苏教版2018年高考数学一轮复习专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)

合集下载

江苏版高考数学一轮复习：专题4.5函数y=Asinωx+φ的图象及其应用讲解附答案.doc

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】专题4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用【考纲解读】内容要求备注A B C基本初等函数Ⅱ（三角函数）、三角恒等变换函数)sin(ϕω+=xAy的图象与性质√1.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．2．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期．3．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．【直击考点】题组一常识题1．把函数y＝sin x的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2＋π4的图像，即原函数为y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋3π4.3．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6.题组二常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx2cosωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sinωx2cosωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三常考题7．将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．()sin y A x ωϕ=+的有关概念()sin y A x ωϕ=+()0,0A ω>>， [)0,x ∈+∞表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A2T πω=12f T ωπ== x ωϕ+ ϕ2．用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x ϕω-2ϕπωω-+πϕω- 32ϕπωω-+2πϕω-x ωϕ+2π π 32π 2π()sin y A x ωϕ=+ 0A－A3. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 1. x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. 2．对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．3. )若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.4. ()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【考点深度剖析】本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，74PM =，则A 的值为 .【答案】14【解析】由题意设(),0Q a 、()0,R a -，()0a >，则,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭，有两点间距离公式得，【思想方法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【温馨提醒】求ϕ时一般把图像上的一个最值点代入．考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．第（9）题【答案】sin(2)6y x π=-【解析】【2-2】函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ＞0，2||πω<）的图象如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图象，则只要将)(x f 的图象向平移个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数)(x f 的周期32)4125(4πππ=-=T ，1=A ，3=∴ω，)3sin()(ϕ+=∴x x f ，易求得点)0,12(π在函数)(x f 的图像上，0)123sin(=+⨯∴ϕπ，又2||πω<，4πϕ-=∴， )43sin()(π+=∴x x f ，将函数)43sin()(π+=x x f 的图象向右平移12π个单位长即得x x g 3sin )(=的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则即可,值得注意点是,要得到函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到,而不是平行移动ϕ个单位．考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用【 3-1】设()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且对任意实数x 都有()()4f x f π≤，则()f x 的单调减区间是 .【答案】)(],43,4[Z k k k ∈++ππππ【 3-2】若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 . 【答案】35(,]44【解析】∵函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值， ∴35222πππω<≤，∴3544ω<≤. 【思想方法】(1)奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．(2)周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小周期为2||T πω=. (3)单调性：根据sin y t =和t x ωϕ=+的单调性来研究，由22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈得单调增区间；由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间．(4)对称性：利用sin y x =的对称中心为(,0) k k Z π∈求解，令,x k k Z ωϕπ+=∈，求得x . 利用sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ (k Z ∈)求解，令,2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴．【温馨提醒】对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

/目录
01
目录
⁠
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
⁠
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
⁠
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝－（k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－2＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60，又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10，将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。

江苏版高考数学一轮复习：专题4.5函数y=Asinωx+φ的图象及其应用练习题附答案.doc

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【答案】x ＝k π2＋π6(k ∈Z )2．(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，π3【解析】由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3.3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数f (x )的图象过原点，则φ＝________.【答案】3π4【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f (x )的图象过原点，则f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝3π4. 5．(2017·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f (0)的值为________．【答案】3226．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－5×12＝20.5.7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫πx2＋π68．函数f(x)＝3sinπ2x－log12x的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y＝3sinπ2x的周期T＝2ππ2＝4，由log12x＝3，可得x＝18.由log12x＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinπ2x和y＝log12x的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点．二、解答题9．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π6，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f⎝⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x的值．10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．【能力提升】11．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列结论：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称； ②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)．【答案】③12．(2017·泰州一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】π214．(2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32， ∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∵最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 中点，y 0＝32，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.高中数学知识点三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos=， tg= ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高三一轮复习题组函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(有详细答案)

