第二章 矩阵答案详解
第2章 矩阵代数 习题答案
n! 2 ! ( n 2 )!
n 2 ! ( n 2 )! n ! 2 ! ( n 2 )! 2 n ! ( n 1 ) n ! 2 ! ( n 1 )!
n 2 ! ( n 1 ) ( n 2 )! ( n 1 ) n ! 2 ! ( n 2 )! ( n 1 ) ( n 1 )! 2 ! ( n 1 )!
3 2
2a a
2
0 0
0
0 a 1 0 0 2a 2 a 0
0 a3 0 0 1 0 a 0
0 0
0
1 3a 2 3a 3 a
a3 0 4 A 0 0 a4 0 5 A 0 0
n 1 0
n( n 1) 1 2 n 0 0 1
1 1 0
n1 1 0
所以假设成立。
（3）
解：
a 0 A 0 0
1 a 0 0
0 1 a 0
0 0 1 a
a 0 2 A 0 0 a2 0 3 A 0 0
3 n
C n1
2
C
2 n
C
n! 2 ! ( n 2 )! C n1
3
线性代数矩阵练习题参考答案
《线性代数》第二章练习题参考答案
8、设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=
(A+2E) 一、填空题
1、设A=⎛ 12 ⎫⎛3-2⎫⎛⎝-13⎪⎪⎭，B= ⎝21⎪⎪⎭
，则 3A+2B =⎛ 92⎫⎝111⎪⎭； AB =⎛ 70⎫⎝35⎪⎭；BT
= 3⎝-2⎛19
-3⎫2、设矩阵A=⎛ -15⎫⎪，8⎪⎝13⎭B=⎛ 31⎫则⎛-
614⎫-1 -8⎝-20⎪，⎭3A-B= ⎝59⎪，
⎭
AB= 11⎪⎪。⎝88⎪⎭
3、设A为三阶矩阵，且A=2，则2A*-A-1=
272
4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__25____，|2A|=____40_ ⎛⎛3、设A= 120⎫
340⎪⎪，B=⎛ 23-1⎫T
86⎫ 1810⎪⎝-121⎪
⎭⎝-240⎪⎪⎭，则AB=
⎪⎝310⎪⎭
⎛11⎫
4、设A=
1 2
25⎪
⎪，且r(A)=2，则t= 4 ⎝11t⎪⎭
⎛ 123
3⎫
5、若A=
3-12⎪
06-24⎪
⎪则r(A)=_2____ ⎝0
000⎪
⎭
6、设矩阵A=⎛ 1-1 ⎫⎛
⎝23⎪⎪⎭，B=A2-3A+2E，则B-1
= 01⎫ 2⎪⎝-1-1⎪⎭
7、设A是方阵，已知A2-2A-2E=O，则(A+E)-1=3E-A
2⎫1⎪⎭ 2
⎛102⎫9、设A是4⨯3矩阵且r(A)=2，B= 020⎪
⎪，则r(AB)=
⎝-103⎪⎭⎛10、设A= 100⎫ 220⎪⎪，则(A*)-1=1⎛100⎫A=1 220⎪
⎪⎝345⎪⎭A10 ⎝345⎪
⎭
⎛⎛ 1
00⎫11、设A= 300⎫ 140⎪
矩阵及其运算课后习题答案(最新整理)
15．设方阵 A 满足 A2 A 2E O ,证明 A 及 A 2E 都可逆,并求 A1 及 ( A 2E)1 . 证明 由 A2 A 2E O 得 A2 A 2E
两端同时取行列式: A2 A 2
即 A A E 2 ,故 A 0 . 所以 A 可逆,而 A 2E A2
A
0 0
1 0
0 1
,求
Ak
.
