京津鲁琼专用2020版高考数学二轮复习第一部分小题分类练小题分类练四图表信息类含解析

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2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第一部分第3讲复数与平面向量练典型习题提数学素养

一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i 的实部与虚部之积为( )A ．－54B ．54C ．54iD ．－54i解析：选B.因为2＋3i 1＋i ＝（2＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝52＋12i ，所以其实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )不平行，且满足(a ＋2b )⊥(a －b )，则x ＝( )A ．－12B ．12C ．1或－12D ．1或12解析：选A.因为(a ＋2b )⊥(a －b )，所以(a ＋2b )·(a －b )＝0，所以|a |2＋a ·b －2|b |2＝0，因为向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )，所以5＋4＋x －2(4＋x 2)＝0，解得x ＝1或x ＝－12，因为向量a ，b 不平行，所以x ≠1，所以x ＝－12，故选A.3．(2019·广州市综合检测(一))a ，b 为平面向量，已知a ＝(2，4)，a －2b ＝(0，8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B.设b ＝(x ，y )，则有a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y )＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＝04－2y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，故b ＝(1，－2)，|b |＝5，|a |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b |＝2－85×25＝－35，故选B.4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，则ED →＝( )A ．56AB →－43AC →B ．43AB →－56AC →C ．56AB →＋43AC →D ．43AB →＋56AC →解析：选A.因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED→＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －2b )＝0，则|a ＋b |＝( )A ． 6B ． 5C ．2D ． 3解析：选A.由题意知，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝1－2a ·b ＝0，所以2a ·b ＝1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.故选A.6．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋3i 2，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝2，则a 在a －b 方向上的投影为( ) A ．1 B ． 3 C ．6－22D ．6＋22解析：选B.由向量的数量积公式可得a ·(a －b )＝|a ||a －b |cos 〈a ，a －b 〉，所以a 在a －b 方向上的投影|a |·cos 〈a ，a －b 〉＝a ·（a －b ）|a －b |＝|a |2－a ·b |a |2＋|b |2－2a ·b .又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a |·cos 〈a ，a －b 〉＝4－（－2）4＋4－2×（－2）＝3，故选B. 8．在如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段BC 上的点，则AE →·DE →的最小值为( )A ．12B ．15C ．17D ．16解析：选B.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，4)，D (2，4)，设E (x ，0)(0≤x ≤2)，所以AE →·DE →＝(x ，－4)·(x －2，－4)＝x 2－2x ＋16＝(x －1)2＋15，于是当x ＝1，即E 为BC 的中点时，AE →·DE →取得最小值15，故选B.9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB →·(AC →＋AE →)＝( )A ．8B ．12C ．16D ．20解析：选D.法一：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝⎛⎭⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D. 法二：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t >0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝⎛⎭⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎡⎦⎤（2，t ）＋⎝⎛⎭⎫3，12t ＝(4，0)·⎝⎛⎭⎫5，32t ＝20，故选D.10．(一题多解)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解析：选A.法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A. 11．(多选)下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1解析：选BC.对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，由题可知，A (－1，2)，B (1，－1)，C (3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y ，2x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，x ＋y ＝5，故D 错误．故选BC. 12．(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( ) A ．23BA →＋16BC →B ．43BA →－16BC →C ．BA →＋13AE →D ．23BA →＋13AE →解析：选AC.如图所示，设BC 中点为E ，则BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13·12BC →＝23BA →＋16BC →.故选AC.13．(多选)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 的面积为2 3D ．△ABC 的面积为 3解析：选AC.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.二、填空题14．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：因为z ＝－1＋i 2i ＝－1＋i 2，所以|z |＝22.答案：2215．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________，a ·(a ＋b )＝________．解析：由题意，设向量a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos θ＝3－23·cos θ＝0，解得cos θ＝32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π6.则a ·(a ＋b )＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝3＋23×32＝6. 答案：π6616．(2019·济南市学习质量评估)已知|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，c ＝12(a ＋b )，|d －c |＝2，则|d |的取值范围是________．解析：不妨令a ＝(2，0)，b ＝(0，2)，则c ＝(1，1)．设d ＝(x ，y )，则(x －1)2＋(y －1)2＝2，点(x ，y )在以点(1，1)为圆心、2为半径的圆上，|d |表示点(x ，y )到坐标原点的距离，故|d |的取值范围为[0，22]．答案：[0，22]17．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________．解析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6.答案：π6。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分圆锥曲线的定义方程与性质含解析

一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A.不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( ) A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A.如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t 2＝1.设直线AB 的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23sts 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D.6．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．△ABF 是等边三角形B ．|BF |＝3C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x解析：选ACD.因为以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，所以△ABF 是等边三角形，所以∠FBD ＝30°.因为△ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则ba＝3，所以离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．(2019·湖南师大附中月考改编)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2，准线方程与双曲线方程联立可得x 23－p 212＝1，解得x ＝± 3＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以32|AB |＝p ，即32×23＋p 24＝p ，解得p ＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y ＝±x ，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32＝322.答案：6322三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x p ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)．据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26（x ＋1），消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26（x 1＋1）x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26（x 2＋1）x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.。

2020版高考数学二轮复习第一部分小题强化练小题强化练(四)(含解析)(最新整理)

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小题强化练(四）一、选择题1．设集合A＝｛y｜y＝log2x,0〈x≤4}，B＝{x|e x〉1}，则A∩B＝（)A．（0，2）B．（0，2]C．(－∞，2）D．R2．若i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝｜1－i｜＋i,则z的虚部为（)A。

错误!B。

错误!－1C.错误!iD.错误!3．设随机变量X～N（1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注:若X～N（μ，σ2)，则P（μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0。

954 5.A．6 038 B．6 587C．7 028 D．7 5394．《九章算术》中的“竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为（)A。

133升B。

错误!升C.199升D。

2512升5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E,F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( ）A.13B。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破课件：第一部分第1讲选择、填空题的4种特殊解法

2．如果 a1，a2，a3，…，an 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则下列关系正确的为( )
A．a1a8>a4a5 C．a1＋a8>a4＋a5
B．a1a8<a4a5 D．a1a8＝a4a5
解析：选 B.取特殊数列，不妨设 an＝n，则 a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8，经检验，只有选项 B 成立．
解析：选 D.y＝－1x在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故 A 错误； y＝－log2x 的定义域(0，＋∞)关于原点不对称，不是奇函数，故 B 错误； y＝3x 不是奇函数，故 C 错误；令 f(x)＝y＝x3＋x，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在 R 上单调递增，故 D 正确，故选 D.
技法应用
对 a 取数字验证．a＝0 时，A 错；a＝2 时，B 错；a＝32时，C 错．所以选 D. 答案：D
真题示例
技法应用
(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x
－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
8．已知 AD，BE 分别是△ABC 的中线，若|A→D|＝|B→E|＝1，且A→D与B→E的夹角为 120°，则A→B·A→C＝________．解析：若△ABC 为等边三角形，则|A→B|＝233，所以A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝23. 答案：23
方法二验证法
当 sin x＝0，cos x＝1 时，函数值为 4，所以 A，C 错；把 x＋π 代入验证，可得 f(x ＋π)＝f(x)，说明 D 错．故选 B. 答案：B