§4.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1． y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2. 如下表所示.3. 函数y1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × )(2)将y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × )(3)y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位得到的．( √ ) (4)y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )2．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4答案 A解析将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.5．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________．答案 6，π6解析由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝⎛⎭⎫π3＝6.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪将f (x )化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：(3)方法一把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．方法二将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解 (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．题型二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．思维启迪 (1)根据周期确定ω，据f (0)＝3和|φ|<π2确定φ；(2)由点(0,1)在图象上和|φ|<π2确定φ，再根据“五点作图法”求ω.答案 (1)D (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )．题型三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的应用例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x .∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 思维升华利用函数的图象确定解析式后，求出y ＝f (x )＋f (x ＋2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想(将ωx ＋φ视为一个整体)求函数最值．(1)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s答案 (1)A (2)D解析 (1)∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标为 x 1、x 2且|x 2－x 1|min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2. (2)T ＝2π2π＝1，∴选D.三角函数图象与性质的综合问题典例：(12分)(2013·山师附中模拟)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维启迪 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π3)[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]答题模板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)．第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)．第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．方法与技巧1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．失误与防范1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x前面的系数提出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 A解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin 2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是 ( )A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]答案 D解析由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.3．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是 ( )A.π12B.π6C.5π6D.7π12答案 D解析图象F ′对应的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ，令k ＝1时，φ＝7π12，故选D.4．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ( )A.23B.43C.32D ．3答案 C解析由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是 ( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－32]∪[32，＋∞)答案 D解析当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知－π3ω≥π2，即ω≤－32.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．二、填空题6．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________________________. 答案143解析依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143.7．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．答案－1或－5解析依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 三、解答题9． (2013·天津)已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，求此时函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，由f (x )的周期T ＝2π2ω＝π2，得ω＝2，∴f (x )＝sin(4x －π6)－12，由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π12＋k π2≤x ≤π6＋k π2(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是 [－π12＋k π2，π6＋k π2](k ∈Z )． (2)由题意，得cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又∵0<x <π，∴0<x ≤π3，∴－π6<4x －π6≤7π6，∴－12<sin(4x －π6)≤1，∴－1<sin(4x －π6)－12≤12，∴f (x )的值域为(－1，12]．B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1. 电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安答案 A解析由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12. 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 4．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后，得到函数g (x )的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值．解 (1)f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，故所求函数f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后得g (x )＝2sin[2(x ＋m )－π6]＋a 要使g (x )的图象关于y 轴对称，只需2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )．即m ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以m 的最小值为π3.5． (2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一) 复习讲义