解 首先观察
A2
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
2 0 0
2 2
0
1 2
,
2
A3
A2
A
3 0
32 3
3 32
0 0 3
13
由此推测
k Ak 0 0
kk 1
k 0
k(k 1) k2
2 kk 1
k
(k 2)
1
0 1
1
10
1 2
0 1
;
A3
A2 A
1 2
0 1
1
10
1 3
0 1
利用数学归纳法证明:
Ak
1 k
0 1
当 k 1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k 1时
Ak
Ak
A
1 k
10
1
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
证明：直接验证可知 U 关于加法与数乘均封闭，故是子空间。dim U = r(A) − r(AB).
(3) 任意向量 α ∈ W1 + W2 + · · · + Ws 的分解式唯一;
(4) 零向量的分解式唯一.
证明：(1)
⇒
(2)
对
s
做归纳，将
∑
k=j
Wk
看做一个子空间即可。
(2) ⇒ (3) 设 α ∈ W1 + W2 + · · · + Ws 有两个分解 α = α1 + α2 + · · · + αs 以及 α = β1 + β2 + · · · + βs，其中 αi, βi ∈ Wi, ∀i. 则
证明：必要性是显然的，下证充分性。设 U 关于加法“+”与数乘均封闭。则 U 中加法 “+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α = α 均自动成立，因为 U ⊂ V . 由 于 U 关于数乘封闭，而 0 = 0α ∈ U, −α = −1α ∈ U , 因此 U 是子空间。
线性代数第二章答案
第二章 矩阵及其运算
1
已知线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22
1321323513122y y y x x x
故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736
947y y y
⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y
2 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
2133
2123
11542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y
求从z 1 z 2
z 3到x 1 x 2
x 3的线性变换
解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010
2013514232102z z z ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32
1161109412316z z z
所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
2133
2123
2111610941236z z z x z z z x z z z x
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
第二章 矩阵及其运算
2.1 目的要求
1．理解矩阵的概念；
2．了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质； 3．掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；
4．理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆； 5．了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则．
2.2重要公式和结论
1．对于任意方阵A , 总有 E A =A A =AA *
*，如果0≠A , 即A 为可逆矩阵, 则有 *
1
A A
A
1=
−或1*A A A −=； 2．数乘以方阵的关系 , T
T
k k A A =)(1
11)(−−=A A k
k , A A n k k =, A A 11=−；
3．矩阵乘法的关系
T T T A B (AB)=, , 111A B (AB)−−−=BA AB =；
，()2
2
T T
A
)(A =()
2112
A )(A
−−=，2
2A A =；
4．若A 、均为可逆矩阵, 则; ； B 1
0B A 0−⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0A
B 01
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−−−11
1
B 00A B 00A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−−−−−1111
1
B 0CB A A B 0
C A ；； ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−−−−−1111
1
B CA B 0A B
C 0A 5．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)2(≥n 1
n *
A
A −=；
6．已知A 为一个阶矩阵，则n A A n
k k =，1
−=n n
k k A A *
，()1
矩阵分析第2章习题解
第二章习题
1、 用初等变换把下列矩阵化为标准型 （1）32
2
253λλλλλ
λ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭ （2）23100
(1)λλ⎛⎫
- ⎪
-⎝⎭ （3）2
22
11λλλ
λ
λλλλ
λ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝
⎭
（4）2
(1)
0000
(1)λλλλ+⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭
解: （1）3
2
2
253λλ
λλλ
λ⎛⎫- ⎪+⎝⎭21
2
2
()2
3
2
3
3235351102033r r λλλλ
λ
λλλλλλλλ-⎛⎫+⎛⎫
+ ⎪ ⎪
⎪--- ⎪⎝⎭
⎝⎭
32
103λλλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
（2）231
(1)λλ⎛⎫-
⎪
-⎝⎭2122
2
2
(3)322
11
110331(3)(1)
4(1)r r λλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫
---- ⎪ ⎪-+-----⎝⎭⎝⎭
[因为32331λλλ-+-除以21λ-商为3λ-余式为4(1)λ-]
2
2
2
2
2
2
114(1)(3)(1)(3)(1)
4(1)1
1λλλλλλλλλλ⎛⎫
⎛⎫
------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
21
1
(3)(1)4
222
4(1)0
11(1)(3)(1)(1)4c c λλλλλλλλ+-+-⎛⎫
⎪ ⎪--+-+-⎝
⎭
31
(1)(1)λλλ-⎛⎫
⎪
+-⎝⎭
（3）2
22
11λ
λλλ
λλλλ
λ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝
⎭2
22
10
1λλ
λλλλ
λ
λ⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭
22
2
2
2
10
01(1)(1)λ
λ
λλλλλλλλλλ⎛
⎫
⎪
-
⎪ ⎪++-++-++⎝⎭
4
