安徽省江南十校2015届高三数学上学期期末试卷 理(含解析)

安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一．选择题1．（5分）设复数z满足（1+i）=2﹣i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）A．甲＞乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B．甲＞乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C．甲＜乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D．甲＜乙，且乙队员比甲队员成绩稳定3．（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）A．3 B．﹣2 C．﹣D．4．（5分）设{a n}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）A．﹣1 B．﹣C．D．5．（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0≤x＜2时，f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）A．8.5 B．10.5 C．12.5 D．14.57．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）A．B．6 C．12 D．78．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44+πB．40+4πC．44+4πD．44+2π10．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5 B．4C．9 D．5+4二．填空题11．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为．12．（5分）已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m=．13．（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+…+S10=．14．（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A={80，40，32，10}，若a i∈A（i=1，2，3，4，5），则a=．15．（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1（x∈R），则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）．①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x=对称；③f（x）的最小值为﹣2；④f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；⑤f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1.007.5＜n＜1008．三．解答题16．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosB是方程3x2﹣10x+3=0的一个根，求sinC的值．17．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax）•e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f（x）取得最小值时x的值．18．（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响．则（1）小明在加试中至少答对3题的概率（2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD 所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q．（Ⅰ）试确定Q的位置并证明；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD被平面α分成上下两部分的体积比．（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的二面角的正切值．20．（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆．圆C的方程为（x﹣5cosα）2+（y﹣5sinα﹣2）2=1（a∈R），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|．（Ⅰ）求圆D的方程；（Ⅱ）试用d表示•，并求•的最小值．21．（13分）设数列{a n}各项均为正数，且满足a n+1=a n﹣a n2．（Ⅰ）求证：对一切n≥2，都有a n≤；（Ⅱ）已知前n项和为S，求证：对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）设复数z满足（1+i）=2﹣i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则z可求．解答：解：由（1+i）=2﹣i，得，故．故选：A．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）A．甲＞乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B．甲＞乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C．甲＜乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D．甲＜乙，且乙队员比甲队员成绩稳定考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：计算甲乙二人的平均数与方差，比较计算结果即可．解答：解：根据茎叶图，知；甲的平均成绩为===25.6，乙的平均成绩为===22.6，甲的方差为=×[（14﹣25.6）2+（25﹣25.6）2+（26﹣25.6）2+（30﹣25.6）2+（33﹣25.6）2]=41.84，乙的方差为=[（16﹣22.6）2+2+（22﹣22.6）2+（24﹣22.6）2+（31﹣22.6）2]=24.64；∴＞，＞；即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定．故选：B．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．3．（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）A．3 B．﹣2 C．﹣D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A，i的值，当i=4时，结束循环，输出A的值为3．解答：解：执行程序框图，第1次运行：A=﹣2，i=1；第2次运行：A=﹣，i=2；第3次运行：A=，i=3；第4次运行：A=3，i=4；结束循环，输出A的值为3．故选：A．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．4．（5分）设{a n}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）A．﹣1 B．﹣C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和得到S1，S2，S4，再由S1，S2，S4成等比数列列式求得d的值．解答：解：∵，S2=2a1+d=d﹣1，S4=4a1+6d=6d﹣2，且S1，S2，S4成等比数列，则，解得：d=﹣1或d=0（舍）．故选：A．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=20.1＞1，b=ln0.1＜0，0＜c=sin1＜1，∴a＞b＞c．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0≤x＜2时，f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）A．8.5 B．10.5 C．12.5 D．14.5考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：此题类似于函数的周期性，应先将f（5.5）转化到区间[0，2]上来，然后取整求解．解答：解：由题意f（x+2）=2f（x）+x得：f（5.5）=2f（3.5）+3.5=2[2f（1.5）+1.5]+3.5=4f（1.5）+6.5=4×1+6.5=10.5．故选B点评：本题考查了抽象函数的性质，此题的关键在于利用条件“f（x+2）=2f（x）+x”实现将所求转化为已知．这是此类问题考查的主要解题思想．7．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）A．B．6 C．12 D．7考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y2=3x焦点F （，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x1+x2，代入焦点弦公式求值即可．解答：解：由（t为参数）得，直线l普通方程是：，由ρsin2θ=3cosθ得，ρ2sin2θ=3ρcosθ，即y2=3x，则抛物线y2=3x的焦点是F（，0），所以直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设直线l与曲线C交于点A（x1、y1）、B（x2、y2），由得，16x2﹣168x+9=0，所以△＞0，且x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+p=+=12，故选：C．