23.3.2相似三角形的判定(第二课时)doc
23.3.2 相似三角形的判定——利用角的关系 华师大版数学九年级上册课件
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
《相似三角形的判定》PPT课件(第2课时)
（多边形相似的概念）
B
C B’
C’
若两个三角形相似比为1，
说明了什么？
=
′ ′
∴ △ABC和△A’B’C’相似，相似比为k
记作△ABC∽△A’B’C’
注意：相似用符号”∽”表示，读作”相似
于”
′ ′
=
01
观察与思考
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，
A1A2
第二十七章
27.2.2
相似三角形的判定
D E T E R M I N A T I O N
O F
S I M I L A R
（平行线分线段成比例）
T R I A N G L E
01
学习目标
1、了解相似三角形的基础。
2、了解平行线分线段成比例定理推论过程。
3、运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证
明及计算。
么？
A1
A2
A3
m
a
B1
B2
b
B3
c
n
01
小组讨论
在平面上任意作三条平行线(a∥b∥c)，用它们截两条直线(m，n)，
截得的对应线段成比例吗？
A1
A2
A3
m
a
B1
B2
b
B3
c
n
01
小结
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
几何语言：
A
若a∥b∥c
BB
， 1 2，你发现了什么？
A2A3
B2B3
n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.计算
《相似三角形的判定》PPT教学课件(第2课时)
2,
2,
4
QC 1a
PC 1 a
2
4
又∵∠ D ＝∠ C ＝ 90°，
∴ △ ADQ ∽ △ QCP.
知识讲解
练一练
1.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且
△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ A ）
A.AB 2=BC·BD
B.AB 2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
∴ AE：AB =3.9：7.8=1：2，
AD：AC =3：6=1：2，
∴ AE：AB =AD：AC，
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
学过的相似三角形的判定：
方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边,所构成
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
方法3：两角对应相等的两个三角形相似.
新课导入
探究： 如果有一点E 在边AC上，那么点E 应该在什
么位置才能使△ADE ∽ △ABC 相似呢？
如图所示,此时，
=
1
，
3
=
1
，
3
∠=∠,
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的
A．①与②相似
B．①与③相似
C．①与④相似
D．②与④相似
解析：根据两边对应成比例且夹角相等得选择项.
③
随堂训练
2.已知：如图，在△ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．
A
试增添一个条件使△ ACP∽△ABC．
23.3相似三角形的性质(2)
年级 九 讲学日期 学科 数学 主备教师 张翠花 审核人 班级 （2） 学生姓名 年级组长签名
课题：23.3 相似三角形的性质 教学目标
1、掌握相似三角形的性质定理 2 和性质定理 3 的内容及证明。 2、能熟练运用相似三角形的性质定理 2 和定理 3 解决问题。 教学重点：相似三角形的性质定理 2 和定理 3 的初步运用 教学难点：相似三角形的面积比等于相似比的平方的应用 教学过程 一、复习回顾 1、相似三角形的性质定理1？ 2、全等三角形的对应周长是相等的，全等三角形的面积也是相等的，那 么相似三角形的对应周长，相似三角形的面积又有怎样的关系呢？ 二、探究全等三角形的对应周长的关系 如果△ABC∽△DEF，且它们的相似比为k，那么： 由等比性质，得： 因此： （定理2） 例1 已知： △ABC∽△A1B1C1，它们的周长分别 为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B1C1= 24cm . 求：BC、AC、 A1B1、 A1C1`
AB BC AC AB k DE EF DF DE AB BC AC k DE EF DF
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三、探究全等三角形的对应面积的关系 猜想： 三角形的面积是由底与高的积的一 半， 所以两个三角形面积比与两条对应线 段的乘积有关，而对应底的比等于相似 比，对应高的比也等于相似比，那么相似三角形面积比 如图，已知，△ABC∽△DEF，它们的相似比为K，AH、DG是对应高。 求证：S△ABC:S△DEF =K2
2 ，则面积比是 3
3．两个相似三角形对应中线的比为
．
4．如图，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，则△ADE 与四边形 BCED 的面积比是（ A．1 C．1来自3 1 2 1 D． 4）
华师大版-数学-九上-23.3.2 相似三角形的判定2 教案
23.3.2相似三角形的判定2教学目标：（一）教学知识点1．掌握三角形相似的判定方法2.3．2．会用相似三角形的判定方法2.3来判断、证明及计算．（二）能力训练要求1．通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法2.3，培养学生的动手操作能力，总结概括能力．2．利用相似三角形的判定方法进行判断，训练学生的灵活运用能力．（三）情感与价值观要求1．通过探索相似三角形的判定方法，体现数学活动充满着探索性和创造性．2．通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，领会分类思想．教学重点：相似三角形判定方法2.3的推导过程，掌握判定方法2.3并能灵活运用．教学难点：判定方法的推导及运用教学方法：探索——总结——运用法Ⅰ．创设问题情境，引入新课师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是预备定理，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．Ⅱ．讲授新课师：下面我们只从边的方面去考虑．我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即SSS公理．大家能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？生：三边对应成比例的两个三角形相似．师：下面我们就来验证一下．1．相似三角形的判定方法2．师：前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面我们要从两方面来考虑．还是要类比全等三角形的判定方法，在全等的判定方法中有ASA，SAS，AAS，其中ASA.AAS我们就不用考虑了，因为我们已经有判定方法2，下面来验证SAS，大家还是先猜想，然后再验证．生：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．师：好，下面我们还是由大家自己推导吧．请看投影片师：请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的k值法．生：按照要求作出的△ABC与△A′B′C′中，有∠B=∠B′，∠C=∠C′，因此根据判定方法1可知，△ABC∽△A′B′C′．师：大家同意吗？生：同意．师：好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的判定方法3：三边对应成比例的两个三角形相似．投影片师：大家可以按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，请大家一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值，好吗？生：好．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′△ABC∽△A′B′C′,理由是：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′B A AB ''=C B BC ''=A C CA '' 根据相似三角形的定义可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′．师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三边对应成比例的两个三角形相似．3．想一想师：下面验证SSA ，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？在全等三角形的判定中SSA 就不成立．大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？生：从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似．4．做一做师：在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请大家总结一下有几种方法．5．议一议如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？生：【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′．判断方法有．1．两角对应相等的两个三角形相似．2．两边对应成比例且夹角相等．3．定义法．Ⅲ．课堂练习依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么．（1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm,（2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm ．【答案】（1）∵C A AC B A AB ''='',37=37614= ∴C A AC B A AB ''='' 又∵∠A =∠A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）（2）∵B A AB ''=124=31，C B BC ''=186=31,C A AC ''=248=31 ∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（三边对应成比例，两三角形相似）Ⅳ．课时小结本节课主要探讨了相似三角形的两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明．。
23.相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定PPT课件(华师大版)
=
20°，
求∠CAE 的大小.