3
3210
00λλλλ
λλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪----⎝
⎭ 43210
00
2λλλλ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 221
(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业
（一）选择题(15分)
１．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22
()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E =
２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ）
(A)至多一个等于零 (B)都不等于零
(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零
３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（
） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA
=
４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A
５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）
(A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+
(C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+
（二）填空题(15分)
１．设A ，B 均为3阶矩阵，且1
,32A B ==，则2T B A = 。
2．设矩阵1123A -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，232B A A E =-+，则1B -＝ 。
３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。
４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。
５．设101020101A ⎛
⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。
(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业
（一）选择题(15分)
１．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22
()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E =
２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ）
(A)至多一个等于零 (B)都不等于零
(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零
３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（
） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA
=
４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A
５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）
(A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+
(C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+
（二）填空题(15分)
１．设A ，B 均为3阶矩阵，且1
,32A B ==，则2T B A = 。
2．设矩阵1123A -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，232B A A E =-+，则1B -＝ 。
３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。
４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。
５．设101020101A ⎛
⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。
矩阵理论第2章习题解答
第二章习题答案
1．设a 1，a 2，…，a n 均为正数，n
C x ∈，且T
n x x x x ),,,(21 =. 证明函数
2/11
2
][)(∑==n
i i i x a x f
在C n 上定义了一个向量范数.
证明：
(1) 正定性：对0≠∀x ，有f (x )>0，当x =0时，f (x )=0. (2) 奇次性：)(][]
[
)(2/112
2
/11
2x f x a x a x f n
i i i n
i i i ⋅=⋅==∑∑==λλλλ.
(3) 三角不等式：])([][
)(12
21
2
2
∑∑==+++=+=+n
i i i i i i i i n
i i
i
i
y x y x y x a y
x a y x f
)2()()()2()()(1
2
2
12
2
∑∑==⋅++≤⋅++≤n
i i i i n
i i i i y x a y f x f y x a y f x f
∑∑∑===⋅++≤⋅++≤n
i i i n
i i i n
i i i i i y a x a y f x f y a x a y f x f 1
2
/12
1
2
/122
2
1
2
2
)()
(2)()()2()()( 2
22)]()([)()(2)()(y f x f y f x f y f x f +=⋅++=. 所以函数f (x )是一个向量范数.
2. 证明：在R 1中任何向量范数x ，一定有
x x λ= 0>λ.
证明：对任意向量范数x ，根据向量范数的定义和性质，又因为1
R x ∈，有
x x x x λ=⋅=⋅=11，其中01>=λ.
3. 设x 是P n 中的向量范数，n
线性代数第二章矩阵(答案).docx
线性代数练习题第二章矩阵
系专业班姓名学号
第一节矩阵及其运算
一．选择题
1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC
2．设C (1
, 0 ,0 ,
1
)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22
（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）0
3．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]
（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A
二、填空题：
164201165
1．
282342112
4
12124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 431735
3．12326
570149
131
2140012678
4．
1341312056
1
402
三、计算题：
111
设 A111，4
111
123
B124，求 3AB2A 及 A T B
051
111123111
3AB 2 A 3 111124 2 111
111051111
058222
3 056222
290222
21322
21720 ;
4292
111123058
由 A对称，
A T A，则 A T
B AB11112405 6 .
