二元函数连续、偏导数与可微的关系

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二元函数连续可微偏导之间的关系解读

一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。

对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。

下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系假设函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么在该点连续,但反之不成立(同一元函数。

证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。

反之不成立。

例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。

2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。

3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,那么f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。

4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。

例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。

更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。

例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但f y(0,0=lim△y→∞0-0=0,f y(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系连续偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学和物理学中都有着广泛的应用。

二元函数是指一个包含两个自变量的函数，可以用来描述二维空间中的各种变化规律。

而连续偏导数和全微分则是用来描述函数的变化率和微小变化的工具，它们之间存在着密切的关系。

我们来介绍一下连续偏导数的概念。

对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数表示其在某一方向上的变化率。

偏导数有两种常见的形式，一种是以x为自变量，y为常数的偏导数，用∂f/∂x表示；另一种是以y为自变量，x为常数的偏导数，用∂f/∂y表示。

偏导数的计算方法与求解一元函数的导数类似，只不过需要保持另一变量为常数。

如果一个函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么我们称该函数在该点处是可微的，其偏导数就是全微分。

接下来，我们来介绍全微分的概念。

对于一个二元函数f(x, y)，其全微分df表示f 的微小变化量。

全微分df可以用其偏导数来表示，即df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy，其中dx和dy分别表示x和y的微小变化量。

全微分可以用来描述函数在任意点上的微小变化，从而可以通过积分来求解函数在某一区间上的变化量。

现在，我们来探讨连续偏导数和全微分之间的关系。

对于一个可微的二元函数f(x, y)，如果其在某一点处的偏导数存在且连续，那么在该点处就有全微分，且全微分与偏导数之间存在着紧密的联系。

具体来说，如果一个函数在某一点处有全微分，那么它在该点处的偏导数必定存在，且满足如下的关系式：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy根据全微分的定义，我们还可以将全微分表示为函数f的一阶近似，即：这表明全微分可以被视为函数在某一点处的线性近似，从而可以用来描述函数在该点处的微小变化。

