2018年高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课时规范练(文科) Word版含答案

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2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)

专题13 直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表. 代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号(4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一直线及其方程例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 【答案】B【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－ba ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1 (∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二两直线的位置关系例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0【答案】C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.考点三圆的方程例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：。

(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习第一部分专题五第一讲直线与圆课件

[答案]
(1)C
(2)y＝2 或 4x－3y＋2＝0
(1)处理两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－ A2B1＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意每种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直(用两点式也不能与 y 轴垂直)．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式，用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法.
[解析]
(1)由题知圆 M： x2＋ (y－ a)2＝ a2(a＞ 0)，圆心 (0， a)
2 a a2－＝2 2，解得 a＝2， 2
a 到直线 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋y＝0 的距离 d＝，所以 2 2
即圆 M 的圆心为(0,2)，半径为 2.又圆 N 的圆心为(1,1)，半径为 1，则圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，半径之和为 3,1< 2<3，故两圆相交． (2)由直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 知其过定点(－3， 3)，圆心 |3m－ 3| O 到直线 l 的距离为 d＝ . 2 m ＋1 由|AB|＝2
2
当 a＝－1 时，方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2 ＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是 5.
[答案]
(－2，－4)
5
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 4 5 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为，则 5 圆 C 的方程为________．
3m－ 3 2 3得 2 ＋( m ＋1

