视导材料：直线与圆锥曲线位置关系教师版资料
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置课件
直线是二维空间中的一维图形，表示 两点之间所有点的集合。
位置关系的分类与定义
相交
当直线与圆锥曲线至少有一个交点时，称为 相交。
相切
当直线与圆锥曲线仅有一个交点时，称为相 切。
相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，称为相离。
02 直线与圆锥曲线相交的位 置关系
直线与圆锥曲线交点个数的问题
01 直线与圆锥曲线可能有一个、两个或无交点。 02 判断交点个数需要利用代数方法，如判别式法。 03 交点个数与直线的斜率和圆锥曲线的类型有关。
离点距离的计算
离点距离是指离点到直线或圆锥曲线的 某一点的距离，可以通过坐标计算得到。
计算方法为使用两点间距离公式，即 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
根据具体问题，可以选择不同的点 作为计算离点距离的基准点，如直 线的交点、圆锥曲线的顶点等。
05 直线与圆锥曲线位置关系 的几何意义
几何问题的求解方法
代数法
通过代数运算和方程求解的方法，求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
解析几何法
利用解析几何的基本原理和方法，通过代数运算和方程求解的方法， 求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
几何直观法
通过观察和想象，利用几何图形的性质和特点，直接求解几何问题。
06 直线与圆锥曲线位置关系 的实际应用
几何图形的构造与解释
直线与圆锥曲线相交
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线相切； 当直线与圆锥曲线有两个交点时，表示直线与圆锥曲线相交。
直线与圆锥曲线相切
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线 相切。
直线与圆锥曲线相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，表示直线与圆锥曲线相离。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
《直线与圆锥曲线位置关系》教案
《直线与圆锥曲线位置关系》教案
作者：王晓丹
来源：《学校教育研究》2020年第01期
一、教学目标
知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲線、抛物线的位置关系，能利用对方程组解的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。
过程与方法：在探究过程中，运用数形结合和方程的思想，以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题，进一步提高学生解决问题的能力。
情感与态度：通过师生合作，生生合作学习，感受学习交流带来的成功感，激发学生提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点
重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探索。
三、教学方法
以学生为主体，引导学生探索发现如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系，再通过师生合作、生生合作解决直线与圆锥曲线的相关问题。
四、教学过程
（一）复习导入
问题1：直线与圆的位置关系有相交，相切，相离三种，如果把圆换成一般圆锥曲线，又有怎样的位置关系呢？
问题2：判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
由此，引出本节课的重点：用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。
7.10直线与圆锥曲线的位置关系名师课件
或当k存在且不为零时
l
1 1 k2
y1 y2
②抛物线y2=2px的焦点弦长公式
|AB|=
x1
x2
p
2p
sin 2
其中α为过焦点的直线的倾斜角。
例1．直线y=x+3与曲线 y 2 x | x | 1
S OAB
SOAN SOBN
1 ON 2
y1
1 ON 2
y2
1 ON 2
y1 y2
S OAB
1 2
1
( y1
y2 )2
4 y1 y2
1 2
(1)2 4 k
S OAB
10 , 10 1 2
1 4,解得k 1
k2
6
例4. 在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3对称，求k的取值范围．
若化为x或y的方程二次项系数非零，判 别式⊿=0时必相切；⊿>0时必相交；⊿<0 时必相离；
若二次项系数为零，有一组解仍是相交.