点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与抛物线相交时焦点弦的求法，属于中档题．8．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对四个选项分别分析，利用线面关系逐一分析，选择正确答案．解答：解：对于A，l可能在平面α内，所以A错误；对于B，l可能在平面α内，所以B错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为α∥β，所以m⊥β，正确；故选D．点评：本题考查了线面关系的判断，考查学生的空间想象能力．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44+πB．40+4πC．44+4πD．44+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．解出即可．解答：解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．则该几何体的表面积S=+4×2×4+22﹣π×12+=44+π．故选：A．点评：本题考查了组合体的三视图及其表面积计算，属于基础题．10．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5 B．4C．9 D．5+4考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．专题：不等式的解法及应用．分析：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作C H∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P （x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹角公式可得cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积S==8，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），∴=，=，=．∴cos∠CAB===，．∴四边形EFGH的面积S==8，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，即．∴4a+b=（4a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=3时取等号．∴4a+b的最小值为9．故选：C．点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题11．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为．．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的定义可求得a，根据离心率可求得c，进而求b，从而解得椭圆的方程．解答：解：由题意得：2a=6，故a=3，又离心率e═，所以c=1，b2=a2﹣c2=8，所以椭圆的方程为：．故答案为：．点评：本题主要考查椭圆的定义、离心率，属于基础题．12．（5分）已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m=1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，此时0+2m=2，解得m=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+…+S10=．考点：数列与解析几何的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：令x=0，求出y，令y=0，求出x，然后求出S k，根据三角形面积公式求和．解答：解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（，0），则则S k=•=2（），S1+S2+…+S10=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2×=．故答案为：．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是求出一次函数图象与坐标轴的交点，得出面积，再拆项求和．14．（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A={80，40，32，10}，若a i∈A（i=1，2，3，4，5），则a=2．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；集合；二项式定理．分析：运用二项式定理展开，可得对应项的系数，再由条件判断a＞1，对a1讨论，即可得到所求值．解答：解：由二项式定理，可得，（1+ax）5=1+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则有a1=5a，a2=10a2，a3=10a3，a4=5a4，a5=a5．由于集合A={80，40，32，10}，且a i∈A（i=1，2，3，4，5），则a i＞0，即a＞0，若a=1，则显然不成立，即a＞1，则a1为较小的，若a1=32或40，则显然不成立，若a1=10，则a=2，a1=10，a2=40，a3=80，a4=80，a5=32．成立．故答案为：2．点评：本题考查二项式定理的运用，考查元素和集合的关系，考查推断能力和运算能力，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1（x∈R），则下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的序号）．①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x=对称；③f（x）的最小值为﹣2；④f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；⑤f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1.007.5＜n＜1008．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：把函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1化为f（x）=，然后直接由周期的定义求周期判断①；由判断②；换元后利用二次函数求最值判断③；借助于复合函数的单调性判断④；求出函数在（0，π]内的零点后分析使得f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点的n的取值范围判断⑤．解答：解：f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1=．∵f（x+π）=f（x），∴f（x）是周期为π的函数，①正确；∵，∴f（x）的图象不关于x=对称，②错误；∵f（x）是周期为π的函数，故只需研究f（x）在（0，π]上的最小值，当0≤sin2x≤1时，即x∈（0，]时，f（x）=，令t=，则f（x）转化为g（t）=﹣t2+t，t∈[1，]，求得g（t）∈[，0]；当﹣1≤sin2x≤0时，即x∈（]时，同理求得g（t）∈[0，]．∴f（x）的最小值为﹣2，命题③正确；由③可知，当x∈（0，]，即t∈[1，]时，g（t）在[1，]上单调递减，f（x）=在（0，]上递增，在上递减，∴f（x）在（0，]上递减，在上递增．当x∈（，π]时，同理可得f（x）在上递增，在上递减．∵f（x）为连续函数，故f（x）在上递增．又f（x）的周期为π，∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），④正确；由已知函数解析式知，当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，当x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为，∵2015=2×1007+1，∴当1007.5＜n≤1008时，f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点错误．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，是中档题．三．解答题16．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosB是方程3x2﹣10x+3=0的一个根，求sinC的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）求出已知方程的解确定出cosB的值，进而求出sinB的值，利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）已知等式（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；（Ⅱ）方程3x2﹣10x+3=0，解得：x1=，x2=3，由cosB≤1，得到cosB=，∴sinB==，则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．17．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax）•e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f（x）取得最小值时x的值．