(京津鲁琼专用)2020版高考数学第一部分基础考点自主练透第4讲计数原理与二项式定理练习

第4讲计数原理与二项式定理两个计数原理[考法全练]1．甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都——泉州“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )A．16种B．18种C．20种D．24种解析：选C.任意相邻两天组合在一起，一共有6种情况：①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦.若甲选①②或⑥⑦，则乙各有4种选择，若甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则乙各有3种选择，故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有2×4＋4×3＝20(种)．2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )A．240 B．204C．729 D．920解析：选A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )A．96 B．114C．168 D．240解析：选C.先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c 中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有________个．解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．答案：485．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是________．解析：按分步来完成此事．第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，故共有10×9×8＝720种分法．答案：7206．在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8名运动员的方式共有24×120＝2 880(种)．答案：2 880应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．排列、组合的应用[考法全练]1．(2019·长春市质量监测(一))要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为( )A．6 B．12C．24 D．36解析：选B.由题意可知，可以分两类，第一类，甲与另一人一同被分到A班，分法有C13A22＝6(种)；第二类，甲单独被分到A班，分法有C23A22＝6(种)．所以共有12种，故选B.2．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )A．15 B．30C．35 D．42解析：选B.法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C37种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C22C15种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C37－C22C15＝30(种)，故选B.法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有C12C25＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C35＝10(种)，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.3．(2019·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F 六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有( )A．36种B．44种C．48种D．54种解析：选B.由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，(1)当AE 排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F 两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE 排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A 22A 23＋A 12A 33＋A 12A 22＋C 12C 12A 22A 22＝44(种)，故选B.4．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C 15＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A 25＝5×4＝20种方法，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数；第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位上的数有2种情况：当个位上的数字是0时，其他数位上的数有A 45＝5×4×3×2＝120个；当个位上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C 14＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A 34＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数，根据分类加法计数原理共有120＋96＝216个数．答案：100 2165．(一题多解)(2019·长沙市统一模拟考试)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A ，B 两门课程至少要选1门，则学生甲共有________种不同的选法．解析：通解：根据题意，可分三类完成：(1)选A 课程不选B 课程，有C 24种不同的选法；(2)选B 课程不选A 课程，有C 24种不同的选法；(3)同时选A 和B 课程，有C 14种不同的选法．根据分类加法计数原理，得C 24＋C 24＋C 14＝6＋6＋4＝16(种)，故学生甲共有16种不同的选法．优解：从6门课程中选3门不同选法有C 36种，而A 和B 两门课程都不选的选法有C 34种，则学生甲不同的选法共有C 36－C 34＝20－4＝16(种)．答案：166．(2019·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)解析：分两步完成：(1)《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》进行全排有A 44种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有12A 44种；(2)《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A 24种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有12A 44A 24＝144(种)．答案：144排列、组合应用问题的8种常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法．(2)相邻问题捆绑法．(3)不相邻问题插空法．(4)定序问题缩倍法．(5)多排问题一排法．(6)“小集团”问题先整体后局部法．(7)构造模型法．(8)正难则反，等价转化法．二项式定理[考法全练]1.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10B ．20C ．40D ．80 解析：选C.T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.2．(2019·四省八校双教研联考)二项式(1＋x ＋x 2)(1－x )10展开式中x 4的系数为( )A ．120B ．135C ．140D ．100 解析：选B.(1－x )10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10(－x )r ＝(－1)r C r 10x r ，分别令r ＝4，r ＝3，r＝2，可得展开式中x 4的系数为(－1)4C 410＋(－1)3C 310＋(－1)2C 210＝135，故选B.3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60 解析：选C.(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.4．若(3x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )A ．80B ．120C ．180D ．240 解析：选 D.由(3x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5两边求导，可得15(3x －1)4＝a 1＋2a 2x＋3a 3x 2＋…＋5a 5x 4，令x ＝1得，15×(3－1)4＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋5a 5，即a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝240，故选D. 5．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n的展开式中，第5项是常数项，则n ＝________，二项式系数最大的项的系数是________．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 展开式的通项为T r ＋1＝C r n (2x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝2n －r C r n xn －32r ，因为第5项是常数项，所以n －32×4＝0，即n ＝6.当r ＝3时，二项式系数C r 6最大，故二项式系数最大的项的系数是26－3C 36＝160.答案：6 1606．(2019·广州市调研测试)已知(2x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝________．解析：因为(2x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，所以取x ＝1得(2＋2)4＝(a 0＋a 2＋a 4)＋(a 1＋a 3)①；取x ＝－1得(2－2)4＝(a 0＋a 2＋a 4)－(a 1＋a 3)②.①②相乘得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋2)4×(2－2)4＝[(2)2－22]4＝16.答案：16对于“多项式乘二项式”型的二项式问题，通用的解法是系数配对法，即将多项式中的每一项x k 的系数与后面二项式展开式中xr －k 的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加，即得到x r 项的系数．[提醒] 关注2个常失分点：(1)混淆“项的系数”与“二项式系数”概念，项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．(2)注意“常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念．一、选择题1．在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有( )A ．10种B ．40种C ．70种D ．80种解析：选B.若Grace 不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C 15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C 24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C 15C 24＝30种搜寻方案；若Grace 参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C 25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C 25＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B. 2．(2019·合肥市第一次质量检测)若⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 6的展开式的常数项为60，则a 的值为( )A ．4B ．±4C ．2D ．±2解析：选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(ax )6－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·a 6－r ·C r 6·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4，则(－1)4·a 2·C 46＝60，解得a ＝±2，故选D. 3．(2019·重庆市七校联合考试)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C.由多项式乘法知，若求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数，只需求(1＋x )6展开式中x 2和x 4的系数．(1＋x )6展开式中含x 2和x 4的项分别是C 26x 2＝15x 2和C 46x 4＝15x 4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数是30.故选C. 4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )A ．4种B ．8种C ．12种D ．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C 14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C 14×2＝8种站法，故选B.5．设(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1等于( )A ．80B ．－80C ．－160D ．－240 解析：选D.因为(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，所以二项展开式中含x 项的系数为C 45×(－1)4×C 55×(－2)5＋C 55×(－1)5×C 45×(－2)4＝－160－80＝－240，故选D.6．(2019·广州市综合检测(一))(2－x 3)(x ＋a )5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x 4的系数是( )A ．5B ．10C．15 D．20解析：选A.在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项T r＋1＝C r5x5－r.当r＝1时，得T2＝C15x4＝5x4，当r＝4时，得T5＝C45x＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A.7．(2019·柳州模拟)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )A．72 B．70C．66 D．64解析：选D.从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D.8．(2019·洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有( )A．900种B．600种C．300种D．150种解析：选B.第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C25×A44＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C46×A44＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)．故选B.9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为( )A．39B．310C．311D．312解析：选D.对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.10．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A 22A 33，A 22A 33，C 12A 22A 33，C 13A 22A 33，C 13A 22A 33，故总编排方案有A 22A 33＋A 22A 33＋C 12A 22A 33＋C 13A 22A 33＋C 13A 22A 33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C 14A 22A 33＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)． 11．(多选)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x 6展开式中的常数项为15，则实数m 的值可能为( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选AB.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r ＝C r 6x 6－32rm r .令6－32r ＝0，得r ＝4，常数项为C 46m 4＝15，则m 4＝1，得m ＝±1.故选AB.12．(多选)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则( )A ．a 0＝1B ．T n ＝2n －(－1)nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ；n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选BC.由题意知S n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，所以T n ＝2n －(－1)n ，故选BC.13．(多选)(2019·山东日照期末)把四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有( )A ．C 13C 12C 11C 13种B ．C 24A 33种 C ．C 13C 24A 22种 D ．18种解析：选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分两步进行分析：法一：①先将四个不同的小球分成3组，有C 24种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 33种放法．则不允许有空盒子的放法有C 24A 33＝36种．法二：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有C 13C 24种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有A 22种放法，则不允许有空盒的放法有C 13C 24A 22＝36种，故选BC.二、填空题14．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x r ，r ＝0，1，2，3，4，5，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x r 的展开式的通项T k ＋1＝C k rx r －k⎝ ⎛⎭⎪⎫4x k ＝4k C k r x r －2k ，k ＝0，1，…，r .令r －2k ＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.所以x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180. 答案：180 15．(2019·福州市质量检测)(1＋ax )2(1－x )5的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为________．解析：设(1＋ax )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，令x ＝1得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7①，令x ＝－1得(1－a )225＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7②，②－①得：(1－a )225＝－2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，又a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－64，所以(1－a )225＝128，解得a ＝3或a ＝－1(舍)．答案：3 16．(2019·湖南郴州一模改编)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为256，则n 的值为________，展开式中1x2的系数是________．解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为2n ＝256，所以n ＝8，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 28，它的展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(－1)r ·38－r ·x 8－53r . 令8－5r 3＝－2，可得r ＝6，则展开式中1x2的系数为C 68·32＝252. 答案：8 25217．(一题多解)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C 316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C 24×C 112，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C 14×C 34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C 316－C 24×C 112－C 14×C 34＝472.法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C14×C14×C14＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C23×C12×C24×C14＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C14×C23×C14×C14＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C14×C13×C24＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．答案：472。

2020届二轮复习题型技巧方法一、考前必纠的十大易错易混点学案(京津鲁琼专用)