第四节函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一)一、y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的有关概念二、用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一般步骤 1.定点:如表.2.作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象.3.扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+ϕ)在R 上的图象. 三、由函数y=sin x 的图象变换得到y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的步骤法一法二1.法则理解(1)无论哪种变换,每一个变换总是针对“自变量x ”而言的. 即图象变换要看“自变量x ”发生什么变化,而不是看角“ωx+ϕ”的变化.(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移|ϕ|个单位长度,后者平移|ϕω|个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误. (3)平移的法则是“左+右-,上+下-”.2.与确定解析式y=Asin(ωx+ϕ)+b 中参数相关的结论 (1)求ϕ①代入法.把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法.确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下: 选“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=0; 选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+ϕ=π2; 选“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=π; 选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+ϕ=3π2; 选“第五点”时,令ωx+ϕ=2π. (2)求ω:因为T=2πω,所以求ω即求T.①图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是2T.②图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为2T,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为2T.1.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( C )(A)13(B)3 (C)6 (D)9解析:由题意可知,nT=π3(n∈N*),所以n·2πω=π3(n∈N*),所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.故选C.2.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin(2x+π6)的图象( B )(A)向左平移π4个单位长度(B)向右平移π4个单位长度(C)向左平移π2个单位长度(D)向右平移π2个单位长度解析:y=sin(2x+π6)=sin[2(x+π12)],y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)]=sin[2(x-π4+π12)],所以将y=sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位长度得到y=sin(2x-π3)的图象.故选B.3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)+2(A>0,ω>0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( C )(A)A=3,T=4π3,ϕ=-π6(B)A=1,T=4π3,ϕ=3π4(C)A=1,T=4π3,ϕ=-3π4(D)A=1,T=4π3,ϕ=-π6解析:由图象知,A=312-=1,2T = 5π6-π6=2π3,则T=4π3,ω=32,由5π6×32+ϕ=π2+2k π,k ∈Z,得ϕ=-3π4+2k π,k ∈Z,令k=0,得ϕ=-3π4.故选C.4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .解析:由图可知4T=7π12-π3=π4,所以T=π,故ω=2, 因此ϕ).又函数图象过点(π3,0) 因此2×π3+ϕ=π+2k π,k ∈Z, 又根据|ϕ|<π,所以ϕ=π3,故π3).答案π3)5.将函数∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 .解析12sin x)=2sin(x+π3)的图象向左平移m 个单位长度后,得到y=2sin(x+m+π3)的图象,此图象关于y 轴对称,则x=0时,y=±2,即2sin(m+π3)=±2,所以m+π3=π2+k π,k ∈Z,即m=π6+k π,k ∈Z,由于m>0,所以m min =π6. 答案:π6(对应学生用书第66～68页)考点一五点法作图【例1】设x ∈R,函数y=f(x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,- π2<ϕ<0)的最小正周期为π,且f(π4.(1)求ω和ϕ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若,求x 的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=2πω=π, 所以ω=2,因为f(π4)=cos(2×π4+ϕ)=cos(π2+ϕ)=-sin ϕ且-π2<ϕ<0, 所以ϕ=-π3. (2)由(1)知f(x)=cos(2x-π3),列表如下:图象如图:(3)因为,即cos(2x-π3,所以2k π-π4<2x-π3<2k π+π4,k ∈Z, 则2k π+π12<2x<2k π+7π12,k ∈Z,即k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z. 所以x 的取值范围是{x|k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z}.用“五点法”作y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的简图,主要是通过列表,计算得出五点的坐标,描点后得到,由于表中“五点”相邻两点的横向距离均为4T ,因此可以通过“定两端,分中间”的方法快速写出“五点”的坐标.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),ω>0,|ϕ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值;(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,ϕ=- π6,数据补全如下表:且函数解析式为f(x)=5sin(2x-π6). (2)由(1)知f(x)=5sin(2x-π6), 则g(x)=5sin(2x+2θ-π6). 因为函数y=sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z,令2x+2θ-π6=k π,k ∈Z,解得x=π2k +π12-θ,k ∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称,所以令π2k +π12-θ=5π12,解得θ=π2k -π3,k ∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6. (3)把y=sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到y=sin(x-π6)的图象,再把y=sin(x-π6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(2x-π6)的图象,最后把y=sin(2x-π6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到f(x)=5sin(2x-π6)的图象. 考点二函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象变换【例2】 (1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π4对称,则ϕ的最小值为( )(A)18π (B)12π (C)34π (D)38π(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象关于原点对称,则ϕ的一个可能取值为( )(A)-π3 (B)π6 (C)π3 (D)5π6解析:(1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,可得函数y=2sin[2(x-ϕ)+π4]=2sin(2x+π4-2ϕ)的图象,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),可得函数y=2sin(4x+π4-2ϕ)的图象;再根据所得图象关于直线x=π4对称,可得π+π4-2ϕ=k π+π2(k ∈Z),即ϕ=3π8-π2k ,k ∈Z,所以ϕ的最小值为3π8,故选D.(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象对应的解析式为y=cos[2(x-π6)+ϕ]=cos(2x-π3+ϕ).再根据得到的图象关于原点对称,则-π3+ϕ=k π+π2,k ∈Z,即ϕ=k π+5π6,k ∈Z.结合所给的选项,故选D.(1)解决三角函数图象变换问题,应先把变换前后两个函数化为同名函数,然后找出它们的不同,指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向,其实质是点的坐标的变换,横坐标的变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点),则ϕ的值可以是( B )(A)5π3 (B)5π6 (C)π2 (D)π6解析:因为函数f(x)的图象过点P,所以θ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).又函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-ϕ)+π3]的图象,所以sin(π3-2ϕ所以ϕ可以为5π6.故选B.考点三求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的解析式【例3】 (1)函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)等于( )π6)π3)π3)π6)(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<π2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M(2π3,-2),则f(x)的解析式为.解析:(1)由题图知f(x)在x=512π且最小正周期T满足34T=512π+π3.故34×2πω=3π4,ω×5π12+θ5π6+θ)=1,5π6+θ=2kπ+π2,k∈Z,θ=2kπ-π3,k∈Z.所以f(x)的解析式可为π3).故选B.(2)由最低点为M(2π3,-2)得A=2.