几何计数(一)

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专训3 几何计数的四种常用方法

专训3 几何计数的四种常用方法名师点金：1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．2．计数的原则是不重复、不遗漏．按顺序计数问题1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；(第1题)(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有条可用图中字母表示的射线，有条线段；(3)如图③，直线l上有n个点，则图中有条可用图中字母表示的射线，有条线段；(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需场比赛．按画图计数问题2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．按基本图形计数问题4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？(第4题)按从特殊到一般的思想方法计数问题5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．(第5题)(1)两条直线相交于一点，如图①，共有对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图②，共有对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图③，共有对对顶角；(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有对；(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．6．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？答案1．解：(2)4；3 (3)2n－2；(n－1) (4)152．解：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．(第2题)3．解：如图所示．(第3题)4．解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．5．解：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1)(5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240.方法规律：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可以直接数出对顶角的对数．根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题．6．解：首先画图如下，列表如下：(第6题)直线条数 1 2 3 4 …平面最多被分成的部分个数 2 4 7 11 …当n＝1时，平面被分成2个部分；当n＝2时，增加2个，最多将平面分成2＋2＝4(个)部分；当n＝3时，增加3个，最多将平面分成2＋2＋3＝7(个)部分；当n＝4时，增加4个，最多将平面分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；所以当有n条直线时，最多将平面分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝(个)部分．。

小学奥数经典专题点拨：几何图形计数

几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。

同理，m 上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。

可以构成三角形。

在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。

几何图形的计数问题

第十九讲几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2例2图1－66中有多少个三角形？解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF 共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE 为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有长方形面积和为(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+...+1)×(2+6+ (3)= 144×86=12384．例4图1－68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)．我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)．图中共有三角形59×2=118(个)．例5图1－69中有多少个等腰直角三角形？解图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．因此，共有等腰直角三角形4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1=268(个)．例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6l2与l2l1实际上是同一种，×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有41213，种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，11 111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？解1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．所以，8条直线最多将平面分成37个部分．说明一般地，n条直线最多将平面分成个部分．例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．所以，5个圆最多将平面分成22个部分．说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n2-n+2．例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？个小三角形，我们解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1之后的情况：考虑新增加一个点Pn(1)若点P n在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；顶点连同Pn(2)若点P n在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点P将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角n形．所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为a n=a n-1+2．易知a=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，a n＝a n-1+2．将上面这些式子相加，得a n=2n+1．所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．练习十九1．填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3．图1－74中有多少个三角形？4．图1－75中有多少个梯形？5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？。

小升初数学高频考点——计数专题(九)几何计数

小升初数学高频考点——计数专题（九）几何计数
一、高频考点：1、分类数图形2、方块图计数3、点阵计数4、直线分区域5、图形分区域★高频考题
例一：（分类数图形）
（1）分别计算下列各图中线段、角、三角形的数量
线段数量为角的数量为三角形的数量为
（2）分别计算下列各图中长方形、正方形、三角形的数量
长方形个数为含有五角星的长方形个数为长方形个数为
正方形个数为正方形个数为含有五角星的正方形个数为
正方形个数为三角形个数为三角形个数为
例二：（方块图计数：①“L”形基本单元“田”；②“凹”字形基本单元“”）（1）在7×7的方格中，你能数出几个如图所示的由3个小方格组成的“L”形？
（2）在8×5的方格中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？
例三：（点阵中的线段和三角形计数：利用组合计数）
（1）平面上有99个点，以它们为端点，可以画出多少条线段？
（2）以圆上11个点为顶点，可以连出多少个三角形？
（3）半圆的边界上有10个点，其中5个点在直径上。

以它们为顶点，可以连出多少个三角形？
数加1）
该平面上
最多会增
？
点个数）
分?
平面分成（4）在一个平面上画出2个长方形和1条直线，最多可以把平面分成多少部分？
（5）在一个平面上画出3个正方形、2个圆和1条直线，最多能把这个平面分成几个部分？。