一、考前必纠的十大易错易混点著名教育家乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础．”有比较才有深刻的认识，通过比较，可产生强烈的刺激，促进同学们积极思考．采用比较的方法应对易错问题，有较好的纠错效果，且有利于快速提分，其原因是高考考题一般以中等难度的题为主，题目中会出现较多的“熟面孔”，但出于“惯性思维”，一些同学越熟越易错．所以在平常的复习中采用比较的方法辨“同中之异”，识“异中之同”，不仅可以提高理解能力，还可以加强思辨能力．易错点1 刹车减速与往返减速【典例1】一辆汽车以40 m/s 的速度沿平直公路匀速行驶，突然前方有一只小狗穿过马路，司机立即刹车，汽车以大小为8 m/s 2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后第2 s 内与刹车后6 s 内汽车通过的位移大小之比为( )A ．7∶25B ．16∶25C ．7∶24D ．2∶3[解析] 规定初速度方向为正方向，已知初速度v 0＝40 m/s ，加速度a ＝－8 m/s 2.则汽车从刹车到停止所需的时间t 0＝0－v 0a＝5 s ．t 1＝2 s<t 0，根据v ＝v 0＋at 得刹车后1 s 末汽车的速度为v 1＝32 m/s ，刹车后第2 s 内汽车的位移x 1＝v 1t ′＋12at ′2＝28 m ．t 2＝6 s>t 0，说明6 s 内汽车的位移x 2等于汽车从开始刹车到停止的位移，x 2＝0－v 202a＝100 m ，所以x 1∶x 2＝7∶25，故A 正确．[答案] A【典例2】 (多选)在塔顶将一物体竖直向上抛出，抛出点为A ，物体上升的最大高度为h ＝6 m ，不计空气阻力，设塔足够高，则物体的位移大小为x ＝3 m 时，物体通过的路程可能为( )A ．3 mB ．6 mC ．9 mD ．15 m[解析] 物体在塔顶的A 点抛出，满足位移大小为3 m 的位移终点有两处，如图所示，一处在A 点之上，另一处在A 点之下．位移终点在A 点之上、位移大小为3 m 的运动对应着上升和下降两种过程，上升过程，物体通过的路程s 1＝x ＝3 m ，下降过程，物体通过的路程s 2＝2h －x ＝9 m ．位移终点在A 点之下、位移大小为3 m 时，物体通过的路程s 3＝2h ＋x ＝15 m ．故A 、C 、D 项正确，B 项错误．[答案] ACD匀减速直线运动中的两类易混问题(1)典型的刹车问题：汽车做匀减速直线运动直至速度为0，此后汽车静止不动，运动的时间为t ＝|v 0a|.要注意题目中是紧急刹车还是有反应时间的刹车．有反应时间的刹车是多过程问题，解答时可以利用速度－时间图象分析．(2)往返运动问题，如物体冲上光滑斜面、物体竖直上抛等，物体做匀减速直线运动，速度为0后，因为物体处于非平衡状态，所以以原来的加速度反向运动(要与刹车问题区别)，因此对应某一位移，速度、时间等可能有两解，对应某一到出发点的距离，时间可能有三解．易错点2 “活结”与“死结”、“定杆”与“动杆”【典例3】如图(a)所示，轻绳AD 跨过固定在水平轻杆BC 右端的定滑轮(重力不计)挂住一个质量为M 1的物体，∠ACB ＝30°；如图(b)所示，轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G 通过轻绳EG 拉住，EG 与水平方向也成30°角，一轻绳GI 悬挂在轻杆的G 端并拉住一个质量为M 2的物体，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．图(a)中BC 杆对滑轮的作用力大小为M 1g 2B ．图(b)中HG 杆受到的作用力大小为M 2gC ．轻绳AC 段的张力T AC 与轻绳EG 段的张力T EG 的大小之比为M 1∶M 2D ．轻绳AC 段的张力T AC 与轻绳EG 段的张力T EG 的大小之比为M 1∶2M 2[解析] 图(a)中AC 、CD 两段绳的张力大小都是M 1g ，且两绳互成120°角，以C 点为研究对象，根据共点力的平衡条件可知，BC 杆对滑轮的作用力大小也是M 1g (与竖直方向成60°角斜向右上方)，A 项错误；由题意知，图(b)中HG 轻杆对G 点的作用力方向一定沿杆HG 的方向，以G 点为研究对象，根据共点力的平衡条件可知，HG 杆对G 点的作用力大小F ＝T EG cos 30°，T EG sin 30°＝M 2g ，故F ＝3M 2g ，再结合牛顿第三定律可知，B 项错误；图(a)中轻绳AC 段的张力T AC ＝M 1g ，图(b)中轻绳EG 段的张力T EG ＝M 2g sin 30°＝2M 2g ，故T AC ∶T EG ＝M 1∶2M 2，C 项错误，D 项正确．[答案] D(1)像滑轮这样的“活结”，结点两侧绳的拉力相等．(2)像图(b)中的“死结”，结点两侧绳的拉力一般不同，各自的大小可以采用正交分解法或矢量三角形法求出．(3)图(a)中水平直杆左端固定于竖直墙上，是“定杆”，杆对结点弹力的方向可以不沿杆的方向．(4)图(b)中轻杆左端用铰链固定，是“动杆”，轻杆在缓慢转动的过程中，弹力方向始终沿杆的方向．易错点3 “绳模型”与“杆模型”【典例4】 (多选)如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v ，此时绳子的拉力大小为F T ，拉力F T 与速度的平方v 2的关系如图乙所示，图象中a 、b 为已知量，重力加速度g 已知，以下说法正确的是( )A ．a 与小球的质量无关B ．b 与小球的质量无关C ．b a 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D ．利用a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径 [解析] 当v 2＝a 时，绳子的拉力为零，小球的重力提供向心力，则mg ＝m v 2r，解得v 2＝gr ，故a ＝gr ，a 与小球的质量无关，A 正确；当v 2＝2a 时，对小球受力分析，有mg ＋b ＝m v 2r ，联立解得b ＝mg ，b 与小球的质量有关，B 错误；b a ＝m r ，b a不只与小球的质量有关，还与圆周轨道半径有关，C 错误；由a ＝gr ，b ＝mg ，解得r ＝a g ，m ＝b g，D 正确． [答案] AD【典例5】小球在如图甲所示的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动．当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与小球此时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)．MN 为通过圆心的一条水平线．不计小球半径、管道内径，重力加速度为g .则下列说法正确的是( )A ．管道所在圆的半径为b 2gB ．小球的质量为a gC ．小球在MN 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力D ．小球在MN 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力[解析] 由图可知，当v 2＝b 时，F N ＝0，此时mg ＝m v 2R ，解得管道所在圆的半径R ＝b g ，故A 错误；当v 2＝0时，F N ＝－mg ＝－a ，所以m ＝a g，故B 正确；小球在水平线MN 以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，故C 错误；小球在水平线MN 以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁对小球有作用力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能内、外侧管壁对小球均无作用力，故D 错误． [答案] B轻绳、轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点的临界条件(做完整圆周运动的条件)的差别，源于绳、杆弹力的差别．(1)绳模型：在最高点绳子只能产生沿绳收缩方向的拉力，拉力最小值为零，此时小球的重力提供向心力．小球在竖直放置的光滑圆环内侧做圆周运动符合此模型．(2)杆模型：在最高点，杆对小球可以产生向下的拉力，也可以产生向上的支持力，故小球在最高点时受到的合力的最小值为零．小球在竖直放置的光滑细管中做圆周运动符合此模型．易错点4 “定轨”与“变轨”【典例6】 2018年12月8日，“嫦娥四号”月球探测器在我国西昌卫星发射中心发射成功，随后实现了人类首次月球背面软着陆．“嫦娥四号”从环月圆轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入环月椭圆轨道Ⅱ，在近月点Q 实施软着陆，如图所示．关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )A ．沿轨道Ⅰ运行至P 点时，需加速才能进入轨道ⅡB ．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C ．沿轨道Ⅱ运行经P 点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P 点时的加速度D ．沿轨道Ⅱ从P 点运行到Q 点的过程中，月球对“嫦娥四号”的万有引力做的功为零[解析] “嫦娥四号”沿轨道Ⅰ运行至P 点时，应该制动减速使万有引力大于其在轨道Ⅰ上做圆周运动所需向心力而做近心运动，变轨到轨道Ⅱ上，故A 错误；轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故B 错误；在同一点万有引力相同，加速度相同，故C 正确；根据开普勒第二定律可知在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，“嫦娥四号”的速度逐渐增大，万有引力做正功，故D 错误．[答案] C通常卫星变轨过程涉及三个“定轨”、两处“变轨”(1)三个“定轨”：三个轨道均属环绕模型，轨道固定．如图所示，卫星运行的低轨道1和高轨道3是圆轨道，万有引力提供向心力，由此可判断各物理量的变化．卫星在椭圆轨道2上运行时，在近地点A 的速度大于在远地点B 的速度，符合机械能守恒定律．(2)两处“变轨”：椭圆轨道的近地点A 和远地点B ，也是椭圆轨道与两个圆轨道的相切点即发生变轨的位置．在两切点处，卫星在不同轨道上运行时所受万有引力相同，加速度相同，速度符合“内小外大”．易错点5 近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体【典例7】人造卫星d 的圆形轨道离地面的高度为h ，地球同步卫星b 离地面的高度为H ，h <H .两卫星共面且运行方向相同，某时刻卫星d 恰好出现在赤道上某建筑物c 的正上方，设地球赤道半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，则( ) A ．d 、b 线速度大小的比值为R ＋h R ＋H B ．d 、c 角速度的比值为（R ＋H ）3（R ＋h ）3C ．b 、c 向心加速度大小的比值为R 3（R ＋H ）3 D ．d 下一次通过c 正上方所需时间为 t ＝2πgR 3（R ＋h ）3－（R ＋H ）3[解析] 由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m v 2r＝mω2r ，则v ＝GM r ，ω＝GM r 3，所以d 、b 的线速度大小的比值为v d v b ＝R ＋H R ＋h；因b 、c 的角速度相同，所以d 、c 的角速度的比值等于d 、b 的角速度的比值，则ωd ωc＝（R ＋H ）3（R ＋h ）3，则A 错误，B 正确．因为b 、c 的角速度相同，由a ＝rω2可知a b a c ＝R ＋H R，则C 错误．设经过时间t 卫星d 再次通过建筑物c 正上方，根据几何关系有(ωd －ωc )t ＝2π，又GM ＝gR 2，再结合上述分析可得t ＝2πgR 2（R ＋h ）3－gR 2（R ＋H ）3，则D 错误． [答案] B近地卫星同步卫星地球赤道上的物体向心万有引力万有引力万有引力的一个分力力轨道半径r近<r同r同>r物＝r近角速度由GMmr2＝mrω2得ω＝GMr3，故ω近>ω同同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物ω近>ω同＝ω物线速度由GMmr2＝m v2r得v＝GMr，故v近>v同由v＝rω得v同>v物v近>v同>v物向心加速度由GMmr2＝ma得a＝GMr2，故a近>a同由a＝rω2得a同>a物a近>a同>a物易错点6电场线与轨迹结合和等势线与轨迹结合【典例8】下列选项中实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力作用，运动过程中电势能一直减少，关于粒子运动到b处时的速度方向与受力方向，下列选项表示的可能正确的是()[解析]因粒子所受电场力的方向指向粒子运动轨迹的凹侧，所以可判断出粒子所受电场力的方向向右，由于运动过程中粒子的电势能一直减少，所以电场力一直做正功，则电场力方向与粒子速度方向的夹角一定为锐角，故选C.[答案] C【典例9】如图所示，虚线a、b、c是电场中的三条等势线，相邻等势线间的电势差相等，即U ab＝U bc，实线为一个带负电的粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点．下列说法正确的是()A．三个等势线中，等势线a的电势最低B．带负电的粒子通过Q点时的电势能比通过P点时的电势能小C．带负电的粒子通过Q点时的加速度比通过P点时的加速度大D．带负电的粒子通过P点时的加速度的方向沿着等势线c在P点处的切线方向[解析]由曲线运动的轨迹与电场力的关系可知，该粒子所受的电场力方向指向运动轨迹的凹侧，即大致向下，由于粒子带负电，因此电场强度方向大致指向上方，则电场线方向大致指向上方，由于电场线与等势线处处垂直，且由高电势指向低电势，故等势线a的电势最高，A错误；假设粒子从Q点运动到P点，从Q到P电场力对粒子做负功，故粒子电势能增加，故B正确；因等差等势线越密，电场强度越大，所以Q点处的电场强度较小，故粒子在Q点所受的电场力较小，由牛顿第二定律可知粒子在该点的加速度较小，故C错误；由于电场线与等势线处处垂直，故粒子通过P点时所受电场力的方向，即加速度的方向一定与等势线c 在P 点处的切线垂直，故D 错误．[答案] B(1)共同点：此类问题情境都是带电粒子在电场中做曲线运动．带电粒子所受电场力指向轨迹凹侧是解题的切入点，合理利用功能关系是解题的重要手段．(2)易错点：带点粒子在电场中的运动轨迹夹在速度与电场力之间，向受力一侧弯曲，注意不要把电场线和等势线当成运动轨迹．分析带电粒子所受电场力时，在轨迹和电场线交点位置，电场力与电场线在该点的切线平行；在轨迹和等势线交点位置，电场力与等势线在该点的切线垂直．易错点7 动态电路中的U I 与ΔU ΔI【典例10】如图所示电路中，电源的电动势、内阻分别为E 、r ，两个定值电阻的阻值相等，均为R ，电表均为理想电表．初始状态，开关S 1、S 2均闭合，现断开S 2，则下列判断正确的是( )A ．电流表A 1的示数变为原来的12B ．电流表A 2的示数变为原来的2倍C ．电压表V 的示数与电流表A 1的示数的比值变为原来的2倍D ．电压表V 示数变化量与电流表A 1示数变化量的比值变为原来的2倍[解析] S 2断开后，外电路电阻变为原来的2倍，故电压表V 的示数与电流表A 1的示数的比值变为原来的2倍，I 1＝E R 外＋r，因为电源内阻的存在，所以电流表A 1的示数不会变为原来的12，A 错误，C 正确；S 1、S 2均闭合时，电流表A 2的示数是电流表A 1的示数的12，S 2断开后，电流表A 2的示数与电流表A 1的示数相同，但A 1的示数相较原来已发生变化，故电流表A 2的示数不会变为原来的2倍，B 错误；题图所示电路中，电压表V 示数变化量与电流表A 1示数变化量的比值表示电源内阻r ，D 错误．[答案] C(1)R ＝U I 是电阻的定义式，U I表示某一状态下导体(金属或电解质溶液)的电阻． (2)对于ΔU ΔI，物理情境不同，表示的物理意义不同．对于定值电阻，R ＝U I ＝ΔU ΔI ；像本题中所示情境，|ΔU ΔI|＝r ，其中ΔI 应为电流表A 1示数的变化量，当干路上接有定值电阻时，可把定值电阻等效成电源内阻．易错点8 “电偏转”与“磁偏转”【典例11】 (多选)如图所示，有一矩形区域abcd ，水平边长为s ＝ 3 m ，竖直边长为h ＝1 m ，当该区域内只存在大小为E ＝10 N/C 、方向由a 指向d 的匀强电场时，一比荷为q m ＝0.1 C/kg 的正粒子由a 点沿ab 方向以速率v 0进入该区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心．当该区域内只存在垂直纸面的匀强磁场时，另一个电荷量、质量均与正粒子相同的负粒子由c 点沿cd 方向以同样的速率v 0进入该区域，粒子运动轨迹也恰好通过该区域的几何中心．不计粒子的重力，则( )A ．正、负粒子离开矩形区域时的速率之比为11∶ 3B ．磁感应强度大小为32T 、方向垂直纸面向外 C ．正、负粒子通过矩形区域所用时间的比值为6π D ．正、负粒子离开矩形区域时的动能相等[解析] 当区域内只有电场时，正粒子恰好通过该区域的几何中心，则水平方向有s 2＝v 0t ，竖直方向有h 2＝12×Eq m ×t 2，联立解得v 0＝32m/s ，分析可知该粒子离开矩形区域时从cd 边射出，此时速率为v ＝v 20＋2Eq m h ＝112 m/s ；而负粒子从矩形区域射出时速率为v 0＝32m/s ，故正、负粒子离开矩形区域时的速率之比为11∶3，动能之比为11∶3，A 正确，D 错误．当负粒子由c 点沿cd 方向射入时，负粒子恰好通过该区域的几何中心，可知磁场方向垂直纸面向里，由几何关系和题意可知负粒子做匀速圆周运动时的半径r ＝h ＝1 m ，由洛伦兹力提供向心力得B ＝m v 0qr ＝320.1×1T ＝5 3 T ，B 错误．当正粒子从cd 边射出时，h ＝12×Eq m×t ′2，代入数据解得t ′＝ 2 s ，分析可知，负粒子在磁场中偏转90°后从ab 边射出，时间t ″＝14T ＝14×2πm qB ＝33π s ，所以t ′t ″＝6π，C 正确． [答案] AC电场和磁场对运动电荷施加作用力，均可以改变其运动方向，由于电场和磁场对电荷的作用具有不同的特征，因而这两种偏转在动力学分析和物理规律选取上存在着差异．(1)电偏转：带电粒子在匀强电场中所受电场力必为恒力，带电粒子垂直于电场线进入匀强电场后做类平抛运动，其轨迹是抛物线，可以由运动的分解来分析求解．(2)磁偏转：带电粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力是变力．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨迹是圆周或一段圆弧，运动的规律可以从动力学关系、轨道半径和运动的周期等方面来描述．易错点9 电磁感应中的“电势差”与“电动势”【典例12】 (多选)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，第二、四象限的环形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B .将一个由粗细均匀的电阻丝折成的闭合金属线框abcd垂直磁感线放入磁场中，使线框绕O点沿着环形区域边界以角速度ω顺时针匀速转动．已知Oa＝ab＝r，在t＝0时刻，线框与磁场边界恰好重合，设逆时针方向为电流正方向．则下列关于线框中的电流i和a、b两点间的电压u随时间t变化的关系图象，可能正确的是()[解析]线框在磁场内运动过程中磁通量变化率的大小不变，产生的感应电动势大小不变，因而线框中感应电流大小不变，根据楞次定律和右手螺旋定则可判断感应电流的方向，感应电流先沿逆时针方向，然后沿顺时针方向，做周期性变化，A正确，B错误；当ab边切割磁感线时，ab边为电源，u ab为路端电压，由右手定则可知，电流从a端流出，a端为电源正极，有u ab>0，当cd边切割磁感线时，cd边为电源，u′ab为电路中ab段两端的电压，由右手定则可知，电流方向为顺时针，从a流向b，有u′ab>0，u ab与u′ab的大小关系为u ab>u′，C错误，D正确．ab[答案]AD本题中在不同时刻，电动势、路端电压、部分电阻两端电压容易混淆，混淆的根源在于电路分析不到位．(1)当ab边切割磁感线时，ab可视为电源，其两端的电压为路端电压，既不是电动势也不是内电压．(2)当cd边切割磁感线时，ab可视为外电路中的部分电阻．在线框构成的串联电路中，电压的分配跟电阻成正比．易错点10“发电”棒与“电动”棒【典例13】(多选)如图，MN、PQ为相同材料制成的、粗细均匀的平行金属导轨(水平放置且光滑)，MN、PQ长度均为d＝9 m，其单位长度电阻为r＝0.5 Ω/m，导轨间距L＝0.5 m，∠PMN＝90°，导轨左端连接一阻值为R＝4 Ω的电阻(M、P间导线电阻不计)，一质量为m＝0.5 kg、电阻可忽略不计的金属棒置于导轨最左端，与导轨垂直且接触良好．整个装置处于磁感应强度大小为B＝2.0 T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使金属棒从静止开始以a＝2 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动．已知金属棒从MP运动到NQ的过程中，通过电阻R的电荷量为0.6 C，下列说法正确的是( )A ．金属棒向右运动过程中，R 中的电流沿MP 方向B ．整个过程中，拉力F 的最大值为1.5 NC ．整个过程中，拉力F 的平均值为1.2 ND ．整个过程中，电路中产生的焦耳热为2.8 J[解析] 根据右手定则可得金属棒向右运动的过程中，R 中的电流沿PM 方向，故A 错误；金属棒从静止开始向右做匀加速直线运动的过程中，金属棒的速度大小为v ＝at ，位移为x ＝12at 2，感应电动势的大小为E ＝BL v ＝BLat ，根据闭合电路欧姆定律可得感应电流的大小为I ＝BLat R ＋2xr ，金属棒受到的安培力大小为F 安＝BIL ＝B 2L 2at R ＋art 2，拉力F 的大小为F ＝B 2L 2at R ＋art 2＋ma ，运动时间为t 总＝2d a，代入数据并结合数学知识可知，当t ＝2 s 时拉力F 有最大值，最大值为F max ＝1.5 N ，故B 正确；整个过程中，通过电阻R 的电荷量为0.6 C ，通过电阻R的平均电流为I ＝q t 总＝0.2 A ，拉力F 的平均值为F ＝BIL ＋ma ＝1.2 N ，故C 正确；金属棒运动到NQ 时速度为v NQ ＝at 总＝6 m/s ，整个过程中根据能量守恒定律可知电路中产生的焦耳热为Q ＝Fd －12m v 2＝1.8 J ，故D 错误． [答案] BC【典例14】 (多选) “电磁炮”是利用电磁力对弹体加速的新型武器．如图所示是“电磁炮”的原理示意图．光滑水平导轨电阻不计，宽为L 在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B .“电磁炮”弹体总质量为m ，弹体接入电路中的电阻为R .可控电源的内阻为r ，电源的电压能自行调节，以保证“电磁炮”匀加速发射．在某次试验发射时，流过弹体的电流是I ，不计空气阻力，则( )A ．弹体所受安培力大小为BILB ．弹体从静止加速到v ，导轨长度至少为2m v 2BILC ．弹体从静止加速到v 的过程中，电源提供的总能量为m v BL ⎝⎛⎭⎫IR ＋Ir ＋BL v 2 D ．只有可控电源的电压随时间均匀增加，才能保证“电磁炮”匀加速发射[解析] 流过弹体的电流为I ，所以弹体受到的安培力大小为F ＝ILB ，故A 正确；由动能定理得Fx ＝12m v 2，结合F ＝BIL 可得x ＝m v 22BIL，故B 错误；根据牛顿第二定律有F ＝ma ，弹体速度v ＝at 1，发射过程中电路中产生的热量Q ＝I 2(R ＋r )t 1，弹体的动能E k ＝12m v 2，由能量守恒定律可得电源提供的总能量为E ＝E k ＋Q ，联立解得E ＝m v BL ⎝⎛⎭⎫IR ＋Ir ＋Bl v 2，故C 正确；t 时刻，弹体的速度v d ＝at ，弹体切割磁感线产生的感应电动势E 1＝BL v 1，欲使流过弹体的电流不变，使弹体能匀加速发射，可控电源的电压应为U ＝U 0＋E 1＝U 0＋Blat ，式中U 0为电源的初始电压，故D 正确．[答案] ACD“发电”棒和“电动”棒(如“电磁炮”)所在电路的结构基本相似，但二者本质不同．“发电”棒是通过导体棒切割磁感线产生感应电流，这个过程将机械能转化为电能．“电动”棒是通电导体在磁场中受到安培力而运动，这个过程将电能转化为机械能．。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习第一部分小题分类练小题分类练(二)综合计算类(含解析)

