第二章 矩阵答案详解

a a a a a B12 ，其中 B11 b b b ， B12 b b ； E c c c b b a b A12 B12 c A22 0 0 a a a 2 a 5 b b b 3 b 2 c c c 1 c 6 0 0 4 0 0 0 0 4
2 1 1÷ 7 4 4 ç ÷ ç ÷ 3 1 0÷ 9 4 3 (1) ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 3 4 ç0 1 2÷ cos q - sin q ÷ ÷ ( 2) ç ç ÷ ,n> 0 ； ç sin q cos q ÷
【解析】
n
2
cos q - sin q sin q cos q
本题主要考察逆矩阵的判别和求逆矩阵.
习题 2.3 矩阵的分块
1．将矩阵分块并计算 AB
1 ç ç ç 0 ç ç ç A=ç 0 ç ç ç 0 ç ç ç ç0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
5 ÷ ÷ ÷ 3 -2 ÷ ÷ ÷ ÷ ， -1 6 ÷ ÷ ÷ ÷ 4 0 ÷ ÷ ÷ ÷ 0 4 ÷
求 4 A - 3B ，
1 ( A + B) ． 3 1 8 3 3 1 5 3 3 5 8 3 3 0 1 2 3
1 1 3 2 24 11 3 7 1 1 1 【解析】 4 A 3B 18 25 4 1 5 ； ( A B ) 3 3 3 1 2 6 4 15 5 11 3 3
è1 3ø
．
2 -23÷ =ç ÷ ç ç0 ÷ 1 8 ÷
( 2)
-1 1 4 0,
=
0 -1 0
【解析】
2
-1 2
-1 1
0 ，则 X =
1
4
-1
3
1
2
0
-1
-1 2
0 -1 -1 1
1 1÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 ç ÷ ç 0 ÷ ç4 ÷
本题主要考察矩阵方程的计算，注意可逆的验证和左乘右乘的问题. 3．设 A ， B ， C 为同阶矩阵，且 A 可逆．下列结论如果正确，试证明之；如果不正确， 试举出反例来说明．
9 13 75 123 59 11 28 49 21 22 27 17 BT A ， BT AT 63 102 50 29 32 26 21 44 71 35 24 27
本题主要考察矩阵的乘法、转置的运算. 3．计算
E - Ak = ( E - A)( E + A + A2 + L + Ak -1 ) = E Þ ( E - A) = E + A + A2 + L + Ak -1
方法二： ( E - A) E + A + A + L+ A
2
-1
(
k -1
)= E Þ (E - A )-1 = E + A + A 2 + L+ A k -1
(1) 若 AB = AC ，则 B = C ；
【解析】
(2) 若 AB = CB ，则 A = C ．
-1
（1） 正确，将 AB AC 两边左乘以 A （2）不正确，如 A
即可得到 B C
2 0 1 1 1 1 ，B ，C ，则 AB CB ，但 A C 0 2 1 1 1 1
2 1 0 0
3 2 1 0
4÷ ÷ ÷ 3÷ ÷ ÷ ÷ 2÷ ÷ ÷ ÷ 1÷ 2 3 4÷ 1 -2 1 0 ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ 1 2 3÷ 0 1 2 1 ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ =ç ÷ ÷ ç ÷ 0 1 2÷ 0 0 1 2 ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç 0 0 1 0 0 0 1÷
-1
1 ç ç ç ç0 【解析】 ç ç ç 0 ç ç ç ç0
本题主要公式法求逆矩阵，其中（1）的结果可以直接做结论使用. 2．用逆矩阵解下列矩阵方程
(1)
2 5 4 -6 ÷X = ÷ 1 3 2 1 2 5 1 3 2 0 ，则 X = 0 3 1 2 5
-1
【解析】 因为
4 -6 2
2 2
2 0 1÷ ç ÷ ç ÷ Q A - E ¹ 0, \ B = A + E = ç 0 3 0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 0 2÷
本题主要考察矩阵方程的计算. 6．试证：如果 A = 0 ，则 ( E - A)
k -1
= E + A + A 2 + L+ A k -1 ．
【解析】方法一： Ak = 0 Þ - Ak = 0 Þ E - Ak = E
6 27
本题主要考察矩阵的运算综合应用.
1 0 1÷ ç ÷ ç 2 ÷ 5．设 A = ç ， AB + E = A + B ，求 B ． 0 2 0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 0 1 ÷
【解析】 AB + E = A + B Þ AB - B = A - E Þ ( A - E ) B = ( A - E )( A + E )
本题主要考察矩阵的线性运算.
5 8 -4÷ 3 2 5 4÷ ç ç ÷ ÷ ç ç T T T T T ÷ ÷ 2．设 A = ç ， B =ç ，求 A ， B ， AB ， B A ， B A ． 6 9 -5÷ 4 -1 3 2 ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç4 7 -3÷ ç9 6 5 3 ÷ 3 4 5 6 4 2 1 T T 【解析】 A 8 9 7 ，B 5 3 4 5 3 4 2 9 11 22 29 24 6 ， AB 9 27 32 27 5 13 17 26 21 3
R
本题主要考察矩阵可交换的概念及应用.