高考数学(理)二轮二轮课时专题专题五解析几何第1讲直线与圆 Word版含答案

第1讲直线与圆【课前热身】第1讲直线与圆(本讲对应学生用书第42~44页)1.(必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y=-2x+3 的斜率相等，则该直线的方程为.【答案】y=-2x+4【解析】设直线方程为y=-2x+b，代入点P(1，2)，得b=4，所以所求直线的方程为y=-2x+4.2.(必修2 P111练习8改编)在平面直角坐标系xOy中，若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为.【答案】(-∞，-2)【解析】曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可以变形为(x+a)2+(y-2a)2=4，它表示以(-a，2a)为圆心、2为半径的圆，该圆在第四象限的条件是-020|-|2|2|2aaaa>⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩，，，，解得a<-2.3.(必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线l，则切线l的方程为.【答案】y=4或3x+4y-13=0【解析】当直线l垂直于x轴时，直线l：x=-1与圆相离，不满足条件.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y-4=k(x+1)，由于直线与圆相切，所以21 k+=1，解得k=0，k=-34，因此，所求的方程为y=4或3x+4y-13=0.4.(必修2 P117习题10改编)圆x2+y2=9与圆x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦的长为.【答案】125 5【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x-y-3=0，原点到公共弦的距离d=35，所以公共弦长为2239-5⎛⎫⎪⎝⎭=1255.5.(必修2 P117习题8改编)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆上有点P，使得∠APB=90°，则m的最小值为.【答案】4【解析】显然AB=2m，因为∠APB=90°，所以OP=12AB=m，所以要求m的最小值，即求圆C上的点P到原点O的最小距离.因为OC=5，所以OP min=OC-r=4，即m 的最小值为4.【课堂导学】直线、圆的方程例1如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在直线AC上，斜边中点为M(2，0).(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(-2，0)，且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.(例1)【解答】(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，因为M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-4 5，所以C42 -55⎛⎫ ⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心.又CM=2，从而Rt△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径22(2)a b++，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.因为公共弦长为4，r=22，所以M (2，0)到直线m 的距离d=2，即22222|2(4-2)-4|(4-2)(2)a a b r a b ++++=2，化简得b 2=3a 2-4a ，所以r=22(2)a b ++=244a +. 当a=0时，r 取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x 2+y 2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都采用待定系数法，即根据所给条件特征恰当地选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD=410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程.【解答】(1)因为直线AB 的斜率k=1，AB 的中点坐标为(1，2). 所以直线CD 的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a+b-3=0. ① 又因为直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b 2=40. ②由①②解得-36a b =⎧⎨=⎩，或5-2.a b =⎧⎨=⎩，所以圆心P (-3，6)或P (5，-2)，所以圆P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2015·曲塘中学)已知圆心为C 的圆满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程.(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行?若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【点拨】存在性问题，先假设存在.【分析】(1)根据圆心C 位于x 轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2)假设存在这样的直线方程，则斜率必须满足相应的条件，根据平行四边形法则，可得出D 点坐标与A ，B 两点坐标之间的关系，从而通过OD 与MC 平行建立起关于斜率k 的方程，从而求出斜率k 的值.【解答】(1)设圆C ：(x-a )2+y 2=r 2(a>0)，由题意知222343r a r =++=，，解得a=1或a=138，又因为S=πr 2<13，所以a=1. 所以圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又因为l 与圆C 相交于不同的两点，联立223(-1)4y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y ，得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，所以Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0，解得k<1-26或k>1+26，且x 1+x 2=-26-21k k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2261k k ++，又OD u u u r=OA u u u r +OB u u u r =(x 1+x 2，y 1+y 2)，MC u u u u r=(1，-3)，假设OD u u u r ∥MC u u u u r，则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2，解得k=34，因为34∉26-1-⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，∪261++⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式 (2015·天一中学)已知A (-2，0)，B (2，0)，C (m ，n ). (1)若m=1，n=3，求△ABC 的外接圆的方程；(2)若以线段AB 为直径的圆O 过点C (异于点A ，B )，直线x=2交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要判断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行判断.【解答】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意可得4-204201330D F D F D E F ⎧+=⎪++=⎨⎪+++=⎩，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-4=0，即x 2+y 2=4.(2)由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，设点R 的坐标为(2，t )，因为A ，C ，R 三点共线，所以AC u u u r∥AR u u u r.而AC u u u r=(m+2，n )，AR u u u r =(4，t )，则4n=t (m+2)，所以t=42nm +，所以点R 的坐标为422n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，点D 的坐标为222n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以直线CD 的斜率为k=2-2-2nn m m +=2(2)-2-4m n nm +=2-4mn m .而m 2+n 2=4，所以m 2-4=-n 2，所以k=2-mn n =-mn ，所以直线CD 的方程为y-n=-mn (x-m )，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O 到直线CD 的距离d=224m n +=44=2=r ，所以直线CD 与圆O 相切.与圆有关的定点问题例3 (2016·淮阴中学)已知圆M ：x 2+(y-4)2=4，点P 是直线l ：x-2y=0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B.(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标.(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB 长度的最小值.【点拨】曲线过定点问题，往往转化为等式恒成立问题. 【解答】(1)由题可知，圆M 的半径r=2，设P (2b ，b )，因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP=90°，所以22(0-2)(4-)b b +22AM AP +4，解得b=0或b=85，所以P (0，0)或P 16855⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2)设P (2b ，b )，因为∠MAP=90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为(x-b )2+24-2b y +⎛⎫ ⎪⎝⎭=224(-4)4b b +，即(2x+y-4)b-(x 2+y 2-4y )=0，它对于任意的实数b 均成立，故222-40-40x y x y y +=⎧⎨+=⎩，，解得04x y =⎧⎨=⎩，或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以圆过定点(0，4)，8455⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(3)因为圆N 方程为(x-b )2+24-2b y +⎛⎫ ⎪⎝⎭=224(-4)4b b +，即x 2+y 2-2bx-(b+4)y+4b=0， ①圆M ：x 2+(y-4)2=4，即x 2+y 2-8y+12=0， ②②-①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在的直线方程为2bx+(b-4)y+12-4b=0，点M 到直线AB 的距离d=25-816b b +，相交弦长即AB=224-d =4241-5-816b b +=4241-4645-55b ⎛⎫+⎪⎝⎭，当b=45时，AB 有最小值11.【点评】在解有关圆的问题时，要注意平面几何中有关定理的应用，比如切线长定理、垂径定理等.变式 (2016·南师附中)已知直线l 1：y=x+1，圆O ：x 2+y 2=32，直线l 1被圆截得的弦长与椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的短轴长相等，椭圆的离心率e=2.(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M 10-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为圆心O 到直线l 1的距离d=，所以由题设知=1，又e=，所以a=，椭圆C 的标准方程是22x +y 2=1.(2)方法一：假设存在点T (u ，v )，若直线l 的斜率存在，设其方程为y=kx-13，将它代入椭圆方程，并整理，得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，2=，x 1+x 2=212189k k +，x 1x 2=2-16189k +.因为TA u u r =(x 1-u ，y 1-v )，TB u u r=(x 2-u ，y 2-v )及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r =(x 1-u )(x 2-u )+(y 1-v )(y 2-v ) =(k 2+1)x 1x 2-13u k kv ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(x 1+x 2)+u 2+v 2+23v +19 =222222(66-6)-4(332-5)63u v k ku u v v k +++++当且仅当TA u u r ·TB u u r=0恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266-600332-50u v u u v v ⎧+=⎪=⎨⎪++=⎩，，，解得u=0，v=1.此时以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，也过点T (0，1).综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0，1)，满足条件. 方法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1.若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2+213y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=169. 由2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，，解得01.x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0，1). 事实上点T (0，1)就是所求点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，过点T (0，1)，当直线l 的斜率存在，设直线方程为y=kx-13，代入椭圆方程，并整理得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12212212189-16.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为TA u u r =(x 1，y 1-1)，TB u u r=(x 2，y 2-1)及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r=x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1) =(k 2+1)x 1x 2-43k (x 1+x 2)+169=22-16(1)189k k ++-43k·212189kk ++169=0，所以以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).即证明了点T (0，1)就是所求以AB 为直径的圆恒过的定点.与圆有关的定值问题例4(2016·新海中学)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=25，圆O1的圆心为(m，0)，且与圆O交于点P(3，4).过点P且斜率为k(k≠0)的直线l分别交圆O，圆O1于点A，B.(1)若k=1，且BP=2，求圆O1的方程.(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O，圆O1于点C，D.当m为常数时，试问：AB2+CD2是否是定值?若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由.【分析】弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，可利用勾股定理列出等式；第二问中直线与圆相交，可利用求根公式、韦达定理等求出交点坐标，进而代数论证.