具有脉冲控制的Ivlev型捕食系统的动态行为

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捕食者-食饵系统中的功能性反应简介-精选资料

捕食者-食饵系统中的功能性反应简介、引言生态学是研究有机体与其周围环境相互关系的科学。

随着人类社会的物质文明及科学技术发展到新的高峰, 同时, 人类活动对于地球和生物圈的负影响也上升到新的高度, 并已威胁到持续发展, 甚至于人类自身的生存。

生物多样性的丧失, 气候变暖, 生物入侵等都对整个地球生物圈产生了根本的影响。

因此, 人与自然必须协调发展的思想和发展经济必须保护自然环境和生物多样性同步的观点, 已经被人们广为接受。

而生物数学作为生态学重要组成部分, 引起了各国学者的广泛重视。

生物数学在很早就已经开始萌芽, 如著名的Malthus 和Logistic 人口增长模型:在这里,x(t)表示人口的数量,r和K分别代表人口的内禀增长率和最大环境容纳量。

1900 年, 意大利著名数学家V.Volterra 在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的成就”的演讲, 标志着生物数学发展到一个里程碑。

特别是在1926 年, Volterra 发表了解释Finme 港鱼群变化规律的著名论文, 使生物数学的发展一度达到高潮。

最近30 年, 生物数学呈现一派欣欣向荣的局面, 它所建立的模型和方法, 不仅直接推动着生态学的发展, 对自然科学的其他领域, 也产生着重要的影响。

我们主要介绍生态学及生物数学的一个重要组成部分――种间关系中捕食者- 食饵系统的功能性反应。

种群是在同一时期内占有一定空间的同种生物个体的集合。

长期以来, 种群之间的相互关系( 简称种间关系) 包括竞争, 捕食, 互利共生等, 是构成生物群落的基础, 并一直影响着种群的持续生存与灭绝。

其中, 捕食已经被证明是构成生物群落的一种主要的力量, 而功能性反应是各物种发生捕食作用的基石, 更是数学建模的主要手段。

因此对它进行详细的总结和论述具有及其重要的意义。

二、功能性反应及在捕食者- 食饵系统中的应用功能性反应定义为在单位时间内一个捕食者杀死食饵的数量, 描述了在不同营养等级之间的生物转移量。

具有阶段结构及捕食者具有脉冲扰动的Beddington—DeAngelis食饵-捕食者模型

常数。ａ和Ｓｒａ在文献［］中讨论了如下模型Ｄｓａｋｒ２
『（）＝ｒ（）１一（）ｋ￡ｘｔ（ｔ／）一ａ（）（）（（），ＮｔＹｔ／ｂ＋ｔ）Ｌ￡：ａｃｔｒｙｔ）（（ —ｒ）＋ｄ（）１一ｔ／）一ｃｔｙ（）３一．（ — ／ｂ＋ｔ）（）ｙ（（）ｋｙ（），、，
文章编号：０６— ４４２１）１０００１００６（０００ — ０５— ７
具有阶段结构及捕食者具有脉冲扰动的Ｂｄｉｇｏｅｄｎｔｎ—ＤＡｇｌ食饵一捕食者模型ｅｎｅｉｓ
熊佐亮，王娓，武丽凤
此模型的生物意义可见文献［］结合以上两个模型，虑到种群具有阶段结构的特征，捕食者浓度并不２。考且
一
定随着食饵浓度的增大而增大，是有些食饵浓度增大到一定值时它会释放一种毒素抑制捕食者种群的而
由于（．）的第二和第三个方程不含（）所以我们可以把（．）简化成如下的脉冲时滞微分方程１３ｔ，１３
ｒ（）＝ｒ２ｔｅ２ｔＩ２ｔ（）（（ — ）～（）３ｔ／１＋ａ２ｆ３）ｘ（）＋（）一ｄ（）一ｄｘ，３２ｔ４１
论结果的正确性．所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据。
关键词：食饵一捕食者模型；冲扰动；局吸引；脉全一致持久
中图分类号：１５１０７．文献标志码：Ａ

Holling-iv型功能反应函数的脉冲捕食系统定性分析

关键词：Ｈｏｌｌｉｎｇ —ｉｖ型；脉冲；稳定性；持久性中图分类号：ＴＢ文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２ — ３１９８（２Ｏｌ３）Ｏ６一Ｏ１７６一Ｏ３
Ｖｏ＝｛ｙ：Ｒ＋ ×ＲａＲ＋，在（丁，（＋１）Ｔ］ × 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域非负整数集，上连续，且ｌｉｍ（￡，）一Ｖ（Ｔ＋，）存在）。的实际问题中普遍存在，其数学模型往往可归结为滕神微Ｒ
（南京航空航天大学理学院，江苏南京２究了功能反映函数为Ｈｏｌｌｉｎｇ —ｉｖ型的捕食一食饵系统，对其在脉冲状态下。利用脉冲微分方程的比较原理、Ｆｌｏｑｔｌｅｔ定理等，分析了该系统的解的穗定性与系统的持久性，得到了系统稳定性与持久性的条件。
＾．．０， ‘
泛函分析的理论，证明此系统周期解的存在性；等等。本文主要针对系统（１），研究在脉冲状态下平衡点的稳
Ｘ（Ｏ＋）＞Ｏ，则Ｘ（￡）＞０，对所有的￡ ≥Ｏ。
定性与系统的持久性：
１预备知识为单调不减的。如果ｒ（ｆ）是下面纯量脉冲微分系统：记Ｒ＋＝［０，ｏｏ），Ｒ＝｛ｚ ∈Ｒ。： ≥０），Ｏ－ｉｎｔＲ￣－，Ｎ为
其中函数ｇ：Ｒ＋×ＲａＲ＋满足条件（Ｈ），：Ｒ＋ａＲ＋