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆 锥曲线的弦。 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦; 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲 线的对称轴，此时= 焦点弦也叫通径。 ①当直线的斜率k存在时，弦长公式：
4
因为 sin 2 [0 , 1] ，所以 当且仅当 s i n2 1时，
AB CD 有最小值是 8 2
1 2k 2
1 2k 2
பைடு நூலகம்
1 2k 2
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
精品教案：直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系【知识网络】1．直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法． 2．一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用． 3．中点问题，弦长问题的求解． 4．进一步应用数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条（2）直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５） Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）（3）以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是( ) A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线（4）斜率为２的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，若弦长52=AB ，则=-21y y ． （5）双曲线122=-y x 的左焦点为Ｆ，点Ｐ为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线ＰＦ的斜率的范围是 ．[例2] 在椭圆141622=+y x 内，求通过点Ｍ（１，１）且被这点平分的弦ＡＢ所在直线的方程．[例3] 中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x+y －1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且ＯＭ⊥ＯＮ．求椭圆的方程．[例4] 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =2AC ，A 、B 、C 都是椭圆上的点，其中A 是椭圆的左顶点，直线BC 经过椭圆中心（即原点O ）．（1）求证：无论 AC 的长取何正实数，椭圆的离心率恒为定值，并求出该 定值； （2）若PQ 是椭圆的一条弦，PQ ∥AB ，求证∠PCQ 的平分线垂直于AO ．【课内练习】1．平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为 （ ） Ａ．23Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 2．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ3．设A 为双曲线191622=-y x 右支上一点，F 为该双曲线的右焦点，连AF 交双曲线于B ，过B 作直线BC 垂直于双曲线的右准线，垂足为C ，则直线AC 必过定点( )A ．（0,1041） B ．（0,518） C ．（4，0） D ．（0,522） 4．若直线1-=kx y 与椭圆1422=+ay x 有且只有一公共点，那么 （ ） Ａ．(]⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k a Ｂ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k aＣ．(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a Ｄ．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a 5．过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ． 6．直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是 ．7．若曲线y 2=|x |＋1与直线y=kx ＋b 没有公共点，则k,b 应满足的条件是 ．8．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ.（1）证明：λ＝1－e 2； （2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程． ．9．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
《直线与圆锥曲线的位置关系》教案全面版
(4) 显然当 l ox 时，弦 CD 不存在．
当 l 不与 x 轴垂直时，设
C(
c2 , c) ， D ( 2p
d2
,
2p
d ) ，且
c ≠ d ，则 kCD
=
2p cd
．
若 l ⊥ CD ，则 kl =- c d 2p
∵ kl ≠0，∴ c d ≠ 0
设线段 CD 的中点为
M
(x0 , y0 ) , 则
A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，证明 :(1)焦点弦公式 AB = x1 x2 p ； (2) 若 l 的倾斜角为
2p ，则 AB = sin 2
11
； (3)
+
为常量； (4) 若 CD 为抛物线的任何一条弦，则直
FA FB
线 l 不可能是线段 CD 的垂直平分线． 分析 ： 已知直线 l 过抛物线的焦点，分斜率存在、不存在将直线方程设出，将直线方程和抛物线方程
2
2a 1 a2
,
5 12
x22
2
2
2a 1 a2
．消去
x2 , 得
2a 289 1 a 2 = 60
由 a 0, 所以 a = 17 ． 13
小结： 本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，
考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，此
2
2
( 2 ,+ ∞ ).
(2) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , P (0,1) ．∵ PA =
5 12
PB
∴
5
(x1, y1 1)
高三数学直线与圆锥曲线的位置(“直线”相关文档)共9张
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦：若弦过圆锥= 曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时 焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：
l 1k2 x1x2
( 1 k 2 )(x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2
弦 焦：点直弦线 ：被 若圆 弦锥 过曲 圆线 锥截 曲得线的线 焦段 点称 叫为 焦圆 点锥 弦曲 ；线的弦。 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦弦点：弦 直：线若被弦圆过锥圆曲锥线曲截线得的焦线点段叫称焦为点圆弦锥；曲线的弦。 弦其：中直 α为线过被焦圆点锥的曲直线线截的得倾的斜线角段。称为圆锥曲线的弦。 (①3)当求直圆线锥的曲斜线率的存弦在长时，，可弦利长用公弦式长：公式 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
（其中（ x1, y1 ），（ x2 , y2 ）是交点坐标）。
②抛物线 y2 2px的焦点弦长公式
|AB|=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
x2
p 2p
sin2
其中α为过焦点的直线的倾斜角。
三、课堂小结
(1)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一 元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于 图形的几何性质更为方便。
(2)涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用 弦其：中直 α为线过被焦圆点锥的曲直线线截的得倾的斜线角段。称为圆锥曲线的弦。
其焦中点α弦为：过若焦弦点过的圆直锥线曲的线倾的斜焦角点。叫焦点弦；
点差法，但必须是有交点为前提，否则不宜用此法。 通焦径点： 弦若：焦若点弦弦过垂圆直锥于曲焦线点的所焦在点的叫圆焦锥点曲弦线；的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系 教师版