如果函数在某一点处是可微的，那么它在该点处的微小变化可以被全微分来描述，全微分与偏导数之间的关系有助于我们理解函数的变化规律。

函数可微和偏导数连续的关系

函数可微和偏导数连续的关系函数的可微性和偏导数的连续性是微积分中两个重要的概念。

它们之间存在着密切的关系，相互之间可以互相推导和证明。

本文将从人类的视角出发，以简洁明了的语言来阐述这一关系。

我们来了解一下函数的可微性。

一个函数在某一点可微，意味着在这一点附近，函数可以用一个线性函数近似。

也就是说，如果一个函数在某一点可微，那么它在这一点附近的变化可以用一个线性函数来描述。

这个线性函数又称为函数在这一点的切线。

如果一个函数在某一点可微，那么它在这一点的导数存在。

函数的可微性和偏导数的连续性之间存在着密切的联系。

对于一个多元函数来说，它的偏导数在某一点连续，意味着该函数在这一点可微。

这是因为函数在某一点可微，就意味着它在这一点附近的变化可以用一个线性函数来描述。

而这个线性函数的斜率就是函数的偏导数。

所以，函数在某一点可微，就意味着它的偏导数在这一点存在，并且连续。

偏导数连续的概念可以通过求导数的极限来理解。

偏导数是一个函数在某个方向上的变化率，它可以通过求导数来计算。

偏导数连续的意思就是在某一点附近，偏导数的值可以通过求导数的极限来确定。

换句话说，如果一个函数的偏导数在某一点连续，那么它在这一点的变化率可以通过求导数的极限来确定。

函数可微和偏导数连续的关系可以通过举例来说明。

假设有一个二元函数f(x, y)，它在某一点(x0, y0)可微。

那么，可以求出它在这一点的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。

如果这两个偏导数在这一点连续，那么函数f(x, y)在这一点可微。

换句话说，函数f(x, y)在某一点可微，就意味着它的偏导数在这一点连续。

在实际应用中，函数的可微性和偏导数的连续性是非常重要的。

它们为我们研究函数的性质和求解问题提供了有力的工具。

例如，在优化问题中，我们经常需要求解函数的最大值或最小值。

函数的可微性和偏导数的连续性可以帮助我们确定函数的驻点，从而找到函数的极值点。

总结起来，函数的可微性和偏导数的连续性是微积分中两个重要的概念。

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)二元函数连续与可微之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词二元函数连续偏导数可微The Relationship among Continuation, Partial Derivativesand Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续.定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,))(,)(,limlimx x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0(,)|x y fx∂∂.定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点0P 有关的常数，()ορρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微.2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)偏导数存在但不连续. 证明因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===，同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在(0,0)偏导数存在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-== ,该极限不存在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 二元函数连续与可微之间的关系定理1[3] 若(,)z f x y =在点(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点(,)x y 一定连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续.例3[4]证明(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在(0,0)点连续，但在(0,0)点不可微.证明令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→.因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→,所以(,)f x y 在(0,0)点连续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若(,)f x y 在点(0,0)可微，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是ρ=较高阶的无穷小量. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存在,所以(,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点00,)(y x 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A zx=∂∂.