具Holling-IV功能反应捕食系统的平衡点分析

Ｅｑｕｉｌｉｂｒａａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｐｒｅｙ－ｐｒｅｄａｔｏｒｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈＨｏｌｌｉｎｇ－ＩＶｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅ
ＣＨＥＮＪｉａｎｇ．ｂｉｎ
陈江彬
（福州大学至诚学院，福建福州３５０００２）
摘要：２０１０年已研究了系统ｄｘ（１
一
－
一：
）一
，
＝（
一Ｄ）
正解的有界性，正平衡点不稳定时系统至少存在一个稳定极限环，以及利用Ｈｏｐｆ分支理论讨论了系统至少存在两
ｄｘ
（１
一
－ —ｋ２ｘ２）一
，ｄ＝ｙ（ｔ
一Ｄ），
，
ａｎｄｈａｓｇｏｔｔｅｎｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｒｅａｌｌｂｏｕｎｄｅｄ
ｓｔｕｄｉｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｏｌｌｉｎｇ・ＩＶｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｒｅｙ — ｐｒｅｄａｔｏｒ；ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｐｏｉｎｔ
在种群动力系统中，具Ｈｏｌｌｉｎｇ功能反应函数的捕食模型具有重要的地位，已经有相当多的学者对此进行了大量的研究，如文献［１—８］．其中，文献［１—４］对具有ＨｏＩｌｉｎｇ — ＩＶ功能反应函数的捕食系统进行研究，得到很好的结果；本文是继续文献［１］的研究考虑具Ｈｏｌｌｉｎｇ．ＩＶ功能反应函数的食饵一捕食者系Ｚｈｉｅｈｅｎｇ，ＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｎｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００２，Ｃｈｉｎａ）

一类具季节性时变参数和脉冲控制的捕食-被捕食系统的动力学

实际因素对系统状态带来的瞬间突变影响，因此提出的模型更符合实际意义，研究结果更有应用价值 …。
现有的脉冲控制的捕食一捕食模型大多基于特定的功能反应，Ｈｌｎ、ｅｅａｉｄＨｌｎ、ｖｖ型被如ｏｌｇ型ｇｎｒｌｅｏｉｇ型Ｉｌｉｚｌｅ和Ｂｄｉｇｎ— ｅｎｅｓｅｄｎｔＤＡｇｌ型等，类模型已经得到了学者们的深入研究ｏｉ此
第３４卷第６期
２１００年１２月
南昌大学学报（科版）理
ＪｕｎＮｎｈｎｎｖｒｉ（ａｒｌｃｎｅｏｒａｌａｅａｇＵｉｅｓｙＮｔａＳｉｃ）ｔｕｅ
Ｖｏ．４Ｎｏ．１３６Ｄｅ．０１ｃ２０
文章编号：０６— ４４２１）６— ５５— ９１００６（００００４０
一
类具季节性时变参数和脉冲控制的捕食一被捕食系统的动力学
刘华祥 ‘曾广洪，
５４８；．２０８２江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３０２）３０２
（．１广东海洋大学数学系，东湛江广摘
要：研究一类脉冲控制的微分动力系统，该系统基于具有一般功能反应和季节性影响的捕食一被捕食系统，并
性影响的较少，多属二维系统。且
。但这类研究中，考虑具季节
文［１考虑了无季节性影响具Ｂｄｉｇｎ—ＤＡｇｌ功能反应的一个捕食者和两个被捕食者系统，１］ｅｄｎｔｏｅｎｅｓｉ并研究了该系统的动力学性质［２；１］考虑了无季节性影响的具Ｈｌｎ功能反应的一个捕食者和两个被捕食ｏｉｇＩｌＩ者系统，究了该系统的动力学性质。文［３并研１］基于Ｂｄｉｇｎ—ＤＡｇｌ型功能反应考虑了一个具季节ｅｄｎｔｏｅｎｅｉｓ性影响和脉冲控制的捕食一捕食系统，有两个被捕食者种群和一个捕食者种群，究了该系统的被捕被它并研食者绝灭周期解的稳定性及系统的持久性。鉴于这类系统对研究农业生产中包括生物防治和化学防治在内的虫害综合防治过程或其他生物资源开发过程的重要性，我们将该模型中的Ｂｄｉｇｎ—ＤＡｇｌ功能反ｅｄｎｔｏｅｎｅｓｉ

双密度制约的Holling Ⅳ型捕食系统的定性分析

刘伟华，李冬梅，姚婷婷
（尔滨理工大学）哈
【摘要】研究一类具有Ｈｌｇｏｉ Ⅳ型双密度制约的捕食系统，ｌｎ并分析该系统平衡点的性态，到了唯一正平衡点的全局稳定性和极限环存在唯一性的充分条件．得
关键词：ｏｉ Ⅳ功能函数；ＨＵｎｇ平衡点；全局稳定性；限环极
功能性反应函数 ຫໍສະໝຸດ 捕食系统，仅有较强的生物不
对系统（）作如下基本假设：１（）在Ｋ＞０使得ｇＫＨ。存，（）＝０ｇＯ，（）＞０；
当０＜ ≤ Ｋ时，）＜０ｇ（．考虑到系统（）的生态意义，在１仅
，
￣一ａ／４ｄｓ
２ｄ ’
８４￣一ａ／４ｄ－８
一２ｄ
一
由曲线２，ｆ的性质及式（）易知，统（）２系１
有平凡平衡点０（０，，）而正平衡点存在０，）（Ｏ，
情况有三种可能：正平衡点、唯一的正平衡无有点、有两个或两个以上正平衡点．
｝黑龙江省自然基金资助项目（２００）Ａ０５２
第６期
双密度制约的Ｈ】ｎ Ⅳ型捕食系统的定性分析０ｉｌｇ
９
由（）知，Ｈ，当＝０时，＝ａ（）＞０当ｙｇＯ；Ｙ＝０时，＝／因此曲线Ｚ，２从正Ｙ轴上点（，ｇＯ）续移动到正轴上一个点（０．０ａ（）连Ｋ，）