小题分类练(二) 综合计算类一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( ) A.12 B ．－12C ．－29D ．－192．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝( ) A ．－55B.55C.255 D ．－2553．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π64．轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为( ) A.43 B.32 C.423D ．2 25．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(b ＋c )sin B ＝(a ＋c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋C ，则A ＝( )A.2π3B.5π6C.π6D.π36．已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－37．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x >0，则满足不等式f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( ) A ．(－3，3) B ．(－11，4)C ．(4，－11)D ．(－3，3)或(4，－11)9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则b 2a2的值为( )A ．1B ．2 C.12D.1410．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33D.23311．(多选)实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则下列关于yx －1的判断正确的是( )A.y x －1的最大值为 3 B.y x －1的最小值为－ 3C.yx －1的最大值为33D.yx －1的最小值为－3312．(多选)对甲、乙两大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：40，53，57，62，63，57，60；乙：47，63，52，59，45，56，63.则下列判断正确的是( )A ．甲组消费额的众数是57，乙组消费额的众数是63B ．甲组消费额的中位数是57，乙组消费额的中位数是56C ．甲组消费额的平均数大于乙组消费额的平均数D ．甲组消费额的方差小于乙组消费额的方差13．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，则下列结论正确的是( ) A ．当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1] B ．当a ＝－2时，单调递增区间是(1，＋∞) C ．当a ＝－2时，极小值是f (1)＝1D ．若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的取值范围为[0，＋∞)二、填空题14．已知向量a ＝(m ，2)，b ＝(1，1)，若|a ＋b |＝|a |＋|b |，则实数m ＝________．15．(x ＋2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1展开式中的常数项为________．16．已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是________．17．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4，则数列{a n }的通项公式为________；数列{b n }的前n 项和T n ＝________．小题分类练(二) 综合计算类1．解析：选B.法一：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则由a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 4·a 1q 7＝－8，a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q ＋3a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝2，a 1＝－12，故选B.法二：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．解析：选A.法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12可设点P (－2，－1)为α终边上一点，则|OP |＝（－2）2＋（－1）2＝5(O 为坐标原点)，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55，选A. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，联立得。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破课件：第一部分第3讲复数与平面向量