【解答】(1)当k=1时，直线l：y-4=x-3，即x-y+1=0，由题意得22+272⎝⎭=(m-3)2+42，整理得m2-14m=0，解得m=14或m=0(舍去)，所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4). 直线l：y-4=k(x-3)，即y=kx-(3k-4)，由22-(3-4)25y kx kx y=⎧⎨+=⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0，由韦达定理得3·x1=229-24-91k kk+，得x1=223-8-31k kk+.由2222-(3-4)(-)(-3)4y kx kx m y m=⎧⎨+=+⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0，由韦达定理得3·x2=229-24-961k k mk++，得x2=223-8-321k k mk++.所以x1-x2=223-8-31 k k k+-223-8-321k k mk++=2-21mk+，AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)22-21mk⎛⎫⎪+⎝⎭=2241mk+.同理可得CD2=2241-1mk⎛⎫+⎪⎝⎭=22241m kk+，所以AB2+CD2=2241mk++22241m kk+=4m2为定值.【点评】本题第二问运算过程中字母比较多，在求有关点的坐标时，用到了韦达定理，本题求点的坐标也可直接解方程；在计算AB2+CD2时，要注意化简的合理性和整体思想的运用.变式(2016·泰州中学)如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程.(2)当MN=219时，求直线l的方程.(3)BQu u u r·BPu u u r是否为定值?如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.(变式)【解答】(1)设圆A的半径为R.因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，所以525.所以圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x=-2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k (x+2)，即kx-y+2k=0.连接AQ ，则AQ ⊥MN.因为MN=219，所以AQ=20-19=1.由AQ=2|-2|1k k +=1，得k=34.所以直线l 的方程为3x-4y+6=0.所以所求直线l 的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3)因为AQ ⊥BP ，所以AQ u u u r·BP u u u r =0，所以BQ u u u r·BP u u u r =(BA u u u r +AQ u u u r )·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r +AQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r . 当直线l 与x 轴垂直时，得P -2，-52.则BP u u u r =50-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又BA u u u r =(1，2)，所以BQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r =-5. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k (x+2).由(2)270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，，解得P-4-7-51212k k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，. 所以BP u u u r =-5-51212k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 所以BQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r =-512k +-1012kk +=-5. 综上所述，BQ u u u r ·BP u u u r 是定值，且BQ u u u r·BP u u u r =-5.【课堂评价】1.(2016·泰州期末)已知直线y=kx(k>0)与圆C：(x-2)2+y2=1相交于A，B两点，若AB=25，则k=.【答案】1 2【解析】依题意，圆心到直线的距离251-5⎛⎫⎪⎪⎝⎭=25，21k+=25，解得k=±12.又k>0，所以k=12.2.(2016·武汉质检)若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点.【答案】(0，2)【解析】直线l1：y=k(x-4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).3.(2016·南通二模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(-2，0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为.【答案】4【解析】因为PT与圆x2+y2=1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT=1，OP=2，∠OTP=π2，从而∠OPT=π6，PT=3，故直线PT的方程为x±3y+2=0.因为直线PT截圆(x-a)2+(y-3)2=3得弦长RS=3，设圆心到直线的距离为d，则d=|32|2a ±+，又=2，即d=32，即|a±3+2|=3，解得a=-8，-2，4.因为a>0，所以a=4.4.(2016·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 . 【答案】3【解析】由题意得两圆相切或相离，即1≤|r-1|或1≥r+1.因为r>0，所以r ≥2.由N 的任意性得r min =|OM-1|≥2，即OM ≥3.所以a 2+(3-a )2≥9，即a (a-3)≥0.因为a>0，所以a ≥3.故a 的最小值为3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第21~22页.【检测与评估】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1.(2016·沈阳检测)若直线l ：x a +y b =1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y轴的截距之和的最小值是 .2.(2016·连云港四校联考)已知圆C 的圆心C 在直线x-2y-1=0上，且圆C 经过A (0，4)，B (2，2)两点，则圆C 的方程为 .3.(2016·徐州、连云港、宿迁三模)若点P ，Q 分别是曲线y=4x x +与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ 长的最小值为 .4.(2016·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 .5.(2016·苏州期末)若直线l 1：y=x+a 和直线l 2：y=x+b 将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= .6.(2016·南京、盐城二模)已知圆O ：x 2+y 2=1，圆M ：(x-a )2+(y-a+4)2=1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB=60°，则实数a 的取值范围为 .7.(2015·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (-5，a )作圆x 2+y 2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，则实数a 的值为 .8.(2016·江苏高考预测题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：x 2+y 2=16，点M (1，0)，动点P ，Q 分别在圆C 1和圆C 2上，满足MP ⊥MQ ，则线段PQ 的取值范围是 .二、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过二次函数f (x )x 2+2x-3)与两坐标轴的三个交点.(1)求圆C 的标准方程.(2)设点A (-2，0)，B (2，0)，试探究圆C 上是否存在点P 满足PB ?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2016·通州中学)已知定圆C 1：x 2+y 2=a 2(a>0)和定圆C 2：x 2+y 2=b 2(b>0)，P 为圆C 2上一点，过点P 作圆C 1的两条切线，切点分别为A ，B.(1)若a=2，点P 的坐标为，-)，求四边形OAPB 的面积.(2)当点P 在圆C 2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.11.(2016·天一中学)已知圆M 的圆心为M (-1，2)，直线y=x+4被圆M 截得的弦长为P 在l ：y=x-1上.(1)求圆M 的标准方程；(2)设点Q 在圆M 上，且满足MP u u u r=4QM u u u u r ，求点P 的坐标；(3)设半径为5的圆N 与圆M 相离，过点P 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为A ，B ，若对任意的点P ，都有PA=PB 成立，求圆心N 的坐标.【检测与评估答案】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. 3+2【解析】由题意可得1a+2b=1，故a+b=(a+b )1a ⎛ ⎝+2b ⎫⎪⎭=3+b a +2a b ≥3+2，所以直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是3+.2. (x+5)2+(y+3)2=74 【解析】因为圆心在直线x-2y-1=0上，所以设圆心C (2a+1，a )，则由AC=BC，解得a=-3，所以圆心为(-5，-3)，半径，故所求圆的方程为(x+5)2+(y+3)2=74.3.【解析】方法一：设与直线4x+y=0平行的直线l 与曲线y=4x x +切于点(x 0，y 0)，因为y'=-24x ，所以y'0 x x ==-204x =-4，所以x 0=±1，结合曲线y=4x x +与直线4x+y=0的位置关系可得切点(-1，-3)到直线4x+y=0的距离就是所求的线段PQ.方法二：设曲线y=4xx+上的点P4xxx+⎛⎫⎪⎝⎭，到直线4x+y=0的距离为d，则PQ≥因为1xx+=|x|+1||x≥2，所以当x+1x=-2，即x=-1时，PQ取得最小值为.4.【解析】由题意得C(3，0)，设A(a，b)，由点A恰为线段OB的中点，得B(2a，2b).因为点A，B均在圆C上，所以2222-65044-1250a b aa b a⎧++=⎨++=⎩，，解得A54⎛⎝⎭，，所以直线ly=0，圆心C到直线l的距离=.5. 18【解析】由题意知四段圆弧所对的圆心角均为90°，圆心C(1，2)到直线l1，l2的距离均为r=2.2，得|a-1|=，同理|b-1|=，所以a2+b2=18.6.2⎡⎢⎣⎦【解析】由题意得圆心M(a，a-4)在直线x-y-4=0上运动，所以动圆M是圆心在直线x-y-4=0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB=60°，所以OP=2，即点P也在x2+y2=4上，于是2-≤2+1，即≤3，解得实数a的取值范围是2⎡+⎢⎣⎦.7. 3或-2 【解析】方法一：由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x ·12122-12y y x x++=-1，所以点(1，0)在直线PC 上，其中C 是圆心，所以2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.方法二：由221111222222-22-10-22-10x y ax y x y ax y ⎧++=⎨++=⎩，，两式相减，得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)-2a (x 1-x 2)+2(y 1-y 2)=0，x 1+x 2+1212--y y x x (y 1+y 2)-2a+2×1212--y y x x =0.由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x (y 1+y 2)=-(x 1+x 2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y y x x =0.又1212--y y x x =51a a ++，代入上式，得2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.8. 19-1191⎡⎤+⎣⎦，【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则22112222416.x y x y ⎧+=⎨+=⎩，设PQ 的中点N (x ，y )，即N 121222x x y y ++，，则x 2+y 2=222211221212()()2()4x y x y x x y y +++++=5+12(x 1x 2+y 1y 2).由MP ⊥MQ ，得x 1x 2+y 1y 2=x 1+x 2-1=2x-1，所以x 2+y 2=5+x-12，即21-2x ⎛⎫⎪⎝⎭+y 2=194.因为PQ=2MN ，MN ∈19-1191⎡+⎢⎣⎦，，所以PQ ∈19-1191⎤+⎦，.二、解答题9. (1) 设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为-3，代入得E=0，所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4.(2) 假设存在点P(x，y)满足题意，则PA2=2PB2，于是(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2，化简得(x-6)2+y2=32.①又因为点P在圆C上，故满足(x+1)2+y2=4.②联立①②，解得点P的坐标为1717-2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.所以存在点P满足题意，其坐标为1717-22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.10. (1) 依题意，OA⊥AP，OB⊥BP，且OA=OB=2，PA=PB=224-2=23，所以S△OAP =S△OBP=12×2×23=23，所以四边形OAPB的面积为43.(第10题) (2) 设P(m，n)，则m2+n2=b2.当点P在圆C2上运动时，恒有22-b a.所以点A，B在以P 22-b a.该圆方程为(x-m )2+(y-n )2=b 2-a 2.又点A ，B 在圆C 1：x 2+y 2=a 2上.联立两圆方程，消二次项，得mx+ny-a 2=0. 所以直线AB 的方程为mx+ny-a 2=0.因为原点O 到直线AB 的距离d=2=2a b 为定值，所以圆x 2+y 2=42a b 恒与直线AB 相切.所以存在定圆恒与直线AB 相切，且定圆方程为x 2+y 2=42a b .11. (1) 因为圆心M (-1，2)到直线y=x+4的距离=，又直线y=x+4被圆M截得的弦长为，所以圆M 的半径为=1，所以圆M 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1. (2)由MP u u u r=4QMuuuu r，得|MP u u u r|=4|QMuuuu r|=4，所以点P 在圆(x+1)2+(y-2)2=16上.又点P 在直线y=x-1上，由22(1)(-2)16-1x y y x ⎧++=⎨=⎩，，解得-1-2x y =⎧⎨=⎩，或32x y =⎧⎨=⎩，，即点P 的坐标为(-1，-2)或(3，2).(3) 设P (t ，t-1)，N (a ，b )，则圆N 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=25， PA 2=PM 2-12=(t+1)2+(t-1-2)2-1=2t 2-4t+9，PB 2=PN 2-52=(t-a )2+(t-1-b )2-25=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25. 因为PA=PB ，所以2t 2-4t+9=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25，即(2a+2b-2)t-a2-(b+1)2+34=0(*). 因为对任意的点P都有PA=PB，所以(*)式对任意实数t恒成立，得2222-20(1)-340a ba b+=⎧⎨++=⎩，，解得5-4ab=⎧⎨=⎩，或-34.ab=⎧⎨=⎩，又因为圆N与圆M相离，所以MN>1+5=6，>6，所以圆心N的坐标为(5，-4).。