一类具有Ⅳ类功能反应的捕食者-食饵系统的极限环和全局稳定性

Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｔｐ Ⅳ ｆｎｔｎｌｅｐｎｅｒｄｔｒ— ｐｅｓｓｅｗａｓｕｉｄｙｅｕｃｉａｒｓｏｓｐｅａｏｏｒｙｙｔｍｓｔｄｅ．Ｔｈｅｉｔｎｅｏｌｂｌｌｔｃｃｅｗａｅｘｓｅｃｆｇｏａｉｙｌｓｍｉ
ＷｉｈＩｎｔｏａｓｏｓｔＶＦｕｃｉｎｌＲｅｐｎｅ
ＺＡＮＧｉｏ，ＩＨＪａＪＡＮＧＦｎ — ｌｅｇｉ
（ｃｏｌＪＳｉｎｅＬａｎｎｎｖｒｉｆＰｔｌｍ＆ＣｅａｅｈｏｏｙＳｈｏｏｃｅｃ．ｉｏｉｇＵｉｓｙｏｅｒｅｅｔｏｕｈｍｌｃｎｌｇＴ
文章编号：６２９２２０）１０８ —０１７ —６５（０８０ — ０６３
一
类具有 Ⅳ类功能反应的捕食者一食饵系统的极限环和全局稳定性
张娇，姜凤利
（辽宁石油化工大学理学院，宁抚顺１３０）辽１０１
ｇｉｎ．ｖｅ
Ｋｅｒ：Ｐｒｄａｏｒｐｒｙｓｔｍ；ＥｑｕｌｂｒｕｍｏｎｔＬｉｉｃｃｅｙｗｏｄｓｅｔ－ｅｙｓｅｉｉｉｐｉ；ｍｔｙｌ
Ｃｏｒｓｏｄｎｕｈｒｒｅｐｎｉｇａｔｏ．Ｔｅ．＋８ —４３８３５；ｆｘ＋８ —４３８０６１：６１ —６６３２ａ：６１ —６６７６；ｅｍａｌｚａｇｉｏｅ１３ｃｒ－ｉｈｎｊｆ＠６．ｏ：ａｎ

具有脉冲和Holling Ⅳ类功能反应的三维捕食系统

证明（）ｉ记（，，）Ｌｇｔ方程Ｘ＝（Ｒ满足（ｏ的解，ｔｔ为ｏｉｉｏｓｃＳ— Ｘ）ｔ）＝由于ＰＩＯ有Ｉ＞ＳＲ，＞，Ｖ／Ｉ
即（，，在ｔｔ时单调不增，ｔ。ｔ）＞。ｔ且可计算得（＋），，）。下面采用数学归纳法证明：ｔ１Ｐ（０＝当 ∈
１持续生存性
定义１如果存在正的常数，和使得系统（）Ｊ１的任何正解（（）（）（）满足：ｔ，。ｔ，，ｔ）
≤ ｌｆ（）ｌｕｘ（），＝１２３ｉｉｘ ≤ ｉｓｐ ≤ ａｒｎａｒｉ，，，
），Ｏｍ）；妻则＜（≤ ｔ
（若ｅ（一＜≤，Ｏ）∞ （Ｄ），ｒｔ ∞ ０ｉｘ一１Ｐ０（＝１ｉｐ））ｍ＋素则（≥ ＞；ｅ）
（ｉ若ＰＩＯ对方程（）ｉ）ｉ＞，４的任意正解ｍ（）＞０和＞，ＴＯ：ｔＴ有ｍ（）＋０Ｉ当１，＞＞ｔ≤ 。
ＡｂｔａｔＡｔｒｅｓｅｉｓｐｅａｏ—ｒｙｓｓｅｗｉｍｐｌｅａｄＨｏｌｇ１ｕｃｉｎｌｒｓｏｓｓｄｓｕｓｄＴｅｐｒｉ・ｓｒｃｈｅ —ｐｃｅｒｄｔｒｐｅｙｔｍｔｉｕｓｎｌｎＶｆｎｔａｅｐｎｅｉｉｓｅ．ｈｅｓｓｈｉｏｃｔ
因此，文建立了在固定时刻具有脉冲效应和Ｈｌｎ类功能反应的三维捕食系统，式（）研究本ｏｉｇＩｌＶ见１，
了该系统的相关动力学性质，给出了保持这些性质时脉冲项应满足的界限。并