几何类问题

几何计算（一）三角形的等积变换及应用一、内容概述及要求ah1、由三角形的面积计算公式：S=2三角形的面积与形状无关而只与底和高的大小有关。

进一步推想可知：（1）要保持三角形的面积不变，一方面可以分别保持三角形的底，则面积的变化与另一个的变化之积。

（2）在三角形中，如果底和高这两个量有其中一个保持不变，则面积的变化与另一个的变化成比例。

（3）在三角形中，如果底和高这两个量都发生变化，则面积的变化等于底和高的变化之积。

2、在三角形的面积计算与推理过程中要注意：（1）培养自己进行正确的、多角度的识图能力，特别是关于平行线之间的距离处处相等；（2）将所求部分自觉纳入已知条件充分的、简单可求的图形之内，并进行解题条件和解题关键的分析。

二、例题1、用尽量多的方法，将任意一个三角形分成面积相等的四个三角形。

（自己先作任意三角形）2、如图，在梯形ABCD中，AC和BD是对角线，其交点为O，你能够找出几对面积分别相等的三角形？说一说你的想法。

3、如图，在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD。

如果三角形ADE的面积为1平方厘米。

三角形ABC的面积。

4、如图，A为三角形CDE的边DE上的中点，CD=3BC，已知三角形ABC的面积为5平方厘米，求三角形ABD及三角形ACE的面积。

5、如图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC。

那么阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？并说明理由。

6、如图，在平行四边形ABCD中，直线CF与边AB相交于E，边与DA的延长线相交于F，而且AD=2AF，如果三角形ADE的面积为1平方厘米，平行四边形ABCD面积为6厘米。

求三角形BEF的面积。

7、如图，四边形ABCD的面积为1平方米，而且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH。

求四边形EFGH的面积。

8、如图，在长方形AEGK的四周上共有12个点，相邻点两点的距离都是1厘米，那么，以这些点为顶点而构成的面积为3平方厘米的三角形共有多少个？9、如图，D，E，F分别是BC、AD、BE上面的三等份点，即BD=2DC，DE=2EA，EF=2FB，而且三角形ABC的面积为27平方厘米，求三角形DEF的面积。

几何图形的计数(基本图形)

几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。

有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。

如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。

例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。

线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。

小学五年级数学思维专题训练—几何计数(含答案解析)

小学五年级数学思维专题训练—几何计数1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。

2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。

3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。

把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。

4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“ ”。

5．下图中有_____个三角形。

6．如下图所示，两条线上有6个点。

试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。

7.将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。

（旋转后相同算同一种拼法）8.如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。

9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。

10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。

用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。

请回答：可以构成多少个正方形？11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。

12．下图中三角形的个数是______。

13．下图中共有______个三角形。

14．如下图中共有______个正方形。

15．数一数下图中共有_____个三角形。

16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。

17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。

如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。

小学奥数- 几何计数(一)

7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。

几何图形的计数解读

在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．
学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们
成就测试答案 1．3+2+1=6，∠A1OA4． 2．6+5+4+3+2+1=21． A 3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100． 4．4×1+3×2+2×3+1×4=20 5． 3 经过AB到F的有▁▁种爬法 3 经过AE到F的有▁▁种爬法 3 经过AD到F的有▁▁种爬法所以共9种爬法 6．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？说出你是怎样数的．与数长方形和正方形的方法类似 (3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54 长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 3×2×2+2×1×1=14 D D E G F F E C
基础训练5 下图中共有
个三角形
A
顶点为O，且一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）；一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）；一边在AC上的三角形有 3×4÷2=6（个），再加△ABC，所以共有23个三角形．
O B A E G B M P Q N D F H C C
（四）数长方形、平行四边形和正方形
例7
你打算怎样数图中的三角形？ F
A
B 5 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 10 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个所以图中的三角形共有35个这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：（4）按照图形的形状分类也可以说是（5）按照图形所处的位置分类