由题意得2T=π2,即T=π,ω=2πT=2ππ=2, 由点M(2π3,-2)在图象上得2sin(2×2π3+ϕ)=-2, 即sin(4π3+ϕ)=-1,故4π3+ϕ=2k π-π2,k ∈Z, 所以ϕ=2k π-11π6,k ∈Z,又ϕ∈(0,π2), 所以ϕ=π6, 故f(x)=2sin(2x+π6). 答案:(1)B (2)f(x)=2sin(2x+π6)确定y=Asin(ωx+ϕ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M 和最小值m,则A=2M m -,b=2M m+.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT. (3)求ϕ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)等于( B )解析:由图象可知T=2(3π8-π8)=π2,所以ω=2,所以2×π8+ϕ=k π+π2,k ∈Z,得ϕ=π4+k π,k ∈Z, 又|ϕ|<π2, 所以ϕ=π4. 又f(0)=1,所以Atan π4=1,得A=1, 所以f(x)=tan(2x+π4), 所以f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3.考点四易错辨析【例4】 (2018·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(x ∈R,ω>0)与g(x)=cos(2x+ϕ)的对称轴完全相同,为了得到h(x)=cos(ωx+π3)的图象,只需将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移π4个单位长度 (B)向右平移π4个单位长度 (C)向左平移π2个单位长度 (D)向右平移π2个单位长度解析:因为对称轴一样,所以两个三角函数的周期必定一样,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+π3),h(x)=cos(2x+π3)=sin[2(x+π4)+π3],故得到h(x)的图象仅需将y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度,故选A.(1)忽略函数名称的不同,误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数ω的存在,误将x 的变换认为是ωx 的变换.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|< π2)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( B )(A)关于直线x=π12对称(B)关于直线x=5π12对称(C)关于点(π12,0)对称(D)关于点(5π12,0)对称解析:因为f(x)的最小正周期为π, 所以2πω=π,ω=2,所以f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)=sin[2(x-π3)+ϕ]=sin(2x-2π3+ϕ)的图象,又g(x)的图象关于原点对称, 所以-2π3+ϕ=kπ,k∈Z,所以ϕ=2π3+kπ,k∈Z,又|ϕ|<π2,所以ϕ=-π3,所以f(x)=sin(2x-π3).当x=π12时,2x-π3=-π6,所以A,C错误;当x=5π12时,2x-π3=π2,所以B正确,D错误.故选B.(对应学生用书第68～69页)三角函数图象【例题】已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.a.求实数m 的取值范围;b.证明:cos(α-β)=225m -1. (1)解:将g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再将y=2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos(x-π2)的图象,故f(x)=2sin x. 从而函数f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为x=k π+π2(k ∈Z). (2)a.解:f(x)+g(x)=2sin x+cossin cos ϕ)(其中sinϕϕ依题意知,sin(x+ϕ[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当故m 的取值范围是b.证明:因为α,βϕ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+ϕβ+ϕ当1≤,α+β=2(π2-ϕ), 即α+ϕ=π-(β+ϕ); 当时,α+β=2(3π2-ϕ),即α+ϕ=3π-(β+ϕ). 所以cos(α+ϕ)=-cos(β+ϕ). 于是cos(α-β)=cos[(α+ϕ)-(β+ϕ)] =cos(α+ϕ)cos(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ) =-cos 2(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ)22=225m -1.规范要求:(1)根据图象变换规律求出函数解析式,再根据对称轴的特点求对称轴方程.(2)通过三角变换将f(x)+g(x)化为一个角的一种三角函数形式.(3)分离参数法转化为求函数的值域,从而解绝对值不等式求得参数范围.(4)利用三角函数相等,求得α,β的关系,从而判定cos(α+ϕ)与cos(β+ϕ)的关系,进而利用两角和与差公式求值.(5)解决给值求值问题的关键是找出未知角与已知角关系,从而选择对应公式求解.【规范训练1】如图为y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(ωx+ϕ)的图象向左平移π6个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.解:(1)由图象知由“五点法”列方程组π0,35ππ,6ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解之2,2π,3ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩得所以所求解析式为2π3 ).π6)-2π3sin(2x-π3),令2x-π3=π2+kπ(k∈Z),则x=512π+π2k(k∈Z),所以f(x)的对称轴方程为x=512π+π2k (k ∈Z).【规范训练2】设关于x在区间(0,2π)内有相异的两个实根α,β. (1)求实数a 的取值范围; (2)求α+β的值.解:(1)原方程可化为sin(x+π3)=-2a ,作出函数y=sin(x+π3)(x ∈(0,2π))的图象.由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是11,2a a ⎧-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ 即(2)由图知,当即-2a∈)时,直线 y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象交于C,D 两点,它们中点的横坐标为76π, 所以2αβ+=7π6, 所以α+β=7π3. 当即-2a∈,1)时,直线y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象有两交点A,B,由对称性知,2αβ+=π6, 所以α+β=π3. 综上所述,α+β=π3或73π.(对应学生用书第69页)类型一三角函数图象变换1.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( A )解析:把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cos x+1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y=cos(x+1)的图象.故选A.2.(2018·浙江镇海中学期中)将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( C )(A)x=π12 (B)x=π6 (C)x=π3 (D)x=2π3解析:将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得g(x)=3sin[2(x-π6)+π6]=3sin(2x-π6)的图象,令2x-π6=k π+π2,k ∈Z,则y=g(x)图象的对称轴是x=π2k +π3,k ∈Z,故选C. 类型二求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为( B ) (A)y=2sin(2x+π3) (B)y=2sin(2x+2π3)(C)y=2sin(2x -π3)(D)y=2sin(2x-π3)解析:由题图可知A=2,2T =5π12-(-π12)=π2, 所以T=π,ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+ϕ),又f(-π12)=2sin(-π6+ϕ)=2, 即-π6+ϕ=π2+2k π,k ∈Z, 所以ϕ=2π3+2k π(k ∈Z),结合选项知选B.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)图象的最高点的纵坐标是4,相邻的两对称中心距离为π2,图象经过点(π6,0),则函数f(x)的解析式为 .解析:由题意知A=4,T=2×π2=π, 所以2πω=π,则ω=2, 所以f(x)=4sin(2x+ϕ). 又函数图象经过点(π6,0), 所以4sin(2×π6+ϕ)=0, 所以ϕ+π3=k π(k ∈Z), 所以ϕ=k π-π3(k ∈Z),又|ϕ|<π, 所以ϕ=-π3或ϕ=2π3. 所以f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3). 答案:f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3)5.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P 012),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 .解析:由题意可得,函数的初相位是π6,又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转,即T=2πω=60,所以|ω|=π30,即ω=-π30,故y=sin(-π30t+π6). 答案:y=sin(-π30t+π6) 类型三函数y=Asin(ωx+ϕ)与y=Acos(ωx+ϕ)图象的应用6.函数y=f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|< π2)的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( D )(A)1 (B)12解析:观察图象可知,A=1,T=π, 所以ω=2,f(x)=sin(2x+ϕ).将(-π6,0)代入上式得sin(-π3+ϕ)=0, 由|ϕ|<π2,得ϕ=π3, 则f(x)=sin(2x+π3). 函数图象的一条对称轴为x=ππ632-+=π12.又x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),所以122xx +=π12,所以x 1+x 2=π6,所以f(x 1+x 2)=sin(2×π6+π3.故选D.7.已知直线y=b(b<0)与曲线y=f(x)=sin(2x+π2)在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b 的值是 . 解析:设三个横坐标依次为x 1,x 2,x 3,由图及题意有12232213π,2π,,x x x x x x x ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩解得x 2=2π3,所以b=f(2π3)=-12. 答案:-12。