二轮复习解析几何第1讲直线与圆

解析几何第1讲直线与圆一、单项选择题1．直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，则直线l的方程为()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝02．(2022·福州)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为() A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝43．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于()A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.94．过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，若P A⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为()A．1 B. 2C．2 2 D．3 25．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是() A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝46．已知圆O ：x 2＋y 2＝94，圆M ：(x －a )2＋(y －1)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝π3，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－15，15]B ．[－3，3]C ．[3，15]D ．[－15，－3]∪[3，15]7．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．[7，＋∞)C ．[10，＋∞)D ．[15，＋∞)8．(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，|AB |＝|AC |，点B (－1,1)，点C (3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O ：x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |的最小值为( ) A. 2B ．2 2 C. 3D ．2 3二、多项选择题9．已知直线l 过点(3,4)，点A (－2,2)，B (4，－2)到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．x －2y ＋2＝0B ．2x －y －2＝0C ．2x ＋3y －18＝0D ．2x －3y ＋6＝010．在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2022·南通)已知P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，直线l 1：x cos θ＋y sin θ＝4与l 2：x sin θ－y cos θ＝1交于点Q ，则( )A ．l 1⊥l 2B ．直线l 1与圆O 相切C ．直线l 2与圆O 截得弦长为2 3D ．|PQ |长的最大值为17＋212．(2022·龙岩质检)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，则( )A ．当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)B ．|P A |的取值范围为[6，＋∞)C ．当△P AB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫12，12三、填空题13．与直线2x －y ＋1＝0关于x 轴对称的直线的方程为__________________．14．过点P (2,2)的直线l 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则直线l 的方程为____________________．15．(2022·杭州模拟)在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A 在直线l ：y ＝2x 上，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 的另一个交点为D .若AB ⊥CD ，则圆C 的半径等于________．16．若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与坐标轴分别交于三个不同的点A ，B ，C ，则△ABC 的外接圆恒过的定点坐标为________．。

2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题五第一讲直线与圆

专题五　解析几何第一讲　直线与圆高考导航1. 求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题．2．结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点.1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－B ．－ C. D ．243343[解析]　由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝＝1，解得|a ＋4－1|a 2＋1a ＝－，故选A.43[答案]　A2．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－或－B ．－或－53353223C ．－或－D ．－或－54454334[解析]　由题意知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴＝1，化简得|－3k －2－2k －3|k 2＋112k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－或k ＝－.4334[答案]　D3．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)22＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析]　由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝，所以2＝2，解得a ＝2.圆M ，圆a 2a 2－a 222N 的圆心距|MN |＝.两圆半径之差为1，故两圆相交．2[答案]　B4．(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)[解析]　设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则Error!解得Error!∴BC 所在直线方程为y －1＝(x －3)，－2－14－3即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝·(x ＋4)，即3－2－1－(－4)x －3y ＋10＝0.联立得Error!解得Error!则C (2,4)．故选C.[答案]　C5．(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为，则圆C 的方程5455为____________________________________________________．[解析]　因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝＝，解得a ＝2，所2a5455以圆C 的半径r ＝|CM |＝＝3，4＋5所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.[答案]　(x －2)2＋y 2＝9考点一　直线的方程1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝.|C 1－C 2|A 2＋B 2(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2[对点训练]1．(2017·东北三校联考)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0[解析]　当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x －5y ＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由过点(5,2)x a y2a 即可解出2x ＋y －12＝0，故选B.[答案]　B2．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　∵当a ≠0时，＝＝⇒直线l 1与直线l 2重合，∴a 28a －8－a 无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.[答案]　D3．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________________________．[解析]　由Error!得Error!所以直线l 1与l 2的交点为(1,2)．显然直线x ＝1不符合．设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到直线l 的距离为2，所以＝2，所以k ＝0或k ＝.所以直线l 的方程为y ＝2或|－4＋2－k |1＋k 2434x －3y ＋2＝0.[答案]　y ＝2或4x －3y ＋2＝04．(2017·安徽亳州一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是__________________．[解析]　因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(a ，b )，则Error!解得Error!即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为＝，即y ＋10－(－1)x ＋11－(－1)x －2y －1＝0.[答案]　x －2y －1＝0　求直线方程的两种方法(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．考点二　圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以为圆心，为半径的圆．(－D 2，－E 2)D 2＋E 2－4F 2[对点训练] 1．(2017·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0[解析]　根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B.[答案]　B2．(2017·西安统考)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________．[解析]　设点(1,0)关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则Error!解得Error!所以圆C的圆心为(0,1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.[答案]　x2＋(y－1)2＝13．已知圆C过定点A(0，a)(a>0)，且被x轴截得的弦MN的长为2a，若∠MAN＝45°，则圆C的方程为__________________．[解析]　设圆C的圆心坐标为(x，y)，依题意，圆C的半径r＝x2＋(y－a)2，又圆C被x轴截得的弦MN的长为2a，所以|y|2＋a2＝r2，即y2＋a2＝x2＋(y－a)2，化简得x2＝2ay.因为2∠MAN＝45°，所以∠MCN＝90°，从而y＝a，x＝±a，圆的半径x2＋(y－a)222r＝＝a，所以圆C的方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a22或(x－a)2＋(y－a)2＝2a2.22[答案]　(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2或(x－a)2＋(y－a)2＝2a2　求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系　判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．[对点训练] 1．圆x 2＋y 2＋4x ＝0与圆x 2＋y 2－8y ＝0的公共弦长为( )A. B. C. D.2554558551655[解析]　解法一：联立得Error!得x ＋2y ＝0，将x ＋2y ＝0代入x 2＋y 2＋4x ＝0，得5y 2－8y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝，故两圆的交点85坐标是(0,0)，，则所求弦长为＝，选C.(－165，85)(－165)2＋(85)2855解法二：联立得Error!得x ＋2y ＝0，将x 2＋y 2＋4x ＝0化为标准方程得(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝＝，则所求弦长为2＝|－2|525522－(255)2，选C.855[答案]　C 2．(2017·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]　依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案]　A3．(2017·重庆永川中学月考)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝30°，则x 0的取值范围是( )A ．[－，] B.33[－12，12]C ．[－2,2] D.[－33，33][解析]　易知M (x 0,1)在直线y ＝1上，设圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝1的交点为T ，显然假设存在点N ，使得∠OMN ＝30°，则必有∠OMN ≤∠OMT ，所以要使圆上存在点N ，使得∠OMN ＝30°，只需∠OMT ≥30°，因为T (0,1)，所以只需在Rt △OMT 中，tan ∠OMT ＝＝≥tan30°＝，OT TM 1|x 0|13≤x 0≤，且x 0≠0，当x 0＝0时，33显然满足题意，故x 0∈[－，]．故答案选A.33[答案]　A4．(2017·新疆维吾尔自治区第二次适应性检测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则m －n 的最大值是________．[解析]　依题意得，圆心(0,0)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离等于圆的半径1，于是有＝1，即(m ＋1)2(m ＋1)2＋(n ＋1)22＋(n ＋1)2＝4，设m ＋1＝2cos θ，n ＋1＝2sin θ，则m －n ＝(m ＋1)－(n ＋1)＝2cos θ－2sin θ＝2cos≤2，当且仅当2(θ＋π4)2cos＝1时取等号，因此m －n 的最大值是2.(θ＋π4)2[答案]　22　直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2(其r 2－d 2中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．【特别提醒】　(1)经过圆C ：x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)相交两圆的方程对应相减，得两圆公共弦所在直线方程．热点课题17　与圆有关的最值问题[感悟体验]1．(2017·厦门模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．5－4 B.－1 C ．6－2 D.217217[解析]　两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝5，所以(|PM |＋2|PN |)min ＝5－(1＋3)＝5－4.故选A.22[答案]　A2．(2017·宁夏银川一中检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________________．[解析]　验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方4－23－1程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0.[答案]　x＋y－3＝0。