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系一、基础知识1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ， 则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线 (抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件. 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在，可直接求交点坐标再求弦长.对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ＝b 2－4ac ≥0，|x 1－x 2|＝Δ|a |.二、常用结论中点弦所在直线的斜率圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k ，其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标.考点一 直线与圆锥曲线的位置关系[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0)，且点P (0,2)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程． [解] (1)根据椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，知a 2－b 2＝4， 又点P (0,2)在椭圆上，故b ＝2，所以a ＝22， 所以椭圆C 1的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，由题可知此方程有唯一解，此时 Δ＝(4km )2－4×(1＋2k 2)×(2m 2－8)＝0， 即m 2＝8k 2＋4.①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得ky 2－8y ＋8m ＝0， 由题可知此方程有唯一解，此时 Δ＝64－32km ＝0，即mk ＝2.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝8k 2＋4，mk ＝2，解得k 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－22， 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋22或y ＝－22x －2 2. [题组训练]1．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝kx －1，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，显然符合条件；当1－k 2≠0时，由Δ＝20－16k 2≥0，得－52≤k ≤52且k ≠±1.所以直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点时，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，52. 答案：⎣⎡⎦⎤－52，52 2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1 ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．考点二 与弦有关的问题[典例] (2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[解] (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q |，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.[解题技法]有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y ＝kx ＋b 便于运算，即“定点落在y 轴上，斜截式，帮大忙”；若直线经过的定点在x 轴上，一般设为my ＝x －a 可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．(2)面积问题常采用S △＝12×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．(3)已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程时，常用“点差法”．[题组训练]1．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．±3或±413C ．± 3D ．±413解析：选B 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2. 将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得，(4－k 2)x 2－2kx －5＝0， 则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，解得k 2＜5. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82， 解得k ＝±3或±413. 2．(2019·沈阳监测)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4x上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0考点三 圆锥曲线中的证明问题[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2， 可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为 y ＝12(x ＋2)或y ＝－12(x ＋2)， 即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0， 所以y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN 成立． [解题技法]圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[对点训练]设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB ―→＝(－a ，b )，从而有AB ―→·NM ―→＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB ―→·NM ―→＝0，故MN ⊥AB .[课时跟踪检测]A 级1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选C 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标分别为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝4 5.∵p ＞0，∴p ＝1.故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A ．± 2B ．±2解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ＞0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4.所以m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0D ．不存在解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，且有⎩⎨⎧x 214－y 21＝1，x224－y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，即直线AB 的斜率k ＝14，故所求直线方程为y －2＝14(x －2)，即x －4y ＋6＝0.联立直线AB 和双曲线方程得，3y 2－12y ＋8＝0，Δ＝(－12)2－4×3×8＝48＞0，故该直线存在．5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32B ．3解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝ ±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则 ∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.6．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，94x 2＋5bx ＋b 2＋36＝0，因为直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)＞0，解得b ＜－92或b ＞92.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫92，＋∞ 7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6的直线交C 于M ，N 两点，O为坐标原点，若△OMN 的面积为94，则抛物线的方程为________．解析：法一：直线MN 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得y 2－23py －p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝23p ，y 1y 2＝－p 2，S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12·|OF |(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12×p 2×(23p )2－4(－p 2)＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .法二：直线MN 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得13x 2－ 73px ＋112p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝7p ，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝7p ＋p ＝8p ，又原点O (0,0)到直线MN 的距离d ＝36p 23＝p 4，∴S △OMN ＝12|MN |d ＝12×8p ×p 4＝94，即p 2＝94，得p＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x . 答案：y 2＝3x8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为12的点P 的个数为________．解析：易知直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得交点分别为椭圆顶点(1,0)和(0,2)，则|AB |＝5，由△P AB 的面积为12，得点P 到直线AB 的距离为55，而平面上到直线2x ＋y －2＝0的距离为55的点都在直线2x ＋y －1＝0和2x ＋y －3＝0上，而直线2x ＋y －1＝0与椭圆相交，2x ＋y －3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P 有2个．答案：29．