青岛版九年级4.5根的判别式导学案

4.5一元二次方程根的判别式

学习目标：

了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断一个一元二次方程根的情况。

能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。

在对求根公式讨论时能知道应用分类讨论。

重点：能用一元二次方程根的判别式判断一个一元二次方程根的情况。

难点：理解为什么能根据根的判别式判断一个一元二次方程根的情况。

预习案

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）经过配方可变形为：；

∵a≠0,∴4a2, ∴当b2-4ac>0时，是数，当b2-4ac=0时，是，当b2-4ac<0时，是数。

可以得出：（1）当b2-4ac > 0时，方程；

x1= ,x2= .（2）当b2-4ac = 0时,则，这时方程，

x1= x2= 。

（3）当b2-4ac < 0时，而不可能是，所以方程。

思考：上述结论反过来成立吗？小组交流。

结论：根据上面的分析，我们把b2-4ac叫做一元二次方程；用希腊字母“Δ”表示。即Δ=b2-4ac

探究案

【例】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－）=0．

（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）如果等腰△ABC有一边长a=4，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

对标自查：你学了哪些知识？还有哪些不足？

达标检测：

（一）选择题

1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．

A．∵b2-4ac=-8，∴方程有实数根B．∵b2-4ac=-8，∴方程无实数根

C．∵b2-4ac=8，∴方程有实数根D．∵b2-4ac=8，∴方程无实数根

2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=0

3．在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若a、c异号，则方程（）

A、有两个不相等的实数根

B、有两个相等的实数根

C、无实数根

D、根的情况无法确定

（二）填空题

1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

3.方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．

4.若关于x的一元二次方程m x2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．

5.一元二次方程a x2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b-4ac是一个完全平方数，则方程必有____．

（三）综合提高题

1．不解方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2x2+11x+5=0 （2）y2- 4 y=-12

2、求证：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根。

3、方程（k-2）x2-(2k-1)x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

训练案

课本145页 2、3、4、5、

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