故选 D.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设 z＝i(2＋i)，则－z ＝( )
A．1＋2i
B．－1＋2i
C．1－2i
D．－1－2i
解析：选 D.因为 z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以－z ＝－1－2i，故选 D.
3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设 z＝11－＋ii＋2i，则|z|＝(
)
故选 C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则 a 与 b 的夹
角为( )
A．π6
B．π3
C．23π
D．56π
解析：选 B.由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，所以 a·b＝b2.
因为|a|＝2|b|，所以 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝2bb22＝12.
A．0
B．12
C．1
D． 2
解析：选 C.法一：因为 z＝11＋－ii＋2i＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，
故选 C.
法二：因为 z＝11－＋ii＋2i＝1－i＋12＋i（i1＋i）＝－1＋1＋i i，
所以|z|＝|－1＋1＋i i|＝|－|1＋1＋i|i|＝ 22＝1.故选 C.
所以 x2＋(y－1)2＝1.
故选 C.
6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是________．解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是 0，故 a＝2. 答案：2
复数代数形式的 2 种运算方法 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类项，不含 i 的看作另一类项，分别合并同类项即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”． [提醒] (1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化． (2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11－＋ii＝－i 等要熟记． (3)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件．

2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第一部分小题强化练小题强化练(三) Word版含解析

小题强化练(三)一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－8<x <2} B ．{0，1} C ．{1}D ．{0，1，2}2．已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则1＋z1－z ＝( )A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金棰由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤4．设点F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5D ．2 55．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1，且AB ⊥BC ，点M 是A 1C 1的中点，则异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为( )A.13B.223C.324D.126．在区间[－2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．27．已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x ＋2)＝f (x )；(2)f (x －2)为奇函数；(3)当x ∈[0，1)时，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫－152，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫－152 B ．f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112>f ⎝⎛⎭⎫－152 C ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112 D ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f ⎝⎛⎭⎫112>f (4) 8．已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO ||MF |的最大值为( )A. 3 B ．1 C.33D.23310．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到y ＝f (x )的图象．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且f (x )的最大负零点在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6上，则φ的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，π4 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎦⎤π12，π4D.⎝⎛⎭⎫π12，π2 11．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m ＞0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α12．(多选)(2019·湖南长沙一模)设a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面，下列结论不正确的是( )A ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bD ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b13．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x二、填空题14．二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 9展开式中含x 3项的系数为________． 15．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________．16．已知扇形OAB 的圆心角∠AOB ＝90°，半径为2，C 是其弧上一点．若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ·μ的最大值为________．17．如图，在△ABC 中，已知M 为边BC 上一点，BC →＝4BM →，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则CM ＝________；cos ∠BAC ＝________．小题强化练(三)1．解析：选B.由A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}＝{x |－8<x <2}，得A ∩B ＝{0，1}，故选B.2．解析：选B.因为z ＝－1＋i ，所以1＋z 1－z ＝1－1＋i 1－（－1＋i ）＝i2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－15＋25i.故选B. 3．解析：选B.由题意知金杖由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项a 1＝4，a 5＝2，则公差d ＝a 5－a 15－1＝－12.所以a 3＝a 1＋2d ＝4－1＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝9，故选B.4．解析：选B.由双曲线方程知a ＝1，b ＝3，则c ＝10，|F 1F 2|＝210.由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝|F 1F 2→|＝210，故选B.5.解析：选B.法一：由题知AA 1∥BB 1，则异面直线MB 与AA 1所成角为∠MBB 1，如图．又△BB 1M 为直角三角形，cos ∠MBB 1＝BB 1MB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，由AB ⊥BC ，得B 1M ＝12A 1C 1＝22.故MB ＝22＋⎝⎛⎭⎫222＝32，所以cos ∠MBB 1＝BB 1MB ＝223，故选B.法二：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，则M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，B (0，0，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－2，AA 1→＝(0，0，2)．设异面直线MB 与AA 1所成角为θ，则cos θ＝|MB →·AA 1→||MB →||AA 1→|＝492×2＝223，所以异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为223，故选B.6．解析：选B.由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2，2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率计算公式可知P ＝2a －（－2a ）2－（－2）＝12，解得a ＝12，故选B. 7．解析：选C.由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，可知f (x )＝f (x －2)．又f (x －2)为奇函数，可知f (x )为奇函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－152＝f ⎝⎛⎭⎫－152＋2×4＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫112－2×3＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又x ∈[0，1)时，f (x )单调递增，故奇函数f (x )在(－1，1)内单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112，故选C. 8．解析：选D.由f (x )＝2x －log 12x ，可知函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )，f (b )，f (c )可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，x 0>c ，D 不可能成立．9．解析：选D.设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p 24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立，故选D. 10．解析：选C.法一：函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数f (x )＝sin (2x －2φ)的图象，则当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2φ∈⎣⎡⎦⎤－2φ，π2－2φ.由函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，可知⎩⎨⎧－π2＋2k π≤－2φ，π2－2φ≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－k π≤φ≤π4－k π(k ∈Z )．又由0<φ<π2，可知0<φ≤π4①.函数f (x )的所有零点满足2x －2φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝12k π＋φ(k ∈Z )，由最大负零点在⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6内，得－5π12<12k π＋φ<－π6(k ∈Z )，即－5π12－12k π<φ<－π6－12k π(k ∈Z )，由0<φ<π2可知当k ＝－1时，π12<φ<π3②.由①②，φ的取值范围为⎝⎛⎦⎤π12，π4，故选C.法二：由题意得f (x )＝sin(2x －2φ)观察选项可取φ＝π3，可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，函数f (x )先减后增，不符合题意，排除B ，D ；取φ＝π6，易得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k 2π(k ∈Z )，则函数f (x )取得的最大负零点为x ＝－π3∈⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6，符合题意，排除A ，故选C.11．解析：选CD.由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1＞0，cos α＝－1m 2＋1＜0，tan α＝－m ＜0，所以sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α＞0，sin αcos α＜0，sin αtan α＝cos α＜0.故选CD. 12．解析：选BCD.由a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面知：在A 中，若a ∥c ，b ∥c ，则由平行公理得a ∥b ，故A 正确；在B 中，若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂α，故B 错误；在C 中，若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误；在D 中，若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故D 错误．13．解析：选AC.若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.14．解析：二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫2x 9－r(－x )r ＝(－1)r ·29－r C r 9x 32r －9.令32r －9＝3，解得r ＝8，可知所求二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)8·29－8C 89＝2×9＝18.答案：1815．解析：由数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1＝28，可得1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝⎛⎭⎫1q －2·⎝⎛⎭⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝⎛⎭⎫q ＝－13舍去，故a n＝a 3qn －3＝25－n .则a 1a 2…a n＝24×23× (25)n ＝2（9－n ）n2，可知当（9－n ）n2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5.答案：4或516．解析：由题|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，且OA →·OB →＝0.由OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2＝4λ2＋4μ2，可得4＝4λ2＋4μ2，即λ2＋μ2＝1，所以λ·μ≤λ2＋μ22＝12，当且仅当λ＝μ＝22时取得等号，故λ·μ的最大值为12.答案：1217．解析：因为在△AMC 中，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则有33＝12AM ·CM ·sin ∠AMC ＝12×2×CM ×32，所以解得CM ＝6. 因为BC →＝4BM →，所以BM ＝2，BC ＝8，因为∠AMB ＝π－∠AMC ＝2π3，所以由余弦定理可得AB ＝AM 2＋BM 2－2AM ·BM ·cos ∠BMA ＝22＋22－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， AC ＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ＝22＋62－2×2×6×12＝27，所以cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12＋28－642×23×27＝－217.答案：6 －217。

