解得－6<k<－2.
5．已知 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意 一点，则|PQ|的最小值为________．
答案：2190 解析：先把两直线方程化为同系数方程，6x＋8y－24＝0 和 6x＋ 8y＋5＝0，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故 d＝|5－62－＋2842|＝ 2190.
解析：因为所求直线与直线 2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方 程为 x－2y＋C1＝0，又直线过点 A(2,1)，
直线的交点以及距离
一、两条直线的位置关系已知两条直线的方程为1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 1）两条直线相交、平行与重合条件： ① 相交的条件：12210A B A B -≠② 平行的条件：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ③ 重合的条件：12A A λ=，12B B λ=，()120C C λλ=≠ 2）两条直线垂直的条件：12120A A B B += 延伸：斜率存在的情况下：两条直线为1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+相交的条件：12k k ≠；平行的条件：12k k =且12b b ≠；重合的条件：12k k =，12b b =． 两条直线垂直的条件：121k k =-.二、点到直线的距离公式1）点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d的计算公式：d =设0A ≠，0B ≠这时l 与x 轴、y 轴都相交．如图：过()00,P x y 作x 轴的平行线，交l 于点()10,R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点()02,S x y ，由100Ax By C ++=，020Ax By C ++=， 得01By C x A --=，02Ax C y B --=，∴||PR 01||x x =-00||Ax By CA++-，02||||PS y y =-00||Ax By CB++=，||RS =00||||Ax By C A B =++⋅由三角形面积公式知：||||||d RS PR PS ⋅=⋅，)∴d =，当0A =或0B =时，以上公式仍适用．2）两条平行线1l ：10Ax By C ++=，2l ：20Ax By C ++=之间的距离为d ，则d =3）已知()11,A x y ，()22,B x y ，则(),d A B =三、对称问题1）求已知点关于点的对称点()','P x y 关于点()00,Q x y 的对称点为()002',2'x x y y --2）求直线关于点的对称直线方法一：利用中点公式可求得点()00,P x y 关于点(),A a b 的对称点为()00'2,2P a x b y --，求一条直线关于点(),A a b 的对称直线方程时可在该直线上取某个两个特殊点，再求它们关于点A 的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程； 方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为(),x y ，再求它关于(),A a b 的对称点坐标，而它的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于,x y 的方程，即为所求的直线方程． 常见的对称结论有：设直线l ：0Ax By C ++=，① l 关于2x 轴对称的直线是()0Ax B y C +-+= ② l 关于y 轴对称的直线是()0A x By C -++= ③ l 关于原点对称的直线是()()0A x B y C -+-+= ④ l 关于y x =对称的直线是0Ay Bx C ++=⑤ l 关于y x =-对称的直线是()()0A y B x C -+-+= 3）求点关于直线的对称点①设()00,P x y ，l ：()2200Ax By C A B ++=+≠，设P 关于l 的对称点的坐标(),Q x y ，则l 是PQ 的垂直平分线，即a.PQ l ⊥；b.PQ 的中点在l 上，解方程组00001022y y A x x B x x y y A B C -⎧⎛⎫⋅-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩可得Q 点坐标． ②点(),A x y 关于直线0x y c ++=的对称点'A 的坐标为(),y c x c ----，关于直线0x y c -+=的对称点''A 的坐标为(),y c x c -+．曲线(),0f x y =关于直线0x y c ++=的对称曲线为(),0f y c x c ----=，关于直线0x y c -+=的对称曲线为(),0f y c x c -+=．常见的结论有：a.(),A a b 关于x 轴的对称点为()',A a b -；b. (),B a b 关于y 轴的对称点为()',B a b -；c. (),C a b 关于y x =轴的对称点为()',C b a ；d. (),D a b 关于y x =-轴的对称点为()',D b a --；e. (),E a b 关于x m =轴的对称点为()'2,E m a b -；一、两条直线位置关系与距离问题用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【题干】已知直线l ：250x y --=，且(),P a b 在直线l最小值． 【答案】 【解析】 【点评】【题干】已知直线1l ：80mx y n ++=与2l ：210x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的1l 的方程．【答案】2490x y -+=或24110x y --=. 【解析】因为1l 2l ，∴821m n m =≠-，∴42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠⎩（1）当4m =时，直线1l 的方程为480x y n ++=，把2l 的方程写成4820x y +-=.=22n =-或18n =. 所以，所求直线的方程为24110x y +-=或2490x y ++=.（2）当4m =-时，直线1l 的方程为480x y n --=，2l 的方程为2410x y --=，∴21664n -+=+，解得18n =-或22n =.所以，所求直线的方程为2490x y -+=或24110x y --=.【点评】【题干】已知点()3,8A -和()2,2B ，求x 轴上与点A 、B 距离之和最短的点的坐标，以及对应的距离和的最小值． 【答案】 【解析】 【点评】二、对称问题解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．