类似可证B z y =∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则(,)f x y 在点(0,0)偏导数存在，但在该点不可微.解事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x →-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点(0,0)偏导数存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以0limf dfρρ→∆-不存在，所以 (,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别. 函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且x f 与yf 在点00(,)x y 处连续，则函数f 在点00(,)x y 处可微.证明我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数0,)(y f x y +∆关于x 的偏增量;在第二个括号里，则是函数0(,)f x y 关于y 的偏增量.对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2）由于x f 与y f 在点00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆，（3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3），（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以函数f 在点00(,)x y 处可微.例5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)处可微，但(,)x f x y 与(,)y f x y 均在(0,0)处不连续.解因为220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2sinx x y f x →→=极限不存在,故(,)x f x y 在点(0,0)不连续. 同理可证(,)y f x y 在(0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以(,)f x y 在(0,0)处可微.此例说明二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9] 若(,)f x y 在0()U P 内(,)x f x y 存在，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ，又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注此定理中(,)x f x y 与(,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.。

可微与连续,偏导数存在之间的关系

可微与连续,偏导数存在之间的关系
可微和连续是数学中经常被讨论的概念。

在一些情况下，可微性与偏导数的存在之间存在着密切的关系。

首先，我们来回顾一下这两个概念的定义。

如果函数在某一点处可微，那么它在该点附近存在一个线性逼近，即可以用一个一次函数来近似描述。

而连续性则要求函数在该点附近没有突变或跳跃，并且能够无限接近于该点。

现在我们来探讨可微性和偏导数存在之间的关系。

在实变函数中，我们知道可微性可以用偏导数来刻画。

考虑一个多元函数$f(x,y)$，如果在某一点$(a,b)$处的偏导数存在且连续，那么$f(x,y)$在该点处可微。

这意味着函数在该点处的各个方向的变化率是连续的，可以用一个线性函数来逼近。

反过来，如果$f(x,y)$在某一点处可微，那么该点处的偏导数必然存在且连续。

这是因为可微性要求函数在该点附近能够用一个线性函数来逼近，而线性函数本身是连续的，因此偏导数存在且连续是可微性的必要条件。

需要注意的是，偏导数存在且连续并不意味着函数在该点处可微。

这
是因为偏导数仅仅刻画了函数在某个方向上的变化率，而可微性要求函数在所有方向上的变化率都是连续的。

因此，偏导数存在且连续只是可微性的一个充分条件。

总结起来，可微性和偏导数存在之间存在着密切的关系。

在实变函数中，可微性可以用偏导数来刻画，而偏导数的存在与连续性是可微性的必要条件。

然而，偏导数存在且连续并不一定能保证函数在该点处可微。

二元函数的连续偏导可微

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系我们先来了解一下二元函数的连续偏导数和全微分的概念。

对于一个二元函数 f(x, y)，如果它在某个点 (a, b) 处的偏导数存在且连续，那么我们称 f(x, y) 在该点处具有连续偏导数。

具体来说，如果函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，那么它的偏导数 f_x(a, b) 和 f_y(a, b) 存在且连续。

全微分，即函数的微分，可以理解为在某一点处的近似线性化。

假设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，那么它在该点的全微分 df(a, b) 可以表示为：df(a, b) = f_x(a, b) * dx + f_y(a, b) * dydx 和 dy 是自变量 x 和 y 在点 (a, b) 处的微小变化量。