小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析

几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。

三年级奥数分类计数

注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复！
三点剖析
本讲主要培养学生的观察推理能力，其次培养学生的运算能力．本讲内容是在律；从无序枚举到有序分类．后续课程中还会继续学习其他更为简便的计数方法．
课堂引入
例题1、有一个叫做“大炮发射”的游戏，大炮按照前后位置摆放，大炮发射的方向固定，不可转换方向．游戏规则如下：每门大炮都只能向自己前面的大炮炮台发射．如果有门大炮排在第一位的位置，那么它将不能发射．
大炮发射（分类计数）
知识图谱
大炮发射
知识精讲
一．几何计数
1．利用枚举法数线段（大炮发射法）
线段：有有限长度，可以度量；有两个端点．
线段的条数，其中n表示点的个数．
2．数角（小于）
角的个数，其中n表示线的条数．
3．数三角形与正方形
按照包含基本图形的数目依次枚举，例如1个三角形、由2个三角形组成的三角形、由3个三角形组成的三角形等等．网格数正方形也可以用这种方式，例如常见的正方形，如图：
这天高斯先生带着四人也来玩这个游戏．唐小虎、柯小南、唐小果和艾小莎迅速占领了大炮，准备发射，他们的位置如下：
那么他们总共可以发射多少门大炮？
例题2、如果高斯先生也加入这个游戏，总共可以发射多少门大炮呢？
例题3、如图，沿网格线能数出多少个正方形？
枚举数线段
例题1、下列图形中有多少条线段？
例题2、如图，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．则：图中一共有________条线段，这些线段的长度之和是________厘米．
例题3、数一数，图中共有多少个三角形？
例题4、数一数，图中共有多少个三角形？
随练1、下图中一共有________个三角形．
随练2、下图中共________个三角形．

专训3 几何计数的四种常用方法

方法 3 按基数图形计数问题
4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线 a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个 “#”形？
解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个 “#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2 个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4 ＋3＋2＋1＝15(个)．
方法 2 按画图计数问题
2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？
解：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3 个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．
3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图.
解：如图所示．
(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有___4_____条可用图中字母表示的射线，有____3____条线段；
(3)如图③，直线l上有n个点，则图中有__2_n_－__2__条可用图中字母表示的射线，有__n2_(_n_-_1_)___条线段；
(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需___1_5____场比赛．
当n＝4时，增加4个，最多将平面分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；
所以当有n条直线时，最多将平面分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝
1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋
n(n + 2
1) =
n2 + n + 2
2
(个)部分．
成的对顶角有__n_(_n_－__1_)__对；
(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．

三年级几何计数

几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1）数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2）数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3）数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4）数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1）重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2）难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】一共有：12345621+++++=（条）。

几何中的计数问题(一)(带答案完美排版)

几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点. 线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例 1 、数一数下列图形中各有多少条线段.分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数. 这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以 A 为左端点的线段有AB、AC 两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条. 同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD 三条，以 B 为左端点的线段有BC、BD 两条，以 C 为左端点的线段有CD 一条. 所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6 条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数. 所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段. 如上页图（2）中，线段AD 上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD 总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是AD 这样一条.所以线段AD 上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE 上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE 分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE 上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4 条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有 3 条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后是包含有 4 条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10 条. 解：① 2＋1＝3（条）.②3＋2＋1＝6（条）.③4＋3＋2＋1＝10（条）. 小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从 1 开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加 1 或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减 1. 也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从 1 开始的连续自然数的和中最大的加数是6－1＝5，或者线段AF上的分点有 4 个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF 上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是 5. 所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4 ＋3＋2＋1＝15（条）.二、数角例 2 、数出右图中总共有多少个角.分析：在∠ AOB 内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠ AOB 内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有 2 个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有 3 个基本角组成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠ C1OB），最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即∠ AOB ），所以∠ AOB 内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）. 小结：数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来数，就是角的总数等于从 1 开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.例 3 、数一数右图中总共有多少个角？解：因为∠ AOB 内角分线OC1、OC2? OC9 共有9 条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+? +4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析：可以采用类似例 1 数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB 为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC 四个三角形；再数以AD 为一条边的三角形共有：△ADE 、△ADF、△ADC 三个三角形；以AE 为一条边的三角形共有：△AEF 、△AEC 二个三角形；最后以AF 为一条边的三角形共有△ AFC 一个三角形. 所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10. 第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 四个三角形. 再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE 、△ADF 、△AEC 三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF 、△ADC 二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ ABC 一个. 所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：① 3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）. 答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10 个. 小结：计算三角形的总数也等于从 1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题. 数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数；算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从 1 开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成 3 条基本线段，再看BC、MN 、GH 这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH 中，在GH 上有 3 个分点，分成基本小三角形有4个. 所以在△AGH 中共有三角形4+3+2+1=10（个）. 在△AMN 与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ ABC 中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC 中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC 中共有三角形是：（4+3+2+1）× 3=10×3=30（个）.例 6 、如右图中，共有多少个角？分析：本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2 与∠ 3、∠ 3与∠ 4、∠ 4与∠ 1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠ 1、∠2与∠ 3；∠2、∠3 与∠ 4；∠ 3、∠4 与∠ 1；∠4、∠1与∠ 2，共4 个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）. 解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）. 小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n 个基本角，那么它上面角的总数是n×（n－1）+1.课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？课后练习题参考答案1、①在AB 线段上有 4 个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）②在线段AB 上有 3 个分点，所以它上面线段的总条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB 上有 3 个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD 上有 2 个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6（条）.在线段EF 上有 2 个分点，它上面线段的条数为 6 条. 所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2、①在∠ AOB 内有 4 条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；②在∠ AOB 内有9 条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；③周角内含有 6 个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.3、①（3+2+1）× 7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7 =21×4+10×7=84+70=154.4、①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5 =30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1）× 3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1）× 2+5=15×2+5=35（个）.几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点. 线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.1、数一数下列图形中各有多少条线段.二、数角例 2 、数出右图中总共有多少个角.例 3 、数一数右图中总共有多少个角？三、数三角形例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例 6 、如右图中，共有多少个角？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？课后练习题。