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解：(1)设M (x ，y )，因为k AM ·k BM ＝－2， 所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．法一：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x 21＋y 21＝2，2x 22＋y 22＝2，两式相减，整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1， ∴直线l 的方程为y －1＝－1×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.法二：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将其代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，化简得(2＋k 2)x 2＋2k ⎝⎛⎭⎫1－k 2x ＋⎝⎛⎭⎫1－k22－2＝0(x ≠±1)， 所以Δ＝4k 2⎝⎛⎭⎫1－k 22－4(2＋k 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k22－2＞0，① 则x 1＋x 2＝－2k ⎝⎛⎭⎫1－k22＋k 2，又由N 为线段CD 的中点，得x 1＋x 22＝－k ⎝⎛⎭⎫1－k 22＋k 2＝12，解得k ＝－1，将k ＝－1代入①中可知满足条件． 此时直线l 的方程为y －1＝－1×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.10．(2019·合肥调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，左焦点为 F (－3，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN的面积．解：(1)由题意得椭圆E 的右焦点为(3，0)，即c ＝3， 则由椭圆的定义得(3＋3)2＋14＋12＝2a ，解得a ＝2.又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过F (－3，0)且斜率为12的直线的方程为y ＝12(x ＋3)，联立⎩⎨⎧y ＝12(x ＋3)，x24＋y 2＝1消去x ，得8y 2－43y －1＝0，显然Δ＞0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝32，y 1y 2＝－18，∴|y 1－y 2|＝52， ∵A 是椭圆E 的右顶点，∴|AF |＝2＋3，∴△AMN 的面积S ＝12|AF |·|y 1－y 2|＝12×(2＋3)×52＝25＋154.B 级1．(2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求证：点(m ，k )在定圆上．解：(1)由已知得e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2－b 2＝c 2，∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0， 化简得m 2＜4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·⎝⎛⎭⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0， 化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，∴点(m ，k )在定圆x 2＋y 2＝54上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,1)，离心率为32，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝20351，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题设知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝3， 所以圆心到直线l 的距离d ＝|m |5， 由d ＜3得|m |＜15. 所以|CD |＝23－d 2＝2515－m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得17x 2＋16mx ＋4m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－16m 17，x 1x 2＝4m 2－417，所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝451717－m 2， 由|AB ||CD |＝20351，得 17－m 215－m 2＝233，解得m＝±3，满足|m|＜15.所以直线l的方程为y＝2x＋3或y＝2x－3.第十节 圆锥曲线中的最值、范围问题考点一 构造函数求最值[典例] (2019·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切(θ为常数)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求F 1M ―→·F 1N ―→的最大值．[解] (1)由题意，得⎩⎨⎧e ＝c a ＝22，1sin 2θ＋cos 2θ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝1，不妨记M ⎝⎛⎭⎫1，22，N ⎝⎛⎭⎫1，－22， ∴F 1M ―→＝⎝⎛⎭⎫2，22，F 1N ―→＝⎝⎛⎭⎫2，－22，故F 1M ―→·F 1N ―→＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又F 1M ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 1N ―→＝(x 2＋1，y 2)，则F 1M ―→·F 1N ―→＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2 ＝2(k 4－1)2k 2＋1＋4k 2－4k 42k 2＋1＋1＋k 2 ＝7k 2－12k 2＋1＝72－92(2k 2＋1)， 由k 2≥0，可得F 1M ―→·F 1N ―→∈⎣⎡⎭⎫－1，72. 综上，F 1M ―→·F 1N ―→的最大值为72.[对点训练](2018·湘潭调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．解：(1)由题设得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F (1,0)，A (2,0)，设直线CD 的方程为x ＝ky ＋1，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4.∴S 四边形OCAD ＝S △OCA ＋S △ODA ＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2| ＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12k 2＋13k 2＋4.设t ＝k 2＋1(t ≥1)，则S 四边形OCAD ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t.∵当t ≥1时，y ＝3t ＋1t 单调递增，∴3t ＋1t ≥4(当t ＝1时取等号)，∴S 四边形OCAD ≤3(当k ＝0时取等号)，即四边形OCAD 面积的最大值为3.考点二 寻找不等关系解范围[典例] 已知点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，点P (0，－2)，直线BP 交E 于点Q ， P Q ―→＝32Q B ―→，且△ABP 是等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解] (1)由△ABP 是等腰直角三角形，知a ＝2，B (2,0)． 设Q (x 0，y 0)，由P Q ―→＝32Q B ―→，得x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，设方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. 由直线l 与E 有两个不同的交点 ，得Δ＞0， 则(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34.①由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 则OM ―→·ON ―→＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0， 则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k1＋4k 2＋4＞0，解得k 2＜4.②联立①②可知34＜k 2＜4，解得－2＜k ＜－32或32＜k ＜2， 故直线l 斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2.[解题技法] 范围问题的解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围； (5)利用函数值域的求法，确定所求范围． [对点训练]已知A ，B 分别为曲线C ：x 2a 2＋y 2＝1(y ≥0，a ＞0)与x 轴的左、右两个交点，直线l过点B 且与x 轴垂直，M 为l 上位于x 轴上方的一点，连接AM 交曲线C 于点T .(1)若曲线C 为半圆，点T 为AB 的三等分点，试求出点M 的坐标．(2)若a ＞1，S △MAB ＝2，当△TAB 的最大面积为43时，求椭圆的离心率的取值范围．解：(1)当曲线C 为半圆时，得a ＝1.由点T 为AB 的三等分点，得∠BOT ＝60°或120°. 当∠BOT ＝60°时，∠MAB ＝30°，又|AB |＝2， 故△MAB 中，有|MB |＝|AB |·tan 30°＝233，所以M ⎝⎛⎭⎫1，233.当∠BOT ＝120°时，同理可求得点M 坐标为(1,23)． 综上，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，233或(1,23)．