注意中点坐标公式的应用.【题干】光线从()4,2A --点射出，到直线y x =上的B 点后被直线y x =反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点()1,6D -，求BC 所在的直线方程．【答案】10380x y -+=.【解析】作出草图如图，设A 关于直线y x =的对称点为A '，D 关于y 轴的对称点为D '，则易得()42A '--,，()1,6D '．由入射角等于反射角可得A D ''所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为616412y x --=++，即10380x y -+=.【点评】设A 关于直线y x =的对称点为A '，D 关于y 轴的对称点为D '，则直线A D ''经过点B 与C .【题干】已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（ ）． A. 210x y -+= B. 210x y --= C. 10x y +-= D. 210x y +-=【答案】B.【解析】1l 与2l 关于l 对称，则1l 上任一点关于l 的对称点都在2l 上，故l 与1l 的交点()1,0在2l 上．又易知()02,-为1l 上一点，设其关于l 的对称点为(),x y ，则21022211x y y x+0-⎧--=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪⎩，得11x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,0、()11--,为2l 上两点，可得2l 方程为210x y --=.【点评】【题干】直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） A. 210x y +-= B. 210x y +-= C. 230x y +-=D. 230x y +-=【答案】D.【解析】在直线在直线210x y -+=上任取两点()1,1，102⎛⎫ ⎪⎝⎭,，这两点关于直线1x =的对称点分别为()1,1，122⎛⎫ ⎪⎝⎭,，过这两点的直线方程为()1112y x -=--， 即230x y +-=. 【点评】三、直线综合【题干】()1a x =-恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a -<<a <或a >C. 12a -<<-或12a << D. 1a <-或12a -<<-【答案】 【解析】 【点评】【题干】若方程lg 0x y m +-=仅表示一条直线，则实数m 的取值范围是． 【答案】 【解析】 【点评】【题干】若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα,，则（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b +≥【答案】D. 【解析】若直线1x y+=通过点()cos sin M αα,，则1cos sin αα+=， 【题干】已知过点()11A ,且斜率为()0m m ->的直线l与,x y 轴分别交于,P Q，过,P Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为,R S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值． 【答案】3.6.【解析】设l 的方程为()11y m x-=--，则11,0P m ⎛⎫+⎪⎝⎭，()0,1Q m +. 从而可得直线PR 和QS 的方程分别为120m x y m+--=和()2210x y m -++=. 又||PR QS ，所以132m RS ++==. 又22PR +=，QS =PRSQ 为梯形，PRSQ S 2123212m ⎡⎤+++⎢⎥=2211911912 3.654805480m m ⎛⎫⎛⎫++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.【点评】【题干】直线l 过点()2,1M ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ，点O 是坐标原点，（1）求当ABO ∆面积最小时直线l 的方程； （2）当MA MB ⋅最小时，求直线l 的方程． 【答案】（1）240x y +-=；（2）30x y +-=. 【解析】（1）设直线l 方程为1x ya b+=（a 、b 均为正数），因为l 过点()2,1M ，所以211a b +=.因为211a b =+≥8ab ≥，当且仅当21a b =时，即4a =，2b =时，等号成立，所以当4a =，2b =时，ab 有最小值8，此时OAB ∆面积为142s ab ==达到最小值.直线l 的方程的方程为142x y+=，即240x y +-=. （2）过M 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P 、N ，设MAP α∠=，则Rt MPA ∆中，sin MP MA α=，得1sin sin MP MA αα==，同理可得：2cos MB α=， 所以24sin cos sin 2MA MB ααα⋅==.因为](sin 20,1α∈，所以290α︒=时，即45α︒=时，sin 21α=达到最大值，44sin 2MA MB α⋅==达到最小值，此时直线l 的斜率1k =-，得直线l 方程为()12y x -=--，即30x y +-=.【点评】【题干】设直线()2222361y m m x m m =++---，其中m 为任意实数，求证：不论m 为何值时，所给直线过定点． 【答案】 【解析】 【点评】。
直线的交点坐标与两点间的距离公式及点与直线的对称问题课件+-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册+
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
3
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－4，x NhomakorabeaO
l
类型4
【例4】
对称问题(选讲内容)
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
[解] 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点
在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
y′＋5
x′＋4
＝3×
＋3，
2
2
即 y′－5
×3＝－1，
x′－4
∴P′点坐标为(－2,7)．
2
3 x 4 y 2 (2 x y 2) 0
LOGO
注：此直线系方程
少一条直线l2
y
表示什么图形 ?图形有何特点 ?
=0时,方程为3x+4y-2=0
=1时,方程为5x+5y=0
=-1时,方程为x+3y-4=0
(-2，2)
x
O
上式整理为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
，得
解1: 解方程组
2
6 x 4 y 1 0
3
直线2 x 2 y 1 0与6 x 4 y 1 0 的交点坐标为( , 2).
2
y0
x0
直线l 的方程为
直线方程中的对称问题
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型， 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 通过几道典型例题，介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21••x y ••k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••••⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ， 设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.。
高三数学总复习 直线的交点坐标与距离公式课件 文 新人教版
(2)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对 称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于 对称轴l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)． ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一 是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
【解析】 解kkxy－－yx＋－12k－＝k＝0 0 ，
x＝k－k 1
得y＝2kk－－11
，
∵交点在第一象限，
k－k 1＞0 ∴2kk－－11＞0
，∴k＞1 或 k＜0.
【答案】 k＜0或k＞1
点到直线的距离
已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是 多少？ (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出 方程；若不存在，请说明理由．
【答案】 B
4．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A 作直线l与已知直线相交于B点，且|AB|＝5，则直线l的方 程为________．
【解析】 过点 A(1，－1)与 y 轴平行的直线为 x＝1， x＝1
解方程组2x＋y－6＝0 ，
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5， 即x＝1为所求． 设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－ ＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0. 即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最 大距离为＝
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(2)直线关于直线的对称： 转化为点关于直线的对称来解决， 有两种情况：一是已知直线与对称轴相交； 二是已知直线与对称轴平行.
3 k 3 且l l3 5 5 k k 3 1 k ， 3 5 L : y 2 (x 1)即5x 3y 1 0 3
2.三种距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间 的距离 点P0(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0 的距离 两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+By+C2=0间的距离
l： 3x-4y-10=0.
(2) |AO|max直线是过点A与AO垂直的直线， ∵l⊥AO，∴klkOA=-1，∴ k 1 2， l 由直线的点斜式得
k OA
y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，是过点A且与原点距离最大的
直线l的方程，最大距离是 | 5 | 5.
5
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的直线，
的中点M的坐标为(x，y)，
则 x＝ 且y＝ .
1.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等
于( )
(A) 2
(C)
(B) 2 2
(D) 2 1
2 1
2
【解析】选C.由 | a 2 3| 1 且a＞0，得 a 2 1.
4.已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_______. 【解析】依题设及两点间的距离公式得：
| P1P2 |
_________________
Байду номын сангаас
(x 2 x1 )2 (y2 y1 )2
d
| Ax 0 By0 C |
2 2 A B _______________
| C1 C2 | A B d=_________
2 2
线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2
因此不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【拓展提升】
1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称：若点M(x1,y1)及N(x，y)关于P(a,b)
对称，则根据M,N的中点为P 由中点坐标公式求 M
P N
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于
求出方程；若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)当斜率不存在时，l ： x=2， 原点到直线 l 的距离为2，符合题意； 当斜率存在时，设 l：y+1=k(x-2)，即 kx-y-2k-1=0，
∵ | 2k 1|
k 1
2
∴
2,
∴k
3 ， 4
l：3x-4y-10=0, 综上：l：x=2 或
积的取值范围是(
)
1］ A (0，
1 3 B [ ， ] 2 2
1 3 C [ ， ] 4 2
1 3 D [ ， ] 4 4
已知点A(2，-1)， (1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程.
(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离
是多少？
(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，
(a 0)2 (5 10)2 17, 解得a=〒8.
答案:〒8
3 3 2 4 3 【解析】直线l2可化为：3x-2y+ =0，由平行线间的距离公式 2 3 | 5 | 13 得： 2 d . 2 2 2 3 (2)
答案:
5.平行线l1：3x-2y-5=0与l2: y x 之间的距离为_______.
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(1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必 须为一般式. (2)两平行直线间的距离 要注意两平行直线方程中x，y的系数必须相等.
“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”
求两平行线的距离
考向 2
三种距离公式的应用
在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cos θ )，B(sin θ ，1)，则△OAB的面
直线交点，距离，
1.两条直线的交点
唯一解
无解
有无数组解
考向 1
直线的交点
求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0的直线 l 的方程.
解
3x 2y 1 0， x 1 5x 2y 1 0， y 2
已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
点关于直线的对称： 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称， 则 线段P1P2的中点在对称轴l上 （平分）
线段P1P2垂直于对称轴l
（垂直）
y1 y 2 x1 x 2 A( ) B( ) C 0 ， 2 2 y y A 2 1 ( ) 1 x 2 x1 B