三维设计高考数学湘教版文科一轮复习解答题规范专练(四)立体几何(含答案详析)

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《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测5函数的单调性与最值

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253.(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D y ＝x ＋1是非奇非偶函数，A 错；y ＝－x 3是减函数，B 错；y ＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C 错；y ＝x |x |为奇函数，当x ≥0时，y ＝x 2为增函数，由奇函数性质得y ＝x |x |在R 上为增函数，故选D.2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．选D ∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]． 5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎨⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：25 7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．故选C.2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23. 答案：⎝⎛⎦⎤12，23。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测54定点、定值、探索性问题

课时跟踪检测(五十四) 定点、定值、探索性问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，62 ，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .2. (2013·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ·k BD ＝－b 2a 2.求证：四边形ABCD 的面积为定值．3. (2013·北京东城区期末)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)△AOB 的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB 的面积的最大值；若不存在，说明理由．第Ⅰ卷：提能增分卷1.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点F 1，F 2分别为其左、右焦点，点A 为左顶点，直线l 的方程为x ＝4，过点F 2的直线l ′与椭圆交于异于点A 的P ，Q 两点．(1)求AP ·AQ 的取值范围；(2)若AP ∩l ＝M ，AQ ∩l ＝N ，求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值．2. (2013·合肥模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 23－m 2＝1(0＜m 2＜3)有公共的焦点，过椭圆E 的右顶点R 任意作直线l ，设直线l 交抛物线y 2＝2x 于M ，N 两点，且OM ⊥ON .(1)求双曲线的焦点坐标和椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A 、关于x 轴的对称点为Q ，线段PQ 与x 轴相交于点C ，点D 为CQ 的中点，若直线AD 与椭圆E 的另一个交点为B ，试判断直线P A ，PB 是否相互垂直？并证明你的结论．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋64b 2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝(x 1＋2)2＋y 21＝()x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2， |MF |＝(1＋2)2＋⎝⎛⎭⎫622＝2＋22，∵2|MF |＝|PF |＋|QF |， ∴2⎝⎛⎭⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2.(ⅰ)当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，得线段PQ 的中垂线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. (ⅱ)当x 1＝x 2时，P ⎝⎛⎭⎫1，－62，Q ⎝⎛⎭⎫1，62 或P ⎝⎛⎭⎫1，62，Q ⎝⎛⎭⎫1，－62，线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A ⎝⎛⎭⎫12，0.综上，线段PQ 的中垂线过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 2．解：(1)由题意e ＝c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8.得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)＞0, ①由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2.∵k AC ·k BD ＝－b 2a 2＝－12，∴y 1y 2x 1x 2＝－12，∴y 1y 2＝－12x 1x 2＝－12·2m 2－81＋2k 2＝－m 2－41＋2k 2. 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 22m 2－81＋2k 2＋km －4km 1＋2k2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2，∴－m 2－41＋2k 2＝m 2－8k 21＋2k 2， ∴－(m 2－4)＝m 2－8k 2， ∴4k 2＋2＝m 2.设原点到直线AB 的距离为d ，则 S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2＝|m |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|m |2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2＝|m |28m 2(1＋2k 2)2＝22， ∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝82，即四边形ABCD 的面积为定值．3．解：(1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．故曲线C 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)△AOB 的面积存在最大值．因为直线l 过点E (－1,0)，所以可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1.整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0， Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)＞0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1＞y 2. 解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4.则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4. 因为S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设t ＝m 2＋3，t ≥ 3，g (t )＝t ＋1t，则g ′(t )＝1－1t2，故当t ≥3时g ′(t )＞0恒成立，则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥g (3)＝433.所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时取等号．所以S △AOB 的最大值为32. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)①当直线PQ 的斜率不存在时，由F 2(1,0)可知PQ 的方程为x ＝1，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得点P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32，又点A (－2,0)，故AP ＝⎝⎛⎭⎫3，32，AQ ＝⎝⎛⎭⎫3，－32， AP ·AQ ＝274.②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2(－x 1－x 2＋x 1x 2＋1)＝－9k 23＋4k2，故AP ·AQ ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝27k 23＋4k 2＝273k 2＋4∈⎝⎛⎭⎫0，274，综上，AP ·AQ 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，274. (2)证明：由(1)知，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，与直线l 的方程x ＝4联立，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，同理，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2，故M ，N 两点的纵坐标之积y M y N ＝6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4. ①当直线PQ 的斜率不存在时，y M y N ＝36×32×⎝⎛⎭⎫－321×1＋2(1＋1)＋4＝－9；②当直线PQ 的斜率存在时，由(1)可知，y M y N ＝－324k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2＋16k 23＋4k 2＋4＝－9.综上所述，M ，N 两点的纵坐标之积为定值，该定值为－9. 2．解：(1)由题意可知c 双＝m 2＋3－m 2＝3，故双曲线的焦点坐标为F 1(－3，0)、F 2(3，0)．设点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线l ：ty ＝x －a ，代入y 2＝2x 并整理得y 2－2ty －2a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a .故OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋a )(ty 2＋a )＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2＋at (y 1＋y 2)＋a 2＝(t 2＋1)(－2a )＋2at 2＋a 2＝a 2－2a ＝0，解得a ＝2.又c 椭＝c 双＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：判断结果：P A ⊥PB 恒成立．证明如下：设P (x 0，y 0)，则A (－x 0，－y 0)， D (x 0，－12y 0)，x 20＋4y 20＝4，将直线AD 的方程y ＝y 04x 0(x ＋x 0)－y 0代入椭圆方程并整理得(4x 20＋y 20)x 2－6x 0y 20x ＋9x 20y 20－16x 20＝0，由题意可知此方程必有一根为－x 0.于是解得x B ＝6x 0y 204x 20＋y 20＋x 0，所以y B ＝y 04x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 0y 204x 20＋y 20＋2x 0－y 0 ＝y 30－2x 20y 04x 20＋y 20，所以k PB ＝y 30－2x 20y 04x 20＋y 20－y 06x 0y 204x 20＋y 2＝－6x 20y 06x 0y 20＝－x 0y 0，故k P A k PB ＝－x 0y 0×y 0x 0＝－1，即P A ⊥PB .法二：判断结果：P A ⊥PB 恒成立．证明如下：设B (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)，则A (－x 0，－y 0)，D ⎝⎛⎭⎫x 0，－y 02，x 214＋y 21＝1，x 204＋y 20＝1，两式相减得y 21－y 20x 21－x 20＝－14，故k BA ·k BP ＝y 1＋y 0x 1＋x 0· y 1－y 0x 1－x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－14.又k AB ＝k AD ＝－12y 0＋y 0x 0＋x 0＝y 04x 0，代入上式可得k PB ＝⎝⎛⎭⎫－14÷y 04x 0＝－x0y 0，所以k P A k PB ＝y 0x 0·⎝⎛⎭⎫－x 0y 0＝－1，即P A ⊥PB .。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测45直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时跟踪检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.232．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜03．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点( ) A ．(－2,8) B ．(2,8) C ．(－2，－8)D ．(2，－8)4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋15．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤46．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________.7．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．8．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 9．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.答案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.2．选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．选D a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8故选D.4．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5.选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4，故选A.6．解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3.答案：－37．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]8．解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.10．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)·k －y 0＋1＝0恒成立， ∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1．选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1， ∴倾斜角为135°.2．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．1答案：2。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测17任意角和弧度制及任意角的三角函数