(2)设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋a )，则k ＞0，|MB |＝2ka ， 所以S △MAB ＝12·2a ·2ka ＝2，所以k ＝1a2，代入直线方程得y ＝1a2(x ＋a )，联立⎩⎨⎧y ＝1a2(x ＋a )，x2a 2＋y 2＝1，解得y T ＝2aa 2＋1，所以S △TAB ＝12·2a ·2a a 2＋1＝2a 2a 2＋1≤43，解得1＜a 2≤2. 所以椭圆的离心率e ＝1－1a 2≤22， 即椭圆的离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22.[课时跟踪检测]1.(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 因此PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).因此△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 2－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104.2．(2019·唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点E ⎝⎛⎭⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切于点M ，且与椭圆Γ相交于不同的两点A ，B ，求|AB |的最大值．解：(1)将E ⎝⎛⎭⎫3，12代入椭圆方程，得3a 2＋14b 2＝1， 由椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，可知直线l 的方程为x ＝±1，易求得|AB |＝ 3.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－16m 2－161＋4k 2 ＝41＋k 21＋4k 2－m 21＋4k 2.又因为m 2＝k 2＋1，所以|AB |＝43|k |k 2＋11＋4k 2≤2(3k 2＋k 2＋1)1＋4k 2＝2，当且仅当3|k |＝k 2＋1，即k ＝±22时等号成立． 综上所述，|AB |的最大值为2.3．已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ， 则椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54.当直线l 与x 轴垂直时， |P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 则x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2 ＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45⎝⎛⎭⎫1＋13＋4k 2，∵k 2>14，∴45<λ<1.综上可知，实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1.4．(2018·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1,0)，且和直线l ：x ＝－1相切． (1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3,0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，∴动点E 的轨迹是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x .(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3＜m ＜0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，则Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )恒大于零． 设C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，∴|CB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝42(1－m ). 又点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2， ∴S △ABC ＝12×42(1－m )×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )．令1－m ＝t ，t ∈(1,2)，则m ＝1－t 2， ∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3.令f (t )＝8t －2t 3,1＜t ＜2，∴f ′(t )＝8－6t 2，易知y ＝f (t )在⎝⎛⎭⎫1，23上单调递增，在⎝⎛⎭⎫23，2上单调递减． ∴y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值3239.∴△ABC 面积的最大值为3239第十一节 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题考点一 巧妙消元证定值[典例] (2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，Q M ―→＝λQ O ―→，Q N ―→＝μQ O ―→，求证：1λ＋1μ为定值．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由Q M ―→＝λQ O ―→，Q N ―→＝μQ O ―→，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．[对点训练]在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 22－y 24＝1，椭圆C 2：x 2＋y 24＝1，若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝2，|OM |＝2，则O 到直线MN 的距离为233.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |＞22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋y 24＝1，得⎩⎨⎧x 2＝44＋k 2，y 2＝4k24＋k 2，所以|ON |2＝4(1＋k 2)4＋k 2.同理|OM |2＝4(1＋k 2)2k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d ，因为在Rt △MON 中，(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2·|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3(1＋k 2)4(1＋k 2)＝34，即d ＝233.综上，O 到直线MN 的距离是定值．考点二 确定直线寻定点[典例] (2018·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解] (1)由题意得，c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－35.[对点训练](2019·株洲两校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (2,1)，且离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设O 为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点M ，N 满足OM ―→＝NO ―→，直线PM ，PN 分别交椭圆于A ，B 两点，试证明直线AB 过定点．解：(1)由椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，得a 2＝4b 2，将P (2,1)代入椭圆方程x 24b2＋y 2b 2＝1，得1b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝2，则a 2＝8，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线AB 过定点，则这个定点一定在y 轴上，当M ，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠2，x 2≠2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋t 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－8＝0，则Δ＝16(8k 2－t 2＋2)＞0，x 1＋x 2＝－8kt4k 2＋1，x 1x 2＝4t 2－84k 2＋1.又直线P A 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)，即y －1＝kx 1＋t －1x 1－2(x －2)，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，(1－2k )x 1－2t x 1－2，同理可知N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，(1－2k )x 2－2t x 2－2， 由OM ―→＝NO ―→，得(1－2k )x 1－2t x 1－2＋(1－2k )x 2－2t x 2－2＝0，化简整理得，(2－4k )x 1x 2－(2－4k ＋2t )(x 1＋x 2)＋8t ＝0， 则(2－4k )×4t 2－84k 2＋1－(2－4k ＋2t )⎝⎛⎭⎫－8kt 4k 2＋1＋8t ＝0，整理得(2t ＋4)k ＋(t 2＋t －2)＝0，当且仅当t ＝－2时，上式对任意的k 都成立， 所以直线AB 过定点(0，－2)．考点三 假设存在定结论(探索性问题)[典例] 如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，|AB |＝2，|BC |＝32，|AD |＝12，以A ，B 为焦点的椭圆经过点C .(1)求椭圆的标准方程；(2)若点E ⎝⎛⎭⎫0，12，问是否存在直线l 与椭圆交于M ，N 两点且|ME |＝|NE |？