成都石室中学高2015届三月月考文科试题及答案

成都石室中学高2015届三月月考试题
数学（文科）
第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.椭圆
22
1134
y x +=的焦点坐标为 （ D ） （A ）(2,0)±（B ）(3,0)±（C ）(0,2)±（D ）(0,3)±
2.设P 是椭圆
22
12516
x y +=上的点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若1||4PF =，则2||PF 等于( B )．
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10
3.若直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，则a 的值为（ B ） （A ）3- （B ）6- （C ）23-
（D ）3
2
4.已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（C ） （A ）43-
（B ）23- （C ）43 （D ）2
3
5.已知点)3,1(和)4,3(-在直线032=+-a y x l ：
的两侧，则a 的取值范围是（ B ） （A ）),7(]18,(+∞--∞ （B ）)7,18(-（C ）}7,18{-（D ）不确定
6.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2
2
(2)1x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为(C) （A ）[－3，3] （B ）(－3，3)（C ）⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－
33，33 （D ）⎝ ⎛
⎭⎪⎫－33
，33 7.若圆上的点到直线的最近距离等于１，则半径的值为( A )
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）9
8.设P 是椭圆22
1255
x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅= 12F PF ∆则面积是 （ A ）
（A ）5 （B ）10 （C ）8 （D ）9
()()22
2
53r y x =++-0234=--y x r
9．椭圆22221x y a b
+=(0)a b >>的焦点为12,F F ，两直线22
12:,:a a l x l x c c ==-与x 轴的交点分别为,M N ，若MN ≤12F F 2，则该椭圆离心率的取值范围是 （ D ）
（A ）102⎛⎤
⎥⎝⎦， （B
）0⎛ ⎝⎦
（C ）112⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
（D
）1⎫
⎪⎪⎣⎭
10. 过平面区域20
2020x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，
记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( C ) （A
）10
（B ）1920 （C ）910 （D ）12
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每小题5分，共计25分，把答案填在题后的横线上）
11．中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为的椭圆方程是 22
1
43x y +=
12.直线2()10x m x y +--=恒过定点 11
(,)22
13.已知椭圆C :2
2
24x y +=，过点P (1,1)的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则直线AB 的方程为230x y +-=
14. 圆C :2
2
(1)(2)4x y -++=关于直线1x y +=对称的圆的方程为 22(3)4x y -+= 15.椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，
A ，
B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|值为___5
3
_____．
三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）已知直线l 经过点(2,1)P -. （Ⅰ）若直线l 的方向向量为(2,3)--，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l 的方程.
21
解：（Ⅰ）由l 的方向向量为(2,3)--，得斜率为
3
2
， 所以直线l 的方程为：3280x y -+=（6分）
（Ⅱ）当直线l 在两坐标轴上的截距为0时，直线l 的方程为12
y x =-
；（9分） 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设为,x y a +=代入点(2,1)P -得直线l 的方程为
10x y ++=.（12分）
17．（本题满分12分）已知椭圆
22
162
x y +=，左右焦点为12,F F ,直线l 斜率为1且过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于,A B 两点.
（Ⅰ）求弦AB 的长;（Ⅱ）若点(1,1)C ,求ABC ∆的面积.
解：（Ⅰ）直线l 的方程为2y x =-，代入椭圆方程
22
162
x y += 得2
2630x x -+=，（3分）
由弦长公式得||AB =6分）
（Ⅱ）点(1,1)C 到直线l ：20x y --=
=,（9分）
ABC S ∆=
=12分） 18．（本题满分12分）若过点)1,2(P 的直线l 与圆2
2
:24110C x y x y ++--=相交于两点
B A 、,且90ACB ∠=︒(其中
C 为圆心). （Ⅰ）求直线l 的方程,
（Ⅱ）求经过点,P C 的圆中面积最小的圆的方程.
解：（Ⅰ）圆2
2
:(1)(2)16C x y ++-=,点(1,2)C -，4,r d =∴=
设直线l ：1(2)y k x -=-，所以
1d k ==
∴=或7k =-（6分）
所以l ：10x y --=或7150x y +-=（8分）
（Ⅱ）以PC 为直径面积最小，方程为2
2
1
35
()()2
2
2
x y -+-=
（12分）
19．（本题满分12分）已知动圆222:()(2)C x m y m m -+-=（0m >） （Ⅰ）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程； （Ⅱ）若圆C 与圆22:(3)16E x y -+=内切，求实数m 的值. 解：（Ⅰ）22:(2)(4)4C x y -+-=
当直线l 的斜率不存在时，l 方程为0x =,（3分） 当直线l 的斜率存在时,设l 方程为y kx =
，由题意得3
2,4
d k =
=∴=
所以l 方程为3
4
y x =
（6分） （Ⅱ）(,2),(3,0)C m m E ,由题意得|4|||m CE -=，（9分）
两边平方解得m =
12分） ，直线l 与椭圆交于，且m n ⊥
．
（Ⅱ）当直线l 过椭圆的焦点(0,)F c （c 为半焦距）时，求直线l 的斜率k .
12
13分）
21.（本小题14分）已知椭圆G ：x 24＋y 2
＝1.过x 轴上的动点P (m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l
交椭圆G 于A ，B 两点．
（Ⅰ）求椭圆G 上的点到直线210x y -+=的最大距离; （Ⅱ）①当实数1m =时,求A ，B 两点坐标;
②将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．
解 （Ⅰ）设直线12
y x t =+，带入椭圆方程x 24＋y 2
＝1得，
2222(1)0,0x tx t ++-=∆=得t =（4分）
由图形得直线1
2
y x =
与直线210x y -+=的距离为椭圆G 上的点到直线
210x y -+=的最大距离为d =
=
6分） （Ⅱ）①由题意知，|m |≥1.
当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，－32，此时|AB |＝ 3.（8分）
当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.（9分）
②当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －m )，x 24
＋y 2
＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. （10分）
设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.
又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得
|km |
k 2
＋1
＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.（11分） 所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝
(1＋k 2
)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2
(1＋4k 2)
2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3.（12分） 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝
43|m |
m 2＋3
，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝43|m|
m2＋3
＝
43
|m|＋
3
|m|
≤2，（13分）
且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.（14分）。