数字控制器

3．3 数字PID控制--模拟控制器的离散化设计方法
3．3．1 理想微分PID控制
设系统的误差为e(t)，则模拟PID控制规律为
1 u (t ) K p [e(t ) Ti
de(t ) 0 e(t )dt Td dt ]
t
它所对应的连续时间系统传递函数为
U ( s) 1 K p [1 Td s] E ( s) Ti s
3．3．2 实际微分PID控制
实际微分PID控制算式一 通过一级低通滤波器来限制高频干扰的影响
(1)
1 Gc ( s ) Tf s 1
低通滤波器和理想微分PID算式相结合后 的传递函数为：
Kp U ( s) 1 D(s) (1 Td s) E ( s) T f s 1 Ti s
第三章 常规数字控制器的设计
3．1 数字控制器的设计方法分类
按其设计特点分为二大类：
计算机控制系统的描述方法分为：一是将连续的被控对象离散化－－ 等效的离散系统数学模型，然后在离散系统的范畴内分析整个闭环系 统；二是将数字控制器等效为一个连续环节，然后采用连续系统的方 法来分析与设计整个控制系统。相应地，在设计方法上就可以分为： 模拟化设计方法和离散化设计方法。
在很多控制系统中，由于执行机构是采 用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以， 只要给出一个增量信号即可。

