相似三角形应用举例_课件

知识回顾 问题探究 课堂小结
探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动2 例题讲解
例：如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和 CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面1.6m， 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低 的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
解：∵OA：OC＝OB：OD＝n且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD
∵ OA：OC＝AB：CD＝n，又∵CD＝b，
∴AB=CD•n＝nb，∴
x
a AB 2

a nb 2
点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法。
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知识回顾 问题探究 课堂小结
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例。 （2）相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、 对应角平分线之比等于相似比. 相似三角形对应线段之比等 于相似比。 （3）相似三角形的周长之比等于相似比。 （4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
活动2 例题讲解
例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时， 小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影 子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长。
分析：先利用△BDC∽△FGE得到
BC 3.6

2 1.2
，可计算出
BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重
合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标。 分析：（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
E E’
得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求 得BC=5，根据相似三角形的性质得到 BD BO OD 或 OB OD，代入数据即可得到结论。BC BE CE
分析：如图，设观察者眼睛的位置（视点） 为点F（EF近似为人的身高），画出观察者的水 平视线FG，它交AB、CD于点H、K，视线FA、 FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角。能看到C点。 类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的 遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲 区）之内。再往前走就根本看不到C点了。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成 的两个相似三角形来测量金字塔的高度。
小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔高度问题。
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，
∴
BC CD

EF GE
，即
BC 3.6

2 1.2
，∴BC＝6m
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，
即点树拨长：A解B是答12此m类。问题时，首先要把实际问题转化为数学
问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动2 例题讲解
例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿 影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全 落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
的关系即可得到AB的长。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动2 例题讲解
例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时， 小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影 子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长。
分析：（1）设直线AD的解析式为 y=kx+b，用待定系数法将A（4，5 ），D（0，
33
1）的坐标代入即可；
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
活动1 合作探究，相似三角形与函数的综合应用
例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C， 与直线AD交于点A（43，53 ），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式；
甲物高：乙物高=甲影长：乙影长
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
——利用平面镜也可测高
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度 的问题一般图形：
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 相关知识介绍
视点：观察者眼睛的位置叫视点； 视线：由视点出发的线叫视线； 盲区：眼睛看不见的区域叫盲区。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动1 相关知识介绍
视角：视线与水平线的夹角。 仰角：视线在水平线以上，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线以下，视线与水平线的夹角。
因此BE=CD=1.2m，CE=BD=2.7m，
由 AE 1 得AE=3
2.7 0.9
E
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2（m）
答：这棵树的高为4.2m
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
活动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目 标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接 着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交R。如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ。
故直线AD的解析式为：y= 1x+1；
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，求金字塔的高度BO。
怎样测出OA的长？
解：太阳光是平行线，因此∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF
OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可 知，首先得求出内孔直径AB，而在图中可构 造出相似形，通过相似形的性质，从而求出 AB的长度。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
活动2 例题讲解
例：如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔 的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若
BO OA EF FA
BO OA EF FA
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
测高的方法：
——利用平面镜也可测高
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一 时刻物高与影长成正比例”的原理解决。
测距的方法：测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。
解相似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
活动2 例题讲解
例：如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔 的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若
∴ BO OA ，∴ BO OA EF 201 2 134
EF FD
FD
3
答：金字塔的高度BO为134m。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
——利用平面镜也可测高
△ABO∽△AEF
解：∵∠PQR=∠PST= 90°，∠P=∠P，
∴
△PQR
∽△PST，∴
PQ PQ QS

QR ST
，
即
PQ PQ 45

60 90
，∴PQ=90
。Leabharlann Baidu
答：河的宽度PQ为90m。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
活动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动2 例题讲解
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点F与 两棵树的顶端A，C恰在一条直线上。 ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD ∴△AFH∽△CFK ∴ FH AH
FK CK
即 FH 8 1.6 6.4
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
——利用三角形相似测宽
△ABE∽△CDE
AB BE CD ED
AB CD BE ED
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
活动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
——利用三角形相似测宽
1.本题中是如何构造相似三角形来解决问题的？ 2.你还可以用什么方法来测量河的宽度？
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
活动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目 标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接 着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ。
BC CE
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
活动1 合作探究，相似三角形与函数的综合应用
解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（ 4 ，5 ），D（0，1）代
入得： 4
3
k

b

5 ，解得：
3
k

1 2
33
b 1
b 1
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，求金字塔的高度BO。
怎样测出OA的长？
问题：1、本题中是利用什么构造相似三角形的？ 2、本题的突破点在哪里？ 3、如何测量旗杆的高度？（设计出你的测量方案，画出图形 与同伴交流） 4、你发现了什么规律？
活动1 合作探究，相似三角形与函数的综合应用
1.相似三角形与一次函数 例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C， 与直线AD交于点A（43，53 ），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重 合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标。
FH 5 12 1.6 10.4
解得FH=8（m） 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于
８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，
观察者点看拨不：到解它实。际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对 应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
相似三角形应用举例
知识回顾 问题探究 课堂小结
1.三角形相似的判定方法：
（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角 形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的 延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； （3）判定定理1（边边边）：三边对应成比例，两三角形相似； （4）判定定理2（边角边）：两边对应成比例且夹角相等，两三 角形相似； （5）判定定理3（角角）：两角对应相等，两三角形相似； （6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成 比例的两个直角三角形相似。