带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的四个正周期解

带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的四个正周期解吕小俊;谢海平;吕鹏辉【摘要】通过使用一般连续定理和一些微积分技巧,研究带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的动力学特征,并获得该时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统存在四个正周期解的充分条件.最后,给出一个例子去验证结论的有效性.由时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统多解性的研究过程可知,收获项会影响食饵-捕食系统的多个正周期规则.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(045)004【总页数】9页(P396-404)【关键词】时滞;脉冲;食饵-捕食系统;Crowly-Martin;四个正周期解【作者】吕小俊;谢海平;吕鹏辉【作者单位】云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199;云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199;云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199【正文语种】中文【中图分类】O1751 引言在自然界中，捕食行为是很普遍的生物现象，所以利用食饵-捕食系统去描述生物种群的特征是有意义的.食饵-捕食系统由Lotka 和Volterra 在1926 年第一次提出，由于种群保护、维持生态平衡和种群管理等都依赖于食饵-捕食系统的动力学特征，所以研究食饵-捕食系统的动力学特征已成为一个新的热点，并得到很多优秀的结论[1-3，10-15].在传统Lotka-Volterra 模型中，生物学家发现捕食率不仅只依赖于食饵和捕食者种群密度的乘积，最终由Holling 提出功能反应函数的概念，功能反应函数反映捕食者在单位时间内捕食食饵的数量.并逐步提出各种类型的功能反应函数，例如Holling 型、Beddington-DeAngelis 型、Hassell-Varley 型和Crowly-Martin 型等.近年来，诸多学者已研究了带有功能反应函数的食饵-捕食系统的周期解、概周期解、多解和稳定性等问题[3-4，9-11].另外，生物种群在自然界中受到地震、洪水、干旱和人类干扰等突发因素的影响，从而影响生物种群的动力学特征.在生物数学中，人们利用脉冲来描述这类突发干扰，故脉冲生态系统倍受众多学者的关注，并得到很多优秀的成果(见文献[3，6，7，10]).在文献[3]中，作者利用积分中值定理和李亚普诺夫函数研究了以下带有脉冲和时滞的食饵-捕食系统(1)的概周期解，并得到该系统存在唯一稳定概周期解的充分条件.同时，随着人类经济社会的高速发展，生物资源的开发和对种群数量的定期收获已被广泛应用于渔业和野生动物管理中，因此，在食饵捕食系统中增加收获项是有必要的.且收获项会影响生物种群的多个周期和概周期现象(见文献[5-6，9]).据作者所知，至今很少有人研究带有脉冲和收获项的Crowly-Martin 型食饵-捕食系统的多解性问题.受以上启发，在本文中，利用一般连续定理和一些微积分技巧，研究脉冲影响的时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(2)的多解性.这里:x(t)和y(t)分别表示t 时刻捕食者和食饵的种群密度，ri(t)表示内部增长率，di(t)表示相互的种群密度阻力，hi(t)＞0 表示收获速率，i=1，2. τj1 (t)(j1=1，2，3，4)表示非负变时滞函数，{ tk}k∈N+是一个严格递增的序列存在d2k.2 预备知识介绍一些基本概念和引理:引理1[8](一般连续定理)若X 和Z 均为Banach 空间，L:DomL⊂X→Z 是一个零指标的Fredholm 算子，N:，(x，λ)→N(x，λ)是一个L-压缩算子，连续映射P:X→X 和Q:Z→Z 满足:ImP=Ker L，ImL=Ker Q=Im(I-Q)，J:ImQ→Ker L 是一个同构映射.(a)对于任意λ∈(0，1)，x∈∂Ω∩DomL，有Lx≠λN(x，λ)；(b)对于任意x∈∂Ω∩KerL，有QN(x，0)≠0；(c)则对于任意的λ∈[0，1)，方程Lx=λN(x，λ)在集合Ω 上至少存在一个解，方程Lx=N(x，1)在Ω上至少存在一个解.这里:引理2 对于系统(2)和(3)，以下结论成立:1)如果(N1(t)，N2(t))T 是系统(3)的一个解，则是系统(2)的一个解.2)如果(x(t)，y(t))T 是系统(2)的一个解，则是系统(3)的一个解.证明:该定理的证明过程和参考文献[6]中引理3 类似，故在此不再重复.为了方便，介绍一些概念:这里f 是一个连续的ω 周期函数.为了分析脉冲时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(2)的多解性问题，需作如下假设:(H1)ri(t)，di(t)，hi(t)，ci(t)，α(t)，β(t)，τj1(t)(i=1，2，j1=1，2，3，4)均为有界非负的ω 周期函数，dj2k ＞-1(j2=1，2，k∈N+).引理3 对于等式，如果条件(H2)和(H3)成立，则以下的不等式成立.这里证明:该引理的证明过程和参考文献[5]中的引理2 类似，故在此不再重复.3 主要结论定理1 如果条件 (H1 )- (H3 )成立，则系统(2)至少存在四个ω-正周期解.证明:由指数变换N1(t)=eu(t)，N2(t)=ev(t)，重新改写系统(3)为:构造集合定义范数，显然，集合X 和Z 是赋予范数‖·‖的Banach 空间.令分析可知:KerL=R2，ImL是集合Z 上的闭子集，dimKer L=co dimIm L=2，则L 是一个零指标的Fredholm 算子.L 的广义逆算子这里:所以这里，显然，算子QN 和Kp(I-Q)N 是连续的，对于任意的有界开集Ω⊂X，和是相对压缩的，N 是集合上L-压缩的.接下来，考虑Lu=λN(u，λ)，即假设u=(u，v)T∈X 是系统Lu=λN(u，λ)的一个ω-正周期解，其中λ∈(0，1)，则存在ξi，ηi∈[0，ω]，满足:首先，对方程Lu=λN(u，λ)左右两边均从0 到ω 积分，可得:由(5)式的第一个等式可得:从而，由于，因此，结合不等式(6)和(7)，可得:故，又因为因此，∀t∈[0，ω]，有同理，由等式(5)的第二个式子，可得:从而即由于，因此，再次，由等式(5)的第二个式子，可得:所以即又因为，∀t∈[0，ω]，有由不等式(9)和(10)，∀t∈[0，ω]，有进一步，分析等式(5)的第一个式子，可得:由和不等式(12)，可得:从而，获得或当时，由条件 (H2 )，不难验证.故或同理，进一步，分析等式(5)的第二个式子，可得:因此，由不等式(9)和(13)，可得:进一步，可得:当时，由条件 (H3 )，不难验证.故或现构造四个不同的有界开区域Ωi⊂X(i=1，2，3，4).显然，，Ωi ( i= 1，2，3，4)满足引理1 中(a)的条件.接下来，验证引理1 中(b)的条件成立.利用反证法，假设当u=(u，v)T∈∂Ωi∩R2(i=1，2，3，4)时，QN(u，0)=0 成立，即常向量u=(u，v)T∈∂Ωi∩R2 满足:由引理3 可知lnl1- ＜u-＜lnk1-，这与u=(u，v)T∈∂Ωi 矛盾，故QN(u，0)≠0.因此，引理1 中(b)的条件成立.最后，验证引理1 中(c)的条件成立.接下来，考虑系统(14)的四个不同的解:(u1，v1)=(u+，v+)，(， =(u-，v-)，() =(u+，v-)，这里u± =v± = =容易验证:由于KerL=ImQ，令J=I，由Leray-Schauder 度的定义可得:∀i=1，2，3，4，有因此，引理1 中条件(c)成立.综上分析可知，系统(3)至少存在四个不同的ω-正周期解.结合引理2，进一步获得脉冲时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(2)至少存在四个不同的ω-正周期解.证毕.推论1 如果条件(和(成立，则带有脉冲的时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(1)至少存在一个正ω-周期解.其中()ri(t)，di(t)，ci(t)，α(t)，β(t)，τj1(t)(i=1，2，j1=1，2，3，4)均为有界非负的ω 周期函数，＞-1(j2=1，2，k∈N+).说明:当h1(t)=h2(t)=0 时，利用定理1 的证明方法，只能找到一个有效的有界开区域Ω，无法找到4 个不同的有界开区域Ωi(i=1，2，3，4)，故并不能得到系统(1)存在四个不同的正周期解.因此，收获项会影响脉冲时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(1)的多个正周期规则.推论2 如果条件()，(H2)和(H3)成立，则带有脉冲和收获项的Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(4)至少存在四个不同的正ω-周期解.其中:()ri(t)，di(t)，hi(t)，ci(t)，α(t)，β(t)(i=1，2)均为有界非负的ω 周期函数，dj2k ＞-1(j2=1，2，k∈N+).说明:由定理1 的证明过程可知，时滞项τj1(t)(j1=1，2，3，4)不影响系统(2)的多个正周期规则.因此，系统(4)也至少存在四个不同的正ω-周期解.4 例子例1 分析时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(3)存在多个正周期解.其中，解：利用MATLAB 软件计算可得:因此，条件 ( H2)和 ( H3)成立，由定理1 可知，系统(3)存在四个不同的正周期解，周期为4.由引理2 可知，脉冲影响的时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(1)也存在四个不同的正周期解.参考文献【相关文献】[1]ZHAO KAIHONG，LI YONGKUN. Four positive periodic solutions to two species parasitical system with harvesting terms[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，59(1):2703-2710.[2]LI YONGKUN，ZHAO KAIHONG，YUAN YE.Multiple positive periodic solutions of n species delay competition systems with harvesting terms[J]. Nonlinear Analysis:Real World Applications，2011，12(1):1013-1022.[3]TIAN BAODAN，ZHONG SHOUMING，CHEN NING. Existence and stability of a unique almost periodic solution for a prey-predator system with impulsive effects and multiple delays[J]. Advances in Difference Equations，2016，187(1):1-23.[4]ZHANG CUIMEI，CHEN WEN CHENG，YANG YU. Periodic Solutions and Global Asymptotic Stability of a Delayed Discrete Predator-Prey System withHolling II Type Functional Response[J]. Journal of Systems Science and Complexity，2006，19(4):449-460.[5]吕小俊，张天伟，赵凯宏. 研究带有收获项的延迟Lotka-Volterra型区域竞争系统八个正周期解的存在性[J]. 应用数学学报，2016，39(2):237-248.[6]吕小俊，李周红，赵凯宏.带有脉冲和收获项的一类非自治延迟浮游生物系统四个正概周期解的存在性[J]. 昆明理工大学学报(自然学科版)，2016，41(4):139-145.[7]吕小俊，周华君，谢海平.在时间尺度上研究带有脉冲的泄漏时滞细胞神经网络反周期解的动态特征[J]. 数学的实践与认识，2016，46(5):153-161.[8]ROBERT E. GAINES，MAWHIN JEAN L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations，Lecture Note in Mathematics[M].Berlin:Springer，1977.[9]吕小俊，李睿，周华君.Holling-III 型食饵捕食系统的四个正周期解[J]. 数学的实践与认识，2019，49(3):289-293.[10]CHEN XIAO，DU ZENGJI.Existence of positive periodic solutions for a neutral delay predator-prey model withhassell-varley type functional response and impulse[J]. Qualitative theory of dynamical systems，2018，17:67-80.[11]LU HONGYING，YU GANG.Permanence of a Gilpin-Ayala predator-prey system with time-dependent delay[J]. Advances in Difference Equations，2015，230:109-124.[12]LU HONGYING. Periodicity and stability of an impulsive nonlinear competition model with infinitely distributed delays and feedback controls[J].Advances in Difference Equations，2016，16:282-306.[13]JEHAD ALZABUT. Dynamics of almost periodic solutions for a discrete Fox harvesting model with feedback control[J]. Advances in Difference Equations，2012，157:1-15.[14]LI YONGKUN，WANG PAN. Permanence and almost periodic solution of a multispeciesLotka-Volterra mutualism system with time varying delays on time scales[J]. Advances in Difference Equations，2015，230:1-29.[15]LI LING，LI YONGKUN，YANG LI. Almost periodic solutions for neutral delay Hopfield neural networks with time-varying delays in the leakage term on time scales[J]. Advances in Difference Equations，2014，178:1-22.。