全微分相当于函数在某一点处的线性近似，它将函数在该点附近的变化量分解成了在 x 轴和 y 轴的变化量的线性组合。

根据全微分的定义，我们可以将其进一步拆分成 dx 和 dy 两部分：当 dx 和 dy 很小时，可以认为 df(a, b) 和 dx, dy 之间存在着近似的线性关系。

也就是说，当 dx 和 dy 趋近于 0 时，全微分 df(a, b) 与 dx, dy 之间的差异可以忽略不计。

这就是说在微积分中的一个重要结论——全微分等于二元函数的连续偏导数与自变量微小变化量的乘积之和。

这个结论只在函数的偏导数连续的条件下成立。

如果函数的偏导数在某个点不连续，那么全微分与偏导数之间的关系是不存在的。

总结一下，二元函数的连续偏导数和全微分之间存在着密切的关系。

全微分可以通过函数的连续偏导数与自变量微小变化量的乘积之和来表示。

在微积分中，这个关系是非常有用的，它可以帮助我们理解函数在某一点附近的变化情况，并进一步推导出函数的各种性质和定理。

二元函数连续可微偏导之间的关系解读

三、可微性判别步骤
1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。
2.如果f在点(x0,y0处连续,存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:
(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2
4.连续与偏导数存在之间的关系
二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2
(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,y
xy
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=
$
在点(0,0不连续,但
三、巧妙设计变式训练,促进灵活迁移
所谓“变式”,是指在教学中变化引用的材料内容和形式,从不同角度、用不同方法进行教学,使思维的“触须”伸向不同方位和不向领域。因此,通过变式训练可以实现知识的有效迁移。教师要充分运用“变式”教学,通过“一题多变”、“一图多问”、“多题重组”等形式从多个方面构造问
题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计变式训练把三者结合的恰到好处:
(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系假设有一个二元函数f(x,y)，其中x和y分别是自变量。

函数f(x,y)的偏导数表示了函数在某一点沿着x轴或y轴方向的变化率。

偏导数可以分为两种情况，分别是对x求偏导数和对y求偏导数，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。

先来看一下对于一元函数的情况，假设有一个函数y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

在微积分中，我们知道，函数f(x)在某一点a处的局部线性近似可以用一个一阶泰勒展开式表示：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)其中f'(a)表示f(x)在点a处的导数。

这个近似式表示了函数f(x)在点a处的值和x 的变化之间的关系。

当x接近于a时，这个近似式逐渐接近于f(x)的实际值。

对于二元函数f(x,y)，我们可以类似地定义一个与一元函数的情况类似的近似式。

这个近似式被称为全微分(differential)，表示了函数f(x,y)在某一点(a,b)处的值和自变量x和y的变化之间的关系。

全微分表示为：df=f_x dx+f_y dy其中f_x表示f(x,y)对x的偏导数，f_y表示f(x,y)对y的偏导数，dx和dy分别表示x和y的变化量。

全微分表示了函数f(x,y)在点(a,b)处的值和自变量x和y的微小变化之间的关系。

当我们需要考虑自变量同时发生微小变化时，全微分可以帮助我们计算出函数f(x,y)的实际变化量。

根据全微分的定义，我们可以得出以下结论：1. 如果函数f(x,y)在点(a,b)处可微分，则在该点的偏导数存在且连续。

2. 如果函数f(x,y)的偏导数在点(a,b)处存在且连续，则函数在该点可微分。

这个结论告诉我们，二元函数的可微分性与其偏导数的连续性密切相关。

当函数在某一点可微分时，其偏导数存在且连续；反之，若函数的偏导数在某一点存在且连续，则函数在该点可微分。

全微分也可以用来估计函数在某一点的变化量。

假设有一个函数f(x,y)，在某一点(a,b)附近，x和y发生微小变化dx和dy。

函数可导可微连续之间的关系

函数可导可微连续之间的关系【最新版】目录1.函数可导、可微、连续的定义与关系2.一元函数可微可导与连续的关系3.二元函数可导、可微、连续之间的关系4.函数可积、可导、连续之间的关系5.总结正文函数可导、可微、连续之间的关系是微积分中的基本概念，它们在数学分析中有着广泛的应用。

