(教师参考)高中数学 1.3 函数的基本性质 单调性课件 新人教A版必修2
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人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
函数 y 1 在（ ,0）及（0,）上分别单调递减． x
单调性定义的简单应用
例 1 根据定义，研究函数 f (x) kx b (k 0)的单调性．
例 1 根据定义，研究函数 f (x) kx b (k 0)的单调性． 分析：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察 在定义域内的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比 例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？
问题 1：请看下面的函数图象，从中你能发现什么变化 中的规律？
0.2
大家的回答涉及了很多方面：如升降变化，对称性，最 高点或最低点等．我们重点关注图象从左到右升降变化的特 点．
追问 6：对于函数 y x2，你能模仿上述方法，给出“在区间[0, ) 上， y随 x的增大而增大”的符号语言刻画吗？
在[0, )上，任取 x1， x2，只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数 y x2的单调性．
练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数 y x2的单调性．
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
y f(x2)
f(x) = x2
x1 = 1.63 f(x1
x2 = 2.40
f(x
A
f(x1) B
O
x1 x2
x
坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制
新知探究
追问2 如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞）上，f（x）＝x2 f(x) = x2
的函数值随自变量的增大而增大”？
新知探究
问题5 （1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 ∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数 f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？
（1）不能， 比如函数f（x）＝x2， 当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时， 符合∀x1，x2∈A， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）， 但f（x）在区间D上不是单调递增的．
新知探究
例1 根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．
解： ②当k＜0时，k（x1－x2）＞0． 于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）． 这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是减函数．
新知探究
例2 物理学中得玻意耳定律p＝ k （k为正常数）告诉我们，对于 V
一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数 的单调性证明．
函数的单调性_PPT课件
a(1 c)(cx1 cx2 ) (1 cx1 )(1 cx2 )
因为当c＞1时，cx2 cx1 ,则 (1 c)(cx1 cx2 ) 0;
当0＜c＜1时，cx2 cx1 ,则 (1 c)(cx1 cx2 ) 0.
所以不论c＞1还是0＜c＜1，恒有f（x2） ＞f（x1）.
是 增函数 或 减函数 ，则称函数
f（x）在这一区间上具有单调性， D 叫 做f（x）的单调区间.
3
1.设函数f（x）是R上的单调递减函数， 且f（m2）>f（-m），则实数m的取值范围为 （）
A. （0,+∞） B. （-∞,-1） C. （-∞,-1）∪（0,+∞） D. （-1,0）
依题意得m2<-m，解得-1<m<0， 故选D.
综上，得a=-2或a=6.
31
【评注】函数是否存在最值，取决于函 数的特征和函数的定义域.本题是二次函数， 在全体实数上，存在最大或最小值；单调函 数在定义域的子闭区间上一定存在最值，且 最值在闭区间的端点处取得.如果函数中出 现了参数，应当对参数进行分类讨论.
32
函数f（x）=ax+loga（x+1）在 ［0，1］上的最大与最小值的和为a，求a的值.
4
2.若函数h′（x）=2x+ k + k 在（1,+∞） x3
上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
因为当c＞1时，cx2 cx1 ,则 (1 c)(cx1 cx2 ) 0;
当0＜c＜1时，cx2 cx1 ,则 (1 c)(cx1 cx2 ) 0.
所以不论c＞1还是0＜c＜1，恒有f（x2） ＞f（x1）.
是 增函数 或 减函数 ，则称函数
f（x）在这一区间上具有单调性， D 叫 做f（x）的单调区间.
3
1.设函数f（x）是R上的单调递减函数， 且f（m2）>f（-m），则实数m的取值范围为 （）
A. （0,+∞） B. （-∞,-1） C. （-∞,-1）∪（0,+∞） D. （-1,0）
依题意得m2<-m，解得-1<m<0， 故选D.
综上，得a=-2或a=6.
31
【评注】函数是否存在最值，取决于函 数的特征和函数的定义域.本题是二次函数， 在全体实数上，存在最大或最小值；单调函 数在定义域的子闭区间上一定存在最值，且 最值在闭区间的端点处取得.如果函数中出 现了参数，应当对参数进行分类讨论.
32
函数f（x）=ax+loga（x+1）在 ［0，1］上的最大与最小值的和为a，求a的值.
4
2.若函数h′（x）=2x+ k + k 在（1,+∞） x3
上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
单调性ppt课件
在定义域内解不等式，求自变量x的
取值范围，也即函数的单调区间。
2
o
x
令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)时， 是增函数 令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时， 是减函数
[练一练]:确定函数
，
在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数?
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
y
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
取值范围，也即函数的单调区间。
2
o
x
令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)时， 是增函数 令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时， 是减函数
[练一练]:确定函数
，
在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数?
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
y
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
解析： 结合图象可知，函数y＝f(x)在区间 (－∞，－2]，[0,1]上是减函数，在[－2,0]及[1， ＋∞)上是增函数． 答案： [－2,0]，[1，＋∞) (－∞，－2]，
3.求函数f(x)＝x3＋x在R上的单调区间．
解析： 设 x1＜x2，则 x2－x1＞0， f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1) ＝(x32－x31)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1) ＝(x2－x1)x2＋x212＋34x21＋1. ∵x2＋x212＋34x21＋1＞0， ∴f(x2)－f(x1)＞0，即 f(x2)＞f(x1)． ∴f(x)＝x3＋x 在 R 上是增函数． ∴函数 f(x)＝x3＋x 的单调增区间为 R.
第一章 集合与函数的概念
1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 单调性
1．理解函数单调性的 性质． 2．掌握判断函数单调 性的一般方法．
1．函数单调性的概 念．(重点、难点) 2．判断函数单调性及 单调性的应用．(重点)
函数的单调性【新教材】人教A版高中数学选择性必修第二册课件1
令 f ' (x) 0 ，解得 x>2 ；令 f ' (x) 0，解得 x<2；
所以，f(x)在 - ，2 上单调递减，在 2， 单调递增。
单县第一中学 朱尚荣
问题3:如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
例1： 求函数 f (x) 1 x3 1 x2 2x 1 的单调区间. 32
(1) 解：函数f (x) ex - x 8 的定义域为R，对f(x)求导，得 f ' (x) ex 1 令 f ' (x) 0 ，解得 x>0 ；令 f ' (x) 0，解得 x<0；
所以，f(x)在 - ，0 上单调递减，在 0， 单调递增。
(2) 解：函数 f (x) x2 4x 8 的定义域为R，对f(x)求导，得 f ' (x) 2x - 4 2(x - 2)
令 f ' (x) 0 ，解得 x=-1，或x=2
x=-1和x=2把定义域分成了三个区间， f ' (x) 的正负，以及f(x)的单调性如表所示：
x
- ，-1 -1
f '(x)
0
f (x)
单调 递增
13 6
-1，2 2 2，
-0
单调 递减
-7 3
单调 递增
所以，f(x)在 - ，2 上单调递减，在 2， 单调递增。
单县第一中学 朱尚荣
问题3:如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
例1： 求函数 f (x) 1 x3 1 x2 2x 1 的单调区间. 32
(1) 解：函数f (x) ex - x 8 的定义域为R，对f(x)求导，得 f ' (x) ex 1 令 f ' (x) 0 ，解得 x>0 ；令 f ' (x) 0，解得 x<0；
所以，f(x)在 - ，0 上单调递减，在 0， 单调递增。
(2) 解：函数 f (x) x2 4x 8 的定义域为R，对f(x)求导，得 f ' (x) 2x - 4 2(x - 2)
令 f ' (x) 0 ，解得 x=-1，或x=2
x=-1和x=2把定义域分成了三个区间， f ' (x) 的正负，以及f(x)的单调性如表所示：
x
- ，-1 -1
f '(x)
0
f (x)
单调 递增
13 6
-1，2 2 2，
-0
单调 递减
-7 3
单调 递增
函数单调性课件ppt
导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同，则复合 函数单调递增；内外层函数单调 性不同，则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
斜率k决定单调性，k>0时单调递增，k<0 时单调递减。
开口向上时，在对称轴左侧单调递减，右 侧单调递增；开口向下时，在对称轴左侧 单调递增，右侧单调递减。
指数函数
对数函数
底数大于1时，函数单调递增；底数在(0,1) 时，函数单调递减。
真数大于1时，函数单调递增；真数在(0,1) 时，函数单调递减。
详细描述
利用单调性研究函数的零点的基本方法是，首先确定函数在 指定区间上的单调性，然后根据单调性的性质，判断函数在 区间端点处的取值符号，从而确定零点的存在性和个数。
04
函数单调性的实例分析
单调性在生活中的应用
股票价格变化
股票价格的变化趋势可以用单调性来 描述，如果股票价格持续上涨，则函 数在该区间内单调递增；反之，如果 股票价格持续下跌，则函数单调递减 。
单调性课件
单调性课件
contents
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定方法 • 单调性的应用 • 单调性的扩展知识 • 单调性的重要性
01
单调性的定义
函数单调性的定义
增函数
如果对于函数$f(x)$的定义域中任意两个自变量$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$），都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数$f(x)$为增函数。
减函数
如果对于函数$f(x)$的定义域中任意两个自变量$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$），都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$，则称函数$f(x)$为减函数。
区间单调性的定义
区间单调性是指在某个区间内函数的单调性，根据函数在区 间内的变化情况，可以将区间单调性分为递增区间和递减区 间。
递增区间是指在该区间内，任意两点$x_{1}$，$x_{2}$（ $x_{1} < x_{2}$）都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$；递减区间则是 指在该区间内，任意两点$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$ ）都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$。
单调函数的性质
单调函数的图像是连续的，无间断点。
单调函数在其定义域内是单调递增或递减的，即对于任意自变量$x_{1}$， $x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$）都有$f(x_{1}) \leq f(x_{2})$（递增）或$f(x_{1}) \geq f(x_{2})$（递减）。
contents
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定方法 • 单调性的应用 • 单调性的扩展知识 • 单调性的重要性
01
单调性的定义
函数单调性的定义
增函数
如果对于函数$f(x)$的定义域中任意两个自变量$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$），都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数$f(x)$为增函数。
减函数
如果对于函数$f(x)$的定义域中任意两个自变量$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$），都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$，则称函数$f(x)$为减函数。
区间单调性的定义
区间单调性是指在某个区间内函数的单调性，根据函数在区 间内的变化情况，可以将区间单调性分为递增区间和递减区 间。
递增区间是指在该区间内，任意两点$x_{1}$，$x_{2}$（ $x_{1} < x_{2}$）都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$；递减区间则是 指在该区间内，任意两点$x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$ ）都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$。
单调函数的性质
单调函数的图像是连续的，无间断点。
单调函数在其定义域内是单调递增或递减的，即对于任意自变量$x_{1}$， $x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$）都有$f(x_{1}) \leq f(x_{2})$（递增）或$f(x_{1}) \geq f(x_{2})$（递减）。
函数单调性的性质课件
在解决某些数学问题时，利用三角函数的单调性可以简化问题。例如， 在求解某些微分方程时，可以利用三角函数的单调性来判断解的存在性 和唯一性。
举例说明
余弦函数y=cos(x)在区间[0,π]上是单调递减的。因此，在求解与余弦 函数相关的微分方程时，可以利用这一性质来判断解的存在性和唯一性。
单调性与对数函数
函数单调性的性质与应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工具
VS
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的增减趋 势，对于确定函数的最值位置和大小具有 关键作用。例如，如果函数在某区间内单 调递增，那么该区间内的最大值出现在区 间的右端点；反之，如果函数单调递减， 则最小值出现在左端点。
单调性与最值
单调性与商品价格
要点一
总结词
单调性在商品价格中的应用
要点二
详细描述
单调性可以用来分析商品价格的变化趋势，通过观察商品 价格的增减趋势，可以预测未来商品价格的变化，从而做 出相应的购买决策。
单调性与气候变化
总结词
单调性在气候变化中的应用
详细描述
单调性可以用来分析气候变化的趋势，通过观察气温、 降水等气象数据的增减趋势，可以预测未来气候的变化， 从而做出相应的应对措施。
对数函数的定义
对数函数是指形如f(x)=log(a)(x) (a>0,a≠1)的函数。
举例说明
余弦函数y=cos(x)在区间[0,π]上是单调递减的。因此，在求解与余弦 函数相关的微分方程时，可以利用这一性质来判断解的存在性和唯一性。
单调性与对数函数
函数单调性的性质与应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工具
VS
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的增减趋 势，对于确定函数的最值位置和大小具有 关键作用。例如，如果函数在某区间内单 调递增，那么该区间内的最大值出现在区 间的右端点；反之，如果函数单调递减， 则最小值出现在左端点。
单调性与最值
单调性与商品价格
要点一
总结词
单调性在商品价格中的应用
要点二
详细描述
单调性可以用来分析商品价格的变化趋势，通过观察商品 价格的增减趋势，可以预测未来商品价格的变化，从而做 出相应的购买决策。
单调性与气候变化
总结词
单调性在气候变化中的应用
详细描述
单调性可以用来分析气候变化的趋势，通过观察气温、 降水等气象数据的增减趋势，可以预测未来气候的变化， 从而做出相应的应对措施。
对数函数的定义
对数函数是指形如f(x)=log(a)(x) (a>0,a≠1)的函数。
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O x1 x2 x
精选ppt
31
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
精选ppt
32
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
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39
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
O
x1
x2 x
精选ppt
35
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
精选ppt
33
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
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34
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
-1 O x y y y＝－x2＋2x
O
12 x
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yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y y 1 x
Ox
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y
y x2
O
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x
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y f ( x1)
y x2
x1 O
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y
y x2
f ( x1)
x1 O
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y
y x2
f ( x1)
x 1 O0
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5
1985 1990 1994 1997年份
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长沙市日平均出生人数统计表
人数(人)
450 423 359
350
250 150
209 176
1985 1990 19941997 年份
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4
长沙市耕地面积统计表
面积(万公顷)
33.96 34 32
30
32.32
30.78 29.80
28
函数f (x)在给定
区间上为减函数.
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36
增函数、减函数的概念：
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
x
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y
y x2
f ( x1)
x1O
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y x2
f ( x1)
O x1
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f ( x1) x
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y x2
f ( x1) x
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y
y x2
f ( x1)
O
x1
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
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30
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
x1＜x2 O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 xБайду номын сангаас
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x) f(x1) f(x2)
1985 1990 1994 1997 年份
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5
y
y＝x＋1
1
-1 O x
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6
y
y＝x＋1
1
-1 O x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
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7
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
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8
y y＝x＋1
1
x1＜x2 O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质——单调性
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1
长沙市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
30
33.60
20
19.71
10 4.67 7.56
1985 1990 1994 1997 年份
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2
长沙市高等学校在校学生数统计表
人数 (万人)
15
10
15.38 14.04 12.13 10.79