新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：小题分类练小题分类练(四) 图表信息类

小题分类练(四)图表信息类一、选择题1．如图所示的Venn图中，全集为Z，集合A＝{x∈N|1≤x≤6}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{－2} B．{－3}C．{－2，3} D．{－3，2}2．(2019·石家庄市质量检测)甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是()A．23，22 B．23，22.5C．21，22 D．21，22.53．(2019·重庆市学业质量调研)下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表．月份12345678910最高温59911172427303121最低温－12－31－271719232510) A．最低温与最高温为正相关B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月D．1至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7至10月，波动性更大4．(2019·昆明市质量检测)下图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%)．根据该图，以下结论中一定正确的是()A ．电视机销量最大的是第4季度B ．电冰箱销量最小的是第4季度C ．电视机的全年销量最大D ．电冰箱的全年销量最大5．(2019·郑州市第二次质量预测)如图，在曲线C (曲线C 为正态分布N (－2，4)的密度曲线)与x 轴围成的区域中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )(附：X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5)A ．906B ．2 718C ．1 359D ．3 4136．某网店在2018年1月的促销活动中，随机抽查了100名消费者的消费情况，并记录了他们的消费金额(单位：千元)，将数据分成6组：(0，1]，(1，2]，(2，3]，(3，4]，(4，5]，(5，6]，整理得到频率分布直方图如图所示．若消费金额不超过3千元的人数占总人数的35，则消费金额超过4千元的人数为( )A ．12B ．15C ．16D ．187．(2019·湖南省湘东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正十边形A 1A 2A 3…A 10的中心，A 1在x 轴正半轴上，任取不同的两点A i ，A j (其中1≤i ，j ≤10，且i ∈N ，j ∈N )，点P 满足2OP →＋OA i →＋OA j →＝0，则点P 落在第二象限的概率是( )A.745B.845C .15 D.298．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B (π6，0)，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π249．如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆面，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0＜x ＜2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )10．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824数列{x n }1n n ＋1x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝( )A ．7 564B ．7 565C ．7 566D ．7 56911．(多选)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( )A ．f (a )＞f (e )＞f (d )B ．函数f (x )在[a ，b ]上递增，在[b ，d ]上递减C ．函数f (x )的极值点为c ，eD ．函数f (x )的极大值为f (b )12．(多选)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论正确的为( )图1图2A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米13．(多选)如图，一张A4纸的长、宽分别为22a ，2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是( )A ．该多面体是三棱锥B ．平面BAD ⊥平面BCDC ．平面BAC ⊥平面ACDD ．该多面体外接球的表面积为5πa 2 二、填空题14．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．15．某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86.若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为________．16．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩7277808488909395根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．17．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (恒温，单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． ①该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品________保鲜时间(填“过了”或“没过”)．小题分类练(四) 图表信息类1．解析：选B.由x 2＋x －6＝0得x ＝－3或x ＝2，所以B ＝{－3，2}，A ＝{1，2，3，4，5，6}，所以(∁Z A )∩B ＝{－3}，故选B.2．解析：选D.由茎叶图可得甲的成绩的平均数为10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋348＝21.将乙的成绩按从小到大的顺序排列，中间的两个成绩分别是22，23，所以乙的成绩的中位数为22＋232＝22.5.3．解析：选B.根据题意，依次分析选项，A 中，由该城市的各月最低温与最高温具有相关关系及数据分析可得最低温与最高温为正相关，故A 正确；B 中，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为－3.5、3、5、4.5、12、20.5、23、26.5、28、15.5，在前8个月不是逐月增加，故B 错误；C 中，由表中数据，月温差依次为17、12、8、13、10、7、8、7、6、11，月温差的最大值出现在1月，故C 正确；D 中，分析可得1至4月的月温差相对于7至10月，波动性更大，故D 正确．故选B.4．解析：选C.对于A ，对比四个季度中，第4季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大．对于B ，理由同A.在四个季度中，电视机在每个季度销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C 正确，D 错误．5．解析：选C.因为x ～N (－2，4)，所以正态曲线关于直线x ＝－2对称，且μ＝－2，σ＝2.因为P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝P (－4<x ≤0)≈0.682 7，P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝P (－6<x ≤2)≈0.954 5，所以P (0≤x ≤2)＝12[P (－6<x ≤2)－P (－4<x ≤0)]＝12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.设落入阴影部分的点的个数为m ，所以m10 000＝0.135 9，解得m ＝1 359，故选C.6．解析：选B.因为消费金额不超过3千元的人数占总人数的35，所以第4，5，6组的频率之和为1－0.6＝0.4，从图中可知第4组的频率为0.25，所以第5，6组的频率之和为0.4－0.25＝0.15，所以消费金额超过4千元的人数为15.7．解析：选B.在正十边形A 1A 2A 3…A 10的十个顶点中任取两个，不同的取法有C 210＝45(种)，满足2OP →＋OA i →＋OA j →＝0，且点P 落在第二象限的不同取法有(A 1，A 7)，(A 1，A 8)，(A 1，A 9)，(A 1，A 10)，(A 2，A 8)，(A 2，A 9)，(A 8，A 10)，(A 9，A 10)，共8种，所以点P 落在第二象限的概率为845，故选B .8．解析：选D .因为函数f(x)＝2cos (ωx ＋φ)的图象过点A(0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B (π6，0)，所以cos ⎣⎡⎦⎤（ω－1）π6＝0，所以（ω－1）π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m＋4(m ∈Z )，因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos(4x －π6)．因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D.9．解析：选A.观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：①当0＜x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快；②当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个选项中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.10．解析：选A.因为数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，所以x n ＋1＝f (x n )，所以由图表可得x 2＝f (x 1)＝3，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝6，x 5＝f (x 4)＝1，…，所以数列{x n }是周期为4的周期数列，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝504(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＋x 1＋x 2＝504×15＋1＋3＝7 564.故选A.11．解析：选ABD.由图可知，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，c )上递增，在(c ，e )上递减，在(e ，＋∞)上递增，所以f (d )＞f (e )，故A 错误；函数f (x )在[a ，b ]上递增，在[b ，c ]上递增，在[c ，d ]上递减，故B 错误；函数f (x )的极值点为c ，e ，故C 正确；函数f (x )的极大值为f (c )，故D 错误．12．解析：选ABC.对于A ，根据折线图可知，身高极差小于20，臂展极差大于20，故A 正确；对于B ，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B 正确；对于C ，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C 正确；对于D ，身高相差10厘米的两个展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D 错误．13．解析：选ABCD.由题意得该多面体是一个三棱锥，故A 正确；因为AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP ＝P ，所以AP ⊥平面BCD ，又因为AP ⊂平面BAD ，所以平面BAD ⊥平面BCD ，故B 正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故C 正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R ＝52a ，所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故D 正确．综上，正确命题为ABCD. 14．解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x ，依题意可得 1 2002 700＋2 400＋1 200＝20x ＋20，解得x ＝85. 答案：8515．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，可得G ＝2，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ×⎝⎛⎭⎫a 4＋b 4＝14⎝⎛⎭⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94.答案：9416．解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.答案：117．解析：①因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4；②由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时，而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：①4 ②过了。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分54分专项练54分专项练(四)18、19、20、21(含解析)

54分专项练(四) 18、19、20、211．已知正项数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋a n －1＝2n －1a n －a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求a 2，a 3；(2)设数列{b n }满足b n ＝(a n －1)2－n 2，证明：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项．2．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c cos A ＋33a cos C ＝0，tan(2 019π＋2A )＝34.(1)求tan C 的大小；(2)若C 为钝角且c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．3．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝3，AC ＝2，点E 是PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ；(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M AC E 的余弦值为1010？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B 材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关？(2)UV 胶层；②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为12，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为23，此环节不合格需要修复的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .54分专项练(四) 18、19、20、211．解：(1)由已知可得a 2＋a 1＝3a 2－a 1＋2，因为a 1＝2，所以a 22－22＝3＋2(a 2－2)，即a 22－2a 2－3＝0，因为a 2>0，所以a 2＝3. 又a 3＋a 2＝5a 3－a 2＋2，a 2＝3，所以a 23－9＝5＋2(a 3－3)，即a 23－2a 3－8＝0，因为a 3>0，所以a 3＝4. 故a 2＝3，a 3＝4.(2)证明：由已知条件可知，a 2n －a 2n －1＝2(a n －a n －1)＋2n －1，所以(a n －1)2－(a n －1－1)2＝n 2－(n －1)2，则(a n －1)2－n 2＝(a n －1－1)2－(n －1)2＝…＝(a 2－1)2－22＝(a 1－1)2－12＝0，而b n ＝(a n －1)2－n 2，所以b n ＝0，数列{b n }为等差数列．所以(a n －1)2＝n 2，而a n >0，故a n ＝n ＋1.2．解：(1)因为c cos A ＋33a cos C ＝0，所以sin C cos A ＋33sin A ·cos C ＝0.又cosA cos C ≠0，所以tan C ＝－33tan A .因为tan(2 019π＋2A )＝34，所以tan 2A ＝34，所以2tan A 1－tan 2A ＝34，解得tan A ＝13或tan A＝－3.①若tan A ＝13，则tan C ＝－33tan A ＝－33×13＝－3；②若tan A ＝－3，则tan C ＝－33tan A ＝－33×(－3)＝9 3. 故tan C 的值为－3或9 3.(2)因为C 为钝角，所以由(1)知tan C ＝－3，又因为0<C <π，所以C ＝2π3.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 23π＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以(a ＋b )2≤4，则a ＋b ≤2.又a ＋b >c ＝3，所以a ＋b ∈(3，2]．所以△ABC 的周长的取值范围是(23，2＋3]．3.解：(1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF .由平面ABCD为平行四边形，可知F 为BD 的中点．在△PBD 中，因为E ，F 分别为PD ，BD 的中点，所以EF ∥PB . 又EF ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)由题意知，AC ，AB ，AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，则A (0，0，0)，B (0，3，0)，C (2，0，0)，D (2，－3，0)，P (0，0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，所以AC →＝(2，0，0)，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，32.设M (x 0，y 0，z 0)，PM →＝λPB →(0<λ<1)，则(x 0，y 0，z 0－3)＝λ(0，3，－3)，得M (0，3λ，3－3λ)，所以AM →＝(0，3λ，3－3λ)．设平面AEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝0，2x 1＝0，取y 1＝1，得n 1＝(0，1，1)．设平面MAC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3λy 2＋（3－3λ）z 2＝0，2x 2＝0，取z 2＝1，得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1λ，1.设二面角M AC E 的大小为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1λ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ2＋1＝1010，化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝13或λ＝23.因为二面角M AC E 的余弦值为1010，所以PM →＝13PB →. 故PM →＝13PB →时，二面角M AC E 的余弦值为1010.4．解：(1)列联表如下：K 2的观测值k ＝30×30×48×12≈6.7<7.879，所以没有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关．(2)设X 为一次生产出来的石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X 的取值可以是0，100，200，300，400，500，600，700，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×23＝112，P (X ＝100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×13＝124，P (X ＝200)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×23＝14，P (X ＝300)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝18，P (X ＝400)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12×23＝14，P (X ＝500)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12×13＝18，P (X ＝600)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×23＝112，P (X ＝700)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×13＝124.所以E (X )＝0×112＋100×124＋200×14＋300×18＋400×14＋500×18＋600×112＋700×124＝1 0003. 所以一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要1 0003元的修复费用．。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习第一部分小题专题练小题专题练(六)概率、统计、复数(含解析)