四年级几何几何计数学生版

知识要点几何计数图形计数 1、图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。

2、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。

3、图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。

4、图形计数基本公式：①一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为： ()1122n n n ++++=L L 条。

②两条共端点的射线确定一个角（大于0︒、小于180︒），假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒、小于180︒）的个数为(1)2n n -条。

③网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

④一般的，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（n ≥m ，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mn n m n m n m +--+--++-+⨯L L 。

四、五、六年级（三、四、五、六年级）（四、五年级）图形剪拼（一、二年级）（一、二年级）几何求值组合问题数学计算图形变幻认识图形平面几何图形计数图形规律数线段【例 1】数一数：图中线段的总条数。

FEDCBA【例 2】如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米。

请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米【例 3】数一数，图中有多少条线段？【例 4】（2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级第11题）在图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中的一个的线段有_______条。

△☆数量变化规律图形组合规律图形规律数正方形数长方形数三角形数线段图形计数数角【例 5】数一数，图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？F ED C BAO【例 6】在图中，所有角的和为150o ，且αβγ∠=∠=∠，求α∠的度数。

几何图形计数教学设计

图形的计数知识点:本讲学习的主要内容有: (一)线段、角、三角形的计数; (二)长方形、正方形、立体的计数。

图形计数是指对满足--定条件的某图形进行观察并逐-数出来。

在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数:做不重复也不遗漏。

最常用的方法是:分类计数，利用基本图形计数。

教学目标:.通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成;掌握图形的基本方法做到不重不漏;能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

重难点: I, 学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。

2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。

3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的，常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.例1如图1-65所示，数一数图中有多少条不同的线段?(个).解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数:(1)以A为左端点的线段有AB, AC, AD，AE, AF 共5条;(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条;(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条;(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条;(5)以E为左端点的线段只有EF一条.所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条).例2图1-66中有多少个三角形?解以0A为一边的三角形有△0AB，△0AC, △0AD，△0AE, △0AF共5个;以0B为-边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△0BC，△0BD，△0BE，△0BF; 以0C 为一边的三角形有△0CD,△0CE，△0CF 共3个;以0D为一边的三角形有△ODE，△0DF 共2个;以OE为一边的三角形有△0EF一个，所以，共有三角形5+4+3+2+1=15。

小学奥数模块教程几何计数(ABC级)

几何计数知识框架一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．例题精讲【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】右图中三角形共有个．【巩固】数一数图中有_______个三角形．【例 4】图中共有多少个三角形？【巩固】下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

CBA【例 5】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。