对坐标的曲线积分

到点B所作的功W
r F (x)
W = ∫ F ( x)dx.
a
b
A(a)
•
B(b)
•
x
2.引例 引例
（变力沿平面曲线所作的功）
r r r F ( x, y ) = P( x, y )i + Q ( x, y ) j = ( P( x, y ), Q ( x, y )) r 是定义在L上的变力，质点在F的作用下沿L从点A移动
32
例29.3. 计算
其中L为
y
B(1,1)
2 2
(1) 抛物线 L: y = x2, x : 0 →1; (2) 抛物线 (3) 有向折线 L: O + AB. A 解: (1) 原式 (2) 原式 = ∫ ( 2y2 y⋅ 2y + y4 )dy
0 1
x= y
o
= 4∫
y=x
1 3 x dx 0
x
∴∫ xydx =∫ xydx + ∫ xydx
= 2∫
A 1,−1) (
1 3 2 dx = 4 x 0 5
(方法二 方法二) 方法二 取 y 为参数, 则
∴∫ xydx = ∫ y2 y(y2)′dy
L − 1
1
例29.2. 计算
其中 L 为
y
B −a A a x
(1) 半径为 a 圆心在原点的
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
坐标的曲线积分, 第二类曲线积分 第二类曲线积分. 对坐标的曲线积分 或第二类曲线积分 其中, 坐标的曲线积分 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 被积函数 积分弧段
lim∑ ∫L P(x, y)dx = λ→0k=1P(ξk ,ηk )∆xk ,
F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
说明： 说明： (1) 变力做功
W = ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy.
L
(2) 与定积分比较
(3)
规定： 规定：
若L是由光滑曲线L1与L2 组成的分段光滑曲线弧 ，
则∫ P( x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y)dx + Q( x, y)dy
λ →0
i =1 n
A
x
定义. ３. 定义 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
λ→ k= 0 1
lim ∑[ P(ξk , ηk )∆xk +Q(ξk , ηk )∆yk ]
记作
n
∫L P(x, y)dx +Q(x, y)dy
L
说明: 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 方向
• 几何意义
二、对坐标的曲线积分的计算方法
基本思想: 基本思想 定理: 定理
∫ P( x, y)dx + Q( x, 源自文库)dy → 定积分
L
转化
在有向光滑弧 L 上有定义且
(t x =ϕ(t) t :α →β, 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y =ψ (t) 存在, 且有
到点B.
设L = AB是平面上的一条光滑曲线,
r 问：F做功W多少？
y F(ξk , ηk ) Mkk B L ∆y
Mx−1 ∆k k
解决的方法： 解决的方法：微积分思想 大化小，常代变，近似和， 大化小，常代变，近似和，取极限
W = lim ∑ P(ξ i ,η i )∆xi + Q(ξ i ,η i )∆y i
A 1, −1)到 (1, 1 的一段. ( B )
解: (方法一 取 x 为参数, 则 方法一) 方法一
∫L
其中L 为沿抛物线 y2 = x 从点 xyd x,
y
B(1,1)
y= x
L: AO+O B AO: y = − x, x :1→0
x : 0 →1
O B
O : y = x, B
L AO
o
y =− x
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算方法
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 复习 复习: r (1)常力F将质点从点A沿直线
移动到点B所作的功W
A
θ
F
W = F AB cosθ
B
= F⋅ AB
r r (2)变力F ( x) = F ( x)i 将质点从点A沿x轴方向移动
o 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为 则
∫L
y dx = ∫ a sin2 t ⋅(−asint )dt
2
0
π 2
4 3 = −2a ⋅ ⋅1 = − a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y = 0, x : a →−a,则
AB
= ∫ yd x − xd y + z d z = ∫
2π k
0
t dt
例29.5. 求 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 Γ 的参数方程
其中
π x = cos t, y = sint, z = 2−cost +sint (t : 2 →0) z
+(−2+2cost −sint)cost
b a
对空间光滑曲线弧 Γ:
x =φ (t) y =ψ (t) t :α →β, 类似有 z =ω(t)
=∫
+Qϕ(t),ψ (t), ω(t)] ′(t) + R ϕ(t),ψ (t), ω(t)] }dt [ ψ [
{ P[ϕ(t),ψ (t), ω(t)] ϕ′(t) α
β
三. 举例
例29.1.计算
2π
Γ
=∫
0
(1−4cos t)dt = −2 π
2
o x
y
四. 小结
1.对坐标的曲线积分概念
∑ [ P(ξk ,ηk )∆xk +Q(ξk ,ηk )∆yk ] λ→ k= 0 1 = ∫L P(x, y)dx +Q(x, y)dy
lim
n
2.性质
(注意与对弧长的曲线积分性质的差别）
3.计算公式
x =ϕ(t) 若有向光滑曲线L: y =ψ (t) t :α →β, 则
=∫
{ P[ϕ(t),ψ (t)] ϕ′(t) +Q[φ (t),ψ (t)] ψ′(t) }dt α
β
若有向光滑曲线弧 Γ:
x =φ (t) y =ψ (t) t :α →β, 则 z =ω(t)
=∫
+Qϕ(t),ψ (t), ω(t)] ′(t) + R ϕ(t),ψ (t), ω(t)] }dt [ ψ [
n k= 1
n
称为对 x 的曲线积分;
lim ∫LQ(x, y)dy = λ→0 ∑Q(ξk ,ηk )∆yk ,
称为对 y 的曲线积分.
若记 d s = (d x, dy), 对坐标的曲线积分也可写作
∫L F ⋅ ds = ∫L P(x, y)dx +Q(x, y)dy
类似地, 若 Γ为空间曲线弧 , 记 ds = (d x, dy, dz)
x 2 + y 2 + z 2 = 2az Γ: , (a > 0), 且从z轴正向看去为逆时针方向． x + z = a
解:
I = − 2a 2π .
A(1, 0) x
(3) 原式
= ∫ (2x⋅ 0+ x ⋅ 0)dx +∫ ( 2y⋅ 0+1)dy
2 0 0
1
1
例29.4. 设在力场 沿Γ移动到
作用下, 质点由 z 其中Γ为 B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
2π
A x
y
= ∫ (−R2 + k2t )d t
0
(2) Γ 的参数方程为
=∫
{ P[ϕ(t),ψ (t)]ϕ′(t)+Q[φ (t),ψ (t)]ψ′(t)}dt α
β
说明: 说明 (1) 计算公式的三迭代: 计算公式的三迭代 (2) 其它公式 其它公式: 如果 L 的方程为
y =ψ (x), x : a →b, 则
= ∫ { P[x,ψ (x)]+Q[x,ψ (x)]ψ′(x)}dx
{ P[ϕ(t),ψ (t), ω(t)] ϕ′(t) α
β
备用题
例29.6. 设L为逆时针方向的圆 : x 2 + y 2 = ax, (a > 0),
求I = ∫
L
x 2 + y 2 dx.
解:
I = 0.
ay 2axz 2axz dx + zdy + 2 dz , 其中 例29.7. 计算I = ∫Γ 2 2 x+z x +y +z
L L1
+ ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy
L2
４. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
∫L P(x, y)dx +Q(x, y)dy k = ∑∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy L i= 1
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
= −∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy