2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)
2018年全国高中数学联赛试题
D和 J分 别为 Δ/BCr的 外接 阈 姒町 和 BC∶ 的中点 ,F为 乙犭 BC的 内 ,则 DF⊥ JC.(笞 饿时泔将 国画在笛 卷纸上 冫
J与 BCJ的 交点 ,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满 足 ⅣB⊥ 彳 L的 切点 ,σ 为 彳 B。 切I囚 在 /B边 ˇ
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2018年 全国高中数学联合竞赛加试试题 《 A卷 冫
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⒛18年 全 国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、 填空题 :本 大题共
1。
8小 题 ,每 小题 8分 ,满 分 “ 分 。
设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫 豸 u∈
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素个数为_⊥____・ 2.设点 平 面 α的距离为 雨 ,点 g在 平面 α上 ,使 得 直 线 Pg与 α所成角
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2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品
2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。
2018年全国高中数学联合竞赛加a试试题(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
一.(本题满分40分)设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足n i A a b a i i i ,,2,1,, =≤≤，且A
B a a a b b b n n ≤ 2121. 证明：
1
1)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A B a a a b b b n n . 二.(本题满分40分)如图，ABC △为锐角三角形，,AC AB <M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC △的外接圆上弧BAC 和弧BC 的中点，F 为ABC △内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足AB NB ⊥.
证明：若,EM BN =则FG DF ⊥.(答题时请将图画在答卷纸上)
三.(本题满分50分)设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n k
k m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集.证明：区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.
四.(本题满分50分)数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与
∑=n i i a 1互素，且不等于n a a a ,,,21 的最小正整数.证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现
.。
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为 ．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8 ．解：设点P 在平面 上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为 ．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为 ． 答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而b，相应有z ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为 ．答案 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MC BOC MOC MOC OC ． 在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为 ．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分 (2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ．…………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零． 设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分 即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符． 当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分。
2009-2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
60° ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．3.将1, 2, 3，4，5，6 随机排成一行，记为,,,,,,f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为 .4.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的左、右焦点分别是 F 1、F 2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PT PV PS PU ,,, 的长分别为1，2，3，6 ，则△PF 1F 2 的面积为 ．5.设)(x f 是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，满足2)2(,1)(==ππf f ,且在区间[0，1]上严格递减，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ．6.设复数 z 满足1||=z ，使得关于 x 的方程0222=++x z zx 有实根，则所有 z 的和为 ．7.设O 为△ABC 的外心，若 AC AB AO 2+=，则ABC ∠sin 的值为 ．8. 设整数数列10321,...,,,a a a a 满足5821102,3a a a a a =+=，且{},9,...,2,1,2,11=++∈+i a a a i i i 则这样的数列的个数为 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分 16 分）已知定义在R +上的函数 f (x ) 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=9,490|,1log |)(3＞＜x x x x x f .设a , b , c 是三个互不相同的实数，满足f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求abc 的取值范围． 10.（本小题满分 20 分）已知实数列,...,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有1)2(=-n n n a S a ，其中S n 表示数列的前n 项和．证明：对任意正整数n ，有①n a n 2＜；②11＜+n n a a ． 11.（本小题满分 20 分）平面直角坐标系 xOy 中，AB 是抛物线24x y =的过 F (1, 0) 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分∠APB ，求|PF|的所有可能值．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为平稳数.平稳数的个数是 .5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC △的面积为3，则ANAM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.（本小题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最值. 11. （本小题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z . （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 .2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，则)2)(2(w z w z -+的模为 .3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 .4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M-BC-A 的大小为 . 6．设函数10cos 10sin )(44kxkx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为 .7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 .8．4321,,,a a a a 是1，2，…，100中满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++的4个互不相同的数，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）在ABC △中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32．求C sin 的最大值．10.（本小题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-． 12.（本小题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．2015年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f ＝ . 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 . 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示nz 的共轭复数，则2015z 的值为 .4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 .7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 .8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则()()N P N Q -的值为 .二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本小题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424abcabc+=+=，求c 的最小值. 10.（本小题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328ija ai j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值.11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若正数b a ,满足)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为_________.2.设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=________.3.若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______.4.数列}{n a 满足)(1)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________. 5.已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。
最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案精品
最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
2018年全国高中数学联合竞赛加试参考答案(A卷)
4
(∗) 情形 1．若存在 i (1 ≤ i ≤ k − 1) ，使得 pi | S n ，因 (an+1 , S n ) = 1 ，故 pi an+1 ，从而 ． …………………30 分 an +1 ≠ M （因 pi | M ） 情形 2．若对每个 i (1 ≤ i ≤ k − 1) ，均有 pi S n ，则由 (∗) 知必有 pk | S n ．于是 pk an +1 ，进而 pk S n + an+1 ，即 pk S n+1 ．故由 (∗) 知，存在 i0 (1 ≤ i0 ≤ k − 1) ，使得 pi0 | S n+1 ，再由 S n+ = S n + an+1 及前面的假设 pi S n (1 ≤ i ≤ k − 1) ，可知 pi0 an+1 ，故 1
…………………40 分
1≤i ≤ N ′
an +1 ≠ M ．
因此对 n ≥ N ′ + 1 ， 均有 an ≠ M ， 而 M > max an ， 故 M 不在 {an } 中出现， 这与 归纳假设矛盾．因此，若 m 有 k 个不同素因子，则 m 一定在 {an } 中出现． 由数学归纳法知，所有正整数均在 {an } 中出现． …………………50 分
αk α1 α 2 且结论对 k − 1 成立． 设 m 的标准分解为 m = p1 ． 假设 m 假设 k ≥ 2 ， p2 pk 不在 {an } 中出现，于是存在正整数 N ′ ，当 n ≥ N ′ 时，都有 an > m ．取充分大的正 整数 β1 ,, β k −1 ，使得
k −1 = M p1β1 pkβ− 1 > max an ．
20182019学年全国高中联合竞赛竞赛一试A卷数学试题
2018-2019 学年全国数学联合比赛一试（ A 卷）试题一、填空题：本大题共 8 小题 , 每题 8 分, 共 64 分. 温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中挂念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不重要张，像对待平常考试相同去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，而后耐心等候考试结束。
1.设 f (x) 是定义在 R 上的函数，对任意实数x 有f ( x3)f (x 4)1.又当0x 7 时，f (x)log 2 (9x) ，则f (100) 的值为________.2.若实数 x, y 满足x2 2 cos y 1 ，则x cos y 的取值范围是________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的方程为x2y21，F 为C的上焦点， A为C 的910右极点， P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超出1，则称其为“安稳数”. 安稳数的个数是________.5.正三棱锥 P ABC 中， AB1， AP2,过 AB 的平面将其体积均分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为 ________.6.在平面直角坐标系 xOy 中，点集K x, y x, y1,0,1，在 K 中随机拿出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为________.7.在 ABC中， M 是边 BC的中点， N 是线段 BM 的中点.若 A π， ABC 的面积为33 ，则 AM AN 的最小值为________.8.设两个严格递加的正整数数列a n， b n满足： a10b102017，对任意正整数n ，有a n 2 a n 1 a n，b n 1 2b n，则 a1 b1的全部可能值为________.二、解答题（本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）9.设 k, m 为实数，不等式 x2kx m 1 对全部x a,b 成立.证明： b a2 2 .10.设 x1, x2 , x3是非负实数，满足 x1x2x3 1，求x13x25x3x1x2x3的最小35值和最大值 .11. 设复数z1,z2满足Re(z1)0, Re(z2 ) 0 ，且 Re(z12 )Re(z22 ) 2（此中Re(z)表示复数 z 的实部）.（1）求Re( z1z2)的最小值；（2）求z1 2 z2 2 z1z2的最小值 .2017 年全国数学联合比赛一试（A 卷）答 案一、填空题1. 答案：1.21 解：由条件知，f ( x 14)f ( x) ，所以f (x 7)f ( 100 _ f ( 10014 7)f ( 2)11 1 .f (5)log 2 422. 答案：1,3 1 .解：因为 x 2 1 2 cos y 1,3 ，故 x3, 3 ；由 cos y1 x 2可知， x cos y x1 x 21( x 1)2 1. 所以当 x 1 时， 22 2 x cos y 有最小值 1（这时 y 可以取 π）；当 x 3 时， x cos y 有最大值 3 112（这时 y 可以取 π ）. 因为 1) 2 1的值域是 1, 3 1 ，从而 x cos y 的取值 （ x 2范围是1, 3 1 .3. 答案：3 112解：易知 A(3，0), F (0，1) . 设 P 的坐标是 (3 cos , 10 sin ),π） (0,，则2SOAPESOAPSOFP1 3 10 sin11 3cos2 23 sin )3 11) .（ 10 cossin(22此中arctan10. 当arctan 10 时，四边形OAPF面积的最大值为3 11.102 4.答案： 75.解：考虑安稳数 abc .若 b0, 则a1, c 0,1，有 2 个安稳数 .若 b1，则a1,2 , c0,1,2，有2 3 6 个安稳数.若 2b8，则a,c b1,b,b1，有7 3 3 63个安稳数.若 b9，则 a, c 8,9，有 22 4个安稳数.综上可知，安稳数的个数是 2 6 63 4 75 .5. 答案：35 . 10解：设 AB, PC 的中点分别为 K , M ,则易证平面 ABM 就是平面. 由中线长公式知AM 21(AP2AC 2) 1 PC2 1 (2212 )122 3 , 2424225 .所以 KM AM 2AK 231222又易知直线 PC 在平面上的射影是直线 MK ，而 CM 1， KC3,所以2KM 2MC 2KC 25133 5cos KMC44,2KM MC510故棱 PC 与平面所成角的余弦值为35 . 106.答案：4 . 7解：易知 K 中有9个点，故在 K 中随机拿出三个点的方式数为C9384种.将 K 中的点按以下图标志为A1, A2，, A8，0，此中有8对点之间的距离为 5. 由对称性，考虑取 A1，A4两点的状况，则剩下的一个点有7 种取法，这样有7856 个三点组（不计每组中三点的次序） . 对每个 A i (i1,2,,8), K 中恰有 A i 3 , A i 5两点与之距离为 5 （这里下标按模 8 理解），因此恰有 A i , A i 3，A i 5 i 1,2, ,8这 8个三点组被计了两次 . 从而满足条件的三点组个数为56 8 48 ，从而所求概率为48 4 .8477.答案： 3 1.解：由条件知， AM 1AB AC ,AN3AB1AC,故244AM AN 1AB AC3AB1AC2AC2.13AB4AB AC 2448因为3SABC1AB AC sin A3AB AC ,所以 AB AC 4 ,进一步可24得AB AC AB AC cos A2,从而 AM AN 1(2 3 AB22AC4AB AC) 83AB AC 1AB AC 3 1.42当 AB2，AC24 3 时，AM AN的最小值为3 1 . 438. 答案： 13,20.解：由条件可知： a1 ,a2 , b1均为正整数，且 a1a2 .因为 2017b1029 b1512b1，故 b11,2,3，频频运用 a n的递推关系知a10 a9 a82a8a73a7 2a6 5a63a58a5 5a413a48a321a313a234a221a1，所以 21a10b105122mod 34 ，a1b1b1而13 21 34 8 1，故有a113 21a1 13 2b126b1 mod 34 .①另一方面，注意到 a1a2，有 55a1 34a2 21a1512b1，故a1512b1.②55当 b11时，①，②分别化为a126(mod 34),a1512，无解 . 55当 b1 2 时，①，②分别化为a152(mod 34).a11024，获得独一的正整数55a118 ，此时 a1 b120 .当 b1 3 时，①，②分别化为a178(mod 34).a11536，获得独一的正整数55a110 ，此时 a1 b113.综上所述， a1b1的全部可能值为13,20.二、解答题9. 证明：令f x x2kx m, x a, b ，则 f x1,1 .于是f a a2ka m1,①f b b2kb m1,②a b a b2 a bf k m 1③222由① +②2③知， a b2 f a f b 2 f a b 4 ，故 b a 2 2 .2210.解：由柯西不等式2x1 3x25x3x2x3x1 x1x2x3 x153x25x3 335x1x2x321，当 x 1 1, x 2 0, x 30 时不等式等号成立，故欲求的最小值为1.因为x 1 3x 2 5x 3 x 1x 2 x 31 3x 25x 3 5x 15x 2 x 335x 1351 1x 15x 223x 2 5x 35x 1 x 35 43 114 x26x 2 6x 320 1 39 ，16x 16x 2 6x 32205当 x 11, x 2 0, x 31 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 9 .22511. 解：（ 1）对 k 1,2 ，设 z kx k y k i ( x k , y k R) . 由条件知 x kRe(z k ) 0, x k 2 y k 2 Re(z k 2 )2 .所以 Re(z 1 z 2 ) Re((x 1 y 1i)( x 2y 2i )) x 1x 2 y 1 y 2y 12 2 ( y 22 2)y 1 y 2 ( y 1 y 22) y 1 y 2 2 .又当z 1 z 22 时， Re(z 1 z 2 ) 2. 这表示， Re(z 1 z 2 ) 的最小值为 2.（2）对 k1,2 ，将 z k 对应到平面直角坐标系xOy 中的点 P k ( x k , y k ) ，记 P 2' 是 P 2 关于 x 轴的对称点，则 P 1, P 2' 均位于双曲线 C : x 2 y 22 的右支上 . 设 F 1，F 2分别是 C的左、右焦点，易知1 (2 0), F 2(2 0) .F， ，依据双曲线的定义，有P 1F 1 P 1 F 2 2 2，P 2'F 1 P 2'F 2 2 2,从而得z 1 2 z 22 z 1 z 2z 12 z 2 2 z 1 z 2P 1 F 1 P 2' F 1 P 1P 2' 4 2 P 1F 2 P 2'F 2P 1P 2'4 2 ,等号成立当且仅当 F 2 位于线段 P 1 P 2' 上（比方，当 z 1 z 222i 时，F 2 正是 PP 12' 的中点）.综上可知， z 12z 12 z 1 z 2 的最小值为 4 2 .。
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祝君金榜题名2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 设集合 A 1, 2, 3,, 99, B2x xA, Cx 2x A，则 BC 的元素个数为．答案：24 ．1399解：由条件知，B C，2, 4, 6, , 198,1, , 2, ,2, 4, 6, , 48222故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．OP3解：设点 P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OQP, 3 ， OQ3即OQ[1, 3]，故所求的区域面积为．318223. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的 概率为．答案：9 10．解：先考虑abc + def 为奇数的情况，此时abc , def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a , b , c 为1, 3, 5的排列，进而d , e , f 为2, 4, 6的排列，这样有3!×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc + def 为奇数的情况数为36×2 = 72 种．从而abc + def 为偶 72 72 9 数的概率为1− = 1− = ． 6! 720 10xy22ab4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :1(a b 0)的左、右焦点22分别是 F 、F ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已12知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF F的面积为 ．1 2答案： 15 ．解：由对称性，不妨设 P (x , y ) 在第一象限，则由条件知PP1 1x PT PS y PV PU，2,1PP221祝君金榜题名即 P (2,1)．进而由 1, 2xPU PS得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知 P1 1 1 14 4 161 2 20,25，解得 a b ．abab22221从而15SF Fyaby ．22PF F1 2PP21 25. 设 f (x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1]上严格递减，1 x 2,且满足 f ()1, f (2) 2 ，则不等式组的解集为．1 f (x ) 2答案：[2, 82]．解：由 f (x ) 为偶函数及在[0, 1]上严格递减知， f (x ) 在[1, 0] 上严格递增， 再结合 f (x ) 以 2 为周期可知，[1, 2]是 f (x ) 的严格递增区间．注意到f f ff f ，(2) ( ) 1, (8 2 )( 2 ) (2 ) 2 所以1f (x ) 2 f (2) f (x ) f (82) ，而1282 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x[2, 82]．6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zxzx 有实根，则这样 22 2 0的复数 z 的和为．3答案：． 2解：设 z ab i (a , b R , a 2 b 21) ．将原方程改为(a b i)x 22(ab i)x 2 0，分离实部与虚部后等价于axax ，①22 2 0bxbx ． ②22 0若b 0，则 a，但当 a1时，①无实数解，从而 a 1，此时存在实21数 x1 3 满足①、②，故 z1满足条件．若b 0，则由②知 x{0, 2}，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代 115 1 15i入①解得 ．a，进而b，相应有z4441 15i1 15i3 综上，满足条件的所有复数 z 之和为1．4427. 设O 为ABC 的外心，若 AO AB 2AC ，则sinBAC 的值为 ．故10 答案： ．4 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知，2AC AOAB BO，①1AC BO ．122祝君金榜题名取 AC 的中点 M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且 B 与 A 位于直线MC1 OM 的同侧．于是cos BOC cos (90 MOC ) sin MOCOC4．在BOC 中，由余弦定理得BC OBOCOB OC BOC，222cos10BC10进而在ABC 中，由正弦定理得．sin BAC 2R48. 设整数数列 1, 2, , 10 10 3 1, 282 5 a a a 满足 a a a aa ，且aaa i，iii1 {1, 2 },1, 2, , 9则这样的数列的个数为．答案：80． 解：设baai ，则有 1{1, 2}( 1, 2, , 9)iii2aaabbb ，①1101129bbbaaaabbb ． ②2345285567用t 表示b 2, b 3, b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 5, 6, 7b b b 中值为 2 的项数，2, 3,, 70 2 1 2 2 2 3 2 3333取定 2, 3, ,78, 9b b b 后，任意指定b b 的值，有 22 4 种方式． 最后由①知，应取 1 {1,2} b 的取法是b使得bbb 为偶数，这样的1291唯一的，并且确定了整数 1, 2, , 9a 的值，进而数列b bb 唯一对应一个满足条件的 1数列 1, 2, ,10a a a ． 综上可知，满足条件的数列的个数为 204 80．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R 上的函数 f (x ) 为log x 1 , 0 x9, f (x )34 x , x 9.设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值范围．解：不妨假设ab c ．由于 f (x ) 在(0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9)1，故结合图像可知a，b (3, 9)，c (9,)，(0, 3)并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得1log a log b1，33即 39log alog b 2，因此 ab．于是 abc 9c ． …………………8 分233又3祝君金榜题名0 f (c ) 4 c 1， …………………12 分故c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．所以， abc 的取值范围是(81, 144) ．…………………16 分r注：对任意的 r (81, 144) ，取c = ，则c ∈ ，从而 0 90 (9,16)f (c )∈(0,1)．过点(c , f (c ))作平行于 x 轴的直线l ，则l 与 f (x )的图像另有两个交点(a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且ab 9 ，从 而abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 1, 2,3,a a a满足：对任意正整数 n ，有 a S a ，其中 (2 ) 1 S 表示数列的前 n 项和．证明： n n n n(1) 对任意正整数 n ，有 2an ；n(2) 对任意正整数 n ，有a a．11n n证明：(1) 约定S．由条件知，对任意正整数 n ，有 1(2) ( )()，aSaSSSSSS22nnnnn 1nn 1nn 1从而22Sn Sn ，即 Sn （当 n 0 时亦成立）． …………………5 分nn显然，11 2aSSnnn ． …………………10 分nnn(2) 仅需考虑 a a 同号的情况．不失一般性，可设 a a 均为正（否则, ,nn 1nn 1将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则SSSn ，故必有n 1nn 1S n Sn ，,1nn 1此时an nan n ， 1,1nn 1从而a an n n nn n n n ．n n1(1)(1) (1)(1) 1…………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 24x 的过点 F (1, 0) 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分APB ，求 PF 的所有可能值．AyB y Py1 ,,2 ,,3,1, 2, 3yyy222解：设，由条件知 y y y 两两不等且非零．1234 4 4设直线 AB 的方程为 x ty 1，与抛物线方程联立可得 yty ，故24 4 0y y． ①1 24注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 xydx ey ，与 22yyd 24x 联立得，y y y y这四个不1yey 0 ．该四次方程有 1, 2,3, 0241644祝君金榜题名同的实根，故由韦达定理得y y y，从而1 2 3 0 0y yy．②3 ( 1 2 )…………………5 分PA FA y因PF平分APB，由角平分线定理知，PB FB y，结合①、②，有122y y2 23 1 2(y y)22 3 1 2 2 2y PA 4 42 (y y) y16(2y y)1 2 1 1 212 2 2y PB y y y y y y y2 2 2 2 2 2( ) 16(2 )2 3 2 2 1 2 2 2 1(y y)3 24 4(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 22 1 2 2 1 ，………………10 分(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 21 2 1 1 2即16 64 12 22192 12 2664 22 12192 22y y y y y y y y，故(y y)(y y y y192) 0 ．2 2 4 2 24 1 2 1 1 22当 2 2 3 0y y时，y y，故y，此时P与O重合，与条件不符．1 2 2 1当14 122224192 0y y y y时，注意到①，有(y y) 192(y y) 208．…………………15 分2 2 22 1 2 1 2因12 22 4 13 8 2 1 2 1 2 4 13 1, 2y y y y，故满足①以及y y的实数2 2y y存在，对应可得满足条件的点A, B．此时，结合①、②知PF．y3 1 (y1 y2 ) 4 y1 y2 4 208 4 13 12 2 2 24 4 4 4…………………20 分5。