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] (1)连接AC (图略)，依题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，在Rt △ABC 中，|AB |＝2，|BC |＝32，所以|AC |＝52.所以|CA |＋|CB |＝52＋32＝2a ，a ＝2.又2c ＝2，所以c ＝1，从而b ＝3， 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，当l 与x 轴垂直时，不满足|ME |＝|NE |，当l 与x 轴平行时，|ME |＝|NE |，显然成立，此时k ＝0.当k ≠0时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由直线与椭圆交于两点得Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)×4(m 2－3)＞0，所以m 2＜4k 2＋3. ① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2. 因为|ME |＝|NE |，所以EP ⊥MN ，所以k EP ·k ＝－1， 即3m 3＋4k 2－12－4km3＋4k 2·k ＝－1，化简得m ＝－12(3＋4k 2)，结合①得14(3＋4k 2)2＜4k 2＋3，即16k 4＋8k 2－3＜0，解得－12＜k ＜12(k ≠0)．综上所述，存在满足条件的直线l ，且其斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，12. [解题技法] 探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．[对点训练](2019·贵阳检测)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线Q A 与Q D 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得A (－a,0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t ＞0)， ∴c 2a 2＋t 2b 2＝1，解得t ＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP ，得b a ＝b 2ac，即b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2， ① 又AB ＝23，∴a 2＋b 2＝12， ② 由①②得a 2＝8，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在D (m,0)使得直线Q A 与Q D 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204＝1， ③设k Q A ·k Q D ＝k (常数)，∵A (－22，0)，∴y 0x 0＋22·y 0x 0－m ＝k ，④ 由③得y 20＝4⎝⎛⎭⎫1－x 208，⑤将⑤代入④，得k ＝8－x 202[x 20＋(22－m )x 0－22m ]， ∴⎩⎨⎧22－m ＝0，22m ＝8，∴m ＝22，k ＝－12，∴存在点D (22，0)，使得k Q A ·k Q D ＝－12(定值)．[课时跟踪检测]1．(2019·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c . ①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2， 所以b 2a ＝22， ②又a 2＝b 2＋c 2， ③ 联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1， 将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)＞0， 设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k 2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.2．(2018·贵阳摸底考试)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． 解：(1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(2)证明：∵D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1，∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1， ∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1，0)．3．(2019·西安八校联考)已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝4上的射影依次为D ，K ，E .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA ―→＝λ1AF ―→，MB ―→＝λ2BF ―→，当m 变化时，证明：λ1＋λ2为定值；(3)判断当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．解：(1)∵l ：x ＝my ＋1过椭圆C 的右焦点F ， ∴右焦点F (1,0)，即c ＝1.∵x 2＝43y 的焦点(0，3)为椭圆C 的上顶点， ∴b ＝3，即b 2＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意知m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2－12＝0消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.∵MA ―→＝λ1AF ―→，MB ―→＝λ2BF ―→，M ⎝⎛⎭⎫0，－1m ， ∴⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋1m ＝λ1(1－x 1，－y 1)，⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＋1m ＝λ2(1－x 2，－y 2)， ∴λ1＝－1－1my 1，λ2＝－1－1my 2，∴λ1＋λ2＝－2－y 1＋y 2my 1y 2＝－2－－6m3m 2＋4－9m3m 2＋4＝－83.综上所述，当m 变化时，λ1＋λ2为定值－83.(3)当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，则四边形ABED 为矩形，易知AE 与BD 相交于点N ⎝⎛⎭⎫52，0，猜想当m 变化时，直线AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0，证明如下：AN ―→＝⎝⎛⎭⎫52－x 1，－y 1＝⎝⎛⎭⎫32－my 1，－y 1， 易知E (4，y 2)，则NE ―→＝⎝⎛⎭⎫32，y 2.∵⎝⎛⎭⎫32－my 1y 2－32(－y 1)＝32(y 1＋y 2)－my 1y 2＝32⎝⎛⎭⎫－6m 3m 2＋4－m ⎝⎛⎭⎫－93m 2＋4＝0， ∴AN ―→∥NE ―→，即A ，N ，E 三点共线． 同理可得B ，N ，D 三点共线．则猜想成立． 故当m 变化时，直线AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0.4．(2018·石家庄质测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为223，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)若以AF 1为直径的动圆内切于圆x 2＋y 2＝9，求椭圆的长轴长；(2)当b ＝1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA ―→·TB ―→为定值？并说明理由．解：(1)设AF 1的中点为M ，连接OM ，AF 2(O 为坐标原点)，在△AF 1F 2中，O 为F 1F 2的中点，所以|OM |＝12|AF 2|＝12(2a －|AF 1|)＝a －12|AF 1|.由题意得|OM |＝3－12|AF 1|，所以a ＝3，故椭圆的长轴长为6.(2)由b ＝1，c a ＝223，a 2＝b 2＋c 2, 得c ＝22，a ＝3，。
(完整word版)直线与圆锥曲线的位置关系
教学过程一、复习预习1、椭圆的定义和几何性质2、双曲线、抛物线的定义和几何性质3、直线与圆锥曲线的位置关系4、点差法二、知识讲解考点1直线与圆锥曲线C 的位置关系将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。
（1）交点个数①当 a =0或a ≠0,⊿=0时，曲线和直线只有一个交点； ②当 a ≠0，⊿>0时，曲线和直线有两个交点； ③ 当⊿〈0 时，曲线和直线没有交点； （2） 弦长公式:斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A (x 1，y 1)，B （x 2,y 2）,则21|| AB x x -=一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用.三、例题精析【例题1】【题干】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率.【答案】e =【解析】设()2211,),,(y x B y x A ，AB 的中点为),(00y x M ，代入椭圆方程得11222222221221=+=+by a x b y a x ，，两式相减，得1212221212y y x x a b x x y y ++-=--。
AB 的中点为),(00y x M 在直线l 上,0200=-∴y x ，012120222x x x y y y +==+，而22143x y +=，故2212b a =,则e =.【例题2】【题干】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1，。