课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及任意角的三角函数第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π62．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.124．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．选C 易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角．3．选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0； cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0. 6．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)7．解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四9．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H . 则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．10．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z2．解析：如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1， ∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP ·sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2，DA ＝AP cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝ sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2)。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测32数列求和

课时跟踪检测(三十二) 数列求和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011003．(2013·北京东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 2004．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3) D.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 5．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(－1)n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.6.(创新题)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7．(2013·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .8．(2014·襄阳调研)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n －1，n ≥2，n∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对一切正整数n ，点P n 在函数y ＝3x ＋134的图像上，且P n 的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{x n }．(1)求点P n 的坐标；(2)设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线C n的顶点为P n ，且过点D n (0，n 2＋1)．记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b n n，求数列{c n }的前n 项和T n .3．已知正项数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1，故选C. 2．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 3．选B f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.4．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3). 5．解析：由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32，a 4＝2，a 5＝－52，a 6＝3，…，所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－12，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得S 2 013＝－12×1 007＋1 007×1 0062×(－1)＋⎝⎛⎭⎫1×1 006＋1 006×1 0052×1＝－1 0072. 答案：－1 00726．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－27．解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n，得b n ＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. T n ＝12⎝ ⎛1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋ ⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 8．解：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列．当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ，此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)， ∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4. 又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)∵x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，∴y n ＝3x n ＋134＝－3n －54. ∴P n ⎝⎛⎭⎫－n －32，－3n －54. (2)∵C n 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ， ∴设C n 的方程为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54. 把D n (0，n 2＋1)代入上式，得a ＝1，∴C n 的方程为y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1.∴k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3，∴1k n －1k n ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋3 ＝110－14n ＋6. 2．解：(1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2. ∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n . (3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2(n －2)×3n －1，n ≥2. 当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1， ∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n ， ∴相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n . ∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1)＝(n －2)×3n －3n －32＝(2n －5)3n ＋32. ∴T n ＝⎩⎨⎧ －3，n ＝1，(2n －5)3n ＋32，n ≥2.∴T n ＝(2n －5)3n ＋32(n ∈N *)． 3．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且{a n }，{b n }都为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322.∴b n ＝22(n ＋1)． (2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2，则1a n ＝2(n ＋1)(n ＋2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2， ∴S n ＝2⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2， ∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3， ∴2S n －⎝⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8(n ＋2)(n ＋3). ∴当n ＝1,2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测40空间几何体的结构特征及三视图与直观

课时跟踪检测(四十) 空间几何体的结构特征及三视图与直观图第Ⅰ组：全员必做题1.(2014·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为( )2．三视图如图所示的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台3．(2013·郑州模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 26．(2014·江西九校联考)如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为()A.32 B.33C.34 D.367．如图所示，三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱P A⊥平面ABC，且P A＝5，则该三棱锥的正视图是()8．(2013·东莞调研)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()9．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．10．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．11.(创新题)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的__________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆． 12.(2013·合肥检测)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm 2.第Ⅱ组：重点选做题1．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．①②2．已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.2．选B 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．3．选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 4．选A 反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.5．选C 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC 、AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.6．选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·OV ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33. 7．选D 三棱锥的正视图．即是光线从三棱锥模型的前面向后面投影所得到投影图形．结合题设条件给出的数据进行分析．可知D 正确．8．选B 由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B.9．解析：依题意得设几何体的侧视图面积为 22＋12×2×3＝4＋ 3.答案：4＋ 310．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的四面体A -CB 1D 1；②错误，反例如图所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①11．解析：如图1所示，直三棱柱ABE -A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③12．解析：构造一个边长为2 cm 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，在此正方体中作出一个正四面体AB 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2 2 cm ，高为2 cm 的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 2 cm 2.答案：2 2第Ⅱ组：重点选做题1．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体． 2．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。

2024年高考数学立体几何复习试卷及答案解析

2024年高考数学立体几何复习试卷及答案
一、选择题
1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
答案B
解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.
2．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是()
A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥α
C．m∥n，m⊥α⇒n⊥αD．m∥n，m∥α⇒n∥α
答案C
解析对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错误；
对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或n⊂α，故错误；
对于C，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；
对于D，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错误．
故选C.
3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是()
A．①②B．③④
C．②④D．①③
答案D
解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．
4.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()
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2022-2022《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程

2022-2022《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(某，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换某，λ＞0，某′＝λ·φ：的作用下，点P(某，y)对应到点P′(某′，y′)，称φ为平面直y′＝μ·y，μ＞0角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线O某，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴O某为始边，射线OM为终边的角某OM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(某，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M互化公式直角坐标(某，y)某＝ρcoθρinθy＝极坐标(ρ，θ)ρ＝某＋yytanθ＝某某≠02224.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rco_θ圆心为(r,0)，半径为r的圆－π≤θ≤π22ρ＝2rin_θ(0≤θ＜π)πr，，半径为r的圆圆心为2(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过极点，倾斜角为α的直线过点(a,0)，与极轴垂直的直线πa，，与极轴平行的直线过点2ππ－＜θ＜ρco_θ＝a22ρin_θ＝a(0＜θ＜π)1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[试一试]1．点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标．π解：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与某轴所成的角为－，3π2，－.所以点P的极坐标为32．求极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ能表示的曲线的直角坐标方程．解：由ρ＝inθ＋2coθ，得ρ2＝ρinθ＋2ρcoθ，∴某2＋y2－2某－y＝0.故故极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ表示的曲线直角坐标方程为某2＋y2－2某－y＝0.1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(某，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤y(1)运用ρ＝某2＋y2，tanθ＝(某≠0)某y(2)在[0,2π)内由tanθ＝(某≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．某[练一练]1．在极坐标系中，求圆心在(2，π)且过极点的圆的方程．解：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OBρ＝22＝，化简得ρ＝－22coθ.inθ－90°π22．已知直线的极坐标方程为ρin(θ＋)＝，求极点到该直线的距离．4222π2in＋co解：极点的直角坐标为O(0,0)，ρin(θ＋)＝ρ＝，∴ρinθ＋4222ρcoθ＝1，化为直角坐标方程为某＋y－1＝0.∴点O(0,0)到直线某＋y－1＝0的距离为d＝＝π222θ＋＝的距离为.，即极点到直线ρin42222考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1某′＝2某，1.(2022·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为求在这一坐标变y′＝3y，换下正弦曲线y＝in某的方程．1某＝2某′，某′＝2某，解：∵∴1y＝y′.y′＝3y，3代入y＝in某得y′＝3in2某′.某′＝2某，π2．求函数y＝in(2某＋)经伸缩变换14y′＝y21某′＝2某，某＝2某′，解：由得①1y′＝y，2y＝2y′.π1π将①代入y＝in(2某＋)，得2y′＝in(2·某′＋)，4241π即y′＝in(某′＋)．24后的解析式．某′＝3某，y23．求双曲线C：某－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．642y′＝y21某＝3某′，y22解：设曲线C′上任意一点P′(某′，y′)，由上述可知，将代入某－＝64y＝2y′，某′24y′2某′2y′21得－＝1，化简得－＝1，964916某2y2即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．916[类题通法]某，λ>0某′＝λ·平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直y′＝μ·y，μ>0线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二极坐标与直角坐标的互化[典例](2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以坐标原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcoθ－10(ρ>0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；某2y2(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|164的最小值．[解](1)曲线C1的方程可化为3(某2＋y2)＝12某－10，2即(某－2)2＋y2＝.3(2)依题意可设Q(4coθ，2inθ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)．故|QC1|＝4coθ－22＋4in2θ＝12co2θ－16coθ＋8＝222coθ－2＋，33326，36.3|QC1|min＝所以|PQ|min＝[类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2022·安徽模拟)在极坐标系中，判断直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0与圆ρ＝2inθ的位置关系．解：直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0可化成某－y＋1＝0，圆ρ＝2inθ可化为某2＋y2＝2y，即某2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线某－y＋1＝0的距离d＝考点三|0－1＋1|＝0<1.故直线与圆相交．2极坐标方程及应用[典例](2022·郑州模拟)已知在直角坐标系某Oy中，曲线C的参数方程为某＝2＋2coθ，(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，且以y＝2inθπ原点O为极点，以某轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρin(θ＋)＝22.4(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．[解](1)由已知得，曲线C的普通方程为(某－2)2＋y2＝4，即某2＋y2－4某＝0，化为极坐标方程是ρ＝4coθ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为某＋y－4＝0，22某＋y－4某＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22.某＋y＝4，π在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcoθ＝3(ρ≥0,0≤θ解：由曲线C，C1极坐标方程联立ρ＝4coθ，33π∴co2θ＝，coθ＝±，又ρ≥0，θ∈[0，)．422∴coθ＝π3π23，.，θ＝，ρ＝23，故交点极坐标为626[类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[针对训练](2022·荆州模拟)在极坐标系中，求过圆ρ＝6coθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解：ρ＝6coθ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于某轴的直线方程为某＝3，其在极坐标系下的方程为ρcoθ＝3.[课堂练通考点]π1．(2022·南昌调研)在极坐标系中，求圆ρ＝2coθ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交4点的极坐标．π解：圆ρ＝2coθ可转化为某2－2某＋y2＝0，直线θ＝可转化为y ＝某(某>0)，两个方程联4π立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，)．4ππ2．(2022·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求36△AOB(其中O为极点)的面积．ππ1解：由题意知A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·in3621π∠AOB＝某3某4某in＝3.263．(2022·天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4c oθ，圆心为C,点P的极坐标为4，π，求|CP|的值．3解：由ρ＝4coθ可得圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4某，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.4．在极坐标系中，求圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(coθ＋3inθ)＝6的距离的最小值．解：由题意可得，圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，直线的直角坐标|0＋3某0－6|方程为某＋3y－6＝0，圆心到直线的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线的距2离的最小值为d－r＝3－2＝1.某＝－t，π5．(2022·银川调研)已知直线l：(t为参数)与圆C：ρ＝42co(θ－)．4y＝1＋t(1)试判断直线l和圆C的位置关系；(2)求圆上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)直线l的参数方程消去参数t，得某＋y－1＝0.π由圆C的极坐标方程，得ρ2＝42ρco(θ－)，化简得ρ2＝4ρcoθ＋4ρinθ，所以圆C4的直角坐标方程为某2＋y2＝4某＋4y，即(某－2)2＋(y－2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r＝22.|2＋2－1|32从而圆心C到直线l的距离为d＝22＝2，1＋132显然<22，所以直线l和圆C相交．232(2)由(1)知圆心C到直线l的距离为d＝，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为23272＋22＝.22[课下提升考能]1．在直角坐标系某Oy中，以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的πθ－＝1，M，N分别为曲线C与某轴，y轴的交点．极坐标方程为ρco3(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．π13θ－＝1得ρcoθ＋inθ＝1，解：(1)由ρco32213从而曲线C的直角坐标方程为某＋y＝1，即某＋3y＝2.22θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．π2323πθ＝时，ρ＝，所以N.233，223(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为0，.3所以点P的直角坐标为1，323π，则点P的极坐标为，33，6π所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．6π1，，点B在直线l：ρcoθ＋ρinθ＝0(0≤θ<2π)上运动，当2．在极坐标系中定点A2线段AB最短时，求点B的极坐标．解：∵ρcoθ＋ρinθ＝0，∴coθ＝－inθ，tanθ＝－1.3π∴直线的极坐标方程化为θ＝(直线如图)．4过A作直线垂直于l，垂足为B，此时AB最短．易得|OB|＝22 .∴B点的极坐标为23π2，4.3．(2022·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcoθ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(某，y)在该圆上，求某＋y的最大值和最小值．解：(1)原方程变形为：ρ2－4ρcoθ－4ρinθ＋6＝0.某2＋y2－4某－4y＋6＝0.(2)圆的参数方程为某＝2＋2coα，y＝2＋2inα(α为参数)，所以某＋y＝4＋2inα＋π4.那么某＋y的最大值为6，最小值为2.4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：某′＝3某，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换得到点B′－3，12，求点B的坐标；(3)求直线l：y＝6某经过φ变换后所得到的直线l′的方程．某′＝3某，解：(1)设A′(某′，y′)，由伸缩变换φ：某′＝3某，y′＝y得到y′＝12y，坐标为13，－2，于是某′＝3某13＝1，y′＝12某(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设B(某，y)，由伸缩变换φ：某′＝3某，某＝3某′，y′＝y得到y＝2y′.由于点B′的坐标为－3，12，于是某＝13某(－3)＝－1，y＝2某12＝1，A的由于点∴B(－1,1)为所求．某＝，某′＝3某，3(3)由伸缩变换φ：得2y′＝y，某′y＝2y′.代入直线l：y＝6某，得到经过伸缩变换后的方程y′＝某′，因此直线l的方程为y＝某.5．(2022·南京模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2coθ，ρcoθ＋π＝1.3(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(某＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C23的直角坐标方程为某－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，2所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．ρρ0＝2，(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则θ＝θ0，2ρ0＝ρ，即①θ0＝θ.因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，πθ0＋＝1，②所以ρ0co3π2θ＋＝1，将①代入②，得coρ3π13θ＋为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为某－2＋y＋2＝1，因即ρ＝2co32213此点P的轨迹是以，－为圆心，1为半径的圆．22π2θ－＝.6．(2022·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝coθ＋inθ和直线l：ρin42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝coθ＋inθ，即ρ2＝ρcoθ＋ρinθ，圆O的直角坐标方程为：某2＋y2＝某＋y，即某2＋y2－某－y＝0，π2θ－＝，即ρinθ－ρcoθ＝1，直线l：ρin42则直线l的直角坐标方程为：y－某＝1，即某－y＋1＝0.22某＋y－某－y＝0，某＝0，π1，.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为2某－y＋1＝0y ＝1，第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数某，y中的一个与参数t的关系，例如某＝f(t)，把它代入普通方程，求某＝ft，出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．y＝gt2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹直线普通方程y－y0＝tanα(某－某0)参数方程某＝某0＋tcoαy＝y0＋tinα(t为参数)圆某＋y＝r某2y2＋＝1(a>b>0)a2b2222某＝rcoθ(θ为参数)y＝rinθ某＝acoφ(φ为参数)y＝binφ椭圆某＝某0＋tcoα，1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程y＝y0＋tinα.(t为参数)注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．[试一试]3．(2022·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为23y＝＋22t1某＝t，2(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，某轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐πθ－.若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2co4值．解：首先消去参数t，可得直线方程为3某－y＋为某－2＝0，极坐标方程化为直角坐标方程21－1062＝.24222＋y－2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝2224．(2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρin2θ＝coθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；某＝2－22t，(2)若直线l的参数方程为2y＝2t点，求|AB|的值．(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两解：(1)将y＝ρinθ，某＝ρcoθ代入ρ2in2θ＝ρcoθ中，得y2＝某，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝某.某＝2－22t，(2)把2y＝2t，代入y2＝某整理得，t2＋2t－4＝0，Δ>0总成立．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝－22－4某－4＝32.[课下提升考能]某＝t＋1，1．在平面直角坐标系某Oy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的y＝2t2某＝2tanθ，参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共y＝2tanθ点的坐标．某＝t＋1，解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由某＝t＋1得t＝某－1，代入y＝y＝2t2t，得到直线l的普通方程为2某－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2某.y＝2某－1，1解方程组2得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．2y＝2某，2．(2022·长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4coθ，以极点为原点，极轴为某轴某＝5＋23t，正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为1y＝2t(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(t为参数)．(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)由ρ＝4coθ，得ρ2＝4ρcoθ，即曲线C的直角坐标方程为某2＋y2＝4某；某＝5＋23t，由1y＝2t(t为参数)，得y＝(某－5)，即直线l的普通方程为某－3y－5＝0.3|2－3某0－5|3(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，21＋3弦长|PQ|＝2某＝2＋2coφ，3．在直角坐标系某Oy中，圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和y＝2inφ某＝coφ，(φ为参数)．以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．y＝1＋inφ322－2＝7，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝37.2(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(某－2)2＋y2＝4和某2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4coθ和ρ＝2inθ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4coα，α)，Q(2inα，α)，所以|OP|＝|4coα|，|OQ|＝|2inα|.从而|OP|·|OQ|＝|4in2α|≤4，当且仅当in2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.4．(2022·福建模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为某轴建立平面直角坐标系．已知直线l某＝－1＋tco6，的参数方程为πy＝tin6OM，BM，在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|co∠BOM，所以ρ＝2coθ.π(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接π可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2coθ，2故ρ＝2coθ为所求圆的极坐标方程．(2)由πy＝tin6π某＝－1＋tco，6(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝3(某＋1)，3即直线l的普通方程为某－3y＋1＝0.由ρ＝2coθ，得圆C的直角坐标方程为(某－1)2＋y2＝1.|1某1－3某0＋1|因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，2所以直线l与圆C相切．5．(2022·郑州模拟)在直角坐标系某Oy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以某轴非负半轴为极轴，与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcoθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(某，y)为曲线C上任意一点，求某＋y的取值范围．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcoθ＋5＝0化为直角坐标方程为某2＋y2－6某＋5＝0.某＝－1＋tcoα，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝tinα某＝－1＋tcoα，将(t为参数)代入某2＋y2－6某＋5＝0整理得，t2－8tcoα＋12＝0.y＝tinα∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64co2α－48≥0，∴coα≥33或coα≤－.22π50，∪∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是，.66(2)曲线C的方程某2＋y2－6某＋5＝0可化为(某－3)2＋y2＝4，某＝3＋2coθ，其参数方程为(θ为参数)．y＝2inθ∵M(某，y)为曲线C上任意一点，π∴某＋y＝3＋2coθ＋2inθ＝3＋22in(θ＋)，4∴某＋y的取值范围是[3－22，3＋22]．某＝acoφ，6．(2022·昆明模拟)已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的y＝3inφ某＝3＋t，参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在某轴上，以坐标原点为y＝－1－t极点，某轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋2π4π111)，C(ρ3，θ＋)在曲线C上，求的值．2＋2＋33|OA||OB||OC|2某2解：(1)直线l的普通方程为某＋y＝2，与某轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为2＋ay2某2y2＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1.3432π4πρ2，θ＋，Cρ3，θ＋在曲线C上，即点A(ρ1coθ，ρ1inθ)，(2)因为点A(ρ1，θ)，B332π4π4π2πθ＋，ρ2in(θ＋，Cρ3coθ＋，ρ3inθ＋在曲线C上．Bρ2co3333故1111112＋2＋2＝2＋2＋2|OA||OB||OC|ρ1ρ2ρ324112＝co2＋co2＋＋co＋＋343322422in＋in＋＋in＋33481＋co2＋1＋co2＋＋co21133＋＋＋＝4222481－co2＋1－co2＋－co2113313137＝4某2＋3某2＝8.＋＋3222。

2024年高考数学一轮复习第7章：立体几何(附答案解析)

2024年高考数学一轮复习第7章：立体几何学生版一、单项选择题
1．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图，则正确的图形是(
)
2．下列四个命题中，正确的是()
A．各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B．对角面是全等矩形的六面体一定是长方体
C．有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D．长方体一定是直四棱柱
3．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线可能有()
A．0条或1条B．0条或无数条
C．1条或2条D．0条或1条或无数条
4．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
5．已知直线a，b，l和平面α，β，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，且α⊥β.对于以下命题，判断正确的是()
①若a，b异面，则a，b至少有一个与l相交；
②若a，b垂直，则a，b至少有一个与l垂直．
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题
D．①是真命题，②是真命题
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三维设计高考数学湘教版文科一轮复习课时检测选修4-5绝对值不等式(含答案详析)

课时跟踪检测(六十六) 绝对值不等式1．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．2．(2014·哈师大附中模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；(2)若g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围．4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a .(1)当a ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．5．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．6．(2013·河北模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件：①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立；②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立．(1)求f (1)的值；(2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时，f (x ＋t )≤x 恒成立．答案1．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2 <a ，且⎪⎪⎪⎪12－2 ≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.2．解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1.∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．3．解：(1)由题意原不等式可化为：|x －1|>1－x 2，即x －1>1－x 2或x －1<x 2－1，由x －1>1－x 2得x >1或x <－2；由x －1<x 2－1得x >1或x <0.综上，原不等式的解为x >1或x <0.(2)原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|<m 的解集非空．令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，即h (x )min <m ，又|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4，所以h (x )min ＝4，所以m >4.4．解：(1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－5，由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1，2x －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x <－1，－4≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－8－2x ≥0，解得x ≥1或x ≤－4.即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－4}．(2)由题可知|x ＋1|＋|x ＋2|－a ≥0恒成立，即a ≤|x ＋1|＋|x ＋2|恒成立，而|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．5．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．6．解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (x )≤1，故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的图象关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．因为f (1)＝1，所以a ＝14，所以f (x )＝14(x ＋1)2. (3)f (x )＝14(x ＋1)2的图象开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图象是由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图象在y ＝x 的图象下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14(x ＋t ＋1)2＝x 的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)；当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x －5)2－4≤0，即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测53最值、范围、证明问题

课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为12. (1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t ＞0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．3.(2013·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·石家庄模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0＜e＜5－12，O为坐标原点，求证：|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.2. (2013·西安质检)如图，已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为2的正方形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于A，B两点，当△OAB面积最大时，求直线l的方程．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)因为焦点F 到准线的距离为12，所以p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y . (2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，所以k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x ＝x 0＋x . 因为NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，所以k PM ·k NQ ＝－1，即 2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1，整理，得x 0＝2t 2x ＋2t 1－2t 2.① 又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ 与MP 共线，得x 0＝2xt x ＋t，② 由①②，得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xt x ＋t(t ＞0)，所以t ＝－x 2＋13x，所以t ≥23或t ≤－23(舍去)．所以所求t 的最小值为23. 2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为e ＝12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2. 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2， y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立；当k ＞0时，3k ＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立．所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312. 3．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为 y ＝y 0－1x 0x ＋1, ① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② 设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线，∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c 4a 3，则c a ＝33， ∴椭圆的离心率为33. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52.①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1， y 2＝b 4a 2，OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2， ∵a 2＞3＋52，∴OA ·OB ＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2， OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.2．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，12×2b ×2c ＝2a 2＝b 2＋c 2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)根据题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1.，消去y 得关于x 的方程(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则有Δ＞0，即64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24＞0，解得k 2＞32. 由一元二次方程的根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1·x 2＝61＋2k 2，故|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝16k 2－242k 2＋1·1＋k 2. 又因为原点O 到直线l 的距离 d ＝|k ×0－0＋2|1＋k 2＝21＋k 2，故△AOB 的面积为S △AOB ＝12|AB |·d ＝16k 2－241＋2k 2＝22×2k 2－31＋2k 2. 令m ＝2k 2－3(m ＞0)，则2k 2＝m 2＋3，所以S △AOB ＝22m m 2＋4≤22m 24m 2＝22，当且仅当m ＝2时等号成立，14此时k＝±2，直线l的方程为±14x－2y＋4＝0.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：解答题规范专练2 三角函数、解三角形

解答题规范专练(二) 三角函数、解三角形1．(2014·西安一模)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．2．(2014·石家庄模拟)已知f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．3．(2014·沈阳模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(sin A －sin B ，sin C )，向量n ＝(2sin A －sin C ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1)求角B ；(2)若sin A ＝35，求cos C 的值．答案1．解：(1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，且f (C )＝0， ∴f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0，即sin(2C －π6)＝1， ∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<11π6， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. ∵sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理得a b ＝12，① 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，②由①②解得a ＝1，b ＝2.2．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －2＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 所以f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2. 3．解：(1)依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin C (2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理得，a 2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. (2)∵sin A ＝35，∴sin A <22，∴A <B . 又B ＝π4，∴A <π4，∴cos A ＝45， ∴cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝－210.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测50双曲线

课时跟踪检测(五十) 双曲线第Ⅰ组：全员必做题1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9 2．(2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12B.32 C ．1 D. 33．(2013·深圳调研) 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14B.12 C ．2 D ．44. (2013·郑州模拟)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12D.3＋125．(2013·武汉模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．86. (2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为________． 7．(2013·陕西高考) 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________． 8. (2013·石家庄模拟)F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．10. P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB ，求λ的值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·河北省重点中学联考) 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102C.53D.1032．(2014·江西临川模拟)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7. 2．选B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为32，故选B. 3．选D 双曲线方程可化为x 2－y 21m＝1， ∴实轴长为2，虚轴长为21m ， ∴2＝2⎝⎛⎭⎫2 1m ，解得m ＝4. 4．选B 连接AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||AF 2|－|AF 1|＝2c 3c －c＝3＋1，选B. 5．选C 设c ＝a 2＋b 2，则c a ＝54， ∴a ＝45c ，∴b ＝c 2－a 2＝35c . ∵1PF ,·2PF ,＝0(即PF 1⊥PF 2)，S △PF 1F 2＝9，∴|PF 1|·|PF 2|＝18.∵⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，两式相减得，2|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，∴b 2＝9，∴b ＝3，∴c ＝5，a ＝4，∴a ＋b ＝7.6．解析：由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103，∴a ＝3，b ＝1，双曲线的方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝17．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝16，b 2＝m ，e 2＝2516⇒2516＝16＋m 16⇒m ＝9.答案：98．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：79．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23 x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC ＝(x 3，y 3)，OC ＝λOA ＋OB ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4.第Ⅱ组：重点选做题1．选B 由题可知点A 在双曲线的右支上，则|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 2|＝2a ，则|AF 2|＝a ，得|AF 1|＝3a ，由∠F 1AF 2＝90°，得(3a )2＋a 2＝(2c )2，则e ＝c a ＝102. 2．解析：双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0,2)，由题意知点⎝⎛⎭⎫33，2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a 2＝－1 得a 2＝3，故e ＝c a ＝233. 答案：233。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：解答题规范专练4立体几何

解答题规范专练(四)立体几何1．(2013·南通模拟)已知正方体ABCD-AB1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．(1)求证：AC1∥平面B1DE；(2)求三棱锥A-BDE的体积．2．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别是BC，CA的中点．(1)证明：平面PBE⊥平面P AC；(2)在BC上找一点F，使AD∥平面PEF，并说明理由．3．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)求证：EM∥平面ABC；(3)试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．答案1．解：(1)证明：取BB 1的中点F ，连接AF ，CF ，EF .∵E ，F 分别是CC 1，BB 1的中点，∴CE 綊B 1F .∴四边形B 1FCE 是平行四边形．∴CF ∥B 1E .∵E ，F 是CC 1，BB 1的中点，∴EF 綊BC ，又BC 綊AD ，∴EF 綊AD .∴四边形ADEF 是平行四边形．∴AF ∥ED .∵AF ∩CF ＝F ，B 1E ∩ED ＝E ，∴平面ACF ∥平面B 1DE .又AC 平面ACF ，∴AC ∥平面B 1DE .(2)由条件得S △ABD ＝12AB ·AD ＝2. ∴V A -BDE ＝V E -ABD ＝13S △ABD ·EC ＝13×2×1＝23，即三棱锥A -BDE 的体积为23. 2．解：(1)证明：∵P A ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BE .∵△ABC 为正三角形，E 是CA 的中点，∴BE ⊥AC .又∵P A ，AC ⊂平面P AC ，P A ∩CA ＝A ，∴BE ⊥平面P AC .∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面P AC .(2)取F 为CD 的中点，连接EF .∵E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴EF 是△ACD 的中位线，∴EF ∥AD .又∵EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD ∥平面PEF .3．解：由题意，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE ∥DC ，AE ＝2，DC ＝4，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝2.(1)∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，EA ∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACDE .∴四棱锥B -ACDE 的高h ＝AB ＝2，梯形ACDE 的面积S ＝6，∴V B -ACDE ＝13Sh ＝4，即所求几何体的体积为4.(2)证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM ，MG ，AG ，∴MG ∥DC ，且MG ＝12DC ， ∴MG 平行且等于AE ，∴四边形AGME 为平行四边形，∴EM ∥AG ，又AG ⊂平面ABC ，EM ⊄平面ABC ，∴EM ∥平面ABC .(3)由(2)知，EM ∥AG ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD .∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N ，∴MN ⊥平面BDE ，点N 即为所求的点，△DMN ∽△DCB ，∴DN DB ＝DM DC ，即DN 26＝64， ∴DN ＝3，∴DN ＝34DC ， ∴边DC 上存在点N ，满足DN ＝34DC 时，有NM ⊥平面BDE .。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：数学思想专项训练3分类讨论思想

数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝( ) A ．0 B.14 C ．0，14D ．－14，02．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1， x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1，－22D ．1，223．若直线l 过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝04．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}5．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．0<a <1C ．0<a ≤12D ．0<a <36．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，集合B ＝{x |x 2－ax ＋a －1<0}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈q 是綈p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a ≤2B ．0<a ≤1C ．2≤a ≤4D ．2<a <4二、填空题7．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围是________． 9．若数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 10．非负整数a ，b ，满足|a －b |＋ab ＝1，记集合M ＝{(a ，b )}，则集合M 中元素的个数为________．三、解答题11．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n .12．已知函数f (x )和g (x )的图像关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(3)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．13．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上P 点的切线与椭圆C 1交于不同的两点M ，N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G ，H ，当直线GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．答案1．选C 由A ∩B ＝A ∪B 知A ＝B ，又根据集合元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，a ≠b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，a ≠b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12，故a ＝0或14.2．选C ∵f (1)＝e 1－1＝1，∴f (a )＝1，若a ∈(－1,0)，则sin(πa 2)＝1，∴a ＝－22. 若a ∈[0，＋∞)，则e a －1＝1，∴a ＝1. 因此a ＝1或a ＝－22. 3．选D 若直线l 的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故直线l 被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为直线l 被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线l 的距离为52－42k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y ＋15＝0.4．选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．5．选A 设函数y ＝a x (a >0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a >1.6．选C 由x 2－4x ＋3<0得，1<x <3，即A ＝{x |1<x <3}，由x 2－ax ＋a －1<0得，[x －(a －1)](x －1)<0，由綈q 是綈p 的必要不充分条件可知p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q ，但q 能推出p ，∴B A .若B ＝∅，则a ＝2，若B ≠∅，则1<a －1≤3，即2<a ≤4，综上可知，a 的取值范围是[2,4]．7．解：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32；当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝32.答案：12或328．解析：①当a >0时，需x －b 恒为非负数，即a >0，b ≤0. ②当a <0时，需x －b 恒为非正数．又∵x ∈[0，＋∞)， ∴不成立．综上所述，由①②得a >0且b ≤0. 答案：a >0且b ≤09．解析：∵a 1a 2a 3…a n ＝n 2＋3n ＋2，①∴当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)＋2＝n (n ＋1)．② ①÷②得，a n ＝n 2＋3n ＋2n (n ＋1)＝n ＋2n ＝1＋2n (n ≥2)，又a 1＝12＋3×1＋2＝6，不满足a n ＝1＋2n，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，1＋2n ， n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 ，n ＝1，1＋2n，n ≥210．解析：由非负整数a ，b 满足|a －b |＋ab ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a －b |＝0，ab ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，ab ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，即M ＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)}，所以集合M 中元素的个数为3.答案：311．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝－8，2a 1＋4d ＝－14，解得a 1＝－1，d ＝－3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1－3(n －1)＝－3n ＋2. (2)由数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，得a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1， ∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋cn －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)．∴当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n 1－c ＝n (3n －1)2＋c n －1c －1.综上，数列{b n}的前n 项和S n＝⎩⎨⎧3n 2＋n2， c ＝1，n (3n －1)2＋c n－1c －1，c ≠1.12．解：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x 2＝0，y 0＋y 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝－y . 又∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上， ∴－y ＝x 2－2x ，∴y ＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得 2x 2－|x －1|≤0.当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解；当x <1时，2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12.因此，原不等式的解集为[－1，12]．(3)h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1.①当λ＝－1时，h (x )＝4x ＋1在[－1,1]上是增函数，故λ＝－1适合题意． ②当λ≠－1时，对称轴的方程为x ＝1－λ1＋λ.当λ<－1时，1－λ1＋λ≤－1，解得λ<－1；当λ>－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1<λ≤0.综上所述，λ≤0.故实数λ的取值范围为(－∞，0]．13．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ，所以直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0，又直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0， ①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 中点的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3，则x 3＝1＋t2，由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)，当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3，不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t )≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习解答题规范专练(四)立体几何

解答题规范专练(四) 立体几何1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．(1)求证：CD∥平面PAB；(2)求证：PE⊥AD；(3)若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB.2．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．3．(2015·西城模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．答案1．证明：(1)因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB.又因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.(2)因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD.(3)因为CA＝CB，点E是棱AB的中点，所以CE⊥AB.由(2)可得PE⊥AB，因为PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC.2．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綊12AC ， OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ， MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .3．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF .(2)证明：在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF .设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ，所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ，所以平面BDGH ∥平面AEF .(3)由(1)，得AC ⊥平面BDEF ，又因为AO ＝2，S ▱BDEF ＝3×22＝62，所以四棱锥A BDEF 的体积V 1＝13×AO ×S ▱BDEF ＝4.同理，四棱锥C BDEF 的体积V 2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.。

高考数学一轮复习立体几何多选题复习题及解析

高考数学一轮复习立体几何多选题复习题及解析一、立体几何多选题1．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -217 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177【答案】ACD 【分析】A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确.B 选项：当122BE BF BC ===时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，把三棱锥1A EFD -=，三棱锥1A EFD -，体积为334433R ππ==，故B 错误C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ===在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin 9EA F ∠=则111111sin 332292A EFSA E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=111111433A EFD D A EF A EF V V SA D --∴==⋅⋅==故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则在EFD △中，2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯， 7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFDSDE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEFV Sh h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h =故D 正确；故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A内，若||AE =AC DF ⊥，则（）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，；选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-；选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确；对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =，设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=，故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确；对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，1A B =，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误；对于C ，设正方体边长为a，则11AC =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则11123O A AC ='==，又1OA =，∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴=，又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.4．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形；故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==，2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯⨯=，四边形面积是22242⨯=，故截面面积是52. 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.5．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为2. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ，则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=，故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=，故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错．若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥，因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错．当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =，又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=，故此时体积为13223224⨯⨯=，故D 正确．对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =，故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ，故C 正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.6．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A ．MN ∥平面ABDB ．异面直线AC 与MN 所成的角为定值C ．在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大，故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.故选项D 正确;故选：ABD 【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°] D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6【答案】ABD 【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6．【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1， ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1， ∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（）A ．AS ⊥CDB ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为2a C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱【答案】ABD 【分析】取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有1122O B O S a ==，可求得球半径为22a ；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.【详解】如图所示：A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AHSH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥ ，故A 正确；B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a所以112O B O S ==，由()22211OB O B O S OS =+-得22222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得2R =，故B 正确； C 选项：设内切球半径为r，易求得侧面面积为221sin 23S a π=⋅=，由等体积法得222111432334a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅解得4a r = ，故C 错；D 选项：取SE 中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由)22222221cos 2322BF DF BD BFD BF DF a ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭22222221cos 232a AF BF BA AFD AF BF ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎫⎪⎝⎭，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD ===，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC 故正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确故选：ABD 【点睛】求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：解答题规范专练1函数与导数

解答题规范专练(一)函数与导数1．(2013·兰州调研)已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．2．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(注：e为自然对数的底数．)3．(2013·大同模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)＝－52x＋b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数解，求实数b的取值范围．答案1．解：(1)f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a .令f ′(x )＝0，得3ax 2－8ax ＋4a ＝0.∵a >0，∴3x 2－8x ＋4＝0，∴x ＝23或x ＝2. ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，23和(2，＋∞)； ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫23，2.(2)∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝23时取得极大值，即a ·23⎝⎛⎭⎫23－22＝32.∴a ＝27. 2．解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x－2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a >0，所以f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．(2)要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，则f (1)≥e －1，得a －1≥e －1，a ≥e ，由(1)知f (x )在[1，e]内递增，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 3．解：(1)∵f ′(x )＝1x ＋a－2x －1，又函数f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝1a－1＝0，得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)－x 2－x .令g (x )＝f (x )＋52x －b ＝ln(x ＋1)－x 2＋32x －b ， x ∈(－1，＋∞)，则g ′(x )＝1x ＋1－2x ＋32＝－(4x ＋5)(x －1)2(x ＋1). 令g ′(x )＝0得x ＝1.此时g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝1时，g (x )取得极大值也是最大值．由题设可知函数g (x )在区间[0,2]上有两个不同的零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ln 2＋12－b >0，－b ≤0，ln 3－1－b ≤0，解得ln 3－1≤b <ln 2＋12，∴b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫ln 3－1，ln 2＋12.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：多题一法专项训练4 构造法

多题一法专项训练(四) 构造法一、选择题1．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )A ．①或②B ．①或③C ．只有②D ．②或③2．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A.2nB.2n －1C.2n ＋1D.2n ＋2 4．如图所示，已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2405．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题6．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．7．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤4，则x 2＋(y －6)2的最小值是________．8．若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为________．三、解答题9．求数列{a n }的通项公式：(1)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)；(2)已知数列{a n }满足：a 1＝3，且a n ＋1＝a n 2a n ＋1(n ∈N *)．10．设函数f (x )＝x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x >－1)．(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当n >m >0时，(1＋n )m <(1＋m )n .11．设f (x )＝e x －1.(1)当x >－1时，证明：f (x )>2x 2＋x －1x ＋1； (2)当a >ln 2－1且x >0时，证明：f (x )>x 2－2ax .12．设数列{a n }的前n 项和S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ∈N *. (1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n ，n ∈N *，证明： i ＝1n T i <32.答案1．选B 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A 、C 、D ，选B.2．选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．3．选C ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n }是以1为首项，12为公差的等差数列． ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 4．选C 因为三棱锥P -ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各边分别是此长方体的面对角线．不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P -ABC ＝V AEBG -FPDC －V P -AEB －V C -ABG －V B -PDC －V A -FPC ＝V AEBG -FPDC －4V P -AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. 5．选D f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3.6．解析：设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，由于a >3，则在(0,2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数，而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答案：17．解析：由|x |＋|y |≤4可得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，－x ＋y ≤4，x －y ≤4，－x －y ≤4，其对应的区域为边长为42的正方形，即图中阴影部分(包括边界)，x 2＋(y －6)2表示定点M (0,6)与区域上的点(x ，y )的距离的平方，易得x 2＋(y －6)2的最小值是4.答案：48．解析：由4x 2＋9y 2≥2k xy ，且x >0，y >0得2k≤4x 2＋9y 2xy ，又4x 2＋9y 2xy ≥236x 2y 2xy＝12，当且仅当4x 2＝9y 2“＝”成立，∴2k ≤12.则k max ＝3.答案：39．解：(1)由已知，可得a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－1＝3(a n －1)．故{a n －1}是一个首项为a 1－1＝1，公比为3的等比数列．所以a n －1＝1×3n －1，故a n ＝3n －1＋1.(2)由已知，可得当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 2a n ＋1，两边取倒数，得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n ＝2，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝13，公差为2的等差数列，其通项公式为1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －53＝36n －5.10．解：(1)f ′(x )＝1－ln(x ＋1)－x ＋1x ＋1＝－ln(x ＋1)，当f ′(x )≥0，即－1<x ≤0时，f (x )单调递增，当f ′(x )≤0，即x ≥0时，f (x )单调递减．综上得f (x )的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为[0，＋∞)．(2)证明：设g (x )＝ln (1＋x )x(x >0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln (1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln (1＋x )x 2(1＋x )由(1)知，f (x )＝x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)上单调递减，所以x －(1＋x )ln(1＋x )<f (0)＝0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而n >m >0，所以g (n )<g (m )，即ln (1＋n )n <ln (1＋m )m. 得m ln(1＋n )<n ln(1＋m )，故(1＋n )m <(1＋m )n .11．证明：(1)当x >－1时，要使f (x )>2x 2＋x －1x ＋1，即e x －1>2x 2＋x －1x ＋1＝2x －1，当且仅当e x >2x ，即e x －2x >0.令g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2.令g ′(x )＝0，即e x －2＝0，解得x ＝ln 2.当x ∈(－1，ln 2)时，g ′(x )＝e x －2<0，故函数g (x )在(－1，ln 2]上单调递减；当x ∈[ln 2，＋∞)时，g ′(x )＝e x －2>0，故函数g (x )在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以g (x )在(－1，＋∞)上的最小值为g (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，所以在(－1，＋∞)上有g (x )≥g (ln 2)>0，即e x >2x .故当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )>2x 2＋x －1x ＋1.(2)欲证f (x )>x 2－2ax ，即e x －1>x 2－2ax ，也就是e x －x 2＋2ax －1>0，可令u (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则u ′(x )＝e x －2x ＋2a .令h (x )＝e x －2x ＋2a ，则h ′(x )＝e x －2.当x ∈(－∞，ln 2)时，h ′(x )<0，函数h (x )在(－∞，ln 2)上单调递减；当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以h (x )的最小值为h (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a >0.所以u ′(x )＝h (x )>0，即u (x )在R 上为增函数，故u (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以u (x )>u (0)．而u (0)＝0，所以u (x )＝e x －x 2＋2ax －1>0.即当a >ln 2－1且x >0时，f (x )>x 2－2ax .12．解：(1)由S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ∈N *① 得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，所以a 1＝2. 再由①有S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23(n ≥2)．② 将①和②相减得a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×(2n ＋1－2n )，(n ≥2)．整理得a n ＋2n ＝4(a n －1＋2n －1)，(n ≥2)．因而数列{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列，即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n . 因而a n ＝4n －2n ，n ∈N *.(2)证明：将a n ＝4n －2n 代入①得S n ＝43×(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13×(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23×(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n(2n ＋1－1)×(2n －1)＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1，所以∑i ＝1n T i ＝32∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －1－12i ＋1－1 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－12n ＋1－1<32.。