人教版九年级上《24.1.3弧、弦、圆心角》同步练习(含答案解析)

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习
24.1.3 弧、弦、圆心角
一．选择题（共15小题）
1．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）
A．26°B．28°C．30°D．32°
2．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，
点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（）
A．2+1B． +1C．2D．3
3．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，
G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（）
A．40°B．45°C．55°D．80°
4．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）
A．105°B．120°C．135°D．150°
5．如果两个圆心角相等，那么（）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
6．下列语句，错误的是（）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
7．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）
A．或2B．或2C．2或2D．2或2
8．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，则这个扇形中圆心角度数最大的是（）
A．30°B．60°C．120°D．180°
9．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°．则∠D+∠E=（）
A．220°B．230°C．240°D．250°°
10．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是（）
A．52°B．57°C．66°D．78°
11．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD=弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）
A．AB=AD B．BE=CD C．AC=BD D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（）
A．25°B．25°+n°C．50°D．50°+n°
13．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C 的位置，……，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）
A．（，）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（，﹣）14．下列语句中不正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个B．2个C．1个D．4个
15．如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，
且AE=FB，下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④=，其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共10小题）
16．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数．
17．⊙O的半径为5，弦AB与弦CD相等，且AB⊥CD于H，若OH=3，则线段BH长为．
18．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
19．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．
20．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=度．
21．如图，在⊙O中，=，∠1=30°，则∠2=．
22．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D
三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有（填序号）．
23．如图，在⊙O中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD=．
24．如图，已知AB、CD是⊙O中的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD
交⊙O于点E，则的度数为．
25．如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是度．
三．解答题（共6小题）
26．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证：=．
27．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC 之间的数量关系，并说明理由．
28．如图，在⊙O中，AB=CD．求证：AD=BC．
29．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．
30．将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1：2：3：4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数．
31．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，=，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，
∵∠P+∠A=∠ADB，
∴∠P=∠ADB﹣∠A=44°﹣16°=28°．
故选：B．
2．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接
OA′，OA，OB，PA，AA′，
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2，
∴△PAB周长的最小值是2+1=3，
故选：D．
3．【解答】解：连接BF，
∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
故选：A．
4．【解答】解：连接AC，
∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=90°，
又A为半圆弧的中点，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°﹣45°=135°．
故选：C．
5．【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．
故选：D．
6．【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
7．【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，
∴BD=×4=2，
∴OD=OB﹣BD=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=1+2=3，
连接OC，
∵CE===，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===2；
如图②，
OD=2，BD=4+2=6，DE=BD=3，OE=3﹣2=1，
由勾股定理得：CE===，
DC===2，
故选：C．
8．【解答】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°，
∵三个圆心角的度数比为1：2：3，
∴最大的圆心角度数为：360°×=180°．
故选：D．
9．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
∴∠AOB+∠AOC=360°﹣100°=260°，
∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），
∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．
10．【解答】解：∵==，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．
故选：B．
11．【解答】解：连接BC，
∵，
∴，
∴，
∴AC=BD，
故选：C．
12．【解答】解：∵将AB旋转n°得到CD，
∴=，
∴∠COD=∠AOB=25°，
故选：A．
13．【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP=1，∠POE=45°，
∴OE=PE=，即点P的坐标为（，），
则第2秒P点为（0，1），
根据题意可知，第3秒P点为（﹣，），第4秒P点为（﹣1，0），第5
秒P点为（﹣，﹣），第6秒P点为（0，﹣1），
第7秒P点为（，﹣），第8秒P点为（1，0），
2018÷8=252……2，
∴第2018秒点P所在位置的坐标为（0，1），
故选：B．
14．【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．15．【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故①正确；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴，故④正确；
连结AD．
∵，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故③正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴弧AC=弧BD不一定等于弧CD，
∴AC=BD不一定等于CD，
故②不正确．
正确的有3个，故选B．
二．填空题（共10小题）
16．【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
17．【解答】解：①过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，
∵AB=CD，
∴OE=OF，
∵OH=3，OA=5，
∴OE=3，
∴AE=BE=4，
∴BH=BE﹣HE=4﹣3=1；
②根据①得出BE=4，HE=3，
∴BH=HE+BE=3+4=7．
18．【解答】解：∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD=2CM=4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴∠CMO=∠CNO
∴
∴△CMO≌△CNO
∴CN=CM=2cm，
故答案为：2．
19．【解答】解：∵周角的度数是360°，
∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．
20．【解答】解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．
21．【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴=，
∴∠1=∠2=30°．
故答案是：30°．
22．【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AM过圆心O，
而A、D、M、B四点公圆，
∴四边形ADMB为矩形，而AB=1，CD=2，
∴CM=2﹣1=1=AB=DM，即：①DM=CM，正确；
又AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE，=，故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，∴=，∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，∴OG=OH，
∴AD=AE，∴④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为①②④．
23．【解答】解：∵AB=CD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠COD=50°，
故答案是：50°．
24．【解答】解：∵AEE∥CD，∠AOC=50°，∴∠EAO=∠C=50°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO=50°，
∴∠AOE=180°﹣∠EAO﹣∠AEO=80°，
即的度数为80°，
故答案为：80°．
25．【解答】解：连接OC，BC，OD，
∵直径AB平分弦CD，OE=BE，
∴OC=BC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
即弦CD所对的圆心角是120°，
故答案为：120
三．解答题（共6小题）
26．【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（AAS）．
∴AD=BC，
∴=．
27．【解答】解：∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC．
28．【解答】证明：∵AB=CD，
∴=，
∴﹣=﹣，即=，
∴AD=BC．
29．【解答】（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴=，
∴﹣=﹣，即=，
∴AB=CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF=FD，BG=CG．
∵AD=BC，
∴AF=CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF．
设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，
解得x=3．
则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．
30．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为1：2：3：4，
∴各个扇形的面积分别占整个圆面积的，，，，
∴各个扇形的圆心角的度数分别360°×=36°，360°×=72°，360°×
=108°，360°×=144°，
答：甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数分别是36°，72°，108°，144°．31．【解答】证明：连接OA、OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵=，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．。