带脉冲的捕食者食饵系统

Dynamics of impulsive reaction–diffusion predator–prey system with Holling type III functional response q
Zijian Liu a,⇑, Shouming Zhong a,b, Chun Yin a, Wufan Chen c
Article history: Received 23 September 2010 Received in revised form 29 April 2011 Accepted 8 May 2011 Available online 17 May 2011 Keywords: Reaction–diffusion Holling type III functional response Predator–prey system Permanence Stability
5565
problem whose dynamics is described by a Holling type III functional response. They established global existence and uniqueness of the strong solution. Meanwhile, they proved that if the initial data are positive and satisfy a certain regularity condition, the solution of the problem is positive and bounded on the domain Q = (0, T) Â X and then they deduced the continuous dependence on the initial data. More researches on the reaction–diffusion population dynamics, please see [7–10]. There are many examples of evolutionary systems which at certain instants are subjected to rapid changes. In the simulations of such processes it is frequently convenient and valid to neglect the durations of rapid changes. The perturbations are often treated continuously. In fact, the ecological systems are often affected by environmental changes and other human activities. These perturbations bring sudden changes to the systems, which are referring to impulsive differential equations (see [11,12]). In the past twenty years they have attracted the interest of many researchers, since they provided a natural description of several real processes. Process of this type is often investigated in various ﬁelds of science and technology, physics, population dynamics [13,14], epidemics [15], ecology [16], biology, optimal control [17], and so on. Recently, some impulsive reaction–diffusion predator–prey models have been investigated. Especially, Akhmet et al. [18] presented an impulsive ratio-dependent predator–prey system with diffusion; meanwhile, they obtained some conditions for the permanence of the predator–prey system and for the existence of a unique globally stable periodic solution. Wang et al. [19] generalized the above impulsive ratio-dependent system to n + 1 species and got some analogous results. Motivated by the above works, we present and study the following impulsive reaction–diffusion predator–prey system with Holling type III functional response:

具有脉冲投放益虫生物控制害虫的捕食-食饵模型

第５０卷
２１０１年
第１期
１月
中山大学学报（自然科学版）
ＡＴＳＩＮＩＲＭＮＴＲＬＵＵＩＥＳＴＴＳＳＮＡＳＮＣＡＣＥＴＡＵＡＵＡＩＭＮＶＲＩＡＩＵＹＴＥＩ
ＶｏＮｏＬ５０．１
Байду номын сангаас
的经济危害水平（Ｉ）运行的情况下使天敌与害虫可以共存。得出的结论为害虫的生物治理提供了策略基础。ＥＬ
关键词：脉冲；阶段结构捕食模型；时滞；全局吸引性；害虫管理中图分类号：Ｏ７．４１５１文献标志码：Ａ文章编号：０２ — ５９（０１１０２ — ５５９６７２１）Ｏ — ０３０
ｔｅｄｓｒｔｙａｃｌｓｓｅｄｅｅｍｉｅｙｔｔｏｏｃｐｃｍａｈｉｃｅｅｄｎｍｉａｙｔｍｔｒｎｄｂｈｅｓｒｂｓｏｉｐ，ｗｅｏｔｉｈｅｅｉｔｎｅｏｓ— ｒｄ — ｂａｎｔｘｓｅｃｆｐｅｔｅａｉｃｔｏｅｉｄｃｏｕｉｎＡｎｓｏａｉｎｐｒｏｉｓｌｔｏ．ｄｈｗｔａｔｅｅｔｅａｉａｉｎｐｅｉｄｃｏｕｉｎｓｎｑｅｎｇｏａｌｈｔｈｐｓ－ｒｄｃｔｏｒｏｉｓｌｔｏｉｕｉｕａｄｌｂｌｙ
ｒｌａｉｇｒｔｒｉｕｓｖｅｉｄｆｒｎｔｒｌｅｍｙｉｔｎａｐｐｏｒａｅａｅ，ｔｅｐｅｔｐｐｕａｉｎｅｅｓｎａｅｏｍｐｌｉｅｐｒｏｏａｕａｎｅｓｗｉｎａｒｐｉｔｒｎｇｈｉｈｓｏｌｔｏ

有密度制约的Lotka_Volterra模型捕食-食饵系统同时捕获的最优化

其中（）Ｙｔ表示在ｔ刻种群和Ｙ的数ｔ，（）时量，，分别为种群和Ｙ的内禀增长率，示捕ｒｒｂ表获能力，，ｒ为正常数．此外本文约定用ＥＣｂｒ，均表示最优捕获努力量，表示最大纯收益，种群设
其中Ａ为正数．种捕获方式是用努力量Ｅ同这时去捕获种群和Ｙ的．以捕鱼业为例，网下去，一捕获种群的个数与种群Ｙ个数之比大致为Ａ，数Ａ参
反映了渔网的特性．努力量Ｅ的单位成本为设
ｉ似ｙｆ（一ｂ＝）
ｐＩ
ｏ咖ｅｅｂｈｒｓｄｒｍｉｆｄｓｅａｖｔｆｅｅａ
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（ｅｔｆａｅａｃ，ｎｄｎｎｅｉ，ｉｇｎ５０，ｈａＤｐｏＭｔｍｔｓＬｇｏｇＵｉｒｔＱｎｙｇ４００Ｃｉ）．ｈｉｏｖｓｙａ７ｎ
益．
当时ｃｒ一Ｅ（，）一ａｒ＋Ａ（２Ｅ）＞０时，系统（）２有
一 — — — 一
— — — — — — — — — —
求Ｒ（在［］的最大值．Ｅ）０，上
由实际意义有：
（）当１一从＋Ｄ＞０时，
●
（口，）和Ｐ（０，４三个非负平衡点．
Ⅱ
）．
① 若＋ｓ０时，ＭＥ￣Ｏ此时无最大纯收丽则ｙ，
和Ｙ的捕获物的销售单价分别为常数Ｐ和ｇ单位捕，

带恐惧因子的IVlev型捕食者-食饵交错扩散模型的时空斑图

带恐惧因子的IVlev型捕食者-食饵交错扩散模型的时空斑图带恐惧因子的IVlev型捕食者-食饵交错扩散模型的时空斑图概述:生态系统中存在着复杂的捕食关系，而捕食者-食饵交错扩散模型是研究食物链关系的重要工具。