15第一部分板块二专题五解析几何第1讲直线与圆(小题)

第1讲直线与圆(小题)热点一直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B2≠0)．例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0 C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝0跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B ．±35 C ．－35 D.35(2)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2热点二圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．3．解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．方法二画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________．跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________________．热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．3．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．例3 (1)(2019·莆田质检)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝4相交于M ，N 两点．若|MN |≥22，则m 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－4,4]C ．[0,2]D ．(－22，－2]∪[2,22)(2)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________．跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10 B ．4 3 C ．8 D ．215(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3真题体验1．(2018·全国Ⅲ，文，8)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]2．(2016·全国Ⅱ，文，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．23．(2018·全国Ⅰ，文，15)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 押题预测1．圆(x －2)2＋y 2＝1与直线3x ＋4y ＋2＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上三种情况都有可能2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 3．甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________．A 组专题通关1．(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30° D ．150°2．(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或－x ＋y ＝13．(2019·厦门模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切，则圆O 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋y 2＝44．(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．107．(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|P A →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4D ．226＋28．(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 9．(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝20 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝20D ．x 2＋(y ＋2)2＝510．(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1211．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 12．(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标的取值范围是( ) A ．|x |≥1 B ．|x |>1 C ．|x |≥2D ．|x |≥2213．(2019·福建四校联考)已知直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．14．(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线3x ＋4y ＋4＝0均与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．15．(2019·晋中模拟)已知圆C 经过点A (1,3)，B (4,2)，与直线2x ＋y －10＝0相切，则圆C 的标准方程为________．16．(2019·宝鸡质检)圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.B 组能力提高17．(2019·齐齐哈尔模拟)已知半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ ＝π3，则t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－233，0∪(0，3] B ．[－3，0)∪⎝⎛⎦⎤0，233C.⎣⎡⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎣⎡⎭⎫－233，0∪⎝⎛⎦⎤0，233 18．(2019·淮南模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对于下列结论：①符合[OP ]＝2的点P 的轨迹围成的图形面积为8；②设点P 是直线l 1：3x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]min ＝1；③设点P 是直线l 2：y ＝kx ＋1(k ∈R )上任意一点，则使得“[OP ]最小的点P 有无数个”的充要条件是k ＝1；④设点P 是圆x 2＋y 2＝2上任意一点，则[OP ]max ＝2. 其中正确的结论序号为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④。

高考数学统考二轮复习第二部分专题5 解析几何第1讲直线与圆(教师用书)教案理

学习资料解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点。

1。

求直线的方程．2。

判断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题。

［题组练透］1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2，1）代入可得4＋3＋m＝0，解得m ＝－7。

故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2020·淮南模拟）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0,此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×（1－λ）＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验,两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件,故选A。

答案：A3．已知直线l:ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2,显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是错误!，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得错误!＝2＋a，解得a＝－2或a＝1,故选D。

答案：D4．（2020·保定模拟）设点P为直线l:x＋y－4＝0上的动点,点A（－2，0)，B（2,0），则｜P A｜＋|PB|的最小值为（）A．210 B.26C．2错误! D.错误!解析:依据题意作出图象如下:设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1（a,b）,则它们的中点坐标为错误!，且｜PB|＝｜PB1｜.由对称性可得错误!，解得a＝4,b＝2.所以B1(4,2)．因为｜P A｜＋｜PB｜＝|P A｜＋｜PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，｜P A｜＋｜PB|最小．此时最小值为｜AB1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝2错误!.故选A.答案：A［题后悟通］1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组错误!，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1。

高考数学大二轮复习专题5解析几何第1讲直线与圆课件(文科)

＝－7.故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选 B.
答案：B
2．(2019·淮南模拟)设 λ∈R，则“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1 与直线 6x＋(1－ λ)y＝4 平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：当 λ＝－3 时，两条直线的方程分别为 6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则 2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以 λ＝－3 或 λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1 与直线 6x＋(1－λ)y＝4 平行” 的充分不必要条件，故选 A.
是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填 2.利用待定系数法求圆的方程．
空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时 3.借助圆的方程研究圆的简单性质.
也会在解答题中出现.
[题组练透]
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2 的圆心和半径分别是( )
A．(－2,3)，1
B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， 2
答案：A
3．已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )
A．1
B．－1
C．2 或 1
D．－2 或 1
解析：当 a＝0 时，直线方程为 y＝2，显然不符合题意，当 a≠0 时，令 y＝0 时，得到直线在 x 轴上的截距是2＋a a，令 x＝0 时，得到直线在 y 轴上的截距为 2＋a，根据题意得2＋a a＝2＋a，解得 a＝－2 或 a＝1，故选 D. 答案：D
C．－1 或 3
D．3 或 5
解析：由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为 3.所以圆心到直线的距离为 32－12＝|－1－22＋a|，∴a＝1 或 5.故选 B.

(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习文新人教A版

（新课标）高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习文新人教A 版第1讲直线与圆一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B.由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1，2)，半径为r ＝2.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±2C ．±2 2D ．±2 3解析：选B.通解：由题意知，点C 和圆心O 在直线AB 的同侧，且圆心O 在线段AB 的垂直平分线上，设线段AB 的中点为D ，圆O 的半径r ＝22，则|CD |＝|OD |＋r ＝32|AB |.因为|OD |＝|m |2，|AB |＝28－m 22，所以|m |2＋22＝32×28－m 22，解得m ＝±2.优解：设圆O 的半径为r ，则r ＝22，由圆周角∠ACB ＝60°，得圆心角∠AOB ＝120°，则圆心O 到直线x ＋y －m ＝0的距离d ＝12r ＝2，所以|m |2＝2，解得m ＝±2.6．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.由题意知，圆C 的圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |＝1，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2. 二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m2，解得m ＝±52.答案：±528．(2019·广州市调研测试)若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______．解析：由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3，0)，又P (1，1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.由弦MN 所在的直线经过点P (1，1)，得所求直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝09．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为______．解析：依题意知，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2.圆心C 到直线l 1：y ＝3x 的距离为232＝3，所以直线l 1被圆C 所截得的弦长为2×4－3＝2.圆心C 到直线l 2：y ＝kx －1的距离d ＝|2k －1|1＋k2，所以直线l 2被圆C 所截得的弦长为24－d 2，由题意知2∶(24－d 2)＝1∶2，解得d ＝0，故直线l 2过圆心C .所以2k －1＝0，解得k ＝12.答案：12三、解答题10．已知点P (0，5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程即(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2，6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2，6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式为|－2k －6＋5|k 2＋（－1）2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．因为圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5，所以|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25. 因为m 为整数，所以m ＝1. 所以圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5，并将其代入圆的方程，消去y 并整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a <0或a >512.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在．由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a.所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.因为直线l 垂直平分弦AB ，所以圆心M (1，0)必在直线l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。