函数可导指的是函数在某一点处存在导数，即可以对该点进行切线描述；函数可微指的是函数在某一点处存在微分，即可以对该点进行切线描述，并且可以求出该点的切线斜率；连续函数指的是函数在某一区间内没有间断点，即函数的图像在该区间内是连续的。

对于一元函数而言，可微与可导是等价的，即可导必然可微，可微必然可导。

可导的函数一定连续，但连续的函数未必可导。

这是因为连续函数只要求函数值在极限意义下保持不变，而可导函数则要求函数在某一点处有切线，要求更加严格。

对于二元函数而言，可导、可微、连续之间的关系则更为复杂。

二元函数可导需要满足偏导数存在且连续，可微需要满足偏微分存在且连续，连续则要求函数的图像在各个点上都是连续的。

可导的二元函数未必可微，可微的二元函数也未必可导，但连续的二元函数必然可导可微。

函数可积、可导、连续之间的关系也值得探讨。

可积函数要求函数在某一区间内积分存在，可导函数要求函数在某一点处有切线，连续函数要求函数的图像在某一区间内是连续的。

可积函数未必可导，可导函数未必可积，但连续函数必然可积。

总的来说，函数可导、可微、连续之间的关系是微积分中一个重要的概念，它们之间既有联系又有区别。

对于一元函数，可微与可导是等价的，可导必然连续，但连续未必可导；对于二元函数，可导、可微、连续之间的关系则更为复杂。

而对于函数的可积性，它与可导、连续之间的关系也有一定的联系。

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目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3)2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)本科生毕业论文2二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词二元函数连续偏导数可微The Relationship among Continuation, Partial Derivatives andDifferentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设为定义在点集上的二元函数，（或者是的聚点，f 2D R ⊂0D P ∈0P D 或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要D εδ，就有，则称关于集合在点连续.0,)(D P U P δ⋂∈0)||()(f P f P ε<-f D 0P 定义2 设函数，若且在的某一邻域(,),(,)z f x y x y D =∈00,)(y D x ∈0,)(y f x 0x 内有定义，则当极限存在时，则称这个00000000(,))(,)(,limlim x x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆本科生毕业论文3极限为函数在点关于的偏导数，记作.f 00,)(y x x 0(,)|x y fx∂∂定义3 设函数在点某邻域内有定义，对于中的(,)z f x y =000,)(y P x 0()U P 0()U P 点，若函数在点处的全增量可表示为00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆f 0P ，其中、是仅与点有关0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+A B0P 的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微.()ορρ=ρf 0P 2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系例在偏导数存在但不连续.[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩(0,0)证明因为，00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===同理可知 . 所以在偏导数存在.(0,0)0y f =(,)f x y (0,0)因为极限不存在，所以在不连续.220,0limx y xyx y →→+(,)f x y (0,0)例在点连续，但不存在偏导数.2[2](,)f x y =(0,0)证明因为，0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===所以在点连续，(,)f x y =(0,0)因为 ,该极限不存在，00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-==同理也不存在.(0,0)y f 所以在点连续，但不存在偏导数.(,)f x y =(0,0)此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.2.2 二元函数连续与可微之间的关系本科生毕业论文4定理若在点可微，则在点一定连续.1[3](,)z f x y =(,)x y (,)z f x y =(,)x y 证明在点可微，(,)z f x y =(,)x y (1)0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+所以当时，有，即在该点连续.0,0x y ∆→∆→0z ∆→(,)z f x y =例证明在点连续，3[4](,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩(0,0)但在点不可微.(0,0)证明令，则.cos ,sin x r y r θθ==(,)00x y r →⇔→因为,2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→所以在点连续.(,)f x y (0,0)按偏导数定义,00(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆同理 .(0,0)0y f =若在点可微，则(,)f x y(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是较高阶的无穷小量.ρ=因为该极限不存在,所以在点不可微.220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆(,)f x y (0,0)此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.2.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个2[5]f 00,)(y x f本科生毕业论文5自变量的偏导数都存在，且(1)式中的.0000,),,)((x y A f y B f y x x ==证明因为在点可微，则(,)z f x y =(,)x y .0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+若令上式中 ,则,0y ∆=0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆所以 .000000(,)(,)(||)limlim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆即.类似可证.A zx=∂∂B z y =∂∂例设,则在点偏导数存在，但在该4[6]2222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)f x y (0,0)点不可微.解事实上（1），(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x→-==,(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==故在点偏导数存在.(,)f x y (0,0)（2）因为，0,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=此时若令，则，y kx ∆=∆0,0,limlimx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以不存在，limf dfρρ→∆-所以在点不可微.(,)f x y (0,0)此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.2.4 函数可微与偏导数连续之间的关系定理若二元函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与3[7](,)z f x y =00(,)x y x f本科生毕业论文6在点处连续，则函数在点处可微.y f 00(,)x y f 00(,)x y 证明我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆ 00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数关于的偏增量;在第二个括号里，则是函数0,)(y f x y +∆x 关于的偏增量.0(,)f x y y 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得（2）010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆12,10θθ<<由于与在点处连续，x f y f 00(,)x y 因此有，（3）01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆ , （4）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆=其中当时，有.0,0x y ∆→∆→0,0αβ→→将（3），（4）代入（2）式，则得.0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆所以函数在点处可微.f 00(,)x y 例在处可微，但与5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩(0,0)(,)x f x y 均在处不连续.(,)y f x y (0,0) 解因为,220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==所以在处连续.(,)f x y (0,0),00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===本科生毕业论文7同理 .(0,0)0y f =当时，极限不存在,220x y +≠0,0lim 2x x y f x →→=故在点不连续. 同理可证在处不连续.(,)x f x y (0,0)(,)y f x y (0,0),lim0f dfρρρ→→∆-==所以在处可微.(,)f x y (0,0)此例说明二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理若在内存在，且在连续，4[9](,)f x y 0()U P (,)x f x y (,)x f x y 00(,)o P x y 在存在，证明：在可微.(,)y f x y 0P f 0P 证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆- 00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆-由已知存在，且在连续,(,)x f x y 0(,)o x y 有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆ ,11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→因为，0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆所以，00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→又因，所以在点可微.1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→f 0P 注此定理中与互换，结论仍然成立.(,)x f x y (,)y f x y 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在本科生毕业论文8二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.6：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，2004.9：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，2001.7：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，1995.5：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报2005.10，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.10：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.3：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导本科生毕业论文对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.9。