习题 2.2 矩阵行列式与逆
1．求下列矩阵的逆矩阵
a b÷ a b d -b 1 ÷ , ad bc ¹ 0 ；【解析】 ÷ = ÷ (1) ç ç ÷ çc d ÷ c d ad - bc -c a
-1
1 ç ç ç0 ç ( 2) ç ç ç 0 ç ç ç0 ç
本题主要考察接矩阵方程的方法，其中方法一是定义法，方法二是逆矩阵的应用. 5．设 A = ç ç
1 1÷ ÷ ，求所有与 A 可交换的矩阵． ç0 1÷ ÷ x11 x21 x12 x22 x11 x21 AX XA 1 1 x11 0 1 x21 x12 x22 = x11 x21 x12 1 1 x22 0 1 ìx21 = 0 ï ï îx22 = x11
2
a ç ç ç b ç ç ç B =ç c ç ç ç 0 ç ç ç ç0
a a a a÷ ÷ ÷ b b b b÷ ÷ ÷ ÷ ． c c c c÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 1 0÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 0 1÷
E 【解析】 A O B B 11 O
2 5 A12 4 0 ，其中 A12 3 2 ， A22 ； A22 0 4 1 6
2
÷ =
cos 2q - sin 2q sin 2q cos 2q
÷
假设 n k 成立，即 则
cos q - sin q sin q cos q
k
÷ =
cos k q - sin k q sin k q cos k q
÷，
cos q - sin q sin q = cos q
k +1
cos q - sin q sin q sin q cos q cos q
【解析】 X =
x11 + x21 x21
x12 + x22 x22
=
x11 + x12 x21 + x22
ì x11 + x21 = x11 ï ï ï ï ï x12 + x22 = x11 + x12 x21 = x21 ï ï ï ï ï î x22 = x21 + x22
a b÷ \ X =ç , a, b ç ç 0 a÷ ÷
第二章
矩阵
习题 2.1 矩阵的概念及其运算
1 -3 2 3 -1÷ 2 4 -1 5 1 ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ 1．设 A = ç ， ， 3 -4 1 2 2 ÷ B = 2 3 0 3 1 ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç2 5 3 4 3 ÷ ç 3 6 2 4 -1÷
k n n
0 l
k 2
M 0
0÷ ÷ ÷ L 0÷ ÷ ÷ ÷ O M ÷ ÷ ÷ k÷ L ln ÷ K
本题主要考察方阵的方幂计算的几种方法，其中（4）的结果可以做结论使用. 4．解下列矩阵方程，求出未知矩阵 X ．
(1)
2 5 4 -6 ÷X = ÷ ； 1 3 2 1
【解析】方法一：根据矩阵特点，得知未知矩阵 X 为二阶方阵，设 X
2 23 。 0 8
2 5 1 3
= 1 ¹ 0 ，则 X = 1 1 1 -1 1 1
2 5 2
．
-1
4 -6 2
è1 3ø
2 -23÷ =ç ÷ ç ÷ ç0 1 8 ÷
( 2) -2 1 1 X = 3
6
1 【解析】按上题方法可得 X 3 2
*
本题主要考察矩阵运算的性质和可逆的性质. 4．若三阶方阵 A 的伴随矩阵为 A ，已知 A =
2 (1) A* = A =
1 4 1 3 1 2 2 3
1 ，试求： 2
(2) (3 A) - 2 A* = A-1 - 2 × A-1 = - A-1 = -
-1
2 3
3
A-1 = -
2 3
3
A
-1
=-
x11 x21 2
x12 ， x22 1
，
代入原等式
2 5 x11 1 3 ç x21
x12 x22
4 -6 2 1
ç x11 + 3x21
2 x11 + 5 x21
2 x12 + 5 x22 x12 + 3x22
=
4 -6
利用矩阵相等解方程组得： x11 2, x12 23, x21 0, x22 8 ，即 X 方法二：利用解矩阵方程的思想。
k
cos q - sin q sin q cos q
cos k q - sin k q cos q - sin q sin k q cos k q
cos k q cos q - sin k q sin q - cos k q sin q - sin k q cos q ÷ =ç ÷ ç ÷ çsin k q cos q + cos k q sin q - sin k q sin q + cos k q cos q ÷ cos(k + 1)q - sin(k + 1)q ÷ =ç ÷ ç ç sin(k + 1)q cos(k +1)q ÷ ÷ cos q - sin q ÷ çcos nq - sin nq ÷ 则ç ÷ =ç ÷ ç ÷ ç sin nq cos nq ÷ ÷ ç sin q cos q ÷ l 1 0÷ ç ÷ ç ÷ 0 l 1÷ ,n>0 ； (3) ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 l÷ 0 1 0 0 0 1 l 2 【解析】∵ A kE B, B 0 0 1 ， B 0 0 0 , B O (l 3) ， 0 0 0 0 0 0 ∴由“牛顿二项式”得： n(n 1) An ( E B )n ( E )n n ( E )n 1B ( E )n 2 B 2 B n 2! n(n 1) n 2 n n 1 n 2 n(n 1) n 2 2 n E n n 1B B n n n 1 。 2! n l1 0 ç ç ç ç 0 l2 ( 4) ç ç ç M M ç ç ç0 0 ç 0 ÷ çl1k ÷ ç ç ÷ L 0÷ 0 ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç L M÷ M ç ÷ ÷ ç ÷ ç L ln ÷ ç 0 L