该模型能够描述捕食者和食饵在空间和时间上的变化，帮助我们更好地理解生态系统的稳定性。

然而，以往的模型忽略了捕食者的恐惧因子对捕食行为的影响，这限制了我们对生态系统的深入理解。

本文旨在探究带恐惧因子的IVlev型捕食者-食饵交错扩散模型的时空斑图，以期揭示生态系统中捕食者行为的动态变化。

模型构建:捕食者-食饵交错扩散模型是基于扩散方程和R-L捕食模型构建的，其中R表示食饵的密度，L表示捕食者的密度。

传统的IVlev模型忽略了捕食者的恐惧因子，只考虑了食饵对捕食者密度的影响，但实际生态系统中，捕食者往往会受到恐惧因子的影响，从而改变其捕食行为。

为了更真实地模拟生态系统中的捕食行为，我们引入了恐惧因子。

恐惧因子的引入:恐惧因子是指捕食者对潜在威胁的反应，可以是外来的威胁，也可以是内部因素的作用。

在生态系统中，捕食者可能会感知到食饵的存在，从而产生恐惧响应，限制其捕食行为。

我们将恐惧因子表示为F，它仅在特定的恐惧阈值范围内起作用。

即当食饵密度超过恐惧阈值时，恐惧因子开始发挥作用。

时空斑图分析:通过数值模拟，我们生成了带恐惧因子的IVlev型捕食者-食饵交错扩散模型的时空斑图。

时间轴上，我们可以看到捕食者和食饵密度的变化情况。

空间上，我们观察到生态系统中不同区域的捕食者和食饵的分布情况。

进一步地，我们通过变化恐惧因子的数值来研究其对生态系统的影响。

恐惧因子的影响:在恐惧因子存在的情况下，模型中的捕食者会对食饵的存在做出反应。

当食饵的密度超过恐惧阈值时，捕食者的捕食率会下降，从而减少食饵的捕食死亡率。

这会导致食饵密度的上升，从而增加了食饵的竞争力和存活率。

同时，捕食者的聚集现象也会因恐惧因子而减弱，这有利于维持生态系统的稳定性。

具有Ivlev功能性反应的捕食系统的性态分析

社，９０１９
程组的计算。
ＡｐｌａｉｎｏｉｏｅａａｏｔｏｊｓｍｅｔｆｓｒａｏｑａｉｎｐｉｔｆＰｎｔＲｌｘｔｎＭｅｈｄｉＡｄｕｔｎｅｖｔｎＥｕｔｓｃｏｉｎｏＯｂｉｏ
ＺＨＡＮＧｎ — ｎＤｏｇｍｉｇ，ＬＣｕ－ｕＵｉｈａ，ＬｎＩＭｉｇ
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献［］２中例３７１和例３７２进行了验证，计算结－— －－其
果是一致的，程序可以用于条件平差和间接平差方
１张东明．点松弛法在间接平差中的应用．昆明冶金高等专科学
校学报．２０１（）１— １００；６２：２６２於宗俦，于正林．测量平差原理．武汉：武汉测绘科技大学出版
（ａｕｔｆｕｖｙｎｎａｐｎ，ＫｎｎｔｌｒｙＣｌｇ，ｕｍｎ５０３，．ＣｉａＦｃｌｏｒｅｉｇａｄＭｐｉｙＳｇｕｍｉｇＭｅｌｇｏｅｅＫｎｉｇ６０３ＰＲ．ｈｎ）ａｕｌ
［ｂｔａｔＭａｕｅｅｅｓｓｕｒｓｄｕｔｅｔｆｈｎｔｎｍｄｌｏｓｌｅｒｂｅ，ｖｎｕｌｄｃｄＡｓｃ］ｅｓｒｄｉｔａｔｑａｅｊｓｎｏｅｆｃｏｏｅｔｏｏｌｒｎｈｌａｍｔｕｉｖｐｍｓｅｅｔａｙｒｕｅｌｅ
、
一
故通过直线的轨线均从右穿向左侧。作直，伙，Ｊ有Ｌｓｓ－具ｅ—
，
ｙ
线Ｌ：Ｙ＝ｈＫ＋１，区域０＜＜Ｋ内，系统（）（）在沿１的轨线有

具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统永久持续生存性和周期解的存在性

具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统永久持续生存性和周期解的存在性Ⅳ类功能反应是指一种化学反应系统在维持自身稳定性的同时能够吸收外部物质并进行代谢，并且能够产生新的结构和功能。