高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书

第四节　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　×　)(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．(　×　)(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．(　√　)(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．(　√　) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B　解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B　解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4　解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝．3　解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1　由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC　解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D　解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－　解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14]　解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2　函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB　解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A　解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin　解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D　解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C　解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3　三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D　解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A　解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000　解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4　三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD　解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D　解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2　解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B　解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A　解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D　解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。

2018版高考一轮数学文科：第18讲-函数y=Asin(ωx+φ)的图像ppt课件

因为函数
1 f(x)的图像过点 4，0，所以当
真题在线
4．[2016· 全国卷Ⅲ] 函数 y＝sin x－ 3cos x 的图像可由函数 y＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．
π [答案] 3
[解析] 函数 y＝sin x－ 3cos x＝2sin π （x－ 3 ）的图像可由函数 y＝2sin x π 的图像至少向右平移 3 个单位长度得到．
[解析] A
根据“左加右减”的 π 原则，要得到 y＝sinx＋的图 3 像，只需把 y＝sin x 的图像向左 π 平移 3 个单位长度．
真题在线
x 1 1 2． [2016· 天津卷] 已知函数 f(x)＝sin ＋ sin ω x－ (ω>0)， x∈R.若 f(x)在区间(π ， 2 2 2 2π )内没有零点，则 ω 的取值范围是( ) 1 A．（0， ] 8 1 5 B．（0，4）∪[8，1） 5 C．（0，8] 1 1 5 D．(0，8 ]∪[4，8]
函数y＝Asin(ω x＋φ )的图像及三角函数模型的简单应用
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第18讲 PART 03
考试说明
1．了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数 A，ω，φ 对函数图像变化的影响． 2．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
真题在线
5．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φ cos x 的最大值为________．
[答案] 1
[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φ cos x ＝ sin xcos φ － cos xsin φ ＝ sin(x－φ)，其最大值为 1.

高考数学总复习第四章 4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像

5π 6
(3)说明函数X f(x)的图0像可由2 y＝π 2 2π
s得in到yx．＝的y2＝s图insi像2nxX经＋过3π 怎样00 的变12换而00
－1 －2
0 0
思维升华
题型分类·深度剖析
题型一
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【例 1】设函数 f(x)＝sin ωx＋
思维启迪解析思维升华
【例 1】设函数 f(x)＝sin ωx＋
思维启迪解析
(23)c令os Xω＝x(ω2x>＋0)π3的，周则期y为＝2πs.in2x＋π3＝2sin X. (1)求它的振幅、初相；列表，并描点画出图像：
(个2)周用期五的点闭法x 区作间出上它的－在图π6长像度；1ππ2为一π3
7π 12 3π
思维升华
(13)c五os点ωx法(ω作>简0)的图周：期用为“五π. 点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主
((要求12))求用是出它五通相的过应点振变的法幅量作x，、代出通初换它过相，在列；设长表z度，＝计为ω算x一＋得φ出，五由点z 坐取标0，，描π2，点π后，得32π出，图2π像来．个周期的闭区间上的图像；
((32))说图明像函变数换：f由(x)函的数图y像＝可si由n x y的＝图像通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平 s移in ”x ．的图像经过怎样的变换而得到．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝3sin12x－π4，x∈R. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
【例 1】设函数 f(x)＝sin ωx＋
思维启迪解析
思维升华

苏教版高考一轮数学理函数y=Asinωx+φ的图象与性质一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·盐城调研)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－22·sin 2x 的最小正周期为________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－2(1－cos 2x )＝cos 2x cos 3π4＋sin 2x sin 3π4＋2cos 2x－2＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π2．(2012·苏北四市调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析法一由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 23．(2012·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________.解析由题图可知，T ＝π，所以ω＝2，易得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，因此y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，若OM →·ON →＝0，则π12×7π12－A 2＝0，所以A ＝712π，因此A ·ω＝2×712π＝76π. 答案76π 4．(2012·泰州学情调查)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的范围为________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．(2012·镇江调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＋2sin x cos x ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cosx ．设t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋2sin x cos x ，∴2sin x cos x ＝t 2－1，且由π4≤x ≤π2，得t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以y ＝t ＋t 2－1＝t 2＋t －1，当t ＝2时，y max ＝2＋1. 答案2＋16．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2， 2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tan β＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立．答案 ①④二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·陕西卷)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)由题意，A ＋1＝3，所以A ＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2.故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.又0<α<π2，所以α－π6＝π6，即α＝π3.8．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．分层训练B 级创新能力提升1．(2012·江苏海安中学二模)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0,2x 0＋π3＝k π，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6.答案－π62．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．解析由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋16，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案－53．(2013·南通调研)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意得f (x )的最小正周期T ＝4×π2＝2π，所以2πω＝2π，即ω＝1. 答案 14．(2013·菏泽模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下列结论：①图象C 关于直线x＝π6对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③5．(2012·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.6．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。