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x2处取得极小值，分当x2＞0，x2≤0，两种情况讨论即可解答：解：（Ⅰ）f′（x）=[（x2+（a+2）x+a]•e x，△=（a+2）2﹣4a=（a﹣2）2，≥0，恒成立令f′（x）=0，解得x1=，x2=，当f′（x）＞0，解得x＞x2，或x＜x1，当f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，故函数f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）为增函数，在（，）为减函数（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x2处取得极小值，当x2＞0，即＞0，解得a＜0时，x2∈[0，+∞），则f（x）在x=处取得极小值，当x2≤0，解得a≥0时，x2∈[0，+∞），则f（x）在x=0处取得极小值，综上所述，当a＜0时，x的值为，当a≥0时，x的值为0点评：本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及分类讨论的思想，属于中档题18．（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响．则（1）小明在加试中至少答对3题的概率（2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）类比（1）可得：P（X=0）=（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2），P（X=1）=0.5×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2）×2+（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×0.2×（1﹣0.2）×2=0.32+0.08，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1﹣[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]．再利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：（1）设小明能够答对加试的第一，二，三，四题分别为事件A i（i=1，2，3，4）．则小明在加试中至少答对3题的概率 P（X=3或4）=++++P（A1A2A3A4）=0.5×0.5×0.2×（1﹣0.2）×2+0.5×0.2×0.2×（1﹣0.5）×2+0.5×0.5×0.2×0.2=0.08+0.02+0.01=0.11．（2）类比（1）可得：P（X=0）=（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2）=0.16，P（X=1）=0.5×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2）×2+（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×0.2×（1﹣0.2）×2=0.32+0.08=0.4，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1﹣[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]=1﹣（0.16+0.4+0.1+0.01）=0.33．可得随机变量X的分布列：X 0 1 2 3 4P（X） 0.16 0.4 0.33 0.1 0.01∴E（X）=0×0.16+1×0.4+2×0.33+3×0.1+4×0.01=1.4．点评：本题考查了互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD 所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q．（Ⅰ）试确定Q的位置并证明；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD被平面α分成上下两部分的体积比．（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的二面角的正切值．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：（Ⅰ）利用线面平行和线线平行之间的转化求出结论．（Ⅱ）利用线面的垂直，进一步算出锥体的体积运算求出比值．（Ⅲ）通过做出二面角的平面角求出相关的量，进一步解直角三角形求得结果．解答：解：（Ⅰ）Q为PC的中点．理由证明如下：因为AD∥BC，AB⊄平面PBC，故AD∥平面PBC．又由于平面α∩平面PBC=EQ，故AD∥EQ．所以：BC∥EQ．又E为PB的中点，故Q为PC的中点．（Ⅱ）如图连接EQ，DQ，因为：PA⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°故：PA=AB又因为：E为PB的中点，所以PE⊥AE．因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB．又PA⊥平面ABCD得到：AD⊥PA，又PA∩AB=A故：PE⊥平面α设：PA=h，AD=2a，四棱锥P﹣ABCD被平面α所分成的上下两部分分别为V1和V2则：EQ=a又因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥AE．=（Ⅲ）过E作EF⊥DQ，连接PF，因为PE⊥平面α，所以PE⊥DF又由于EF∩PE=E，所以D F⊥平面PEF，则：DF⊥PF所以：∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．因为：PA=2，即h=2，截面AEQD的面积为3．所以：解得：a=又因为：AD∥EQ，且EQ=AD，故：QD=又解得：EF=1．PE=在直角三角形PEF中，即：平面α与平面PCD所成的二面角的正切值为．点评：本题考查的知识要点：线面的垂直和平行问题，锥体的体积，二面角的平面角的应用．属于中等题型．20．（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆．圆C的方程为（x﹣5cosα）2+（y﹣5sinα﹣2）2=1（a∈R），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|．（Ⅰ）求圆D的方程；（Ⅱ）试用d表示•，并求•的最小值．考点：圆的标准方程；平面向量数量积的运算．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设E（），F（），x1＞x2，由已知得E（），F（﹣，3），由此能求出圆D的方程．（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），从而|DC|=5，由圆的向何性质，得4≤|DM|≤6，2，由此能求出取得最小值为6．解答：解：（Ⅰ）设E（），F（），x1＞x2，∵△OEF是正三角形，∴，解得，则E（），同理，F（﹣，3），∴外接圆的圆心为（0，2），半径为2，故圆D的方程为x2+（y﹣2）2=4．（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），∴|DC|=5，由圆的几何性质，得：|DC|﹣1≤|DM|≤|DC|+1，即4≤|DM|≤6，又|DA|=2，在Rt△DAM中，由勾股定理，得：d=|MA|==，∴2，设∠DMA=θ，则tanθ==，∴cos∠AMB=cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===，∴=||•||cos∠AMB=，令t=d2+4，则t∈[16，36]，∴==t+﹣12，令f（t）=t+﹣12，t∈[16，36]，则f′（t）=1﹣=，∴f（t）在[16，36]上单调递增，当t=d2+4=16，即d=2时，取得最小值为6．点评：本题考查圆D的方程的求法，考查•的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．21．（13分）设数列{a n}各项均为正数，且满足a n+1=a n﹣a n2．（Ⅰ）求证：对一切n≥2，都有a n≤；（Ⅱ）已知前n项和为S，求证：对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得0＜a1＜1，当n=2时，=≤，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，由已知推导出不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤．（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）﹣，x＞0则=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，ln（x+1）＞，令x=，代入上式，得，由此能证明对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．解答：证明：（Ⅰ）∵数列{a n}各项均为正数，且满足a n+1=a n﹣a n2，∴＞0，解得0＜a1＜1，当n=2时，=≤，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即，则当n=k+1时，=≤﹣（）2=＜=，∴当n=k+1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤．（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）﹣，x＞0则=＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，令x=，代入上式，得，故对一切n≥2，S2n﹣S n﹣1=a n+a n+1+a n+2+…+a2n≤＜ln（n+2）﹣ln（n+1）+ln（n+3）﹣ln（n+2）+…+ln（2n+2）﹣ln（2n+1）=ln（2n+2）﹣ln（n+1）=ln2．∴对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、构造法、数学归纳法的合理运用．。