数学建模第一章作业(章绍辉)

( X1 X 2 X n ) n .
弱大数定律： 0 ，都有
n
lim Pr ( X1 X 2 X n ) n P 0 .
( X1 X 2 X n ) n P 1 . 强大数定律： Pr nlim
2 2 2 2 利用伸缩变换： x y 4 的横、纵坐标都是 x y 1的两
x2 2 2 2 倍， y 1 的横、纵坐标分别是 x y 1的两倍和一倍. 4
编写程序时运用好 MATLAB 函数 plot 的语法格式 2 （x 是向量， y 是矩阵） ，以及格式 4，使程序简洁. 使用命令 axis equal，才能绘得真正的圆. 程序： x=-1:.05:1; % 由40段折线连接成半圆周 y=sqrt(1-x.^2); plot(x,[y;-y],'k',2.*x,[y;-y;2.*y;-2.*y],'k') axis equal title('方法一（显函数）')
绘得的图形：
方法一（显函数） 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
评价：方法一绘得的图形在外切圆和椭圆的左右两端看 起来明显还是折线，而在其余地方看起来比较光滑，原因在
dy 外切圆和椭圆的左右两端，导数 趋于无穷大，所以，虽 dx
x
否则绘得的图像会在左边有一段与 x 轴重合. 程序： x=-3:.1:3; y=exp(x); plot(x,y,'k',y,x,'k',[-3,20],[-3,20],'k') axis equal axis([-3,20,-3,20]) grid xlabel('x') ylabel('y') title('y=e^x 和 y=ln x 的函数图像关于直线 y=x 对称')
x 轴上从 0 到 1 之间的直线段共同组成. 利用 axis 命令控制 坐标图的坐标范围是 [0,1] [0,1] ，使得坐标图的下边界恰好 是 x 轴上从 0 到 1 之间的直线段. 程序： n=input('分母的最大值 n = '); x=[]; y=[]; for q=2:n for p=1:q-1 if gcd(p,q)==1 x=[x,p./q]; y=[y,1./q]; end end end plot(x,y,'k.') axis([0,1,0,1]) xlabel('x') ylabel('y') s=strcat('分母的最大值 n = ',num2str(n)); gtext(s); title('第一章习题 1(3)，黎曼函数的图像')
方法二（参数方程） 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
评价：虽然半圆周由同样多的折线段连接而成，但是方 法二绘得的图形看起来处处一样光滑，事实上，方法二通过 等分圆心角来取得圆周上的采样点，并连结线段，所以绘得 的“圆形”实际上是正多边形.
绘得的图形：
y=ex 和 y=ln x 的 函 数 图 像 关 于 直 线 y=x 对 称 20 18 16 14 12 10
y
8 6 4 2 0 -2 0 5 x 10 15 20
(3) 黎曼函数
1 q , 当x p q (q 0)为既约分数且x (0,1) y 0 , 当x为无理数且x (0,1), 或者x 0,1