2018高考数学文科一轮复习-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

高三（8）班高考数学第一轮复习
复习十一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
高三（8）班高考数学第一轮复习
考纲要求
考情分析
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ) 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)
的物理意义，能画出
＋b的图象和性质一直是高
y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了考的热点，它的单调性、奇
解参数A、ω、φ对图象变化偶性及最值问题都是高考的
(1)求 ω 的值；
《新坐标》P49变式训练3
(2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值．
高三（8）班高考数学第一轮复习
例
3
(2011
年浙江高考)已知函数
f(x)
＝
Asin(
π 3
x
＋
φ)
，
x
∈
R
，
A>0,0<φ<π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q 分别为该图象的最高点
和最低点，点 P 的坐标为(1，A)．
(1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值； (2)若点 R 的坐标为(1,0)，∠PRQ＝23π，求 A 的值．
高三（8）班高考数学第一轮复习
练习：
《新坐标》P48 例2（1）（2） P49 变式训练2
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点 4 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
例 4、 (2016·天津高考)已知函数 f(x)＝4tan xsinπ2－x·cosx－π3－ 3.
考点 3 已知图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的解析式确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的解析式的步骤 (1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求 ω，确定函数的周期 T，则 ω＝2Tπ.

2018年高三数学(文)一轮复习课件函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

知识梳理核心考点
-5-
1
2
3
4
5
1 2
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)把 y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为 y=sin2x.(
π 3 1
)
π 3
(2)将 y=sin 2x 的图象向右平移个单位长度,得到 y=sin 2��-
关闭
由题意知 1=2sin φ,得 sin φ= .又|φ|< ,得 φ= .
π 6,6
1 2
函数 f(x)的最小正周期为 T=2π÷
π 3
π 2
π 6
=6.
解析
关闭
答案
第四章
知识梳理双基自测自测点评
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
知识梳理核心考点
-9-
1
2
3
4
5
5.若将函数 f(x)=sin 的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 .
的图象. ( ) (3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.( ) (4)如果 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个
�� 相邻对称中心之间的距离为2.
(
) ( )
关闭
(5)若函数
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
π y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2kπ+ (k∈Z). 2
答案
第四章
知识梳理双基自测自测点评
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.5_函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(讲)(有解析)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【考纲解读】题组一常识题1．把函数y ＝sin x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π4的图像，即原函数为y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.3．已知简谐运动f (x )＝2sin π3x ＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 题组二常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx 2cos ωx 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sin ωx 2cos ωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三常考题7．将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx 2cos ωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx 2cos ωx 2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．()sin y A x ωϕ=+的有关概念2．用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 由sin y A x =+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 1. x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. 2．对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3. )若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.4. ()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【考点深度剖析】本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）与坐标轴的三个交点P 、Q 、R满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，2PM =，则A 的值为 .【答案】14【解析】由题意设(),0Q a 、()0,R a -，()0a >，则,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭，有两点间距离公式得，【思想方法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【温馨提醒】求ϕ时一般把图像上的一个最值点代入．考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．【答案】sin(2)6y x π=-【解析】【2-2】函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ＞0，2||πω<）的图象如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图象，则只要将)(x f 的图象向平移个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数)(x f 的周期32)4125(4πππ=-=T ，1=A ，3=∴ω，)3sin()(ϕ+=∴x x f ，易求得点)0,12(π在函数)(x f 的图像上，0)123sin(=+⨯∴ϕπ，又2||πω<，4πϕ-=∴，)43sin()(π+=∴x x f ，将函数)43sin()(π+=x x f 的图象向右平移12π个单位长即得x x g 3sin )(=的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要第（9）题注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则即可,值得注意点是, 要得到函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到,而不是平行移动ϕ个单位．考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用【 3-1】设()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且对任意实数x 都有()()4f x f π≤，则()f x 的单调减区间是 .【答案】)(],43,4[Z k k k ∈++ππππ【 3-2】若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 . 【答案】35(,]44【解析】∵函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值， ∴35222πππω<≤，∴3544ω<≤. 【思想方法】(1)奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．(2)周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小周期为2||T πω=.(3)单调性：根据sin y t =和t x ωϕ=+的单调性来研究，由22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈得单调增区间；由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间． (4)对称性：利用sin y x =的对称中心为(,0) k k Z π∈求解，令,x k k Z ωϕπ+=∈，求得x . 利用sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ (k Z ∈)求解，令,2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴．【温馨提醒】对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。