111051290
线性代数练习题第二章矩阵
系专业班姓名学号
第二节逆矩阵
一．选择题
1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]
（ A）AA A 1（ B）A
n 1
（ C）( A)n A（ D）( A )0 A
2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵
线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)
证明： A2 = A 的充要条件是 αT α = 1. 证明： A2 = A ⇔ A2 =(E − ααT )(E − ααT ) =A =E − ααT
⇔ E − ααT − ααT + ααTαα T =E − ααT
( ) ( ) ⇔ E − ααT − ααT + αTα αα T =E − ααT ⇔ −ααT + αTα αα T = 0
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析：题中对可逆矩阵也要成立，所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
(C ) AB = BA
(D) A − B = B − A
分析： AB =| A= || B | | B= || A | | BA |
19. 若 n 阶方阵 A 互换第一、第二行后得到矩阵 B ，则必有（ C ）.
( A) A + B =0 (B) AB = 0
(C ) A + B = 0 (D) AB = 0
1 −1
1
−1
，则
1
αTα =
.
1 −1 1 1
东北大学线性代数书后答案第二章 矩阵
第二章 矩 阵
教学基本要求： 1. 理解矩阵的概念.
2. 了解基本矩阵（单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵等）及
其基本性质.
3. 掌握矩阵的各种运算（加法、数乘、乘法和转置运算）及其运算规律.
4. 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件.
5. 了解分块矩阵的概念.
6. 了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法.
7. 了解矩阵等价的概念.
8. 理解矩阵秩的概念，掌握求秩的方法.
线性代数是“矩阵”的代数，矩阵有着广泛的应用.
一、矩阵的概念及其运算 1. 矩阵的概念
长方形数表：1112121
2221
2
n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
称为m n ⨯矩阵，常记作()ij A a =或()⨯=ij m n A a 或m n A ⨯等.
行数相同、列数也相同的矩阵称为同型矩阵. 元素全是实数的矩阵称为实矩阵.以下只讨论实矩阵. 2. 基本矩阵
行矩阵——只有一行的矩阵，即()1
2
n a a a .
列矩阵——只有一列的矩阵，即12
m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
零矩阵——元素皆为零的矩阵，即0000
0000
0⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
. 负矩阵——1112121
2221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ∆
---⎛⎫
⎪---
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
. n 阶矩阵(n 阶方阵)——行数与列数相等的矩阵，简记作n ij a A )(=或n A .
0()
《线性代数》第二章自测题 参考答案
第二章 矩阵及其运算 自测题参考答案
一、填空（每空4分，共4*12=48分） 1. 369246123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
；
2. -54 ；
3. 0001⎛⎫ ⎪⎝⎭；2001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
； 4. *4232A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
； 5. 213/21A -⎛⎫=
⎪-⎝⎭； 6. 1n a -；
7. 64 ； 8. *100001000010AA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
；*1()A -=0.1000.20.200.30.40.5⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 9. A E -； 10. –16 .