小题专题练(六) 概率、统计、复数一、选择题1．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1－2i ，则z ＝( ) A ．－15＋25iB ．－15－25iC.15＋25iD.15－25i 2．从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．若该产品的这项指标值在[185，215)内，则该产品的这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为( )A ．0.57B ．0.46C ．0.55D ．0.793．某商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x /℃ 17 13 8 2 月销售量y /件24334055由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量约为( )A ．46件B ．40件C ．38件D ．58件4．已知随机变量ξ～N (3，σ2)，若P (ξ>6)＝0.16，则P (0≤ξ≤6)＝( ) A ．0.84 B ．0.68 C ．0.34D ．0.165．(2019·长春市质量监测(二))如图所示的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价(单位：元)，已知股票甲收盘价的极差为6.88，标准差为2.04；股票乙收盘价的极差为27.47，标准差为9.63.根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论；①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平衡，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．46．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18C．32 D．727．(2019·安徽省考试试题)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )窗口1 2过道34 5窗口67 89101112 131415 ……………C．64，65 D．72，738．某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，P ＋S ＝272，则函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n在x ∈(0，＋∞)上的最小值为( ) A ．144 B ．256 C ．24 3D ．64 310．王军从家骑车去学校，途中(不绕行)需要经过4个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为14，则王军在一次上学途中会遇到堵车次数ξ的期望E (ξ)是( )A.14B ．1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫344D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14411．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( )A ．P 1·P 2＝16B ．P 1＝P 2＝12C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＞P 212．(多选)下列说法中正确的是( )A ．从某社区65户高收入家庭，28户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法为分层抽样B ．正态分布N (1，9)在区间(－1，0)和(2，3)上取值的概率相等C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1，a ，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2 13．(多选)已知ξ是离散型随机变量，则下列结论正确的是( ) A ．P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ|≤13≤P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ2≤13 B ．(E (ξ))2≤E (ξ2) C ．D (ξ)＝D (1－ξ) D ．D (ξ2)＝D ((1－ξ)2) 二、填空题14．在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________．15．在三行三列的方阵⎝ ⎛⎭⎪⎫a11 a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32 a 33中有9个数a ij (i ＝1，2，3，j ＝1，2，3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是________．16．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为________． 17．(2019·山东烟台期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.96)小题专题练(六) 概率、统计、复数1．解析：选B.由题意可得z ＝1－2i 3＋4i ＝（1－2i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝－5－10i 25＝－15－25i.故选B.2．解析：选D.由频率分布直方图知，指标值在[185，215)内的频率为10×(0.022＋0.033＋0.024)＝0.79，据此可估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79.3．解析：选A.由题中数据，得x ＝10，y ＝38，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x ，y )，且b ^＝－2，代入得a ^＝58，则回归方程为y ^＝－2x ＋58，所以当x ＝6时，y ＝46，故选A.4．解析：选B.因为随机变量ξ～N (3，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝3对称，因为P (ξ>6)＝0.16，所以P (0≤ξ≤6)＝1－2×0.16＝0.68.5．解析：选C.由题图可知①③正确．股票乙的收盘价均高于股票甲，可能获得高回报，但股票乙的极差和标准差都大于股票甲，故购买股票乙的风险高，所以②正确．两只股票都有下降的时候，故④错误．故选C.6．解析：选D.因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1234567，先研究恰有3个连续空位的情况，若3个连续空位是123或567，另一个空位有3种选法，车的停放方式有A 33种，故停放方法有2×3×A 33＝36种；若3个连续空位是234或345或456，另一个空位有2种选法，车的停放方法依然有A 33种，因此此种情况下停放方法有3×A 33×2＝36种，从而不同的停放方法共有72种，选D.7．解析：选C.设靠左、右窗的座位号码分别为a n ，b n ，则由火车上的座位号码规律可得，a n ＝5n －4，b n ＝5n .因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B 和D 均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的，故选C.8．解析：选C.若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，再根据②知去D 镇，再根据④知去C 镇，再根据③可知不去B 镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.9．解析：选A.由题意可得P ＝4n，S ＝2n，所以P ＋S ＝4n＋2n＝272，得2n＝16，所以n ＝4.当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4≥(23)4＝144，当且仅当x ＝33时等号成立，故函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n在x ∈(0，＋∞)上的最小值为144，故选A.10．解析：选B.由题知上学途中每个交叉路口发生堵车事件的概率均为14，则P (ξ＝k )＝C k4·⎝ ⎛⎭⎪⎫14k·⎝ ⎛⎭⎪⎫344－k (k ＝0，1，2，3，4)，所以ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14，E (ξ)＝4×14＝1，故选B.11．解析：选ACD.三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132，213，231，共3种，所以P 1＝36＝12；方案二坐到“3号”车可能为312，321，共2种，所以P 2＝26＝13.所以P 1＞P 2，P 1·P 2＝16，P 1＋P 2＝56，故选ACD.12．解析：选ABD.各个家庭收入差距明显适合分层抽样，故A 正确；对于B ，正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(－1，0)和(2，3)与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，故B 正确；对于C ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值|r |的值越接近于1，故C 错误；对于D ，一组数据1，a ，2，3的平均数是2，则a ＝2，所以该组数据的众数和中位数均为2，故D 正确．故选ABD.13．解析：选ABC.在A 中，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ|≤13＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13≤ξ≤13≤P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ2≤13＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33≤ξ≤33，故A 正确；在B 中，由数学期望的性质得(E (ξ))2≤E (ξ2)，故B 正确；在C 中，由方差的性质得D (ξ)＝D (1－ξ)，故C 正确；在D 中，D (ξ2)≠D ((1－ξ)2)＝4D (ξ)＋D (ξ2)，故D 错误．故选ABC.14．解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35＝120.答案：12015．解析：法一：从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有C 19C 14C 14A 22＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M 为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M 包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P (M )＝7884＝1314.法二：从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若这3个数分别位于不同的三行或三列，则有6种不同的取法，故这3个数分别位于不同的三行或三列的概率是684＝114，根据对立事件的概率计算公式可知，这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1－114＝1314. 答案：131416．解析：设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，由已知得P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13，设事件C 表示“该软件至多进入第三轮”，则P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)＝16＋56×25＋56×35×14＝58.答案：5817．解析：因为数学成绩x 服从正态分布N (100，17.52)，则P (100－17.5＜x ＜100＋17.5)＝P (82.5＜x ＜117.5)＝0.68，所以此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率P (x ≤82.5)＝1－P （82.5＜x ＜117.5）2＝1－0.682＝0.16.又P (100－17.5×2＜x ＜100＋17.5×2)＝P (65＜x ＜135)＝0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P (x ＞135)＝1－P （65＜x ＜135）2＝1－0.962＝0.02.又P (x ≤82.5)＝P (x ≥117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.02＝10. 答案：0.16 10。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：小题分类练(五) 创新迁移类含解析

小题分类练(五) 创新迁移类一、选择题 1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．313．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：m*n ＝|m ||n |sin θ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a ，b ，c ，下列结论正确的是( )A ．若a*b ＝a*c ，则b ＝cB ．(a*b )c ＝a (b*c )C ．a*b ＝(－a )*bD ．(a ＋b )*c ＝a*c ＋b*c4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”的个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．定义函数max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（f （x ）≥g （x ）），g （x ）（f （x ）＜g （x ）），则max{sin x ，cos x }的最小值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－22D.226．若定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”．下列为“K 函数”的是( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x |x |7．我们常用以下方法求形如函数y ＝f (x )g (x )(f (x )＞0)的导数：先两边同取自然对数ln y ＝g (x )ln f (x )，再两边同时求导得到1y ·y ′＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )·1f （x ）·f ′(x )，于是得到y ′＝f (x )g (x )[g ′(x )ln f (x )＋g (x )·1f （x ）·f ′(x )]，运用此方法求得函数y ＝x 1x (x ＞0)的一个单调递增区间是( )A ．(e ，4)B ．(3，6)C ．(0，e)D ．(2，3)8．已知点M (－1，0)和N (1，0)，若某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线”的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④9．已知三棱锥O -ABC ，OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝OB ＝2，OC ＝1，P 是△ABC 内任意一点，设OP 与平面ABC 所成的角为x ，OP ＝y ，则y 关于x 的函数的图象为( )10．若非零向量a ，b 的夹角为锐角θ，且|a ||b |＝cos θ，则称a 被b “同余”．已知b 被a “同余”，则a －b 在a 上的投影是( )A.a 2－b 2|a |B.a 2－b 2a 2C.b 2－a 2|a |D.a 2－b 2|b |11．(多选)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝1x －1C ．f (x )＝ln(2x ＋3)D ．y ＝2x ＋312．(多选)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *且n ≥3，总存在i ，j ∈N *，使得a n ＝a i ＋a j (i ≠j ，i ＜n ，j ＜n )，则称数列{a n }是“T 数列”．则下列数列是“T 数列”的为( )A ．{2n }B ．{n 2}C ．{3n}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1 13．(多选)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交二、填空题14．若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 3的值为________．15．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n ＋2)※2 017＝(2n )※2 017＋3.则2 018※2 017＝____________．16．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－2，3)且法向量为n ＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x ＋2)＋(－1)×(y －3)＝0，化简得4x －y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B (1，2，3)且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的(点法式)方程为____________．17．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”． (1)设f (x )＝cos x ，则f (x )在(0，π)上的“新驻点”为________；(2)如果函数g (x )＝x 与h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是________．小题分类练(五) 创新迁移类1．解析：选A.由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝z －2(1＋i)＝0，解得z ＝2＋2i.所以复数z 对应的点(2，2)位于第一象限．故选A.2．解析：选B.具有伙伴关系的元素组是－1和12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.3．解析：选C.a ，b ，c 为两两不共线的向量，则a ，b ，c 为非零向量，故A 不正确；设a ，b 夹角为θ，b ，c 夹角为α，则(a*b )c ＝|a ||b |·sin θ·c ，a (b*c )＝|b ||c |sin α·a ，故B 不正确；a*b ＝|a ||b |·sin θ＝|－a ||b |·sin(π－θ)＝(－a )*b ，故C 正确，D 不正确．4．解析：选C.函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}，当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝±2时，y ＝4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个．故选C.5．解析：选C.画出f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象(图略)，由图象易知所求最小值为－22. 6．解析：选D.选项A 中，函数f (x )＝x ＋1不是奇函数，故选项A 中的函数不是“K 函数”．选项C 中，函数f (x )＝1x的定义域不是R ，故选项C 中的函数不是“K 函数”．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，等价于奇函数f (x )在R 上单调递增．选项B 中，函数f (x )＝－x 3在R 上单调递减，故选项B 中的函数不是“K 函数”．选项D 中，函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0在R 上单调递增且为奇函数，故选项D 中的函数是“K 函数”．故选D.7．解析：选 C.由题意知f (x )＝x ，g (x )＝1x ，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2，所以y ′＝x 1x·⎝⎛⎭⎫－1x 2ln x ＋1x ·1x ＝x 1x ·1－ln x x 2，由y ′＝x 1x ·1－ln x x 2＞0得1－ln x ＞0，解得0＜x ＜e ，即单调递增区间为(0，e)，故选C.8．解析：选C.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线”；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知2x －y ＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－24x ＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知x ＋y －3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．9．解析：选B.设点O 在平面ABC 内的射影为O ′，连接OO ′，OP ，O ′P ，根据等体积思想得OO ′＝2×2×12×2＝22.因为∠OO ′P ＝π2，所以OP ＝OO ′sin x ，即y ＝12sin x.易知当点P 在点A 或点B 位置时，x 取得最小值π6，排除选项C ，D.又在⎣⎡⎦⎤π6，π2上，函数y ＝12sin x 单调递减且其图象为光滑曲线，所以排除选项A.故选B.10．解析：选A.因为b 被a “同余”，所以|b ||a |＝cos θ(θ为a 与b 的夹角)，所以|b |＝|a |cosθ，所以b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝|b |·|a |·cos θ－b 2＝0，所以b ⊥(a －b )．易知a －b 与a 的夹角为π2－θ，则a ·(a －b )＝|a |·|a －b |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|a |·|a －b |·sin θ. 又a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝a 2－|a |·|b |cos θ＝a 2－b 2，所以|a |2－|b |2＝|a |·|a －b |sin θ，所以a －b 在a 上的投影是|a －b |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|a －b |sin θ＝a 2－b 2|a |，故选A.11．解析：选BCD.因为若对任意x ∈D ，存在y ∈D .使得f (y )＝－f (x )成立，所以只需f (x )的值域关于原点对称．A 中函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)．不关于原点对称．不符合；B 中函数y ＝1x －1的值域为{y |y ≠0}，关于原点对称．符合；C 中函数f (x )＝ln(2x ＋3)的值域为R ，关于原点对称．符合；D 中函数y ＝2x ＋3的值域为R .关于原点对称．符合．12．解析：选AD.令a n ＝2n ，则a n ＝a 1＋a n －1(n ≥3)，所以数列{2n }是“T 数列”；令a n＝n 2，则a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{n 2}不是“T 数列”；令a n ＝3n ，则a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{3n}不是“T 数列”；令a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －3＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫1－52n －1是“T 数列”．故选AD.13．解析：选BCD.对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 未必与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．14．解析：因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2.于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2，又a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.答案：1615．解析：设a n ＝(2n )※2 017，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 02516．解析：由题意可设Q (x ，y ，z )为所求平面内的任一点，则根据BQ →⊥m ，得BQ →·m ＝0，所以(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，化简得x ＋2y －z －2＝0.故所求平面的方程为x ＋2y －z －2＝0.答案：x ＋2y －z －2＝017．解析：(1)根据题意，f (x )＝cos x ，其导数f ′(x )＝－sin x ，若f (x )＝f ′(x )，即cos x ＝－sin x ，则有tan x ＝－1.又由x ∈(0，π)得x ＝3π4，即f (x )在(0，π)上的“新驻点”为3π4.(2)函数g (x )＝x ，其导数g ′(x )＝1，由g (x )＝g ′(x )，得x ＝1，则函数g (x )＝x 的“新驻点”α＝1，h (x )＝ln(x ＋1)，则h ′(x )＝1x ＋1，h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”为β，则有ln(β＋1)＝1β＋1，令β＋1＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，令g (t )＝ln t －1t ，则g ′(t )＝1t ＋1t 2＞0，所以g (t )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝－1，g (2)＝ln 2－12＝ln 4e＞0，所以当g (t )＝0时，t ∈(1，2)，所以0＜β＜1，则有α＞β.答案：(1)3π4 (2)α＞β。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破课件：第二部分概率、离散型随机变量及其分布列