2018高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课时规范练文

第讲直线与圆一、选择题．(·日照二模)已知命题：“＝－”，命题：“直线－＝与直线＋＝互相垂直”，则命题是命题的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要．充要条件解析：“直线－＝与直线＋＝互相垂直”的充要条件是×＋(－)·＝⇔＝±.所以命题是命题的充分不必要条件．答案：．(·大连质检)已知直线＝与圆＋－＋＝相切，则值为( )(导学号 )．±．±．±．±解析：将＝代入＋－＋＝，得(＋)－＋＝，所以Δ＝(－)－(＋)×＝(－)＝，解得＝±.答案：．(·全国卷Ⅱ)已知三点(，)，(，)，(，)，则△外接圆的圆心到原点的距离为( )解析：设圆的一般方程为＋＋＋＋＝，所以所以所以△外接圆的圆心为，因此圆心到原点的距离＝＝.答案：．(·济南调研)若直线－＋＝被圆(－)＋＝截得的弦长为，则的值为( )(导学号 )．－．．或－．解析：因为圆(－)＋＝的圆心(，)，半径＝.又直线－＋＝被圆截得的弦长为.所以圆心到直线的距离＝＝，因此＝，所以＝或＝－.答案：．(·河北衡水中学模拟)已知圆：(－)＋＝，则过点(，－)的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )．．．．解析：易知最长弦为圆的直径，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且＝，所以最短弦的长为＝＝，故所求四边形的面积＝××＝.答案：二、填空题．(·菏泽二模)已知圆的方程是＋－－＋＝，直线＝(－)被圆截得的弦最短时，直线方程为．解析：圆的标准方程为(－)＋(－)＝，所以圆的圆心(，)，半径＝.又直线＝(－)过定点(，)，则当直线＝(－)与直线垂直时，被圆截得的弦长最短．因此·＝·＝－，所以＝－.故所求直线的方程为＝－(－)，即＋－＝.答案：＋－＝．(·北京卷)已知点在圆＋＝上，点的坐标为(－，)，为原点，则·的最大值为．解析：法一由题意知，＝(，)，令( α，α)，则＝( α＋，α)，·＝(，)·(α＋，α)＝α＋≤，故·的最大值为.法二由题意知，＝(，)，令(，)，－≤≤，则·＝(，)·(＋，)＝＋≤，故·的最大值为.答案：．(·淄博调研)过点(，)的直线与圆(－)＋(－)＝相交于，两点，当＝时，直线的方程为．解析：易知点(，)在圆内，且直线的斜率存在，则直线的方程为－＝(－)，即－＋－＝.又＝，＝，所以圆心(，)到的距离＝＝.因此＝，解得＝－.所以直线的方程为＋－＝.答案：＋－＝三、解答题．已知圆：＋－－＋＝，点(，)．。

2018年高考数学二轮复习习题：第一部分专题五解析几何第一讲直线与圆

限时规范训练一、选择题1．(2017·南充模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0 C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0解析：当l 过原点时，适合题意．当l 不过原点时，其斜率为正值，故选B. 答案：B2．(2017·银川模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823 C. 3 D.833解析：由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823，故选B. 答案：B3．(2017·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：先根据圆的方程求出圆心坐标，再根据圆心到直线的距离为1列出方程，解方程求出a 的值．由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.答案：A5．(2017·青岛模拟)已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝－2＋－2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．答案：C6．(2017·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．1D ．3解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋－2－2＝ 2.答案：A7．(2017·沈阳模拟)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，故选D. 答案：D8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B .O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．答案：C 二、填空题9．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意可得⎩⎨⎧|2a |5＝455，－a 2＋52＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝9，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝910．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________．解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1，∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33.答案：±3311．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝________.解析：圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝23，如图，过C 作CE ⊥BD 于E ，因为直线l 的倾斜角为30°，所以|CD |＝|CE |cos 30°＝|AB |cos 30°＝2332＝4.答案：412．(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)，因为A (－12,0)，B (0,6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)，因为PA →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤50－x 2. 当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－52≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．法二：设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )． ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．答案：[－52，1] 三、解答题13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，Δ＝56－16a －4a 2>0.由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.14．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆被直线x －3y ＋4＝0截得的弦长为2 3. (1)求圆O 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，且点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析：(1)设x 2＋y 2＝r 2，圆心(0,0)到直线x －3y ＋4＝0的距离d ＝2，又因为截得的弦长为23，所以r ＝32＋22＝7，圆O 的方程为x 2＋y 2＝7.(2)设斜率为2的直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，与圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝7，y ＝2x ＋b ，得5x 2＋4bx ＋b 2－7＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝140－4b 2>0，x 1＋x 2＝－4b 5，x 1x 2＝b 2－75.已知点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，所以DA →·DB →<0，即DA →·DB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝5x 1x 2＋(2b ＋1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝2b 25－4b5－6<0，解得－3<b <5，满足Δ>0.所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围为(－3,5)．15．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解析：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

高考数学大二轮复习第1部分专题6解析几何第1讲直线与圆练习201811225186

第一部分专题六第一讲直线与圆A 组1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B ) A ． 2B ．823C ． 3D ．833[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋－2＝823.故选B ． 2．(文)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( D ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为( D )A ．13B ．4C ．43913D ．83913[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0. 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，⊙O 的半径R ＝2， ∴截得弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 3．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( B )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0[解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．5．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( A )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 设圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)，故直线CD 的斜率k CD ＝3－2－2－－＝－1，则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－1k CD＝1，故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0.6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝2.[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2.8．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.[解析] 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，依题意得a 2＋22＝－a2，解得a ＝32， r 2＝254，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1；当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.B 组1．(2018·南宁一模)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )A ．π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D ．π6[解析] 圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2＝d 2＋(232)2，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6. 2．设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( B )A ．± 3B ．± 6C ．±3D ．±9[解析] 由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |12＋－2＝3，解得a ＝± 6.3．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( C )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝|2θ－π4＋a ＋2|2.△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×|2θ－π4＋a ＋2|2＝|2sin(θ－π4)＋a ＋2|，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1；当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解；当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ，两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离，即|m －2|2＝|±2－a －2|2， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1.当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.4．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( C )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22][解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 2<2，解得2≤k <22，故选C ．5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( C )A ．a >7或a <－3B ．a >6或a <－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －＋a |5<5－＋a 2＋1|5<5得－6<a <6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧－＋a |5>5－＋a 2＋1|5>5得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C ．6．过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R )的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →的最小值为214.[解析] 圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1，所以PC ＝t ＋2＋t －2＝t －2＋8≥8，PA ＝PB ＝PC 2－1，cos ∠APC ＝APPC，所以cos ∠APB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫AP PC2－1＝1－2PC 2，所以PA →·PB →＝(PC 2－1)(1－2PC 2)＝－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14＝214，所以PA →·PB →的最小值为214.7．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为4.[解析] 以OC 为直径的圆的方程为(x －32)2＋(y －2)2＝(52)2，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－[(x －32)2＋(y －2)2]＝5－254，化为3x ＋4y －5＝0，C 到AB 的距离为d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b2＝c12c 2＝2，∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27.9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程．(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋2＝y 0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x2x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－m22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2018年高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆案文