二、 选择题（每小题4分，共16分）
1. （2）
2. （1）
3. (4)
4. (4)
三、 计算题（每小题10分，共20分）
1() 1. X E A B -=-=021121011B ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭938273-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
2. 14004()020002B E A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪-⎝⎭
四、 证明题（每小题8分，共16分）
1. 因为为4阶可逆矩阵，故A 1
||A A A *=-，从而 14111(2)|2|(2)2||8||8.2
A A A A A A A A *---==⋅==*E 2. 可逆，且
2230(4)(2)54A A E A E A E E A +-=⇒+-=-⇒+11(4)(25
A E A E -+=--). 五、附加题（10分 略
线性代数第二章答案
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,
故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
2133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3233122
11323z z y z z y z z y ,
求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010
201
3514232102z z z
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,
所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
矩阵及其运算课后习题答案
矩阵及其运算课后习题答案
第二章 矩阵及其运算课后习题答案
1．已知线性变换：
⎪⎩⎪
⎨⎧++=++=++=,
323,53,223213
32123211y y y x y y y x y y y x
求从变量3
2
1
,,x x x 到变量3
2
1
,,y y y 的线性变换． 解
由已知：⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x
故
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y
⎪⎩⎪
⎨⎧-+=-+=+--=3213
32123211423736947x
x x y x x x y x x x y
2．已知两个线性变换
⎪⎩⎪
⎨⎧++=++-=+=,
54,232,
23213
3212311y y y x y y y x y y x
⎪⎩⎪
⎨⎧+-=+=+-=,
3,2,
3323
312211z z y z z y z z y
求从3
2
1
,,z z z 到3
2
1
,,x x x 的线性变换．
解 由已知
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z
所以有
⎪⎩⎪
⎨⎧+--=+-=++-=3213
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è1 3ø
．
2 -23÷ =ç ÷ ç ç0 ÷ 1 8 ÷
( 2)
1
4
-1 2 1
X
-1 1 4 0,
=
0 -1 0
【解析】
2
-1 2
-1 1
0 ，则 X =
1
4
-1
3
1
2
0
-1
-1 2
0 -1 -1 1
1 1÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 ç ÷ ç 0 ÷ ç4 ÷
本题主要考察矩阵方程的计算，注意可逆的验证和左乘右乘的问题. 3．设 A ， B ， C 为同阶矩阵，且 A 可逆．下列结论如果正确，试证明之；如果不正确， 试举出反例来说明．
k n n
0 l
k 2
M 0
0÷ ÷ ÷ L 0÷ ÷ ÷ ÷ O M ÷ ÷ ÷ k÷ L ln ÷ K
本题主要考察方阵的方幂计算的几种方法，其中（4）的结果可以做结论使用. 4．解下列矩阵方程，求出未知矩阵 X ．
(1)
2 5 4 -6 ÷X = ÷ ； 1 3 2 1
【解析】方法一：根据矩阵特点，得知未知矩阵 X 为二阶方阵，设 X
2 23 。 0 8
2 5 1 3
= 1 ¹ 0 ，则 X = 1 1 1 -1 1 1
2 5 2
．
-1
4 -6 2
è1 3ø
2 -23÷ =ç ÷ ç ÷ ç0 1 8 ÷
( 2) -2 1 1 X = 3
6
1 【解析】按上题方法可得 X 3 2
a a a a a B12 ，其中 B11 b b b ， B12 b b ； E c c c b b a b A12 B12 c A22 0 0 a a a 2 a 5 b b b 3 b 2 c c c 1 c 6 0 0 4 0 0 0 0 4
【解析】 X =
x11 + x21 x21
x12 + x22 x22
=
x11 + x12 x21 + x22
ì x11 + x21 = x11 ï ï ï ï ï x12 + x22 = x11 + x12 x21 = x21 ï ï ï ï ï î x22 = x21 + x22
a b÷ \ X =ç , a, b ç ç 0 a÷ ÷
E - Ak = ( E - A)( E + A + A2 + L + Ak -1 ) = E Þ ( E - A) = E + A + A2 + L + Ak -1
方法二： ( E - A) E + A + A + L+ A
2
-1
(
k -1
)= E Þ (E - A )-1 = E + A + A 2 + L+ A k -1
x11 x21 2
x12 ， x22 1
，
代入原等式
2 5 x11 1 3 ç x21
x12 x22
4 -6 2 1
ç x11 + 3x21
2 x11 + 5 x21
2 x12 + 5 x22 x12 + 3x22
=
4 -6
利用矩阵相等解方程组得： x11 2, x12 23, x21 0, x22 8 ，即 X 方法二：利用解矩阵方程的思想。
R
本题主要考察矩阵可交换的概念及应用.