直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若过点⎪⎭⎫⎝⎛1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点， 且N 为线段C D 的中点，求直线l 的方程.【答案】()12222±≠=+x y x ；012=-+y x【解析】（Ⅰ)由题意可得:()12222±≠=+x y x（Ⅱ）当直线l ⊥x 轴时,直线的方程为21=x ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,2126,21D C ，, 其中点不是N ，不合题意。
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课题：直线与圆锥曲线活动一：基础检测：1.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为 3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是________.2.椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________. 3.过点（0，－12）的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________. 答案：1.43 2. .±34 3.－14活动二：探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系例1（南通市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），且△12BF F 是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记△2ABF ，△2BCF 的面积分别为1S ，2S .若122S S =，求直线l 的斜率.训练1.（2015届南京、盐城市高三二模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为22，直线l ：x y 21=与椭圆E 相交于A ，B 两点，52=AB ，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N .（1）求b a ,的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.解（1）因为e ＝c a ＝22，所以c 2＝12a 2，即a 2－b 2＝12a 2，所以a 2＝2b 2.…… 2分故椭圆方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限.由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 22b 2＋y 2b2＝1，解得A （233b ，33b ）.又AB ＝25，所以OA ＝5，即43b 2＋13b 2＝5，解得b 2＝3.故a ＝6，b ＝3. ……………… 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1，从而A （2，1），B （－2，－1）.①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C （x 0，y 0）， 显然k 1≠k 2.从而k 1 ·k CB ＝y 0－1x 0－2·y 0＋1x 0＋2＝y 02－1x 02－4＝3(1－x 026)－1x 02－4＝2－x 022x 02－4＝－12.所以k CB ＝－12k 1. …………………… 8分同理k DB ＝－12k 2. 于是直线AD 的方程为y －1＝k 2（x －2），直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1（x ＋2）.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为（4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1）. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为（4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1）.………… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1 ＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1.即直线MN 的斜率为定值－1. ……… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C （2，－1）.仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－12k 2.此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2（x ＋2），它们交点M （2，－1－2k 2）.BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2（x－2），它们交点N （2－2k 2，－1），从而k MN ＝－1也成立.由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1. ………… 16分方法二：由（1）知，椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1，从而A （2，1），B （－2，－1）.①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2.显然k 1≠k 2.直线AC 的方程y －1＝k 1（x －2），即y ＝k 1x ＋（1－2k 1）.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋(1－2k 1)，x 26＋y 23＝1得（1＋2k 12）x 2＋4k 1（1－2k 1）x ＋2（4k 12－4k 1－2）＝0.设点C 的坐标为（x 1，y 1），则2·x 1＝2(4k 12－4k 1－2)1＋2k 12，从而x 1＝4k 12－4k 1－22k 12＋1.所以C （4k 12－4k 1－22k 12＋1，－2k 12－4k 1＋12k 12＋1）.又B （－2，－1），所以k BC ＝－2k 12－4k 1＋12k 12＋1＋14k 12－4k 1－22k 12＋1＋2＝－12k 1. ……………… 8分所以直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1（x ＋2）.又直线AD 的方程为y －1＝k 2（x －2）. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为（4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1）. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为（4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1）.……… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1 ＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1.即直线MN 的斜率为定值－1. ……………… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C （2，－1）.仍然设DA 的斜率为k 2，则由①知k DB ＝－12k 2.此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2（x ＋2），它们交点M （2，－1－2k 2）.BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2（x－2），它们交点N （2－2k 2，－1），从而k MN ＝－1也成立.由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1. ……………… 16分探究点二 中点弦问题【例2】过点P （－1，1）作直线交椭圆 x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在直线的方程.[审题视点] 已知弦的中点，常采用“点差法”求弦所在直线的斜率，进而求得直线的方程. 解 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② 由①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－2×(－1)4×2＝12.∴线段AB 所在直线的方程为y －1＝12（x ＋1），即x －2y ＋3＝0.中点弦问题常用“点差法”求解.在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中，以P （x 0，y 0）为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P （x 0，y 0）为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，以P （x 0，y 0）为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.【训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程. 解 设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入椭圆方程并作差得a （x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋b （y 1＋y 2）（y 1－y 2）＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程（a ＋b ）x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.探究点三 定值（定点）问题【例3】已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）且x 1＋x 2＝2.（1）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；（2）设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.