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstr‎a ct (1)Key words‎ (1)引言 (1)1二元函数‎连续、偏导数、可微三个概‎念的定义……………………………………………12二元函数‎连续、偏导数、可微三个概‎念之间的关‎系………………………………………22.1二元函数‎连续与偏导‎数存在之间‎的关系 (2)2.2二元函数‎连续与可微‎之间的关系‎ (3)2.3二元函数‎可微与偏导‎数存在之间‎的关系 (3)2.4二元函数‎可微与偏导‎数连续之间‎的关系 (4)二元函数连‎续、偏导数、可微的关系‎图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)本科生毕业‎论文2二元函数的‎连续、偏导数、可微之间的‎关系摘要一元函数可‎微与可导等‎价，可导必连续‎.但二元函数‎并非如此，以下文章给‎出了二元函‎数连续、偏导数、可微之间的‎关系，并给出了简‎单的证明，且用实例说‎明了它们之‎间的无关性‎和在一定条‎件下所具有‎的共性.关键词二元函数连续偏导数可微The Relat ‎i onsh ‎i p among ‎ Conti ‎n uati ‎o n, Parti ‎a l Deriv ‎a tive ‎s andDiffe ‎r enti ‎a bili ‎t y in Binar ‎y Funct ‎i onAbstr ‎a ct Unary ‎ funct ‎i on diffe ‎r enti ‎a ble with deriv ‎a tive ‎ equiv ‎a lent ‎, will be conti ‎n uous ‎l y diffe ‎r enti ‎a ble. But the dual funct ‎i on is not the case, the follo ‎w ing artic ‎l e gives ‎ a conti ‎n uous ‎ funct ‎i on of two varia ‎b les, parti ‎a l deriv ‎a tive ‎s , can be said the relat ‎i onsh ‎i p betwe ‎e n them, and gives ‎ a simpl ‎e show, and illus ‎t rate ‎d with examp ‎l es relat ‎e d betwe ‎e n them and under ‎ certa ‎i n condi ‎t ions ‎ have in commo ‎n .. Key words ‎ binar ‎y funct ‎i on conti ‎n uati ‎o n parti ‎a l deriv ‎a tive ‎s diffe ‎r enti ‎a bili ‎t y引言二元函数的‎偏导数存在‎、函数连续、可微是二元‎函数微分学‎的三个重要‎概念.对于学习数‎学分析的人‎来说，必须弄清三‎者之间的关‎系，才能学好、掌握与之相‎关的理论知‎识.本文详细讨‎论这三者之‎间的关系.1 二元函数连‎续、偏导数、可微三个概‎念的定义定义1 设为定义在‎f 点集上的二‎2D R ⊂元函数，0D P ∈（0P 或者是的聚‎D 点，或者是的孤‎D 立点），对于任给的‎正数ε，总存在相应‎的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称关于集‎f 合在点连续‎D 0P .定义 2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若且在的某‎00,)(y D x ∈0,)(y f x 0x 一邻域内有‎定义，则当极限存‎00000000(,))(,)(,limlim x x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆在时，则称这个本科生毕业‎论文3极‎限为函数在‎f 点关于的偏‎00,)(y x x 导数，记作(,)|x y fx∂∂. 定义 3 设函数在点‎(,)z f x y =000,)(y P x 某邻域内有‎0()U P 定义，对于中的点‎0()U P 00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数在点‎f 0P 处的全增量‎可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点有‎0P 关的常数，()ορρ=是较高阶的‎ρ无穷小量，则称函数在‎f 点0P 处可微.2 二元函数连‎续、偏导数、可微三个概‎念之间的关‎系2.1 二元函数连‎续与偏导数‎存在之间的‎关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在偏导数存‎(0,0)在但不连续‎. 证明因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===，同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在偏导数存‎(0,0)在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在‎，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏‎导数. 证明因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-==该极限不存‎在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏‎导数.此二例说明‎: 二元函数连‎续与偏导数‎存在不等价‎，偏导数存在‎不一定连续‎，连续不一定‎偏导数存在‎.这与一元函‎数不同.一元函数中‎，可导一定连‎续，连续不一定‎可导. 2.2 二元函数连‎续与可微之‎间的关系本科生毕业‎论文4定理1[3] 若在点可微‎(,)z f x y =(,)x y ，则在点一定‎(,)z f x y =(,)x y 连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续‎.例3[4]证明在点连‎(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩(0,0)续，但在点不可‎(0,0)微.证明令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→. 因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→, 所以在点连‎(,)f x y (0,0)续.按偏导数定‎义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若在点可微‎(,)f x y (0,0)，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是较高阶‎ρ=‎. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存‎在,所以在点不‎(,)f x y (0,0)可微.此例说明: 二元函数在‎某点连续，不一定可微‎，但可微一定‎连续.这与一元函‎数有相同的‎结论.2.3 二元函数可‎微与偏导数‎存在之间的‎关系定理2[5] 若二元函数‎f 在其定义域‎内一点处可‎00,)(y x 微，则在该点关‎f 于每个本科生毕业‎论文5自变‎量的偏导数‎都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中‎0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A z x =∂∂.类似可证B zy=∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点偏导‎(,)f x y (0,0)数存在，但在该点不‎可微.解事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x→-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点偏导数‎(0,0)存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=，此极限显然‎不存在，所以不存在‎0limf dfρρ→∆-，所以 (,)f x y 在点不可微‎(0,0).此例说明: 二元函数中‎，偏导数存在‎不一定可微‎；可微则偏导‎数存在.这与一元函‎数中，可微与可导‎等价有区别‎.2.4 函数可微与‎偏导数连续‎之间的关系‎定理3[7] 若二元函数‎(,)z f x y =的偏导数在‎点的某邻域‎00(,)x y 内存在，且与在点本科生毕业‎论文6处‎x f y f 00(,)x y 连续，则函数在点‎f 00(,)x y 处可微.证明我们把全增‎量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括‎号里，它是函数关‎0,)(y f x y +∆于的偏增量‎x ;在第二个括‎号里，则是函数关‎0(,)f x y 于的偏增量‎y .对它们分别‎应用一元函‎数的拉格朗‎日中值定理‎，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2）由于与在点‎x f y f 00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆，（3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3），（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以函数在点处‎f 00(,)x y 可微.例在处可微‎5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩(0,0)，但与均在处‎(,)x f x y (,)y f x y (0,0)不连续. 解因为220,0lim (0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,本科生毕业‎论文7同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2x x y f x →→=极限不存在‎,故在点不连‎(,)x f x y (0,0)续. 同理可证在‎(,)y f x y (0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以在处可‎(,)f x y (0,0)微.此例说明二元函数偏‎导数连续并‎不是可微的‎必要条件.由此可知定‎理3是可微‎的充分条件‎.由此引出定‎理4，降低函数可‎微的条件.定理4[9] 若在内存在‎(,)f x y 0()U P (,)x f x y ，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ，又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注此定理中与‎(,)x f x y (,)y f x y 互换，结论仍然成‎立. 二元函数连‎续、偏导数、可微的关系‎如图二元函数连‎续二元函数偏‎导数存在本科生毕业‎论文8二元函数可‎微二元函数偏‎导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出‎版社，2003.6：97 [2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出‎版社，2004.9：116 [3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出‎版社，2001.7：188 [4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社‎，1995.5：61-62[5]华东师范大‎学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出‎版社，110 [6]周良金，王爱国，函数连续及‎可微的关系‎[J ].高等函授学‎报2005‎.10，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出‎版社，2004.10：142-143 [8]刘新波，数学分析选‎讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业‎大学出版社‎，2009.3：151[9]《大学数学名‎师导学丛书‎》编写组，数学分析名‎师导学[M].北京：中国水利水‎电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对‎本论文从选‎题、构思、资料收集到‎最后定稿的‎各个环节给‎予的指引和‎教导，使我对分段‎函数的分析‎性质有了更‎深刻的认识‎，并最终得以‎完成毕业论‎文，对此我表示‎衷心的感谢‎，老师严谨的‎治学态度、丰富渊博的‎知识、敏锐的学术‎思维、精益求精的‎工作态度、积极进取的‎科研精神以‎及诲人不倦‎的师者风范‎是我毕生的‎学习楷模. 通过这一阶‎段的努力，我的毕业论‎文已接近尾‎声，作为一个本‎科生的毕业‎论文，由于经验的‎匮乏，难免有许多‎考虑不周全‎的地方，如果没有老‎师的亲切关‎怀和悉心指‎导，完成本次毕‎业论文将变‎得十分困难‎.老师平日工‎作繁多，但在这篇论‎文的写作过‎程中，老师不辞辛‎劳，多次就论文‎中许多核心‎的问题做深‎入细致的探‎讨并给我提‎出切实可行‎的指导性建‎议，才最终得以‎完成本次毕‎业论文.老师的这种‎一丝不苟的‎负责精神，使我深受感‎动.在此，请允许我向‎尊敬的老师‎表示真挚的‎谢意.最后，还要感谢我‎的辅导员在‎这四年来对‎我的帮助与‎鼓励，以及院系的‎所有领导对‎我的栽培与‎支持.并向在百忙‎中抽出时间‎对本论文进‎行评审，并提出宝贵‎意见的各位‎本科生毕业‎论文老师表示衷‎心的感谢，致以最崇高‎的敬意.9。