习题 2.2 矩阵行列式与逆
1．求下列矩阵的逆矩阵
a b÷ a b d -b 1 ÷ , ad bc ¹ 0 ；【解析】 ÷ = ÷ (1) ç ç ÷ çc d ÷ c d ad - bc -c a
-1
1 ç ç ç0 ç ( 2) ç ç ç 0 ç ç ç0 ç
2
÷ =
cos 2q - sin 2q sin 2q cos 2q
÷
假设 n k 成立，即 则
cos q - sin q sin q cos q
k
÷ =
cos k q - sin k q sin k q cos k q
÷，
cos q - sin q sin q = cos q
k +1
cos q - sin q sin q sin q cos q cos q
k
cos q - sin q sin q cos q
cos k q - sin k q cos q - sin q sin k q cos k q
cos k q cos q - sin k q sin q - cos k q sin q - sin k q cos q ÷ =ç ÷ ç ÷ çsin k q cos q + cos k q sin q - sin k q sin q + cos k q cos q ÷ cos(k + 1)q - sin(k + 1)q ÷ =ç ÷ ç ç sin(k + 1)q cos(k +1)q ÷ ÷ cos q - sin q ÷ çcos nq - sin nq ÷ 则ç ÷ =ç ÷ ç ÷ ç sin nq cos nq ÷ ÷ ç sin q cos q ÷ l 1 0÷ ç ÷ ç ÷ 0 l 1÷ ,n>0 ； (3) ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 l÷ 0 1 0 0 0 1 l 2 【解析】∵ A kE B, B 0 0 1 ， B 0 0 0 , B O (l 3) ， 0 0 0 0 0 0 ∴由“牛顿二项式”得： n(n 1) An ( E B )n ( E )n n ( E )n 1B ( E )n 2 B 2 B n 2! n(n 1) n 2 n n 1 n 2 n(n 1) n 2 2 n E n n 1B B n n n 1 。 2! n l1 0 ç ç ç ç 0 l2 ( 4) ç ç ç M M ç ç ç0 0 ç 0 ÷ çl1k ÷ ç ç ÷ L 0÷ 0 ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç L M÷ M ç ÷ ÷ ç ÷ ç L ln ÷ ç 0 L
6 27
本题主要考察矩阵的运算综合应用.
1 0 1÷ ç ÷ ç 2 ÷ 5．设 A = ç ， AB + E = A + B ，求 B ． 0 2 0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 0 1 ÷
【解析】 AB + E = A + B Þ AB - B = A - E Þ ( A - E ) B = ( A - E )( A + E )
2 1 1÷ 7 4 4 ç ÷ ç ÷ 3 1 0÷ 9 4 3 (1) ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 3 4 ç0 1 2÷ cos q - sin q ÷ ÷ ( 2) ç ç ÷ ,n> 0 ； ç sin q cos q ÷
【解析】
n
2
cos q - sin q sin q cos q
源自文库
2
a ç ç ç b ç ç ç B =ç c ç ç ç 0 ç ç ç ç0
a a a a÷ ÷ ÷ b b b b÷ ÷ ÷ ÷ ． c c c c÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 1 0÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 0 1÷
E 【解析】 A O B B 11 O
2 5 A12 4 0 ，其中 A12 3 2 ， A22 ； A22 0 4 1 6
2 2
2 0 1÷ ç ÷ ç ÷ Q A - E ¹ 0, \ B = A + E = ç 0 3 0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 0 2÷
本题主要考察矩阵方程的计算. 6．试证：如果 A = 0 ，则 ( E - A)