P7 Pj P7 Pj

196 495
所以打赌者赢的理论概率 P 为
1 196 251 P 0 1 0.50707 9 495 495
（四）收敛性分析 一次打赌相当于伯努利概型，记为随机变量 X，取值为 0（表示打赌者输）或 1（表示打赌者赢） ，则 X 的期望为 P， 方差为 P(1 P) . n 次打赌，即相互独立地重复试验 n 次，试验结果可记 作随机变量序列 X1 , X 2 , , X n ，则打赌者赢的频率为平均值
的图像（要求分母 q 的最大值由键盘输入）. 解答 输入的英文单词是 input， 通过在 MATLAB 帮助文档检 索 input 这个关键词，查到实现键盘输入的 MATLAB 函数 是 input，语法格式为： （1） user_entry = input('prompt') 输入项是一个字符
数组，input 将该字符数组显示在命令窗口，作为提示语，
0 P 11 P 3
2 2 1 36 36 9
当第 1 次掷出的点数之和是 4，5，6，8，9 或 10，继续 掷骰子，直到掷出的点数之和是 7 或原来的值为止，如果先 得到的点数之和是 7，则打赌者赢，利用条件概率，可算得 此情形打赌者赢的概率 1 为
1
j 4,5,6,8,9,10
第一章习题参考答案
1. 请编写绘制以下图形的 MATLAB 命令，并展示绘得 的图形.
x2 2 (1) x y 1、x y 4 分别是椭圆 y 1 的内切 4
2 2
2 2
圆和外切圆. 解答 方法一（显函数和伸缩变换）
x 2 y 2 1 的显函数形式为 y 1 x 2 (1 x 1) ，并
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等待用户从键盘输入数值数组并按回车键；input 将用户从 键盘输入的数值数组赋值给 user_entry 所代表的变量名. （2） user_entry = input('prompt', 's') 第二输入项是
规定的字符“'s'”，表示等待用户从键盘输入的是字符数组. 条件“ x p q 是既约分数，0<x<1，q>0”，即 p 和 q 是 正整数，p<q，p 和 q 的最大公约数等于 1. 例如： 当 q=2 时，有黎曼函数的图像的一个坐标点(1/2 , 1/2)； 当 q=3 时，有黎曼函数的图像的两个坐标点(1/3 , 1/3) 和(2/3 , 1/3)； 当 q=4 时，有黎曼函数的图像的两个坐标点(1/4 , 1/4) 和(3/4 , 1/4)，而 x=2/4 不是既约分数；…… 可见，在程序中应设置二重循环语句： 第一重（外重）是分母 q 从 2 到由键盘输入的最大值的 循环，步长为 1； 第二重（内重）是分子 p 从 1 到 q-1 的循环，步长为 1， 如果 p 和 q 的最大公约数等于 1，就把 p/q 和 1/q 分别添加 入横坐标数组 x 和纵坐标数组 y. 注意 x 和 y 需要在循环语句之前说明为空数组. 当 x 为有理数（0<x<1）时，黎曼函数的图像是离散的 点集；当 x 为无理数（0<x<1）或 x=0 和 1 时，黎曼函数的 图像是 x 轴上的 0 到 1 之间的稠密点集，看起来就是 x 轴上 从 0 到 1 之间的直线段. 因此，图像应该由很多离散点以及
P2 P 12
1 2 3 P P P P ， 3 11 ， 4 10 ， 36 36 36
P5 P9
5 4 6 P P P ， 6 ， 7 . 8 36 36 36
玩双骰子游戏，第 1 次掷出的点数之和为 3 或 11，则打 赌者赢，可算得此情形打赌者赢的的概率 0 为
然 x 的步长是固定的，但是在左右两端，y 会比别处有更显 著的变化. 当然，如果令 x 的步长更小，例如 x=-1:.01:1，绘 得的图形将会看起来更光滑一些. 方法二（参数方程和伸缩变换）
x 2 y 2 1的参数方程为 x cos t , y sin t (0 t 2 ) ，
（二）MATLAB 程序 n=10000; k=0; for i=1:n x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x ==3|x==11 k=k+1; elseif x~=2&x~=7&x~=12 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y~=x&y~=7 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y==7 k=k+1; end end end p=k/n 注 &与&&，|与||分别是短运算符与长运算符，功能有 区别，但在上面的程序中效果一样。 （三）理论计算 每个骰子的点数有 6 种结果：1，2，3，4，5，6. 掷两 个骰子， 掷出的点数组合 ( x, y) 共有 6× 6＝36 种结果. 定义 Pi 是点数之和 x y i (i 2,3, ,12) 的概率，则
(2) 指数函数 y e 和对数函数 y ln x 的图像关于直线
x
y=x 对称. 解答
x 指 数 函 数 y e 和 对 数 函 数 y ln x 互 为 反 函 数 ， 在
MATLAB 函数 plot 的输入当中交换 x 和 y 的次序，就实现 反函数，而且图像就是关于直线 y=x 对称. 根据两点确定一条直线的原理，绘制直线段只需给出两 端点的坐标. 使用命令 axis equal，才能绘得真正的对称图形，加上 坐标网格，能增强对称效果. 指数函数 y e 的自变量 x 的取值区间的左端不能太小，
y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌 掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次 掷出 3 或 11 点，打赌者赢；如果第一次掷出 2、7 或 12 点， 打赌者输；如果第一次掷出 4,5,6,8,9 或 10 点，记住这个点 数， 继续掷骰子， 如果不能在掷出 7 点之前再次掷出该点数， 则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估 计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概 率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？ 解答 （一）算法 输入 模拟试验的次数 n； 输出 打赌者赢的概率 p. 第 1 步 初始化计数器 k=0； 第 2 步 对 i=1,2,…,n，循环进行第 3～7 步； 第 3 步 产生两个在 1～6 这 6 个整数中机会均等地取 值的随机数， 并把这两个随机数之和赋值给 x； 第 4 步 如果 x 是 3 或 11，那么 k 加 1，进入下一步循 环；否则，做第 5 步； 第 5 步 如果 x 不是 2、7 和 12，那么做第 6～8 步；否 则，直接进入下一步循环； 第 6 步 产生两个在 1～6 这 6 个整数中机会均等地取 值的随机数， 并把这两个随机数之和赋值给 y； 第 7 步 如果 y 不等于 x，也不等于 7，重复第 6 步所 做的； 第 8 步 如果 y 等于 7，那么 k 加 1，进入下一步循环； 否则，直接进入下一步循环； 第 9 步 计算概率 p=k./n .
关于伸缩变化和MATLAB函数plot的语法的讨论与方法一 相同. 特意选取参数t的步长， 使得半圆周仍然由40段折线连
接而成，如同方法一一样. 程序： t=linspace(0,2*pi,81); % 由40段折线连接成半圆周 x=cos(t); y=sin(t); plot(x,y,'k',2.*x,[y;2.*y],'k') axis equal title('方法二（参数方程）') 绘得的图形：
当分母的最大值 n=30 时绘得的图形：
黎曼函数的图像 1 0.9 分 母 的 最 大 值 n =30 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
当分母的最大值 n=100 时绘得的图形：
黎曼函数的图像 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 分 母 的 最 大 值 n =100
中心极限定理：当 n 时，随机变量


X 1 X 2 X n nP nP(1 P)
的分布趋向于标准正态分布 （也就是说， 当 n 充分大的时候， 随机变量 ( X1 X 2 X n ) n 的分布近似于均值为 P、方差 为 P(1 P) n 的正态分布）. 用循环语句实现以下计算：考虑试验次数 n=100、400、