A
解： AB BC AC ，
AD DE AE
E
∴ △ABC ∽ △ADE.
D
∴ ∠BAC =∠DAE.
B
C
又∠DAC 是公共角，
∴ ∠CAE = ∠BAD = 20°.
课堂小结
类似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相 等的两个三角形类似.
类似三角形的判定定理3 三边成比例的两个 三角形类似.
类似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握 类似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.
• 学习难点：
类似三角形的判定定理的推导及应用.
新课导入
现在要判断两个三角形类似有哪几种方法？ 有两种方法：（1）根据定义；（2）两角分 别相等的两个三角形类似.
探索
视察教材图23.3.10，如果
C
有一点 E 在边 AC上移动，那么 B
∴ △ADE ≌ △A1B1C1.
∴ △ABC ∽ △A1B1C1.
类似三角形的判定定理2 两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似.
例4 证明图中△AEB 和 △FEC 类似.
证明
AE = 54 = 1.5， B FE 36
BE = 45 = 1.5，
45
CE 30
AE = BE .
FE CE
谢谢欣赏
第2课时 类似三角形的判定（2）
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
1. 掌握类似三角形的判定定理2：两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似；
2. 掌握类似三角形的判定定理3：三边成比例的 两个三角形类似.
3. 能根据条件，灵活应用类似三角形的判定定 理，正确判断两个三角形类似.
23.3.3相似三角形判定定理2
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
两角对应相等的两个三角形相似。
探 索: A A’
B
C
B’
C’
A' B' A' C' 且A A' AB AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
判定定理2 如果一个三角形的两条边与另一个三角
(2) ∠A＝45°，AB=12， AC=15 ∠A’＝45°，A’B’＝16，A’C’＝20
(3)∠B＝∠B’＝75°， ∠C＝50°， ∠A’＝55°
已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上 的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似？为什么？
形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似 。
几何语言：
AB AC A = A' A'B' A'C '
∴△ABC∽△ A' B 'C '
(两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似)
图 18.3.3
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D250°Fra bibliotek1.6
E
F
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：∵ AE = 54 =1.5 FE 36
B 45
BE ＝ 45＝1.5
CE 30
A
1 54
3E0236 F
∴ AE ＝ BE FE CE
C ∵∠1＝∠2
∴△AEB∽△FEC
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列
条件判断它们是否相似.
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第2课时 相似三角形的判定（2)
【知识与技能】
1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；
2.掌握相似三角形的判定定理
3：三条边对应成比例的两个三角形相似.3.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.
【过程与方法】
在推理过程中学会灵活使用数学方法.
【情感态度】
培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.
【教学重点】
相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.
【教学难点】
相似三角形的判定定理的推导及应用.
一、情境导入，初步认识
复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似.
2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上三等分点（即AD=31AB,AE=3
1AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？
由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它们是否相似？
【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.
二、思考探究，获取新知
同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE ∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一个条件是AD=31AB,AE=31AC,即是31=AB AD ,31=AC AE ，因此AC
AE AB AD =.△ADE 的两条边AD 、AE 与△ABC 的两条边AB 、AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？
图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为3
1，将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE=31AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时AC
AE AB AD =. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？
【教学说明】引导学生证明上述猜想.
【归纳结论】 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B=∠B ′,C A AC B A AB '
'=''. 例1（课本中例4）判断图中△AEB 与△FEC 是否相似.
例2 如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的:
解：因为AC=AE+CE ，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于
AC AE AB AD ≠，所以△ADE 与△ABC 不相似.
你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.
解：小张同学的判断是错误的. 因为63=AC AD ,218.79.3==AB AE ,所以AB
AE AC AD ≠，而∠A 是公共角，∠A=∠A,所以△ADE ∽△ACB.
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？
看课本69页“做一做”.
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似.
例3 △ABC 和△A ′B ′C ′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A ′B ′=18cm,B ′C ′=24cm,A ′C ′=30cm ，试判定它们是否相似，并说明理由.
三、运用新知，深化理解
1.如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由.
2.如图，已知AE
AC DE BC AD AB ==,∠BAD=20°，求∠CAE 的大小.
【教学说明】引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
3.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
能，培养学生的综合能力.。