解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1－P(－C )＝1－110·p＝4590，解
得 p＝15. (2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件 D，“系统 A 在 3 次相互独立的检测中发生 k 次故障”为事件 Dk. 则 D＝D0＋D1，且 D0，D1 互斥．依题意，得 P(D0)＝C031－1103，
5．(2019·济南模拟)某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门．现随机地取 1 把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
解析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23＝13.如果
[山东省学习指导意见] 1．概率 (1)在具体情境中，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别． (2)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．了解两个互斥事件的概率加法公式． (3)了解随机数的意义，初步体会几何概型的意义．
2．离散型随机变量及其分布列 (1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性． (2)了解条件概率和两个事件相互独立的概念．理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，理解超几何分布及其导出过程，并能解决一些简单的实际问题． (3)理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． (4)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
(2)X 可取 0，1，2，3 P(X＝0)＝CC04C31036＝16；P(X＝1)＝CC14C31026＝12； P(X＝2)＝CC24C31016＝130；P(X＝3)＝CC34C31006＝310. X 的分布列为

2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习函数的图象与性质练典型习题提数学素养

一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.因为f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B.因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1解析：选D.通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D. 4．(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：选C.因为函数y ＝x 2＋12x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y ＝12x 2＋1x 2＝121＋1x2，所以函数y ＝x 2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝22<1，所以排除选项A ，故选C. 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.7．(2019·湖南省五市十校联考)若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则满足f (x －1)>1e 2－e 2的x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选B.由f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即e －x －a e x ＝a e －x －e x ，得a ＝1，所以f (x )＝e x －e －x ，则f (x )在R 上单调递增，又f (x －1)>1e 2－e 2＝f (－2)，所以x －1>－2，解得x >－1，故选B.8.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0，1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ︵＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t ，0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.9．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f (x )的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式f (x )≥x 2－x －a 的解集中有且仅有1个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <－1}B ．{a |－2≤a <－1}C ．{a |－2≤a <2}D ．{a |a ≥－2}解析：选B.根据题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，不等式f (x )≥x 2－x －a 等价于a ≥x 2－x －f (x )，令g (x )＝x 2－x －f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2，x ≤0，x 2－2，x >0，作出g (x )的大致图象，如图所示，又g (0)＝－2，g (1)＝－1，g (－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a <－1，即实数a 的取值范围是{a |－2≤a <－1}．故选B.10．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x >0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－2)C ．(－2，2)D ．(－∞，0)解析：选B.易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0－x 3－x ＋5，x >0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )<f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x >x ＋m ，即2x <m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)<m ，解得m <－2，故选B.11．(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称解析：选BD.f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.12．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2 C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：选CD.已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，所以π>3>e>2，所以⎝⎛⎭⎫π3e>1，πe >3e ，故A 错误；因为0<3π<1，1>e －2>0，所以⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，所以3e －2π>3πe －2，故B 错误；因为π>3，所以log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.13．(多选)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1B ．有最大值1C ．无最大值D ．无最小值解析：选AC.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝________．解析：当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.答案：－151615．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是________．解析：依题意，⎩⎨⎧a >1，a ＋a －2≤a ，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围为(1，2]．答案：(1，2]16．已知函数f (x )的图象关于点(－3，2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1)．答案：(－4，－1)17．(2019·广东惠州调研改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，则f (3)＝________；若在(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即f (4＋x )＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数．则f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1－1＝2－1.画出函数f (x )与函数y ＝log a (x ＋2)在(－2，6)上的图象如图所示．要使函数f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎨⎧a >1，log a（6＋2）<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)．答案：2－1 (8，＋∞)。

【精选】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：阶段自测卷(四)含解析

阶段自测卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·衡水中学考试)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．(2019·四川诊断)若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 2a 1等于( )A.32B.23C.12 D ．2 答案 A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d . 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d ＝32.故选A.3．(2019·四省联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于( ) A ．－160 B ．－80 C ．20 D ．40 答案 B解析由于数列为等差数列，故⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝30，10a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B. 4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前1天多跑200 m ，则这个同学7天一共将跑( ) A ．39 200 m B ．39 300 m C ．39 400 m D ．39 500 m 答案 A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5 000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000×7＋7×62×200＝39 200 (m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于( )A.139B.79 C ．3 D ．1 答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列， ∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2 019位于分组序列中的( ) A ．第404组 B ．第405组 C ．第808组 D ．第809组答案 A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2 019为第1 010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2 019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .若点⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n ，S n ＋1n ＋1在直线y ＝2x －1上，则a 9等于( ) A ．1 290 B ．1 280 C ．1 281 D ．1 821 答案 C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎫S n n －1，又S 11－1＝a 1－1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n －1是首项为1，公比为2的等比数列，所以S nn －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故 a 9＝10×128＋1＝1 281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A.175264B.3988C.173264D.181264 答案 A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n ＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n ＝n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以数列{b n }的前n 项和为T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，所以T 10＝12⎝⎛⎭⎫32－111－112＝175264，故选A. 12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N * ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018<1 ，则实数x 可以等于( )A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案 B解析 ∵a n ＝nx (x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)，当x ＝－23时，x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，2×⎝⎛⎭⎫12a 1＋12×112d ＝2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10. 14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －1)sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋2 019π，则S 2 019＝________. 答案 2 020解析 ∵a n ＝(2n －1)sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋2 019π ＝(1－2n )sinn π2， ∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4， ∴S 2 019＝504×4＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019 ＝2 016＋[(1－2×2 017)＋0＋(2×2 019－1)] ＝2 016＋4＝2 020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案 3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1 ＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解 ∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5. 当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1， ∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列， ∴a n ＝5·5n －1＝5n . ∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明 ∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3. (1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n . (1)证明 b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)证明：{a n ＋1}是等比数列； (2) 若数列b n ＝log 2(a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b2n －1·b 2n ＋1的前n 项和T n . (1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. ∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)， ∴a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴ {a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1＝2n ， ∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. 21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n . (1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n . 解 (1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，n ，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ， ∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列， ∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n ≥m 成立，求实数m 的最大值．解 (1)∵S n ＝2a n －2， ① ∴S n ＋1＝2a n ＋1－2， ② ∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)， ∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n n 成等差数列，公差为12.首项T 11＝b 11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n 2n ＝n2n －1＝n ⎝⎛⎭⎫12n －1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n ，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12M n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④得，12M n ＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n ×⎝⎛⎭⎫12n＝2－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n， ∴M n ＝4－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n－4＋(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1＝n ＋12n >0. ∴{M n }为递增数列，且(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1>0，∴M n <4. ∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Wor

第5讲古典概型一、选择题1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23 B.12 C.13 D.16解析从A，B中任意取一个数，共有C12·C13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝26＝13.答案 C2.(2017·黄山一模)从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.310 B.15 C.12 D.35解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C35＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝3C35＝310.答案 A3.(2017·马鞍山一模)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()A.112 B.19 C.536 D.16解析落在2x－y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P＝36×6＝112.答案 A4.(2017·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A.16 B.524 C.13 D.724解析选出一个三位数有A 34＝24种情况，取出一个凹数有C 34×2＝8种情况，所以，所求概率为P ＝824＝13. 答案 C5.如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31a 32 a 33 A.37B.47C.114D.1314解析从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314. 答案 D 二、填空题6.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 解析这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56. 答案 567.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P ＝C 24C 24C 24＝16.答案 168.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解析从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，基本事件共有C710＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，若事件A发生，则6，7，8，9必取，再从0，1，2，3，4，5中任取3个数，有C36种选法.故所求概率P(A)＝C36 120＝16.答案1 6三、解答题9.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为C23＋C22＝4，所以P(D)＝4 15.故这2件商品来自相同地区的概率为4 15.10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能的结果有33＝27(种). 设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种. 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种. 所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( ) A.p 1＜p 2＜p 3 B.p 2＜p 1＜p 3 C.p 1＜p 3＜p 2D.p 3＜p 1＜p 2解析随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p 1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p 2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p 3＝12.故p 1<p 3<p 2. 答案 C12.(2017·西安调研)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A.115B.15C.14D.12解析由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种. 故所求事件的概率P ＝4·A 33C 36A 33＝15.答案 B13.(2017·河南省八市重点高中质检)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.解析要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝16(a 2－b 2)>0，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，即a >b ，从a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}分别取1个a 和1个b ，有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为69＝23. 答案 2314.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n ，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P ＝C 2n C 27＝17，则n (n －1)＝6，解得n＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球.(2)设事件A 为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P(A)＝C14×C13C17×C16＝4×37×6＝27.(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件A i，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×3 7×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.。

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