[审题视点] （1）由x 1＋x 2＝2可得PQ 的中点横坐标，引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解.（2）建立PB 关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值.（1）证明 ∵P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 2＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N （1，n ），∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n （x －1），∴（2x －1）n －y ＝0，则直线恒过一个定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. （2）解 由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B ⎝⎛⎭⎫－12，0. ∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0，2]，PB 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋122＋y 21＝12（x 1＋1）2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为（0，±2）时，PB min ＝32.以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值.而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.【训练3】（2011·四川）如图过点C （0，1）的椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A （a ，0）、B （－a ，0）.过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .（1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值.（1）解 由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为（3，0），此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫837，－17. 故CD ＝⎝⎛⎭⎫837－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167.（2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1（k ≠0且k ≠12）.代入椭圆方程化简得（4k 2＋1）x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1.又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k （x ＋2），联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为（－4k ，2k ＋1）.又P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·（－4k ，2k ＋1）＝4. 故OP →·OQ →为定值.活动三：自主检测： 一、填空题1.（2009·重庆）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为________.2.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为________.3.已知直线y ＝k （x ＋2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点.若F A ＝2FB ，则k ＝ .4.（2011·镇江模拟）若直线y ＝kx ＋1（k ∈R ）与焦点在x 轴上的椭圆 x 25 ＋ y 2t ＝1恒有公共点，则t 的范围是 .5.（2010·全国Ⅱ）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，过M （1，0）且斜率为 3 的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.自主检测： 1. y ＝x 2.2 解析由抛物线y 2＝4x 知直线l 2为其准线，焦点为F （1，0）.由抛物线的定义可知动点P 到直线l 2的距离与P 到焦点F （1，0）的距离相等，所以P 到直线l 1的距离与P 到焦点F （1，0）的距离之和的最小值为焦点F （1，0）到直线l 1的距离（如图），则d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.3.2234.[1，5）5.2 二、解答题：6.（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F ：22(3)5x y +=.（1）设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=u u u u r u u u u r，求点M 的坐标；（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值.（第6题）TQPF 'HO yxF7.（2010·天津）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为（－a ，0），点Q （0，y 0）在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值. 解 （1）由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，ab ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.（4分）（2）由（1）可知A （－2，0），且直线l 的斜率必存在.设B 点的坐标为（x 1，y 1），直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x ＋2）.于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得（1＋4k 2）x 2＋16k 2x ＋（16k 2－4）＝0. 由根与系数的关系，得－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为（－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2）.（6分） 以下分两种情况讨论：①当k ＝0时，点B 的坐标是（2，0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝（－2，－y 0），QB →＝（2，－y 0）.由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.（8分）②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k （x ＋8k 21＋4k 2）.令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2. 由QA →＝（－2，－y 0），QB →＝（x 1，y 1－y 0）， QA →·QB →＝－2x 1－y 0（y 1－y 0）＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2（4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2）＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.所以y 0＝±2145.（13分） 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.（14分）8.（2015年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线分别交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 和AB 于点P ，C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.解：（1）22c e a ==，又23a c c+=，解得：2,1,1a c b ===，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=.（2）设AB 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)22x x y y C ++. 其中1,2x x 满足方程2222(1)20x k x +--=，即2222(12)4220k x k x k +-+-=.故22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，即2222(,)1212k k C k k -++.而1PC k k=-，所以 PC 方程为：22212()1212k k y x k k k =---++.故22252,(12)x y k P P k k +=-=+. 根据题意，224PC AB =， 22222222225(2)[]12(12)12k k k PC k k k k +=++++++22222126()12k k k k ++=+， 2221212(1)[()4]AB k x x x x =++-22228(1)(1)(12)k k k +=++， 所以2222222222(1)(26)32(1)(1)(12)(12)k k k k k k k +++=+++，得到21k =，所以1k =±. 故直线AB 的方程为1y x =-或者1y x =-+.9.（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1F （－1，0）和右焦点2F （1，0），且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =.（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围。