离散非自治捕食系统是指由一组捕食者和被捕食者组成的生态系统，其中捕食者以捕食行为获取能量和养分，被捕食者则成为捕食者的食物。

离散非自治捕食系统的永久持续生存性是指系统在缺乏外部干扰的情况下能够长期存在并保持稳定的运行状态。

周期解的存在性是指系统在一定的时间间隔内能够呈现出重复的运动或行为模式。

以下是关于具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统永久持续生存性和周期解的存在性的讨论。

首先，离散非自治捕食系统的永久持续生存性可以通过以下机制得到保证。

捕食者通过捕食行为获取能量和养分，从而维持自身的生存和繁殖。

被捕食者数量的减少将导致捕食者数量的下降，进而导致被捕食者数量的增加。

当被捕食者数量增加时，捕食者数量又会相应增加。

在这种正反馈的作用下，捕食者和被捕食者可以互相影响，从而维持系统中捕食者和被捕食者的数量在一定范围内的动态平衡。

这种动态平衡状态可以使离散非自治捕食系统长期存在并保持稳定的运行状态。

其次，周期解的存在性可以通过捕食者和被捕食者之间的相互作用得到解释。

在离散非自治捕食系统中，捕食者数量的增加会导致被捕食者数量的减少，进而使得捕食者数量下降。

当捕食者数量减少到一定程度时，被捕食者的数量又会开始增加，从而使得捕食者数量重新开始上升。

这种捕食者和被捕食者数量之间的周期性波动可以使离散非自治捕食系统呈现出重复的运动或行为模式，即周期解。

周期解的存在性是离散非自治捕食系统稳定运行的一种重要特征，它反映了系统内部相互作用的动态平衡状态。

最后，可以通过数学模型来研究具有Ⅳ类功能反应的离散非自治捕食系统的永久持续生存性和周期解的存在性。

数学模型可以通过建立捕食者和被捕食者数量之间的差分方程来描述系统的动态变化。

通过数值模拟和解析分析可以得到系统存在永久持续生存性和周期解的条件和性质。

一类具有脉冲效应的食饵-捕食者模型研究

本科生毕业论文(设计)题目一类具有脉冲效应的食饵-捕食者模型研究姓名学号院系班级导师答辩时间目录摘要 (2)1 绪论 (3)1.1 研究背景 (3)1.2 研究意义 (3)1.3 研究目的 (4)2 脉冲发生在整周期的食饵-捕食者模型 (5)2.1 预备知识 (5)2.2 整周期脉冲 (6)3 脉冲发生在非整周期的食饵-捕食者模型 (7)3.1 预备知识 (9)3.2 非整周期脉冲 (10)4 结果分析 (11)5 结论 (14)参考文献 (15)一类具有脉冲效应的食饵-捕食者模型研究学生姓名指导教师：摘要：当前生物数学领域最为热点的问题之一就是害虫综合治理这一课题，伴随着生物数学越来越发展进步，研究者们对于害虫综合治理问题的解决方案和针对这一问题建立的模型也越来越接近生活实际，更能科学有效的完成课题目标。

最早只是简单的应用常微分系统，后来开始应用固定时刻的脉冲微分系统，到了今天，我们已经可以应用状态依赖的脉冲微分系统。

在这样的研究背景下，本文主要研究捕食者食饵模型。

利用脉冲微分方程理论，以一类具有脉冲效应的食饵对捕食者模型进行了研究，主要探究具有脉冲作用的捕食系统。

捕食者-食饵系统是非常重要的数学模型，本文正是以这一系统的研究，基于综合害虫管理，提出并研究了一类具有脉冲效应的捕食者系统和其食饵系统，利用脉冲微分方程的理论，得到了种群灭绝和持续生存的充分条件。

关键词：脉冲效应；食饵；捕食者模型1 绪论1.1 研究背景在现代化农业技术应用于生产的当代，农药的长期使用使得许多害虫都进化产生了抗药性，加之害虫出生率之高和气候适宜等一系列原因，虫害非常容易产生。

比如美国在2000年爆发的大豆蚜虫泛滥虫害和中国在2002年经历的多地蝗虫灾害，都造成了非常严重的经济损失。

因此，控制害虫的繁衍壮大是经济发展中一个迫切需要解决的问题，近年来由于将生物控制技术和化学控制方法相结合的IPM（综合害虫管理）日渐发展壮大，人们发现这是当前减小经济损失最为有效的手段之一。

具Ivlev功能反应函数的捕食者—食饵反应扩散系统的动力学性质

具Ivlev功能反应函数的捕食者—食饵反应扩散系统的动力学性质微分方程在力学、物理学、管理科学、经济学和生物学等许多实际问题中均具有广泛应用,本文主要研究微分方程在种群问题中的应用。

如果种群的生命较长,各个世代彼此重叠,如人和很多脊椎动物、多年生植物等,可以近似地认为其种群增长是连续的,可用微分方程来描述该种群的发展变化规律。

首先,生物经常从一地区转移到另一地区,这种地区之间的物种扩散,有利于各地生物群落的演替,丰富了每个地区物种的多样性。

其次,物种之间相互作用也会影响物种的数量,其中捕食者-食饵是常见的相互作用。

再次,任何物种都有成熟期,因此时滞对种群变化也起到重要的影响。

上述现象可用偏微分方程或泛函微分方程进行刻画,因此,偏(泛函)微分方程的动力学行为的研究是一个极其重要的研究课题。

在研究微分方程的解的定性理论中,分支问题是一个重要的方向,分支问题就是研究当参数(如种群的成熟期、环境容量或者捕食率等)变化经过某些临界值时,微分方程的解的定性结构和拓扑结构发生变化。

本文主要通过使用微分方程中心流形理论、规范型方法、Hopf分支和稳态分支定理、特征值分析、上下解方法,以及极值原理、比较原理等,对几类连续种群的偏(泛函)微分方程模型进行了深入的研究。

其主要的工作归纳如下:(1)对一类具有Ivlev型功能反应函数和Neumann 边值的捕食者-食饵模型,通过分析特征值的分布证明了平衡点的局部稳定性和空间齐次周期解以及空间非齐次周期解的存在性,以及稳态分支的存在性。

通过偏微分方程中心流形理论以及规范型方法分析了Hopf分支方向以及所分支出的周期解的稳定性。

(2)对一类具有Ivlev型功能反应函数和Neumann边值的捕食者-食饵模型,研究了时滞对系统的动力学行为的影响。

通过对特征方程的分析,讨论了非负平衡解的稳定性和Hopf分支的存在性。

并且应用规范型方法以及中心流形理论,讨论了Hopf分支周期解的稳定性和分支周期解的分支方向。

具有脉冲效应的周期三种群捕食-食饵系统

具有脉冲效应的周期三种群捕食-食饵系统
谭德君
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2006(19)4
【摘要】本文讨论一类具有脉冲效应和周期系数的两个食饵一个捕食者的捕食-食饵系统的动力学行为.利用脉冲微分方程比较定理和乘子理论,证明了系统的有界性,讨论了平凡周期解和半平凡周期解的稳定性,利用重合度的理论给出了系统存在周期正解的充分条件.
【总页数】10页(P749-758)
【关键词】脉冲效应;周期解;捕食-食饵系统;重合度
【作者】谭德君
【作者单位】集美大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.脉冲效应下具有两个功能反应的两食饵－捕食者系统的周期解与稳定性 [J], 曹学勤;刘媛媛;马文斌
2.一类具有脉冲效应和可变时滞的非自治捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 王斌;刘萍
3.具有脉冲效应且食饵染病的捕食与被捕食系统正周期解的存在性 [J], 张慧敏
4.具有脉冲效应的非自治捕食者-食饵系统周期正解 [J], 张树文;陈兰荪
5.具有Holling-Ⅲ功能反应和脉冲效应的捕食者食饵系统的持续生存与周期性(英文) [J], 李祖雄;黄健民;陈兰荪
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