写出K-1的输出值：
1 k 1 e(k 1) e(k 2) u(k 1) k p [e(k 1) e(i)T Td ] u0 Ti i 0 T
上两式相减得PID增量式控制算法
T
前向差分: de ei 1 ei
dt
T
z 1 s 或 z 1 sT T
4.双线性变换法
e 根据z变换定义: z e Ts / 2 e
Ts
Ts / 2
展成级数：
eTs / 2 (Ts / 2) 2 (Ts / 2)3 1 Ts / 2 ... 1 Ts / 2 2! 3!
若令 T f Td K d d为微分系数） （K 则差分方程：
u(k ) a0 u(k 1) a1e(k ) a2 e(k 1) a3e(k 2)
) k(u )1 k(u ) k(u
(2)实际微分PID控制算式之二
T1 T2 TT2 T f T2 Kd ，K p K1 ，Ti T1 T2，Td 1 T1 T1 T2
微分作用输出差分方程为：
T2 T u d (k ) 2 u d (k 1) (T2 T )e(k ) T2 e(k 1) K T Kd d
K d (T2 T ) K d T2 T2 u d (k ) u d (k 1) e(k ) e(k 1) K d T T2 K d T T2 K d T T2
1.模拟化设计方法
一般可按以下步骤进行：
第三章 常规数字控制器的设计
2.离散化设计方法 首先用适当的离散化方法将连续部分（如图 所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统 完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计 方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制 功能。
第三章 常规数字控制器的设计
3．两种方法的比较
U ( z)
K p ( A1 A2 z 1 A3 z 2 ) 1 z
1
E( z)
问题：
理想微分PID控制的实际效果并不理想，从阶跃响 应看，它的微分作用只能维持一个采样周期。由于工业
用执行机构(如气动调节阀或电动调节机构)的动作速度
限制，致使偏差大时，微分作用不能充分发挥，再加之 理想微分还容易引进高频干扰。为此，实际应用中，几 乎所有的数字控制回路，通常都加一低通滤波器来限制 高频干扰的影响。
（1）比例调节器
控制规律：
u k pe u0
t
（2）比例积分调节器
1 控制规律： u k p (e edt ) u0 Ti 0
（3）PID调节器
控制规律：
1 u k p (e Ti
de edt Td dt ) u0 0
t
PID控制器连续时间系统传递函数
数字PID控制算法程序框图
PID控制规律的脉冲传递函数形式
u(k ) K p [( Ae(k ) A2e(k 1) A3e(k 2))] 1
两边求z变换，并注意到 u (k ) u (k ) u (k 1)，得
U ( z) z 1U ( z) K p [(A1 E( z) A2 z 1 E( z) A3 z 2 E( z))]
A1
A2
A3
增量式PID算法与位置式PID算法的比较：
两者本质相同，只是前者需要使用有附加 积分作用的执行机构。但有如下优点： 1、计算机只输出增量，误动作时影响小， 必要时可增设逻辑保护； 2、手动/自动切换时冲击小； 3、算式不需要累加，只需记住四个历史 数据，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用内 存少，计算方便，不易引起误差累积。
办法：充分发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强， 编制程序灵活等优势。
手段：对PID算法进行了一系列改进。
3.3.3 标准PID控制算法的改进
3.3.3.1 积分项的改进
在PID控制中，积分作用是消除余差。
梯形积分－－提高积分项的运算精度
将矩形积分 e( j) 用梯形积分来代替
j 0
k
e( j ) e( j 1) 2 j 0
1 Ts / 2 z 1 Ts 2
同理： eTs / 2 1 Ts / 2
得双线性变换公式 ：
双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相 互转换，转换公式如下：
D( z )D( s) |
s
2 (1 z 1 ) T (1 z )
1
ei
uБайду номын сангаас-ui-1
i
各种离散化方法的比较
实际微分PID算式的传递函数：
K p (T2 s 1)(T1s 1) K1 (T1s 1)(T2 s 1) D( s ) T2 T2 (T1 T2 ) s( s 1) T1s( s 1) Kd Kd
U ( s) 1 T2 s 1 D( s ) K1 (1 ) T2 E ( s) T1 s 1 s Kd
比例、积分和微分三个框的输出差分方程
u p (k ) K p e(k ) e(k 1)
ui (k ) K pT Ti e(k )
Td u d (k ) {u d (k 1) K p K d [e(k ) e(k 1)]} K d T Td
ud (k ) ud (k ) ud (k 1)
(3) 实际微分PID控制算式之三 –不完全微分
1 D( s) K p (1 Ti s Td s ) Td 1 s Kd
由图可见，本算法是微分环节上加一个惯 性环节，故也称不完全微分PID控制 它仅改变了标准PID控制器的微分部分， 使得在偏差发生突变时，微分作用可比 较平缓。
u (k ) u (k ) u (k 1) Td T k p {e(k ) e(k 1) e(k ) [e(k ) 2e(k 1) e(k 2)]} Ti T k pTd 2Td T Td k p (1 )e(k ) k p (1 )e(k 1) e ( k 2) Ti T T T
模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。 但在“离散”处理时，系统的动态特性会因采样周期的增 加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。 离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离散状态 空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更 具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为 精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内
u(k ) u p (k ) ui (k ) ud (k )
u(k ) u(k 1) u(k )
3.3.3 标准PID控制算法的改进
在实际应用中，数字PID控制器的控制效果有时不如模 拟PID控制器。 原因：主要是因为数字调节器的控制量在一个采样周期
内保持不变，使得在这段时间内系统相当于开环运行。其 次由于计算机的数字运算以及数字量输入输出的时间，使 得控制作用在时间上有延滞，计算机的有限字长及A／D， D／A转换精度也给控制量带来了误差。
U ( s) 1 K p [1 Td s] E ( s) Ti s
PID模拟控制器的离散化

用矩形法来计算数值积分：
e( )d e(i)T
0 i 0
t
k
用后向差分来代替微分：
de (t ) e(k ) e(k 1) dt T
则离散化的PID控制规律为：
1 u(k ) k p [e(k ) Ti

e(k ) e(k 1) ] u0 e(i)T Td T i 0
k
k
上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID位 置控制算法。

这种算式中有一累加项 ei T ，随着时间k的增加，累 i 0 加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于 某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出也 将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原 因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是 当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。 为此，有必要改进上述算法。
D( z ) A1 1 e
a1T
z
1

A2 1 e
a2T
z
1