多元函数的连续、可导及可微的关系

多元函数的连续、可导及可微的关系
可微，偏导数一定存在可微，函数一定连续可导，不一定连续。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

扩展资料：
多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。

这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。

一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。

也可以是多个元素，即多值的。

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。

要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

二元函数连续、偏导数与可微的关系

二元函数连续、偏导数与可微的关系
二元函数在某一点连续、存在偏导数并不一定可微，但是若二元函数在某一点可微，则必然在该点连续且存在偏导数。

具体来说，设$f(x,y)$为定义在$(x_0,y_0)$的某个邻域内的二元函数，若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微，则必然存在以下两个条件：
1. $f(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续；
2. $f(x,y)$在$(x_0,y_0)$存在偏导数，且偏导数连续。

但是反过来，若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续且存在偏导数，并不一定能够说明$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微。

这时候还需要判定$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的偏导数是否满足可微的某些条件，例如克拉默条件等。

综上，二元函数的连续、偏导数与可微之间的关系需要根据具体情况来判断，不能一概而论。

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函数在点可微、连续、偏导数存在、偏导数连续、方向导数之间的关系.

在数学中，对于多变量函数，以下是函数在某一点可微、连续、偏导数存在、偏导数连续以及方向导数之间的关系：
可微性与连续性的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点必然是连续的。

可微性是连续性的一个更强的条件。

可微性与偏导数存在的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点的偏导数必然存在。

可微性确保了函数在某一点处对每个自变量的偏导数都存在。

偏导数存在与偏导数连续的关系：
如果函数在某一点的偏导数都存在，并且这些偏导数在该点连续，那么函数在该点是可微的。

偏导数存在且连续是可微性的一个必要条件。

方向导数与可微性的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点沿任意方向的方向导数都存在。

可微性保证了函数在某一点沿任意方向的变化率都存在。

总结起来，可微性是一个更强的条件，它包含了连续性、偏导数存在和偏导数连续的要求。

方向导数的存在与可微性也有关系，可微性保证了函数在某一点沿任意方向的变化率都存在。

这些关系反映了函数在点的各个性质之间的相互依存关系。

可微与连续,偏导数存在之间的关系

可微与连续,偏导数存在之间的关系可微和连续是微积分中的两个重要概念，它们在函数的性质和导数的存在性方面有关联。

具体来说，一个函数在某一点可微意味着它在该点处连续且有定义的导数存在。

首先，我们来了解可微和连续的定义：1. 连续：一个函数在某个点处连续，意味着函数在该点的函数值与其极限值相等。

换句话说，如果一个函数在某点的左右两侧极限都存在，并且相等，那么函数在该点处连续。

2. 可微：如果一个函数在某个点处可微，意味着函数在该点处连续且有定义的导数存在。

换句话说，可微性是连续性和导数存在性的结合。

然而，连续性并不保证函数在某一点处的导数存在。

为了确保导数的存在性，我们需要引入可微性这一更强的条件。

在微积分中，一个函数在某点处可微的充分必要条件是它在该点处的左右两侧的导数存在且相等。

这意味着如果一个函数在某点处可微，则它在该点处的导数是唯一确定的。

换句话说，可微性是对于导数存在性的一个更强的要求。

如果一个函数在某点处的导数存在，那么它在该点处连续，但反之则不成立。

总结起来，可微性是连续性和导数存在性的结合。

连续性是可微性的充分条件，而导数的存在性则是可微性的必要条件。

因此，可微和连续之间存在着密切的关系。

需要注意的是，可微性和连续性还与函数的定义域有关。

对于闭区间上的函数，函数在端点处的可微性和连续性需要额外的讨论。

此外，对于多元函数，可微性和连续性的定义也有所不同。

总而言之，可微和连续是微积分中重要的概念，它们在函数的性质和导数的存在性方面有着密切的关系。

可微性是连续性和导数存在性的结合，连续性是可微性的充分条件，而导数的存在性则是可微性的必要条件。

二元函数可微一定连续

二元函数可微一定连续
在二元函数中，可微性和连续性是两个不同的概念。

可微性是指在某个点处，函数的偏导数存在且连续。

连续性是指在某个点处，函数的左极限和右极限存在且相等。

二元函数的可微性并不一定意味着其连续。

虽然大多数可微的函数都是连续的，但也存在一些特例。

例如，在x=0和y=0处，函数f(x, y) = (x^2 -y^2)^2在x和y轴上的点都是可微的，但在这些点处，函数并不连续。

然而，如果一个二元函数在某个点处不仅可微，而且其偏导数在该点连续，那么这个函数在这个点处是光滑的。

光滑性是连续性的一种加强，它要求函数的偏导数在该点处连续且没有无穷大的变化率。

因此，在某个点处可微且偏导数连续的二元函数是连续的。

总之，二元函数的可微性并不一定意味着其连续，但可微且偏导数连续的二元函数是连续的。

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