高考数学一轮总复习课件第四章第三节y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及其综合应用

►两类求解：三角方程、三角不等式. (4)[解三角方程，只需在一个周期内找出与三角函数值对应的
角，利用终边相同角的集合表示和角的整体思想代入求解]方
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)
或代入曲线与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.具体方法如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时，ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝π2 ； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时，ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝3π 2 ； “第五点”时，ωx＋φ＝2π.
(5)形如 y＝bacsoins xx＋＋cd型的函数的最值，可考虑数形结合(常用到
直线斜率的几何意义).
►一个易错点：求φ值考虑不全面致误. (1)[求 φ 值时，一般利用函数最值点或图象的对称中心求解，选择其它点时，所得三角方程的解有两种形式，容易遗漏] 已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)π2 ≤φ＜π的图象过点π 12， 23，则 φ＝________.
(3)函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x的最大值是______.
解析令 sin x＋cos x＝t，则－ 2≤t≤ 2，平方得 1＋2sin xcos x＝t2，所以 2sin xcos x＝t2－1，则 y＝t＋t2－1＝t＋122－54，函数图象对称轴为 t＝－12，所以当 t＝ 2时，ymax＝ 2＋( 2)2－1＝ 2＋1.
＋Bcos 2x＋c＝ A2＋B2sin(2x＋φ)＋c.其中 tan
用有界性处理.

高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(练)(含答案解析)

1.【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若())cos()()22f x x x ππθθθ=+-+-≤≤是定义在R 上的偶函数，则θ=▲ . 【答案】3π-2. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0(>ω的部分图像如图所示，若5=AB ，则ω的值为．【答案】3π 【解析】5AB ==,解得26,3T ππωω===3. 【江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试】如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x =+；⑶3()cos )f x x x +；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x xf x =+，其中“互为生成”函数的有．（请填写序号）【答案】⑴⑵⑸ 【解析】试题分析：1())4f x x π=+，3()2sin()4f x x π=+，5()sin cos 1)14f x x x x π=++=++，其中⑴⑵⑸都可以由y x =平移得到，它们是“互为生成”函数，⑶⑷不能由y x =平移得到，相互也不能平移得到，故填⑴⑵⑷．4. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a >0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．【答案】2π．5. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ．【答案】23π-【解析】因为π1()sin()cos cos()sin()sin()26223x x f x A x A x x πθθ=+--=+-+-所以当1sin()sin()023A x x πθ+-+≠时，()y f x =周期为2π，由123x x x <<及123()()()f x f x f x ==得312x x π-≥，与②31x x -<2π矛盾，因此1sin()sin()023A x x πθ+-+=，由于(π,0)θ∈-，所以23πθ=- 6.已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值是-2，则实数ω的取值范围为．【答案】3(,2][,)2-∞-+∞【解析】由题意可知0ω≠，当0ω>时，34x ππωωω-≤≤，依题意可知应有32ππω-≤-，解得32ω≥；当0ω<时，43x ππωωω≤≤-，依题意可知应有42ππω≤-，解得2ω≤-，所以32ω≥或2ω≤-.7.已知函数sin()y A x k ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为 . 【答案】2sin(4)26y x π=++8.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示, 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象作变换.【答案】向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变【解析】由065122πωϕππωϕ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩得：2,3πωϕ==-.所以()2sin(2)3f x x π=-，故将2sin y x =的图象上所有的点向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变便可得()2sin(2)3f x x π=-的图象.9.某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论：①函数)(x f y =的图像是轴对称图形；②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立； ③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k 满足1>k 时，函数)(x f y =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是．【答案】 ①②④【解析】∵)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=-，∴)(x f y =是偶函数，图像关于y 轴对称，故①对；对任意实数x ，x x x x x x x f =⋅≤⋅==1|||sin ||||sin |)(，故②对；由x x x =sin 0=x 或1sin =x 0=x 或22ππ+=k x (k Z )，设相邻三两点为O (0,0)，P (2π,2π)、Q (25π,25π)，则|OP |=22π，|PQ |=22 |，|OP |≠|PQ |，故③错；由kx x x =sin 0=x 或k x =sin ，当1>k 时，k x =sin 无解，故④对. 10将函数()sin(2)6f x x π=+的图像分别向左、右平移ϕ个单位，所得的图像都关于y 轴对称，则ϕ的最小值分别是．【答案】,63ππ11函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 .【答案】【解析】函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后得到函数为()sin[2()]sin(2)663f x x x πππϕϕ+=++=++，因为此时函数为奇函数，所以,3k k Z πϕπ+=∈，所以,3k k Z πϕπ=-+∈。

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)