k -1
= E + A + A 2 + L+ A k -1 ．
【解析】方法一： Ak = 0 Þ - Ak = 0 Þ E - Ak = E
2 1 0 0
3 2 1 0
4÷ ÷ ÷ 3÷ ÷ ÷ ÷ 2÷ ÷ ÷ ÷ 1÷ 2 3 4÷ 1 -2 1 0 ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ 1 2 3÷ 0 1 2 1 ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ =ç ÷ ÷ ç ÷ 0 1 2÷ 0 0 1 2 ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç 0 0 1 0 0 0 1÷
-1
1 ç ç ç ç0 【解析】 ç ç ç 0 ç ç ç ç0
本题主要公式法求逆矩阵，其中（1）的结果可以直接做结论使用. 2．用逆矩阵解下列矩阵方程
(1)
2 5 4 -6 ÷X = ÷ 1 3 2 1 2 5 1 3 2 0 ，则 X = 0 3 1 2 5
-1
【解析】 因为
4 -6 2
9 13 75 123 59 11 28 49 21 22 27 17 BT A ， BT AT 63 102 50 29 32 26 21 44 71 35 24 27
本题主要考察矩阵的乘法、转置的运算. 3．计算
*
本题主要考察矩阵运算的性质和可逆的性质. 4．若三阶方阵 A 的伴随矩阵为 A ，已知 A =
2 (1) A* = A =
1 4 1 3 1 2 2 3
1 ，试求： 2
(2) (3 A) - 2 A* = A-1 - 2 × A-1 = - A-1 = -
-1
2 3
3
A-1 = -
2 3
3
A
-1
=-
本题主要考察接矩阵方程的方法，其中方法一是定义法，方法二是逆矩阵的应用. 5．设 A = ç ç
1 1÷ ÷ ，求所有与 A 可交换的矩阵． ç0 1÷ ÷ x11 x21 x12 x22 x11 x21 AX XA 1 1 x11 0 1 x21 x12 x22 = x11 x21 x12 1 1 x22 0 1 ìx21 = 0 ï ï îx22 = x11
本题主要考察逆矩阵的判别和求逆矩阵.
习题 2.3 矩阵的分块
1．将矩阵分块并计算 AB
1 ç ç ç 0 ç ç ç A=ç 0 ç ç ç 0 ç ç ç ç0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
5 ÷ ÷ ÷ 3 -2 ÷ ÷ ÷ ÷ ， -1 6 ÷ ÷ ÷ ÷ 4 0 ÷ ÷ ÷ ÷ 0 4 ÷
第二章
矩阵
习题 2.1 矩阵的概念及其运算
1 -3 2 3 -1÷ 2 4 -1 5 1 ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ 1．设 A = ç ， ， 3 -4 1 2 2 ÷ B = 2 3 0 3 1 ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç2 5 3 4 3 ÷ ç 3 6 2 4 -1÷
本题主要考察矩阵的线性运算.
5 8 -4÷ 3 2 5 4÷ ç ç ÷ ÷ ç ç T T T T T ÷ ÷ 2．设 A = ç ， B =ç ，求 A ， B ， AB ， B A ， B A ． 6 9 -5÷ 4 -1 3 2 ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç4 7 -3÷ ç9 6 5 3 ÷ 3 4 5 6 4 2 1 T T 【解析】 A 8 9 7 ，B 5 3 4 5 3 4 2 9 11 22 29 24 6 ， AB 9 27 32 27 5 13 17 26 21 3
(1) 若 AB = AC ，则 B = C ；
【解析】
(2) 若 AB = CB ，则 A = C ．
-1
（1） 正确，将 AB AC 两边左乘以 A （2）不正确，如 A
即可得到 B C
2 0 1 1 1 1 ，B ，C ，则 AB CB ，但 A C 0 2 1 1 1 1
求 4 A - 3B ，
1 ( A + B) ． 3 1 8 3 3 1 5 3 3 5 8 3 3 0 1 2 3
1 1 3 2 24 11 3 7 1 1 1 【解析】 4 A 3B 18 25 4 1 5 ； ( A B ) 3 3 3 1 2 6 4 15 5 11 3 3