第1讲直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真题感悟1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4). 由题意得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.答案 A2.(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切D.相离解析圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. 答案 B3.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆C的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π4.(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. 解析由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC → ＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ).由题意知AC → 与AF → 的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1考点整合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一直线的方程【例1】 (1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2017·山东省实验中学二模)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.解析 (1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2，所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0). ∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号. 因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.答案 (1)A (2)12探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2017·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二圆的方程【例2－1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心在x 的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0. 则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. (2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)(2017·河南部分重点中学联考)圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析 (1)易知圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3，所以圆心坐标为(2，－3).则半径r ＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案 (1)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4. 热点三直线与圆的位置关系命题角度1 圆的切线问题【例3－1】 (2017·郑州调研)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝2命题角度2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2017·泉州质检)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋（a ＋3）2＝1，解得a ＝－53. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23， ∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案 (1)－53(2)41.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ). 4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.一、选择题1.(2017·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋ (－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点. ∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B3.(2017·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A.1 B.－3 C.1或－3D.2解析 ∵圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5. 又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3. ∴圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2，因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，∴m ＝1或m ＝－3.答案 C4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案 B5.(2017·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A.1031B.921C.1023D.911解析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223，故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C 二、填空题6.(2017·广安调研)过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO → ·AP →的最大值为________.解析法一由题意知，AO → ＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2， sin α).AO → ·AP → ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO → ·AP →的最大值为6. 法二由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO → ·AP → ＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO → ·AP →的最大值为6. 答案 68.(2017·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________. 解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝0三、解答题9.已知点A (3， 3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点.(1)求k 的取值范围；(2)若OM → ·ON → ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM → ·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11.(2016·江苏卷节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。

2018年高考数学二轮复习考前专题六解析几何第1讲直线与圆讲学案理

第1讲直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3l＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(A2＋B2≠0)．)“a＝2”是“直线ax)ACa()a－1＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋()a－1y＋4＝0平行”的充要条件．(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x ＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．答案3 2解析由题意，得直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A ()0，2，直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率为－1k，且经过点B ()2，0，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C上，其中圆心坐标为C ()1，1，半径为r ＝2，则圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为d ＋r ＝22＋2＝3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 (1)已知直线l 1：ax ＋()a ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋()a ＋2a ＝0， ∴a ()a ＋3＝0，∴a ＝0或a ＝－3.故选A.(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A C 所以m ＝12或m ＝－6.热点二圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2017·海口调研)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A.()x ＋32＋()y －12＝1B.()x －32＋()y ＋12＝1C.()x ＋32＋()y ＋12＝1D.()x －32＋()y －12＝1答案 C解析到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C.(2)(2017·百校联盟质检)若圆C 过点()0，－1，()0，5，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为______________．答案 x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73解析由题意可设圆心C ()a ，2，则||a －2－22＝22⇒a ＝0或a ＝8，所以半径等于0＋32或82＋32，即圆C 的标准方程为x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73. 思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)圆心为()4，0且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A.()x －42＋y 2＝1 B.()x －42＋y 2＝12C.()x －42＋y 2＝6 D.()x ＋42＋y 2＝9答案 B解析由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，即r ＝d ＝||3×4－03＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为()x －42＋y 2＝12 .(2)(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(－a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)(2017·保定模拟)若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C. 2 D ．± 2答案 D解析圆x 2＋()y －a 2＝1的圆心坐标为()0，a ，半径为1，因为直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，所以圆心()0，a 到直线的距离d ＝r ，即||a 2＝1，解得a ＝±2，故选D.(2)(2017·银川模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切答案 B解析化圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心距为32＋42＝5＝r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2外切，故选B.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)(2017·深圳调研)直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 ( ) A.22B. 2C. 6 D ．2 6答案 C解析由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝2 2－12＝6，故选C. (2)(2017·西宁复习检测)如果圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A.()－3，－1∪()1，3B.()－3，3C.[]－1，1D.[]－3，－1]∪[1，3 答案 D解析圆心()a ，a 到原点的距离为||2a ，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆()x －a 2＋()y －a 2＝8与圆x2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，∴r －r ′≤||2a ≤r ＋r ′，即1≤||a ≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[]－3，－1]∪[1，3，故选D.真题体验1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．答案相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝ 2. 又r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1，∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离是________．3C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y |AB |＝23，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 押题预测1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．答案 C解析由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sinπ3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( )A ．有最小值1＋2，无最大值B ．有最小值3＋22，无最大值C ．有最大值3＋22，无最小值D ．有最小值3－22，最大值3＋2 2押题依据直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大．答案 B解析由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn .由m ，n 为正实数可知，m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．故选B.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.1l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( ) a ＝3，所以直线l ：3x －y ＋1＝0 ，斜率k ＝若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.3．直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )A.23B.32 C ．－23 D ．－32答案 C解析设P (a,1) ，Q (b ，b －7) ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.4．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P ()1，2的直线与圆x 2＋y 2＝1相切，且与直线ax＋y －1＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．－43C ．0或43 D.43答案 C解析当a ＝0时，直线ax ＋y －1＝0，即直线y ＝1，此时过点P ()1，2且与直线y ＝1垂直的直线为x ＝1，而x ＝1与圆相切，满足题意，所以a ＝0成立；当a ≠0时，过点P ()1，2且与直线ax ＋y －1＝0垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为y －2＝1a()x －1，即x －ay＋2a －1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得||2a －1a 2＋1＝1，解得a ＝43.所以a ＝0或43.故选C.5．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －10y ＋25＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y ＋3＝0 C ．x ＋3y －1＝0 D ．3x －y ＋1＝0答案 A解析由题设可知，线段AB 的垂直平分线过两圆的圆心C 1(1,2)，C 2(－2,5)，由此可得kC 1C 2＝5－2－2－1＝－1，故由点斜式方程可得y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0，故选A. 6．(2017届唐山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的方程为y ＝k ()x ＋2，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 答案 B解析根据直线与圆的位置关系可知，若圆O: x 2＋y 2＝4k ()x ＋2的距离为1，则圆心()0，0到直线kx －y ＋2k ＝0的距离d ≤1，解得k 2≤13，即－33≤k ≤33，故选B.7．(2017·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]答案 C解析过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，MC ，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，只需∠AMC ≥45°，sin ∠AMC ＝10(5－1)2＋(t －4)2≥22，解得2≤t ≤6，故选C.8．(2017届上海市黄浦区模拟)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －1＝0，4x ＋ay －2＝0有无数多组解，则实数a ＝________. 答案 2解析当a ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，不合题意；当a ≠0时，由a 4＝1a ＝－1－2，解得a ＝2.综上可知，a ＝2.9．(2017届安徽省马鞍山市质检)已知A ()0，0，B ()2，－4，C ()4，2，线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是__________．答案 ()6，－2解析设D ()x ，y ，因为B ()2，－4，C ()4，2在圆周上且AD 是△ABC 外接圆的直径，所以k BA ·k BD ＝－1＝－42×－4－y 2－x ，k CA ·k CD ＝－1＝24×2－y 4－x，解得x ＝6，y ＝－2，所以点D 的坐标是()6，－2.10．以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆的方程是________________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．答案 x 2＋y 2＝2 相交解析由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程是x 2＋y 2＝2.因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2(0,1)，r 2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 2－r 1＝2－2，所以r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2，故两圆的位置关系是相交．11．(2017届四川省绵阳市诊断性考试)过定点M 的直线：kx －y ＋1－2k ＝0与圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9相切于点N ，则|MN |＝________.答案 4解析由直线kx －y ＋1－2k ＝0，即y －1＝k (x －2)，直线经过定点M (2,1)．又圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9，则圆心坐标为C (－1,5)，半径r ＝3，所以|MC |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5，所以|MN |＝|MC |2－r 2＝52－32＝4.12．设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l: x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________．答案 2π解析如图，设圆心坐标为C ()a ，b ，则⎩⎨⎧ r 2＝a 2＋1，r ＝2||b ⇒2b 2＝a 2＋1，所以圆心C ()a ，b 到直线x －2y ＝0的距离d ＝||a －2b 5，故d 2＝()a －2b 25＝15()a 2＋4b 2－4ab . 由于a 2＋b 2≥2ab ⇒－4ab ≥－2a 2－2b 2，故d 2＝15()a 2＋4b 2－4ab ≥15()2b 2－a 2＝15(当且仅当a ＝b 时取等号)，此时r 2＝a 2＋1＝2，故圆的面积S ＝πr 2＝2π.B 组能力提高13．(2017·广州市综合测试)已知三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析因为三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.，故选D. )－12＋()y －12＝1上任意一点P ()x ，y ，，y 无关，则实数a 的取值范围是() A C l 1: 3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表2: 5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2距离和与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.15．(2017届广西南宁模拟)过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．答案 728解析由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1.由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO |2＝a 2＋b 2.由|MN |＝|MO |，得a 2＋b 2－4a －4b ＋7＝a 2＋b 2，整理得4a ＋4b －7＝0.∴a ，b 满足的关系式为4a ＋4b －7＝0.求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a ＋4b －7＝0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得直线OM 垂直于直线4a ＋4b －7＝0，由点到直线的距离公式，得MN 的最小值为 ||742＋42＝7 2 8. 16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是______________．答案 [－2，2]解析由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，所以OA ⊥OB ，如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需∠BOD ≥90°，即∠COB ≥45°，连接CB ，∵CB ⊥OB ，由于C (－2，m )，|CO |＝m 2＋4，|CB |＝3，由sin ∠COB ＝|CB ||CO |＝3m 2＋4≥sin45°＝22，解得－2≤m ≤ 2.。