解得 θ＝k2π－π3，k∈Z . 由 θ> 0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值为π6. (3)由数据作出函数 f(x)在区间1π2，1132π上的图象如图所示．
[一“点”就过] 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的方法
用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代 “五点法”作图换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π来求出相应
可得 f1132π＝2cos2×1132π＋φ＝2， ∴cos136π＋φ＝1，∴136π＋φ＝2kπ(k∈Z )， ∴φ＝2kπ－136π(k∈Z )．取 k＝1，得 φ＝－π6，∴f(x)＝2cos2x－π6. ∴fπ2＝2cos2×π2－π6＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3. 答案：－ 3
答案：B C
3．某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
x
π 3
f(x)＝Asin(ωx＋φ) 0
π 2
π
3π 2
2π
5π 6
5
－5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将函数 y＝f(x)图象上所有的点向左平移 θ(θ> 0)个单位长度，得到函数 y ＝g(x)的图象．若函数 y＝g(x)图象的一个对称中心为51π2，0，求 θ 的最小值； (3)作出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
则 A＝M－2 m，k＝M＋2 m. (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A> 0，ω> 0)图象平移的规律：“左加右减，上

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.5_函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(练)(有解析)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【答案】x ＝k π2＋π6(k ∈Z )2．(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，π3【解析】由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3.3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数f (x )的图象过原点，则φ＝________.【答案】3π4【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f (x )的图象过原点，则f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝3π4.5．(2017·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f (0)的值为________．【答案】3226．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －，所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________．【答案】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点．二、解答题9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值．10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．【能力提升】11．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列结论：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称； ②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)．【答案】③12．(2017·泰州一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】π214．(2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32， ∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∵最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 中点，y 0＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.。

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题4三角函数解三角形第27练函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题4 三角函数、解三角形第27练函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质练习理1．(2016·徐州模拟)函数y ＝2sin(2x ＋π6)在x ∈(0，π2)上的值域为________．2．(2016·南通二模)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为________．3．(2016·苏锡常一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象的解析式为________________．4．(2016·长春三调)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．5．(2016·安庆第二次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f (x )的递增区间为______________________．6．(2016·扬州期中)将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移π3个单位，得到函数y ＝2sin x 的图象，则f (φ)＝________.7.(2016·南阳期中)如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 的面积最大时PM →·PN →＝0，则ω＝________.8.(2016·郑州第一次质检)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A的值为________．9．(2016·开封第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是______________．10．(2016·宿迁、徐州三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝1与函数y ＝3sinπ2x (0≤x ≤10)的图象所有交点的横坐标之和为________．11．(2016·辽源联考)若0≤x ≤π，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的单调递增区间为__________．12．(2015·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．13．关于x 的方程3sin 2x ＋cos 2x ＝k ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两相异实根，则k 的取值范围是__________．14．(2016·皖北协作区联考)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称.答案精析的图象与性质1．(－1,2] 2.π2 3.y ＝sin(2x －π6) 4.－32 5.[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )6．0解析由题设可得f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以φ＝π3，从而f (π3)＝2sin π＝0.7.π4解析由图象可知，当P 位于M 、N 之间函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的最高点时，△MPN 的面积最大．又此时PM →·PN →＝0，∴△MPN 为等腰直角三角形，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PQ ＝2，则MN ＝2PQ ＝4，∴T ＝2MN ＝8. ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.8.833解析依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2PQ ＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4，f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A ＞0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2， φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833.9．p ＜q ＜r解析 ∵f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π. ∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9是最大值．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π18， ∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p ＜q ＜r . 10．30解析 y ＝3sin π2x 的周期为4，如图，作出函数在区间[0,10]上的图象，与直线y ＝1共有六个交点，根据图象关于直线x ＝5对称可知，x 1＋x 6＝x 2＋x 5＝x 3＋x 4＝10，所以六个交点的横坐标之和为30.11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ·(－sin x )＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )，又0≤x ≤π，则函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.12．8解析由图象知y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8. 13．[0,1) 解析3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，作出函数y ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6和y ＝k ＋1的大致图象如图所示，由图象易知当1≤k ＋1＜2，即0≤k ＜1时，方程有两相异实根． 14．①③④⑤解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确；因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin(－π6＋π3)＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，所以③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，所以④正确；因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－g (x )，所以⑤正确．。

(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为
，求θ的最小值.
解答
引申探究 π
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移 6 个单位长度，得到g(x)的图象，
解答
求由g(x()1的)知解f析(x)式＝，5s并in(写2x出－gπ6()x，)图因象此的g(对x)＝称5中si心n[2. (x＋π6)－π6]＝5sin(2x＋π6).
1 2.(教材改编)将y＝ 2 sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐
sin x 标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝______.
答案解析
将函数 y＝12sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，
横坐标不变，便得到函数 f(x)＝2×12sin x＝sin x 的图象.
(2)求 ω，确定函数的周期 T，则 ω＝2Tπ.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上
还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体
如下：“第一点”(即图象上升时与x轴π的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象 2
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令 2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得 x＝k2π－1π2，k∈Z.
即 y＝g(x)图象的对称中心为(k2π－1π2，0)，k∈Z.
思维升华
(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0， π2，π，，322ππ来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. (2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.