高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆课时作业-人教版高三全册数学试题

第1讲直线与圆限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1．(2020·某某二诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：C [由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.]2．(2020·某某质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：D [点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.] 3．(2020·某某模拟)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据两平行线间的距离公式得，|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.]4．(2020·某某六校联考)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．±1D ．±2解析：C [由OA →，OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，得OA →⊥OB →，因为直线x ＋y ＝a 的斜率是－1，所以A ，B 两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a ＝±1.]5．(2020·怀柔调研)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.]6．(2020·某某模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个实数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：D [当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1＞2，解得k ＞1或k ＜－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k ＜－1或1＜k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－1＋－1＋323＝3－33，故选D.]7．(2019·潍坊三模)已知O 为坐标原点，A ，B 是圆C ：x 2＋y 2－6y ＋5＝0上两个动点，且|AB |＝2，则|OA →＋OB →|的取值X 围是( )A ．[6－23，6＋23]B ．[3－3，3＋3]C ．[3,9]D ．[3,6]解析：A [圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，取弦AB 的中点M ，连接CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，|CA |＝2，|MA |＝1，则|CM |＝|CA |2－|MA |2＝3，则点M 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝3，则|OA →＋OB →|＝2|OM →|∈[6－23，6＋23]．]8．(多选题)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：AC [本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1,0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得AC 符合．故选AC.]9．(2020·某某质检)已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0,2)，B (－1,1)两点，且四边形C 1AC 2B 为平行四边形，则圆C 2的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝5 B ．(x －1)2＋y 2＝92C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝92解析：A [通解 (常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，连接AB ，C 1C 2.因为C 1(－2,3)，A (0,2)，B (－1,1)，所以|AC 1|＝|BC 1|＝5，所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形，所以C 1C 2⊥AB且|AC 2|＝ 5.可得⎩⎪⎨⎪⎧3－b －2－a ×1－2－1－0＝－1，a 2＋b －22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，则圆心C 2的坐标为(1,0)或(－2,3)(舍去)．因为圆C 2的半径为5，所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.优解 (特值验证法)由题意可知，平行四边形C 1AC 2B 为菱形，则|C 2A |＝|C 1A |＝22＋2－32＝5，即圆C 2的半径为5，排除B ，D ；将点A (0,2)代入选项A ，C ，显然选项A 符合．故选A.]10．(2020·某某二测)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [化圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)为标准方程得C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，其圆心为(a ，b )，故3a －b ＋3＝0，即b ＝3a ＋3，(a ，b )到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝|3a ＋b |3＋1＝|3a ＋b |2＝|3a ＋3a ＋3|2，因为圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，故d ＋1＝32|2a ＋1|＋1＝1＋3，得到|2a ＋1|＝2，解得a ＝－32或a ＝12(舍去)，故b ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝－32，故a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝3.选C.] 11．(2019·某某三模)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值X 围是( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析：C [当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝5－12＋t －42≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.] 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为___________________________________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×422－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 813．(2019·某某二模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为________________．解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴k ＋22k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.答案：x ＝0或3x ＋4y －12＝014．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a ＞0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a ＞0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a ＞0，所以a ＝102. 答案：10215．(2018·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：∵AB 为直径 ∴AD ⊥BD∴BD 即B 到直线l 的距离 |BD |＝|0－2×5|12＋22＝2 5. ∵|CD |＝|AC |＝|BC |＝r ，又CD ⊥AB . ∴|AB |＝2|BC |＝210 设A (a,2a ) |AB |＝a －52＋4a 2＝210⇒a ＝－1或3(－1舍去)答案：316．(2020·某某模拟)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A ，B ，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A ，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5 km ，且与C 村相距31 km 的地方．已知B 村在A 村的正东方向，相距3 km ，C 村在B 村的正北方向，相距3 3 km ，则垃圾处理站M 与B 村相距________km.解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,33)．由题意得垃圾处理站M 在以A (0,0)为圆心，5为半径的圆A 上，同时又在以C (3,33)为圆心，31为半径的圆C 上，两圆的方程分别为x 2＋y 2＝25和(x －3)2＋(y －33)2＝31.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25，x －32＋y －332＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝532，∴垃圾处理站M 的坐标为(5,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532，∴|MB |＝2或|MB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322＝7，即垃圾处理站M 与B 村相距2 km 或7 km. 答案：2或7。

2018年高考数学二轮复习 专题五解析几何第1讲直线与圆课时规范练(文科) Word版 含答案

2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)

(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习第一部分专题五第一讲直线与圆课件

高考数学(理)二轮 二轮课时专题专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 Word版含答案

二轮复习解析几何第1讲 直线与圆

2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题五 第一讲 直线与圆

15第一部分 板块二 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆(小题)

高考数学统考二轮复习 第二部分 专题5 解析几何 第1讲 直线与圆(教师用书)教案 理